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UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE CARRERA: QUIMICA- FARMACIAFACULTAD DE CIENCIA PROFESORA: CECILAI TOLEDO V.DEPARTAMENTO D EFISICA SEMESTRE PRIMERO DEL 2015

FISICA GENERAL

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

El movimiento es un fenómeno que siempre está presente y que observamos a nuestro alrededor, es partede nuestras vidas. La cinemática es la parte de la Física que se ocupa de describir los movimientos, perolo hace sin preocuparse de las causas que lo producen, describe los tipos de trayectoria que tienen los

elementos en su movimiento.

Pero al hablar de movimiento debemos fijarnos que este es un concepto relativo, así por ejemplo siidealizamos la situación de observar los pasajeros de un bus que está en movimiento, estos no se muevenrespecto del bus, pero sin embargo lo hacen respecto de las calles.

Este ejemplo nos permitirá decir que para hablar de movimiento es necesario establecer previamente''respecto de que'' se hace la observación, para eso es necesario elegir un sistema de referencia respectodel cual se describa el movimiento. El sistema de referencia puede ser fijo o móvil.

CONCEPTOS BASICOS DE CINEMÁTICA

Para estudiar el movimiento de una partícula la cual sólo se traslada es necesario precisar algunos

conceptos los cuales definiremos a continuación.

PARTICULA

Es un cuerpo puntiforme que corresponde a la idealización matemática de un objeto cuyas dimensiones yorientación en el espacio son despreciables para la descripción particular del movimiento.

SISTEMA DE REFERENCIA

Es un cuerpo respecto del cual se describe el movimiento de otro u otros cuerpos. Al cuerpo se le suponeunida una terna de ejes fundamentales (por ejemplo: un sistema de ejes cartesianos).

POSICION

Se entiende por posición un punto del espacio referido a unsistema de referencia.

VECTOR POSICION )r (

Es un vector que un origen O de un sistema de referencia con unpunto P del espacio en el cual está la partícula.

Para el sistema ortogonal cartesiano x, y, z el vector posición r

seidentifica por el trío ordenado (x,y,z).

MOVIMIENTO

Es un concepto relativo pues depende del sistema dereferencia. Se puede definir como el cambio de posiciónde la partícula en el tiempo, respecto de un punto osistema de referencia considerado fijo.

TRAYECTORIA

Las partículas cuando realizan un movimiento describenuna curva, la curva descrita es lo que se conoce como trayectoria.

DISTANCIA RECORRIDA ( ) s

Magnitud escalar que corresponde a la longitud del recorrido seguido por la partícula.

ABAB s s s

DESPLAZAMIENTO )r (

Magnitud vectorial que se define como la diferencia entredos vectores posición de la partícula.

El desplazamiento entre los puntos 1 y 2 es:

12 r r r

O

2

1r

2r

r

P(X,Y,Z)

zx

y

o

r

tra ectoria

O

S

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En general el módulo del vector desplazamiento es diferente a la distancia recorrida.

Se hace notar que el desplazamiento es independiente del origen O y de la trayectoria.

RAPIDEZ MEDIA )v( m

Es el cociente entre la distancia recorrida (AB ) y el tiempo t empleado en recorrerla dicha distancia

t

svm ;

AB

ABm

tt

ssv

RAPIDEZ INSTANTANEA )v(

Es la rapidez que tiene una partícula ( ó cuerpo) en un instante “t” , en un punto. Corresponde al límite de

la rapidez media )v( m cuando el intervalo de tiempo tiende a cero ( en matemáticas se dice que

corresponde a la derivada).

tslímv

0t

VELOCIDAD MEDIA )v( m

Es el cuociente entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo empleado en desplazarse.

t

r mv

;

1t

2t

1r

2r

mv

VELOCIDAD INSTANTANEA )v(

Es el límite de la velocidad media cuando el intervalo t tiende a cero.

En matemáticas esto corresponde a la derivada del vector posición respecto del tiempo

t

r .límv

0t

;dt

r dv

De acuerdo a las magnitudes con las cuales se ha definido la rapidez y la velocidad se deduce que paramedirlas se usan unidades de longitud (L) y unidades de tiempo (T), es decir L/T. Por ejemplo cm/s;m/s; km/hora; milla/hora; m/mín, etc.

ACELERACION MEDIA )a( m

Es el cuociente entre la diferencia de la velocidad instantánea y elintervalo de tiempo en que se produce dicha variación.

