GUÍA DOCENTE - Tinta fresca
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Índice Planificación basada en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) .............1 Planificación basada en el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos Aires .....8 Planificación basada en el Diseño Curricular de la Ciudad de Buenos Aires .........21 Respuestas .................................................................................................................29 GUÍA DOCENTE EDICIÓN ESPECIAL PARA DOCENTES PROHIBIDA SU VENTA EN CASO DE VENTA DENUNCIAR EN WWW.TINTAFRESCA.COM.AR
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ÍndicePlanificación basada en los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios (NAP) .............1Planificación basada en el Diseño Curricular de la Provincia de Buenos Aires .....8Planificación basada en el Diseño Curricular de la Ciudad de Buenos Aires .........21Respuestas .................................................................................................................29
GUÍADOCENTE
EDICIÓN ESPECIAL PARA DOCENTES
PROHIBIDA SU VENTA EN CASO DE VENTA DENUNCIAR EN WWW.TINTAFRESCA.COM.AR
Este logo alerta al lector sobre la amenaza que fotocopiar libros representa para el futuro de la escritura. En efecto, la fotocopia de libros provoca una disminución tan importante de la venta de libros que atenta contra la posibilidad de los autores de crear nuevas obras y de las editoriales de publicarlas.
La reproducción total o parcial de este libro en cualquier forma que sea, idéntica o modificada, y por cualquier medio o procedimiento, sea mecánico, electrónico, informático o magnético y sobre cualquier tipo de soporte, no autorizada por los editores, viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
En español, el género masculino en singular y plural incluye ambos géneros. Esta forma propia de la lengua oculta la mención de lo femenino. Pero, como el uso explícito de ambos géneros dificulta la lectura, los responsables de esta publicación emplean el masculino inclusor en todos los casos.
Gerente generalClaudio De SimonyDirectora editorial Alina Baruj
PlanificacionesElsa Leibovich
RespuestasDavid Robles
EditoraDaniela Fernández
Jefe de arteFederico GómezAsistente editorialCarolina PizzeProducción editorialGustavo Melgarejo
© Tinta fresca ediciones S.A. Piedras 1785 (C1140ABK) Ciudad de Buenos Aires
Hecho el depósito que establecela ley 11 723.Libro de edición argentina. Impreso en la Argentina.Printed in Argentina.
ISBN En trámite.
GUÍA DOCENTE
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 1
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 2
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 3
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 4
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• Uso
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 5
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 6
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 7
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144
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s po
r la
unid
ad s
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eros
a p
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n qu
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ión
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álcu
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rest
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rom
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que
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estu
dian
tes
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xplic
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laci
ón e
ntre
el v
alor
pos
icio
-na
l y la
div
isió
n po
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100
y 1
000.
10-1
8• C
arac
terís
ticas
del
sis
tem
a de
nu
mer
ació
n.
11-1
8• R
esol
ució
n de
pro
blem
as u
sand
o nu
estro
sis
tem
a de
num
erac
ión.
12-1
3-14
Dist
into
s si
stem
as d
e nu
mer
ació
n: p
o-si
cion
ales
y n
o po
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onal
es, a
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os y
dec
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an-
do s
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ión
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mas
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posi
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Com
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ción
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e si
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as d
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mer
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n.
Regl
as y
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bolo
s.
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y c
ompa
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ncio
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otro
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as d
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mer
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ende
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regl
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icio
nal d
e nu
estro
si
stem
a y
su e
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ctur
a de
ci-
mal
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de
la c
ompa
raci
ón
con
los
otro
s si
stem
as.
• Ref
lexi
onar
sob
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s ca
-ra
cter
ístic
as d
e lo
s di
stin
tos
sist
emas
de
num
erac
ión.
• Res
uelv
an p
robl
emas
apl
ican
-do
las
cara
cter
ístic
as d
e ot
ros
sist
emas
de
num
erac
ión.
• Est
able
zcan
rela
cion
es c
om-
pará
ndol
os c
on e
l sis
tem
a de
nu
mer
ació
n de
cim
al.
• Exp
licite
n la
s di
fere
ncia
s en
tre
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s si
stem
as e
n re
laci
ón c
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la c
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ad d
e ci
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que
se
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pa
ra u
n m
ism
o nú
mer
o.
• Sel
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unos
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tem
as d
e nu
mer
ació
n po
sici
onal
es y
no
posi
cion
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, alg
unos
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mul
tiplic
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os y
otro
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ixto
s.• P
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ner p
robl
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par
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s al
umno
s ap
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s ca
ract
erís
ticas
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cada
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tem
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part
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la in
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n so
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sím
bolo
s.• P
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ciar
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ción
de
prob
lem
as p
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pro-
fund
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el a
nális
is d
el s
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ma
de n
umer
ació
n de
cim
al.
• Dis
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col
ectiv
amen
te s
obre
las
dife
renc
ias
de lo
s ot
ros
sist
emas
resp
ecto
del
sis
tem
a de
nu
mer
ació
n de
cim
al.
15-1
8Co
mpo
sici
ón y
des
com
posi
ción
de
nú-
mer
os e
n fo
rma
aditi
va y
mul
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ativ
a an
aliz
ando
el v
alor
pos
icio
nal.
• Uso
de
la c
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lado
ra p
ara
estu
diar
la
s re
glas
del
sis
tem
a de
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erac
ión.
• Exp
licita
r rel
acio
nes
mul
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licat
ivas
impl
ícita
s en
la
escr
itura
num
éric
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ipar
cam
bios
pos
ible
s en
las
cifr
as d
e un
núm
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de
acue
rdo
con
la p
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cia
de 1
0 qu
e se
sum
e o
se re
ste.
• Ana
licen
el v
alor
de
cada
cifr
a,
rela
cion
ando
la s
uma
con
la m
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tiplic
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n po
r la
unid
ad s
egui
da
de c
eros
.• A
ntic
ipen
la e
scrit
ura
de u
n nú
mer
o a
part
ir de
la p
oten
cia
de 1
0 qu
e se
sum
e o
se re
ste
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guna
de
sus
cifr
as.
• Pro
pici
ar e
l uso
de
la c
alcu
lado
ra p
ara
com
pro-
bar l
as re
gula
ridad
es.
16-1
7• U
bica
ción
en
la re
cta
num
éric
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Com
para
ción
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de
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eros
na
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les.
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reso
luci
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que
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eros
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iliza
r la
rect
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mér
ica
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re
pres
enta
rlos
con
núm
eros
de
1000
en
1000
, 25
00 e
n 25
00, 5
000
en 5
000,
etc
éter
a.
Mat
etub
ers
5Pl
anifi
caci
ón b
asad
a en
el D
iseñ
o Cu
rric
ular
de
la P
rovi
ncia
de
Buen
os A
ires
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 9
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
enos
Aire
s
Uni
dad
Pági
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Con
teni
dos
Mod
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dica
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Lueg
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l áre
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s es
pera
ble
que
los
estu
dian
tes:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
219
-20-
34O
pera
cion
es d
e su
ma
y re
sta
que
invo
lucr
en s
entid
os m
ás
com
plej
os, i
dent
ifica
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y ut
ili-
zand
o lo
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es c
álcu
los
que
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iten
reso
lver
las.
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ión
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emas
con
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paso
s y
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acio
nes.
• Res
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r pro
blem
as q
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vo-
lucr
en a
la s
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y la
rest
a en
el
sen
tido
de la
uni
ón e
ntre
dos
ca
ntid
ades
.• E
labo
rar e
stra
tegi
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ropi
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lucr
en la
sum
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la d
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ncia
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pliq
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ntra
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gias
pro
pias
y
com
para
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con
las
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s pa
res
para
agr
egar
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uita
r una
can
tidad
a
otra
.• E
labo
rar e
stra
tegi
as p
ara
com
po-
ner r
elac
ione
s, e
n lo
s pr
oble
mas
en
que
se p
rodu
zcan
dos
tran
sfor
ma-
cion
es.
• Res
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emas
de
sum
a y
rest
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e in
volu
cren
uni
r dos
ca
ntid
ades
, cal
cula
r la
dife
ren-
cia
entre
am
bas,
enc
ontra
r el
com
plem
ento
de
una
cant
idad
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spec
to d
e ot
ra, a
greg
ar o
qui
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una
cant
idad
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tra y
com
pone
n re
laci
ones
en
los
prob
lem
as e
n lo
s qu
e se
pre
sent
an d
os tr
ansf
or-
mac
ione
s.• E
labo
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estra
tegi
as p
ropi
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para
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rest
ar, c
onst
ruye
ndo
amba
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ione
s a
part
ir de
su
s pr
opie
dade
s.
• Ofr
ecer
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idad
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sum
a y
la re
sta
en e
l sen
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nir d
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ades
.• P
ropi
ciar
situ
acio
nes
en la
s qu
e el
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tido
de
la s
uma
y la
rest
a se
a el
de
calc
ular
la d
ifere
ncia
en
tre d
os c
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ades
.• P
rese
ntar
pro
blem
as p
ara
enco
ntra
r el c
ompl
e-m
ento
de
una
cant
idad
resp
ecto
de
otra
.• P
ropo
ner p
robl
emas
par
a ag
rega
r o q
uita
r una
ca
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ad a
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.• P
ropi
ciar
la re
flexi
ón s
obre
el c
álcu
lo d
e su
ma
y re
sta,
a p
artir
de
las
prop
ieda
des
que
invo
lucr
a su
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solu
ción
.• P
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ner p
robl
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que
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en v
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bios
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una
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noci
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s fo
rmat
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abla
s, g
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os,
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os, e
tcét
era.
21-2
2-34
Mul
tiplic
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n y
divi
sión
: ser
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prop
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onal
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nes
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r la
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r-m
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n.
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o la
rela
ción
de
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cuád
rupl
es, e
tc. c
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mul
tiplic
a-ci
ón.
• Est
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cer r
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ione
s pr
opor
-ci
onal
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ntre
dos
mag
nitu
des,
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mul
tiplic
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icas
par
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solv
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robl
e-m
as q
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plic
an u
na re
laci
ón
prop
orci
onal
.• R
esol
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robl
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cula
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con
orga
niza
cion
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ción
y d
ivis
ión.
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com
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s de
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xion
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re la
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onom
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s m
ism
as.
• Res
uelv
an s
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s m
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li-ca
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ser
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s.• E
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alor
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trip
les,
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. ent
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las
varia
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.• E
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mic
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ón d
e pr
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mas
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impl
ican
ser
ies
prop
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onal
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aniz
acio
nes
rect
angu
lare
s ut
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mul
tipli-
caci
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ivis
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blem
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part
o y
part
icio
nes
poni
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en
jueg
o a
la d
ivis
ión
com
o la
ope
raci
ón m
ás
econ
ómic
a pa
ra re
solv
er.
• Exp
licite
n la
s es
trate
gias
pue
s-ta
s en
jueg
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solv
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itua-
cion
es d
e re
part
o y
part
icio
nes.
• Pro
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ción
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iona
lidad
dire
cta,
en
los
que
los
núm
e-ro
s en
jueg
o ev
iden
cien
la re
laci
ón m
ultip
licat
iva
entre
las
cant
idad
es in
volu
crad
as.
• Pre
sent
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ituac
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s co
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tos
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ción
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• Pro
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las
que
la d
ivis
ión
será
ana
lizad
a co
mo
el c
álcu
lo
pert
inen
te.
23-2
4-25
-34
Mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
: ser
ies
prop
orci
onal
es, o
rgan
izac
io-
nes
rect
angu
lare
s, re
parto
s y
part
icio
nes.
• Dis
tinta
s es
trate
gias
de
cálc
u-lo
par
a m
ultip
licac
ione
s.• E
stra
tegi
as d
e cá
lcul
o ex
acto
y
apro
xim
ado
para
mul
tiplic
ació
n y
divi
sión
. Est
imac
ione
s.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 10
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
ión
basa
da e
n el
Dis
eño
Curr
icul
ar d
e la
Pro
vinc
ia d
e Bu
enos
Aire
s
Uni
dad
Pági
nas
Con
teni
dos
Mod
os d
e co
noce
rIn
dica
dore
s de
ava
nce
Lueg
o de
l abo
rdaj
e de
l áre
a, e
s es
pera
ble
que
los
estu
dian
tes:
Situ
acio
nes
de e
nseñ
anza
226
-27-
28-
29-3
0-34
Divi
sión
: aná
lisis
del
rest
oDi
visi
ón: s
ituac
ione
s de
iter
ació
n y
anál
isis
del
coc
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rest
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ifere
ntes
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blem
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part
o y
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orga
niza
cion
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ctan
gula
res,
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raci
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y a
nális
is d
el re
sto.
• Dife
rent
es e
stra
tegi
as d
e cá
lcul
o pa
ra d
ivis
ione
s.Di
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ón: d
ivid
endo
, div
isor
, co
cien
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o.• A
nális
is d
e la
s re
laci
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ent
re
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o, d
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isió
n.• R
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ver p
robl
emas
que
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lu-
cren
la d
ivis
ión
en s
ituac
ione
s de
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raci
ón, r
esue
ltas
inic
ialm
ente
por
m
edio
de
sum
as, r
esta
s o
mul
tipli-
caci
ones
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div
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divi
sión
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blem
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3-34
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 11
Mat
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5 - P
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335
-36-
37-
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ica
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ons-
trui
r dife
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.• P
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9-46
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40-4
1-46
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cció
n de
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dos.
• Pro
pied
ades
de
los
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s de
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ngul
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ongr
uenc
ia.
42-4
3-46
• Cla
sific
ació
n de
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os
segú
n su
s la
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gulo
s.• L
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.
44-4
6• C
onst
rucc
ión
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iáng
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co
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eoG
ebra
.
45• S
uma
de á
ngul
os in
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 12
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1-58
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ero
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53-5
4-58
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• Exp
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55-5
6-57
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-ne
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sore
s.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 13
Mat
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ers
5 - P
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ficac
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Dis
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Situ
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anza
559
-60-
61-
76Fr
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y d
ivis
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62-7
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63-7
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64-6
5-76
Frac
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cien
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o.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 14
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
ión
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Dis
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-76
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len,
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9-76
Frac
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-71-
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gráf
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5-76
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es.
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rest
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equi
vale
n-ci
as.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 15
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
ión
basa
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n el
Dis
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icul
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e la
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tes:
Situ
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nes
de e
nseñ
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677
-78-
86Re
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alel
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pend
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s co
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• Tra
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pen-
dicu
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los
proc
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ados
par
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co
nstr
ucci
ón.
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blem
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s al
umno
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dicu
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s co
n es
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ra, r
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y
trans
port
ador
.• P
ropo
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robl
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ique
n tra
zar u
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c-ta
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icul
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aral
ela
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ra, p
or u
n pu
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dado
.79
-86
• Uso
del
traz
ado
de re
ctas
par
alel
as
en la
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ón d
e si
tuac
ione
s.
80-8
1-86
• Uso
de
las
prop
ieda
des
de la
dos
y án
gulo
s de
los
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lelo
gram
os e
n co
nstr
ucci
ones
.
82• U
so d
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s re
laci
ones
ent
re re
ctas
y
ángu
los.
83-8
4-85
-86
Rect
ángu
los
y cu
adra
dos.
Prop
ieda
des.
Sim
ilitu
des
y di
fere
ncia
s.• R
econ
ocim
ient
o de
los
rect
ángu
los
com
o pa
rale
logr
amos
de
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lo re
cto.
Re
laci
ones
de
para
lelis
mo
y Pe
rpen
di-
cula
ridad
.• C
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rucc
ione
s de
par
alel
ogra
mos
a
part
ir de
sus
pro
pied
ades
.• C
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rucc
ión
de re
ctán
gulo
s a
part
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las
prop
ieda
des
de s
us la
dos.
• Cop
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tán-
gulo
s y
cuad
rado
s.• E
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nstr
ucci
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pa
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ruir
rect
ángu
los
y cu
adra
dos.
• Con
stru
ir re
ctán
gulo
s y
cuad
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s a
part
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in
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ccio
nes.
• Ana
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la v
alid
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e lo
s pr
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ntos
util
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os
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la c
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rucc
ión.
• Cop
ien/
cons
truy
an re
ctán
gulo
s y
cuad
rado
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labo
ren
inst
rucc
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s pa
ra
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trui
r rec
táng
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y c
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ados
.• C
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ruya
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ctán
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 16
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 17
Mat
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8-10
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 18
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105-
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as d
e lo
ngi-
tud.
106-
107-
110
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ades
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ión
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• Exp
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ción
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gram
o.
108-
109-
110
• Equ
ival
enci
a en
tre d
istin
tas
unid
ades
de
med
ida
de c
apac
idad
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raci
ón d
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buni
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o.
911
1-11
2Fi
gura
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iláte
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• Rec
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dade
s.
