Guía 71: Información de varios pasos

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Guía 71: Información de varios pasos

CH-FyA-0487

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Guía

71 Meta 24

GRADO 7

GUÍA DEL ESTUDIANTE

INFORMACIÓN DE VARIOS

PASOS: ÁRBOLES DE CONTEO

Y EVENTOS COMPUESTOS

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Guías de Aprendizaje de Cualificar Matemáticas

Fe y Alegría Colombia

Fe y Alegría Colombia

Víctor Murillo

Director Nacional

Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos

Jaime Benjumea - Marcela Vega

Autores de la guía 71

Francy Paola González Castelblanco

Andrés Forero Cuervo

Coordinación pedagógica


Andrés Forero Cuervo

GRUPO LEMA www.grupolema.org

Revisores

Jaime Benjumea


http://www.grupolema.org/

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Guía

71 GRADO 7

INFORMACIÓN DE VARIOS PASOS: ÁRBOLES DE CONTEO Y EVENTOS COMPUESTOS

GRADO 7 - META 24 - PENSAMIENTO ALEATORIO

Guía 70

(Duración 13 h)

• Población y variable estadística

• Muestras representativas y no

representativas

• Partición e intervalos

• Histogramas

• Polígonos de frecuencia

• Máximos y mínimos en gráficas de

línea

• Tendencias de cambio

Guía 71

(Duración 13 h)

ACTIVIDAD 1

• Conteo usando árboles

• El principio de multiplicación para

conteos

ACTIVIDAD 2

• Experimentos multi-paso

• Eventos simples y eventos

compuestos

• Probabilidad de un evento

Guía 72

(Duración 13 h)

• Análisis de histogramas

• Medidas de tendencia en datos

agrupados

• Análisis de juegos de probabilidad

• Juegos justos y sesgados

• Simulación de experimentos

aleatorios mediante juegos

META DE APRENDIZAJE N. 24

Analizo muestras representativas de poblaciones de variables como frecuencias de lectura, gastos en la

canasta familiar, entre otras, usando tablas de frecuencias, histogramas, polígonos de frecuencias y otras

representaciones donde agrupo datos; calculo medidas de tendencia central (moda, mediana y promedio).

Hallo la probabilidad de un evento compuesto en experimentos de uno o más pasos, la represento con ayuda

de tablas y diagramas de árboles, y la expreso como fracción, decimal o porcentaje. Así, aprendo a generar

nueva información general a partir de información simple y cotidiana.

PREGUNTAS ESENCIALES, GUÍA 71: ● ¿Cómo puedo contar objetos que se construyen tomando varias decisiones? ¿Qué operaciones nos sirven para

esto? ● ¿Cómo se relaciona un árbol de conteo con una tabla? ● ¿Qué es un experimento multi-paso? ¿Cómo se ve el espacio muestral? ● ¿Cómo puedo calcular la probabilidad de un evento, ya sea simple o compuesto?

EVIDENCIAS DE APRENDIZAJE, GUÍA 71

● Comprendo qué representa un diagrama de árbol ● Interpreto una situación de conteo usando un diagrama de árbol ● Comprendo y uso el principio de multiplicación para contar cosas ● Entiendo la diferencia entre un evento nulo, simple y compuesto ● Describo eventos en palabras, dado un experimento de azar ● Reconozco probabilidades en experimentos de un solo paso ● Razono para hallar probabilidades en experimentos multi-paso

Servicio 2: Desarrollo de contenidos pedagógicos y educativos La innovación educativa para las instituciones educativas de Fe y Alegría Colombia. Ambiente Cualificar. Documento interno

GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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ACTIVIDAD 1: CONTEMOS USANDO ÁRBOLES

Aprendamos a representar formas de hacer cosas usando árboles y utilicemos los árboles para

contar de cuántas formas podemos hacer algo, usando sumas, restas y multiplicaciones.

A) Activando saberes previos: diagramas de árboles

RECUERDA QUE...

● Un DIAGRAMA DE ÁRBOL (o simplemente ÁRBOL) es una forma de representar distintas opciones

o decisiones, y nos sirve para representar objetos o formas de hacer alguna cosa, viéndolas todas de

forma organizada.

○ El árbol tiene un NODO (punto) inicial (su raíz) y luego se abre en ramas.

○ Un árbol DE 1 PASO solo tiene un nivel de ramificación. Un árbol MULTI-PASO es uno

donde, cada rama se puede abrir en más ramas. Es decir, hay por al menos 2 pasos de

ramificación.

■ Cada ramificación representa una decisión en el proceso.

○ Los NODOS FINALES son los que representan los objetos que queríamos contar.

○ Al contar usando un árbol, MULTIPLICAMOS las opciones en cada ramificación.