1

1

tt

vv

ma;

t

v

ma

2

2

ACELERACION INSTANTANEA )a(

Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempotiende a cero. En matemáticas decimos que corresponde a laderivada de la velocidad respecto del tiempo. Para un movimientocurvilíneo la aceleración es un vector dirigido hacia el centro decurvatura.

dt

vdadecir es

t

vlíma

0t

ACELERACION NORMAL Y TANGENCIAL ( nt a,a

)

v

a

v2

v1

ma

v

C

n

v

ˆ

A

B

r

mV

v

r

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La aceleración pueden expresarse en otro sistema de coordenadas ortogonal que resulta conveniente paraexpresar la aceleración, este sistema corresponde a las coordenadas normal y tangencial.

Con estas coordenadas se tiene la aceleración normal que obedece al cambio de dirección del vectorvelocidad y la aceleración tangencial que obedece al cambio en el módulo de la velocidad

2

n

2

t aaa

curvaturaderadioAC

na

taa

ta

: es un vector tangente a la curva y corresponde al cambio de la rapidez en el tiempo.

na

: es un vector normal a la curva y corresponde al cambio de dirección del vector velocidad.

De acuerdo a las magnitudes con las cuales se definió la aceleración las magnitudes la aceleración usa las

magnitudes de2

T

L decir es,

T

T

L bieno

T

v .

Por ejemplo m/s2, cm/s2 , milla/hora2, etc.

TIPOS DE MOVIMIENTO

Una vez que se han definidos los conceptos, se está en condición de hacer un estudio de los diferentestipos de movimientos que se puedan dar.

De acuerdo a la trayectoria que describen las partículas los movimientos se puede clasificar en el plano en:

a ) MOVIMIENTO RECTILÍNEO:

La característica de este movimiento es que en el movimiento rectilíneo la velocidad y la aceleraciónson vectores paralelos, es decir, tienen la misma dirección.

b) MOVIMIENTO CURVILÍNEO:

En el movimiento curvilíneo la velocidad y la aceleración tienen direcciones diferentes.

MOVIMIENTOS RECTILINEOS:

La partícula describe una trayectoria que es una recta

El movimiento rectilíneo más sencillo de analizar es aquel en que la velocidad es constante ( v ), enconsecuencia y de acuerdo a la definición de la aceleración ésta es nula en todo instante t. Se le conoceMOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U.)

La velocidad media en todo instante es igual a la velocidad instantánea, luego podemos escribir que :

t

r v

Si se toma como referencia que el movimiento se sucede a lo largo de un eje de coordenada, por ejemploen el eje X, la ecuación la podemos escribir por comodidad y simplicidad sin la flecha vectorial, solo en

función de su componente:

t

xv

O bien tvx , lo que significa

x – x0 = v ( t – t0 ).

El tiempo inicial t0 lo podemos tomar como igual a cero lo que nos queda:

;)() toxvoxtx1

x = 0x

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La ecuación 1 será para el eje x , y corresponde a la ecuación itineraria de la partícula, esto significa quecon esta ecuación se puede conocer la posición de la partícula para cualquier instante o tiempo “t”.

En general este tipo de movimiento en especial no se da en forma natural en nuestras vidas.

REPRESENTACION GRAFICA DEL M.R.U.

A modo de ejemplo los siguientes gráficos corresponden al movimiento de dos partículas, A y B, quetienen movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje “x”.

Del gráfico Nº2 se puede deducir que ambas partículas parten desde un mismo punto x0. A medida quepasa el tiempo la partícula A se aleja del origen del sistema, en cambio la partícula B se acerca al origenhasta que en el instante t1 pasa por el origen y luego se aleja de él.

La pendiente de la recta A es positiva, lo que está de acuerdo con la recta que muestra el gráfico Nº1para la componente de la velocidad de esta partícula.

Se puede demostrar que el área bajo la curva en un gráfico vx versus t puede representar eldesplazamiento o bien el camino recorrido por la partícula en intervalo de tiempo dado.En el gráfico Nº1 el área superior es v o*t, corresponde a un desplazamiento positivo y el área inferior es -

vo*t y corresponde a un desplazamiento negativo. Si sólo consideramos el valor absoluto se puededeterminar la distancia recorrida.

MOVIMIENTO PLANO CON ACELERACION CONSTANTE

El que una partícula se mueva con aceleración constante, implica que la aceleración media y lainstantánea no difieren, es decir, es la misma.Luego de acuerdo a las definiciones que se dieron, se tendrá que:

Si la aceleración es constante

a t a( ) , es decir, la aceleración no varía ni en dirección ni en sentido,

sus componentes tampoco lo hacen.

