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a)

( ) [ ( )] [ ] ( )

No hay restricciones en el dominio, puede tomar cualquier valor.

( )

( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

b)

( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

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Guía 3 Análisis matemático (Cs. Económicas)

2014

( ) ( )

( ) ( )

Ejercicio 1: Calcular y …

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( ) [ ( )] [ ] ( )


( )

c)

( ) [ ( )] [ ]

El denominador tiene que ser distinto de cero, esto nos restringe el dominio.

√

( ) {√ }

( ) [ ( )] [

] (

)

Nuevamente, el denominador tiene que ser no nulo.

( ) { }

d)

( ) [ ( )] [

]

( )

( )

El denominador tiene que ser distinto de cero, esto nos restringe el dominio.

(

)

( )

( )

( )

( )


( ) {

}

( ) [ ( )] [

]

Nuevamente, el denominador tiene que ser no nulo.

( ) {

}

a) La función…

La función tiene como variables:

{

( )

Por lo tanto, lo que tenemos es:

b) Dar la función que permite…

La función, en realidad, es la misma, salvo que se despeja la otra variable.

Vamos a cambiar el nombre a las variables para que sea más entendible el procedimiento:

{

Ejercicio 2:


ç

a) ( ) √

Dado que la raíz es par, el argumento (lo que está

adentro de la raíz) debe ser positivo (o cero).

Por lo tanto, el conjunto dominio es:

( ( )) { }

La forma más clásica de expresar los dominios es en forma de intervalos, en este caso:

( ( )) [ )

b) ( ) √

De la misma manera que en el ejercicio anterior, el

argumento es mayor a cero.


( ( )) { }

En forma de intervalo:

( ( )) [ )

c) ( )) √

Argumento

Ejercicio 3: Hallar el dominio y representar gráficamente...



( ( )) {

}


( ( )) [

)

d) ( ) √

Argumento


( ( )) { }


( ( )) ( ]

e) ( ) √

Atención, en este caso, como la raíz es impar, no hay

restricciones de dominio.


( ( ))

f) ( ) √

Como la raíz es impar, no hay restricciones de dominio.


( ( ))


En este ejercicio, se pide graficar para ver cómo se van modificando las gráficas de las funciones

con pequeñas modificaciones. Es interesante observar y sacar conclusiones sobre estos

corrimientos que se ven.

a)

√ √

| |

y

b) √

(√ )

c) √

(√

)

d) √

(√ )

e) √( )

(√( )

)

( )

| | √

Ejercicio 4: Hallar los que verifican...


y

f) √

√

(√ )

| |

y

a) ( )

( )

( ( ) )

b) ( )

( )

El denominador tiene que ser no nulo.

Ejercicio 5: Calcular y dar el dominio...


( ( ) ) { }

c) ( )

( )


( ( ) ) { }

d) ( )

( )

( )

( )


( ( ) ) { }


e) ( )

√

( ) √

La raíz es impar, el argumento puede ser positivo o negativo sin problemas.

( ( ) )

f) ( )

√

( ) √

A diferencia del punto anterior, la raíz es par y el argumento debe ser positivo.

( ( ) ) ( )

g) ( ) √

√

( )

( ( ) )

h) ( ) √

√


( )

( ( ) )

Lo que es el punto donde comienza a ser ( ) .

( )

√

Despejando,

El punto será, entonces,

El planteo es igual al del ejercicio anterior, con otra función.

( ) √

( )

√

Por lo tanto, los valores son entre cero y .

a) ( )

Ejercicio 6: Una empresa calcula que el costo de producción...

Ejercicio 7: La función demanda de ...

Ejercicio 8: Graficar las siguientes funciones...


Comportamiento en el infinito:

Como se observa en el gráfico, la imagen (conjunto de valores de ) va desde hacia arriba.

( ) ( )

b) ( )


Como observamos en el gráfico, la imagen es el conjunto de los reales positivos.

( ) ( )

c) ( )

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a



Como observamos en el gráfico, la imagen es el conjunto de los reales positivos.

( ) ( )

d) ( )


Como observamos en el gráfico, la imagen es el conjunto de los reales mayores a .

( ) ( )

a) ( ) ( )

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a

Ejercicio 9: Calcular el dominio de las siguientes funciones...


Como restricción al dominio, tenemos la condición de que el argumento de un logaritmo

debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

b) ( ) ( )


debe ser positivo.