PRACTICA

i) Clasifica cada árbol según sea de 1

PASO o MULTI-PASO, y cuenta sus

nodos finales:

ii) Para viajar de un lugar a otro puedes hacerlo a

pie, en bicicleta, en autobús o en motocicleta. Dibuja un

árbol de 1 paso que represente estas opciones.

iii) Para viajar de un lugar a otro puedes hacerlo a

pie, en bicicleta o en autobús.

● Si decides viajar en bicicleta, puedes usar la tuya o

la de tu tía.

● Si decides viajar en autobus, tienes 3 buses

distintos posibles.


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GRADO 7

ACTIVIDAD

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6

Dibuja un árbol que represente estas opciones. ¿Cuántas

opciones hay en total: ¿5, 6, 8, 18? El árbol que dibujaste

es multi-paso. ¿Por qué?

(Verifica las respuestas con tu profesor)

B) Conceptos: usando árboles para contar

Exploremos: ¿Cuántos menús?

Estás conformando un restaurante de comidas deliciosas y saludables para mejorar la nutrición de la gente

en tu comunidad.

● Para el plato principal cuentas con 4 opciones: tilapia, garbanzo, lentejas o pollo.

● Para la bebida tienes 2 opciones: limonada o jugo de fresa.

● Para el postre tienes 2 opciones: pan de banano o galleta de avena.

Un menú consiste en elegir una opción de plato principal, una bebida y un postre. Queremos

visualizar y contar todos los menús que se pueden hacer. Para eso representas los menús con

una tabla y también con un árbol, de la siguiente forma:


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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El árbol ejemplifica la representación de este menú: “garbanzo, jugo de fresa, galleta de avena”. En la

tabla la ves como una casilla triangular; en el árbol, como una rama completa (que tiene 3 troncos).

Al contar, ya sea en la tabla o en el árbol, descubres que hay 16 menús distintos para elegir. Esto es porque

las elecciones de plato fuerte, bebida y postre pueden ser tomadas una sin depender de la otra, y 16 = 4 ×

2 × 2 (o 2 × 4 × 2, según el árbol).

Cada RAMA COMPLETA desemboca en un NODO FINAL que representa un menú distinto. Por ejemplo, la

rama de más arriba corresponde a este menú: jugo de limonada con pescado con galleta de avena.

Analicemos más a fondo la situación, respondiendo algunas preguntas:

1. ¿Qué pasa si un día no hay limonada sino solo jugo de fresa? ¿Cuántos menús habrían?

R: Mirando la tabla o el árbol, nos quedaríamos con solo la mitad de opciones.

Habría 8 menús. Verifícalo contando los menús.

2. ¿Qué sucede si, para cuidar del azúcar, no se pudiera elegir menús con jugo de fresa y pan de

banano? ¿Cuántos menús habrían?

R: Mirando el árbol, contamos las ramas completas que tengan jugo de fresa y


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GRADO 7

ACTIVIDAD

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banano. Hay 4. Así, habrá 12 menús (pues 16 − 12 = 4). También lo puedes ver usando

la tabla.

3. Si el restaurante NO ofreciera postre, ¿cuántos menús habrían?

R: basta pensar en el árbol pero sin la última ramificación. Vemos que hay 8

menús, si no incluimos la opción del poste. (Mira el árbol a la derecha).

4. Si un cliente es vegetariano, ¿cuántos menús puede elegir?

R: Podemos responder pensando en las multiplicaciones. Como ahora solo hay

2 opciones para el plato principal (garbanzos, lentejas), entonces hay solo 2

× 2 × 2 = 8 menús. Verifícalo mirando la tabla.

5. Supongamos que llega un nuevo sabor de jugo (mandarina). ¿Ahora cuántos

menús habrá?

R: imaginamos ahora un árbol que abre primero en 3 ramas, luego en 4 y

finalmente en 2. NO lo necesitamos dibujar. Contar las ramas completas es

sencillo: multiplicamos 3 × 4 × 2 = 24 menús.

Usando la tabla, lo que haríamos es añadir una nueva fila, luego el menú crece

en un 50%, pasando de 16 a (150%) × 16 = (3/2) × 16 = 24.

Responde:

a) Además del árbol y la tabla, ¿se te ocurre otra representación para el número de menús? ¡Sé creativo!

b) ¿El árbol que hicimos es el único posible? Se te ocurre algún otro que sea equivalente y represente lo

mismo? Dibújalo usando letras para abreviar los ingredientes y sabores.

c) Un amigo dice que el número de menús en realidad es 2 + 4 + 2 = 8. ¿En qué caso sería correcto esto?

¿Qué tendríamos que cambiar en la situación?

d) ¿Se te ocurre cómo hacer para que haya exactamente 27 menús? ¿Qué debemos cambiar?