Por otro lado, se definió la aceleración como:

dt

vda

y para la aceleración media

t

va

= luego, recordando que el término

v significa la diferencia entre la velocidad final

v y la

velocidad inicial

v0, se obtiene la expresión :

1.-

v t v a t to o

( ) ( ) .

Si colocamos la condición que el tiempo inicial t0 es cero se tiene:

2.-

v t v a to

( )

Esta expresión nos permite conocer la velocidad de una partícula en cualquier instante conociendo la

velocidad inicial y la aceleración que es constante. Se puede conocer la ecuación que permite conocer la

COMPONENTE DE LA VELOCIDAD

VERSUS TIEMPO

vx

+v0

0

-

t

A

B

GRAFICO Nº1

--

+

GR FICO Nº2

t1 B

POSICION VERSUS TIEMPO

x

x0

0 t

A

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posición de una partícula que se mueve con aceleración constante

a , posición inicial 0r

la posición y la

velocidad inicial ov

. Esta expresión se llega a determinar y es de la forma

3.-2

ta2

1tovor tr

)(

Esta ecuación entrega la “posición “de la partícula en función del tiempo ( no confundir con distancia).Si la partícula se mueve a lo largo del eje “x” de un sistema de coordenadas cartesianas. la ecuación (3)daría cuenta del movimiento, y la coordenada “y” sería nula.

Si la partícula se mueve a lo largo del eje “y” de un sistema de coordenadas cartesianas. la ecuación (3)daría cuenta del movimiento, y la coordenada “x” sería nula.

MOVIMIENTO RECTILINEO CON ACELERACION CONSTANTE (M.R.U.A.)

En este tipo de movimiento la velocidad varía uniformemente con el tiempo. Los vectores velocidad yaceleración son colineales.

Los vectores velocidad y aceleración pueden tener igual sentido, en este caso la rapidez de la partículasiempre aumenta.

Los vectores velocidad y aceleración pueden tener distinto sentido, en este caso la rapidez de la partículadisminuye en la primera etapa llega a tomar el valor cero y después comienza a aumentar.

Si el movimiento rectilíneo con aceleración constante es a lo largo del eje “x” , la ecuación itinerariatoma la forma:

(A)2

tx

a2

1t

oxv

ox)t(x

Y la ecuación para la componente de la velocidad es

(B) tav)t(v xoxx

Los gráficos siguientes corresponden al movimiento rectilíneode una partícula que comienza a desplazarse hacia la derecha,se detiene y luego se devuelve hacia la izquierda

Si el movimiento rectilíneo con aceleración constante es a lolargo del eje “y” , la ecuación itineraria toma la forma:

2

o oy y

1y(t) y v t a t

2

Y la ecuación para la componente de la velocidad toma laforma

y

oy yv (t) v a t

Un ejemplo real para este tipo de movimiento con aceleración constante lo tenemos para el caso de losPROYECTILES, estos, afectados por la tierra le provocan una aceleración constante que se puededeterminar experimentalmente y se encuentra que tiene un valor aproximado de 9,8 m/s2 a nivel del mar( una mayor aproximación es de 10m/s2 ). La dirección es vertical y el sentido es hacia abajo ( no estáacelerado en sentido horizontal)

a

v

x

xo

t

x

vo

vx

t

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MOVIMIENTO DE PROYECTILES

La figura siguiente representa el movimiento de un proyectil al cual se le ha dado una velocidad inicial ydescribe un movimiento curvilíneo cuya trayectoria es una parábola.

Se puede tratar como un movimiento compuesto por dos,uno que es acelerado en la vertical y otro que es convelocidad constante a lo largo de la horizontal, los cuales sedesarrollan en forma simultánea.

Uno de los movimientos importantes con aceleraciónconstante es el movimiento de un proyectil.

Si se elige el plano xy coincidente con el plano definido por gvo

y , las ecuaciones que describen el

movimiento son:

o o o

o ox oy o o o o o

r (x ,y )

v (v ,v ) o v (v cos ,v sen )

a ( , g)

0

1 2r(t) = (x , y ) + (v , v ) t + (0, -g) t

o o ox oy 2

v(t) = (v , v ) + (0, -g) tox oy

Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria del proyectil son:

o ox

2o oy

x(t) = x + v t

1y(t) = y + v t - gt

2

I. Demuestre que la ecuación de la trayectoria del proyectil es:

2

o 2 2

o o

g

y = x t gθ - x 2 v cos θ

II. Demuestre que el tiempo que demora el proyectil en alcanzar la altura máxima es:

t

voy=máx

g

III. Demuestre que la máxima altura que alcanza un proyectil es:

oy

máx o

vy y

g

2

2

IV. Demuestre que el alcance horizontal (R) de un

proyectil con )senv,cosv(v ooooo

x

xO

o

ov

or

g

O

y

yo y

oV

x

y

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es:2

o ov sen2θR =

g

¿Para qué ángulo R,o

es máximo?

