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Universidad
Mayor de
San Andrés
Aux. Doc. Ayar Yuman Paco Sanizo 1 | P á g i n a
Investigación Operativa I
- IND 551-
GUÍA N°1
FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL – PARTE 1
I. PASOS PARA LA FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL
Identificar las variables de decisión.
Identificar las restricciones.
Identificar la función objetivo.
II. TIPOS DE PROBLEMAS
Los problemas más conocidos en los que se aplican los modelos de programación lineal son los
siguientes:
Problemas de planeamiento de la producción.
Problemas de dieta.
Problemas de mezclas.
Problema de transporte.
Problemas de inversión.
Problemas de distribución del trabajo.
Etc.
III. EJERCICIOS
1. Una pequeña fábrica en la ciudad de El Alto produce dos productos A y B, y los vende cada
domingo en la feria 16 de Julio. Para la producción de los mismos se requiere de dos
recursos R1 y R2. El producto A esta compuesto por 1 unidad del recurso R1 y 2 unidades
del recurso R2. Por otro lado, el producto B está compuesto por 1 unidad del recurso R1 y
3 del recurso R2. Revisando en almacenes se identifica que el productor actualmente tiene
20 unidades del recurso R1 y 60 unidades del recurso R2. Finalmente, la ganancia por la
venta de los productos A y B es de 6 y 5 bolivianos por unidad respectivamente. Como
pasante en esta pequeña empresa se le pide formular un modelo para programar la
producción que maximice la ganancia total de este domingo.
2. Una compañía de fabricación de muebles ha de determinar cuántas mesas, sillas, pupitres
y librerías debe hacer para optimizar el uso de sus recursos. Estos productos utilizan dos
tipos diferentes de paneles, y la compañía dispone de 1500 tableros de un tipo y 1000 de
otro tipo. Por otro lado cuenta con 800 horas de mano de obra. Las predicciones de venta
así como los pedidos atrasados exigen la fabricación de al menos 40 mesas, 130 sillas, 30
pupitres y como máximo 10 librerías. Cada mesa, silla, pupitre y librería necesita 5, 1, 9, y
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12 tableros, respectivamente, del primer tipo de panel y 2, 3, 4, y 1 tableros del segundo.
Una mesa requiere 3 horas de trabajo; una silla, 2; un pupitre, 5; y una librería 10. La
compañía obtiene un beneficio de 12 dólares en cada mesa, 5 dólares en cada silla, 15
dólares en un pupitre, y 10 dólares en una librería. Plantéese un modelo de programación
lineal para maximizar los beneficios totales.
3. El departamento de nutrición del Hospital Obrero prepara 30 menús de cena, uno para
cada día del mes. Uno de estos platos consiste en fideo, pollo, papas, espinacas y pastel de
manzana. El director del departamento de nutrición ha determinado que esta comida
debe proporcionar 63000 miligramos de proteínas, 10 mg de hierro, 15 mg de niacina, 1
mg de tiamina y 50 mg de vitamina C. Cada 100 gramos de esta comida proporciona la
cantidad de cada nutriente y grasas indicadas en la siguiente tabla:
Ahora, para evitar demasiada cantidad de un tipo de alimento, se establece que no debe
incluirse más de 300 gramos de fideo, 300 gramos de pollo, 200 gramos de papas, 100
gramos de espinacas y 100 gramos de pastel de manzana. El director del departamento de
nutrición requiere determinar una composición que satisfaga los requerimientos
nutricionales y proporcione la mínima cantidad de grasas.
Dado que usted está realizando una práctica de Investigación de Operaciones en este
hospital para realizar su proyecto en el tema Salud, el director del departamento de
nutrición le da como primera tarea formular un modelo para resolver la actual
problemática.
4. El TAM (Transporte Aéreo Militar) reabastece sus naves regularmente en los cuatro
aeropuertos en donde da servicio. La turbosina (combustible para aviones) puede
comprarse a tres vendedores posibles en cada aeropuerto. La siguiente tabla muestra el
costo de entrega (compra más embarque) por mil galones de cada vendedor a cada
aeropuerto, el número disponible de miles de galones que cada vendedor puede
suministrar cada mes y el requerimiento mensual de turbosina en miles de galones en
cada aeropuerto.