113-
114-
124
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los
cuad
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eros
con
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terio
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• Aná
lisis
de
algu
nas
de la
s ca
ract
erís
ticas
de
cuad
rilát
eros
.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 19
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
ión
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anza
911
5-12
4Re
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s y
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cion
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• Cop
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• Ana
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rucc
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cons
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cu
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• Pro
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ctán
gulo
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; pr
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mas
que
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s.
116-
124
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logr
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rrie
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s pr
opie
dade
s.
117
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las
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s re
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118-
119-
124
• Est
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de
las
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-de
s de
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s y
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gulo
s de
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los
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rale
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gram
os, r
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ngul
os,
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adra
dos.
120-
121-
124
• Pro
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de
los
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s y
los
ángu
los
inte
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s de
los
para
lelo
gram
os:
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los,
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bos
y cu
adra
dos.
122-
123
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los
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adra
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ulos
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y cu
adra
dos.
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s y
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es.
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oced
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ntos
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os
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ión.
• Con
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ángu
los
y cu
adra
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rtir
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.• T
race
n di
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ales
de
rect
ángu
los
y cu
adra
dos.
• Ana
licen
pro
pied
ades
de
las
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ona-
les
de re
ctán
gulo
s y
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rado
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inst
rucc
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s pa
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onst
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os a
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s di
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ales
.• A
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de
los
proc
edim
ien-
tos
utili
zado
s pa
ra la
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cció
n.
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 20
Mat
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ers
5 - P
lani
ficac
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da e
n el
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prob
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dad.
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sen
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• Rec
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tivos
y c
uant
itativ
os e
n ta
blas
y
gráf
icos
sen
cillo
s.• A
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s fe
nóm
enos
est
udia
dos.
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s m
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taci
ón y
com
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ar lo
s da
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est
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ente
dis
tinto
s fe
nóm
enos
, lo
que
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tar,
com
unic
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s da
tos
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des
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n en
est
udio
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7-13
6•
Reso
luci
ón d
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las
que
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ntas
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info
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ión.
128-
129-
136
• Res
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ión
de p
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emas
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los
que
de-
ben
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regi
stra
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os.
130-
131-
136
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etac
ión
de g
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os.
• Aná
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form
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n.
132-
133
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s.• C
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ad d
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ara
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poc
o po
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e, m
uy
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ble,
impo
sibl
e).
• Pre
diga
n si
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s a
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l cál
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rede
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s a
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dad
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incl
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s la
s pr
obab
ilida
des
geom
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as y
situ
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jueg
o).
134-
135-
136
• Rec
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n de
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xhau
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en
el
cont
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e ca
sos
al re
solv
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ione
s.• E
xplo
raci
ón s
obre
los
prim
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vín
culo
s en
tre e
stad
ístic
a y
prob
abili
dad.
137-
144
• PRO
YECT
O F
INAL
© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 21
Mat
etub
ers
5 - P
lani
ficac
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basa
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Dis
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Curr
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Ciu
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ueno
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Uni
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Núm
eros
y o
pera
cion
esEj
e: E
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ios
y fo
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17-
8-9-
10-1
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núm
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del
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de lo
s m
illon
es.
• Com
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s ca
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illon
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11-1
8• R
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3-14
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 22
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-20
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5-34
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7-34
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3-34
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-36
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-46
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6• C
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44-4
6• C
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45• S
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 23
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-48
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1-58
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8• E
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7-58
• Arg
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 24
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-60
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6• E
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5-76
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• Rep
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1-76
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3• F
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5-76
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 25
Mat
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ers
5 - P
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5-86
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 26
Mat
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-88
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3-10
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5-10
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7-98
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1-10
2-10
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107-
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108-
109-
110
• Equ
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.• E
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 27
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114-
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116-
124
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124
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ión
entre
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ia.
119-
124
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cion
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rale
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ulos
, ro
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121-
124
• Pro
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123
• Pro
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© Tinta fresca ediciones S. A. | Prohibida su fotocopia. Ley 11.723 28
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723
29
RespuestasPágina 71. Numeración1. Cuarenta y ocho millones setecientos noventa y dos mil quinientos ochenta y uno. El de su hermana es cincuenta y un millones quinientos ochenta y seis mil setenta y cuatro.a. Su hermana. Por ejemplo, al comparar todos los números.b. Por ejemplo, porque nacieron después.c. Producción personal.
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2.999.999 3.000.000 3.000.001
2.000.000 2.000.001 2.000.002
14.999.998 14.999.999 15.000.000
699.998 699.999 700.000
2. a. Cuatrocientos nueve mil treinta.b. Diecisiete millones novecientos mil.c. Cinco millones cuatro mil seiscientos doce.
Página 9Componer y descomponer númerosComposición y descomposición de números usando las características del sistema de numeración.
1. a. 673.459 = 670.000 + 3 × 1.000 + 400 + 5 × 10 + 9 × 1.b. 8.900.567 = 8 × 1.000.000 + 9 × 100.000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 7 × 1.c. 15.340.901 = 1 × 10.000.000 + 5.000.000 + 3 × 100.000 + 40.000 + 9 × 100 + 1 × 1.d. 908.990 = 9 × 100.000 + 0 × 10.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 9 × 10 + 0 × 1.e. 100.567 = 1 × 100.000 + 5 × 100 + 6 × 10 + 7 × 1.
Página 10Distintas expresiones de un númeroCaracterísticas del sistema de numeración.
1. a. 7 × 100.000 + 100 = 700.100.b. 7 × 100.000 + 10 = 700.010.c. 7 × 100.000 + 500 = 700.500.d. 7 × 100.000 + 1 = 700.001.e. 7 × 100.000 + 1.000 = 701.000.f. 7 × 100.000 + 100.000 = 800.000.
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2. Marcar a y b.3.
Número Cómo se escribe en palabras En forma de cálculo
910.002 Novecientos diez mil dos Por ejemplo,9 × 100.000 + 1 × 10.000 + 2 × 1
890.300 Ochocientos noventa mil trescientos Por ejemplo,8 × 100.000 + 9 × 10.000 + 3 × 100
16.047 Dieciséis mil cuarenta y siete 1 × 10.000 + 6 × 1.000 + 4 × 10 + 7
115.021 Ciento quince mil veintiuno Por ejemplo,1 × 100.000 + 15 × 1.000 + 21 × 1
4. a. 276.910 tiene 2.769 cienes y 27.691 dieces.b. 40.000 tiene 400 cienes y 4.000 dieces.c. 5.604 tiene 56 cienes y 560 dieces.5. Producción grupal.
Página 11Calcular distanciasResolución de problemas usando nuestro sistema de numeración.
1. a. Júpiter.b. Menor.c. Neptuno.d. 19 UA.e. En palabras: Ciento cuarenta y nueve millones quinientos noventa y siete mil ochocientos setenta y uno. Con sumas: Por ejemplo, 149.597.871 = 14 × 10.000.000 + 9 × 1.000.000 + 5 × 100.000 + 97 × 1.000 + 8 × 100 + 7 × 10 + 1.
Páginas 12 y 13Otros sistemas de numeraciónSistemas de numeración posicionales y aditivos. Comparación.
1. a. Producción personal.b. Producción personal.
Página 14Reglas y símbolosEstudio de sistemas de numeración, reglas y símbolos.
1. a. Producción personal.b. Producción personal.c. Por ejemplo, porque su sistema era aditivo.d. Producción personal.2. a. No, porque nuestro sistema es posicional.3. a. Por ejemplo, la presencia del símbolo cero.
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b. Por ejemplo, la presencia del símbolo cero.c. Producción personal.d. Por ejemplo, para los siglos.
Página 15CalculadoraUso de la calculadora para estudiar las reglas del sistema de numeración.
1. Por ejemplo, 134200 100000 + 10000 + 10000 + 10000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 100 + 100. 134002 100000 + 10000 + 10000 + 10000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1 + 1. 130042 100000 + 10000 + 10000 + 10000 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1. 134020 100000 + 10000 + 10000 + 10000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10 + 10.2. a. 27.000.b. 600.c. 83.3. Por ejemplo,a. 32.700.b. 9.040.c. 6.001.4. Se espera que los estudiantes respondan que no es posible llegar al número cero porque no se restan centenas, dieces ni unos.a. Producción grupal.b. Por ejemplo, además de restar los números del orden de los miles, hay que restar los que corresponden a las centenas, dieces y unos.5. Por ejemplo, que nuestro sistema es posicional.
Páginas 16-17Ubicar en la recta numéricaUbicación en la recta numérica, comparación y orden de números naturales.
1. a.
b.
Porque 75.000 está entre 70.000 y 80.000, a la misma distancia de ambos, en el medio.c. Puede ubicarse al 2, de manera aproximada, cerca del cero. Pero dada la escala elegida,
0 10.000 100.000
20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000
0 10.000 100.000
20.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000
75.000
80.000 90.000
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resulta difícil ubicarlo con exactitud.d. Por ejemplo, se podría extender la recta numérica hasta 200.000 duplicando su tamaño, o podría elegirse otra escala.2.
a. Aunque las rectas tienen el mismo tamaño y la distancia entre sus rayas en centímetros es la misma, la misma raya en cada recta representa un número distinto. Esto se debe a que las rectas tienen distinta escala. En la primera, cada raya representa 100.000 más que la raya anterior, y en la segunda, cada raya representa 1.000 más que la raya anterior.3.
5.000.000: Por ejemplo, porque entre 0 y 10.000.000 hay 30 cuadraditos y entre el 0 y la raya indicada hay 15 cuadraditos. Es decir, la raya está justo a la mitad entre 0 y 10.000.000, o sea que la raya representa a 5.000.000.2.500.000: Por ejemplo, porque entre 0 y 5.000.000 hay 15 cuadraditos y entre el 0 y la raya indicada hay 7,5 cuadraditos. Es decir, la raya está justo a la mitad entre 0 y 5.000.000, o sea que la raya representa a 2.500.000.
30.000: Por ejemplo, porque entre 0 y 100.000 hay treinta cuadraditos, entonces cada cuadradito representa 100.000 _ 30 = 10.000 _ 3 . O lo que es lo mismo, cada 3 cuadraditos, hay 10.000 unidades.
0 10.000
20.00010.000 30.000 40.000 50.000 60.000 70.000 80.000 90.000
0 1.000.000
200.000100.000 300.000 400.000 500.000 600.000 700.000 800.000 900.000
0 10.000.0002.500.000 5.000.000
0 100.00030.000
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4. Por ejemplo,
a. Por ejemplo, puede tenerse en cuenta que la primera recta abarca los números de 0 a 1.000.000; la segunda, de 1.000.000 a 2.000.000 y la tercera, de 5.000.000 a 10.000.000.Luego de haber elegido la recta adecuada, se debe mirar la escala de dicha recta para poder ubicar el número de forma aproximada.5.
Anterior Número Siguiente5.999.999 6.000.000 6.000.001
1.399.098 1.399.099 1.399.100
300.988 300.989 300.990
6.008.999 6.009.000 6.009.001
6.789.999 6.790.000 6.790.001
a. Por ejemplo,
b. Por ejemplo, contar de 1.000.000 en 1.000.000 y escribir el número que representa cada raya marcada. Con esos números de referencia, ubicar aproximadamente los números de la columna pedida.
Página 18Volver a ver1. a. Tres millones trescientos treinta y tres mil trescientos treinta y tres.b. Cinco millones cinco mil cinco.c. Veinticinco millones tres mil doscientos ocho.d. Doce millones novecientos nueve mil setecientos nueve.2. a. 76.543
0 1.000.000
1.000.000 2.000.000
5.000.000 10.000.000
299.999
897.963
1.488.915
9.008.014
0 1.000.000
300.989 1.399.099 6.009.000
6.000.000 6.790.000
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b. 3c. 36 – 46 – 56 – 76.d. 634 – 654 – 674.e. 53.467 – 53.476 – 53.647 – 53.674 – 53.746 – 53.764 – 54.367 – 54.376 – 54.637 – 54.673 – 54.736 – 54.763.3. 500.001 – 500.011 – 500.110.4. Marcar la opción b.5. Marcar las opciones a y d.6. Lucas tiene razón porque 9 dieces es hacer la cuenta 9 × 10 = 90.7. a. 7.834.b. 20.511.c. 2.542.8. a. 1 billete de $10.000, 3 billetes de $1.000, 4 billetes de $100 y 5 billetes de $10.b. 4 billetes de $100.000, 3 billetes de $10.000, 2 billetes de $100 y 9 billetes de $1.c. 10 billetes de $100.000, 7 billetes de $10.000, 3 billetes de $100, 2 billetes de $10 y 6 billetes de $1.9.
Número Menor Mayor470.035 470.034 470.036
37.508 37.507 37.509
801.003 801.004 801.005
10. Por ejemplo,213.715 – 2 × 100.000 - 1 × 10.000 – 3 × 1.000 – 7 × 100 – 1 × 10 – 5 × 1.
Página 192. Operaciones con números naturales1. a. Durante la semana, se fabricaron 4.800 copas.b. Sí, porque se fabricaron 2.160 vasos durante la semana.c. Para entregar el pedido, es necesario fabricar 350 tazas más.
Página 20Problemas con varios pasosResolución de problemas con varios pasos y varias operaciones.
1. Los cálculos que sirven para determinar la cantidad de copas que se fabricaron en una semana son los que realizaron Lucas y Martina.2. Producción grupal. Lucía primero suma la cantidad de cajas de tazas que se fabricaron en la semana, y luego, la multiplica por la cantidad de tazas que entran en cada caja. Así, obtiene la cantidad total de tazas fabricadas en la semana. Finalmente, para saber cuántas unidades le faltan para completar el pedido, hace la resta de las tazas pedidas (1.850) menos las tazas fabricadas (1.500).Felipe, en cambio, calcula la cantidad de cajas que se fabricaron cada día de la semana y a la
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cantidad de tazas pedidas (1.850) le resta la cantidad de tazas fabricadas el miércoles (40 × 15) y la cantidad fabricada el viernes (60 × 15).3. Por ejemplo, 60 120 2.160+ 60
x 18
– 2.100
120 2.160 60
Página 21Multiplicar y dividirIdentificar problemas de multiplicación y de división que involucran diferentes sentidos y modos de presentar la información.
1. a. Paquetes de caramelos vendidos 1 7 10 15 18 20
Dinero recaudado ($) 14 98 150 210 252 280
b. Alfajores vendidos 1 5 9 11 15 30
Dinero recaudado ($) 22 110 198 242 330
c. Empanadas vendidas 1 8 12 15 17 20
Dinero recaudado ($) 35 280 420 525 595 700
2. Pueden hacer 35 barriletes distintos.a. Usaron 6 telas distintas.
Página 22Problemas con tapitasIdentificar problemas de multiplicación y división que involucran diferentes sentidos y modos de presentar la información.
1. a. Para cubrir todo el rectángulo, se necesitan 234 tapitas.b. Alcanzarán para 23 filas.c. Se puede armar un rectángulo de una fila con 48 tapitas, un rectángulo de dos filas con 24 tapitas cada una, un rectángulo de 3 filas con 16 tapitas cada una, un rectángulo de 4 filas con 12 tapitas cada una, un rectángulo de 6 filas con 8 tapitas cada una, un rectángulo de 8 filas con 6 tapitas cada una, un rectángulo de 12 filas con 4 tapitas cada una y un rectángulo de 24 filas con 2 tapitas cada una.2. a. Por ejemplo, cuando hay que repartir cantidades.b. Por ejemplo, cuando hay que partir cantidades.c. Por ejemplo, cuando hay que partir cantidades iguales.d. Por ejemplo, en problemas donde hay que partir y repartir.
Página 23Formas de multiplicarDistintas estrategias de cálculo para multiplicaciones.
1. a. Lucía descompuso al 486 como 400 + 80 + 6 y al 55 como 50 + 5. Luego, hizo los
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cálculos parciales 5 × 6, 5 × 80, 5 × 400, 50 × 6, 50 × 80 y 50 × 400. Nicolás, en cambio, solo descompuso al 55 como 50 + 5 e hizo los cálculos parciales 486 × 5 y 486 × 50.b. Los 3 chiquitos representan los dieces del número 30 que sale de haber hecho 5 × 6. Los 4 chiquitos representan los cienes del número 430.c. El 2.430 en la cuenta de Lucía aparece al sumar 30 + 400 + 2.000. Este número representa el cálculo parcial 486 × 5.d. El 20.000 aparece al final luego de sumar y representa el cálculo parcial 400 × 50. Por ejemplo, puede pensarse que se descompone al 55 como 50 + 5, y entonces 486 × 50 = 486 × (50 + 5) = 486 × 50 + 486 × 5 = 2.430 + 24.300 = 26.730. Luego, el 20.000 aparecería si, además de descomponer al 55 como 50 + 5, se descompusiera al 486 como 400 + 80 + 6 porque en ese caso estaría el cálculo parcial 400 × 50 = 20.0002. a. Por ejemplo, Lucas multiplica por 100 porque es más fácil y, como sabe que 50 es la mitad de 100, al resultado lo divide por 2.Por ejemplo, Martina aproxima al 18 por 20 y multiplica al 45 por 20 que resulta más sencillo. Como 20 se pasa de 18 en 2 unidades, también multiplica 45 × 2 y luego se lo resta a lo obtenido antes.b. Por ejemplo, cálculos que pueden resolverse como lo hace Lucas:38 × 500 =38 × 1.000 = 38.00038 × 500 = 38.000 : 2 = 19.000
29 × 25 =29 × 100 = 2.90029 × 25 = 2.900 : 4 = 725
Por ejemplo, cálculos que pueden resolverse como lo hace Martina:30 × 27 =30 × 30 = 90030 × 3 = 9030 × 27 = 900 – 90 = 810
25 × 36 =25 × 40 = 1.00025 × 4 = 10025 × 36 = 1.000 – 100 = 900
Páginas 24 y 25Cálculos exactos y aproximadosEstrategias de cálculo exacto y aproximado para multiplicación y división. Estimaciones.
