Gramática de las proposiciones matemáticas

Raúl Meléndez

Introducción

El propósito central de este ensayo es presentar la elucidación gra­matical que el Wittgenstein tardío hace de las proposiciones mate­máticas a manera de ejemplo que ilustra su concepción general de la filosofía como una actividad gramatical, descriptiva y terapéutica.1

Se tratará, pues, de exponer cómo Wittgenstein trata de disipar cier­tas confusiones filosóficas que surgen de no comprender bien las funciones que cumplen las proposiciones matemáticas y cómo trata, asimismo, de clarificar la gramática de dichas proposiciones, es decir, los diversos usos que les damos y las funciones que ellas cumplen en nuestros juegos de lenguaje. Alrededor de estos usos se extiende, se­gún él, una especie de niebla filosófica o metafísica que nos impide ver y comprender cómo funcionan efectivamente, en la práctica, las proposiciones matemáticas. El confía en que, aclarados tales usos y funciones, se disipen y disuelvan los problemas, o más exactamente malentendidos, filosóficos acerca de las matemáticas, como si fuesen, para usar una famosa metáfora suya, una espesa y oscura nube de metafísica que se condensase en una gota clara y cristalina de gramá­tica. Para cumplir con este propósito central se darán los siguientes pasos:

El lector encontrará una muy clara exposición de la concepción de la actividad filosófica que tiene el Wittgenstein tardío en el ensayo de Magdalena Holguín, publicado en este libro.

17-

Raúl Meléndez

En primer lugar, se discurrirá brevemente acerca de la relación entre la gramática filosófica, tal como la concibe Wittgenstein, y los problemas filosóficos relacionados con las matemáticas. Dicho en otras palabras, se intentará aclarar la relación entre las observaciones de Wittgenstein sobre las proposiciones ma­temáticas y su concepción general de la actividad filosófica. (Parte I).

Luego se mostrará cómo pueden surgir algunas explicaciones filosóficas acerca del significado de las proposiciones matemáti­cas, que Wittgenstein diagnostica como confusiones, a partir de analogías desorientadoras entre dichas proposiciones y las pro­posiciones descriptivas o empíricas y se aclarará cómo los pun­tos de vista del Wittgenstein tardío se oponen a dichas explicaciones. Se esbozarán en esta parte sus críticas al platonis­mo o realismo matemático, al empirismo matemático (á la Mili) v al intuidonismo matemático (á la Heyting), en cuanto explica­ciones del significado y función de las proposiciones matemáti­cas. (Parte II; A, B y C),

Finalmente se expondrá, a grandes rasgos, la que podría consi­derarse como la concepción positiva del Wittgenstein tardío acerca del papel gramatical que juegan las proposiciones mate­máticas en nuestros juegos de lenguaje; de acuerdo con esta concepción, las proposiciones matemáticas no son descriptivas, sino cjue funcionan como normas de descripción que contribu­yen a regular el uso de las proposiciones descriptivas o empíri­cas, (Parte III),

Gramática filosófica y matemáticas

Fas observaciones filosóficas del Wittgenstein tardío acerca de las proposiciones matemáticas, que constituyen el tema central de este ensayo, guardan concordancia con su concepción general de la acti­vidad filosófica y son una muy ilustrativa ejemplificado!! de algunos de los métodos terapéuticos de clarificación gramatical que él pone en práctica al llevar a cabo tal actividad. Cabe subrayar a este respec­to, en primer lugar, que él no pretende darle a las matemáticas una fundamentación filosófica o lógica que justifique sus pretensiones de constituir un conocimiento que ofrezca certeza y validez absolutas, sino, más bien, aclarar la gramática de sus proposiciones.

17G

Gramática de las proposiciones matemáticas

El problema de encontrar una salida satisfactoria a la llamada "crisis de fundamentos de las matemáticas" provocada por el descu­brimiento de paradojas y contradicciones que parecían afectar seria­mente el uso de conceptos y principios muy básicos de esta bien acreditada disciplina, se había constituido a comienzos del siglo XX en uno de los más importantes problemas en filosofía de las matemá­ticas. La cuestión de fundamentar las matemáticas sobre bases fir­mes, que no dieran lugar a contradicciones, motivó trabajos y desarrollos importantes en lógica y filosofía de las matemáticas, rea­lizados por filósofos, lógicos y matemáticos muy influyentes entre los que cabe mencionar a Frege, Russell, Hilbert, Zermelo, Brouwer, Heyting. La parcialmente exitosa utilización de la nueva lógica mate­mática en los primeros pasos de estos proyectos fundadonistas, sir­vió como inspiración, e incluso como modelo o ejemplo a imitar, para el trabajo en un proyecto más ambicioso: el de fundar, o reconstruir, haciendo uso de herramientas lógicas de análisis, todo el conoci­miento empírico a partir de lo inmediatamente dado en la experien­cia sensible. Wittgenstein no sólo no participó en estos proyectos de fundamentación -que se constituyeron, por así decirlo, en el progra­ma de investigación central y dominante en la filosofía de las mate­máticas de entonces- sino que se opuso a ellos como innecesarios y, peor aún, como fuente de confusiones filosóficas, que había que acla­rar y despejar:

