Guía

Del estudiante

Modalidad a distancia

Modulo

MATEMÁTICAS FUNDAMENTALES PARA INGENIERÍA DE SISTEMAS

I SEMESTRE

BIENVENIDA

DATOS DE IDENTIFICACION

TUTOR Luis Enrique Alvarado Vargas

Teléfono 435 29 52 – CEL. 310 768 90 67

E-mail leav70@gmail.com

Lugar Madrid Cundinamarca

Corporación Universitaria Minuto de Dios – Rectoría Cundinamarca

BIENVENIDA

EL curso de Matemática Fundamental permite indicar un proceso de formación de Ingenieros

de Sistemas que apropien competencias interpretativas, argumentativas y propositivas y

competencias ciudadanas como líderes integrales en sus desempeños el curso pretende

fortalecer procesos.

Fundamentos del Pensamiento Humano: Que le permiten apropiarse del lenguaje matemático

en lo referente al pensamiento variacional y las estructuras algebraicas para la

contextualización de su entorno.

pensamiento variacional y sistemas algebraicos: Solución de problemas y generalización,

investiguen en la selección de herramientas matemáticas que le permitan ver las situaciones

del mundo como una regla bien general.

Autoformación: A partir del estudio auto programado del dialogo de saberes como resultado

del trabajo en equipo para la construcción y socialización del conocimiento de la investigación

y acción de las prácticas.

Trabajo Cooperativo: El curso propende por el trabajo en equipo con toda la comunidad para

el desarrollo del proyecto de investigación.

El propósito de formación de este curso es facilitar al estudiante de administración

Agropecuaria es vivenciar por contexto y las demás áreas del programa el desarrollo de las

competencias que le permitan utilizar el lenguaje y herramientas necesarias en las acciones

propias del trabajo en equipo.

El curso esta propuesto acorde a los principios expuestos por la universidad del Tolima, el

IDEAD y el programa de Ingeniería de Sistemas, los cuáles dan preeminencia a los procesos de

auto formación del ser humano y el Ingeniero ya que la implementación de herramientas

didácticas y métodos mentales de la modalidad a distancia, que deben esforzarse a muchas

horas de estudio individual y grupal sin la presencia física del tutor.

INTRODUCCIÓN

El pensamiento variacional y los sistemas algebraicos han contribuido al desarrollo de las

diferentes áreas de desempeño de los ciudadanos. en el actual siglo nadie pone en duda la

aplicabilidad de la matemática y en especifico los sistemas algebraicos para resolver

situaciones que se le presentan al individuo en el proceso de formación como Ingeniero de

Sistemas las expresiones algebraicas se aplican por ejemplo para resolver situaciones

problema en las que deseamos plantear una regla de asignación en algoritmos. Estas

situaciones planteadas de manera matemática han permitido desarrollar la ciencia y la

tecnología.

Queda para los estudiantes la construcción conjunta de un conjunto de problemas

relacionados con la carrera para que le veamos una real aplicación y le encontremos sentido al

estudio del pensamiento variacional y los sistemas algebraicos.

Este componente del currículo tiene en cuenta una de las aplicaciones más importantes de la matemática: la formulación de modelos matemáticos para diversos fenómenos. Por ello, debe permitir que los estudiantes adquieran progresivamente una comprensión de patrones, relaciones y funciones, así como desarrollar su capacidad de representar y analizar situaciones y estructuras matemáticas mediante símbolos algebraicos y gráficas apropiadas. Así mismo, debe desarrollar en ellos la capacidad de analizar el cambio en varios contextos y de utilizar modelos matemáticos para entender y representar relaciones cuantitativas.

UNIDAD DE TRABAJO No.2

¿Cómo aplicar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos a la

Ingeniería de Sistemas?

¿A través las expresiones algebraicas se puede solucionar

ALGEBRA BÁSICA

CONTENIDOS

1. Sistemas numéricos. 2. Expresiones algebraicas.

monomios

polinomios 3. Operaciones con polinomios.

Suma

Resta

Multiplicación

División 4. Regla de Ruffini. 5. Productos y cocientes notables 6. Teorema del residuo (resto ) 7. Factorización de polinomios 8. Fracciones algebraicas. 9. Ejercicios

Indicadores de logro

1. Reconoce las expresiones algebraicas, las clasifica y las ordena.

2. realiza las cuatro operaciones básicas con expresiones algebraicas (polinomios).

3. Aplica la regla de Ruffini para encontrar las raíces de un polinomio.

4. resuelve problemas en los que aplica la factorización y los productos notables

SISTEMAS NUMÉRICOS

Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del

sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad. Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos. Sistema de Numeración: Es un conjunto de dígitos que sirven para representar una cantidad contable. El nombre del sistema de numeración que se trate serán los diferentes dígitos posibles para tal representación.

Así también los sistemas de numeración se les llama base, de tal manera que el sistema de numeración binario, también se le llama base 2. Los sistemas de numeración más utilizados en electrónica son: · Binario o Base 2 (0, 1) · Octal o Base 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) · Hexadecimal o Base 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) · Decimal o Base 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) Absoluto Valores de un digito Relativo Valor Absoluto de un Digito: Es aquel representa un digito sin importar donde se encuentre así: 5 2 7 6 10 BASE 10 5 Cinco 2 Dos 7 Siete 6 Seis Valor Relativo de un Digito: Es aquel representa el mismo digito, dependiendo de la posición que se encuentre con respecto a la división de los enteros y las fracciones. 53 22 71 60 = Cinco mil, doscientos, Setenta y Seis 5 x 103 + 2 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100 5 x 1000 + 2 x 100 + 7 x 10 + 6 x 1 Conversiones Entre los Sistemas de Numeración Conversión de decimal a cualquier otro sistema de numeración: Para convertir de decimal a cualquier otro sistema se hará por división sucesiva, es decir que si queremos convertir a binario un numero de decimal, bastara dividir entre dos la cantidad y el resultado volverlo a dividir hasta que el resultado sea menor a 2, siempre con números enteros, de tal manera si él numero decimal es non o impar sobrara siempre uno y si es par sobrara cero y estos residuos se pondrán en orden de la ultima división a la primera y se da dicho numero binario. BINARIO O BASE 2 Ejemplo de la conversión de decimal a binario: 7004 10 1101101011100 2 2003 10 11111010011 2 7004 0 2003 1 3502 0 1001 1 1751 1 500 0 875 1 250 0 437 1 125 1 218 0 62 0 109 1 31 1 54 0 15 1 27 1 7 1 13 1 3 1 6 0 1 1 3 1 1 1

Para convertir de cualquier sistema de numeración a decimal se hará por el peso de los dígitos, convirtiéndose estos a decimal y sumando el resultado.