MINI-EXPLICACIÓN: Conteo usando árboles

CONTEO USANDO

ÁRBOLES

Y

EL PRINCIPIO DE

MULTIPLICACIÓN

Supongamos que vamos a crear (en la realidad o mentalmente) objetos, y cada

objeto lo podemos construir en varios pasos, tomando una serie de decisiones, con

una o varias opciones por cada decisión o paso. Entonces:

• Podemos representar el proceso de construcción del objeto usando un árbol.

• El árbol tiene un nodo inicial llamado raíz.

• Cada paso de ramificación representa una decisión.

• Cada nodo final (o cada rama completa que va de la raíz del árbol hasta ese

nodo) representa un único objeto construido.

• PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN (O PRODUCTO): el número de objetos es

igual al producto de los números de opciones de cada paso.


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GRADO 7

ACTIVIDAD

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9

A veces nos interesa contar cuántos de los objetos tienen cierta condición, y

podemos usar el árbol para razonar y encontrar la respuesta, usando sumas,

restas, multiplicación y división, de manera flexible.

POR

TURNOS Describamos menús y conjuntos de menús

Formen grupos de 4 estudiantes. Vamos a trabajar en una situación similar a la anterior, pero con otro

restaurante Esta vez hay:

● 3 platos principales: sopa, ensalada y atún.

● 2 bebidas: limonada y agua de jamaica.

● 2 opciones de postre: flan y dulce de papayuela.

Cada menú consta de una única elección de cada una de

las anteriores. Veamos un árbol posible:

i) Cada persona crea un

nuevo árbol en una hoja

(arráncala de tu

cuaderno), que

represente la misma

situación (p. ej, se

podría comenzar por

seleccionar el postre).

Hablen primero para

asegurarse de no

dibujar el mismo árbol.

ii) Compartan

y entiendan

sus árboles.

Discutan si

faltan

árboles (y

cuál o cuáles),

pero no los

dibujen.

iii) Por turnos

En cada turno:

• Una persona piensa en un

menú y lo dice en voz alta

(ej: Sopa con agua con flan).

• Las demás personas

señalan ese menú en sus

árboles y revisan las

respuestas.

(Mínimo 2 turnos por persona)

iv) Por turnos

En cada turno:

• Una persona piensa en un

conjunto de menús con una

propiedad y lo dice en voz alta

(ej: menús que tienen flan).

• Las demás personas señalan

cómo ver ese conjunto en sus

árboles y revisan las respuestas.

(Mínimo 2 turnos por persona)


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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Ejemplo: diseñemos un juego

Laura quiere diseñar un juego de mesa.

● Quiere que el número de jugadores sea siempre igual, y que sea 5, 6, 7 u 8 jugadores.

● Quiere elegir un tema para su juego, de los siguientes:

Energías

renovables

Economía

colaborativa

Viajes por

Colombia

Viajes por

Perú

Viajes por

Ecuador

● Quiere escoger uno de estos 3 métodos para moverse en el tablero:

(i) con dados, (ii) con cartas, o (iii) los jugadores deciden cuánto moverse en cada turno.

El orden en que ella decida estos 3 aspectos no importa. Es decir, no hay incidencia entre ellos.

a) Cuántos juegos de mesa puede diseñar Laura?

R: Utilizando el principio de multiplicación, y dado que las decisiones no dependen entre sí (por ejemplo, el

tema no depende del número elegido de jugadores, sabemos que hay 4 × 5 × 3 = 60 posibles juegos.

b) Cuántos juegos hay para 6 jugadores?

R: Por el principio del producto, y como

ahora solo hay una posible elección para el

# de jugadores, hay 1 × 5 × 3 = 15 juegos.

Esto es 1/4 del total inicial de juegos

(¡piensa por qué!).

Otra forma de entender esto: ya NO tenemos que decidir sobre el # de jugadores, es decir, ahora solo

hay dos decisiones. Entonces hay 3 × 5 = 15 juegos de los que queremos hacer.


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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c) ¿Cuántos juegos en donde haya azar podemos crear?

R: Revisemos el aspecto del método: hay 3 opciones, 2 de las cuales (dados, cartas) son de azar.

Entonces por el principio del producto, hay 4 × 5 × 2 = 40 juegos. Observa que esto es igual a 2/3 del

total original de juegos.

Otra manera de razonar: De todos los juegos, 1/3 son de dados, 1/3 de cartas y 1/3 no de azar. Esto lo

podemos ver si armamos el árbol comenzando con el método. Por ende, hay 20 + 20 = 40 juegos con azar.

60 juegos en total

1/3

1/3

1/3

d) ¿Cuántos juegos que NO sean de viajes podemos crear?

R: Revisemos el aspecto del tema: hay 5 opciones, 3 de las cuales son de viajes. Entonces por el principio

del producto, hay 4 × 2 × 3 = 24 juegos.

e) ¿Cuántos juegos que sean de viaje y de azar (al tiempo) hay?

