INGENIERIA COMERCIAL INVESTIGACION OPERATIVA

APLICACIN DE MODELOS DE OPTIMIZACIN A LA

DISTRIBUIDORA DE LCTEOS

PAIRUMANI

Juan Arturo Drew P. Fernando Izquierdo G.

Cochabamba, Agosto de 2007

NDICE

ContenidoRESUMEN EJECUTIVO .................................................................................... 3 1. INTRODUCCIN ...................................................................................... 4 1.1 La Granja Modelo Pairumani ...................................................................... 4 2. ANTECEDENTES ......................................................................................... 5 2.1 Distribuidora de Lcteos Pairumani ............................................................. 5 2.2. Lnea de Productos .................................................................................. 5 3. OBJETIVOS Y JUSTIFICACIN ..................................................................... 6 3.1 Objetivo General ...................................................................................... 6 3.2 Objetivos Especficos ................................................................................ 6 3.3 Justificacin............................................................................................. 6 4. MARCO TERICO ....................................................................................... 7 4.1 El Problema ............................................................................................. 7 4.2 Investigacin operativa (I.O.) ................................................................... 7 4.2.1 El mtodo de la I.O. ............................................................................. 7 4.2.1.1 Definicin del problema ....................................................................... 8 4.2.1.2.1 Formulacin del problema ................................................................ 8 4.2.1.2.2 Construccin del modelo .................................................................. 9 4.2.1.3 Resolucin ........................................................................................ 9 4.2.1.4 Verificacin y validacin ..................................................................... 9 4.2.1.5 Interpretacin y anlisis ..................................................................... 9 4.2.1.6 Implantacin ..................................................................................... 9 4.3 Teora General de PL y Fase de Formulacin y Construccin de Modelos. ........10 4.4 Mtodos de Resolucin.............................................................................11 4.4.1 Solucin de Modelos Lineales con el Mtodo Grfico. .................................11 4.4.2 Solucin de Modelos Lineales con el Mtodo Simplex ................................12 4.4.3 Solucin con el Mtodo de dos fases .......................................................13 4.5 Tipos de soluciones .................................................................................14 5. APLICACIN .............................................................................................15 5.1 Definicin del problema ...........................................................................15 5.2 Formulacin del problema .......................................................................16 5.3 Resolucin ............................................................................................17 5.4 Verificacin y validacin ..........................................................................26 5.5 Interpretacin y anlisis de resultados .......................................................26 5.6 Implantacin y uso extensivo ...................................................................26 CONCLUSIONES ...........................................................................................27

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RESUMEN EJECUTIVO La Distribuidora de Lcteos Pairumani, es una empresa cochabambina, que a travs de un acuerdo estratgico con la Fundacin Simn I. Patio, se encarga de toda la gestin comercial de los productos lcteos producios por la Granja Modelo Pairumani. Desde el inicio de sus actividades, hace 5 aos, sus productos han gozado de aceptacin debido a sus condiciones Agrobiolgicas de respeto a la salud humana, a la granja y al medio ambiente; logrando vender la totalidad de su produccin y generar una demanda insatisfecha de sus productos en el mercado. Por las caractersticas de la Fundacin, este proyecto pretende principalmente ser un aporte a la sociedad, ms que buscar lucro, por lo que ha alcanzado el lmite de su produccin de 2200 litros de leche al da. Es a partir de este escenario, que se ha planteado la necesidad de optimizar la mezcla adecuada de productos que permitan cubrir las demandas existentes, ajustarse a las restricciones de produccin y principalmente maximizar las utilidades para la Distribuidora. Aplicando los conocimientos adquiridos en Investigacin Operativa es que se resolver este problema.