DECIMAL BINARIO BASE 4 OCTAL HEXADECIMAL

0 0 0 0 0

1 1 1 1 1

2 10 2 2 2

3 11 3 3 3

4 100 10 4 4

5 101 11 5 5

6 110 12 6 6

7 111 13 7 7

8 1000 20 10 8

9 1001 21 11 9

10 1010 22 12 A

11 1011 23 13 B

12 1100 30 14 C

13 1101 31 15 D

14 1110 32 16 E

15 1111 33 17 F

16 10000 40 20 10

BASE EXPONENTE DECIMAL

2 0 1

2 1 2

2 2 4

2 3 8

2 4 16

2 5 32

2 6 64

2 7 128

2 8 256

2 9 512

2 10 1024

2 11 2048

2 12 4096

2 13 8192

2 14 16384

2 15 32768

2 16 65576

2 17 131072

2 18 262144

2 19 524288

2 20 1048576

BASE EXPONENTE DECIMAL

8 0 1

8 1 8

8 2 64

8 3 512

8 4 4096

8 5 32768

8 6 262144

8 7 2097152

BASE EXPONENTE DECIMAL

16 0 1

16 1 16

16 2 256

16 3 4096

16 4 65536

16 5 1048576

16 6

16 7

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema. A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes, pero existen 4 de sistemas numéricos de los mas utilizados en la actualidad y son: · Binario o Base 2 (2 Dígitos, 0 − 1) · Octal o Base 8 (8 Dígitos, 0 − 7) · Decimal o Base 10 (10 Dígitos, 0 − 9) · Hexadecimal o Base 16 (16 Dígitos, 0 − f) Valores posiciónales La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos −0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9− depende de la posición del número completo. Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero. Sistema Numérico Binario o Base 2

El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Números decimales del 0 al 10 y sus equivalentes en binario

DECIMAL BINARIO

0 0

1 1

2 10

3 11

4 11

5 101

6 110

7 111

8 1000

9 1001

10 1010

Sistema Numérico Octal o Base 8 El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos: 2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8−1) + 2*(8−2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal. Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001010. De modo que 74 en octal es 112. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría porqué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo. Sistema Numérico Decimal o Base 10 El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los Hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es: primero 9 * (100) = 9 −−−−−−−−− primero 1*(10−1) = 0.1 segundo 8 * (101) = 80

−−−−−−−− segundo 2*(10−2) = 0.02 tercero 4 * (102) = 400 −−−−−−−− tercero 5*(10−3) = 0.005 cuarto 3 * (103) = 3000 Notación Posicional del Sistema (10−6) = 0.000001 (10−5) = 0.00001 (10−4) = 0.0001 (10−3) = 0.001 (10−2) = 0.01 (10−1) = 0.1 (100) = 1 (101) = 10 (102) = 100 (103) = 1000 (104) = 10000 (105) = 100000 (106) = 10000000 Sistema Numérico Hexadecimal o Base 16

El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciséis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a: 1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160 lo que da como resultado: 4096 + 512 + 48 + 4 = 466010 Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F. Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario: 0 A B C D (Hexadecimal)

0000 1010 1011 1100 1101 (Binario)

Def in ic ión d e mon omio

U n mon omio es una exp resión a lgeb ra ica en l a que l as úni cas

op era cion es que aparecen entre l as vari ab l es son e l p rodu cto y la

p oten cia d e exp on en te na tu ra l .

2x 2 y 3 z

Pa rtes d e u n mon omio

Coe f ic ie nte

El coef ic ien te de l mon omio es e l número que aparece

mul t i p l i cando a l as var i ab l es.

Parte l i te ral

La p a rte l i tera l es tá cons t i tu i da por l as l e tras y sus exponentes .

Grado

El gra do de un monomio es l a suma de todos l os exponentes de

l as l e tras o var i ab l es.

El g rado de 2x 2 y 3 z es : 2 + 3 + 1 = 6

Mon omios semej a n tes

Dos mon omios son semej a ntes cuando t i enen l a misma p a rte

l i tera l .

2x 2 y 3 z es semejante a 5x 2 y 3 z

Op era cion es con mon omios

Su ma d e mon omios

Sól o podemos su ma r mon omios semej a n tes .

La su ma d e los mon omios es otro mon omio q u e t ien e la misma

p a rte l i tera l y cu yo coef ic ien te es la su ma d e los coef ic ien tes.

a x n + b x n = (a + b )x n

2x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z

S i l os mon omios n o son semej a n tes se obt i ene un p ol in omio .

2x 2 y 3 + 3x 2 y 3 z

Prod u cto d e u n nú mero p or u n monomio

El p rodu cto d e u n n ú mero p or u n monomio es otro monomio

semej a n te cuyo coef ic ien te es e l p rod u cto d el coef ic ien te de

monomi o p or e l n ú mero .

5 · (2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z

Mu lt ip l ica c ión d e mon omios

La mu lt ip l ica c ión d e mon omios es otro m o n omio que t i ene por

coef ic ien te e l p rod u cto d e los coef ic ien tes y cu ya p a rte l i tera l se

ob t ien e mu lt ip l ica n do la s p oten cia s q u e ten ga la misma b a se.

a x n · b x m = (a · b )x n + m

(5x 2 y 3 z) · (2 y 2 z 2 ) = 10 x 2 y 5 z 3

Div is ión d e mon omios

Sól o se pueden d iv id ir mon omios con l a misma p a rte l i tera l y

con e l gra d o d el d iv id en do ma yor o igu a l que e l gra d o de l a vari ab l e

correspondi ente de l d iv isor .

La d iv is ión d e mon omios es otro mon omio que t i ene por

coef ic ien te e l coc ien te d e los coef ic ien tes y cu ya p a rte l i tera l se

ob t ien e d iv id iend o la s p oten cia s qu e ten ga la misma b a se.

a x n : b x m = (a : b )x n − m

S i e l gra do d el d iv isor es ma yor , obt enemos una f ra cc ión

a lgeb ra ica .

Poten cia d e u n mon omio

Para real i zar l a p oten cia d e un mon omio se el eva , cada

e l emento de éste , a l exponente de l a poten ci a .

(a x n ) m = a m · x n · m

(2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9

( -3x 2 ) 3 = ( -3) 3 (x 2 ) 3 = −27x 6

Ej erc ic ios resu eltos d e mon omios

1 I nd i ca cua l es de l as si g ui entes expres i ones son mon omios . En

caso af i rmat i vo, i nd i ca su gra d o y coef ic ien te .

13x 3

Gra d o d el mon omio : 3 , coef ec ien te : 3

25x − 3

No es un mon omio , porque e l exponente no es un número

natura l .

33x + 1

No es un mon omio , porque hay una suma.

4

Gra d o d el mon omio : 1 , coefeci ente :

5

Gra d o d el mon omio : 4 , coefeci ente :

6

No es un mon omio , porque n o t i ene expon ente natura l .

7

No es un monomio , porque l a parte l i tera l está dentro de una

ra í z .