¿Para qué necesita la matemática una fundamentación? Fa necesita tan poco, creo, como las proposiciones que tratan de objetos físicos o las que tratan de impresiones de los sentidos, necesitan un análisis. Aunque sí precisan, tanto las propiosiciones matemáticas como las otras de una clarificación de su gramática. (OFM VII, §16, 319)'

Pero, ¿por qué las proposiciones matemáticas requieren de una clarificación de su gramática, es decir, de los usos y funciones eque les hacemos cumplir? Para Wittgenstein muchos de los malentendidos filosóficos, en general, pueden despejarse mediante aclaraciones de tipo gramatical, en el sentido amplio eque tiene el término 'gramática' en su pensamiento tardío. En particular, las confusiones acerca del sentido de las proposiciones matemáticas que él trata de disipar, sur­gen, en sus propias palabras, "de una tendencia a asimilar unas con otras, expresiones que tienen funciones muy diferentes en el lengua-

Para las abreviaturas de las obras de Wittgenstein vías referencias bibliográficas, véase la Bibliografía impresa al final de este volumen.

177

Raúl Meléndez

otras, expresiones que tienen funciones muy diferentes en el lengua­je" (LFM 1,15). Las formas gramaticales - en el sentido de la gramáti­ca de la escuela - de proposiciones eque cumplen funciones muy distintas y a las que les damos usos muy diversos, pueden ser, sin em­bargo, engañosamente similares. Las similitudes en su "gramática supierfidal", esto es, en la manera como están construidas, en su es­tructura sintáctica, ocultan importantes diferencias en su "gramática pirofunda", es decir, en los usos y fundones que cumplen. Estas simi­litudes superficiales pueden extraviarnos, llevándonos a hacer ana­logías desorientadoras eque serían fuente de confusiones, no solamente en la filosofía de las matemáticas, sino en la filosofía en ge­neral. Una manera ele adarar tales confusiones, eque Wittgenstein pone en práctica con frecuencia, es resaltar diferencias entre los usos de ciertas expresiones, diferencias que solemos pasar por alto cuan­do filosofamos acerca de su significado, su función y sus implicacio­nes. Las pasamos pior alto, diagnostica él, en nuestro afán pior dar, al filosofar, explicaciones y teorías generales del tipo de las epue se dan en las ciencias naturales.

En los primeros piarágrafos de sus investigaciones Filosóficas, Wittgenstein muestra cómo la que él llama "imagen agustiniana del lenguaje humano" puede conducir a, o más bien extraviarnos en, una cuestionable explicación general acerca de cómo funcionan las palabras y proposiciones en el lenguaje. De acuerdo con esta explica­ción general, las pialabras nombran o designan objetos, eque serían sus significados, y las piroposiciones son combinaciones de estas pa­labras, cuya función esencial es representar lo real, los estados de co­séis. El Wittgenstein tardío piensa que esta explicación general produce una especie de niebla filosófica que oscurece nuestra com­prensión y que éi quiere disipiar mediante sus observaciones grama­ticales sobre el uso de las expiresiones en diferentes juegos de lenguaje3. Ahora bien, si aplicamos esta explicación filosófica general a los términos empleados en las matemáticas -por ejemplo los nume­rales o términos como 'línea recta', 'triángulo', 'conjunto', 'función' etc.-, tendríamos eque ellos también nombrarían objetos, ya sean sen­sibles o matemáticos; y las propiosiciones matemáticas describirían hechos, ya sea que se den en una realidad abstracta e ideal (platonis-

(y IF §3. Para una discusión más detallada sobre la crítica de Wittgenstein a la que él llama "imagen agustiniana del lenguaje humano", ver el ensayo del profesor Alfonso Flórez, publicado en este libro

7 8

Gramática de las proposiciones matemáticas

mo matemático), en la realidad empírica exterior a nuestra mente (empirismo matemático á la Mili) o en nuestra mente (intuiciomsmo matemático a la Heyting). Como veremos más adelante, Wittgens­tein rechaza este tipo de explicaciones, pues, según él, se basan en una confusión entre las funciones ele las piropiosidones matemáticas y las de las proposiciones descriptivas o empíricas.