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1. INTRODUCCIN La Fundacin Simn I. Patio, creada en 1958 por los herederos del industrial boliviano Simn Ituri Patio (1860-1947), concibe y desarrolla programas de investigacin y aplicaciones prcticas en beneficio de Amrica del Sur, y de Bolivia en particular. Dichos programas abarcan todos los niveles, desde la educacin popular hasta la formacin universitaria en los campos de la educacin, cultura, salud, higiene, nutricin, agricultura y ecologa. Simn I. Patio naci el 1 de junio de 1860 en el Departamento de Cochabamba. Sin apenas formacin cultural, se introdujo en la industria minera, donde consigui una de las mayores reservas mundiales de estao. Financi la participacin de Bolivia en la guerra del Chaco (1932-1935) y sirvi como diplomtico en Espaa y Francia. Despus de la II Guerra Mundial, cre varios trusts mineros con estadounidenses y britnicos. En 1939 se marcha de Europa y se establece en Nueva York. Hacia el final de su vida se afinca en Argentina, y muere en Buenos Aires el 20 de abril de 1947.

1.1 La Granja Modelo Pairumani A mediados de 1925 Simn I. Patio import de Estados Unidos y Europa las primeras 400 cabezas de ganado lechero de la raza Holstein, con el propsito de crear en su hacienda de Pairumani un Centro de Desarrollo Agropecuario para Amrica Latina. Las iniciativas de Patio en este campo, lo convierten en el pionero de la produccin lechera en Bolivia, pues ya desde ese entonces, la granja contaba con productos lcteos como leche y sus derivados (yogurt, queso y otros). La reforma agraria del ao de 1952, afecto grandemente a esta, haciendo que la misma sea suspendida. La Granja modelo de Pairumani, situada a 30 Km. al noroeste de la ciudad de Cochabamba, a una altura media de 2.600 metros, abarca una superficie de 500 ha, de las cuales 265 son cultivables y el resto son caminos y bosques. Desempea actividades principalmente en dos mbitos: la produccin lechera con ganado de raza frisona Holstein y la produccin agrcola. Los cultivos y la ganadera son tratados con mtodos agrobiolgicos naturales, lo cual ha convertido la Granja en un centro de referencia ecolgica en el continente. Un establo de concepto innovador, prcticas naturales de alimentacin y seguimiento sanitario contribuyen a la produccin de leche de alta calidad, transformada en yogurt y queso gracias a instalaciones apropiadas. La Granja se dedica igualmente a la reforestacin de terrenos no cultivables y a la realizacin de estudios de investigacin agropecuaria. En la parte superior de la propiedad, un parque ecolgico acoge, informa y educa a los numerosos turistas que visitan la regin.

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2. ANTECEDENTES 2.1 Distribuidora de Lcteos Pairumani A raz de la implementacin de este mtodo de produccin agrobiolgico, es que nace la idea de retomar el tema de la comercializacin de estos productos, como una alternativa referente a la calidad y en pos de preservar, concientizar y difundir la necesidad del consumo de productos naturales, libres de qumicos y preservantes tan dainos a la salud humana. A fin de lograr el mayor de los xitos en esta nueva tarea, a criterio de los directivos, se defini hacer una alianza estratgica con una empresa de distribucin y apoyo logstico, que se hiciera cargo de la comercializacin de sus productos de manera exclusiva. Es as que en Marzo del 2002, se crea la Distribuidor de Lcteos Pairumani, ubicada en la Av. Santa Cruz a pasos del puente Antezana. Actialmente cuenta con 3 vehculos para la distribucin de los productos, vehculos suficientes para cubrir la cantidad de produccin de la Granja Modelo Pairumani; con un promedio de 1.800 a 2.200 litros da, de acuerdo a la poca del ao. El mercado objetivo al cual estn dirigidos estos productos, se concentra en la clase media y media alta; esto se debe fundamentalmente al precio de los productos y a la calidad de los mismos. Los precios de nuestros productos se encuentran situados entre los ms altos en el mercado de acuerdo a la variedad de cada uno. Estos se encuentran presentes en los mercados de las ciudades de Cochabamba y La Paz. 2.2. Lnea de Productos Los productos actualmente se producen y comercializan, son los siguientes: Leche Natural de 1000 cc. Yogurt Natural de 1000 cc. Yogurt Natural de 250 cc. Yogurt Natural s/azcar de 850 cc. Yogurt Natural c/fruta de 750 cc. (Sabores Frutilla, Coco, Pia, Manzana, Durazno) Queso semi-madurado (por kilogramos).

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3. OBJETIVOS Y JUSTIFICACIN

3.1 Objetivo General Maximizar las utilidades de la Distribuidora de Lcteos Pairumani a travs de la combinacin ptima de las cantidades de productos que se comercialicen.