R: Por el principio del producto, hay 4 × 3 × 2 = 24 juegos. (Hemos usado que hay 3 opciones para tema

de viaje, y 2 opciones para método de azar).


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GRADO 7

ACTIVIDAD

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Completa este ejemplo: Capas y máscaras

Supongamos que para disfrazarnos tenemos 12 opciones para la

máscara y 3 opciones para la capa. Además, podemos elegir no usar

capa, pero queremos siempre elegir máscara.

De las 12 máscaras, 6 son verdes, 3 son azules claras y 3 son azules

oscuras.

a) Por cada máscara que elijamos tenemos 4 opciones para la capa:

capa#1, capa#2, capa#3 y NO capa. Según esto, ¿de cuántas formas

podemos disfrazarnos? Haz un árbol de todas las elecciones (¡es un

árbol gigante!)

b) Si elimináramos una de las máscaras como opción, entonces

quitaríamos 4 opciones para disfrazarnos, quedando con 44.

Si elimináramos una de las capas como opción, ¿cuántas opciones quitaríamos para disfrazarnos? Táchalas

de tu árbol para entender más el proceso.

c) Completa la siguiente tabla.

Recuerda: hay 12 máscaras (obligatorio usar) y 3 capas (opcional).

Distribución de máscaras: 6 verdes, 3 azules claras y 3 azules oscuras.

Formas de disfrazarme con la siguiente

condición:

Multiplicación

(opciones máscara × opciones capa)

Total

Uso la capa #1 12 × 1 12

Uso la capa #3 12

No uso capa

Uso una de las 7 máscaras de gato que hay 28

Uso una máscara verde

Uso una máscara azul clara

Uso una máscara azul

Uso una máscara que no sea azul oscura


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GRADO 7

ACTIVIDAD

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Uso la capa #2 y una máscara verde 6

1-2-4: Tu turno (individual, en parejas y después en grupos de 4)

Individualmente elige una situación en donde tengas que contar cosas usando un árbol. Dibuja el

árbol en una hoja separada y explica algunas de sus ramas completas. Incluye otra información

que quieras y te parezca importante.

Comparte tu árbol con otro estudiante. Intercambien los árboles. Ahora tú estarás a cargo de

explicar lo que hizo tu compañero.

Júntense con otra pareja y compartan sus árboles, dándose retroalimentación. ¡Debes exponer

las ideas de tu compañero! (A ver si realmente las entendiste). Finalmente, busquen a su

profesor para dialogar y compartir sus creaciones, aclarando los conceptos.

Finalmente utilicen la brújula

para evaluar cómo les fue con

esta tarea (la pueden usar

durante la socialización o al

final).


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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C) Resuelve y practica

1) Dibuja todos los árboles que puedas que tengan

8 nodos finales y escribe a 8 como el producto de

las opciones en cada paso del árbol.

Aquí hay un ejemplo (4 × 2 = 8):

2) Quieres crear un personaje para un cuento que

vas a escribir. Para el nombre tienes las siguientes

posibilidades: Alina, Darcy o Gabriela.

Para el apellido: Borges, Estupiñán, Zárate.

a) Haz el árbol de posibilidades y cuenta cuántas

hay. Elige tu favorita.

b) Si eliminamos a Gabriela como posible nombre,

¿cuántas opciones tendríamos ahora?

Sombrea la parte del árbol que quedaría.

3) Quieres crear un personaje para un cuento que

vas a escribir. Para el nombre tienes estas

posibilidades: Alan, Diego o Gustavo.

Para el apellido: Bonilla, Ecko, Hernández, Zorro.

a) Sin hacer el árbol, ¿cuántos nombres

completos (nombre y apellido) puedes crear?

¿Cuál es tu favorito?

b) Si añadimos a Fredy como posible nombre, y

eliminamos a Zorro como posible apellido,

¿cuántas opciones tendríamos ahora?

5) Dibuja todos los árboles que tengan 36 nodos

finales y escribe 36 como el producto de las

opciones en cada paso.

Aquí hay un ejemplo (6 × 2 × 3 = 36):

6) Repensemos la bandera de Colombia

Como sabemos, la bandera de Colombia es

Amarillo (parte arriba 50%), azul (mitad, 25%) y

rojo (abajo, 25%). Vamos a pensar de cuántas

manera podríamos hacer de nuevo esta bandera,

usando los mismos colores.

a) Suponiendo que podemos repetir los colores,

hay 27 banderas posibles. Haz un árbol

explicando este conteo y dibujando cada una de

las 27 banderas en cada nodo final.


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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Dibuja tus ideas.

4) Un edificio tiene 5

pisos. Cada piso está

todo apagado o todo

prendido. ¿De cuántas

formas distintas puede

estar el edificio?

Explica.

b) Si ahora queremos que cada bandera tenga 3

colores (es decir, que no haya repetición de

color), ¿cuántas banderas podemos hacer? ¿Cuál

es tu favorita?