La actividad filosófica terapéutica, gramatical, clarificadora y descripdiva del Wittgenstein tardío se opone a esta ansia de generali­dad de los filósofos, que él considera como una fuente de oscurida­des metafísicas, y a maneras, digamos, más tradicionales de practicar la filosofía como una actividad explicativa, teorizante o fundamenta-dora. El se opuso con especial vehemencia a los esfuerzos eque algu­nos han realizado (v. gr. Russell, Carnap y los demás positivistas lógicos) por imitar en filosofía los métodos típicos de los científicos naturales, con el fin de que ella pudiera llegar a ser más rigurosa, más exitosa, menos cuestionable y desacreditada.

Analogías clcsoricntacloras entre las proposiciones matemáticas y las descriptivas o empíricas

En esta piarte nos ocuparemos de las confusiones filosóficas que sur­gen de atribuirle erróneamente una función descriptiva a las propo­siciones matemáticas. A estas confusiones nos podríamos ver-conducidos, como se señaló antes, por las engañosas similitudes en­tre la gramática superficial de las proposiciones matemáticas y la de las proposiciones empíricas o descriptivas. Estas similitudes podrían ocultar importantes diferencias en los usos que damos a estos dos ti­pos de proposiciones. La objetable asimilación de las primeras a las últimas llevaría, entonces, a extravíos en diferentes teorías filosóficas sobre las matemáticas, tales como el platonismo o realismo matemá­tico (defendido por muchos lógicos y matemáticos célebres, entre ellos, Gottlob Frege, Kurt Gódel, G.H. Hardy), el empirismo matemá­tico (representado por John Stuart Mili) y el intuicionismo matemáti­co (de L.E.J. Brouwer y Arenei Heyting). Wittgenstein se opone radicalmente a la manera como en estas tres teorías se dan explicacio­nes del significado y la función de las proposiciones matemáticas.

79

Raúl Meléndez

El pla tonismo o realismo matemát ico

De acuerdo con el platonismo matemático, las proposiciones mate­máticas, así como las proposiciones empíricas, tendrían un carácter descriptivo, pero las primeras no describirían el mundo físico, como las segundas, sino un mundo matemático, abstracto e ideal. Así como la proposición "el autor de Don Quijote es Miguel de Cervantes" des­cribe un hecho del mundo empírico, "7+5 es 12" describiría también un hecho, pero que se daría no en el mundo de la experiencia sensi­ble, sino en un mundo diferente a éste. Se trataría de un mundo pre­suntamente eterno e inmutable, que estaría constituido por objetos matemáticos (néimeros naturales, figuras geométricas, funciones, clases, etc.) que se relacionarían entre sí conformando hechos mate­máticos.

El matemático G.H. Hardy, quien enseñaba también en Cam­bridge, cuando Wittgenstein dictaba allí sus lecciones sobre los fun­damentos de las matemáticas en 1939, defiende un punto de vista platonista;

Yo creo que la realidad matemática está fuera de nosotros, que nues­tra función es descubrirla u observarla y que los teoremas que proba­mos y cjue describimos grandilocuentemente como nuestras 'creaciones' son simplemente notas de nuestras observaciones. (Hardy 1940,123-4)

Las proposiciones matemáticas enuncian hechos objetivos exterio­res a mí mismo. (Hardy 1929, 4)

[...] Las proposiciones matemáticas son, en un sentido u otro, no im­porta qué tan evasivo y sofisticado paueda ser este sentido, teoremas concernientes a la realidad. (Ibd.)

Wittgenstein expresa muy claramente su oposición al realismo matemático de Hardy en el siguiente pasaje de sus Lecciones:

El Profesor Hardy dice: ei teorema de Goidbach es verdadero o falso dependiendo délos hechos matemáticos; ésta no es una cuestión de reglas o de conveniencia; es un teorema concerniente a la realidad. ¿Cómo se defendería esto?

Yo dije, en respuesta a la idea de Hardy de un mundo de entidades matemáticas (dentro del cual exploran los matemáticos), cjue el ma­temático es un hombre que construye nuevos caminos, que inventa nuevas maneras de pensar. (LFM XIV, 129)

180

Gramática de las proposiciones matemáticas

En estas palabras se expresa no solamente la oposición al plato­nismo, sino eque también se deja entrever lo que podríamos llamar la concepción positiva de Wittgenstein: la matemática no es la descrip­ción de nuestro presunto conocimiento de un mundo abstracto, in­dependiente, sino eque es una creación, una invención humana. El matemático no descubre, como afirma Hardy, sino inventa.

