UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE

FACULTAD DE CIENCIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

Calculo III Guıa #4: Nociones de Topologia 22109

Rodrigo Vargas

1. Considere los conjuntos

An =

{

(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤

(

4−1

n

)2}

.

Demuestre que

∞⋃

n=1

An = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 < 16} .

2. Encuentre una bola bierta centrada en el punto (1, 7,−4) contenida en elconjunto

A = {(x, y, z) ∈ R3 | 2x+ 3y − z 6= 6} .

Mas generalmente, si (x0, y0, z0) es un punto arbitrario de A, especifiquede que manera podrıa usted hallar una bola centrada en este punto queeste contenida en A.

3. Calcule la distancia entre el punto (1, 7, 2) y la recta

x− 1

2=

y − 1

3=

z + 3

2.

Determine tambien la bola abierta mas grande centrada en (1, 7, 2) queeste contenida en el conjunto

B =

{

(x, y, z) ∈ R3 |x− 1

26=

y − 1

3∨y − 1

36=

z + 3

2

}

.

4. Grafique los siguientes subconjuntos del plano

a) {(x, y) ∈ R2 : |x|+ |y| < 4},

1

b) {(x, y) ∈ R2 : |xy| < 4},

c) {(x, y) ∈ R2 : |y| < |x|},

d) {(x, y) ∈ R2 : max{|x|, |y|} < 4},

e) {(x, y) ∈ R2 : |y| < x2},

f) {(x, y) ∈ R2 : |x+ y| < 4}.

Determine cuales de los conjuntos anteriores son abiertos, cerrados o com-pactos.

5. Determine los puntos de acumulacion de los conjuntos:

a)

{(

1,1

m

)

| m ∈ N

}

b)

{(

1

n,1

m

)

| n,m ∈ N

}

c){(

−n,m

n

)

| n > m;n,m ∈ N

}

d){( n

m,m

n

)

| n > m;n,m ∈ N

}

Encuentre la frontera de cada un de los conjuntos anteriores.

6. Demuestre que A es cerrado si y solo si ∂A ⊆ A.

7. Sea A ⊆ Rn. Demuestre que

A = Int(A) ∪ (∂A ∩ A)

en donde la union es disjunta. Discuta que ocurre si A es cerrado.

8. Suponga que A ⊆ R ⊆ Rn y que R es un subconjunto cerrado de Rn.Demuestre que

∂A = R− (Int(A) ∪ Int(R−A)) .

9. Demuestre que A es abierto si y solo si Int(A) ⊆ A.

10. Determine

a) ∂(Q×Q)

b) Int(Q×Q)

c) ∂(Z× Z)

d) Int(Z× Z)

e) ∂(N×Q)

f) Int(R×Q)

2

11. Demuestre que todas las normas en Rn son equivalentes a la norma eucli-deana, esto es, existen constantes α > 0 y β > 0 tales que

α‖x‖a ≤ ‖x‖ ≤ β‖x‖a

para todo x ∈ Rn y toda norma ‖ · ‖a definida en Rn.

12. Sea A ⊂ Rn. Demuestre que A = ∩{F | F cerrado y A ⊆ F}. Ademas siB ⊆ Rn, entonces se cumple que:

A ∪B = A ∪ B , A ∩B ⊆ A ∩B .

13. Suponga que {an} es una sucesion de Cauchy y que {aϕ(n)} es una sub-sucesion de {an} convergente al numero L. Demuestre que {an} tambienconverge al mismo numero L.

14. Demuestre que Rn es un espacio de Hausdorff, esto es, dados dos puntos x,y en Rn arbitrarios y distintos existen bolas abiertas no vacıas centradasen x e y que son disjuntas.

15. Demuestre que Rn es un espacio normal, esto es, dados dos subconjuntoscerrados y disjuntos de Rn existen dos conjuntos abiertos disjuntos quelos contienen.

16. Sean A y B subconjuntos de Rn. Demuestre que

Int(A) ∪ Int(B) ⊆ Int(A ∪ B) , Int(A) ∩ Int(B) = Int(A ∩ B) .

Muestre con un ejemplo que, en general, no se tiene la contenicion Int(A∪B) ⊆ Int(A) ∪ Int(B).

17. Sea F ⊂ Rn. Se dice que una coleccion C = {Gα} de subconjuntos abiertosde Rn es un cubrimiento de F si,

F ⊆⋃

α

Gα .

Demuestre que si para todo cubrimiento C = {Gα} de un conjunto F esposible eligir una cantidad finita de ellos (subcubrimiento finito), digamosG1, G2, . . . , Gk tal que

F ⊂k⋃

j=1

Gj ,

entonces F es un subconjunto compacto de Rn. El recıproco de este resul-tado se conoce como el Teorema de Heine-Borel.

18. Demuestre que no es cierto que para todo cubrimiento abierto de (0, 1) ⊆R exista un subcubrimiento finito.

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