Alimentos Contenido [mg/100gr]
Proteínas Hierro Niacina Tiamina Vitamina C Grasa
Fideo 5000 1.1 1.4 0.18 0.0 5000
Pollo 29300 1.8 5.4 0.06 0.0 5000
Papas 5300 0.5 0.9 0.06 10.0 7900
Espinacas 3000 2.2 0.5 0.07 28.0 300
Pastel de manzana 4000 1.2 0.6 0.15 3.0 14300
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Aeropuerto Costos de entrega [$/mil galones] Combustible
requerido [mil galones]
Vendedor 1 Vendedor 2 Vendedor 3
1 900 800 900 150
2 900 1200 1300 250
3 800 1300 500 350
4 1000 1400 1000 480
Provisión máxima [mil galones]
300 600 700
Formule un modelo para determinar las cantidades que se deben comprar y enviar por
parte de cada vendedor a cada aeropuerto para minimizar el costo total, satisfaciendo al
mismo tiempo por lo menos la demanda mensual a cada aeropuerto y no excediendo el
suministro de cualquier vendedor.
5. Hoy es tu día de suerte, ganaste un premio de $10000, lo primero que haces es apartar
$4000 para viajar y festejar pero también has decidido invertir los restantes $6000.
Después de escuchar estas noticias, 2 amigos te ofrecieron la oportunidad de convertirte
en socio de sus respectivos emprendimientos. En ambos casos, esto implica que deberás
invertir tu tiempo en del semestre como también cierta cantidad de dinero. Ahora, para
convertirte en un socio por completo en el emprendimiento de tu primer amigo, tienes
que invertir $5000 y 400 horas, y tu ganancia esperada seria de $4500 (sin tomar en
cuenta el valor de tu tiempo). Por otra parte, en el emprendimiento de tu segundo amigo
debes invertir $4000 y 500 horas, y tu ganancia esperada es de $4500. De todas formas,
como tus amigos son comprensibles te dejarán ser socio en cualquier fracción que quieras,
lo que significa que tanto tu inversión de tiempo y dinero como tu ganancia se deberán
multiplicar por la fracción que escojas.
Como estas buscando algo interesante para este semestre, decides participar en uno o los
dos proyectos de tus amigos en cualquier combinación que maximice tu ganancia
esperada total. Con tus conocimientos adquiridos en programación lineal formula un
modelo para resolver esta situación. Tu tiempo disponible en el semestre es de 600 horas.
6. Dado a los constantes atracos, durante cada periodo de 4 horas la policía en la zona Garita
de Lima necesita la siguiente cantidad de policías en servicio: de 12 de la noche a 4 a.m., 8;
de 4 a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a 12 del día, 6; de 12 a 4 p.m., 6; de 4 a 8 p.m.,5 y de 8 p.m. a
medianoche, 4. Cada oficial de policía trabaja dos turnos consecutivos de 4 horas. Plantee
un PL que sea útil para minimizar el número de policías necesarios para cumplir las
demandas diarias de la zona.
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7. Una empresa produce un solo producto y desea planificar su producción de tal forma que
pueda minimizar costos. Las demandas estimadas para los próximos 4 meses son 1000,
800, 1200 y 900 unidades respectivamente. Mensualmente la empresa tiene una
capacidad de producción en tiempo regular de trabajo de 800 unidades y una capacidad
en tiempo extra igual a 200 unidades. El costo de producción en tiempo regular de trabajo
es de Bs 20 por unidad y el costo en tiempo extra es de Bs 25 por unidad. La empresa
puede tener inventarios, el costo de almacenamiento es de Bs 3 por unidad al mes y es
importante que se cumpla la demanda en cada mes. Formule un modelo de programación
lineal para resolver la situación.
