Guia 1 Algebra II

Álgebra II - Guía 1 TEOREMA DEL BINOMIO DE NEWTON Bachillerato Ingeniería Prof. María Ignacia Díaz E. 1. Simpli ﬁcar las expresiones: (n + 2)! n! n! − (n − 1)! (n − 1)! 4n 3n 3n 2n 2n n n+1 3 n 3 n+1 r+1 n r (n + 1)! − n! n! + 1 2 n(n − 1)! n+1 r+1 n r−1 n k + 2 n k − 1 + n k − 2 2. Demostrar que: (2n)! n! = 2 n [1 · 3 · 5 · 7 ··· (2n − 1)] , n k − 1 + 2 n k + n k + 1 = n + 2 k + 1 , 1 + n + 1 n = n + 2 n + 1 3. Sean k,p,n naturales tales que 0 ≤ k ≤ p ≤ n. Prueba las siguientes igualdades: (a) n k n−k p−k = n p p k (b) n 0 n p + n 1 n−1 p−1 + ··· + n p n− p 0 = 2 p n p (c) n k = n+1 k+1 − n k+1 4. Demostrar que n k − 1 + 2 n k + n k + 1 = n + 2 k + 1 5. Si la expresión 2 5 · 11 · 10 · 9 · 8 · 7 5! · ( 3 √ x) 6 · y 5 corresponde al sexto término del desarrollo de un binomio, determinar el binomio y el exponente de este. 6. Desarrollar: (3x + 2y) 6 , (1 − x) 7 , ( 3 √ x 6 + 1 x ) 6 , (x 3 − 1 x ) 5 7. Calcular el quinto término en el desar rollo de (2 n + 1 2 n ) 9 . 8. Encon trar los coeﬁcie ntes de los términos indicados e los desarroll os correspondie ntes : (a) x 11 en: (3x + 2x 2 ) 7 (b) x 2 en: ( 3 √ x + 2 x 2 ) 27 (c) x 5 en: (2x + 3 x ) 13 (d) x 2r en: (1 − x 2 ) 4r

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