1. a. 10.b. 100.
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c. 1.000.d. 10.e. 100.f. 1.000.2. a.
Cuentas Procedimiento de Lucía Procedimiento de Nicolás12 × 40 12 × 4 = 48 48 × 10 = 480 12 × 10 = 120 120 × 4 = 480
34 × 20 34 × 2 = 68 68 × 10 = 680 34 × 10 = 340 340 × 2 = 680
25 × 70 25 × 7 = 175 175 × 10 = 1.750 25 × 10 = 250 250 × 7 = 1.750
b. Por ejemplo,12 × 400 =12 × 4 = 48 48 × 10 = 480 480 × 10 = 4.800.34 × 200 =34 × 100 = 3.400 3.400 × 2 = 6.800.25 × 700 =25 × 7 = 175 175 × 100 = 17.500.3. Por ejemplo,a. 4 × 30 = 8 × 30 : 2 = 240 : 2 = 120.b. 16 × 30 = 8 × 30 × 2 = 240 × 2 = 480.c. 9 × 30 = 8 × 30 + 8 × 30 : 8 = 240 + 30 = 270.d. 8 × 15 = 8 × 30 : 2 = 240 : 2 = 120.e. 8 × 60 = 8 × 30 × 20 = 240 × 20 = 4.800.f. 8 × 31 = 8 × 30 + 8 × 30 : 30 = 248.4. a. Rodear: Entre 500 y 1.000.b. Rodear: Más de 5.000.c. Rodear: Entre 1.000 y 5.000.5. a. Rodear: 150.b. Rodear: 2.400.c. Rodear: 33.d. Rodear: 450.6. Por ejemplo,a. 90 : 6 = 180 : 6 : 2 = 15.b. 360 : 6 = 180 : 6 × 2 = 60.c. 180 : 12 = 180 : 6 × 2 = 15.d. 180 : 3 = 180 : 6 × 2 = 60.e. 186 : 6 = 180 : 6 + 6 : 6 = 31.f. 360 : 12 = 180 : 12 × 2 = 30.7. a. Rodear: Entre 500 y 100.b. Rodear: Entre 200 y 300.c. Rodear: Entre 1.000 y 2.000.8. Producción grupal.
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a. Por ejemplo, puede estimarse usando multiplicaciones ya conocidas. Para estimar 459 : 9 podría usarse, por ejemplo, que 9 × 50 = 450. Y esta multiplicación es sencilla de resolver si se piensa en 9 × 5 = 45 9 × 50 = 45 × 10 = 450.
Páginas 26 y 27Problemas con divisionesDiferentes problemas de dividir: reparto y partición, organizaciones rectangulares, iteraciones y análisis del resto.
1. El valor de cada cuota es de $1.800, $1.200 y $900 pagando en 6, 9 y 12 cuotas respectivamente.2. a. Le entregarán 57 toallas a cada comercio.b. Les quedan 2 toallas sin entregar.c. Como son 14 comercios y le sobran 2 toallas, necesitarán 12 toallas más para poder entregarle una más a cada uno.3. a. Necesitará, como mínimo, 28 bandejas para cocinar todas las medialunas.b. Deberá agregar 4 medialunas para completar la última bandeja.4. a. Lucas: El número 800 representa la cantidad de toallas fabricadas, 14 son los comercios entre los que hay que repartir las toallas, 57 son representa la cantidad de toallas que recibirá cada comercio y el número 2 representa las toallas que sobraron.Martina: El número 500 representa las medialunas que tiene que cocinar el panadero, 18 son las medialunas que entran en cada bandeja, el número 27 representa la cantidad de bandejas en las que puede poner 18 medialunas y el número 14 representa la cantidad de medialunas que sobran.b. Hay que tener en cuenta el resto de la división para responder las preguntas 2. b y c y 3. b.5. a. El número más cercano a cero al que llegará Malena será el 2. Malena restará 24 veces el número 7.b. El número más cercano y anterior a 170 será 168. Martín sumará 24 veces el número 7.c. Dentro de 170 días será miércoles.6. Los problemas 5, 6 y 7 se resuelven haciendo 170 : 7. Al dividir 170 por 7, se obtiene cociente 24 y resto 2. Por ejemplo, para el problema 5, el resto de la división (2) representa el número más cercano a cero al cual llegará Malena; y el cociente (24) representa la cantidad de veces que tuvo que restar 7. Para el problema 6, el cociente de la división (24) sirve para encontrar el múltiplo de 7 más cercano a 170, en este caso es 24 × 7 = 168. Por lo que también sirve para responder cuántas veces sumará 7. En este caso, sumará 24 veces. Para el problema 7, como la semana tiene 7 días, podemos saber que dentro de 24 semanas también será lunes (pues cada 7 días vuelve a ser lunes); luego, dentro de 168 días (24 × 7) será lunes, entonces dentro de 170 días será miércoles (170 = 168 + 2).
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Página 28Formas de dividirDiferentes estrategias de cálculo para divisiones.
1. Se cortaron en 46 pedazos iguales y sobraron 10 metros de cable.2. a. Son todas correctas. Lucas fue multiplicando valores hasta encontrar al último número que multiplicado por cuarenta y seis no supera los 700 metros. Martina y Nicolás partieron el número 700 en 15 partes de diferentes maneras.b. Lucas, por ejemplo, podrá saber cuántos pedazos iguales se obtuvieron al encontrar el número que justo al multiplicarlo por 15 no supere al 700. Y la cantidad de metros que sobran son las que le faltan para llegar a 700.Martina y Nicolás, por ejemplo, podrán saber cuántos pedazos iguales se consiguieron al sumar los cocientes que obtuvieron en la división. Y el resto de la división es la cantidad de metros que le sobran.c. Esos números son la cantidad de pedazos de 15 metros que se van obteniendo.Por ejemplo, 15 60 15 90 x 4
x 10
x 6
+ 600
60 600 90 690d. Se podría, por ejemplo, al hacer el cálculo 700– 10 (dividendo menos el resto).
Página 29Estudiar divisionesAnálisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. Alfajores que se
fabrican en el día Alfajores por caja Cajas que se llenaron
Alfajores que sobraron
Lunes 70 6 11 4
Martes 100 12 8 4
Miércoles 108 6 18 2
Jueves 90 12 7 6
Viernes 265 24 11 1
2. Tenían 450 baldosas.3. 162 dividido 5 da 32 y el resto es 2. A su vez, 162 divido 32 da 5 y el resto es 2. Por ejemplo, en ambos casos se puede hacer la cuenta 32 × 5 + 2 = 162.4. a. Dividendo: 55. Se calcula haciendo 6 × 9 + 1 = 55.b. Dividendo: 283. Se calcula haciendo 7 × 40 + 3 = 283.c. Dividendo: 440. Se calcula haciendo 31 × 14 + 6 = 440.
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Página 30Relación entre el dividendo y el restoAnálisis de las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto.
1. a. Por ejemplo, dividendo: 43 y resto: 3; dividendo: 42 y resto: 2; dividendo: 40 y resto: 0.b. Por ejemplo, dividendo: 47 y resto: 7; dividendo: 40 y resto: 0; dividendo: 45 y resto: 5.2. a. Tiene razón Lucía porque por más de que los números sean los mismos, en el primer caso solo puede haber 5 posibles restos: 0, 1, 2, 3 o 4, lo que da un total de 5 posibles dividendos. En cambio, en la segunda cuenta puede haber 8 posibles restos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 o 7, lo que da un total de 5 posibles dividendos.b. Depende de la cantidad de posibles restos, que a su vez depende del divisor. Por ejemplo, si el divisor es 8, hay 8 posibles restos y, por lo tanto, 8 posibles dividendos.
Página 31Relaciones entre multiplicación y divisiónRelaciones entre multiplicación y división.
1. a. Por ejemplo,9 × 8 = 72.72 : 8 = 9.72 : 9 = 8.b. Por ejemplo,12 × 10 = 120.120 : 12 = 10.120 : 10 = 12.2. Es correcto lo que dice Martina porque con los papeles pueden hacerse dos multiplicaciones y dos divisiones. Por ejemplo, 9 × 8 = 72, 8 × 9 = 72, 72 : 8 = 9, 72 : 9 = 8.3.
Cociente Resto300 : 20 15 0
305 : 20 15 5
312 : 20 15 12
319 : 20 15 19
320 : 20 16 0
Cociente Resto300 : 15 20 0
305 : 15 20 5
312 : 15 20 12
315 : 15 21 0
320 : 15 21 5
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Páginas 32 y 33CalculadoraUso de la calculadora para explorar las propiedades de la multiplicación y la división.
1. Por ejemplo,a. 22 × 3 × 5.b. 45 × 3 × 9.c. 34 × 10 : 2.d. 34 × 100 : 2.e. 136 : 2 : 4.f. 360 : 3 : 5.g. 200 : 10 × 2.h. 200 : 100 × 2.2. a. Correcta. Por ejemplo, porque 18 = 9 × 2.b. Incorrecta. Por ejemplo, porque multiplicar por 9 y por 9 equivale a multiplicar por 81, ya que 9 × 9 = 81.c. Correcta. Por ejemplo, porque 18 = 6 × 3.d. Correcta. Por ejemplo, porque 5 = 10 : 2.e. Incorrecta. Por ejemplo, porque dividir por 5 y por 10 equivale a dividir por 50.f. Correcta. Por ejemplo, porque 15 = 5 × 3.3. a. 30 × 80 = 2.400. Por ejemplo, porque 80 es el doble de 40, entonces el resultado es el doble de 1.200.b. 15 × 40 = 600. Por ejemplo, porque 15 es la mitad de 30, entonces el resultado es la mitad de 1.200.c. 90 × 40 = 3.600. Por ejemplo, porque 90 es el triple de 30, entonces el resultado es el triple de 1.200.d. 60 × 80 = 4.800. Por ejemplo, porque 60 es el doble de 30 y 80 es el doble de 40, entonces el resultado es el cuádruple de 1.200.e. 60 × 20 = 1.200. Por ejemplo, porque 60 es el doble de 30 y 20 es la mitad de 40, entonces el resultado se mantiene y es 1.200.4. a. 240 : 8 = 30. Por ejemplo, porque 240 es el doble de 120, entonces el resultado va a ser el doble de 15.b. 60 : 8 = 7,5. Por ejemplo, porque 60 es la mitad de 120, entonces el resultado va a ser la mitad de 15.c. 120 : 4 = 30. Por ejemplo, porque 4 es la mitad de 8, entonces se reparte la misma cantidad de elementos en menos partes, lo que hace que el tamaño de cada parte sea el doble de grande, es decir, el resultado es el doble de 15.d. 240 : 16 = 15. Por ejemplo, porque 240 es el doble de 120 y 16 es el doble de 8, entonces hay el doble de elementos para repartir en el doble de partes, por lo que cada parte se mantiene igual que si se repartieran 120 en 8.5. Nicolás está equivocado porque el resultado de 60 × 80 es el cuádruple del resultado de 30 × 40.
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a. Nicolás está equivocado porque el resultado de 120 : 4 es el doble del resultado de 120 : 8, ya que se reparte la misma cantidad (120) entre la mitad de partes (4). Entonces, cada parte es el doble de grande.
Página 34Volver a ver1. a. 2.800b. Sí, es correcto porque, por ejemplo, se puede pensar al 16 como 10 + 6.c. Por ejemplo, porque es más fácil multiplicar por 10.d. Por ejemplo, 175 × 17 = 175 × 10 + 175 × 7 = 1.750 + 1.225 = 2.9752. a. 510 × 70 – 510 = 35.700 – 510 = 35.190. En este caso, por ejemplo, se pensó al 69 como 70 – 1.b. 510 × 60 + 510 × 9 = 30.600 + 4.590 = 35.190. En este caso, por ejemplo, se descompuso al 60 como 60 + 9.c. 51 × 7 × 100 – 510 = 35.700 – 510 = 35.190. En este caso, por ejemplo, también se pensó al 69 como 70 – 1, pero a su vez se pensó al 70 como 7 × 10 y al 510 como 51 × 10. Luego, 510 × 70 quedó como 51 × 10 × 7 × 10 = 51 × 7 × 100.3. Por ejemplo, podría pensarse que conviene hacer 342 × 3 × 10 porque multiplicar por 3 es sencillo (equivale a sumar el número 3 veces) y multiplicar por 10 también es sencillo: equivale a agregar un cero al final del número.Podría aplicarse, por ejemplo, a 561 × 50, pues es más sencillo multiplicar 561 × 5 × 10 que 561 × (25 + 25).4. a. Cociente: 54. Resto: 2. Por ejemplo, puede completarse así:
b. Cociente: 316. Resto: 4. Por ejemplo, puede completarse así:
5. Dividendo Divisor Cociente Resto
780 35 22 10
691 23 30 1
1.000 35 28 20
1.460-1.350
110108
2
2750
454
+
+
8.536-8.100
436432
4
27300
16316
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6. a. 7.992.b. 1.136.7.
8. a. Por ejemplo, dividendo: 96 y resto: 5. En este caso, hay 7 posibilidades para completar la cuenta.b. Por ejemplo, dividendo: 102 y resto: 11. En este caso, hay 12 posibilidades para completar la cuenta.
Página 353. Triángulos1. Sí, porque siempre es posible unir los vértices usando líneas.a. Para formar un rectángulo, se necesitan dos triángulos. Si no fueran triángulos iguales, la figura que se forma sería un polígono irregular.2. Se forma un rombo porque queda un cuadrilátero con sus lados iguales. No es un cuadrado porque para eso hace falta que los triángulos tengan un ángulo recto, pero los triángulos equiláteros tienen todos sus ángulos de 60°.
Páginas 36 y 37Los triángulosCaracterización de las figuras geométricas según su cantidad de lados y de vértices. Triángulos.
1. Por ejemplo,
2. a. No, porque, por ejemplo, en el tercer polígono no se forma un triángulo en una de las divisiones y, además, en cada figura se pueden unir más vértices.3. a. Porque, por ejemplo, la figura amarilla tiene tres vértices mientras que la otra no.
937x 86
42180
5.400560
2.40072.00080.582
(6 x 7)(6 x 30)
(6 x 900)(80 x 7)
(80 x 30)(80 x 900)
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4. Se pueden construir infinitos triángulos, por ejemplo:
5.
Hay un solo triángulo posible porque, aunque parezca que se puede dibujar uno abajo, es el mismo que el marcado.6. Con la medida de los 3 lados a veces se puede construir un solo triángulo y a veces no se puede construir ninguno. Para que se pueda construir, la suma de dos de los lados tiene que ser siempre mayor que el tercer lado y la resta de dos de los lados tiene que ser siempre menor que el tercer lado.
Páginas 38 y 39Construir triángulosLas construcciones de triángulos como insumo para la elaboración de la desigualdad triangular.
1. Por ejemplo, se copia el segmento ‾ PS y con el compás se dibuja una circunferencia de centro P y radio ‾ PR y otra con centro S y radio ‾ SR . Para marcar el punto R, se busca la intersección entre las circunferencias. Una vez marcado, se unen los puntos usando segmentos.2. Producción personal.3. Por ejemplo,
6 cmA B
C
4 cm
6 cm
5 cm
A
C
B
4 cm
3 cm
3 cm
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4. Por ejemplo,
a. Hay un solo triángulo posible porque, aunque parezca que se puede dibujar uno abajo, es el mismo que el marcado.5. Por ejemplo,
a. No se puede realizar la construcción porque la medida de uno de sus lados no es menor que la suma de los otros dos.6. Por ejemplo,
a. No se puede realizar la construcción porque la medida de uno de sus lados no es menor que la suma de los otros dos.
Página 40¿Cómo son los triángulos?Construcciones de triángulos a partir de sus lados.