2 Real i za l as sumas y restas de monomi os .

12x 2 y 3 z + 3x 2 y 3 z = 5x 2 y 3 z

22x 3 − 5x 3 = −3x 3

33x 4 − 2x 4 + 7x 4 = 8x 4

42 a 2 b c 3 − 5a 2 b c 3 + 3a 2 b c 3 − 2 a 2 b c 3 = −2 a 2 b c 3

3 Efect úa l os p rod u ctos d e mon omios .

1 (2x 3 ) · (5x 3 ) = 10x 6

2 (12x 3 ) · (4x ) = 48x 4

35 · (2x 2 y 3 z) = 10x 2 y 3 z

4 (5x 2 y 3 z) · (2 y 2 z 2 ) = 10 x 2 y 5 z 3

5 (18x 3 y 2 z 5 ) · (6x 3 y z 2 ) = 108x 6 y 3 z 7

6 (−2x 3 ) · (−5x ) · (−3x 2 ) = −30x 6

4 Real i za l as d iv is ion es d e mon omios .

1 (12x 3 ) : (4x ) = 3x 2

2 (18x 6 y 2 z 5 ) : (6x 3 y z 2 ) = 3x 3 y z 3

3 (36 x 3 y 7 z 4 ) : ( 12x 2 y 2 ) = 3xy 5 z 4

4

5 4x 3 y + 3x 2 y 2 − 7x 8

6

5 C al cu l a l as p oten cia s d e los mon omios .

1 (2x 3 ) 3 = 2 3 (x 3 ) 3 = 8x 9

2 ( -3x 2 ) 3 = ( -3) 3 (x 3 ) 2 = −27x 6

3

Def in ic ión d e p o l in omio

U n p ol in omio es una exp resión a lgeb ra ica compuesta de d os o

má s mon omios .

U n p ol in omio es una exp resión a lgeb ra ica de l a forma:

P(x) = a n xn + a n - 1 x

n - 1 + a n - 2 xn - 2 + . . . + a 1 x

1 + a 0

S i endo a n , a n - 1 . . . a 1 , a o números , l l amados coef ic ien tes .

a o es e l tér min o in d ep en d ien te.

Gra d o d e u n po l in omio

El gra d o de un pol i nomi o P(x ) es el ma yor exp on en te al que se

encuentra e l evada l a va r ia b le x .

Pol inomi o de gr ado ce ro

P(x ) = 2

Pol inomi o de pr ime r grado

P(x ) = 3x + 2

Pol inomi o de se gundo gra do

P(x ) = 2x 2 + 3x + 2

Pol inomi o de te rce r grado

P(x ) = x 3 − 2x 2 + 3x + 2

Pol inomi o de cuarto gra do

P(x ) = x 4 + x 3 − 2x 2 + 3x + 2

Cla ses d e p o l in omios

Po l in omio n u lo

El p ol in omio n u lo t i ene todos sus coef ic ien tes n u los .

Pol in omio h omogén eo

El p ol inomio homogén eo t i ene todos sus términ os o mon omios

con e l mis mo gra d o .

P (x ) = 2x 2 + 3xy

Pol in omio h eterogén eo

Los términ os de un p ol in omio h eterogén eo son de d ist in to

gra d o .

P (x ) = 2x 3 + 3x 2 − 3

Pol in omio comp leto

U n p ol in omio comp leto t i ene todos los térm in os desde e l

térmi no i ndependi ente hasta e l térmi no de mayor g rado.

P (x ) = 2x 3 + 3x 2 + 5x − 3

Pol in omio ord en a do

U n pol in omio es tá ord ena do s i l os monomios que l o forman

están escr i tos de ma yor a men or gra d o .

P (x ) = 2x 3 + 5x − 3

Pol in omios igu a les

Dos pol i nomi os son i g ua l es si ver i f i can:

1Los dos pol i nomi os t i enen e l mismo gra d o .

2Los coef ic ien tes de l os térmi nos de l mi smo g rado son i gu a les .

P (x ) = 2x 3 + 5x − 3

Q(x) = 5x − 3 + 2x 3

Pol in omios semej a n tes

Dos pol i nomi os son sem ejantes s i veri f i can que t i enen la misma

p a rte l i tera l .

P (x ) = 2x 3 + 5x − 3

Q(x ) = 5x 3 − 2x − 7

T ip os d e p o l in omios segú n e l n ú mero d e términ os

Mon omio

Es un p ol in omio que c onsta de u n só l o mo n omio .

P (x ) = 2x 2

Bin omio

Es un p ol in omio que c onsta de d os mon omios .

P (x ) = 2x 2 + 3x

Tr in omio

Es un p ol in omio que c onsta de t res mon omios .

P (x ) = 2x 2 + 3x + 5

Va lor n u mérico d e u n p o l in omio

Es e l resul tado que obtenemos al sust i tuir l a var i abl e x por un

número cua l qui era .

P (x ) = 2x 3 + 5x − 3 ; x = 1

P (1) = 2 · 1 3 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5 − 3 = 4

Ej erc ic ios resu eltos d e p o l in omios

1 D i s i l as s i g u i entes expres i ones a l g ebraicas son p ol i nomi os o

no. En caso af i rmat i vo, seña l a cuá l es su g rado y térmi no

i ndependi ente .

1x 4 − 3x 5 + 2x 2 + 5

Grado: 5 , térmi no i ndependi ente : 5 .

2 + 7X 2 + 2

N o, porque l a parte l i tera l del pr imer monomi o

está dentro de u na ra í z .

31 − x 4

Grado: 4 , térmi no i ndependi ente : 1 .

4

N o, porque e l exponente de l pr i mer monomi o

no es un número na tura l .

5x 3 + x 5 + x 2

Grado: 5 , térmi no i ndependi ente : 0 .

6x − 2 x − 3 + 8

N o, porque e l exponente de l 2º monomi o

no es un número na tura l .

7

Grado: 3 , térmi no i ndependi ente : -7/2.

2 Escr i be :

1U n pol i nomi o ordenado si n térmi no

i ndependi ente .

3x 4 − 2x

2U n pol i nomi o no ordenado y compl eto.

3x − x 2 + 5 − 2x 3

3U n pol i nomi o compl eto s i n térmi no

i ndependi ente .

I mpos i bl e

4U n pol i nomi o de g rado 4, compl eto y

con c oef i c i entes i mpares.

x 4 − x 3 − x 2 + 3x + 5

Su ma d e p o l inomios

Pa ra su ma r d os p o l in omios se su ma n lo s coef ic ien tes d e los

términ os d el mi sm o gra d o.

P (x ) = 2x 3 + 5x - 3 Q(x ) = 4x - 3x 2 + 2x 3

1Ord en a mos l os p ol in omios , s i no l o están.

Q(x ) = 2x 3 - 3x 2 + 4x

P (x ) + Q(x ) = (2x 3 + 5x - 3) + (2x 3 - 3x 2 + 4x )

2Agru p a mos l os monomios de l mismo gra d o .

P (x ) + Q(x ) = 2x 3 + 2x 3 - 3 x 2 + 5x + 4x - 3

3Su ma mos los mon omios semej a n tes .

P (x ) + Q(x ) = 4x 3 - 3x 2 + 9x - 3

Resta d e p o l in omios

La resta d e p o l in omios cons i s te en su ma r e l op u esto d el

su stra en d o .

P(x ) − Q(x ) = (2x 3 + 5x - 3) − (2x 3 - 3x 2 + 4x )

P(x ) − Q(x ) = 2x 3 + 5x - 3 − 2x 3 + 3x 2 − 4x

P(x ) − Q(x ) = 2x 3 − 2x 3 + 3x 2 + 5x− 4x - 3

P(x ) − Q(x ) = 3x 2 + x - 3

Mu lt ip l ica c ión d e p o l in omios

Mu lt ip l ica c ión d e u n n ú mero p or un p o l in omio

Es otro p ol in omio que t i ene de gra d o e l mismo de l pol i nomi o y

como coef ic ien tes e l p rod u cto d e los coefic ien t es d el p o l inomio por

e l n ú mero .

