PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre de 2010

MAT 1630 - Calculo IIIGuıa IV.

Ademas de los problemas de abajo considere los siguientes ejercicios deltexto de Stewart: Seccion 14.5 : ejercicios 19–32; 41–50; 54. Seccion deRepaso Capıtulo 14: ejercicios 33–40.

Del texto de Pita Ruiz, todos los ejercicios de las secciones 3.1 a la 3.6

1. Se define la funcion de R2 en R2 mediante ~r(s, t) = (s2 + t2, 2st). Hallarla imagen del cırculo de inecuacion s2 + t2 ≤ a2.

2. En cada uno de los siguientes casos, calcular la matriz jacobiana de lafuncion dada en el punto indicado:

i) f : R2 → R2; f(x, y) = x2y + xy3; P = (1, −2).

ii) ~f : R → R3; ~f(t) = (t cos t, t sen t, 2t); P = π/2.

iii) ~f : R2 → R5; ~f(x, y) = (xy, yx, exy, xey, yex); P = (1, 2).

3. Sea ~G : R2 → R3 una funcion diferenciable que en el punto P ∈ R2

tiene matriz derivada (jacobiana)

D ~G(P ) =

2 −13 21 7

y sea f : R3 → R una funcion diferenciable cuyo gradiente en ~G(P ) ∈R3 es ~∇f(P ) = (8, 0, −2). Demuestre que la funcion f ◦ ~G : R2 → Res diferenciable en P y encuentre su gradiente en dicho punto.

4. Hallar:∂~z

∂xy

∂~z

∂y

para la funcion:

~z =(arctan

v

u, u2vw, log(u2 + v2)

),

con u = cos xy , v = sen x2y , w = log(x + y).

1

5. Dado el sistema:

3x + y − u + 2v = 2x − 2y + u2 + 2v2 = 9

}

(i) Comprobar que existe una vecindad de (x0, y0) = (1,−1) y funcionesu = u(x, y) y v = v(x, y) tales que u(1,−1) = 2 y v(1,−1) = 1 queresuelven el sistema.

(ii) Para la funcion u, de la parte anterior, calcular∂2u

∂x∂y.

6. Dado el sistema:

xy + eux + 2v = 2x + uy − v = 0

}

(i) Comprobar que existe una vecindad de (x0, y0) = (0, 1) y funcionesu = u(x, y) y v = v(x, y) tales que u(0, 1) = 0 y v(0, 1) = 1 queresuelven el sistema.

(ii) Para la funcion u, de la parte anterior, calcular∂u

∂x(0, 1) y

∂2u

∂x∂y(0, 1).

7. Dado el sistema:

x31 + x3

2 − y51 − y5

3 = 0x1 + x2 − y1 − y2

3 = 0x2

1 + x22 + y3

1 − y22 − y3 = 0

(i) Comprobar que existe una vecindad de (1, 1) en el plano X1X2 demodo que en ella el sistema define a y1, y2 e y3 como funciones de(x1, x2) que cumplen con y1(1, 1) = 1, y2(1, 1) =

√2 e y3(1, 1) = 1

(ii) Calcular∂y1

∂x1

(1, 1) y∂2y2

∂x1∂x2

(1, 1).

8. Sean ~F (u, v, w) = (uvw, uw2, v3) y ~G(u, v, w) = (u3,−uvw, u2w), calcu-lar:

(i) ~Fuv en el origen.

(ii)∂2 ~F

∂v2× ∂2 ~G

∂u2en el punto (1, 1, 0).

9. Dada la superficie de ecuacion:

4 sen2 x + 2 cos(y + z) = 2 ,

(i) Demostrar que en una vecindad del punto P0

(π

6,π

3, 0

)se puede

despejar la funcion implıcita z = f(x, y), y encontrar la ecuaciondel plano tangente en el punto P0.

2

(ii) Calcular:∂2f

∂x∂y

(π

6,π

3

).

10. Demuestre que las siguientes funciones ~F : R2 → R2 tienen inversaen los alrededores del punto P dado y calcule, en cada caso, la matriz

jacobiana J ~F−1(

~F (P ))

:

i) ~F (x, y) = (x sen y, y cos x); P = (1, 1)

i) ~F (x, y) = (x + arctan y, y + arctan x); P = (1, 1)

11. Sea g : R → R una funcion continua tal que g(0) = 1. Considere la

funcion ~F : R2 → R2 dada por

~F (x, y) =

( ∫ y

x

g(t) dt,

∫ x2

y

g(t) dt

)

Demuestre que esta funcion tiene una inversa ~F−1 definida en una vecin-dad del origen. Determine J ~F−1 (0, 0) .

12. Expresar el operador laplaciano:

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

primero en coordenadas cilındricas y luego en coordenadas esfericas.

13. Sabiendo que g(x, y) es diferenciable y que x = r cosh θ , y = r senh θ ,expresar u2

x − u2y en terminos de r, θ, ur y uθ.

14. Siendo r = r(u, v), s = s(u, v), t = t(u, v) y x = x(r, s, t), y = y(r, s, t),demostrar que:

∂(x, y)

∂(u, v)=

∂(x, y)

∂(r, s)· ∂(r, s)

∂(u, v)+

∂(x, y)

∂(s, t)· ∂(s, t)

∂(u, v)+

∂(x, y)

∂(t, r)· ∂(t, r)

∂(u, v).

15. Dada la transformacion (x, y) = (f(u, v), g(u, v)) con jacobiano J =∂(x, y)

∂(u, v)6= 0, demostrar que para la transformacion inversa se tiene:

∂u

∂x=

1

J

∂y

∂v,

∂u

∂y= − 1

J

∂x

∂v,

∂v

∂x= − 1

J

∂y

∂u,

∂v

∂y=

1

J

∂x

∂u.

3

16. Obtener formulas analogas a las del ejercicio anterior para la transfor-macion en R3 dada por (x, y, z) = (f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)). Porejemplo:

∂u

∂x=

1

J

∂(y, z)

∂(v, w), · · · ,

∂w

∂y=

1

J

∂(z, x)

∂(u, v), · · ·

17. Dada la transformacion (x, y) = (f(u, v), g(u, v)), entonces:

(∂x

∂u

)

v

·(

∂u

∂x

)

y

=

(∂y

∂v

)

u

·(

∂v

∂y

)

x

.

18. Demostrar que si z = f(x, y) es la funcion implıcita definida por laecuacion:

3y − 3xz − z4 = 0 ,

entonces:

x∂2z

∂y2− ∂2z

∂x2= 0 .

19. Sea el cambio de variables x = u− v , y = u2 + v , y sea:

< = {(u, v) | 1 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 1} .

Determinar la region imagen D en el plano XY .

20. En el cambio continuo de coordenadas:

x = u− (u + v)2

4, y =

u + v

2,

calcular:∂(x, y)

∂(u, v).

4