Wittgenstein critica al realismo matemático, no sólo por ser ésta una concepción problemática que fue sostenida y defendida pior va­rios matemáticos, lógicos v filósofos importantes e influyentes de su época, sino también porque considera eque hay cierta inclinación na­tural y general a asumirla y porque ella permea muchas de nuestras reflexiones acerca de las matemáticas y su significado:

"La aritmética como historia natural (mineralogía) de los números. Pero ¿quién habla así de ella? Todo nuestro pensar está paenetrado de esa idea. (OFM V, §11,191)

Si usted dice, "las proposiciones matemáticas dicen algo acerca de una realidad matemática" - l o cual expresa una tendencia natural -un resultado de esa tendencia sería aproximadamente el siguiente: Decimos ciertas cosas acerca de los animales. Hay proposiciones que todos conocemos y proposiciones acerca de animales exóticos, qtie tienen un encanto especial. Si usted tiene la idea de que las ma­temáticas versan sobre entidades matemáticas, entonces así como algunos miembros dei mundo animal son exóticos, habría un ámbi­to de entidades matemáticas que serían particularmente exóticas -y, por lo tanto, particularmente atractivas. Los números transfinitos, por ejemplo; como Hilbert dice, este ámbito es un paraíso. (LFM XIV, 140)

Wittgenstein se refiere aquí a la teoría de conjuntos de Cantor y a algunos de sus resultados más famosos: Hay números cardinales mayores eque cualquier número cardinal finito -eque Cantor llama cardinales o números transfinitos -, para los cuales la parte puede ser-tan numerosa como el todo y, además, hay una jerarquía, a su vez in­finita, de números transfinitos de tamaños cada vez más grandes. Cantor demostró, usando su célebre método diagonal, que si a la cla­se de los números naturales se le asocia un número o cardinal transfi-nito - eque es como una medida de su inabarcable tamaño y que él llama „ - entonces a la clase de números reales ha de corresponderle un número transfinito todavía mayor, llamado c, el cardinal del con­tinuo. Cantor probó también que hay infinitos números transfinitos cada vez más grandes: dado un conjunto, digamos C, de cualquier

81

Raúl Meléndez

cardinalidad, se puede hallar un conjunto (c.g., el conjunto ele sub-conjuntas de C) eque tiene un cardinal mayor que el de éste.

Estos cardinales transfinitos podrían, dentro de una interpreta­ción realista, concebirse como entidades particularmente exóticas de la misteriosa realidad matemática; entidades que poseerían propie­dades asombrosas e inesperadas. Con estos teoremas sobre los cardi­nales transfinitos, que presuntamente habitan este "paraíso de Cantor", tal como lo llama Flilbert, se suele provocar el asombro y la admiración de muchos estudiantes universitarios de primeros se­mestres y de muchos profanos en matemáticas. Uno de estos últi­mos, Jorge Euis Borges, describe así su admiración y perplejidad:

He divisado, desde las páginas de Russell, la doctrina de los conjun­tos, la Mcngcnlehre, que postula y explora los vastos números que no alcanzaría un hombre inmortal aunque agotara sus eternidades contando, y cuyas dinastías imaginarias tienen como cifras las letras dei alfabeto hebreo, en ese delicado laberinto no me fue dado pene­trar. (Borges 1981,103)

Los teoremas sobre este vasto y misterioso laberinto de los nú­meros transfinitos de Cantor constituyen buenos ejemplos de pro-piosiciones matemáticas que pueden interpretarse, y eque nos seducen a interpretarlos así, como enunciados que describirían una realidad matemática diferente a la del mundo físico. No sólo muchos matemáticos, lógicos y filósofos profesionales, sino también muchos legos en estas disciplinas, tienen una imagen de la actividad del ma­temático como si ella fuese análoga a la de un explorador que va des­cubriendo las maravillas y sorpresas de una realidad abstracta, misteriosa y difícilmente penetrable. Para Wittgenstein esta imagen hace parte de la niebla metafísica que él quiere disipar mediante sus clarificaciones gramaticales, pues ella impide ver claramente y lleva a interpretar mal lo cjue hace el matemático; ella oscurece el sentido de sus piruebas y teoremas.

