1

Enseñanza de la Relatividad General mediante el paquete GRTensor para Mathematica 1 2 3 4

Wilson Alexander Rojas Castillo1, 5

1I.E.D Liceo Nacional Agustín Nieto Caballero, carrera 19 #11-17 6

Bogotá, Colombia 7 8

E-mail: warojasc@unal.edu.co 9 10 11 12

Resumen 13 El uso de las TIC’s está cada vez más extendido en el ámbito de la física y ciencias afines, por ello es 14 importante incorporar nuevas tecnologías al proceso de enseñanza de la Teoría General de la Relatividad 15 (TGR). El uso del paquete GRTensor propende por una mejor compresión de la estructura funcional de la 16 TGR, aliviando al estudiante de larguísimos y tediosos cálculos. Y así hacer que el educando se concentre 17 más en la interpretación física de resultados. Lo que permite un mejor acercamiento a esta rama de la 18 física moderna, haciendo que de esta forma que el estudiante pueda manipular de forma más rápida y 19 flexible objetos matemáticos tales como los símbolos de Christoffel, tensores de cualquier orden o 20 escalares que son de uso corriente en TGR, física de agujeros negros y cosmología. 21 Además de formar profesionales con conocimiento de software científico que pueda extender a otras 22 áreas como la ingeniería en donde se emplee un lenguaje altamente técnico que requiera el uso de 23 tensores. 24 25 26

27 I. INTRODUCCIÓN 28

El uso de las TIC’s (Tecnologías de la Información y la 29 Comunicación) es una ventaja del docente en el desarrollo 30 de una clase dinámica, amena y motivadora. Así en la 31 enseñanza de la Teoría General de la Relatividad, cuya 32 estructura altamente matemática puede ser un terreno fértil 33 para el maestro si se apoya en el uso de las TIC’s. 34 El paquete GRTensor

i, corresponde a un software 35

encaminado a la definición y calculo de tensores en 36 cualquier rango en cualquier tipo de dimensión

ii. El 37

archivo descargado desde la página de los autores posee 38 una gran variedad de ejemplos y documentación para su 39 manejo y asimilación. GRTensor existen versiones se 40 pueden correr sobre plataforma Linux, Apple o Windows. 41 42

II. Como instalar y ejecutar GRTensor en 43 Mathematica 4.0 44

Una vez se ha bajado el paquete de la página del 45 programador, podemos descomprimirla y esta se instala 46 por defecto en el disco duro C, el siguiente paso es copiar 47 el paquete en la carpeta de ExtraPackages de 48 Mathematica, siguiendo la siguiente ruta: 49 C:/ProgramFiles/Wolfram 50 Research/Mathematica/4.0/AddOns/ExtraPackages/grii51 /metrics/, hecho lo anterior, abrimos la carpeta grii en su 52 nueva locación (Mathematica 4.0) ubicamos el archivo 53 options, este paso es importante debido a que el indicara al 54 programa en donde encontrar el tensor métrico gab a 55 cargar, debemos cambiar 56 C:/ProgramFiles 57 /Wolfram 58 Research/Mathematica/3.0/AddOns/ExtraPackages/grii59 /metrics/ 60 61 por 62

63 C:/ProgramFiles/Wolfram 64 Research/Mathematica/4.0/AddOns/ExtraPackages/grii65 /metrics/ 66 67 esto le permitirá al paquete "entender" sobre que versión 68 de Mathematica se está corriendo. Si no se hace el 69 programa sencillamente no encuentra la ruta para cargar el 70 tensor métrico. El siguiente paso es abrir Mathematica y 71 digitar 72 73 << grii/grt.m 74 75 lo que carga el paquete y ya estamos corriendo GR Tensor, 76 Figura 1 corresponde al proceso señalado. 77 78

79 Figura 1. Cuadro de dialogo para GRTensor una vez se ha 80 cargado el paquete en Mathematica. 81 82

Wilson Alexander Rojas Castillo

Realizado lo anterior lo que debemos es cargar el tipo de 1 tensor métrico gab con que hemos de trabajar, se pueden 2 seleccionar desde las que vienen incluidas en el paquete o 3 podemos editar una según nuestras necesidades y copiadas 4 en la carpeta grii/metrics/. Consideremos un elemento de 5 linea de la forma 6 7