3 · ( 2x 3 - 3 x 2 + 4x - 2) = 6x 3 - 9x 2 + 12x - 6

Mu lt ip l ica c ión d e u n mon omio por u n p o l in omio

Se mu lt ip l ica e l mon omio por todos y ca d a uno de l os mon omios

q u e f orma n e l p o l in omio .

3 x 2 · (2x 3 - 3x 2 + 4x - 2) = 6x 5 - 9x 4 + 12x 3 - 6x 2

Mu lt ip l ica c ión d e p o l in omios

P(x ) = 2x 2 - 3 Q(x ) = 2x 3 - 3x 2 + 4x

Se mu lt ip l ica ca d a mon omio d el p r imer p o l in omio p or tod os los

e lemen tos segu n d o p o l inomio.

P (x ) · Q(x ) = (2x 2 - 3) · (2x 3 - 3x 2 + 4x ) =

= 4x 5 − 6x 4 + 8x 3 − 6x 3 + 9x 2 − 1 2x =

Se su ma n los mon omios d el mis mo gra d o.

= 4x 5 − 6x 4 + 2x 3 + 9x 2 − 12x

Se ob t ien e otro p o l in omio cu yo grad o es la su ma d e los grad os

d e los p o l in omios q u e se mu lt ip l ica n .

Tambi én podemos mu lt ip l ica r p o l in omios d e s i g u i ente modo:

Div is ión d e p o l in omios

Re solv e r la d iv is ión de pol in omios:

P(x ) = 2x 5 + 2x 3 −x - 8 Q(x ) = 3x 2 −2 x + 1

P(x) : Q (x)

A la izq u ierd a s i tu a mos e l d iv id en d o . S i e l pol i nomi o n o es

comp leto de jamos h u ecos en l os l ug ares que correspondan.

A la d erech a s i tu a mos e l d iv isor d en tro d e u n a ca j a .

Div id imos e l p r imer mon omio d el d iv id en d o entre e l p r imer

mon omio d el d iv isor .

x 5 : x 2 = x 3

Mu lt ip l ica mos ca d a términ o d el po l inomio d iv isor p or e l

resu lta d o a n ter ior y lo resta mos d el p o l in omio d iv id en do:

Vol vemos a d iv id ir e l pr i mer monomi o de l d i vi dendo entre e l

pr i mer monomi o del d iv i sor. Y e l resu l tado l o mul t i pl i camos por e l

d i v i sor y l o restamos a l d i vi dendo.

2x 4 : x 2 = 2 x 2

P rocedemos i g ua l que antes .

5x 3 : x 2 = 5 x

Vol vemos a hacer l as mi smas operaci ones .

8x 2 : x 2 = 8

10x − 6 es el resto , porque su grad o es men or qu e e l d el d iv isor

y por tant o no se puede con t i nuar d i v i d i endo.

x 3 +2x 2 +5x+8 es e l cocien te .

Div is ión p or Ru ff in i

S i e l d iv isor es u n b in omio d e la forma x — a , entonces

ut i l i zamos un métod o má s b reve para hace r l a d iv is ión , l l amado reg la

d e Ru ff in i .

Re solv e r por la re gla de Ruf f in i la d iv is ión :

(x 4 −3x 2 +2 ) : ( x −3)

1S i e l p o l in omio n o es comp leto , lo comp leta mos a ña d iend o los

términ os q u e f a lta n con ceros.

2Coloca mos los coef ic ien tes d el d iv id en d o en u n a l ín ea .

3Ab a j o a la izq u ierda co loca mos e l op u esto d el términ o

in d ep end en d iente d el d iv isor .

4Tra za mos u n a ra ya y ba j a mos e l p r ime r c oef ic ien te.

5Mu lt ip l ica mos ese coef ic ien te por e l d iv isor y lo co loca mos

d eb a jo d el s igu ien te términ o.

6Su ma mos los d os coef ic ien tes.

7Rep et imos e l p roceso a n ter ior .

Vol vemos a repet i r e l proceso.

Vol vemos a repet i r .

8El ú lt imo n ú mero ob ten id o , 56 , es e l rest o .

9El coc ien te es u n po l in omio d e grad o in fer ior en un a u n ida d a l

d iv id en do y cu yos coef ic ien tes son los q u e h emos ob ten id o.

x 3 + 3 x 2 + 6x +18

Ej erc ic ios y p rob lema s resu eltos d e p o l in omios

1Dados l os pol i nomi os :

P (x ) = 4x 2 − 1

Q(x ) = x 3 − 3x 2 + 6x − 2

R(x) = 6x 2 + x + 1

S (x ) = 1/2x 2 + 4

T(x ) = 3/2x 2 +5

U (x ) = x 2 + 2

C a l cu l ar :

1P(x ) + Q (x ) =

= (4x 2 − 1) + ( x 3 − 3x 2 + 6x − 2) =

= x 3 − 3x 2 + 4x 2 + 6x − 2 − 1 =

= x 3 + x 2 + 6x − 3

2P(x ) − U (x ) =

= (4x 2 − 1) − (x 2 + 2) =

= 4x 2 − 1 − x 2 − 2 =

= 3x 2 − 3

3P(x ) + R (x ) =

= (4x 2 − 1) + (6x 2 + x + 1) =

= 4x 2 + 6x 2 + x − 1 + 1 =

= 10x 2 + x

42P(x ) − R (x ) =

= 2(4x 2 − 1) - (6x 2 + x + 1) =

= 8x 2 − 2 − 6x 2 − x − 1 =

= 2x 2 − x − 3

5S(x ) + R (x ) + U (x ) =

= (1/2 x 2 + 4 ) + (3/2 x 2 +5 ) + (x 2 + 2) =

= 1/2 x 2 + 3/2 x 2 + x 2 + 4 + 5+ 2 =

= 3x 2 + 11

6S(x ) − R (x ) + U (x ) =

= (1/2 x 2 + 4 ) − (3/2 x 2 +5 ) + (x 2 + 2) =

= 1/2 x 2 + 4 − 3/2 x 2 − 5 + x 2 + 2 =

= 1

2Dados l os pol i nomi os :

P (x ) = x 4 −2x 2 − 6x − 1

Q(x ) = x 3 − 6x 2 + 4

R (x ) = 2x 4 −2 x − 2

C a l cu l ar :

P(x ) + Q(x ) − R(x ) =

= (x 4 −2x 2 − 6x − 1) + (x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 − 2 x − 2) =