¿Fue Wittgenstein, entonces, uno de aquellos de quienes se de­cía eque equerían introducir el bolchevismo en matemáticas y contra equienes nos prevenía Hilbert porque pretendían expiulsarnos del pa­raíso de Cantor? Wittgenstein aclaró explícitamente que no equería expulsar a nadie del paraíso de Cantor, sino que se esforzaba, más bien, por quitarle su encanto, es decir, por cambiar nuestra manera de verlo, por mostrar que no se trataba de ningún paraíso, sino de algo mucho menos extraordinario y asombroso, de manera e|ue final­mente nosotros mismos decidiéramos abandonarlo pior nuestra pro-

182

Gramática de ¡as proposiciones matemáticas

pia cuenta. También aclaró que no quería interferir con el trabajo técnico de los matemáticos; él no pretendió poner en cuestión los re­sultados matemáticos mismos, sino las interpretaciones filosóficas que, según él, no permiten comprender bien su sentido y su uso.

Un profano a quien se lo esté iniciando en los misterios del labe­rinto de la teoría de los números transfinitos podría mostrar dos reac­ciones muy diferentes: "¡Qué asombroso y maravilloso! ¡Qué mundo tan fascinante descubre el matemático!" o "¡La cabeza me da vueltas y no logro comprender bien de equé se trata todo esto!". Esta situación sería análoga a una que presenta Wittgenstein en sus Lecciones sobre ¡os Fundamentos de las Matemáticas: el descubrimiento, o más bien, la invención, de la técnica de fotografiar con rayos infra-rojos. Witt­genstein imagina la siguiente situación. Un físico nos dice eque ha descubierto, luego de prolongados esfuerzos, equé apariencia tienen las personas en completa oscuridad. Podríamos entonces exclamar: "¡Estupiendo! ¡Qué asombroso!". Pero probablemente, para Witt­genstein, una reacción más sensata sería decir: "No entiendo equé me quiere decir; explíqueme más claramente equé fue propiamente lo que usted descubrió, porque no lo comprendo todavía." Si entonces el físico nos explica que ha descubierto cómo fotografiar con rayos in­fra-rojos y nos dice cómo funciona su técnica, entonces lo eque hizo, pirobablemente, no nos parecerá tan extraordinario; en todo caso, no nos lo parecerá por las mismas razones o, más bien, por falta de ellas! De modo análogo si alguien nos dice eque Cantor descubrió que hay una cantidad infinita de infinitos de distintos tamaiios, podríamos mostrarnos o bien admirados y maravillados o bien completamente confundidos y perplejos; y nuestra admiración o nuestra perpleji­dad podrían cesar si se nos explica detalladamente la demostración de Cantor,

Para comprender bien los teoremas de la teoría de números transfinitos, Wittgenstein recomienda examinar detallada y cuida­dosamente las demostraciones, sin caer presos de ilusiones metafísi­cas. Las demostraciones o piruebas se piueden comprender, en efecto, sin hacer referencia a una realidad matemática ideal. En la famosa pirueba diagonal de Cantor se da una regla para construir una expan­sión decimal que no coincide con las de una lista dada. La lista dada consta de expansiones decimales que, por supiuesto, no son infinitas actualmente, pero que podrían prolongarse indefinidamente. La lis­ta misma también podría pirolongarse indefinidamente, de modo eiue cada expansión decimal en ella piuede asociarse con un número

8 3

Raúl Meleude

natural. Cantor da una regla para, cambiando los dígitos de la diago­nal de la lista dada, construir una nueva expansión decimal que difie­re en al menos una cifra decimal - la escogida a partir de la diagonal -de todas las expansiones decimales eque hay y que se puedan ir aña­diendo a la lista. Lo demás, es decir, la interpretación platónica o rea­lista del teorema, sería niebla o gas filosófico del que podríamos o, mejor aún, deberíamos, prescindir.

Se puede, pues, comprender la demostración de Cantor de que hay números transfinitos mayores eque otros, sin asumir que hay un paraíso ele cardinales infinitos. De acuerdo con el punto de vista de Wittgenstein, el sentido del teorema nos lo da su demostración (an­tes o independientemente de ella el teorema no tendría todavía un sentido claro) y no una presunta referencia a, o una correspondencia con, un paraíso matemático ideal. La referencia a tal paraíso matemá­tico nos impide ver y comprender con claridad qué es lo que el mate­mático efectivamente prueba. Probablemente, imaginarnos una realidad matemática abstracta es lo que nos lleva a decir, sin com­prender bien lo que decimos: "¡El teorema es un descubrimiento asombroso, extraordinario!" en vez de "¡No entiendo todavía nada!". El uso de las proposiciones y demostraciones matemáticas es, para Wittgenstein, más ordinario de lo que el realista matemático sugiere. Las matemáticas no son, como tiende a creer él, desorientado por­uña falsa analogía, una suerte de ultra-física. No se trataría en ellas de realizar maravillosas exploraciones en un exótico y misterioso mun­do ideal, sino, como se verá más adelante, de la invención de reglas para usar el lenguaje que describe el menos misterioso mundo de la experiencia sensible.