8 (1) 9 10 En la Figura 2, nos muestra el archivo de la métrica 11 statica.nb hemos creado 12

13 Figura 2. Estructura básica del tensor métrico que hemos 14 llamado statica.nb 15 16 Una vez hemos incluido nuestro archivo (statica.nb) en la 17 carpeta metrics. Digitamos en Mathematica 18 qload[statica]. La Figura 3 nos muestra la métrica una vez 19 ha sido cargada en Mathematica, vemos también que el 20 programa nos muestra el tipo de coordenadas que en que 21 está escrito el tensor métrico gab, (que para el ejemplo son 22 esféricas) y el elemento de línea ds

2 23

24

25 Figura 3. Cuadro de dialogo de GRTensor cuando se ha cargado 26 una métrica. 27 28 En el ejemplo se ha creado la métrica statica.nb. 29 GRTensor cuenta con una ayuda, a la cual podemos 30 acceder cuando digitamos ?grtensor, una vez allí 31 podemos tener acceso un amplio conjunto de definiciones 32 y comando usados. En el comando ?objects se halla un 33 completo listado de los objetos que trae incorporado 34 GRTensor. 35 Una vez hemos cargado el tensor gab en el paquete si 36 queremos visualizar podemos hacerlo con 37

grdisplay[g[dn,dn]], la instruccion [dn,dn] hace 38 referencia a las componentes covariantes del tensor 39 metrico y para las contravariantes se debe emplear 40 [up,up]. 41 GRTensor permite calcular derivadas parciales (con el 42 prefijo p) con la instrucción 43 grcalc[tensor[indice,indice,pindice]]. Por ejemplo para 44 calcular las derivadas parciales del tensor metrico será 45 grcalc[g[dn,dn,pdn]]. De manera similar la derivada 46 covariante (con el prefijo c) se puede hallar con el 47 comando grcalc[tensor[indice,indice,cindice]], que para 48 el tensor gab sera grcalc[g[dn,dn,cdn]]. 49 Con el comando grcalc[Chr[dn,dn,up]] hallamos los 50 simbolos de Chrsitoffel de segundo orden, los podemos 51 ver en pantalla con grdisplay[Chr[dn,dn,up]]. 52 En el caso de un tensor mixto como por ejemplo el de 53 Riemann, R

abcd usaremos [up,dn,dn,dn]. Si deseamos 54

calcular algun tipo de tensor por ejemplo el de Ricci, Rab 55 la instrucción grcalc[R[dn,dn]] lo realiza. En la Figura 4 56 y 5 permite ver lo anterior 57 58

59 Figura 4. Entrada y salida para el comando grcalc[tensor], para 60 el ejemplo gab, Ra

bcd, Rab. 61

62 Figura 5. Entrada y salida para el comando grdisplay[R[dn,dn]], 63 se muestra solo una de las componentes del tensor de Ricci. 64 65

Enseñanza de la Relatividad General mediante el paquete GRTensor para Mathematica

Si necesitamos extraer la componente de un tensor dado, 1 la instrucción 2 grcomponent[tensor,{coordenada,coordenada}] nos lo 3 permite hacer. La Figura 6 nos muestra como extraer un 4 componente para el tensor de Ricci (Rtt) 5 6

7 Figura 6. Componente Rtt del tensor de Ricci. 8 9 Calculemos el tensor de Einstein, Gab con 10 grcalc[G[dn,dn]]. Y con la instrucción 11 grmap[Simplify,G[dn,dn]] lo que hacemos es aplicar la 12 función Simplify de Mathematica a cada una de las 13 componentes del tensor de Einstein. Tal como aparece en 14 la Figura 7. 15 16

17 Figura 7. El comando grmap aplicado a las componentes del 18 tensor de Einstein. 19 20 Consideremos las ecuaciones de campo en el vacio con 21 constante cosmológica (Ʌ), es decir Gab+ Ʌgab=0. Con la 22 instrucción 23 24 grcomponet[G[dn,dn],{t,t}]+ 25 Ʌ*grcomponet[g[dn,dn],{t,t,}] 26 27 hacemos que el programa extraiga las componente 28 temporal del tensor métrico del tensor de Einstein. 29 Nuestro siguiente paso es resolver la ecuación diferencial 30 de la componente temporal (t,t) del tensor de Einstein con 31 constante cosmológica, Gtt+ Ʌgtt=0 . La instrucción que 32 permite realizar lo anterior es 33 DSolve[grcomponet[G[dn,dn],{t,t}]+ 34 Ʌ*grcomponet[g[dn,dn],{t,t,}] ==0,a,r 35 ] 36 37