Haz un árbol para explicar tu respuesta.

c) Si ahora queremos que cada bandera tenga 3

colores (es decir, que no haya repetición de

color), pero agregamos al verde como opción

¿cuántas banderas podemos hacer? Haz un árbol

para explicar tu respuesta.

7) Vas a dibujar los lados y colorear el interior

triángulo equilátero. Para dibujar todo el

perímetro debes elegir entre rojo y negro; para

dibujar el interior, debes elegir entre negro y

azul. ¿De cuántas formas puedes hacer este

trabajo? Explora primero la situación.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

(Mira el video y responde las preguntas

https://es.khanacademy.org/math/probability/probabil

ity-geometry/counting-permutations/e/fundamental-

counting-principle

Acá hay un ejemplo:

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry/counting-permutations/v/tree-diagram-to-count-outcomes

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry/counting-permutations/e/fundamental-counting-principle




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ACTIVIDAD

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D) Resumen


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Comprendo qué

representa un

diagrama de

árbol

Interpreto una

situación de

conteo usando un

diagrama de

árbol

Comprendo y uso

el principio de

multiplicación para

contar cosas

ii) Preguntas de comprensión

1) Si tengo a opciones de hacer una cosa y

b opciones de hacer otra cosa, y las

decisiones son independientes, entonces

tengo

[ ] a × b opciones de hacer ambas cosas.

[ ] a + b opciones de hacer ambas cosas.

2) El nodo inicial de un árbol indica...

[ ] el objeto que construí.

[ ] que todavía no he decidido nada.

4) Para hacer un evento tengo 3 opciones

de lugares y 4 opciones de decoración.

¿Cuántos eventos distintos puedo hacer?

[ ] 12.

[ ] 7.

3) Para beber un jugo tengo 4 vasos y 7

tazas. ¿De cuántas formas puedo beber mi

jugo?

[ ] 28.

[ ] 11.


iii) Resuelvo un problema

Voy a hacer un postre de chocolate y frutas.

Tengo 5 opciones para salsas y 3 opciones para frutas (fresas, mora, lulo). Sin embargo, decido poner

una salsa si y solo si mi fruta NO es mora.

¿De cuántas formas puedo hacer mi postre? Dibuja un árbol para visualizar tus ideas.


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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18

ACTIVIDAD 2: PROBABILIDAD DE UN EVENTO COMPUESTO

Aprendamos sobre eventos compuestos: qué son, en qué se parecen y diferencian de un evento

simple y cómo calculamos la probabilidad (en general) de un evento. Además conozcamos

experimentos multi-paso, en donde podemos usar un árbol para visualizar el espacio muestral.

A) Activando saberes previos

RECUERDA QUE...

● En un experimento de azar, el ESPACIO MUESTRAL es el conjunto de sus resultados posibles.

Ejemplos:

○ Al lanzar un dado, el espacio muestral es: { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } (hay 6 resultados posibles).

○ Al lanzar una moneda, el espacio muestral es: { C, S } (hay 2 resultados posibles).

○ Al lanzar una moneda y un dado, el espacio muestral es una colección con 12 elementos:

{ (C, 1), (C, 2), (C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (S, 1), (S, 2), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6) }.

○ Al lanzar 2 monedas (numerándolas: Moneda 1 y Moneda 2), hay 4 resultados posibles:

CARA y CARA, CARA y SELLO, SELLO y CARA, SELLO y SELLO.

○ Al lanzar 2 dados (numerados Dado #1 y Dado #2), el espacio muestral tendrá 36 elementos (ya

que 6 × 6 = 36). (En este experimento, el resultado “(1, 5)” es distinto de “(5, 1)”.)

● Un EVENTO SIMPLE es un conjunto de un único resultado posible. Se llama simple precisamente

porque solo se compone de un resultado.

○ Ejemplo: El evento { 4 } es un evento simple al lanzar un dado. Decimos que “sacar 4” es un evento

simple para este experimento.

○ Suponiendo que todos los resultados posibles del experimento son EQUIPOSIBLES (o

EQUIPROBABLES, es decir con la misma probabilidad de ocurrir), definimos la PROBABILIDAD de

un evento simple como P = 1/N, siendo N el número total de resultados posibles. P es un número en el

intervalo [0, 1], que podemos ver como fracción, decimal y porcentaje, entre otros.

PRACTICA

i) Tengo una bolsa con 3 bolas de

colores distintos: Amarillo, Azul

y Rojo. Saco una bola al azar.

¿Cuál es el espacio muestral?

ii) Tengo una bolsa con 3 bolas de

colores distintos. Saco 2 bolas al

azar. ¿Cuál es el espacio

muestral?

iv) Un dado de 6 caras está marcado con: 1, 2, 3, 5, 5, 5.