NOTESE que el movimiento vertical con aceleración

g pasa a ser un caso particular del movimiento del

proyectil ( componente x de la velocidad inicial es cero ).

EFECTOS FISIOLÓGICOS DE LA ACELERACIÓN

Los vuelos en avión son a alta de alta velocidad, esto llevo a realizar trabajos de investigación de lasreacciones fisiológicas de los seres humanos frente a la aceleración.

Mas de alguna vez hemos experimentado las aceleración que se pueden presentar en los ascensores. Losefectos que se sienten se relacionan con el hecho de que la mayor parte de nuestro cuerpo, pero no todo,es prácticamente rígido. La sangre circula en vasos dilatables, de manera que cuando el cuerpo esacelerado hacia arriba, la sangre se acumula en la parte inferior del cuerpo. Cuando la aceleración eshacia abajo, aumenta el volumen de sangre en la parte superior del cuerpo. A su vez, los órganos internosdel cuerpo no se mantienen rígidamente en su sitio y su desplazamiento durante la aceleración puedeproducir sensaciones desagradables.

La capacidad de una persona para soportar una aceleración depende tanto del valor como de la duraciónde la aceleración. Debido a la inercia de la sangre y de los órganos dilatables, los efectos que sobre ellostienen las aceleraciones moderadas son poco importantes si la aceleración sólo dura una pequeña fracciónde segundo. El límite de tolerancia es, pues, algunas decenas de "g" y depende de la resistenciaestructural de las vértebras. A medida que el tiempo de duración aumenta, también aumentan lospeligros.

AVERIGUE MAS SOBRE LOS EFECTOS FISIOLOGICOS DE LA ACELERACION DE GRAVEDAD ( Texto de Física :J.W.KANE)

PROBLEMA DE APLICACIÓN

Un auto se mueve sobre un camino que lo podemos identificar con un línea recta (eje X) y lo hacede acuerdo a la siguiente gráfica.

Determinar a partir del gráfico de la partícula:

a) Velocidad media entre t = 0 y t = 3 sb) Velocidad instantánea en t = 3 s

c) Aceleración media entre t = 1 y t = 2 sd) Intervalos de tiempo en que se acerca al origene) ecuación Itinerario de la partícula Af) Posición a los 10s de movimiento.

DESARROLLO

a) Del gráfico se observa que la partícula se desplaza con velocidad constante, ya que la gráfica es unarelación lineal, en consecuencia en cualquier intervalo de tiempo que se calcule dará lo mismo,(velocidad media = velocidad instantánea)

Comot

xv ,entonces se tendrá que en el intervalo 0 y 3 segundos se puede calcular el

cuociente

m/s)

0 15 m ˆv 5 v 5i (s3 0

Este resultado nos dice que la rapidez es constante y vale 5m/s. El signo negativo nos indica que sedirige hacia la izquierda del sistema escogido.

b) De acuerdo a lo dicho en la respuesta anterior la velocidad instantánea es la misma que ya secalculó.

c) La aceleración es nula ya que la velocidad es constante.

d) De acuerdo al gráfico se acerca entre 0 y 3 s.e) La ecuación itineraria será

oV

Ro

15

X(m)

0 1 2 3 4 t (s)

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8

0 4 9 14 16

X(m )

16

14

12

04

f) x(t) = 15 - 5 t

g) X (20) = 15 – 5 x 10 = -35m. Esto significa que está a 35m , hacia la izquierda del origen del sistemade referencia que se está usando.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1.- Un acelerador atómico emite partículas que se desplazan con una rapidez de 2,8X108 m/s. ¿cuántodemoran estas partículas en recorrer una distancia de 5,6mm?.R: 2x10-11 s.

2.- Se desea calcular cuál es la profundidad de un lago, para tal efecto se usa un instrumento conocidocomo sonar que mide el tiempo que tarda un pulso sonoro en ir y volver desde la superficie del agua. Si sesabe que la rapidez del sonido en el agua es de 1450m/s y el instrumento marcó 0,042s cuando se hizo lamedición, calcule la profundidad del lago.R: 30,45m

3.- Una chinita se desplaza en línea recta ysu posición con respecto al tiempo se expresa deacuerdo al gráfico dado. De acuerdo a lainformación dada se pide calcular.a) distancia recorrida entre 4s y 9 s.b) distancia recorrida entre 4 s y 14s.c) distancia recorrida entre 0 y 16s.d) velocidad media entre 0s y 4s.e) velocidad media entre 9s y 16s.