1. a. Nicolás habrá ubicado los tres puntos sobre una misma línea. Para construir un triángulo, los tres puntos pueden ubicarse de infinitas maneras, solo basta con no ubicarlos sobre una misma línea.
10 cm
8 cm
A
C
B
6 cm
12 cm
radio = 6 cm
radio = 4 cm
A B
10 cm
radio = 6 cm
radio = 4 cm
A BC
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2.
a. Los triángulos son iguales.3.
b. No es posible construir un triángulo con esas medidas porque los puntos quedan alineados.4. Para poder realizar la construcción de un triángulo, la medida de cada lado tiene que ser menor que la suma de los otros dos.
Página 41Los triángulos y sus ladosPropiedades de los lados de un triángulo. Congruencia.
1. Por ejemplo,Medidas de los lados ¿Qué lado cambian? ¿Cuál es la nueva medida?
3 cm, 7 cm y 5 cm Ninguno
12 cm, 5 cm y 3 cm Por ejemplo, el de 3cm 8 cm
11 cm, 12 cm y 13 cm Ninguno
3 cm, 10 cm y 7 cm Por ejemplo, el de 3 cm 5 cm
2. Producción personal.a. Iguales.3. El triángulo FGE es congruente a KLJ porque tienen sus lados y ángulos iguales.El triángulo NMQ es congruente BAC porque tienen sus lados iguales y un ángulo de 90°.El triángulo YZX es congruente a RPS porque tienen sus lados iguales.
A
B
B’
C
radio = 3 cm radio = 3 cm
A C
radio = 2 cm
radio = 3 cm
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Páginas 42 y 43Los lados y los ángulos del triánguloClasificación de triángulos según sus lados y sus ángulos.
1. Por ejemplo,
a. Porque, por ejemplo, se usó un transportador para medirlos.2. Por ejemplo:
a. La medida de sus ángulos también es diferente.b. El ángulo B mide 53 grados.
4 cm
4 cm 4 cm4 cm 4 cm
53,14º
36,86º
4 cm
3 cm
5 cm
radio = 5 cm
radio = 3 cmA C
B
β = 90º
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3. Por ejemplo,
4. Por ejemplo,
5. Por ejemplo,
a. Sí, porque la escuadra tiene un ángulo de 90° y, al ser graduada, puedo marcar las longitudes de cada lado.6.
Triángulo isósceles Triángulo equilátero Triángulo escalenoTriángulo acutángulo F E A
Triángulo rectángulo D C
Triángulo obtusángulo G B
a. No, porque quedaron sin completar los casilleros correspondientes a triángulo rectángulo equilátero y triángulo obtusángulo equilátero.7. a. No es posible construir triángulos equiláteros rectángulos porque, por ejemplo, el lado opuesto al ángulo recto es mayor a los otros dos. No es posible construir triángulos equiláteros obtusángulos porque, al tener un ángulo obtuso, el lado opuesto a ese ángulo es
5 cm
3 cm
A
B = 120ºB = 120º
C
5 cm
5 cm
AB
α = 120ºα = 120º
C
3 cmA B
C
90º
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más grande que los otros dos.b. No, porque es un triángulo equilátero. Al tener 3 lados iguales, sus ángulos también son iguales.c. Sus lados miden lo mismo.d. Sus ángulos miden 60°.
Página 44GeoGebraConstrucción de triángulos con GeoGebra.
1. Producción personal.a. Producción personal.
Página 45La suma de los ángulos interiores de un triánguloSuma de ángulos interiores de un triángulo.
1. No es posible construirlo porque, al tener dos ángulos rectos, no es factible cerrar el triángulo. Dos de sus lados quedan paralelos entre sí y perpendiculares al otro lado.2. No es posible construirlo porque no es factible cerrar el triángulo. Dos de sus lados quedan paralelos entre sí.3. Por ejemplo, podría ser 85° porque es lo que mide el ángulo si se unen los vértices libres para formar el triángulo.4. Se espera que los estudiantes respondan que los ángulos faltantes deben sumar 130°.5. a. Los ángulos interiores de un triángulo rectángulo suman 180° porque la suma de los ángulos interiores de un rectángulo es 360°, y cada rectángulo puede ser dividido en dos triángulos rectángulos.b. Los ángulos α y β suman 180° porque forman un ángulo llano. Los ángulos A , B y C también suman 180° porque son los ángulos interiores de un triángulo.
Página 46Volver a ver1. Marcar c.2. Por ejemplo, se copia el segmento ‾ AC y con el compás se dibuja una circunferencia de centro A y radio ‾ AB y otra con centro C y radio ‾ CB . Para marcar el punto B, se busca la intersección entre las circunferencias. Una vez marcado, se unen los puntos usando segmentos.3. No es posible porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo tienen que sumar 180°.
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4. Por ejemplo,
Al tener tres ángulos, pero uno de ellos recto, y lados distintos, el triángulo construido es un triángulo rectángulo escaleno.5. A: triángulo rectángulo escaleno.B: triángulo obtusángulo escaleno.C: triángulo acutángulo escaleno.D: triángulo rectángulo escaleno.E: triángulo acutángulo escaleno.F: triángulo equilátero acutángulo.6. El triángulo construido es equilátero.7. Por ejemplo,
Medidas de los lados ¿Qué lado cambiarías? ¿Cuál es la nueva medida?
12 cm, 4 cm y 18 cm 4 cm 10 cm
5 cm, 5 cm y 4 cm ninguno
5 cm, 5 cm y 11 cm 5 cm 10 cm
5 cm, 5 cm y 5 cm ninguno
Página 474. Múltiplos y divisores1. No hay una única respuesta. Por ejemplo, se pueden armar 56 bolsitas con una trufa cada una o, por ejemplo, 2 bolsitas con 28 trufas cada una.a. Si quiere armar 14 bolsitas, tendrá que poner 4 trufas en cada una.b. Podrá armar 7 bolsitas si quiere poner 8 trufas en cada una.c. Podrá armar 4 bolsitas con 12 trufas cada una y le sobrarán 8.
6 cm 8 cm
10 cmA
C
B
β = 36,87ºα = 56,13º
γ = 90º
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Página 48Múltiplos y divisores de un númeroExploración de las nociones de múltiplo y divisor de un número en la resolución de problemas.
1. a. No, porque al dividir 56 por 15 no se obtiene resto cero.b. No, porque al dividir 157 por 5 no se obtiene resto cero.2. a. 48 = 8 × 6. b. 48 = 8 × 3 × 2.3. Julio tiene razón porque el número 126 es múltiplo de 6.
Página 49La divisiónInformación que brinda el algoritmo de la división respecto de las relaciones de múltiplo y divisor.
1. a. Cociente: 17. Resto: 3.b. Cociente: 18. Resto: 0.c. Cociente: 6. Resto: 0.2. Producción personal. Por ejemplo,280 : 10 = 28.168 : 6 = 28.224 : 8 = 28.784 : 28 = 28.140 : 5 = 28.3. a. Sí, por ejemplo 50 : 47 tiene como cociente 1 y resto 3.b. No, porque el resto siempre es menor que el divisor.4. a. No, porque el número 108 no es múltiplo de 8.b. Sí, porque el número 208 es múltiplo de 8.c. Por ejemplo, 104 – 560 – 744 – 976.d. Por ejemplo, 512.
Páginas 50 y 51Múltiplos y divisores comunes de un númeroResolución de problemas usando múltiplos y divisores comunes de un número.
1. a. Por ejemplo, se pueden armar en dos filas de 9 cuadrados en una fila de 18 cuadrados, tres filas de 6 cuadrados, o 6 filas de 3 cuadrados.b. Solo se puede armar un estructura rectangular poniendo las 17 cajas en una sola fila porque el número 17 no es divisible por ningún otro número.2. a. 12 = 4 × 3.12 = 2 × 2 × 3.b. 34 = 2 × 17.c. 25 = 5 × 5.d. 13 = 13 × 1.e. 36 = 9 × 4.
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36 = 3 × 3 × 4.f. 30 = 3 × 10.30 = 5 × 2 × 3.3. a. 1, 2, 3, 4, 6, 12.b. 1, 2, 17, 34.c. 1, 5, 25.d. 1, 13.e. 1, 2, 3, 4, 9, 36.f. 1, 2, 3, 5, 6, 10, 30.4. a. No es posible que haya ingresado ese número porque 15 no es un divisor de 144.b. Por ejemplo, el número 135 porque 9 × 15 = 135c. Hay infinitas posibilidades, por ejemplo, 45, 90, 180, 270.5. a. I. Porque, por ejemplo, al dividir 111 por 11 no tiene resto cero.b. I. Porque, por ejemplo. los múltiplos de 3 ubicados entre 140 y 150 son 141, 144, 147, 150.c. C. Porque, por ejemplo, 59 × 2 = 118.d. C. Porque, por ejemplo, al dividir 308 por 2 se obtiene resto cero.e. C. Porque, por ejemplo, 15 × 2 = 75.6. Se espera que el estudiante observe que, para saber si un número es múltiplo o divisor de otro, basta con ver el resto de la división del segundo con el primero.7. a. Pondrá 16 autitos por cada estante.b. Se tendrán 3 estantes para los autitos antiguos y 4 para los modernos.
Página 52Números primos y compuestosIntroducción de las nociones de número compuesto y número primo.
1. Los números primos comprendidos entre 50 y 80 son: 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79.Por ejemplo, viendo que son los únicos números que solo tienen dos divisores (1 y el mismo número).2. a. 56 es un número compuesto porque 56 = 4 × 14.b. 199 es un número primo, entonces 199 = 1 × 199.c. 229 es un número primo, entonces 229 = 1 × 229.d. 123 es un número compuesto porque 123 = 3 × 41.3. Es posible usando el factor 1 porque todos los números son múltiplos de este.4. Producción grupal. Por ejemplo, verificar que el número no esté en la tabla de otro número.
Página 53Múltiplo común menor y divisor común mayorExploración y resolución de situaciones usando múltiplo común menor y divisor común mayor.
1. Coincidirán 12 horas después.2. a. Nicolás va sumando las horas en las que se detiene cada auto, mientras que Lucía busca
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los múltiplos de 4 y de 6.b. Producción grupal.3. a. La explicación de Lucía puede, por ejemplo, seguir así: los multipliqué. Los factores comunes son 2 x 2 x 3.b. Nicolás busca divisores de 30 y 36 mientras que Lucía los descompone. En ambos casos buscan el divisor común mayor.
Página 54Criterios de divisibilidadExploración de algunos criterios de divisibilidad.
1. a. Sí, porque, por ejemplo, al dividir 126 por 2, da resto cero.b. Por ejemplo, se podría observar si la última cifra del número es múltiplo de 2 o no.c. Por ejemplo, se podría ver si el número es divisible por dos. Si lo es, para saber si es múltiplo de cuatro, se podría verificar si el cociente que se obtiene de dividir ese número por dos vuelve a ser divisible por dos.2. Se espera que los estudiantes estén de acuerdo con Lucía porque un número es par si el resto de dividir ese número por dos es cero. Y se espera que no estén de acuerdo con Nicolás porque, por ejemplo, el número 5 es impar, pero no es múltiplo de 3.3. a. Sí. 355 es divisible por 5 porque, por ejemplo, al dividir el primero por el segundo, da resto cero. Y 355 es múltiplo de 5 porque 5 × 71 = 355.4. Pintar de azul: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 100. Pintar de amarillo: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100. Pintar de verde: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100.a. Por ejemplo, los múltiplos de 2 se encuentran sumando de dos en dos, los múltiplos de 5 sumando de 5 en 5 y los múltiplos de 10 de 10 en diez.b. Producción grupal. Por ejemplo, un número es múltiplo de 2 si es par, es múltiplo de 5 si termina en 0 o en 5 y es múltiplo de 10 si termina en cero.
Página 55CalculadoraUso de la calculadora para la identificación de propiedades de las operaciones.
1. Por ejemplo,64 × 14 = 32 × 14 + 32 × 14.126 × 22 = 125 × 22 + 1 × 22.a. Por ejemplo,64 × 14 = 32 × 14 × 2.126 × 22 = 63 × 22 × 2.2. Por ejemplo,48 × 75 = 12 × 4 × 76 - 12 × 4.3. a. No, porque, por ejemplo, el número 206 no es múltiplo de 6.
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b. Sí, porque, por ejemplo, 6 × 202 = 1.212.c. Por ejemplo: 306, 510, 726.4. a. El primero es correcto porque, por ejemplo, el número 360 es igual a 200 + 160 y al multiplicar 18 en cada término de la suma da el mismo resultado que 360 × 18. El segundo es incorrecto porque 20 × 18 × 2 + 1 + 1 + 1 = 20 × 36 + 3 = 723 pero 23 × 36 = 828.
Páginas 56 y 57Más sobre múltiplos y divisores de un númeroArgumentación sobre la validez de las afirmaciones sobre múltiplos y divisores.
1. a. C. Porque, por ejemplo, uno de los factores es 12.b. C. Porque, por ejemplo, 26 es múltiplo de 13.c. I. Porque, por ejemplo, 12 y 26 no son múltiplos de 10.d. I. Porque, por ejemplo, 12 y 26 no son múltiplos de 20.2. a. Porque, por ejemplo, al dividir 2.976 por 48 da resto cero.b. Porque, por ejemplo, 2.976 es múltiplo de 62.c. Porque, por ejemplo, 48 es múltiplo de 24.d. Porque, por ejemplo, 48 × 62 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 31 × 2 = 16 × 93 × 2 = 2.976.3. a. I. Porque, por ejemplo, el resto de dividir 584 por 48 no es cero.b. I. Porque, por ejemplo, el resto de la división que se muestra no es cero.c. I. Porque, por ejemplo, 12 no es divisor de 584.4. a. Se espera que los estudiantes comenten que Lucía está en lo correcto porque 18 × 6 y 28 son múltiplos de cuatro y, al sumarlos, siguen siéndolo.5. a. C. Porque, por ejemplo, 111 × 3 = 333.b. I. Porque, por ejemplo, el número 185 no es par.c. I. Porque, por ejemplo, el número 104 no termina en cinco ni en cero.d. C. Porque, por ejemplo, 304 = 2 × 152 y 152 es múltiplo de 2.6. Marcar todas las opciones.a. Porque, por ejemplo, 720 : 9 = 720 : 18 × 2.b. Porque, por ejemplo, 720 : 36 = 720 : 18 : 2.c. Porque, por ejemplo, 720: 40 = 18.d. Porque, por ejemplo, 720 : 80 = 720 : 40 : 2.7. Marcar las opciones a, d y e.a. Es correcta porque, por ejemplo, todo número que se divida por 1 da resto cero.b. Es incorrecta porque, por ejemplo, el número 1 no es múltiplo de 5.c. Es incorrecta porque, por ejemplo, los números primos solo tienen dos divisores.d. Es correcta porque, por ejemplo, todo número multiplicado por cero da como resultado cero.e. Es correcta porque, por ejemplo, un número dividido por sí mismo tiene cociente 1 y resto 0.
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Página 58Volver a ver1. Por ejemplo, el número 2.a. Por ejemplo, los números 45 y 90.2. Producción personal.3. Hay más de una posibilidad porque hay infinitos números que son múltiplos de 4, 6 y 12 a la vez. Por ejemplo, puede tener 12 o 24 alfajores.4. Rodear: 18, 65, 81, 93, 121.Los divisores de 18 son: 1, 2, 3, 6, 9, 18.Los divisores de 65 son: 1, 5, 13.Los divisores de 81 son: 1, 3, 9, 81.Los divisores de 93 son: 1, 3, 31.Los divisores de 121 son: 1, 11, 121.5. a. Coincidirán cada 40 minutos, es decir, a las 7 y 40 de la mañana.b. Pasarán los tres ramales porque los tres coinciden a las 7:40 am, 8:20 am y 9 am, es decir, coinciden cada 40 minutos.6. Marcar b, c, d.7. a. 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.b. Tienen dos divisores.c. Los números que quedaron sin marcar son los números primos que hay del 1 al 100.
Página 475. Fracciones1. Por ejemplo, los números que aparecen en la imagen son fracciones, representan una parte del entero, pero no siempre se divide al entero en la misma cantidad de partes.2.
Cantidad de bochas de helado 1 2 3 4 5 6 8 10
Peso (kg) 1 _ 8 2 × 1 _ 8 = 1 _ 4 3 × 1 _ 8 = 3 _ 8 4 × 1 _ 8 = 1 _ 2 5 × 1 _ 8 = 5 _ 8 6 × 1 _ 8 = 3 _ 4 8 × 1 _ 8 = 1 10 × 1 _ 8 = 5 _ 4
3. Representa 3 _ 4 .a. Aparece en la actividad 2, y representa el peso de 6 bochas de helado.b. Por ejemplo, para medir cantidades de agua o para saber el peso de una fruta.
Página 60Números y problemasUso de las fracciones para resolver problemas considerando distintos procedimientos.