Tiende a Tiende a


En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

c) ( ) ( )


debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) ( )


( ( ))

Tiende a Tiende a

Tiende a Tiende a


d) ( ) ( )


debe ser positivo.

En este caso,

( ( )) { }


( ( ))

a) ( )

El gráfico correspondiente es el V.

Tiende a Tiende a

Ejercicio 10: Dadas las funciones...


Hallamos la función inversa:

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

Graficando:

b) ( )

El gráfico correspondiente es el I.



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Graficando:

c) ( )

El gráfico correspondiente es el IV.



( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

Graficando:

d) ( ) (

)

El gráfico correspondiente es el III.



(

)

(

)

( )

Graficando:

e) ( ) ( )

El gráfico correspondiente es el VI.



( )

( )

( )

Graficando:

f) ( ) ( )

El gráfico correspondiente es el II.



( )

( )

( )

Graficando:

Este es un ejercicio típico de análisis de funciones.

( ) ( )

Descripción Desarrollo Respuesta

Dominio

( ( )) ( )

Ejercicio 11: Para las siguientes funciones...


Ceros ( )

{ }

Positividad ( ) ( )

( )

Negatividad ( ) ( )

( )

( ) ( )


Dominio

| | √ ( ( )) ( √ )⋃(√ )

Ceros ( )

| | √

{√ √ }

Positividad ( ) ( )

| | √

( √ )⋃(√ )

Negatividad ( ) ( )

√ √

( √ √ )

( ) ( )


Dominio

( ( )) ( )

Ceros ( )

{ }

Positividad ( ) ( )

( )

Negatividad ( ) ( )

( )


( ) ( )


Dominio

( ( )) ( )

Ceros ( )

{

}

Positividad ( ) ( )

(

)

Negatividad ( ) ( )

(

)

Este es un simple ejercicio para estar en condiciones de hacer despejes utilizando

logaritmos.

a)

( )

b)

( )

( )

c) ( )

d) √

Ejercicio 12: Hallar los que verifican.


e)

f)

a) ( )

(

)

( )

( ) ( )

Como mencionamos anteriormente, el argumento del logaritmo tiene que ser positivo,

Ejercicio 13: Hallar ( ) e indicar su dominio.


( ( )) ( )

b) ( ) ( )

( )

( )

( ( ))

c) ( )

( )

( )

( ) ( )


( ( )) (

)

d) ( ) ( )

( )

( )


( )

( ( ))

e) ( ) √

√

√

(

) √

(

)

(

)

( ) (

)


( ( )) ( )

f) ( ) ( )

( )

( )


| | √

( ( ))

a) ¿A cuánto ascenderá el capital…

La función que vamos a analizar es de la forma:

( )⏟

⏟

(

(

)⏟

)

⏞

Función para cálculo en interés compuesto.

Para el caso particular del enunciado, tenemos que:

( ) ⏟

(

⏟

)

( ) (

)

( )

Atención, cuando reemplazamos variables en ecuaciones es de vital importancia mirar que

las unidades sean las adecuadas.

En este caso, la unidad de tiempo es en meses.

Por lo tanto, el ejercicio nos pide:

( ) ( )

b) ¿Y al cabo de …?

Ejercicio 14: Un capital se deposita…


Este punto se resuelve igual al anterior.

( ) ( )

c) ¿Cuánto deberá invertirse…

La ganancia es de la forma ( ) ( )

Por lo tanto, planteamos que:

(

)

⏟

(

)

( )

d) ¿En cuánto tiempo se triplicará…

Lo que se pide es el momento en que ( ) .

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

a) ¿Cuál es el capital inicial?

La función inicial es ( ) ( ) .

Del ejercicio anterior, tenemos que el interés compuesto es de la forma (

) .

Igualando, tenemos:

( ) (

)

El capital inicial es

b) ¿Cuál es el interés?

De la igualdad anterior, tenemos

Ejercicio 15: Si la función exponencial…


a) ¿Cuántos habitantes habrá en el año 2010?

La fórmula que se utiliza para calcular la cantidad de habitantes a partir del año 2004 es

( ) ⏟

, donde es la cantidad de años transcurridos desde el 2004. Es decir, se calcula

como

Para conocer , únicamente necesitamos hacer la cuenta .

Sustituyendo en la ecuación *, obtenemos la cantidad de habitantes:

( )

b) ¿Cuándo habrá más de 50 millones de habitantes?