Wittgenstein no pretende demostrar que el realismo matemáti­co es falso ¿Cómo se podría mostrar que no hay una realidad mate­mática ideal, abstracta (o que sí la hay)? El realismo matemático sería, en efecto, tan irrefutable como no verificable. Pero esta concepción fi­losófica es, para Wittgenstein, irrelevante y superflua -peor aún, es confusa y oscurecedora- a la hora de aclarar y comprender bien cómo funcionan y cómo usamos las proposiciones matemáticas. Para ilustrar este punto presentaré ahora una ficción inspirada en la si­guiente observación de Wittgenstein, en la cual se advierte que hay algo erróneo en la idea de la verdad matemática como correspon­dencia con una realidad ultra-sensible:

Imagínate esta extraña posibilidad: nosotros hasta ahora nos hemos equivocado siempre al multiplicar 12x12. Sí, es incomprensible

8 4

Gramática de las j'roposicione< matemáticas

cómo esto ha podido pasar, pero ha sucedido. Es, entonces, falso lodo lo que hemos calculado de esta manera! - ¿Pero que importa? No importa en lo absoluto1 - Entonces debe haber algo incorrecto en nuestra idea de la verdad y la falsedad de las proposiciones aritméti­cas. (BGM I, §135, 90)

Supongamos que un Ser Omnisciente baja de las alturas, se les aparece a un realista matemático y a un matemático no-realista y les dice:

Mortales, a vosotros os parecerá inconcebible, pero es cierto: os ha­béis equivocado siempre al pensar que 12x12= 144. Pero no sólo eso, todas vuestras operaciones aritméticas están erradas y toda vuestra matemática. ¿Pretendéis haber demostrado que sólo hay 5 polie­dros regulares? ¡Pues no! I lay 7 de ellos. Os daré la oportunidad fu­gaz de contemplar por vez primera la realidad matemática, que sólo yo conozco bien, arrogantes mortales, para que podáis contemplar por un breve instante los 7 poliedros regulares... ¿Pretendéis haber demostrado que ningún mapa requiere de más de 4 colores para ser coloreado? ¡balso, pretenciosos mortales! Observad este mapa que no puede ser coloreado con 4 colores. ¿Estáis muy seguros de que no hay una biyección entre el conjunto de los números naturales y el de los reales? Hela aquí, para vuestra sorpresa 1 Dejad pues vuestra so­berbia. Sed más humildes v no penséis que tenéis una intuición pri­vilegiada que os permite contemplar la realidad matemática, ni que a ella podéis acceder por medio de vuestras equivocadas demostra­ciones lógicas, "toda, absolutamente toda vuestra matemática no es más que falsedad, un enorme error, que vosotros lomáis por vuestra verdad más inconmovible!

El Ser omnisciente desaparece tan misteriosamente como apa­reció. El realista matemático, quien, entretanto, ha estado tomando apuradas notas en su libreta de apuntes acerca de todo lo eque ha ob­servado muy fugazmente de la realidad matemática, dice en un tono muy compungido:

tantos esfuerzos de algunas de las mentes más brillantes de la histo­ria... y todo ello en vano! Es el fin de nuestras matemáticas, de las que siempre nos habíamos sentido lan orgullosos. Todas ellas son falsas. Tendremos que abandonarlas y ahora nuestras matemáticas quedarán reducidas a estas pocas notas que he tomado durante la breve aparición de este Dios.

El matemático no platomsta, recobrándose un poco de su enor­me desconcierto, replica:

es:

Raúl Meléndez

Y yo que había pensado que no había tal realidad matemática, que la única realidad era el mundo físico! No salgo de mi perplejidad! ... Pero pensándolo bien, tu actitud, estimado platónico, me parece inaceptable. Así nuestras matemáticas no correspondan fielmente a esa ultra-realidad matemática que hemos tenido el privilegio de atisbar muy fugazmente, ello no es razón para revisarlas, ni mucho menos para abandonarlas. ¿No nos hemos servido bien de ellas du­rante siglos para lograr miles de propósitos importantes? ¿Y que ocurriría si de pronto, por atender a esta revelación divina, dejára­mos de utilizarlas? Eso significaría el fin no sólo de ellas, sino de to­das las ciencias, más aún de toda nuestra vida en comunidad, pues dime... ¿Qué actividad importante en nuestras vidas no requiere de un mínimo de aplicación ele nuestras matemáticas? Si quieres guar­dar tu libreta de notas, hazlo, cuélgala en la cabecera de tu cama, pero eso me parece un lujo completamente inútil. Bien , bien,, . . ella contiene unas cuantas verdades acerca de la realidad matemática ¿Y ...? ¿De qué nos sirven? Lo que necesitamos, de lo cjue no pode­mos prescindir, sin acabar con nuestra forma de vida, son las mate­máticas que hemos construido - inventado, si quieres - así ellas no correspondan a la realidad matemática, que sólo el Dios conoce.