1. Si Javier come 4 barritas de las 6, significa que se comió 4 _ 6 del total, por lo que le queda por comer 2 _ 6 . En cambio, Eva comió 5 _ 6 , por lo que queda por comer 1 _ 6 . Entre los dos, les queda
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por comer 2 _ 6 + 1 _ 6 = 3 _ 6 , es decir, la mitad del chocolate.2. Alcanza para que cada uno coma más de medio chocolate porque a cada amigo le toca 2 _ 3 de un entero.3. Si se sirve en un vaso grande, toma 1 _ 6 litro. Y si se sirve en uno chico, toma 1 _ 4 litro.4. No es cierto porque si cada vaso tiene 1 _ 4 litro, entonces con 12 vasos se obtienen 2 botellas de 1 1 _ 2 litros y con 27 vasos se tienen 3 botellas de 2 1 _ 4 litros. Si todos los vasos tuvieran 1 _ 4 litro, para que no sobre nada se deberían haber servido 39 vasos, es decir, 27 + 12 vasos.
Página 61Resolver problemasFracciones en el contexto de situaciones de reparto. Repartos equivalentes.
1. Por ejemplo, repartiendo 3 alfajores enteros a cada una y al sobrante puede partirlo en 4 partes iguales.a. Por ejemplo, repartiendo 1 alfajor entero a cada una y a los dos sobrantes puede partirlos en 4 partes iguales.b. Por ejemplo, repartiendo 1 alfajor entero a cada uno de los chicos y al sobrante partirlo en 5 partes iguales.c. Por ejemplo, se puede partir cada alfajor en 8 partes iguales y repartir.2. Cada chico come más de un alfajor cuando se quiere repartir 6 alfajores entre 4 y 5 chicos. Y comen más de dos cuando se reparte 13 alfajores entre 4.a. Al repartir 6 alfajores entre 5 chicos, cada chico tendrá un alfajor entero y una quinta parte de un sexto.b. Al repartir 6 alfajores entre 8 chicos, cada uno comerá menos de un alfajor porque hay menos alfajores que chicos.c.
Alfajores a repartir Cantidad de chicos entre los que se reparten
Cantidad de alfajores que recibe cada uno
13 4 3 1 _ 4
6 4 1 2 _ 4
6 5 1 1 _ 5
6 8 6 _ 8
3. Sí, porque Martina come una cuarta parte del alfajor mientras que Nicolás come la mitad.4. a. Laura está equivocada porque sus amigas comieron un alfajor entero y 1 _ 4 de otro, mientras que a sus primos les tocó comer un alfajor entero y 1 _ 5 de otro.b. A sus amigas les toca más alfajor porque 1 _ 4 es más grande que 1 _ 5 . Las porciones que se obtienen al partir un alfajor en 4 son más grandes que las que se obtienen al partirlo en 5. Entonces, 1 1 _ 4 es mayor que 1 1 _ 5 .
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Página 62Fracciones equivalentesEquivalencia entre fracciones. Estudio a partir de representaciones gráficas.
1. Producción personal.a. Producción personal.2. Si quiero obtener cuartos, por ejemplo, se puede volver a doblarlo por la mitad. Y si quiero obtener octavos, por ejemplo, se puede volver a doblar por la mitad los cuartos que se obtuvieron antes.a. Producción personal.3. Por ejemplo, doblarlo verticalmente por la mitad.4. Producción personal.a. Por ejemplo,
Página 63Fracciones y divisiónIntroducción de las nociones de número compuesto y número primo.
1. Rodear: 13 _ 4 .2. Se espera que los estudiantes estén de acuerdo con la resolución planteada por Lucas porque al repartir los 3 chocolates restantes entre los 8 amigos, le tocan 3 _ 8 más de chocolate a cada uno.3. Por ejemplo,Problema 1: Si se reparten 38 litros de agua en 5 bidones y en todos los bidones hay la misma cantidad de agua sin que sobre, ¿de qué manera se puede hacer el reparto?Problema 2: Susana compró 38 chocolates iguales para repartir entre sus 5 sobrinos y que todos reciban la misma cantidad y no sobre nada. ¿De qué manera se puede hacer el reparto?4. a. C. Porque para repartir 21 pizzetas entre 8 chicos basta con hacer la división 21 _ 8 , que resulta igual a 2 5 _ 8 .b. C. Porque para saber cómo repartir 17 alfajores entre 5 chicos hay que dividir 17 : 5.c. I. Porque 5 4 _ 3 = 19 _ 3 , que no es igual a 23 _ 4 .5. 8 : 5 = 8 _ 5 = 1 + 3 _ 5 = 1 3 _ 5 .
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Páginas 64 y 65Fracciones y medidaResolución de situaciones usando fracciones en el contexto de la medida.
1. Producción personal.a. Producción personal.b. Producción personal.2. a. El cordón más corto es el de color violeta. Y el más largo es el rojo.b. Por ejemplo, el amarillo y rojo miden lo mismo.3. Rodear: 4 _ 8 y 1 _ 2 .Rodear: 10 _ 4 y 5 _ 2 .Rodear: 14 _ 8 , 7 _ 4 y 1 6 _ 8 .4. Dibujar:
a. Dibujar:
5. Por ejemplo,
6. Producción grupal.
Página 66Distintas representacionesRepresentaciones gráficas, relación parte-todo, construcción del entero.
1. Dibujar:
a. La respuesta no es única. Por ejemplo,
2. 1 _ 3 de la tira entera es igual a 3 cm porque el largo que representa 2 _ 3 de la tira entera es de 6 cm. Entonces, la longitud de la tira es de 9 cm.
6 cm
1,5 cm
1 cm
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3.
4. Por ejemplo,
a. Como las medidas del ancho y del largo están determinadas, no hay otra manera de dibujar lo pedido, salvo realizando cambios en la posición del rectángulo.5. Nicolás es el único que tiene razón porque por cada hora hay 4 cuartos de hora y 2 medias horas. Entonces, en tres horas hay 12 cuartos de hora y 6 medias horas.
Página 67Fracción de una colecciónResolución de situaciones a partir de calcular la fracción de un número.
1. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con Iván porque 1 _ 4 y 2 _ 8 son fracciones que representan 6 alfajores, mientras que 1 _ 2 representa 12 alfajores de la caja. En total, hay 6 alfajores de fruta, 12 de chocolate, 6 de dulce de leche y 0 de maicena.2. En total, había 30 frutillas porque, por ejemplo, si 12 frutillas representan 2 _ 5 del total, entonces 6 representan 1 _ 5 del total.3. Puede haber, por ejemplo, 10 caramelos de fruta y 5 de dulce de leche.4. Juana vendió más talonarios de color rosa porque, al comparar las 3 fracciones, esa es la más grande.a. Le quedaron sin vender 5 rifas de color rosa, 8 de color celeste y 6 de color verde.
Páginas 68 y 69Comparar fraccionesExploración de estrategias para comparar fracciones en la resolución de situaciones problemáticas.
1. No es posible que Pablo se haya comido esas dos porciones porque, sacando lo que comieron Ana y Eva, solo quedó 1 _ 4 de la tarta.a. Eva. Porque Pablo comió 1 _ 8 + 1 _ 4 = 3 _ 8 , que es menor que 1 _ 2 = 4 _ 8 , y Ana comió 1 _ 4 = 2 _ 8 , que también es menor que 1 _ 2 = 4 _ 8 .2. Tomás fue el que más comió porque cortar una pizza en 3 da porciones más grandes que si se la corta en 4 porciones iguales.a. Ambos comieron la misma cantidad porque, por ejemplo, a Tomás le queda por comer 1 _ 4 de cada alfajor, es decir le queda comer 1 _ 2 de alfajor, al igual que a Julián.3. a. Se espera que los estudiantes no estén de acuerdo con Lucas porque, por ejemplo, al dividir el entero en 5 partes, cada parte es más grande que si se divide al entero en 7 partes. Entonces, tomar 3 de esas 5 partes, va a ser más grande que tomar 3 de 7 partes.b. Se espera que los estudiantes estén de acuerdo con Nicolás porque tener el mismo denominador significa que el entero está dividido en la misma cantidad de partes para
11 cm
Unidad = 4 cm
1 cm
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ambas fracciones. Entonces, es mayor la fracción que considera más partes, es decir, la que tiene mayor numerador.c. Lo que dice Lucía no sirve para comparar cualquier par de fracciones. Por ejemplo, no puede usarse cuando las fracciones son ambas más chicas o ambas más grandes que el entero.4. a. Rodear: 3 _ 13 . Porque, por ejemplo, al tener el mismo denominador solo hay que comparar los numeradores.b. Rodear: 3 _ 11 . Porque, por ejemplo, al tener el mismo numerador, la mayor fracción es la que tiene menor denominador.c. Rodear: 1 _ 8 . Porque, por ejemplo, al tener el mismo numerador, la mayor fracción es la que tiene menor denominador.d. Rodear: 20 _ 10 . Porque, por ejemplo, 9 _ 5 es menor a 2.5. Producción personal.6. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con Martina.7. a. Entre 0 y 1.b. Entre 1 y 2.c. Entre 1 y 2.d. Entre 2 y 3.8.
Fracción Le sobra Le falta
5 _ 8 3 _ 8
8 _ 5 3 _ 5
7 __ 4 3 __ 4
4 __ 7 3 _ 7
a. Sí. En todos los casos es posible comparar las fracciones entre sí porque, por ejemplo, puedo saber cuánto le falta a cada una para llegar a ser un entero y usar lo que comentó Martina.
Página 70Dobles y mitadesResolución de situaciones considerando algunas relaciones entre fracciones
1. a. Por ejemplo,
b. Por ejemplo,
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c. Por ejemplo,
2. No es correcto porque sumando las figuras se tiene un total de 3 _ 2 .3. a. Las figuras suman 9 _ 4 .b. Para armar un compás de 3 tiempos, faltan 3 _ 4 . Por ejemplo, se puede formar con 3 semicorcheas.c. No hay una única respuesta porque hay diferentes maneras de usar las figuras de maneras que sumen 3 _ 4 .4. Con 8 fusas se forma una negra y con 8 semifusas, una corchea.a. Sí, porque, por ejemplo, al sumar dos corcheas se tiene un tiempo que equivale a una negra.5. a. El papel quedó dividido en 6 partes iguales.b. Sí, porque se puede ver al pintar 1 _ 6 y 1 _ 3 en el papel y comparar.6. a. Durante el desayuno comieron 1 _ 8 porque, por ejemplo, después de la merienda solo le quedaba una cuarta parte de la torta y 1 _ 8 es la mitad de 1 _ 4 . b. La cantidad de torta que quedó después del desayuno es 1 _ 8 porque 1 _ 8 es el doble de 1 _ 4 . 7. a. 1 _ 2 . b. 1 _ 5 .c. 3 _ 10 . 8.
Mitad Fracción Doble
1 _ 8 1 _ 4 1 _ 2
1 _ 3 2 _ 3 4 _ 3
2 _ 5 4 _ 5 8 _ 5
2 _ 7 4 _ 7 8 _ 7
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Páginas 72 y 73Fracciones en la rectaFracciones y recta numérica; encuadramiento. Comparación y orden.
1.
a. Por ejemplo, contando la cantidad de cuadraditos que tiene un entero y, luego, marcando la mitad.b. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con lo comentado por Mara porque, por ejemplo,
c. Se marcan en el mismo lugar de la recta porque, a pesar de que parten el entero de manera diferente, representan el mismo número.2.
Por ejemplo, como un entero representa 8 cuadraditos, entonces 2 de esos ocho representarán 2 _ 8 . Es decir, 1 _ 4 y 12 cuadraditos representarán 12 _ 8 , es decir, 3 _ 2 . 3.
0 1
0 1
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12
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34
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0 1 2 314
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0 1 2 314
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4. a. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con Lucas porque en la recta numérica los números crecen hacia la derecha.b. Buscando el mismo numerador en ambas fracciones, 3 _ 5 = 9 _ 15 y 2 _ 3 = 10 _ 15 . Entonces 2 _ 3 es mayor que 3 _ 5 .c. Por ejemplo,
5. Por ejemplo,
6.
7. a. Por ejemplo, como 6 cuadritos representan 1 _ 2 , entonces 3 representan 1 _ 4 y 16 representan 4 _ 3 . Entonces, A es 1 _ 4 y B es 4 _ 3 .b. Por ejemplo, como 6 cuadritos representan un entero, 10, 12 y 16 cuadritos representan 5 _ 3, 2 y 8 _ 3 respectivamente. Entonces, A es 5 _ 3 , B es 2 y C es 8 _ 3 .
Páginas 74 y 75Sumas y restas con fraccionesResolución de problemas usando sumas y restas de fracciones. Estrategias de cálculo mental.
1. a. Sí, porque, por ejemplo, en la cuenta de Martina le falta recorrer 15 _ 15 − 11 _ 15 = 4 _ 15 y en la cuenta de Lucas también llega a que le falta recorrer 9 _ 15 − 5 _ 15 = 4 _ 15 .b. Por ejemplo, en ambos procedimientos usan fracciones equivalentes, pero mientras que Martina suma el camino recorrido, Nicolás va restando a medida que va recorriendo el trayecto de la competencia.2. Sí. Porque, por ejemplo, el número 24 es un múltiplo de 12.a. 3 _ 4 − 1 _ 3 = 18 _ 24 − 8 _ 24 = 10 _ 24 .3. Por ejemplo,
Menor que un entero Mayor que un entero
5 _ 12 + 1 _ 4 + 1 _ 4 7 _ 6 − 1 _ 3
1 _ 6 + 2 _ 3 + 1 _ 18 9 _ 8 − 1 _ 16
0 1 94
12
134
103
2
0 118
14
16
15
17
4 __ 9 4 __ 3 1
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4. a. Por ejemplo, 7 _ 3 − 7 _ 9 = 21 _ 9 − 7 _ 9 = 14 _ 9 .b. Por ejemplo, 8 _ 10 + 3 _ 5 + 1 _ 2 = 8 _ 10 + 6 _ 10 + 5 _ 10 = 19 _ 10 .c. Por ejemplo, 5 _ 4 − 7 _ 8 = 10 _ 8 − 7 _ 8 = 3 _ 8 .5. Por ejemplo,
3 _ 7 + 4 _ 7 = 1 5 _ 4 − 1 _ 4 = 1
7 _ 8 + 9 _ 8 = 2 7 _ 5 − 2 _ 5 = 1
3 _ 4 + 5 _ 4 = 2 3 _ 2 − 1 _ 2 = 1
Página 76Volver a ver1. Cada uno comió 1 _ 8 .a. Rodear: 2 _ 8 . Porque pedir otra pizza igual y repartirla de la misma manera implica que comieron, en total, dos porciones de 1 _ 8 .2. a. Por ejemplo, puede comprar 9 paquetes de 1 _ 4 kg.b. No hay una única posibilidad. Por ejemplo, también puede llevar 4 paquetes de 1 _ 2 kg y uno de 1 _ 4 kg.c. Si se quisiera llevar la menor cantidad posible, habría que llevar 2 paquetes de 1 kg y uno de 1 _ 4 kg.3. a. Tanto Lucía como Lucas tienen razón. Lucía tiene razón porque si compraban 4 botellas, tenían 4 litros de jugo y como cada jarra tiene menos de 1 litro, hubiesen llenado más de 4 jarras. Lucas tiene razón porque si compraban 2 botellas, tenían 2 litros de jugo y no les alcanzaba para llenar las 4 jarras, ya que para llenarlas se necesitan 3 litros de jugo.b. Se compraron 3 botellas de 1 litro. Por cada litro comprado, se llena una botella de 3 _ 4 litros y sobra 1 _ 4 litros. Entonces, con los tres litros comprados se llenan 3 botellas completas de 3 _ 4 litros, y con los 3 _ 4 litros que fueron sobrando se llena la última botella.4.
Más grande que un entero
Más chico que un entero
Más grande que 2 enteros
7 _ 4 X
5 _ 3 X
1 _ 6 X
11 _ 5 X
5. a. C. Porque, por ejemplo, la mitad de 108 es 108 _ 2 y la mitad de esa mitad es 54 _ 2 , que resulta igual a 108 _ 4 , que representa la cuarta parte de 108.
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b. C. Porque, por ejemplo, la quinta parte de 525 es 105 que resulta igual a 500 _ 5 + 25 _ 5 .6. a. Por ejemplo, 2 _ 7 + 5 _ 7 = 1.b. Por ejemplo, 3 _ 2 + 1 _ 2 = 2.c. Por ejemplo, 2 _ 5 + 3 _ 5 = 1.d. Por ejemplo, 7 _ 4 + 5 _ 4 = 3.7. a. Rodear 9 _ 6 . Porque, por ejemplo, 9 _ 6 + 9 _ 6 = 18 _ 6 .b. Rodear 36 _ 6 . Porque, por ejemplo, 18 _ 6 + 18 _ 6 = 36 _ 6 .8. 1 _ 8 es la mitad de 1 _ 4 porque, por ejemplo, 1 _ 8 + 1 _ 8 = 1 _ 4 . En cambio, 1 _ 4 + 1 _ 4 = 1 _ 2 , es decir, 1 _ 4 es la mitad de 1 _ 2 .