El procedimiento es el inverso, tenemos el valor de y queremos

averiguar el valor de . De la misma manera, sustituimos en la ecuación * y despejamos.

(

) ( )

(

)

( )

c) ¿Cuándo se duplicará el número de habitantes del año 2004?

Primero queremos saber cuál es la cantidad de habitantes para el año 2004. Para este caso,

. Sustituyendo en la ecuación *,

( )

Ejercicio 16: El número de habitantes de la República Argentina…


Por lo tanto, queremos saber el valor de para el que la cantidad de habitantes es

.

Sustituyendo en la ecuación *,

(

) ( )

(

)

( )

Es decir, esto ocurrirá en el año

La función con la que trabajamos en este ejercicio es ( ) .

Según el enunciado, se busca el valor de para el que . Sustituyendo en la ecuación, de la

misma manera que en el ejercicio anterior,

(

) ( )

(

)

(

)

Este valor no es posible porque las unidades son números enteros.

Las demanda de productos puede ser o . En cada caso, los precios son:

( )

( )

Ejercicio 18: La función demanda de un producto…

Ejercicio 19: La función demanda de un producto…


a) Graficar aproximadamente esta función.

( )

La gráfica de la función es:

Es recomendable elegir algunos puntos y armar una tabla con tres puntos.

b) Expresar en función de .

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

Ejercicios surtidos:

No recomiendo perder tiempo en un ejercicio como este, no aporta nada.

Vamos a utilizar la fórmula de interés compuesto que vimos en el ejercicio 14.

Ejercicio 1: Escribir los siguientes…

Ejercicio 2: Un capital de $10.000 se invierte…


( ) (

)

Sustituyendo con los datos del ejercicio,

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

La cantidad de períodos (años) completos es 7, nuevamente aparece la necesidad de

trabajar con números enteros.

La curva de la función es de la forma:

Observando los, vemos que tiene un vértice en , en el medio entre las dos raíces. En

el vértice, las funciones cuadráticas, cambian de crecimiento a decremiento o viceversa. Por lo

tanto, nos marca el límite entre los dos intervalos que nos piden.

El intervalo de crecimiento es ( )y el de decrecimiento es ( ).

Ejercicio 3: El conjunto de positividad de una función cuadrática…


Haciendo un poco de memoria, recordamos que el punto de equilibrio es la intersección

entre la oferta y la demanda. Si no lo recordás, podés volver al ejercicio 14 de la guía anterior para

repasarlo.

( ) ( ) ⏟

| |

⏟

a) La ecuación de oferta de cierto producto…

Lo único que tenemos que hacer es despejar el valor de de la ecuación.

Ejercicio 5: La función de demanda de un producto…

Ejercicio 6: Hallar el valor de a…

Ejercicio 7: En cada uno de los problemas…


(

) ( ) aplicando logaritmo natural a ambos miembros

(

)

(

) opción I.

b) La curva de oferta…

Como hicimos en el ejercicio 5, vamos a igualar la oferta y la demanda.

( ) ( )

( )

, tomamos solo la solución positiva.

Para calcular el precio, podemos reemplazar en cualquiera de las dos ecuaciones (recordar

que el punto de la intersección pertenece a las dos funciones).

( ) ( )

Elegimos la opción I.

c) La función ( ) ( )…

Para comenzar, necesitamos que el argumento del logaritmo sea positivo. Por lo tanto,

primera condición


(

)

El intervalo de positividad lo podemos hallar, buscando los valores en que ( ) .

( )

segunda condición

( )

La intersección de ambas condiciones es (

)⋂( ) ( )

Finalmente, el intervalo de positividad es ( )

La opción II es la única incluida en el intervalo de positividad.

d) El dominio natural de ( )

El dominio natural es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente

( ) dentro de la función sin importar las restricciones de dominio que se le impongan.

En este caso, el argumento del logaritmo tiene que ser positivo.

( ) opción I.

e) El vértice de la parábola de ecuación ( ) …

La parábola está expresada en forma canónica:

( ) ( )

Donde ( ) es el vértice de la parábola.

En nuestro caso:


⏟

( ⏟

)

⏟

Finalmente, el vértice es ( ) opción I.

Esta guía fue hecha con la mejor intención, con la mayor profesionalidad posible y como

un aporte útil para la comunidad. Si encontrás algún detalle, podés dejarnos tus

comentarios en www.exapuni.com para que mejoremos el material al máximo!

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