8. Pedro tiene $6000 que quiere invertir de tal forma que pueda usar la acumulación para
tener una anualidad de retiro en 5 años. Después de consultar con su consejero financiero,
se le ha ofrecido 4 tipos de inversiones de renta fija A, B, C y D.
Las inversiones A y B están disponibles al inicio de cada uno de los siguientes 5 años. Cada
dólar invertido en A al inicio de un año genera $1.4 después de 2 años y cada dólar
invertido en B al inicio de un año genera $1.70 después de 3 años. Las inversiones C y D
solo estarán disponibles en un tiempo futuro. Cada dólar invertido en C al inicio del año 2
genera $1.90 al final del año 5. Cada dólar invertido en D al inicio del año 5 genera $1.30 al
final del mismo año.
Pedro desea saber qué plan de inversión maximizará el monto que puede ser acumulado
al inicio del año 6. Al no tener conocimientos en investigación de operaciones, Pedro
acude a usted para que formule un modelo que resuelva su problema.
9. Chemco elabora tres productos: A, B y C. Puede vender hasta 30 libras de cada producto a
los siguientes precios por libra: producto A, 10 dólares; producto B, 12 dólares; producto
C, 20 dólares. Chemco compra materia prima a 5 dólares la libra. Cada libra de materia
prima se puede utilizar para elaborar 1 libra de A o 1 libra de B. Por un costo de 3 dólares
la libra, el producto A procesado se puede transformar en 0.6 libras de producto B y 0.4
libras de producto C. Por un costo de 2 dólares la libra, el producto B procesado se puede
convertir en 0.8 libras de producto C. Plantee un PL cuya solución le permita a Chemco
maximizar sus utilidades.
10. Una compañía de seguros opina que se necesitarán las cantidades siguientes de
computadoras personales durante los próximos seis meses: Enero, 9; Febrero, 5; Marzo, 7;
Abril, 9; Mayo, 10; Junio, 5. Es posible rentar las computadoras por periodos de 1, 2 o 3
meses a las siguientes tarifas unitarias: tarifa por un mes, 200 dólares; tarifa por dos
meses, 350 dólares; tarifa por tres meses, 450 dólares. Plantee un PL que se pueda utilizar
para minimizar el costo por la renta del equipo necesario.
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Podría suponerse que si se renta una maquina por un periodo que se prolonga después de
junio, el costo de la renta prorratea. Por ejemplo, si se renta una computadora por tres
meses al principio de mayo, entonces la tarifa de la renta de 2/3(450)=300, no 450
dólares, debe establecerse en la función objetivo.
PRÁCTICA Nº 0
1. ¿Qué es la ingeniería industrial?
2. ¿Por qué estas estudiando ingeniería industrial?
3. ¿Qué es la investigación de operaciones?
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PRÁCTICA Nº 1
1. Una empresa fabrica los productos A, B y C, y puede vender toda su producción a los
siguientes precios: el producto A a $700 por unidad, el producto B a $3500 y el producto C
a $7000. Producir cada unidad de A requiere de 1 hora de proceso, 2 horas de acabado y 3
unidades de materia prima. Producir una unidad de B requiere de 2 horas de proceso, 3
horas de acabado y 2.5 unidades de materia prima. Producir una unidad de C requiere 3
horas de proceso, 1 hora de acabado y 1 unidad de materia prima. Para este periodo de
planificación, dispone de 100 horas de proceso, 200 horas de acabado y 600 unidades de
materia prima. Formule un modelo de programación lineal que maximice los ingresos de la
empresa.
2. Modifique el ejercicio 2 realizado en clases para imponer que deban fabricarse cuatro
sillas por cada mesa.