3.2 Objetivos Especficos Generar un modelo de programacin lineal que refleje la situacin actual de la Distribuidora Que la formulacin del problema tome en cuenta las restricciones existentes de produccin y de mercado fundamentalmente. Resolver el problema mediante las herramientas de Investigacin Operativa para alcanzar el Objetivo General. Aplicar los cambios necesarios, resultantes de este trabajo.

3.3 Justificacin La combinacin ptima en el mix de productos, permitir la comercializacin exitosa de los productos que satisfagan de la mejor manera el requerimiento del mercado meta, logrando adems conseguir la mayor rentabilidad para la Distribuidora.

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4. MARCO TERICO

4.1 El Problema

4.2 Investigacin operativa (I.O.) Es la aplicacin del mtodo cientfico para asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestin y organizacin de sistemas complejos Su objetivo es ayudar a la toma de decisiones Requiere un enfoque interdisciplinario

4.2.1 El mtodo de la I.O. Definicin del problema Formulacin del problema y construccin del modelo Resolucin Verificacin, validacin, refinamiento Interpretacin y anlisis de resultados Implantacin y uso extensivo

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4.2.1.1 Definicin del problema Consiste en identificar los elementos de decisin: Objetivos (uno o varios, optimizar o satisfacer) Alternativas Limitaciones del sistema

Hay que recoger informacin relevante (los datos pueden ser un grave problema) Es la etapa fundamental para que las decisiones sean tiles

4.2.1.2.1 Formulacin del problema Modelo: representacin simplificada de la realidad, que facilita su comprensin y el estudio de su comportamiento Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representacin Modelo matemtico: modelo expresado en trminos matemticos: Hace ms claras la estructura y relaciones Facilita el uso de tcnicas matemticas y ordenadores A veces no es aplicable

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4.2.1.2.2 Construccin del modelo Traduccin del problema a trminos matemticos: Objetivos: funcin objetivo Alternativas: variables de decisin Limitaciones del sistema: restricciones

4.2.1.3 Resolucin Determinar los valores de las variables de decisin de modo que la solucin sea ptima (o satisfactoria), sujeta a las restricciones Puede haber distintos algoritmos y formas de aplicarlos

4.2.1.4 Verificacin y validacin Eliminacin de errores Comprobacin de que el modelo se adapta a la realidad

4.2.1.5 Interpretacin y anlisis Robustez de la solucin ptima obtenida: Anlisis de sensibilidad Deteccin de soluciones cuasi-ptimas atractivas

4.2.1.6 Implantacin Sistema de ayuda y mantenimiento Documentacin Formacin de usuarios

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4.3 Teora General de Programacin Lineal y Fase de Formulacin y Construccin de Modelos. Programacin Lineal es una tcnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible. La Formulacin y Construccin del Modelo Lineal implica: Definir claramente las variables de decisin y expresarlas simblicamente o convencionalmente. Definir claramente la Funcin Objetivo y las restricciones y expresarlas matemticamente como funciones lineales.

Se debe estipular que las variables de decisin sean mayores o iguales a cero. La Funcin Objetivo del Modelo Lineal es la formulacin matemtica de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una funcin lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general: Optimizar C1X1 + C2X2 + C3X3 + C4X4 +...................+ CnXn Xj, simboliza matemticamente a las variables de decisin. Son los valores numricos que se determinan con la solucin del modelo y representan o estn relacionadas con una actividad o accin a tomar. Son los nicos valores desconocidos en el modelo y pueden existir en cualquier cantidad, desde 1 hasta n variables. Es decir, j vara desde 1 hasta n. Cj, matemticamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la Funcin Objetivo. Son datos relevantes, insumos incontrolables ya conocidos. En la Funcin Objetivo representan la cantidad con la cual contribuye cada unidad de la variable j, al valor total deseado en el objetivo. Las restricciones, desde el punto de vista matemtico, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades, que limitan el valor de las variables de decisin a valores permisibles. Representan recursos, condiciones o requerimientos establecidos. Las restricciones del Modelo Lineal general tienen la forma siguiente: a11 X1 + a12 X2 + a13 X3 + a14 X4 + .................. + a1n Xn = b1 a21 X1 + a22 X2 + a23 X3 + a24 X4 + .................. + a2n Xn = b2 a31 X1 + a32 X2 + a33 X3 + a34 X4 + .................. + a3n Xn = b3 ...... am1 X1 + am2 X2 + am3 X3 + am4 X4 +...............+ amn Xn = bm