= x 4 −2x 2 − 6x − 1 + x 3 − 6x 2 + 4 − 2x 4 + 2 x + 2 =

= x 4 − 2x 4 + x 3 −2x 2 − 6x 2 − 6x + 2 x − 1 + 4 + 2 =

= −x 4 + x 3 − 8x 2 − 4x + 5

P(x ) + 2 Q(x ) − R(x ) =

= (x 4 −2x 2 − 6x − 1) + 2(x 3 − 6x 2 + 4) − ( 2x 4 − 2 x − 2) =

= x 4 −2x 2 − 6x − 1 +2x 3 − 12x 2 + 8 − 2x 4 + 2 x + 2 =

= x 4 − 2x 4 + 2x 3 −2x 2 − 1 2x 2 − 6x + 2 x − 1 + 8 + 2 =

= −x 4 + 2x 3 − 14x 2 − 4x + 9

Q(x)+ R(x ) − P (x )=

= (x 3 − 6x 2 + 4) + ( 2x 4 −2 x − 2) − (x 4 −2x 2 − 6x − 1) =

= x 3 − 6x 2 + 4 + 2x 4 −2 x − 2 − x 4 +2x 2 + 6x + 1=

= 2x 4 − x 4 + x 3 − 6x 2 +2x 2 −2 x + 6x + 4− 2 + 1=

= x 4 + x 3 − 4x 2 + 4x + 3

1 (x 4 −2x 2 +2 ) · ( x 2 −2x +3) =

= x 6 −2x 5 + 3x 4 − 2x 4 + 4x 3 − 6x 2 + 2x 2 − 4x + 6=

= x 6 −2x 5 − 2x 4 + 3x 4 + 4x 3 + 2x 2 − 6x 2 − 4x +6 =

= x 6 −2x 5 + x 4 + 4x 3 − 4x 2 − 4x + 6

2 (3x 2 − 5x ) · (2x 3 + 4x 2 − x +2) =

= 6x 5 + 12x 4 − 3x 3 + 6x 2 − 10x 4 − 20x 3 + 5x 2 − 10x =

= 6x 5 + 12x 4 − 1 0x 4 − 3x 3 − 2 0x 3 + 6x 2 + 5x 2 − 10x =

= 6x 5 + 2x 4 − 23x 3 + 1 1x 2 − 10 x

3 (2x 2 − 5x + 6) · (3x 4 − 5 x 3 − 6 x 2 + 4x − 3) =

= 6x 6 − 10x 5 − 12 x 4 + 8x 3 − 6 x 2 −

− 15x 5 + 25x 4 + 30x 3 − 20x 2 + 15x +

+18x 4 − 30x 3 − 3 6x 2 + 24x − 18 =

= 6x 6 − 10x 5 − 15x 5 − 12 x 4 + 2 5x 4 + 18x 4 +

+8x 3 − 30x 3 + 30x 3 − 6 x 2 − 20x 2 − 3 6x 2 + 15x + 24x − 18 =

= 6x 6 − 25x 5 + 31x 4 + 8x 3 − 6 2x 2 + 3 9x − 1 8

3Div id ir los p o l in omios :

1 (x 4 − 2x 3 −11x 2 + 30x −2 0) : ( x 2 + 3x −2)

2 (x 6 + 5x 4 + 3x 2 − 2x) : ( x 2 − x + 3)

3 P(x ) = 2x 5 + 2x 3 −x - 8 Q(x ) = 3x 2 −2 x + 1

4 Div id ir p or Ru f f in i :

1 (x 3 + 2x +70) : ( x+4)

2 (x 5 − 32) : ( x − 2)

C(x) = x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x + 16 R= 0

3 (x 4 −3x 2 +2 ) : ( x −3)

C(x) = x 3 + 3 x 2 + 6x +1 8 R= 56

Bin omio a l cu a d rad o

(a ± b ) 2 = a 2 ± 2 · a · b + b 2

( x + 3) 2 = x 2 + 2 · x · 3 + 3 2 = x 2 + 6 x + 9

(2x − 3) 2 = (2x ) 2 − 2 · 2x · 3 + 3 2 = 4x 2 − 1 2 x + 9

Su ma p or d i f eren cia

(a + b ) · (a − b ) = a 2 − b 2

(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x ) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Bin omio a l cu b o

(a ± b ) 3 = a 3 ± 3 · a 2 · b + 3 · a · b 2 ± b 3

( x + 3) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 3 + 3 · x · 3 2 + 3 3 =

= x 3 + 9 x 2 + 27 x + 27

(2x - 3) 3 = (2x ) 3 - 3 · (2x ) 2 · 3 + 3 · 2x · 3 2 - 3 3 =

= 8x 3 - 3 6 x 2 + 5 4 x - 27

Tr in omio a l cu a d ra do

(a + b + c ) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2 · a · b + + 2 · a · c + 2 · b · c

( x 2 − x + 1) 2 =

= (x 2 ) 2 + ( -x ) 2 + 1 2 +2 · x 2 · ( -x ) + 2 x 2 · 1 + 2 · ( -x ) · 1=

= x 4 + x 2 + 1 - 2x 3 + 2x 2 - 2x=

= x 4 - 2x 3 + 3x 2 - 2x + 1

Su ma d e cu b os

a 3 + b 3 = (a + b ) · (a 2 − a b + b 2 )

8x 3 + 27 = ( 2x + 3) (4x 2 - 6x + 9)

Dif eren cia d e cu b os

a 3 − b 3 = (a − b ) · (a 2 + a b + b 2 )

8x 3 − 27 = ( 2x − 3) (4x 2 + 6x + 9)

Prod u cto d e d os b in omios qu e t ien en u n términ o comú n

(x + a ) (x + b ) = x 2 + ( a + b ) x + a b

( x + 2) (x + 3) =

= x 2 + (2 + 3)x + 2 · 3 =

= x 2 + 5x + 6

Ej erc ic ios resu eltos d e p rod u ctos n ota b les

1 Desa rro l la los b in omios a l cu a d ra d o.

1 (x + 5) 2 =

= x 2 + 2 · x · 5 + 5 2 =

= x 2 + 10 x + 25

2 (2x - 5) 2 =

= (2x ) 2 - 2 · 2x · 5 + 5 2 =

= 4x 2 - 20 x + 25

2 (2x - 5) 2 =

= (2x ) 2 - 2 · 2x · 5 + 5 2 =

= 4x 2 - 20 x + 25

4

2Desa rro l la los b in omios a l cu b o.

1 (2x - 3) 3 = (2x ) 3 - 3 · (2x ) 2 · 3 + 3 · 2x · 3 2 - 3 3 =

= 8x 3 - 3 6 x 2 + 5 4 x - 27

2 (x + 2) 3 = x 3 + 3 · x 2 · 2 + 3 · x · 2 2 + 2 3 =

= x 3 + 6 x 2 + 1 2 x + 8

3 (3x - 2) 3 = (3 x ) 3 − 3 · (3x ) 2 · 2 + 3 · 3x · 2 2 − 2 3 =

=27x 3 − 54 x 2 + 36 x − 8

4 (2x + 5) 3 = (2 x ) 3 + 3 · (2x ) 2 · 5 + 3 · 2x · 5 2 + 5 3 =

= 8x 3 + 60 x 2 + 150 x + 12 5

3Desa rro l la la s su ma s p or d i f eren cia s

1 (3x - 2) · (3x + 2) =

= (3x ) 2 − 2 2 =

= 9x 2 − 4

2 (x + 5) · ( x − 5) =

= x 2 − 25

3 (3x - 2) · (3x + 2) =

= (3x ) 2 − 2 2 =

= 9x 4 − 4

4 (3x - 5) · (3x - 5) =

= (3x ) 2 − 5 2 =

= 9x 2 − 2 5

FÓRMULA DE LOS PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE LA SUMA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA SUMA

( a + b )2 = a2 + 2ab +b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

CUBO DE UNA DIFERENCIA

( a - b )2 = a2- 2ab + b2

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 -b3

PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES

PRODUCTO DE DOS BINOMIOS DE LA FORMA

(a + b) (a - b) = a2 -b2

(x + a) (x + b) = x2 + (a+b)x +ab

FÓRMULA DE LOS COCIENTES NOTABLES

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la suma de los cubos de dos cantidades entre la suma de las cantidades

Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

Cociente de la diferencia de los cubos de dos cantidades entre la diferencia de las cantidades

Teorema d el resto

El resto d e la d iv is ión d e un po l in omio P(x) , entre un p ol in omio

de l a forma (x - a ) es e l va lor n u mérico de d i cho p ol in omio para e l

va l or : x = a .