3. Juan es un profesor de una escuelita en Coroico y también cría cerdos para tener ingresos
extra. El está tratando de decidir que darles de comer a sus cerdos ya que al perecer están
enflaqueciendo. Juan está considerando usar una combinación de comidas para cerdo
disponibles en distribuidores locales. El quisiera alimentar sus cerdos a un costo mínimo
pero al mismo tiempo quiere estar seguro que cada cerdo recibirá una adecuada cantidad
de calorías y vitaminas. El costo y el contenido de calorías y vitaminas se muestra en la
siguiente tabla:
Contenido Comida tipo A Comida tipo B
Calorías [cal/lb] 800 1000
Vitaminas [mg/lb] 140 70
Costo [$/lb] 0.40 0.80
Cada cerdo requiere por lo menos 8000 calorías al día y al menos 700 mg de vitaminas.
Además, dado que la comida de tipo A contiene un ingrediente que es toxico si es
consumido en grandes cantidades, se establece que no más de un tercio de la dieta en
peso debe consistir de la comida de tipo A. Formule un modelo de programación lineal
para esta situación.
4. Cosmic Computer Company es una ensambladora de microcomputadoras que tiene
plantas en San Francisco, Los Ángeles y Phoenix. La planta de Los Ángeles tiene una
capacidad de producción mensual de 2000 unidades. Cada una de las plantas de San
Francisco y Phoenix puede producir un máximo de 1700 unidades. Las microcomputadoras
de Cosmic Computer Company se venden a través de cuatro tiendas detallistas localizadas
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en San Diego, Barstow, Tucson y Dallas. Los pedidos mensuales de los vendedores al
menudeo son de 1700 unidades en San Diego, 1000 en Barstow, 1500 en Tucson y 1200 en
Dallas.
La tabla que se muestra a continuación contiene el costo de embarque de una
microcomputadora desde cada planta de ensamblaje hasta cada una de las distintas
tiendas minoristas. Su trabajo es formular un modelo matemático para encontrar el
programa de embarque de mínimo costo.
Costos de embarque [$/unidad]
Plantas Tiendas
San diego Barstow Tucson Dallas
San Francisco 5 3 2 6
Los Ángeles 4 7 8 10
Phoenix 6 5 3 8
5. Después de unos años de ahorro trabajando como gerente administrativo usted podría
invertir hasta 1000 dólares. Este dinero lo podría invertir en acciones o en préstamos.
Cada dólar invertido en acciones rinde 10 centavos de utilidad y cada dólar invertido en un
préstamo rinde 15 centavos de utilidad. Después de pensar un poco usted se plantea dos
políticas: la primera es que por lo menos 30% de todo el dinero debe ser invertido en
acciones y la segunda es que por lo menos 400 dólares se inviertan en préstamos. Como
buen ingeniero industrial usted inmediatamente se da cuenta que se encuentra en una
situación típica que puede ser resuelta con un modelo de programación lineal y lo único
que le queda es formularlo para que pueda maximizar la utilidad total ganada por sus
inversiones.
6. Cada hora desde las 10 a.m. hasta las 7 p.m. el Banco Nacional de Bolivia (BNB) recibe
cheques y debe procesarlos. Su objetivo es procesar todos los cheques el mismo día en
que los recibe. El BNB tiene 13 máquinas procesadoras de cheques, cada una de las cuales
tiene una capacidad de procesar hasta 500 cheques por hora. Se requiere un trabajador
que opere cada máquina. El BNB contrata empleados de tiempo completo y de medio
tiempo. Los trabajadores de tiempo completo trabajan de 10 a.m. a 6 p.m., de 11 a.m. a 7
p.m. o de medio día a 8 p.m., y cobran 160 dólares diarios. Los empleados de medio
tiempo trabajan de 2 p.m. a 7 p.m. o de 3 p.m. a 8 p.m. y se les paga 75 dólares al día.