aij, matemticamente simboliza el coeficiente, en la restriccin i, de las variable j. El subndice i indica el recurso, requerimiento o condicin cuya limitacin se est expresando; j indica la variable correspondiente. Cuando la limitacin es de un recurso i, estos coeficientes representan la cantidad del recurso total limitado i, que es utilizada en cada unidad de la variable j. Cuando la limitacin es

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de un requerimiento o condicin i, representan la cantidad del requerimiento o condicin i limitada, que aporta cada unidad de la variable j, al requerimiento o condicin total establecida. Son, por ello, valores unitarios, al igual que los coeficientes de las variables en la Funcin Objetivo. bi, matemticamente constituye el lado derecho de la restriccin i. Representa la cantidad total disponible del recurso limitado i, o la cantidad total de un requerimiento o condicin i establecida. Puede existir cualquier cantidad de restricciones por lo tanto i puede variar desde 1 hasta m. Xj 0 es una condicin de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condicin natural en el Modelo Lineal General.

4.4 Mtodos de Resolucin 4.4.1 Solucin de Modelos Lineales con el Mtodo Grfico. El mtodo grfico se usa para resolver modelos lineales con dos variables y muestra el conjunto convexo que constituye la denominada regin solucin y el(los) punto(s) s extremo(s) que proporciona(n) la solucin del modelo. El Mtodo Grfico permite conocer la base matemtica de la solucin de modelos lineales, los conjuntos convexos, y observar grficamente situaciones que se presentan en modelos de cualquier tamao. Esto ayuda a la comprensin de la Programacin Lineal. El proceso para trabajar con el Mtodo Grfico sigue los pasos siguientes: a) Graficar las restricciones como igualdades y luego determinar el rea correspondiente a la desigualdad, sombreando el espacio correspondiente. b) Determinar el rea comn a todas las restricciones. c) Evaluar la Funcin Objetivo en cada punto extremo del espacio de soluciones posibles. El punto o los puntos extremos en el que se obtenga el mejor valor, determinarn la solucin del modelo. Al conjunto convexo de solucin se le llama regin factible, porque todos los puntos de esa regin satisfacen TODAS las restricciones del modelo.

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4.4.2 Solucin de Modelos Lineales con el Mtodo Simplex Mtodo algebraico para la determinacin de la solucin factible ptima de un problema de PL con cualquier nmero de variables de decisin. Requiere que el problema est en forma estndar: todas las restricciones deben ser de igualdad y todas las variables no negativas La idea bsica es: partiendo de un vrtice de la regin factible buscar otro adyacente en el que mejore el valor de la funcin objetivo. Variable de holgura: En las restricciones () el lado derecho representa el lmite sobre la disponibilidad de un recurso y el lado izquierdo el uso de ese recurso limitado. Una holgura (hi) representa la cantidad del recurso que no se utiliza. Las restricciones () determinan requerimientos mnimos de especificaciones. Un supervit (si) representa el exceso del lado izquierdo sobre el requerimiento mnimo. El mtodo del smplex exige trabajar con variables no negativas. Las variables no restringidas pueden expresarse como la diferencia de dos variables no negativas. (): se introduce una variable de holgura(hi) (): se introduce una variable superflua (si) Conversin de una variable no restringida a variables no negativas: x=- x x; x, x 0

Variable superflua (de supervit): -

Variable no restringida: -

Conversin de desigualdades a igualdades: -

Se incluyen las variables de holgura y superfluas con coeficiente cero a la funcin objetivo (F.O.) y se iguala la misma a cero. Posteriormente se llevan esta F.O. y las restricciones a una tabla en forma matricial. Se verifica que cumpla con las condiciones de tabla ptima: Los coeficientes de la F.O. son 0 Las variables bsicas en la F.O. son = 0 Los coeficientes de las variables bsicas de las restricciones forman la matriz identidad Los lados derechos (L.D.) de las restricciones son 0

En caso de no cumplir con las condiciones anteriores, por el mtodo de Gauss Jordan, se realizan las iteraciones que sean necesarias para volver la tabla ptima.

