Microeconoma II. Ctedra: S. AugusteGua No 1: Relaciones de preferencias

1. Probar que si % es racional, entonces y son transitivas.2. *Probar que si X es un conjunto nito y la relacin de preferencia %

denida en X racional, entonces existe un mximo. Es nico?

3. *Probar que si f : < ! < es estricamente creciente y u : X ! < esuna funcin de utilidad representando las preferencias % entonces la funcinv : X ! < donde v = f u es tambin una funcin de utilidad representando lamisma relacin de preferencias % :

4. Considere la relacin de preferencias racional % : Muestre que si u(x) =u(y) implica x y, y si u(x) > u(y) implica x y, entonces u() es una funcinde utilidad que representa a & :

5.* Pruebe que si X es nito y % es una relacin de preferencia racionalsobre X , existe una funcin de utilidad u : X ! R que representa % :

6. Analizar si las funciones de utilidad lineales (sustitutos perfectos), Leon-tief (complementos perfectos), Cobb Douglas y CES son: a) homogneas, b)homotticas, c) convexas y d) montonas.

7. (Varian ej 7.1) Considere las preferencias denidas en R2 por (x1; x2)(y1; y2)si x1+x2

Respuestas:a. Sib. Son montonas pero no estrictamente montonas ya que ms de

uno solo de los bienes manteniendo constantes los otroso no implica una canastams preferida (ampliar con bibliografa)

c.Son estrictamente convexas y por lo tanto tambin son convexas.(ampliar con bibliografa)

11. Siguiendo con el ejercicio anterior y suponiendo que Juan tiene un ingresode "m" y todo su ingreso lo utiliza para consumir x e y, tal que m = px:x+py:y:

a. Encuentre las demandas Marshallianas de Juan.b. Suponiendo que m = 100 px = 10 py = 40;encuentre las canti-

dades consumidas por Juan en el ptimo.c. Suponiendo que m = 100 px = 40 py = 10;encuentre las canti-

dades consumidas por Pedro en el ptimo.

Respuestas:a. x(px; py;m) =

m

px + py= y(px; py;m) =

m

px + pyb. x = y = 2c. x = y = 2

12. Repita el ejercicio 11 pero utlizando la siguiente funcin de utilidad:u(x; y) = min[2x; y]:

d. Discuta la siguiente frase: "Si consideramos que uno de los bieneses el te y otro el azucar y Juan le pone 2 de azucar por cada te, entonces "x"es el te e "y" son las cucharadas de azucar."

Respuestas:

d. La frase es verdadera. Dada la funcin de utilidad Juan necesitados de y(azucar) por cada te.

13. A Pedro le dan exactamente lo mismo las empanadas de carne y lasde pollo. Sus preferencias se pueden representar con la siguiente funcin deutilidad:u(x; y) = x+ y

a. Son las preferencias de Pedro racionales? Por qu?b. Son las preferencias de Pedro montonas y/o estrictamente

montonas? Por qu?c.Son las preferencias de Pedro convexas y/o estrictamente con-

vexas? Por qu?

Respuestas:a. Si. Ver Bibliografa.b. Son estrictamente montonas (ms de cualquier bien es mejor)

y por lo tanto son tambin montonas.(ampliar con bibliografa)

2

c.Son convexas pero no estrictamenet convexas. (ampliar con bib-liografa)

14. Siguiendo con el ejercicio anterior y suponiendo que Pedro tiene uningreso de "m" y todo su ingreso lo utiliza para consumir x e y, tal que m =px:x+ py:y:

a. Encuentre las demandas Marshallianas de Pedro.b. Suponiendo que m = 100 px = 10 py = 40;encuentre las canti-

dades consumidas por Pedro en el ptimo.c. Suponiendo que m = 100 px = 40 py = 10;encuentre las canti-

dades consumidas por Pedro en el ptimo.d. Suponiendo que m = 100 px = 20 py = 20;encuentre las canti-

dades consumidas por Pedro en el ptimo.

Respuestas:

a. x(px; py;m) =

mpxsi pxpy < 1

t:mpx sipxpy= 1

0 si pxpy > 1y(px; py;m) =

0 si pxpy < 1(1 t):mpx si

pxpy= 1

mpysi pxpy > 1

siendo 0 t 1b. x = 10 y = 0c. x = 0 y = 10d. x = t:5 y = (1 t):5

15. Repita el ejercicio 14 pero considerando la siguiente funcin de utilidad:u(x; y) = 2x+ y

16. Las preferencias de Pedro se pueden representar por la siguiente funcinde utilidad Cobb-Douglas:u(x; y) = x

34 y

14 :

a. Son las preferencias de Pedro racionales? Por qu?b. Son las preferencias de Pedro montonas y/o estrictamente

montonas? Por qu?c.Son las preferencias de Pedro convexas y/o estrictamente con-

vexas? Por qu?