Como al BNB le interesa conservar la continuidad, opina que deber tener por lo menos 2
trabajadores de tiempo completo bajo contrato. Desarrolle un MPL para establecer un
horario de trabajo de costo mínimo que tenga procesados todos los cheques a las 8 p.m. El
número de cheques que se recibe en cada hora se presenta en la siguiente tabla:
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Hora Cheques recibidos
10 a.m. 5000
11 a.m. 4000
12 p.m. 3000
1 p.m. 4000
2 p.m. 2500
3 p.m. 3000
4 p.m. 4000
5 p.m. 4500
6 p.m. 3500
7 p.m. 3000
7. La panadería “La Familia” hornea rollos de queso y queques. Durante cualquier mes puede
hornear cuando mucho 65 unidades de estas masitas. Los costos por unidad y la demanda
de estas masitas, la cual se debe se debe cumplir a tiempo, se proporcionan en la tabla
inferior. Ahora, a la panadería le cuesta 3 Bolivianos conservar un rollo de queso y 2
Bolivianos conservar un queque en inventario por un mes. Plantee un PL para minimizar el
costo total por cumplir la demanda de los tres meses siguientes.
Producto
Mes 1 Mes 2 Mes 3
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Demanda [unid]
Costo [Bs/unid]
Rollo de queso 40 21 30 22 20 24
Queque 20 17 40 18 10 22
8. Usted es analista financiero. Lady Gaga acudió a usted porque necesita que la ayuden a
liquidar sus cuentas de tarjeta de crédito. Ella debe a sus tarjetas de crédito las cantidades
que se indican a continuación:
Tarjeta Saldo (dólares) Tasa mensual (%)
MasterCard 20000 0.5
Diners Club International 50000 1.0
Visa 40000 1.5
Lady Gaga desea asignar hasta 5000 dólares por mes para liquidar estas tarjetas de
crédito. Todas las tarjetas de crédito se deben liquidar en 36 meses o Lady Gaga ira a la
cárcel. El objetivo de Lady Gaga es minimizar el total de todos sus pagos. Para resolver
este problema, usted debe entender cómo influyen los intereses sobre un préstamo. Para
ilustrarlo, suponga que Lady Gaga paga 5000 dólares en MasterCard durante el mes 1.
Entonces, su saldo en MasterCard al principio del mes 2 es:
20000 - (5000 - (0.005(20000))
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Esto es así porque Lady Gaga incurrió en cargos por intereses de 0.005(20000) durante el
mes 1 sobre su tarjeta de MasterCard. Formule un MPL para que Lady Gaga no vaya a la
cárcel. Su recompensa por un buen trabajo será el 10% de las ganancias totales por las
ventas de su nuevo álbum a lazarse este año.
9. Repsol produce dos tipos de gasolina, Efitec 95 y Efitec 98, a partir de dos tipos de crudo,
el crudo 1 y el crudo 2. La Efitec 95 puede contener hasta 4% de impurezas, en tanto que
la Efitec 98 puede tener hasta 3%. La Efitec 95 se vende en 8 dólares el barril y la Efitec 98
se vende a 12 dólares el barril. Se pueden vender hasta 4200 barriles de gasolina Efitec 95,
y de Efitec 98, hasta 4300 barriles. El costo por barril de cada crudo, la disponibilidad y la
concentración de impurezas en cada crudo se encuentra en la siguiente tabla:
Petróleo crudo
Costo [$/barril]
Grado de impurezas %
Disponibilidad [barriles]
Crudo 1 6 10 5000
Crudo 2 8 2 4500
Antes de mezclar los crudos para obtener gasolina es posible purificar cada uno de ellos a
un costo de 0.50 dólares el barril. La purificación elimina la mitad de las impurezas del
petróleo crudo. Formule un modelo matemático que permita maximizar las ganancias.
10. El servicio interno de ingresos ha determinado que durante cada uno de los 12 meses
siguientes se requerirá la cantidad de supercomputadoras que se señala en la tabla
inferior. Para cumplir con estas condiciones, esta institución renta supercomputadoras por
un periodo de uno, dos y tres meses. Cuesta 100 dólares rentar una supercomputadora
por un me, 180 dólares por dos meses y 250 dólares por tres meses. Al empezar el mes 1
esta institución no tiene supercomputadoras. Determine el plan de renta que cumpla con
las condiciones de los 12 meses siguientes a un costo mínimo.
Mes Cantidad de computadoras
1 800
2 1000
3 600
4 500
5 1200
6 400
7 800
8 600
9 400
10 500
11 800
12 600