P (x )= x 4 − 3x 2 +2 Q(x)= x − 3

P (x ) : Q(x )

P (3) = 3 4 − 3 · 3 2 + 2 = 81 − 27 + 2 = 56

Teorema d el f a ctor

El p ol inomio P(x) es d iv is ib le por un p ol inomio de l a forma (x -

a ) s i y só l o s i P(x = a ) = 0 .

A l va l or x = a se l e l l ama ra íz o cero de l p o in omio P(x) .

P (x ) = x 2 − 5x + 6

P (2) = 2 2 − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

P (3) = 3 2 − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0

x = 2 y x = 3 son ra íces o ceros d el po l in omio : P (x ) = x 2 − 5x + 6 ,

porque P (2) = 0 y P (3) = 0 .

Ra íces d e u n p o l in omio

1Los ce ros o ra íce s d e u n p o l in omio son d iv isores d el tér min o

in d ep end ien te de l pol i nomi o.

2A cada ra íz del t i po x = a l e corresponde un b in omio de l t i po (x

— a ) .

3Podemos expresar un p ol inomio en f a ctores a l escr i b i r l o como

p rod u cto de todos l os b inomios de l t i po (x — a ) , que se correspond an

a l as ra í ces , x = a , que se ob teng an.

x 2 − 5x + 6 = (x − 2) · ( x − 3)

4La su ma d e los exp on en tes d e los b in omios ha de ser i g ua l a l

gra d o d el p o l inomio .

5Todo p ol in omio que n o teng a términ o i n d ep en d ien te admi te

como ra í z x = 0 , ó l o que es l o mi smo, admi te como f a ctor x .

x 2 + x = x · ( x + 1)

Raí ces : x = 0 y x = − 1

6U n p ol inomio se l l ama i r red u cib le o p rimo cuando n o puede

d escomp on erse en f a ctores .

P (x ) = x 2 + x + 1

Ej e rc ic io

Ha l la r la s ra íce s y d escomp on er en f a ctores e l p o l in omio :

Q(x ) = x 2 − x − 6

Los d i v i sores de l térmi no i ndependi ente son ±1, ±2 , ±3.

Q(1) = 1 2 − 1 − 6 ≠ 0

Q(−1) = (−1) 2 − (−1) − 6 ≠ 0

Q(2) = 2 2 − 2 − 6 ≠ 0

Q(−2) = (−2) 2 − (−2) − 6 = 4 +2 - 6 = 0

Q(3) = 3 2 − 3 − 6 = 9 − 3 − 6 =0

Las ra í ces son: x= - 2 y x = 3.

Q (x) = (x + 2 ) · (x − 3 )

1ºFa ctor comú n d e u n p o l inomio

Extra er f a ctor comú n a u n po l in omio cons i s te en apl i car l a

p rop ied ad d ist r ib u t iva .

a · x + b · x + c · x = x (a + b + c )

U na ra íz d el p o l in omio será s i empre x = 0

De scompone r e n f actore s sacando f actor común y hal l ar las raíce s

de :

1 x 3 + x 2 = x 2 (x + 1)

La ra íces son: x = 0 y x = − 1

2 2x 4 + 4x 2 = 2x 2 ( x 2 + 2)

Só l o t i ene una ra íz X = 0; ya que e l pol i nomi o, x 2 + 2 , n o t i ene

n i ng ún va l or que l o anul e ; debi do a que a l estar l a x a l cuadrado

s i empre dará un número pos i t i vo, por tant o es i r reduci b l e .

3 x 2 − a x − b x + a b = x (x − a ) − b (x − a ) = ( x − a ) · (x − b )

La ra íces son x= a y x = b .

2º Igu a ld ad n ota b le

1Dif eren cia d e cu a d ra dos

Un a d i f eren cia d e cu ad ra dos es igu a l a su ma p or d i f eren cia .

a 2 − b 2 = (a + b ) · (a − b )

De scompone r e n f actore s y hal lar las raíce s

1 x 2 − 4 = (X + 2) · (X − 2)

La s ra íces son X = − 2 y X = 2

2 x 4 − 16 = (x 2 + 4) · (x 2 − 4) = (X + 2) · (X − 2) · (x 2 + 4 )

La s ra íces son X = − 2 y X = 2

2Trin omio cu a d ra do p erf ecto

Un t r in omio cu ad ra do p erf ecto es igua l a u n b inomio a l

cu a d rad o.

a 2 ± 2 a b + b 2 = (a ± b ) 2

De scompone r e n f actore s los t r inomio cuadrados pe rf e ctos y

hal lar sus ra íce s

La ra íz es x = − 3.

La ra íz es x = 2.

3ºTr in omio d e segu n d o grad o

Para d escomp on er en f a ctores e l t r in om io d e segu n d o grad o

P (x ) = a x 2 + bx +c , se igu a la a cero y se resu elve la ecu a ción d e 2º

gra d o . S i l as so l uci ones a l a ecuaci ón son x 1 y x 2 , e l pol i nomi o

descompuesto será :

a x 2 + b x +c = a · (x -x 1 ) · (x -x 2 )

De scompone r e n f actore s los t r inomios de se gundo grado y hal la r

sus raíce s

La s ra íces son x = 3 y x = 2.

La s ra íces son x = 3 y x = − 2.

De scompone r e n f actore s los t r inomios de cuarto grad o de

e xpone nte s pare s y hal lar sus ra íce s

x 4 − 10x 2 + 9

x 2 = t

x 4 − 10x 2 + 9 = 0

t 2 − 10t + 9 = 0

x 4 − 10x 2 + 9 = (x + 1) · (x − 1 ) · (x + 3) · (x − 3)

x 4 − 2x 2 + 3

x 2 = t

t 2 − 2t + 3 = 0

x 4 − 2x 2 + 3 = (x 2 + 1) · ( x + ) · ( x − )

4º Fa ctor iza c ión d e u n p o l in omio d e gra do su p erior a d os

Ut i l i za mos e l teorema d el re sto y la reg la d e Ru ff in i .

De scomposic ión de un pol inomio de grado supe r ior a dos y cálculo

de sus raíce s

P(x ) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6

1Toma mos los d iv isores d el té rmin o in d ep en d ien te: ±1, ±2, ±3.

2A pl i cando e l teorema d el resto sabremos para que va l ores l a

d i v i si ón es exacta .

P (1) = 2 · 1 4 + 1 3 − 8 · 1 2 − 1 + 6 = 2 + 1− 8 − 1 + 6 = 0

3Div id imos p or Ru f f in i .