Lanzamos el dado y anotamos el resultado.

a) • Derly dice que hay 6 resultados posibles (algunos dan el mismo

valor, pero podemos contarlos con repetición).

• Félix dice que solo hay 4 resultados posibles: 1, 2, 3 y 5.

¿Cuál de los dos enfoques es más útil en tu opinión? ¿Es posible que

ambos? Justifica tus ideas y compáralas con las de los demás.


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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iii) Elijo un entero del 5 al 30 al

azar y calculo sus unidades. Ej:

para 458, obtengo 8. ¿Cuál podría

ser el espacio muestral? (Hay 2

respuestas posibles.)

b) Nos piden calcular la probabilidad de sacar un 5:

• Derly escribe: P = 1

6+

1

6+

1

6=

3

6 (50%).

• Félix escribe: P = 1

4(25%).

¿Quién tiene razón? Explica cuál fue el error que uno de ellos

cometió. ¿Cómo simularías este experimento de azar?


B) Conceptos

Exploremos: La ruleta de la naturaleza


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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Antes de pasar a la siguiente página:

¿Qué patrones observas en la ruleta? ¡Anótalos!

Esta ruleta está dividida en 12 sectores iguales, de la misma área. Si la giramos, hay 12 resultados

posibles, todos con la misma probabilidad. El espacio muestral es la colección de los 12 sectores.

Los eventos simples son los que corresponden con los 12 sectores.

Hay 12 eventos simples. La probabilidad de cada evento simple es de 1

12, es decir, 0,083 o 8,3%.

Por ejemplo: la probabilidad de que la ruleta caiga en el sector 10 es

del 8,3% (poco probable).

Además de los eventos simples, hay eventos que llamaremos

EVENTOS COMPUESTOS, que incluyen más de un sector de la ruleta.

¡De hecho hay más de 4 000 eventos compuestos! Analicemos algunos.

Evento: “colección de sectores que tienen la letra A”:

Este evento se compone de 6 elementos (pues hay 6 sectores con la letra A). Cada uno “aporta” 1

12a las

posibilidades de que el evento suceda. Entonces:

La probabilidad de al girar la ruleta salga un sector con A es igual a 6 ×1

12=

6

12(50%).

Esto tiene sentido, pues exactamente la mitad del área de la ruleta “tiene” la letra A. Así, podemos

interpretar calcular una probabilidad como medir el tamaño (en este caso el área) de una región,

suponiendo que el área de la ruleta entera fuera igual a 1.

En general, entonces, si un evento contiene K resultados posibles, su probabilidad de ocurrir será igual a

𝑘 ⋅1

12=

𝑘

12. Entonces debemos siempre contar cuántos resultados posibles tiene el evento dado.

La siguiente tabla nos permite calcular la probabilidad de eventos de forma ordenada:

Evento E (lo podemos describir como un conjunto, o simplemente

dando la propiedad de sus elementos)

Tamaño del evento E (para eso contamos los

resultados favorables)

P(E) (“probabilidad de E”) (Resultados favorables

dividido resultados totales)


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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Conjunto de sectores que tienen una planta. 4 4

12

Que la ruleta caiga en un sector que tiene un

animal.

12 − 4 = 8 8

12

Que la ruleta caiga en A o en B. 6 + 3 = 9 9

12

Conjunto de sectores que tienen una nube y una

planta (es decir: que la ruleta caiga en un sector

que tiene simultáneamente una nube y una planta).

0.

(Este es un evento

“NULO” o imposible).

0

Responde:

a) Verifica que:

● la probabilidad de caer en un sector con lluvia es 1

4.

● la probabilidad de obtener un sector con una planta es 1

3.

b) ¿Es verdad que la probabilidad de

obtener un sector que tenga lluvia o una

planta (o ambas) es igual a 1

4+

1

3?

Justifica tu respuesta.

MINI-EXPLICACIÓN

EVENTOS

COMPUESTOS

En un experimento de azar con espacio muestral, un EVENTO COMPUESTO es un

conjunto de 2 o más resultados simples. Por eso se llama compuesto (se compone de

2 o más resultados simples). [Nota: un EVENTO NULO es uno que tiene 0 resultados simples.]

PROBABILIDAD

DE UN EVENTO

(CASO EN DONDE

LOS

RESULTADOS

POSIBLES SON

EQUIPROBABLES)

Tomemos un experimento de azar con N resultados posibles, donde todos ellos

tienen la misma probabilidad (es decir, 1/N).

Dado un evento E (nulo, simple o compuesto), su probabilidad de ocurrencia, que

escribimos P(E), es igual al siguiente número de 0 a 1:

P(E) = K/N, donde K es el tamaño de E.

Así, la probabilidad nos da “tamaño relativo” de una colección, en relación con el

tamaño N del espacio muestral, suponiendo que cada evento simple tiene el mismo

tamaño. Por esto, es una buena idea usar espacios muestrales donde los resultados

posibles son equiprobables. (Revisa el problema iv) de dados en la sección A).