Página 776. Relaciones entre rectas1. a. Triángulos.b. Tienen tres lados y tres vértices.c. Sí, los puntos indicados con rojo en el siguiente esquema.
2. No se cruzan porque la distancia entre ellas es siempre la misma.
Página 78Rectas paralelas y rectas secantesReconocimiento de las posiciones relativas de dos rectas en el plano.
1. a. Producción personal.2. Producción personal. Por ejemplo: Los cables rojos están colocados de manera paralela, mientras que los cables azules están colocados de manera tal que todos se juntan en un mismo punto; son secantes.
Página 79Trazar rectas paralelasUso del trazado de rectas paralelas en la resolución de situaciones.
1. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con Lucas porque un rectángulo también es un paralelogramo.2. Producción personal.a. Son paralelas, por ejemplo, porque siempre están a la misma distancia y esa distancia es la medida del segmento ‾ DC .3. El rectángulo es un paralelogramo porque tiene dos pares de lados paralelos.
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Páginas 80 y 81Paralelogramos y sus ángulosUso de las propiedades de los lados y ángulos de los paralelogramos en construcciones.
1. Producción personal.2. Los ángulos α y β deben ser iguales porque para que las rectas sean paralelas tienen que tener la misma inclinación respecto a la recta r.3. No. Por ejemplo, podría trazarse una recta secante a la recta r que pase por C, medir el ángulo que forman estas dos rectas y con la herramienta Ángulo dada su amplitud, marcar el ángulo C con la medida obtenida.4. a. 180°.b. 90°.c. 180°.d. 180°.5. a. El ángulo C debe medir lo mismo que el ángulo C A B .
Páginas 82-83Rectas y ángulosUso de las relaciones entre rectas y ángulos. Reconocimiento de los rectángulos como paralelogramos de ángulo recto. Relaciones de paralelismo y perpendicularidad.
1. a. α y β son suplementarios porque forman un ángulo llano.b. α y δ son iguales porque como el segmento ‾ AB es paralelo al segmento ‾ DC , el ángulo de inclinación α debe ser igual al ángulo de inclinación δ .c. β y δ son suplementarios pues δ es igual a α y α es suplementario con β .2. Por ejemplo,
Los ángulos son rectos porque deben sumar 180° y ser iguales, es decir, cada uno debe medir 90°.3. a. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con lo que dice Lucía porque ya se estudió que los ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios y el rectángulo es un paralelogramo.b. Se puede calcular la medida del otro ángulo haciendo 180° menos la medida del ángulo que se conoce, pues ambos suman 180°.4. a. Cada ángulo interior de un rectángulo mide 90°. Y cada ángulo exterior también mide
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90° porque son suplementarios.b. Paralelas.c. Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales y paralelos. Como el rectángulo es un paralelogramo, sus lados opuestos también son iguales y paralelos.d. Perpendiculares.5. Se espera que los estudiantes estén de acuerdo con Nicolás porque al conocer un ángulo interior, se conoce la medida de los ángulos consecutivos a él (ya que son suplementarios). Y con la medida de los consecutivos, se conoce la medida del cuarto ángulo (ya que es suplementario a estos).
Página 84Construir paralelogramosConstrucciones de paralelogramos a partir de sus propiedades.
1. Producción personal.2. Producción personal.a. Producción personal.3. Producción personal.a. Producción personal.b. Producción personal.4. Producción personal.
Página 85Otras construccionesConstrucciones de rectángulos a partir de las propiedades de sus lados.
1. Producción personal.2. a. Producción personal.b. Producción personal.3. Producción personal. Hay una única recta que cumpla con lo pedido.4. Producción personal. Hay una única recta que cumpla con lo pedido.
Página 86Volver a ver1. Producción personal.2. a. Producción personal.b. Producción personal.c. Producción personal.3. Producción personal.4. Producción personal.5. a. β mide 130°.b. β mide 130°.c. β mide 40°.
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6. a. Las rectas a y c son paralelas.b. Las rectas a y c son paralelas.7. No, ya que si un ángulo interior es agudo, el ángulo exterior correspondiente es obtuso, es decir, mide más de 90°.
Página 877. Fracciones y decimales1. a. Las medidas están escritas en fracciones en el caso del peso de los tomates y las cerezas. Están escritas en decimales en el precio de los tomates, las naranjas y manzanas.b. Producción personal.c. Pagará menos de $60 porque medio kilogramo cuesta menos de $30, pol lo que un kilogramo cuesta menos de $60.d. $100.e. Pesan dos kilogramos y medio: 2 1 _ 2 kg, 2,5 kg.
Página 88¿Fracciones o decimales?Diferentes procedimientos de resolución relacionando fracciones y decimales en contexto de medición.
1. Dinero para repartir Dinero que recibe cada chico
$100 $10
$10 $1
$1 $0,1
a. Producción personal.2. Todos los chicos compraron la misma cantidad de naranjas porque 1 _ 2 kg, 500 g y 0,50 kg son expresiones equivalentes.3. a. Pondrá 1 _ 2 kg de frutillas en cada bolsa.b. Sí, es cierto porque 0,25 kg multiplicado por las 4 bolsas da como resultado el kilogramo de frutillas que tiene Pedro.
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Página 89Relación entre fracciones y decimalesRelaciones entre fracciones y decimales.
1.
Monedas de ¿Cuántas monedas forman $1?
¿Qué parte del peso es la moneda?
¿Cuántos pesos corres-ponden a la moneda?
100 1 _ 100 $0,01
20 1 _ 20
$0,05
10 1 _ 10
$0,10
4 1 _ 4
$0,25
2 1 _ 2
$0,50
2. a. i. 7 _ 10 = 0,7.ii. 9 _ 10 = 0,9.iii. 8 _ 10 = 0,8.b. i. 7 _ 100 = 0,07.ii. 9 _ 100 = 0,09.iii. 8 _ 100 = 0,08.3. a. 18 _ 100 = 0,18 porque 18 _ 100 son 18 de 1 _ 100 y 1 _ 100 = 0,01, entonces 18 _ 100 = 0,18.b. 87 _ 100 = 0,87 porque 87 _ 100 son 87 de 1 _ 100 y 1 _ 100 = 0,01, entonces 87 _ 100 = 0,87.c. 76 _ 100 = 0,76 porque 76 _ 100 son 76 de 1 _ 100 y 1 _ 100 = 0,01, entonces 76 _ 100 = 0,76.
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Página 90Las equivalenciasEquivalencias entre diferentes escrituras de números racionales.
1. b. 2 _ 10 = 0,2.c. 9 _ 10 = 0,9.d. 8 _ 10 = 0,8.e. 6 _ 10 = 0,6.f. 3 _ 10 = 0, 3.h. 2 _ 100 = 0,02.i. 9 _ 100 = 0,09.j. 8 _ 100 = 0,08.k. 6 _ 100 = 0,06.l. 3 _ 100 = 0,03.2. Por ejemplo, dos monedas de $0,5; dos monedas de $0,25 y dos monedas de $0,5; cuatro monedas de $0,25.3. a. Incorrecta, por ejemplo, porque un centésimo equivale a 10 milésimos.b. Correcta, por ejemplo, porque 10 centésimos = 10 _ 100 = 0,1 = 1 _ 10 .c. Incorrecta, por ejemplo, porque un entero es equivalente a 100 centésimos.4. a. 0,25 = 1 _ 10 + 15 _ 100 por ejemplo, porque 1 _ 10 = 0,1, entonces faltan 0,15 = 15 _ 100 .b. 0,75 = 5 _ 10 + 25 _ 100 por ejemplo, porque 25 _ 100 = 0,25, entonces faltan 0,5 = 5 _ 10 .c. 1,55 = 1 + 55 _ 100 por ejemplo, porque faltan 0,55 = 55 _ 100 .5. Marcar: a, b y d.La opción a es correcta porque 2 décimos = 2 _ 10 = 0,2 y 32 milésimos = 32 _ 1.000 = 0,02. Entonces, 23 enteros, 2 décimos y 32 milésimos = 23 + 0,2 + 0,032 = 2,232.La opción b es correcta porque 2 décimos = 2 _ 10 y 32 milésimos = 32 _ 1.000 . Entonces, 23 enteros, 2 décimos y 32 milésimos = 23 + 2 _ 10 + 32 _ 1.000 .La opción d es correcta porque 2 décimos = 2 _ 10 = 200 _ 1.000 . Entonces, 23 enteros, 2 décimos y 32 milésimos = 23 + 200 _ 1.000 + 32 _ 1.000 = 23 + 232 _ 1.000 .
Página 91Distancia entre númerosDistancia entre dos expresiones decimales.
1. a. 0,73b. 0,82c. 0,61d. 0,512. a. 0,1b. 1,23c. 3,18d. 2,273. 2,091 – 2,19 – 2,34 – 2,4 – 3,012 – 3,12 – 4,25 – 4,52.
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4. a. Rodear 2,83 porque 0,83 es más grande que 0,38.b. Rodear 4,98 porque 0,98 está más cerca del entero que 0,89 y como ya hay 4 enteros, el entero siguiente es 5.c. Rodear 5,98 porque 0,98 está más cerca del entero que 0,898 y como ya hay 5 enteros, el entero siguiente es 6.d. Rodear 4,988 porque 0,988 es menor que 0,998.5. a. Por ejemplo, 5,9.b. Por ejemplo, 5,91.c. Por ejemplo, 5,93.d. Sí, se podría seguir encontrando números porque se pueden ir agregando cifras decimales. Podrían encontrarse infinitos números.
Página 92Leer y escribir expresiones decimalesLectura y escritura de números decimales en distintos tipos de situaciones.
1. Hay 78 décimos porque 78,5 = 78 _ 10 + 5 _ 100 .2. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con Lucía, porque Nicolás no está contando los décimos que hay en la parte entera.a. Tiene 785 centésimos porque 7,85 = 785 _ 100 .3. a. Son equivalentes porque 0,30 = 30 _ 100 = 3 _ 10 = 0,3.b. No son equivalentes porque 1 _ 2 = 0,5.4. Marcar: a, b, e y f.5. a. 5,3.b. 0,24.c. 2,62.d. 8,5.
Página 93CalculadoraUso de la calculadora para estudiar orden y valor posicional con números racionales.
1. Número Operación Resultado
1,35 + 1 2,35
1,25 + 0,1 1,35
0,27 + 0,02 0,29
3,48 – 1 2,48
3,48 – 0,1 3,38
3,48 – 0,13 3,35
2. a. Porque 0,46 + 1 = 1,46.b. Martina debería sumar 0,1.3.3. 3,458 – 12,94 – 123,4 – 1.206.
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4. a. 3.45 = 1 + 1 + 1 + 0.1 + 0,1 + 0.1 + 0.1 + 0,01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01.b. 4.13 = 1 + 1 + 1 + 1 + 0.1 + 0.01 + 0.01 + 0.01.c. 0. 25 = 0.1 + 0.1 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01.d. 3.06 = 1 + 1 + 1 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01.e. 7.43 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.01 + 0.01 + 0.01.f. 0,09 = 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01 + 0.01.
Páginas 94 y 95Recta numéricaUbicación de fracciones y decimales en la recta numérica.
1. a. i. La letra A representa al número 2 porque una unidad mide cuatro cuadraditos y la letra A está ubicada a ocho cuadraditos del cero.ii.
Para ubicar el 4, por ejemplo, se puede tener en cuenta que la unidad mide cuatro cuadraditos, entonces el 4 está cuatro cuadraditos después del 3.b. i. La letra A representa al 1 _ 2 porque está justo a la mitad entre el 0 y el 1.ii.
El número que está justo en el medio entre 0 y A es el 1 _ 4 porque A representa a 1 _ 2 y la mitad de 1 _ 2 es 1 _ 4 .iii.
El número que está justo en el medio entre A y 1 es el 3 _ 4 porque A representa a 1 _ 2 y al sumarle media unidad, es decir 1 _ 4 , se obtiene 3 _ 4 .2. a. La letra A representa 1 _ 3 porque la unidad tiene 12 cuadraditos y la letra A está ubicada cuatro cuadraditos después del cero, es decir, es la tercera parte de la unidad. La letra B representa 2 _ 3 porque está a ocho cuadraditos del cero y cada cuatro cuadraditos hay 1 _ 3 . b.
0 1 A 3 4
0 A 114
0 A 114
34
0 A B 1
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Como 4 _ 6 es equivalente a 2 _ 3 , el número queda ubicado en el mismo lugar que la letra B.c.
El punto que está justo en el medio entre Representa al número ¿Cómo te diste cuenta?
0 y A 1 _ 6 Por ejemplo, porque si cada cuatro cua-
draditos hay un tercio, entonces cada dos cuadraditos hay un sexto.
A y B 3 _ 6 Por ejemplo, porque cada dos cuadraditos
hay un sexto y este número está 6 cuadradi-tos del cero.
B y 1 5 _ 6 Por ejemplo, porque cada dos cuadraditos
hay un sexto y este número está 10 cuadra-ditos del cero.
d.
La letra C representa al número 4 _ 3 .3. a. Por ejemplo,
Se puede elegir la escala teniendo en cuenta que se deben ubicar fracciones con denominadores 2 y 4, por lo que es conveniente que la unidad tenga una cantidad de cuadraditos que se múltiplo de 4. En este caso, se eligió la escala 1 unidad = 8 cuadraditos.b.
Dado que hay que ubicar al 0,2 y al 0,4, se puede elegir una escala que vaya de 0,2 en 0,2. En este caso, se eligió la escala 0,2 = 5 cuadraditos.
0 A B 1
46
16
36
56
0 A B 1 C
14
12
0 0,75
0,50
1
0 0,2 0,4 1
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Página 96El kiosco de la escuelaResolución de problemas que involucren suma y resta de expresiones decimales.
1. $67,25.2. $10,40.3. $49,40.4. $68.5. $39,85.6. Producción grupal.
Página 97Sumas y restasAnálisis de estrategias de cálculo para suma y resta de decimales.
1. a. Lucas descompone a 25,50 como 25 + 0,30 + 0,20.b. Lucía descompone a 15,70 como 15 + 70 _ 100 y a 25,50 como 25 + 50 _ 100 . Por ejemplo, puede que Lucía use fracciones porque le resulta más sencillo sumar fracciones con igual denominador que sumar números decimales.c. Por ejemplo, Lucía y Nicolás suman por un lado la parte entera y por otro la parte decimal, pero Lucía usa fracciones para la parte decimal y Nicolás no.Nicolás y Lucas suman con números decimales y no con fracciones, pero Lucas busca completar a un entero sumando los decimales de a partes, mientras que Nicolás suma directamente las partes decimales, sin tener en cuenta si se pasa de un entero o no.2. a. Ariel descompuso al número 3,85 como 0,05 + 0,74 + 0,06 + 3. Por ejemplo, porque puede resultar más sencillo restar 0,05 primero para luego tener que restar 3,80.b. No. Florencia descompuso el 3,85 de otro modo, hizo 3 + 0,7 + 0,15.c. Ariel solo descompone el número 3,85 y va resta de a poco, en cambio, Florencia descompone los dos números y resta por un lado la parte entera y por el otro la parte decimal.d. Luciano descompone los números según como parte entera + décimos + centésimos.e. Luciano hace 3 – 0,8 para llegar a 2,2. Lo hace así, por ejemplo, porque no puede restar 0,7 – 0,8.3. Producción grupal.
Página 98Errores en los cálculosEstudio y análisis de errores frecuentes en los cálculos.
1. No, es incorrecto porque 3,54 – 1 = 2,54, ya que se resta un entero y no un centésimo.2. No, 6,79 + 1 = 7,79 porque se suma un entero y no un décimo.3. a. Lucía descompone 0,25 como 0,2 + 0,05.b. No, la cuenta de Lucía es incorrecta porque no suma los 3 décimos de 0,36 y además escribe mal el resultado de 5 centésimos + 6 centésimos.
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c. 11 centésimos, es decir, 0,11.d. 0,11.4. a. Martina resta por separado los enteros, los décimos y los centésimos.b. No, porque 5 décimos menos 6 décimos no es 1 décimo.
Página 99Cuentas más fácilesCálculos mentales, dobles y mitades de expresiones decimales.