Hasta aquí la fábula. Se me podrá objetar que le he dado dema­siada rienda suelta a mi imaginación y que esta ficción es demasiado inverosímil. Imaginémosla, entonces, más verosímilmente, como una simple pesadilla en una mala noche del realista matemático. ¿No podría tal pesadilla, en todo caso, hacer cambiar un poco, hacer vaci­lar un pioco la manera como éi considera, si no la verdad, por lo me­nos el valor de su realismo?

Se puede objetar también que lo que se fantasea en la fábula es algo imposible. Por razones, que él tendría que darnos, el realista ma­temático podría pensar que Ja realidad matemática tiene que ser como la describen nuestras proposiciones matemáticas y no puede ser de otro modo. En aras de la discusión, concedámosle esto al realista y modifiquemos la fábula:

El Ser omnisciente desciende hasta nosotros y no piuede hacer cosa distinta que felicitarnos y confirmar que la realidad matemática es tal como la describen nuestras piropiosiciones matemáticas ¿En qué cambia el piunto de la fábula? Seguiríamos desarrollando (inventan­do, diría Wittgenstein) nuestras matemáticas y aplicándolas a las más diversas actividades, aunque tal vez quisiéramos agregar al final "y, además de todo, ellas corresponden fielmente a la ultra-realidad ma-

8 0

Gramática de ¡as proposiciones matemáticas

temática". ¿Qué se gana al agregar esta frase? ¿No debería, de todas maneras, ser considerada como un lujo totalmente superfluo?

empirismo matemático. La relación entre las matemáticas y el mundo empírico

Una vez que hemos tratado de mostrar cuan vano es el supuesto de una realidad matemática abstracta que estaría descrita por las propo­siciones matemáticas, preguntémonos ahora si ellas no describen, más bien, hechos muy generales y muy básicos de la realidad física, empírica. De ser así, no sería en absoluto sorprendente que las mate­máticas se apliquen con tanto éxito en las más diversas actividades de nuestra vida, como ya se ha resaltado anteriormente.

En varios pasajes de su obra tardía, Wittgenstein sostiene que nuestra práctica de las matemáticas se apoya o descansa sobre ciertas regularidades empíricas y sobre hechos naturales muy básicos. Estas regularidades y estos hechos son tan básicos, que usualmente no repa­ramos en ellos y los pasamos por alto. El típico ejemplo de Wittgens­tein para ilustrar este punto es el de un mundo en el que los objetos físicos aparecieran y desaparecieran misteriosamente. Estas aparicio­nes y desapariciones podrían ocurrir de maneras regulares y predeci­dles o de modo completamente caótico. En el primer caso, quizá hubiéramos podido desarrollar otro tipo de aritmética diferente al que de hecho hemos desarrollado; en el segundo caso, lo más probable es que no hubiera surgido nada parecido a nuestra aritmética. Esto lleva a pensar que el hecho de que usemos nuestra aritmética (en general, nuestras matemáticas) y no otro tipo de aritmética o ninguno, está condicionado por el darse de otros hechos naturales muy básicos, que son contingentes. Y esto, a su vez, pareciera conducir a un empirismo matemático, el cual nos llevaría a rechazar el carácter necesario que suele atribuírsele a las matemáticas. En efecto, si hay circunstancias imaginables en las que nuestras matemáticas serían completamente diferentes (en las que, por ejemplo, el resultado de calcular 12x12 no debería ser 144, sino 140 o 148, según si se dan sistemáticamente ciertas apariciones o desapariciones de objetos; o en las que no habría surgido nada como nuestra adición y nuestra multiplicación), entonces las proposiciones matemáticas no tendrían un carácter necesario. Dadas ciertas situaciones concebibles, tales proposiciones serían simplemen­te inutilizables (¿Aunque se quisiera seguir insistiendo en que serían ciertas? Pero, ¿ciertas en virtud de qué?). Sin embargo, Wittgenstein

187

Raid Meléndez

(como veremos en la parte III) no cquiere rechazar lo que él llama "la peculiar inexorabilidad de las matemáticas", si bien de lo anterior se colige eque no entiende esta inexorabilidad como la validez de sus enunciados en todas las circunstancias imaginables o en todos los mundos posibles.