POR

TURNOS Inventemos eventos


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

2

23

Formen grupos de 4

estudiantes. Vamos

a usar la misma

ruleta y esta escala

de probabilidad:

En este

juego vas a

ganar

puntos cada

vez que

inventes un

evento.

Sugerimos

mínimo 2

turnos por

persona.

i) Por turnos. Cada turno:

• Una persona selecciona una de las 13 fracciones de la

escala (por ejemplo: 6/12).

• Las demás personas simplifican la fracción, e inventan

cada uno un evento con esa probabilidad (Ej: “caer en un

sector con un sol” o “caer en un sector con un número

par”). SE DEBE ESCRIBIR EL EVENTO.

Puntos: • 1 punto por dar un evento con la probabilidad dada. • 1 punto extra si el evento combina más de una

característica (número, letra, clima o ser vivo).

Probabilidades en experimentos multi-paso

Vamos ahora a explorar experimentos de azar “multi-paso”, en donde el resultado posible se obtiene con

una secuencia de dos o más pasos. Para ello vamos a utilizar árboles.

Ejemplo: Un dado y una moneda “numérica”


GUÍA 71

GRADO 7

ACTIVIDAD

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Tomamos una moneda y la marcamos con “0” y “6” (o convenimos en que

CARA = 0, SELLO = 6) y tomamos un dado de 6 caras. El experimento de

azar consiste en lanzar al tiempo la moneda y el dado, y escribir el

resultado de cada una.

- Espacio muestral: utilizamos un árbol para representar el espacio

muestral. Como el orden no importa, podríamos comenzar por la moneda

y luego por el dado, o viceversa. Escogemos la primera opción ( orden:

(moneda, dado)).

Como vemos, hay 12 resultados posibles:

(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6),

(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6).

Calculemos algunas probabilidades utilizando el hecho de que los 12

resultados posibles tienen la misma probabilidad (1/12) de ocurrir. Esto

es dado que ni la moneda ni el dado están cargados, y el resultado de una

no influye en el resultado de la otra.

La clave es recordar que los nodos finales representan los resultados posibles. El conteo de casos

favorables se hace dentro de este conjunto.

a) Evento: “sacar 6 en la moneda y en el dado”: solo hay 1

forma de hacer esto: sacar (6, 6). Entonces la probabilidad

es P = 1

12. Este es un evento simple. Este evento lo podemos

visualizar usando un rectángulo de área 1 (todos los

resultados posibles) dividido en 12 baldosas que representan

los resultados posibles, sombrear todas las baldosas favorables (solo una), y hallar el área de la región

sombreada (1/12).

b) Evento: “sacar PAR en ambos valores”: si contamos los nodos finales del árbol con esta propiedad,

vemos que hay 6: (0, 2), (0, 4), (0, 6), (6, 2), (6, 4), (6, 6). Entonces P = 6

12=

1

2.

Otra forma de pensarlo: como la moneda siempre va a caer par, y la moneda es independiente del dado, en

últimas lo que buscamos se reduce a que el dado salga par. Pero afortunadamente responder esto es muy


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25

fácil: como la mitad de los valores del dado son pares, entonces P = 1

2 .

De nuevo, podemos entender esta probabilidad usando áreas.

La región sombreada es 1

2 del área total.

c) Evento: “que la suma de la moneda más el dado pertenezca

al intervalo [4, 9]”.

Al calcular todas las posibles sumas y ponerlas en cada uno de

los resultados posibles, podemos verificar cuáles son favorables

(✔). Hay 6 de 12, luego la probabilidad es igual a 1

2.

¡Observa que esta situación nos ayuda a simular un dado de 12

caras! Es decir, lanzar la moneda (de 0 y 6) y el dado de 6 caras, y

sumar los resultados, es equivalente a lanzar un dado de 12 caras.

Completa este ejemplo: Lanzar cuatro monedas

Tenemos cuatro monedas A, B, C, D y las lanzamos al tiempo (pero recordamos cuál es cuál).

a) Si solo hubiéramos lanzado 2

monedas, este sería el árbol de

resultados (4 resultados: CC, CS,

SC, SS):

c) Completa la siguiente tabla de eventos. Recuerda que un evento

es un conjunto. No tienes que calcular probabilidades.

Evento Elementos

Todos los dados caen

en lo mismo

Hay 2: CCCC, SSSS.

Sale exactamente 1

cara.

Hay 4: CSSS, _____, _____, _____.

Salen exactamente 2

sellos.

Hay 6: _____, _____, _____,

_____, _____, _____.


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ACTIVIDAD

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¿Cómo es el árbol en la situación de

4 monedas? Dibújalo y dí cuál es el

espacio muestral. [Ayuda: el árbol

tiene 2 × 2 × 2 × 2 nodos finales.]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que

las 4 monedas caigan en lo mismo?