38 Figura 8. Solución de la ecuación diferencial de la componente 39 temporal de tensor de Einstein. 40 41 Para la Figura 8, tenemos que la solución de la ecuación 42 diferencial Gtt con constante cosmológica. La solución 43 incluye un término #1 que corresponde a la primera 44 coordenada que incluimos en nuestro archivo de tensores 45 (metrics); es decir r, además de una constante de 46 integración C[1], si consideramos que esta constante es 47 igual a 2M tendremos que la solución a(r) es 48 49

(2) 50

El siguiente paso es resolver la ecuación diferencial de la 51 componente radial del tensor de Einstein, Grr+ Ʌgrr=0 ; de 52 manera similar a como lo hicimos con la componente Gtt 53 54

55 Figura 9. Solución de la ecuación diferencial de la componente 56 radial de tensor de Einstein. 57 58 En la Figura 9, se muestra la solución de la ecuación 59 diferencial de la componente Grr. La cual se puede escribir 60 de la forma 61 62

(3) 63

64 Donde la constante C[1] de (3) es distinta a la obtenida en 65 (2). Si escalamos esta constante de forma que C[1]=1, 66 tendremos que (3) se reduce a 67 68

(4) 69

70 De tal manera que (2) y (4) corresponde a las funciones 71 incógnita de la métrica que nos propusimos resolver. 72 Luego estamos listos para escribir forma final del tensor 73 métrico gab 74

Wilson Alexander Rojas Castillo

1 Figura 10. Forma final del tensor métrico gab con constante 2 cosmológica, una vez se ha hallado las funciones a(r) y b(r). 3 4 La Figura 10, muestra la forma final de las componentes 5 del tensor métrico. Si hacemos que la constante 6 cosmología sea igual a cero, Ʌ=0. Así las cosas las 7 componentes del tensor métrico son de la forma 8 9

10 Figura 11. Forma final del tensor métrico gab sin constante 11 cosmológica. 12 13 ¿Pero cuál es la métrica que hemos obtenido? Después de 14 simplificar reacomodar términos 15 16

(5) 17

18 Con , hallamos la métrica de 19 Schwarzschild, que corresponde a la primera solución de 20 las ecuaciones de campo de Einstein para un agujero negro 21 de masa M no rotante sin 22 carga. 23 24

25 26 Figura 12. Forma final del elemento de línea ds2

sin constante 27 cosmológica. 28 29 Conclusiones 30 En este trabajo se muestra la flexibilidad del paquete 31 GRTensor para Mathematica en cuanto a la capacidad de 32 cálculo tensores escalares y la solución de ecuaciones 33 diferenciales. Se muestra con un ejemplo específico como 34 hallar la métrica de Schwarzschild. 35 Se calculo con GRTensor una de las soluciones de las 36 ecuaciones de campo de Einstein de una forma didáctica 37 y lúdica. En la que pudimos manipular diferentes objetos 38 tensoriales tales como el tensor métrico gab, el de 39 Riemann (Rabcd) o el de Einstein Gab. 40 Con este ejemplo se repaso cada uno de los comandos o 41 instrucciones de GRTensor y cómo combinarlos con los de 42 Mathematica. 43 44 Bibliografía 45 46 [1] R. A. Sussman. Revista Mexicana de Fisica.53 (4) 47 (2007) 159-179. 48 [2] K. S. Thorne, C. W. Misner and Wheeler. Gravitation. 49 W.H. Freedman and Company. San Francisco. 1973. 50 [3] P. Musgrave, D. Pollney y K. Lake (1996), Queen’s 51 University, Kingston, Ontario, Canada. Software y 52 documentación disponible en www.grtensor.org . 53 [4]D. McHamon. Relativity Demystified. Mc Graw-Hill. 54 New York. 2006. 55 i GRTensor es un software de aplicación para Mathematica

3.0, que para el presente artículo se corrió sobre

Mathematica 4.0. GRTensor se puede descargar

gratuitamente de http://grtensor.phy.queensu.ca/ ii De aquí en adelante dimensión hace referencia a las

dimensiones espacio-temporal , es decir tres espaciales

más una temporal.