1. a. En lugar de sumar 0,9, Nicolás puede sumar 1 y luego restar 0,1, que es lo que sumó de más.b. En lugar de restar 0,9, Lucas puede restar 1 y luego sumar 0,1, que es lo que restó de más.2. $ 92,50.3. a. Por ejemplo, porque separa la parte entera de la parte decimal y como 107 no es divisible por 2, lo separa en 106 + 1 porque 106 sí es divisible por 2 y la mitad de 1 es 0,5.b. Porque la mitad de 1 es 0,5.c. A cada uno le corresponden $53,85.4. a. Doble: 15,28. Mitad: 3,82.b. Doble: 16,12. Mitad: 4,03.c. Doble: 178,36. Mitad: 44,59.d. Doble: 85,80. Mitad: 21,45.
Página 100Volver a ver1. Martina compró menos de 12 kg. Compró 0,5 kg menos.2. a. 0,24 = 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01.b. 2,05 = 1 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01.c. 3,87 = 1 + 1 + 1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01 + 0,01.d. 1,42 = 1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,1 + 0,01 + 0,01.3. Rodear: 1,25 m y 1,30 m.4. a. 320 centésimos.b. 237 centésimos.c. 178 centésimos.5. a. 0,8.b. 0,22.c. 0,63.d. 0,5.6. 5 enteros equivalen a 500 centésimos. 7 enteros equivalen a 700 centésimos.7.
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8. a. Nueve enteros y ocho centésimos.b. Ochenta y siete enteros y 9 décimos.c. Veintitrés enteros y quince centésimos.d. Tres enteros y doscientos ocho milésimos.9. a. 2,53.b. 43, 85.c. 20,232.10. a. 0,7 + 0,3 = 1b. 0,5 + 0,5 = 1c. 0,35 + 0,65 = 1d. 0,57 + 0,43 = 1e. 0,95 + 0,05 = 1f. 0,01 + 0,99 = 1g. 0,18 + 0,82 = 1h. 0,96 + 0,04 = 111. El frasco más pesado es el que pesa 3,9 kg porque al comparar los números, todos tienen 3 enteros, pero el que tiene más centésimos es 3,9 que tiene 90 centésimos. Los otros frascos tienen 45, 54 y 9 centésimos.
Página 1018. Medida1. Peso en gramos: 30 puntos.Largo en metros: 20 puntos.Capacidad en litros: 0 puntos.Ancho en centímetros: 10 puntos.a. Por ejemplo,
b. Sí, la estimación es adecuada porque 120 centímetros equivalen a 1,20 metros, y es posible que un banco de aula tenga ese largo.
Una goma de borrar2 centímetros
Un tanque de agua600 litros
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Páginas 102 y 103Medir peso, longitud y capacidadExploración de distintas magnitudes y unidades de medida. Unidades convencionales de medida de peso, longitud y capacidad.
1. Por ejemplo,Cartas Menor medida Medida intermedia Mayor medida
Peso en gramos Un chocolate100 gramos
Un paquete de arroz500 g
Un paquete de harina1.000 gramos
Largo en metros Una regla0,2 metros
Una mesa1,4 metros
Un colectivo12 metros
Capacidad en litros Una botella de agua0,5 litros
Una jarra2 litros
Un tanque de nafta40 litros
Ancho en centímetros Una hoja de carpeta20 centímetros
Tablero de dibujo90 centímetros
Una pileta300 centímetros
2. No es correcto lo que dice Gabriel porque 500 g y 1 _ 2 kg no son medidas distintas, son equivalentes.a. Por ejemplo, 1 _ 2 kg de arroz, 1 _ 2 kg de helado.3. Producción grupal.4. Por ejemplo,Balde: ejemplo dado en el libro.Auto: largo, 4,3 metros.Termo: capacidad, 1 litro.Celular: peso, 200 gramosMochila: capacidad, 33 litros.Perro: peso, 30 kg.5. Por ejemplo,
Menor medida Medida Mayor medida6 mm 5 cm 70 mm
95 g 950 g 95 kg
0,2 l 1 _ 4 l 1 l
0,2 km 405 m 1 km
100 cm 1,5 m 300 cm
200 g 1 _ 2 kg 1.000 g
0,5 g 50 g 5 kg
6. a. Rodear 12 m y 50 cm. Porque 1 m equivale a 100 cm, entonces, al hacer 1.250 cm : 100 se obtiene 12,5 m que es equivalente a 12 m y 50 cm.b. Rodear 1 3 _ 4 kg. Porque 1 kg equivale a 1.000 g y 750 g es 3 _ 4 kg.c. Rodear 0,750 l. Porque 1 l equivale a 1.000 cc, entonces, al hacer 750 cc : 1.000 se obtiene 0,750 l.
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Página 104Comparar longitudesEquivalencia entre distintas unidades de medida de longitud. Exploración de subunidades del metro.
1. Si se toma como unidad de medida la cinta roja, la cinta verde mide 4 unidades. En cambio, si la unidad de medida es la cinta celeste, la cinta verde mide 10 unidades.a. Si la unidad de medida es la cinta celeste, la cinta roja mide 2,5 unidades.b. La cinta verde equivale a 10 cintas celestes y la cinta roja equivale a 2,5 cintas celestes.c. Si se toma como unidad de medida la cinta verde, la cinta roja mide 1 _ 4 de unidad.2. Celeste: 1 cm. Roja: 2,5 cm. Verde: 10 cm.3. Si la unidad de medida es la cinta verde, 1 m equivale a 10 unidades. Si la unidad de medida es la cinta celeste, 1 m equivale a 100 unidades.4. Celeste: 0,01 m y 0,1 dm. Roja: 0,025 m y 0,25 dm. Verde: 0,1 m y 1 dm.5. Unir:15 dm – 1,5 m. 150 cm – 15 dm.15 m – 150 dm.15 cm – 0,15 m.
Página 105Pensar longitudesEstimación y aproximación de medidas de longitud.
1. Por ejemplo: Largo del pizarrón: 2,5 metros. Ancho de la regla: 2,5 cm. Alto del banco: 65 cm. Largo de tu mano: 12 cm.a. Producción grupal.b. Producción grupal.2. Por ejemplo,
Medida Objetos3 m Largo de un pizarrón
3 mm Ancho de un botón
15 dm Largo de un escritorio
30 cm Largo de una regla
3. El largo de una cuadra: 0,1 km.Altura de un semáforo: 4,5 m.Ancho de un clavo: 2 mm.Largo de una regla: 3 dm.Distancia entre las ciudades de Córdoba y San Luis: 400 km.Ancho de una cancha de fútbol: 65 m.
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Página 106Comparar pesosEquivalencia entre distintas unidades de medida de peso.
1. A Formosa: $880 = $90 + $90 + $350 + $350.A San Juan: $240 = $90 + $150.A Chubut: $840 = $150 + $350 + $50 + $50 + $240.a. Sí, es cierto. Por ejemplo, si en el caso de Formosa se juntan los paquetes de 120 g y 1 _ 8 kg, se pagaría por ambos $90 (en total pesan 245 g) cuando por separado se paga $180 ($90 por cada uno).En el caso de Chubut, por ejemplo, pueden juntarse los paquetes de 1.300 g y 0,5kg. Así, se pagaría por ambos $240 (en total pesan 1.350 g) cuando por separado se paga $330 ($240 por el de 1.300 g y $90 por el de 0,5 kg).b.
Peso del paquete Precio si se agrega 1 _ 4 kg Precio si se agrega 1 _ 2 kg Precio si se agrega 3 _ 4 kg
100 g $150 $150 $240
1.000 g $240 $350 $350
1,5 kg $350 $350 $350
3,5 kg $350 $350 $400
700 g $240 $240 $240
2. 1,5 kg + 3 1 _ 4 – Cerca de 5 kg.1.300 g + 1,8 kg + 4 kg – Más de 6 kg.350 g + 200 g – Cerca de 1 kg.1 1 _ 2 kg × 5 – Más de 6 kg.300 g × 4 – Cerca de 1 kg.
Página 107Estimar pesosEstimación y aproximación de medidas de peso. Exploración de múltiplos del kilogramo.
1. Por ejemplo: Caramelo: 3 g. Naranja: 200 g. Silla: 5 kg. Auto: 1.500 kg.2. Por ejemplo,a. Una hoja de papel.b. Un paquete de yerba.c. Un paquete de comida para mascotas.d. Una cama.e. Un auto.3. a. Para medir el peso de los camiones, se utiliza la unidad de medida llamada tonelada. Una tonelada equivale a 1.000 kg.b. La tara de un camión es lo que pesa el camión vacío, es decir, sin mercadería.4. a. 2 tn = 2.000 kg.b. 1,5 tn = 1.500 kg.c. 2.500 kg = 2,5 tn.
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d. 500 kg = 1 _ 2 tn.5. Como máximo, una hoja debe pesar 150 mg.a. 450 mg.
Página 108 – 109Comparar y estimar capacidadesEquivalencia entre distintas unidades de medida de capacidad. Exploración de subunidades del litro.
1. 2 vasos y medio. Porque si con dos botellas se llenan 5 vasos, con 1 botella se llenará la mitad de vasos.a. 10 vasos.b. La capacidad de la jarra es 10 vasos.c. La capacidad del vaso es 1 _ 10 de la capacidad de la jarra porque con 10 vasos se llena la jarra.d. La capacidad de los vasos es de 0,1 litros y la capacidad de la botella es de 0,25 litros.2. Jarra: 100 cl = 1.000 ml. Vaso: 10 cl = 100 ml. Jarra: 25 cl = 250 ml.3. 6 1 _ 2 bidones.a. 5 1 _ 5 bidones.b. 8 2 _ 3 bidones.c. Sí, es posible. Hay más de una posibilidad. Por ejemplo, pueden usarse 4 bidones de 25 litros y 2 bidones de 15 litros, o 5 bidones de 20 litros y 2 bidones de 15 litros.4. Una botella de agua – 1 1 _ 2 l.Un barril de petróleo – 160 l.Una pileta – 48.000 l.Un gotero – 50 ml.Una bañera – 180.000 cc.Una lata de gaseosa – 300 cc.5. Rodear 11 kl.a. Rodear 25 kl.6. Equivale a 1,53 litros, 15,3 decilitros, o 153 centilitros.
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Página 110Volver a ver1. Por ejemplo,
Cartas Menor medida Medida intermedia Mayor medida
Peso en tn Un auto1,5 tn
Un camión15 tn
Un meteorito30 tn
Largo en dm Una cama18 dm
Una cancha de fútbol650 dm
Una cuadra1.000 dm
Capacidad en dal
Un bidón de agua0,06 dal
Una bañera1,8 dal
Una pileta480 dal
Ancho en hm Una puerta0,007 hm
Un auto0,02 hm
Una pileta olímpica0,25 hm
Peso en mg Un grano de arroz26 mg
Un caramelo3.000 mg
Una cucharadita de azú-car
5.000 mg
2. Por ejemplo,Medida Objeto
3 1 _ 2 kg Una bolsa de papas
3 cg Un grano de arroz
15 dam Un chocolate
300 mm Una regla
30 cl Una lata de gaseosa
1,5 kl Un tanque de agua
3. Por ejemplo,Colectivo: largo 12 metros.Tanque de nafta: capacidad 40 litros.Elefante: peso 6 toneladas.Libro: ancho 20 centímetros.Olla: capacidad 4 litros.Mosquito: largo 5 milímetros.4. a. 45 dg = 4,5 g = 4.500 mg.b. 25 dag = 250 g = 0,25 kg.c. 12 hl = 1.200 l = 12.000 dl.d. 600 cc = 6 dl = 0,6 l.e. 1.500 cc = 1,5 l = 15 dl.f. 1.300 g = 1,3 kg = 130 dag5. a. Por ejemplo, como 1 dm es igual a 0,1 m, entonces 3 dm es igual a 0,3 m.b. Por ejemplo, como 1 dm es igual a 0,1 m, entonces 13 dm es igual a 1,3 m.6. Porque 5 cg equivalen a 0,05 g, que es menor que 0,5 g.a. Por ejemplo, 0,5 dam equivalen a 5 m. No hay una única posibilidad porque, por ejemplo, 0,5 cg equivalen a 5 mg.
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7. 145 dm equivalen a 14,5 m y 1.450 cm.8. 345 cl equivalen a 3,45 litros y 3.450 mililitros.9. Son 5,412 kilogramos y 5.412 gramos.10. Son 0,453 metros y 453 milímetros.
Página 1119. Cuadriláteros1. La figura dibujada en el pizarrón es un polígono de cuatro lados.2. En ambos casos, las figuras tienen cuatro lados y vértices, pero se diferencian en la apertura de los ángulos y el largo de sus lados.3. 130°.
Página 112Cuadriláteros cóncavos y convexosReconocimiento de cuadriláteros cóncavos y convexos.
1. Solo se puede encontrar ángulos cóncavos en estas figuras:
2. No. Porque la suma de los ángulos interiores de un cuadrado deben sumar 360°, y si hubiera dos ángulos cóncavos, la suma de los ángulos de un cuadrilátero sería mayor a 360°.
Página 113Copiar cuadriláterosPropiedades de los cuadriláteros convexos. Suma de sus ángulos interiores.
1. Producción personal.2. Se forma un triángulo obtusángulo.3. Un cuadrilátero tiene 2 diagonales que unen los 4 vértices.4. a. La suma de los ángulos interiores de los triángulos es 180°.b. La suma de los ángulos interiores del cuadrilátero es 360°.c. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero siempre es 360° porque todo cuadrilátero siempre puede dividirse en 2 triángulos que no se superponen y que cubren todo el cuadrilátero.
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Página 114Más sobre cuadriláterosAnálisis de algunas de las características de cuadriláteros.
1. a. Cuadrado y Rombo.b. Cuadrado y Rectángulo.c. Trapecio rectángulo.d. Cuadrado, Rectángulo, Rombo y Paralelogramo.2. a. I. Porque los lados del rombo no forman ángulos rectos entre sí.b. C. Porque un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.c. I. Porque, por ejemplo, el cuadrado tiene sus cuatro ángulos iguales.3. a. Producción grupal.b. Producción grupal.c. Sí. Por ejemplo, un cuadrado.4. Producción personal.a. Quedaron formados 4 rectángulos de 4 cm de base por 2,5 cm de ancho.
Página 115ParalelogramosPropiedades de los lados y los ángulos de un paralelogramo.
1. Producción personal.2. Quedan formados dos triángulos obtusángulos. Es la única posibilidad porque, por ejemplo, todo cuadrilátero puede cubrirse con 2 triángulos que no se superponen a través de una diagonal.3. Producción personal.a. Para que los lados ‾ AD y ‾ BC sean paralelos, el ángulo exterior B debe medir 45°.b. La medida del ángulo interior B es de 135°.c. El ángulos interior y exterior de B deben sumar 180°.d. Los ángulos interiores A y B deben sumar 180°.4. Producción grupal.
Página 116GeoGebraConstrucción de paralelogramos recurriendo a sus propiedades.
1. a. Lucía trazó una recta perpendicular para marcar la altura del paralelogramo. Al trazarla en el punto D, con ella puede marcar el punto C.b. Conviene usar la segunda opción porque, por ejemplo, si usamos la primera el ángulo D sería recto y no se podría formar el paralelogramo.c. El vértice que le falta marcar a Lucía es el punto C. Puede encontrarlo en la intersección entre la circunferencia de centro D y radio 3 cm y la recta r.
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Página 117Paralelogramos y rectángulosEstudio de las propiedades de los paralelogramos ubicando el rectángulo como paralelogramo de ángulos rectos.
1. a. Sí, porque ‾ BD divide al paralelogramo en dos triángulos que no se superponen y que lo cubren completamente. ‾ BD es una de las diagonales del paralelogramo.b. Los triángulos son congruentes.c. Los ángulos A y C son iguales.d. Martina hubiera usado los triángulos Aˆ B C y A DC.
e. También serían congruentes.f. Los ángulos B y D serían iguales.2. Sí, es posible. Por ejemplo, se puede dibujar un cuadrado.3. a. Se espera que el estudiante esté de acuerdo con las instrucciones de Lucas porque la figura resultante será un paralelogramo con sus cuatro lados iguales y sus ángulos interiores rectos.b. Producción personal.
Página 118Paralelogramos equiláterosEstudio de las propiedades de los lados y de los ángulos de un rombo.
1. Producción personal.2. a. Los triángulos A B D y B C D en la figura de Nicolás son iguales. Y los triángulos A B C y A C D en la figura de Lucía son iguales entre sí.b. Son ángulos A y C en la figura de Nicolás miden lo mismo. Y los ángulos B y D en la figura de Lucía miden lo mismo.c. Los triángulos A B D y B C D en la figura de Nicolás son isósceles.3. Sí. Por ejemplo, un cuadrado es un rombo y por tener ángulos rectos en sus vértices también es un rectángulo.
Página 119Paralelogramos, rombos y rectángulosEstudio sobre algunas relaciones entre lados y ángulos de los paralelogramos, rectángulos, rombos y cuadrados.