4Por se r la d iv is ión exa cta , D = d · c

(x −1) · (2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 )

U na ra í z es x = 1 .

C ont i nuamos real i zando las mi smas operaci ones a l seg undo

factor .

Vol vemos a probar por 1 porque e l pr imer factor podr í a estar

e l evado a l cuadrado.

P (1) = 2 · 1 3 + 3 · 1 2 − 5 · 1 − 6≠ 0

P(−1) = 2 · (− 1) 3 + 3 · (− 1) 2 − 5 · (− 1) − 6= −2 + 3 + 5 − 6 = 0

(x −1) · ( x +1) · (2x 2 +x −6)

Otra ra í z es x = - 1 .

E l tercer factor l o podemos encontrar ap l i cando l a ecuaci ón de

2º g rado o ta l como veni mos haci éndol o, aunque t i ene e l

i nconveni ente de que sól o podemos encont rar ra íces en tera s .

El 1 l o descartamos y seg ui mos probando p or − 1 .

P(−1) = 2 · (−1) 2 + (−1) − 6 ≠ 0

P (2) = 2 · 2 2 + 2 − 6 ≠ 0

P(−2) = 2 · (−2) 2 + (−2) − 6 = 2 · 4 − 2 − 6 = 0

(x −1) · ( x +1) · ( x +2) · (2x −3 )

Sacam os f a ctor comú n 2 en ú l t i mo b i nomi o.

2x −3 = 2 (x − 3/2)

La f a ctor iza c ión d el p o l in omio queda:

P(x) = 2x 4 + x 3 − 8x 2 − x + 6 = 2 (x −1) · (x + 1) · (x +2) · (x − 3/2)

La s ra íces son : x = 1 , x = − 1 , x = −2 y x = 3 /2

Ej erc ic ios resu eltos d e f a ctor iza c ión d e p o l in omios

Factor izar los p ol inom ios

19x 4 − 4x 2 =

x 2 · (9x 2 − 4) =

x 2 · (3x + 2) · (3x − 2)

2x 5 + 20x 3 + 100x =

x · ( x 4 + 20x 2 + 100) =

x · (x 2 + 10) 2

33x 5 − 18x 3 + 27x =

3x · ( x 4 −6 x 2 + 9) =

= 3x · (x 2 − 3 ) 2

42x 3 − 50x =

=2x · ( x 2 − 25 ) =

2x · (x + 5 ) · (x - 5)

52x 5 − 32x =

= 2x · ( x 4 − 16 ) =

2x · ( x 2 + 4) · ( x 2 − 4) =

= 2x · (x 2 + 4 ) · ( x +2) · ( x − 2 )

62x 2 + x − 28

2x 2 + x − 28 = 0

2x 2 + x − 28 = 2 (x + 4 ) · (x − 7/2)

De scompone r e n f actore s los pol in omios

1

2xy − 2x − 3y +6 =

= x · (y − 2) − 3 · (y − 2) =

= (x − 3 ) · (y − 2 )

325x 2 − 1=

= (5x +1) · ( 5x − 1 )

436x 6 − 49 =

= (6x 3 + 7 ) · (6x 3 − 7)

5x 2 − 2x +1 =

= (x − 1 ) 2

6x 2 − 6x +9 =

= (x − 3 ) 2

7x 2 − 20x +10 0 =

= (x − 1 0) 2

8x 2 + 10x +25 =

= (x + 5 ) 2

9x 2 + 14x +49 =

= (x + 7 ) 2

10x 3 − 4x 2 + 4x =

= x · ( x 2 − 4x +4) =

= x · ( x − 2 ) 2

113x 7 − 27x =

= 3x · ( x 6 − 9 ) =

= 3x · (x 3 + 3 ) · (x 3 − 3 )

12x 2 − 11x + 30

x 2 − 11x + 30 = 0

x 2 − 11x + 30 = (x −6) · (x −5)

133x 2 + 10x + 3

3x 2 + 10x +3 = 0

3x 2 + 10x +3 = 3 ( x − 3 ) · (x − 1/3)

142x 2 − x −1

2x 2 − x −1 = 0

2x 2 − x −1 = 2 (x − 1) · (x + 1/2)

Factor izar y h al lar las raíce s de l os po l ino mios

1 2x 3 − 7x 2 + 8x − 3

P (1) = 2 · 1 3 − 7 · 1 2 + 8 · 1 − 3 = 0

(x −1 ) · (2x 2 − 5x + 3 )

P (1) = 2 · 1 2 − 5 · 1 + 3 = 0

(x −1 ) 2 · (2x −3 ) = 2 ( x − 3/2 ) · (x −1 ) 2

La s ra íces son : x = 3/2 y x = 1

2x 3 − x 2 − 4

{±1, ±2 , ±4 }

P (1) = 1 3 − 1 2 − 4 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 − (−1) 2 − 4 ≠ 0

P (2) = 2 3 − 2 2 − 4 = 8 − 4 − 4 = 0

(x − 2) · ( x 2 + x + 2 )

x 2 + x + 2 = 0

(x − 2) · ( x 2 + x + 2 )

Ra í z : x = 2.

3x 3 + 3x 2 −4 x − 12

{±1, ±2 , ±3 , ±4, ±6, ±12 }

P (1) = 1 3 + 3 · 1 2 − 4 · 1 − 1 2 ≠ 0

P(−1) = (−1) 3 + 3 · (−1) 2 − 4 · (−1) − 12 ≠ 0

P (2) = 2 3 + 3 · 2 2 − 4 · 2 − 1 2 = 8 + 12 − 8 − 12 = 0

(x − 2) · ( x 2 + 5x +6)

x 2 + 5x +6 = 0

(x − 2) · ( x + 2) · ( x +3)

Las ra í ces son : x = 2 , x = − 2 , x = − 3.

46x 3 + 7x 2 − 9x + 2

{±1, ±2 }

P (1) = 6 · 1 3 + 7 · 1 2 − 9 · 1 + 2 ≠ 0

P(−1) = 6 · (−1) 3 + 7 · (−1) 2 − 9 · (−1) + 2 ≠ 0

P (2) = 6 · 2 3 + 7 · 2 2 − 9 · 2 + 2 ≠ 0

P(−2) = 6 · (−2) 3 + 7 · (−2) 2 − 9 · (−2) + 2 = − 48 + 28 + 18 + 2 = 0

( x+2) · (6x 2 −5x +1)

6x 2 −5x +1 = 0

6 · ( x + 2 ) · (x − 1/2) · (x − 1/3)

Ra íces: x = − 2 , x = 1/2 y x= 1/3

PREGUNTAS 01) x2 + 8x + 15 02) n2 + n - 20 03)

m2 - 12m + 27 04) x2 - 2x - 24 05) x2 + 20x + 75 06) y2 +

16y - 80 07) x2 - 25x + 100 08) y2 - 6y - 72 09)