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4.4.3 Solucin con el Mtodo de dos fases Primera fase: aadir variables artificiales a1,...,ak Modificar las restricciones para que el lado derecho sea no negativo Convertir las desigualdades a su forma estndar. Aadir una variable artificial no negativa (ai) a las restricciones que en el paso 1 fueran = o () Resolver un problema mediante el mtodo simplex Si el valor ptimo de z es 0 y hay variables artificiales en la solucin bsica, eliminamos de la tabla ptima de la fase 1 las variables artificiales no bsicas y forzamos a las variables artificiales bsicas en las iteraciones de la fase 2 a permanecer nulas o salir de la base.

Segunda fase:

Problema dual Maximizar z=ctx Minimizar w=btySujeto a Axb, x0 Sujeto a Atyc, y0

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4.5 Tipos de soluciones Un modelo tiene solucin ptima UNICA cuando slo una combinacin de variables proporciona el mejor valor para el objetivo; se reconoce en el grfico porque un nico punto extremo provee el mejor valor del objetivo o un nico punto extremo limita el valor de la recta objetivo. Un modelo tiene soluciones ptimas ALTERNAS cuando ms de una combinacin de variables proporciona el ptimo valor del objetivo. Se reconoce en el grfico porque ms de un punto extremo proporciona el ptimo valor del objetivo o ms de un punto extremo limita el valor de la recta objetivo. La recta objetivo al desplazarse dentro de la regin solucin cae paralelamente sobre alguna restriccin antes de salir totalmente de la regin solucin. Un modelo NO TIENE SOLUCIN POSIBLE cuando no hay alguna combinacin de variables que satisfaga todas las restricciones. Se debe a la presencia de restricciones inconsistentes en el modelo. Se reconocen en el grfico porque no existe ninguna regin comn para todas las restricciones. Un modelo tiene SOLUCIN CON VALOR INFINITO cuando hay combinaciones de variables que proporcionan valor infinito para el objetivo y no hay alguna combinacin que limite el valor del objetivo a un valor finito. Esto se debe a la omisin de restricciones importantes, del sistema, en el modelo. Estas restricciones limitaran las variables de decisin a valores factibles. Se reconocen en el grfico porque el espacio de solucin es abierto, no acotado, no limitado y la Funcin Objetivo puede moverse dentro de esa regin hasta el infinito sin que un punto extremo, con valor finito, limite su valor. Un modelo tiene ESPACIO DE SOLUCIN NO ACOTADO y SOLUCIN DE VALOR FINITO cuando existen combinaciones de variables que dan un valor infinito al objetivo pero existe al menos una combinacin de variables que le proporciona un valor finito. Se reconocen en el grfico porque la regin de soluciones posibles es abierta, no limitada pero hay por lo menos un punto extremo que limita el valor del objetivo. Un modelo tiene SOLUCIN DEGENERADA cuando existen combinaciones de variables que tienen ms de la cantidad normal (una por cada restriccin) de variables con valor cero. Esto se debe a la presencia de restricciones redundantes en el modelo. Ms de la cantidad normal de variables (una por cada restriccin del modelo) debe tomar valor cero para satisfacer a mayor cantidad de restricciones en el punto ptimo. Se reconocen en el grfico porque ms de dos restricciones cruzan sobre el punto extremo ptimo. Una restriccin redundante puede ser removida sin afectar la regin solucin. Cuando la restriccin redundante est sobre el punto extremo ptimo, la solucin es Degenerada.