1. Producción personal.2. No es posible porque, por ejemplo, la única figura que no tiene lados opuestos paralelos es un trapecio, pero sus lados no son equiláteros.3. Producción personal.4. No es posible construir un rombo que tenga solo uno, dos o tres ángulos rectos porque,
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por ejemplo, un rombo es un cuadrilátero con todos sus ángulos menores a 90°.5. Si paralelogramo tiene un ángulo recto, como sus lados son paralelos e iguales, deberá tener todos sus ángulos rectos. Es por eso que no es posible construir un paralelogramo que tenga solo uno, dos o tres ángulos rectos.
Páginas 120 y 121Problemas con cuadriláterosPropiedades de los lados y los ángulos interiores de los paralelogramos: rectángulos, rombos y cuadrados.
1. a. Los pares de ángulos A y C y B y D son iguales entre sí y además, A + B = 180° y + C + ˆ D = 180°. Entonces A = 60 °, C = 60°, B = 120° y D = 120°.b. Como la figura es un rombo, A = C y B = D . Además, A + B = 180° entonces B = 120°, D = 120°, C = 60° y A = 60°. Por último, el ángulo 5 es igual al ángulo A y el ángulo 4 es igual a B . 2. No. Por ejemplo, la figura tiene ángulos opuestos iguales, pero la medida de los lados opuestos es diferente.
a. El rombo tiene dos pares de ángulos iguales. Si todos sus ángulos son iguales, la figura que representa es un cuadrado.3. Por ejemplo,
a. MNPQ es un paralelogramo porque es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos.b. MNPQ es un rombo porque sus 4 lados son iguales.c. MNPQ no es un cuadrado porque la amplitud de los ángulos de sus vértices no forman ángulos rectos.
a = 2 cma = 2 cm
b = 4 cm b = 4 cm
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4. Por ejemplo,
La figura resultante es un paralelogramo porque tiene dos pares de lados iguales y paralelos, y no es un rombo porque sus cuatro lados no son iguales.5. Al dibujar las dos diagonales del rombo, este queda dividido en 4 triángulos. Si la medida de una diagonal fuera la misma que la de los lados del rombo, no se cumplirá la regla en la que cada uno de los lados de un triángulo debe ser menor que la suma de los otros dos. Entonces, no es posible tener una diagonal de la misma medida que sus lados.
Página 122Las diagonalesPropiedades de las diagonales de los paralelogramos y de los rectángulos.
1.
a. Los cuadriláteros cuyas diagonales se cruzan perpendicularmente son estos:
Porque entre ellas se forman ángulos de 90°.2. Por ejemplo,
5 cm
3 cm
A B
C D
A
B C
D
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Los vértices están ubicados sobre el círculo de centro O y radio ‾ OD 3. Por ejemplo,
a.
La circunferencia pasa por el vértice opuesto de A.b.
La circunferencia pasa por el vértice opuesto a B.c. Los pares de segmentos ‾ AO y ‾ OC y los pares ‾ BO y ‾ OD son iguales.d. El punto O es el punto medio de cada diagonal.
A
BO
C
D
A
BO
C
D
A
B C
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Página 123Otras construcciones con cuadriláterosConstrucciones de paralelogramos y rectángulos en los que se ponen en juego las propiedades de las diagonales.
1. Por ejemplo,
2. Hay una única posibilidad porque, con una diagonal y un ángulo recto, el rectángulo queda unívocamente determinado. Lo que puede variar es la posición en la que se dibuja. Por ejemplo,
7 cm
6 cm
3 cmradio = 3 cm
radio = 7 cm
A B
C D
6 cm
radio = 6 cm
A D
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3. Producción personal.4. Por ejemplo,
El centro E tiene que estar ubicado en la intersección de las diagonales del cuadrado porque es el punto donde las distancias EA, EB, EC, ED son equidistantes.
Página 124Volver a ver1. Producción personal.2. Producción personal.3. a. La medida de cada ángulo interior del paralelogramo es 90°.b. La medida de los ángulos A = C = 70° y B = D = 110°.c. La medida de los ángulos A = C = 30° y B = D = 150°.4. Producción personal.5. a. Un paralelogramo no puede tener solo un par de ángulos rectos porque, por ejemplo, para poder finalizar la construcción, los otros dos lados quedarían determinados formando también otros ángulos rectos entre sí.b. Sí. Porque, por ejemplo, al tener sus 4 lados iguales y determinar que uno de sus ángulos es recto, para poder construirlo los otros ángulos deberán medir lo mismo.c. El rectángulo queda unívocamente determinado por el radio de la circunferencia y sus ángulos rectos. Lo que puede variar es la posición en la que se dibuja.d. Hay una única circunferencia que pasa por los cuatro vértices del rectángulo porque, dado el centro y radio, la circunferencia queda unívocamente determinada.6. Producción personal.a. Producción personal.
Página 12510. Estadística y probabilidad1. a. En 2011, una persona pasaba 73 minutos usando Internet y 182 minutos mirando televisión por día.b. Si, es cierto. En el año 2014 y 2015, una persona pasaba el mismo tiempo frente a una televisión.c. Para el año 2009, se puede estimar que el tiempo era aproximadamente mayor que el triple de tiempo destinado al uso de Internet. Para el año 2018, esa diferencia es casi nula.d. Sí, se puede afirmar que el aumento del uso de Internet fue mayor. Esta información se
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puede obtener al ver que el crecimiento por año entre personas que usaban Internet fue mucho más rápido.
Página 126Información en gráficosTratamiento de la información: relación entre datos e incógnita.
1. Producción personal2. a. El país que más medallas obtuvo fue Rusia.b. El país con menos medallas fue Alemania.c. La diferencia es de 50 medallas aproximadamente.d. Por ejemplo, se puede decir que Argentina fue el cuarto país con más medallas de los 7 que participaron.
Página 127Interpretar situaciones a partir de gráficosResolución de situaciones en las que deban responder preguntas a partir de distintos portadores de información.
1. a. Edades Cantidad de chicos
6 3
7 5
8 8
9 7
10 7
11 3
12 3
b. Sí. Porque, por ejemplo, en el gráfico de barras es la de mayor altura.c. De un total de 36 chicos, hay 22 que tienen entre 8 y 10 años. Es decir, hay más de la mitad de chicos correspondiente a esa edad.2. a. El principal uso de celulares es para escuchar música.b. Se puede decir que utilizar el celular para leer es el tercer motivo de uso para un celular porque hay un 16% de personas que utilizan el celular para leer (un 2% lo usa para leer libros y otro 14% para leer diarios).c. Puede ser que no aclare otros motivos de uso porque tienen porcentajes bajos.d.
8
7
6
5
4
3
2
1
06 7 8 9 1110
Edades (en años)12
Can
tida
d de
chi
cos
Leer diarios Leer diarios14%
Leer libros Leer libros2%
Jugar videojuegos Jugar videojuegos12%
Mirar TV Mirar TV
Otros usos
2%
Escuchar radio Escuchar radio17%
Escuchar música Escuchar música50%
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Páginas 128 y 129Recolectar, registrar y representar datosResolución de problemas en los que deben obtener, registrar y organizar datos.
1. Se espera que los estudiantes estén de acuerdo con lo comentado por Lucas y Martina porque, por ejemplo, cuanta mayor cantidad de personas de diferentes edades se puedan encuestar, mejores serán los datos para poder responder la pregunta.b. Los datos que se usaron para completar la encuesta fueron inventados para poder continuar con las actividades.
Persona Internet TV por aire TV por cable/satélite
1 X
2 X
3 X
4 X
5 X
6 X
7 X
8 X
9 X
10 X
2. Los datos que se usaron para completar la encuesta fueron inventados para poder continuar con las actividades.
Medio Frecuencia
Internet 130
TV por aire 40
TV por cable/satélite 100
3. Los datos que se usaron para completar la encuesta fueron inventados para poder continuar con las actividades.
150
120
90
60
30
0Internet TV por aire TV por cable/
satélite
Can
tida
d de
per
sona
s
Medio para ver películas o series
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4. Los datos que se usaron para completar la encuesta fueron inventados para poder continuar con las actividades.a. El medio más elegido es Internet.b. No se puede decir que las personas ya no miran televisión porque hay un alto porcentaje que todavía lo hace a través de TV por cable/satélite.c. Al encuestar a personas de distintas edades, sexos y barrios se puede afirmar que la cantidad de personas encuestadas es suficiente para confirmar la respuesta.
Página 130Gráficos estadísticosInterpretación de gráficos.
1. a. En total, Argentina obtuvo 26 medallas.b. En mayor cantidad, Argentina obtuvo de bronce.c. Obtuvo 6 _ 26 .2. a. Febrero fue el mes en el que se vendió mayor cantidad de relojes.b. En enero, se vendieron más anillos.c. Se vendieron menos pulseras en marzo.d. En abril, la joya más vendida fue el collar.e. En los cinco meses de ventas, en promedio se vendieron más relojes.3. Producción grupal.
Página 131Estadística y formación de opiniónAnálisis de la información.
1. a. Para el grupo 1, 1a respuesta más elegida fue que es un tema del cual hay que preocuparse. Para el grupo 2, en cambio, es una causa perdida.b. Es cierto que la diferencia es mucha porque es más del triple. Esto se puede deber, por ejemplo, a que las edades de las personas encuestadas en los grupos difiere mucho.c. Sí. Porque, por ejemplo, en ambos grupos el porcentaje está cerca de un 5% del total.d. Por ejemplo, el grupo 1 tiene una opinión más favorable porque tiene menor porcentaje en “algo de moda” y “una causa perdida”.2. a. Más del 50% de los encuestados respondieron que “le molesta pero no hace nada”.b. Producción personal.3. Producción grupal.
Páginas 132 y 133Explorar fenómenos aleatoriosExploración de fenómenos aleatorios.
1. Producción grupal.2. Producción grupal.a. Se espera que los estudiantes respondan que para ganar conviene elegir el color que más
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fue elegido.b. Se espera que los estudiantes respondan con alguno de los colores que solo fue elegido por un solo jugador.c. No es posible que el color blanco sea elegido porque no figura en el molde armado.d. La posibilidades de que salga alguno de esos colores es uno dividido el total de colores, es decir, 1 _ 15 .3. Por ejemplo, un suceso seguro es que el color obtenido al girar la ruleta será uno de los elegidos para armarla.a. Por ejemplo, un suceso imposible es que salga el color blanco. Y, por ejemplo, un suceso probable es que salga alguno de los colores que se usaron para armar la ruleta.4. a. En total, hay 15 colores posibles para elegir.b. Lucas tiene más posibilidades de ganar porque hay 2 gamas de amarillo y verde en las cuales podría acertar. Es decir que, de los 15 colores del espacio muestral, Lucas eligió 4, mientras que Martina eligió solo 2.c. Por ejemplo, se podrían reemplazar los colores repetidos por otros que no hayan sido elegidos.5. Sí, es posible que en el primer dado salga un 3 y en el segundo un 5 porque esos sucesos son probables en el espacio muestral.a. Los eventos posibles son estos:(1,1) - (1,2) - (1,3) - (1,4) - (1,5) - (1,6)(2,1) - (2,2) - (2,3) - (2,4) - (2,5) - (3,6)(3,1) - (3,2) - (3,3) - (3,4) - (3,5) - (4,6)(4,1) - (4,2) - (4,3) - (4,4) - (4,5) - (5,6)(5,1) - (5,2) - (5,3) - (5,4) - (5,5) - (6,6)(6,1) - (6,2) - (6,3) - (6,4) - (6,5) - (7,6)b. El conjunto muestral es de 36 posibilidades y el suceso “que salgan dos números iguales” es uno de los 36 posibles, es decir, que la posibilidad de que suceda es 1 _ 36 .6. Cuando Nicolás saque una tarjeta de la bolsa, puede salir una de color rojo, azul, amarillo o blanca.a. De las 12 tarjetas, 6 son rojas. Entonces, hay más posibilidades de que Nicolás saque una tarjeta roja. Por otra parte, podría salir 10 veces la tarjeta de color blanco porque, por ejemplo, al poner nuevamente la tarjeta en la bolsa en cada realización del juego “sacar una tarjeta de color blanca” es un suceso probable.b. Producción grupal.
Página 134Contar casosRecuperación de la exhaustividad en el conteo de casos al resolver situaciones.
1. a. Los posibles resultados son estos:(1, cara) - (1, ceca)(2, cara) - (2, ceca)
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(3, cara) - (3, ceca)(4, cara) - (4, ceca)(5, cara) - (5, ceca)(6, cara) - (6, ceca)b. Sí. Porque, por ejemplo, hay tantos números pares como impares, y ambos son sucesos posibles.c. En total, hay 12 posibilidades, y el suceso “sale un 2 en el dado y cara en la moneda” es uno del total posible, es decir, 1 _ 12 .2. a. Las posibilidades son estas:(María, Camila, Agustín)(María, Camila, Luciano)(María, Camila, Juana)(María, Juana, Luciano)(María, Juana, Agustín)(María, Agustín, Luciano)(Camila, Agustín, Luciano)(Juana, Agustín, Luciano)(Camila, Juana, Luciano)(Camila, Juana, Agustín)b. Ambas posibilidades son iguales porque, por ejemplo, Luciano y Juana forman equipo juntos cuando están (María, Juana, Luciano) - (Juana, Agustín, Luciano) - (Camila, Juana, Luciano), es decir, hay una posibilidad de 3 _ 10 de que estén juntos en un equipo. Y la posibilidad de que Agustín y Camila estén en un mismo equipo es 3 _ 10v porque las únicas posibilidades que hay son (María, Camila, Agustín) - (Camila, Agustín, Luciano) - (Camila, Juana, Agustín).3. a. Las distintas formas de elegir dos cartas al azar son estas:(6C, 7C) - (6C, 6T) - (6C, 7T) - (6C, 6D) - (6C, 7D)(6C, 8C) - (6C, 9C) - (6C, 8T) - (6C, 9T) - (6C, 8D) - (6C, 9D)(7C, 6T) - (7C, 7T) - (7C, 6D) - (7C, 7D) - (7C, 8C)(7C, 9C) -(7C, 8T) - (7C, 9T) - (7C, 8D) - (7C, 9D)(6T, 7T) - (6T, 6D) - (6T, 7D) - (6T, 8C) - (6T, 9C)(6T, 8T) - (6T, 9T) - (6T, 8D) - (6T, 9D)(7T, 6D) - (7T, 7D) - (7T, 8C) - (7T, 9C)(7T, 8T) - (7T, 9T) - (7T, 8D) - (7T, 9D)(6D, 7D) - (6D, 8C) - (6D, 9C) - (6D, 8T)(6D, 9T) - (6D, 8D) - (6D, 9D)(8C, 9C) - (8C, 8T) - (8C, 9T)(8C, 8D) - (8C, 9D)(9C, 8T) - (9C, 9T) - (9C, 8D) - (9C, 9D)(8T, 9T) - (8T, 8D) - (8T, 9D)(9T, 8D) - (9T, 9D)(8D, 9D)
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b. Los pares que suman 15 son los que se forman juntando un 6 con un 9, o un 8 con un 7.c. No. Porque, por ejemplo, la única manera de que dos cartas sumen 12 es sacando dos 6, mientras que para sumar 15 tengo el doble de posibilidades.d. Sí. Porque, por ejemplo, hay 6 cartas pares y 6 impares.
Página 135Vincular datos y probabilidadesExploración sobre los primeros vínculos entre estadística y probabilidad.
1. a. Es muy probable que use videojuegos.b. Sí, puesto que el porcentaje es muy bajo comparados a los otros.c. Es más probable que desde los 12 a 17 años.2. Producción grupal.
Página 136Volver a ver1. a.
¿Qué hacen tus familiares en su tiempo libre? Frecuencia
Leer 10
Escuchar música 30
Chatear 50
Mirar televisión 20
Otros 10
b. No, se puede decir que 50 personas de las 120 encuestadas prefiere chatear.c. El ángulo mide 90° al ser la cuarta parte del total.d. Si se elige una persona al azar entre las encuestadas, hay una posibilidad de 20 en 120 de que elija “mirar televisión”.2. a.
Billete Frecuencia
$10 7
$20 2
$50 2
$100 1
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3. a. Es cierto porque, por ejemplo, su porcentaje es mayor que el 50%.b. Las personas de 65 años o más son las que menos “salen a bailar”.c. Sí. Porque el porcentaje de los que sí salen es, aproximadamente, un 40%.d. Las personas entre 50 y 64 años “salen a bailar” con una posibilidad de casi un 18%.4. a. Es más probable que una lamparita al azar dure 100 horas aproximadamente.b. Sí, porque son las que mayor frecuencia tuvieron.5. a. En el dado puede salir: (1,5) - (2,4) - (3,3) - (4,2) - (5,1).b. De un total de 36 posibles resultados, la posibilidad de que al tirar dos dados a la vez los resultados sumen 6 es de 5 casos en 36, es decir, 5 _ 36 .
8
7
6
5
4
3
2
1
010 20 50 100