R: a) 8 m b) 14m c) 20m d) ( 1 ; 0)m/s e) (0;0)

4.- Un automóvil se encuentra detenido frente a un semáforo, le dan luz verde y arranca de modo quea los 4s su rapidez es de 72 km/hora. Si se movió en trayectoria rectilínea, con aceleración constante,

I.- Determine:a) La rapidez en metros por segundo.b) El módulo de la aceleración en ese tramo.c) La rapidez que lleva a los 3s.d) La distancia que recorre en los tres primeros segundose) La distancia que recorre entre t=2s y t=4s.II.- Haga un gráfico representativo de posición versus tiempo y de la rapidez versus tiempo.

R: a) 20m/s b) 5m/s2 c) 15m/s d) 22.45m e)30m

5.- Una partícula A, se mueve en el eje X, de acuerdo a la siguiente gráfica.Determinar a partir del gráfico de la partícula:

a) Velocidad media entre t = 0 y t = 4 sb) Velocidad instantánea en t = 2 sc) Aceleración media entre t = 0 y t = 4 sd) Intervalos de tiempo en que se acerca al origene) Intervalos de tiempo en que se aleja del origenf) Ecuación Itinerario de la partícula Ag) ¿Qué tipo de movimiento tiene esta partícula?

R: a) ( -8;0)m/s b) (-8;0)m/s c) 0 d) (0-3)s e)(3-....) f) x(t) = 24 – 8t g) M.R.U.

6.- Un vehículo se mueve en el eje OX de acuerdo con la siguiente ecuación de itinerario:X(t) = 20 - 36t + 6t2 Con X medido en metros y t en segundos.

a) Identifique a posición inicial, la velocidad inicial y la aceleración.b) Determine la ecuación que entregue la velocidad para cualquier instante.c) Determine el instante en que cambia de sentidod) La velocidad de la partícula en t = 2 s y en t = 4 se) Posición de la partícula en t = 6 segundosf) Gráfico X versus t. Describa la curvag) Gráfico Vx versus t. Describa la curvah) Gráfico a versus t. Describa la curva

R: a) (20;0)m (-36:0)m/s (12;0)m/s2 b) v(t) = -36 + 12t (m/s) c)3s d) (-12;0)m/s(12;0)m/s e) (20;0)m

7.- Se lanza un cuerpo hacia arriba con una rapidez de 16m/s,

0 1 2 3 4 5

24

X(m)

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a) ¿ Qué altura alcanza a subir?b) ¿Qué tiempo demora en volver al punto de partida?

R: a) 3,2m b) 6,4s

8.- Desde el punto P de coordenadas ( 10 ; 20)m de un sistema OXY se lanza un proyectil con unavelocidad inicial igual a ( 30;20) m/s). determinar:

a) Las ecuaciones x(t) e y(t) del movimientoparamétricas).

b) La velocidad en t = 0,5 s.c) Instante en que alcanza la altura máximad) Altura máxima que alcanza.R: a) x(t) = 10 +30t ; y(t) = 20 + 20t –5t2 b) (15,)m/s

c) 2s d) 40m

9.- Se plantea la siguiente situación. Al irradiar una determinadamuestra de células con rayos x, surgen mutaciones, cuyo número aumenta con la intensidad de losrayos x de acuerdo a la tabulación que sigue. Represente en un gráfico esta información y calcule larazón de aumento de las mutaciones con los rayos.

DOSIS DE RADIACION 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45NUMERO DEMUTACIONES

0 10 21 34 45 55 68 78 89 98

10.- Para determinar la trayectoria que sigue un determinado elemento radioactivo y su localización. Seintroduce en su sistema un elemento radioactivo de la misma especie como “indicador o trazador".Se realiza un experimento y se obtiene la siguiente tabla:

RADIACION(N/MIN) 108 94 82 71 62 52 47 41 36 31 25

TIEMPO (HORAS) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30

a) Haga un gráfico con los datos de la tabla.b) Rectifíquelo si es que corresponde ( pruebe con log rad en función del tiempo.)

11.- Un protón se mueve con una rapidez de 1x107 m/s, pasa por una hoja de papel de 0,02cm deespesor y sale de ella con una rapidez de 3,0x106 m/s. Si se supone que la retardación es uniforme,calcule el módulo de la retardación y el tiempo que tarda en atravesar la hoja de papel.

R.- 2,3X1017M/S2: 3,1X10-11S

X(m)

Y(m)

P

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