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5. APLICACIN

5.1 Definicin del problema Trabajaremos sobre los siguientes elementos de decisin: Aumentar las utilidades de la empresa de acuerdo a los siguientes mrgenes de utilidad por producto: o o o o o o Leche Natural de 1000 cc.: Bs 0,40 a supermercados y Bs 0,45 a tiendas Yogurt Natural de 1000 cc.: Bs 1,00 Yogurt Natural de 250 cc. : Bs 0,20 Yogurt Natural s/azcar de 850 cc. : Bs 1,50 Yogurt Natural c/fruta de 750 cc. (Sabores Frutilla, Coco, Pia, Manzana, Durazno) : Bs 1,40 Queso semi-madurado (por kilogramos) : Bs 3,30 a supermercados y Bs 6,10 a tiendas

Buscando la mejor alternativa en la composicin de productos a venderse, sujetos a las siguientes limitaciones: o o o o o o El total de productos debe fabricarse sin sobrepasar el lmite de produccin diaria de leche de 2200 litros. Para producir un kilogramo de queso se requiere de 10 litros de leche En el caso de la leche y yougurt la relacin de cc a litros es 1:1 Sin embargo, no podr venderse menos de 1500 litros de leche/dia en productos La capacidad de produccin mxima de queso es de 30 Kg. por da La empresa cuenta con 3 vehculos, los cuales deben distribuir desde las 4am en un mximo de 8 horas los productos a razn de 100 productos por hora La proporcin de venta de cualquiera de las variedaes de yogurt, ser de por lo menos 5% a tiendas y no ms del 95% a supermercados La proporcin de venta de leche, ser de por lo menos 40% a tiendas y no ms del 60% a supermercados La cantidad de queso vendida a tiendas ser igual que la cantidad de queso vendida a supermercados. La cantidad de yogurt demanda diariamente por el mercado es 177 litros al da como mximo, sin importar el tipo de presentacin

o

o

o o

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5.2 Formulacin del problema - Xi: cantidad de unidades de productos a venderse diariamente del producto i [Leche Natural de 1000 cc. a supermercados, Leche Natural de 1000 cc. a tiendas, Yogurt Natural de 1000 cc. a supermercados, Yogurt Natural de 1000 cc. a tiendas, Yogurt Natural s/azcar de 850 cc. a supermercados, Yogurt Natural s/azcar de 850 cc. a tiendas, Yogurt Natural c/fruta de 750 cc. (cualquier sabor) a supermercados, Yogurt Natural c/fruta de 750 cc. (cualquier sabor) a tiendas, Yogurt Natural de 250 cc. a supermercados, Yogurt Natural de 250 cc. a tiendas, Queso semi-madurado (por kilogramos) a supermercados, Queso semi-madurado (por kilogramos) a tiendas] Funcin Objetivo: Max .4X1 + .45X2 + X3 + X4 + 1.5X5 + 1.5X6 + 1.4X7 + 1.4X8 + .2X9 + .2X10 + 3.3X11 + 6.1X12 Sujeto a: o o o o o o o o X1 + X2 + X3 + X4 + .85X5 + .85X6 + .75X7 + .75X8 + .25X9 + .25X10 + 10X11 + 10X12 = 1500 X11 + X12 = 0 - X11 + X12 = 0 X3 + X4 + 1.17645X5 + 1.17645X6 + 1.33333X7 + 1.33333X8 + 4X9 + 4X10 = >= >= >= >= >= >= >= >= 0,4 0,45 1 1 1,5 1,5 1,4 1,4 0,2 0,2 3,3 6,1

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Unrestricted Pairumani Solution X1 Maximize Constraint 1 Constraint 2 Constraint 3 Constraint 4 Constraint 5 Constraint 6 Constraint 7 Constraint 8 Solution-> ,4 1 1 0 1 0 2 0 0 1063,269 X2 ,45 1 1 0 1 0 -3 0 0 708,8461 X3 1 1 1 0 1 -1 0 0 1 0 X4 1 1 1 0 1 19 0 0 1 0 X5 1,5 ,85 ,85 0 1 -1 0 0 1,1765 142,93 X6 1,5 ,85 ,85 0 1 19 0 0 1,1765 7,5226 X7 1,4 ,75 ,75 0 1 -1 0 0 1,3333 0 X8 1,4 ,75 ,75 0 1 19 0 0 1,3333 0 X9 ,2 ,25 ,25 0 1 -1 0 0 4 0 X10 ,2 ,25 ,25 0 1 19 0 0 4 0 X11 3,3 10 10 1 1 0 0 -1 0 15 X12 6,1 10 10 1 1 0 0 1 0 15 = = =