10) 11) x2 + 0.6x - 2.16 12) y2- 0.2y - 1.95 13)

x2 + 35x + 300 14) y2 + 10y - 600 15) z2 + 12z - 693 16) w2

- 69w + 1080 17) x2y2 + 34xy + 120 18) z2 - 2.3z + 1.26 19)

w2 + 0.8w + 0.15 20) 403 - 44x + x2

I ng rese a esta d i recc i ón y resue l ve l os e jerc i c i os en l í nea

http://s i pan. i n i cte l . g ob. pe/ i nternet/av/afx. htm

Un a f ra cc ión a lgeb ra ica es e l coc ien te d e d os p o l in omios y se

representa por :

Fra cc ion es a lgeb ra ica s eq u iva len tes

Dos f ra cc ion es a lgeb ra ica s

son eq u iva lentes , y l o representamos por :

s i se ver i f i ca que P(x) · S (x ) = Q (x) · R (x ) .

son f ra cc ion es a lgeb ra ica s eq u iva len tes porque:

(x + 2) · ( x − 2) = x 2 − 4

Dada una f ra cc ión a lgeb ra ica , s i mu lt ip l ica mos e l n u merad or y

e l d en omin ad or de di cha f racc i ón por un mi smo pol in omio di s t i nto de

cero, l a f ra cc ión a lgeb ra ica resu l tante es eq u iva len te a l a dada.

S imp l i f ica c ión d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Para s imp l i f ica r una f ra cc ión a lgeb ra ica se d iv id e el nu mera d or

y e l d en omin ad or de l a f racc i ón por u n p ol in omio que sea factor

común de ambos.

Amp li f ica c ión d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Para a mp l i f ica r una f ra cc ión a lgeb ra ica se mu lt ip l ica e l

n u mera d or y e l d en omin ad or de l a f racc i ón por un p ol in omio .

Red u cción d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s a comú n d enomin a dor

1Se d escomp on en l os d enomin a dores en f a ctores para ha l l ar les

e l mín imo comú n mú lt ip lo , que será e l com ún denomi nador .

x 2 − 1 = (x+1) · ( x − 1)

x 2 + 3x + 2 = (x+1) · ( x + 2)

m. c. m. (x 2 − 1, x 2 + 3x + 2) = (x+ 1) · ( x − 1) · ( x + 2)

2Div id imos e l comú n d en omin ad or entre los d en omin ad ores de

l as f racc i ones dadas y e l resu l tado l o mu lt ip l ica mos por e l n u mera d or

correspondi ente .

Op era cion es con f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Su ma d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Con e l mismo de nomimin ador

Con dist into de nomiminad or

En pr i mer l ugar se ponen l as f ra cc ion es a lgeb ra ica s a comú n

d en omin ad or , poster i ormente se su ma n los n u mera d ores .

Mu lt ip l ica c ión d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Div is ión d e f ra cc ion es a lgeb ra ica s

Ej erc ic ios resu eltos d e f ra cc ion es a lgeb ra i ca s

1 S imp l i f ica r la s f ra cc ion es a lgeb ra ica s

1

2

3

4

5

2Su ma la s f ra cc ion es a lgeb ra ica s

3Resta la s f ra cc ion es a lgeb ra ica s

4Mu lt ip l ica la s f ra cc ion es a lgeb ra ica s

1

2

Op era

5Ef ectú a la s op era c ion es .

6Rea l iza la s op era c ion es .

U na ecu a ción es una igua ld ad que se cumpl e para al g unos

va l ores de l as l e tras.

x + 1 = 2 x = 1

Ejercicios de productos notables

1) (x + 5)2 = 2) (7a + b)2

= 3) (4ab2 + 6xy3)2 = 4) (xa+1 + yb-2)2

=

5) (8 - a)2 = 6 )(3x4 -5y2)2

= 7) (xa+1 - 4xa-2)2

= 8) (5a + 10b)(5a - 10b) =

9 )(7x2 - 12y3)(7x2 + 12y3) = 10) (x + 4)3 = 11) (5x + 2y)3

=

12) (2x2y + 4m)3 = 13) (1 - 4y)3

= 14) (3a3 - 7xy4)3 = 15) (2xa+4 - 8ya-1)3

=

16) (x + 5)(x + 3) = 17) (a + 9)(a - 6) = 18) (y - 12)(y - 7) =

19) (4x3 + 15)(4x3 + 5) = 20) (5ya+1 + 4)(5ya+1 - 14) =

EJERCICIOS DE COCIENTES NOTABLES

PREGUNTAS RESPUESTA

S PREGUNTAS

RESPUESTA

S

a2 - 16 125a3 + 27b3

01 --------- =

a - 4 1

1 ------------ =

25a2 - 15ab +

9b2

a + 4 5a + 3b

25x2 - 49y2 x9 + y6

02 --------------- = 5x - 7y 1

2 ------- = x6 - x3y2 + y4

5x + 7y x3 + y2

4a2 - 16x2y4 27m3 - 1

03 ---------------- = 2a + 4xy2

1

3 --------- = 9m2 + 3m + 1

2a + 4xy2 3m - 1

x2a - y2b 8a12 - 125b15

04 ----------- = xa - yb

1

4 ------------- =

4a8 + 10a4b5 +

25b10

xa + yb 2a4 - 5b5

9 - 36x4

343a3 -

1000b18

05 ----------- = 3 + 6x2

1

5 -------------

- =

49a2 + 70ab6 +

100b12

3 - 6x2 7a - 10b6

16x4 - 25y4

729x3y6 -

512z9

06 --------------- = 4x2 + 5y2

1

6 -------------

- =

81x2y4 +

72xy2z3 + 64z6

4x2 - 5y2 9xy2 - 8z3

(x + y)2 - 100 (a + b)4 - 49m6

07 ----------------- = (x + y) + 10 1

7 -------------

- = (a + b)2 + 7m3

(x + y) - 10 (a + b)2 - 7m3

169 - (a - b)2 x4a+2 - 400

08 ---------------- = 13 + (a - b) 1

8 -------------

- = x2a+1 + 20

13 - (a - b) x2a+1 - 20

1 + x3

09 -------- = 1 - x + x2

1 + x

64x3 + 27y3

10 --------------- = 16x2 - 12xy

+9y2

4x + 3y

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INGRESE A LA DIRECCIÓN ARRIBA DESCRITA Y RESUELVA LOS

EJERCICIOS DE LA EVALUACIÓN

Bibliografía

http://carmesimatematic.webcindario.com/cuadernoactividadescuarto.htm

http://www.vitutor.net/1/38.html Los conteni dos y t i tu l ar i dad del domi ni o

corresponden a J uan C arl os Fernández Gordi l l o , para más i nformaci ón

sobre v itu tor.n et puedes consul tar l a pág i na:

http://www. whoi s. net/whoi s_new. cgi ?d=v itutor . net&tl d=com .

http://www.eduteka.org/SoftMath5.php Ministerio de Educación Nacional de Colombia (MEN),

Estándares Curriculares para Matemáticas, Bogotá, Mayo de 2003

Allendoerfer, C y Oakley, Cletus O. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición

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Arya, J y Lardner, R. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.

Tercera edición. Editorial Prentice Hall. 1989. capítulos 1 al 6.

Materiales de apoyo elaborados por el tutor sobre álgebra básica y ecuaciones y sus

aplicaciones.

Sydsaeter – Hammond, Knut – Meter J.: Matemáticas para el análisis económico;

Prentice – Hall, 1996.