Universidad Centroamericana José Simeón Cañas

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Matemática

Primera Guía Matemática II

Profesor: Ing. Eduardo Escapini Instructor: Jonathan Landaverde

Parte I. Calcule las siguientes integrales indefinidas.

1) Encuentre la Antiderivada o primitiva más general de las siguientes funciones.

a)3

2 26 8 R/ 3 83

xx x x x C

b) 3/21 2 R/ 2

3x x x C

x

c) 3 2 22 1 R/xx x C

x

d) 2

2-2cos R/- 2 2

t t tt x sen t C

t x

e) 2 7 17cos 9 sec 2 R/ 9 tan 2

9 2x x sen x x C

f)

3/2

3/2

5 1 102 1 R/ 2 1

3 7 7 27 2x x C

xx

g) 2/3 2/3

3/22/3 2/3

1/3 R/-

a xa x C

x

h) 11/2 9/2 7/2 5/2 3/25 1 2 8 12 8 2

7 R/ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 132 11 9 7 5 3

x x x x x x x C

2) Halle y=f(x) e interprete el resultado si:

3) Halle y=f(x) e interprete el resultado si:

4) Calcular las siguientes integrales indefinidas.

Parte II. Notación sigma.

1) Determine el valor de las sumatorias expandiendo cada uno de sus términos y sumándolos entre sí.

1.

4

k=1

1 1 91+ ; R/

k k+2 30 4.

4k

k=1

-1 cos kπ ; R/ 4

2.10

i-4

i=4

2 ; R/ 127 5.

6

p=3

2 17; R/

p p-2 15

3.10

m

m=1

m; R/ 13.151164 6.5

35

1 R/0.290198

4 2z z z

2) Exprese las siguientes sumatorias transformándolas a su forma equivalente cambiando el valor inicial de la misma por el valor dado, sumando o restando según convenga de los respectivos términos y subíndices.

1. 10 15

j=-5 j=0

1 1 Desplazar a j=0 ; R/ j j-5

2. 20 15

k=0 k-5

k+7 Desplazar a k=-5; R/ k+12

3. -5 6

r r-11

r=-10 r=1

7 Desplazar a r=1; R/ 7

4.

20 17

n=3 n=0

1 1 Desplazar a n=0; R/

n-7 n-2! n-4 n+1 !

5. 5 2

p p+3

p=1 p=-2

(2p)! Desplazar a p=-2; R/ (2p+6)!

3) Evalúe las siguientes sumatorias utilizando propiedades, teoremas y fórmulas según sea conveniente. No evalúe cada término a menos que desee perder su tiempo.

1. 10

t=1

5t-1 ; R/ 256 6. 5 5

k=1 k=1

1 1 20- ; R/

2k+1 2k-3 99

2. 10000

k=2

k- k-1 ; R/ 99 7.3 2200

k=1

k +3k -6k-8 ; R/2666200

k+4

3. 100

2

j=1

7j +20j-10 ; R/2468450 8. 50

2log i+1 2log i

i=1

10 -10 ; R/2600

4.

50

w=1

w+2! ; R/ 1756950

w-1 ! 9. .

n

2 2 2-k k k-1 -k+1 n -n

k=1

3 -3 - 3 -3 ; R/ 3 -3

5. 6

2i-5

i=2

1 341 ; R/

2 128 10.

20 15-3i 2 3

k=1 i=2

5 +k i ;R/41325130.0013

Parte III. Cálculo de áreas.

1. En los siguientes ejercicios determine el valor del área limitada por la gráfica de la función dada y el eje x en el intervalo indicado.

2. En los siguientes ejercicios obtenga el área de la región limitada por las gráficas de las funciones dadas.

3. Determine el valor del área de la región limitada por las siguientes funciones.

4. A continuación se presentan una serie de problemas en los cuales debe calcular el valor de área de la región, siguiendo las indicaciones dadas.

Parte IV. Cálculo de volúmenes.

I. Encuentre el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por las curvas dadas alrededor del eje especificado. Haga además una gráfica de la región del sólido.

II. Calcular el volumen de cada uno de los sólidos generados.

1. La región acotada por las curvas y=x3 , y2=x que gira en torno a: a. Al eje OY b. Al eje OX c. A la recta x=1 d. A la recta y=1

2. Determine el volumen de los sólidos generados al hacer girar las regiones acotadas por las rectas y las curvas alrededor del eje x y alrededor del eje y. a. y=x2, y=0, x=2 b. y=x3, y=0, x=2 c. y=x-x2, y=0 d. y=(9-x2)0.5, y=0 e. y=x, y=1, x=0 f. y=2x0.5, y=2, x=0 g. y=x2+1, y=x+3 h. y=4-x2, y=2-x i. x=y0.5,x= -y, y=2 j. x=2y-y2,x=0 k. y=x0.5, y=x-2, y=0 l. y=x0.5, y=2-x, y=0 m. y=x, y= -x/2, x=2 n. y=2-x2, y=x2, x=0 o. y=2x-1, y=x0.5, x=0

Parte V. Aplicaciones

7. La población de una ciudad decrece a una tasa proporcional a su tamaño. En 1980 la

población fue de 50000 habitantes y en 1990 fue de 44000 habitantes.

a. Si y es la población t años a partir de 1980, exprese y como una función de t.

1022/ 50000

25

t

R

b. Cuanto será la población en el año 2000 / 38720 habitantesR

8. Un cultivo de bacterias crece a una tasa proporcional al numero de bacterias presentes. Se

tienen 1000 bacterias presentes ahora y el numero se duplicara en 30 minutos.

a. Si y bacterias estan presentes a los t minutos a partir de ahora exprese y como una

funcion de t. / 1000 4t

R

b. Cuantas bacterias se tendran dentro de 2 horas. / 16000R bacterias

c. Dentro de cuanto tiempo se tendran 50000 bacterias / 2 49 minR hr

9. Si se lleva un termometro de una habitacion en la cual la temperatura es de 75 hacia el

exterior donde la temperatura es de 35 y la lectura en el termometro es de 65 despues

de 30 segundos.

a. ¿Cuánto tiempo despues la lectura en el termometro sera de 50 ? / 1: 42 minutosR

b. ¿Cuál sera la lectura en el termometro despues de 3 minutos? / 42.1R