Respuestas:a. Si. Ver Bibliografa.b. Son estrictamente montonas (ms de cualquier bien es mejor)

y por lo tanto son tambin montonas.(ampliar con bibliografa)c.Son estrictamente convexas y por lo tanto tambin son convexas.

(ampliar con bibliografa)

17. Siguiendo con el ejercicio anterior y suponiendo que Pedro tiene uningreso de "m" y todo su ingreso lo utiliza para consumir x e y, tal que m =px:x+ py:y:

3

a. Demuestre que una transformacin montona creciente (i.e:aplicar logaritmo natural) mantiene la TMS entre los bienes x e y. Por lo tantoa los efectos de optimizar es lo mismo usar la funcin: u(x; y) = 34 lnx+

14 ln y:

b.Encuentre las demandas Marshallianas e interpretelas teniendoen cuenta alfa, beta y los precios.

c. Suponiendo que m = 100 px = 10 py = 40;encuentre las canti-dades consumidas por Pedro en el ptimo.

d. Suponiendo que m = 100 px = 40 py = 10;encuentre las canti-dades consumidas por Pedro en el ptimo.

e. Suponiendo que m = 100 px = 20 py = 20;encuentre las canti-dades consumidas por Pedro en el ptimo.

Respuestas:a.

u(x; y) = x34 y

14

:

TMSx;y =34x

14 y14

14x

34 y

34

= 3:y

x(i)

- Si aplicamos transformacin montona creciente a la funcin de utilidad(logaritmo natural)

ln u(x; y) =3

4ln(x) +

1

4ln(y)

TMSx;y =34x14y

= 3:y

x(ii)

Entonces: (i) y (ii) son iguales. Si recordamos que la condicin necesaria

de primer orden implica que TMSx; y =pxpy: Entonces el ptimo es el mismo

para las dos funciones.b. x(px; py;m) = 34 :

m

pxy(px; py;m) =

14 :m

py: Si llamamos

alfa a 34 y beta a14 podemos ver cmo el exponente alfa del bien x indica la

proporcin de la riqueza ponderada por el precio de dicho bien que est dispuestoa demandar de ese bien. Lo mismo para el bien y.

c. x = 7; 5 y = 58d. x = 58 y

= 7; 5e. x = 3; 75 y = 1; 25: Ntese que a igualdad de precios,

se preere el bien con mayor exponente.

18. Dadas las siguientes preferencias de este consumidor:

4

(x; y) (x0; y0) si (x 3)2 + (y 3)2 < (x0 3)2 + (y0 3)2 ^ (x; y) 6= (3; 3)(x; y) (x0; y0) si (x; y) = (3; 3) ^ (x0; y0) 6= (3; 3)

Adems, sabemos que estas preferencias son completas.a.Son estas preferencias transitivas? Demuestre.b.Es este consumidor racional?c.Son las preferencias continuas? Explique.d.Podemos asegurar la existencia de funcin de utilidad? Ex-

plique.

Respuestasa.Se puede demostrar que lo son. (Demustrelo)b.Son racionales. Ver bibliografa.c.No son continuas porque en el lmite cuando (x; y) = (3; 3) se da

vuelta la relacin de preferencias. (Demuestrelo)d.No podemos asegurarla. Ver bibliografa.

Ejercicios Opcionales:El enfoque visto en clase de relaciones de preferencia es anlogo al enfoque de

Reglas de Eleccin. Los siguientes ejercicios estn basados en reglas de eleccin(captulo 1.D. MWG):

1. Considerese la relacin R = f(1; 1); (2; 3); (3; 2)g en X = [1; 2; 3] :Determinar si R es:

(a) reexiva(b) simtrica(c) transitiva

2. El conjunto de materias entre las que Sara debe elegir para anotarse esX = fMicro2;Macro2; Econometr{ag : A su vez, su relacin de preferencia es% : = f(MI;MA); (MI;EC); (MA;EC); (MI;MI); (MA;MA); (EC;EC)g :Indique si esta relacin cumple con las propiedades siguientes.

(a) reexiva(b) completa(c) transitiva(d) simtrica

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