(es decir, todas en cara o todas en

sello).

Salen al menos 3 caras.

d) Un amigo dice que te dará $500 pesos si al lanzar los 4 dados

salen exactamente 2 caras, pero si esto no pasa, tú le debes dar

$500. Desde un punto de vista probabilístico, ¿decidirías jugar

este juego? Explica brevemente tus ideas.


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C) Resuelve y practica

1) Una bolsa tiene 4 pelotas azules y 16

pelotas verdes. Si sacamos una pelota al

azar, calcula la probabilidad de que la

pelota sea verde.

2) Una bolsa tiene 6 pelotas azules, 10

pelotas verdes y 4 pelotas rosadas. Si

sacamos una pelota al azar, calcula la

probabilidad de que la pelota no sea azul.

3) Si lanzas un dado de 6 caras 500 veces,

¿aproximadamente cuántas veces esperas

que salga un número menor o igual a 2?

Explica tu respuesta.

4) Recuerda la ruleta que ya exploramos:

Calcula la probabilidad de que la ruleta

caiga en…

a) Un sector con un número impar.

b) Un sector con un sol y una planta.

c) Un sector sin nubes.

d) Un sector con A o C.

5) Llena la siguiente tabla, escribiendo en cada casilla un

experimento de azar de un paso o multi-paso, y un evento

asociado simple o compuesto. (Debes llenar 6 casillas en

total: 2 para describir experimentos y 4 para describir

eventos asociados a ellos).

Experimento

▶

De 1 paso: Multi-paso:

Evento

simple ▶

Evento

compuesto

▶

6) Se lanza un dado: si cae 1 se repite el lanzamiento,

hasta que caiga un valor mayor que 1, y se anota el

resultado.

¿Cuál es la probabilidad de anotar un número par? Explica.

7) Se lanza un dado: si NO cae 1, se anota el resultado.

Pero si cae 1, se vuelve a lanzar y se anota el resultado más

1.

Ejemplos: Si cae 3, se anota 3

Si cae 1, se relanza; si cae 1, se anota 2.

Si cae 1, se relanza; si cae 6, se anota 7.

a) Haz un árbol que represente esta situación.

b) ¿Cuál es la probabilidad de anotar un número mayor o

igual a 3? Explica.

PROBLEMAS DE KHAN ACADEMY

(Mira los videos y responde las preguntas)


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e) Un sector con un número impar y lluvia.

f) Un sector con un animal o sin lluvia.

https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-

ap/probability-multiplication-rule/e/compound-events

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-

geometry/probability-geometry/probability-

basics/a/theoretical-and-experimental-probability-coin-flips-

and-die-rolls?modal=1

D) Resumen

https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/e/compound-events

https://es.khanacademy.org/math/ap-statistics/probability-ap/probability-multiplication-rule/e/compound-events

https://es.khanacademy.org/math/probability/probability-geometry/probability-geometry/probability-basics/a/theoretical-and-experimental-probability-coin-flips-and-die-rolls?modal=1





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E) Valoración

i) Califica tu comprensión por tema en tu cuaderno

Tema ⚫⚪⚪ Todavía no

entiendo los

conceptos

⚫⚫⚪ Voy bien pero

quiero más

práctica

⚫⚫⚫ Comprendí

muy bien

el tema

Entiendo la

diferencia entre

un evento nulo,

simple y

compuesto

Describo eventos

en palabras, dado

un experimento

de azar

Reconozco

probabilidades en

experimentos de

un solo paso

Razono para

hallar

probabilidades en

experimentos

multi-paso

ii) Preguntas de comprensión

1) Al lanzar un dado, “no sacar 1” es un

evento...

[ ] simple.

[ ] compuesto.

2) Una bolsa tiene 1 ficha blanca y 3 fichas

rojas. Si sacamos una ficha al azar, la

probabilidad de que sea blanca es...

[ ] 25%.

[ ] 33.3%.

3) Al lanzar dos monedas, ¿cuál es más

probable?

[ ] Sacar dos sellos.

[ ] Sacar una cara y otra sello (sin que

importe el orden).

4) Tenemos 3 camisas (azul, verde, gris) y

3 pantalones (azul, verde, gris). Si

elegimos al azar una prenda de cada tipo,

¿cuál es la probabilidad de que sean de

colores distintos?

[ ] 6/9.

[ ] 8/9.


iii) Resuelvo un problema

Tenemos dos bolsas: en una hay 4 canicas rojas y 2 verdes. En la otra hay 3 fichas grises y 1 azul. El

experimento es sacar 1 objeto de cada bolsa.

a) Explica por qué podemos decir que hay 24 resultados posibles.

b) Calcula la probabilidad de sacar 1 canica verde y 1 ficha gris.

Guía 71: Información de varios pasos

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