Ahora bien, Wittgenstein enfatiza repetidamente que las pro­posiciones matemáticas no describen estos hechos naturales básicos sobre los cuales descansa su utilización y su aplicación. Las proposi­ciones matemáticas no son, de acuerdo con su punto de vista, des­criptivas, sino normativas. Ellas no describen ni hechos matemáticos abstractos, ni hechos naturales, así sean éstos muy generales o muy básicos. Una proposición que sí describe un hecho natural básico y eque es condición para muchos de nuestros usos de la aritmética, se­ría, por ejemplo, "siempre que tengo 12 filas cada una con 12 objetos físicos y cuento la totalidad de obj etos que hay en las 12 filas, obtengo 144 objetos como resultado". Pero ésta es una proposición empírica, contingente, descriptiva que hay que distinguir de la proposición aritmética "12x12=144", la cual ya no es ni empírica, ni descriptiva, ni contingente, por lo menos no es contingente en el mismo sentido en eque lo es la primera. La primera proposición expresa una condición natural para la aplicación de la segunda en muchos contextos, pero las dos no tienen el mismo significado, no son equivalentes, lo cual ya se deja ver, entre otras cosas, porque con la segunda no nos referimos en absoluto a objetos físicos y, en general, porque a las dos les damos usos muy diferentes. Wittgenstein está, pues, tan alejado del empi­rismo matemático (a la Mili) como del realismo matemático (a la Hardy).

Tomemos en consideración este otro ejemplo: supongamos que por algún extraño fenómeno psicológico, que diera lugar con fre­cuencia a ciertos olvidos y descuidos, las personas al sumar, restar, multiplicar y dividir no obtuvieran casi nunca los mismos resultados. En una clase de primaria, el profesor trata de enseñar a sus alumnos a sumar y a multiplicar, pero al plantearles un ejercicio, digamos 467+1231 ó 6567x128, los alumnos obtienen, por lo general, resulta­dos diferentes. Lo mismo pasa no sólo con los alumnos, sino con to­das las demás personas. En un mundo así la aritmética sería impracticable, no se podría ni siquiera enseñar o aprender. ¡No la ha­bría podido aprender el propio profesor! ¿Habría algo como nuestra aritmética en ese mundo de despistados y olvidadizos? Seguramen­te no, pero esto no quiere decir que los enunciados aritméticos que

188

Gramática de las proposiciones matemáticas

de hecho usamos en nuestro mundo afirmen o expresen esta unifor­midad de resultados, que es condición de su utilización, sin la cual la aritmética no hubiera ni siquiera surgido. Así como con "12x12=144" no se afirma nada acerca de la continuidad o estabilidad en el espacio y el tiempo de los objetos que contamos, tampoco se afirma nada acerca del comportamiento regular de las personas al hacer la multi­plicación, ni de su capacidad de memoria o concentración. La propo­sición no afirma, en particular, el hecho empírico y contingente de que los hombres, por lo general, obtienen 144 al realizar la multiplica­ción 12x12. Tampoco se describe con ella el hecho de que siempre eque organizamos 12 filas cada una con 12 objetos, al contarlos obte­nemos como resultado 144, si bien este hecho puede considerarse como una, entre muchas, de las buenas razones para haber desarro­llado una aritmética en la que valga 12x12=144. La relación eque en­cuentra Wittgenstein entre las matemáticas y estos hechos naturales tan básicos, no es la misma que asumiría un empirista, como se testi­monia claramente en este pasaje:

La proposición (matemática) se basa en una técnica. Y, si tú quie­res, en los hechos físicos y psicológicos que hacen posible esa técni­ca. Pero no por ello su sentido consiste en expresar estas condiciones. ] [...] La proposición juega el típico (pero no por ello sencillo) papel de una regla. (BMG VII, §§1-2, 355)

Wittgenstein no suscribe, pues, un empirismo matemático á la Mili. Tal empirismo, según el cual las proposiciones matemáticas des­criben rasgos muy generales del mundo empírico, conduce a recha­zar el carácter necesario que suele atribuírsele a las matemáticas, pues tales rasgos son contingentes. De acuerdo con este empirismo, una proposición como 12x12 = 144 sería tan poco necesaria, por muy bien confirmada que estuviese por la experiencia pasada, como "co­mer mucho dulce y muchas harinas sube el nivel de colesterol en la sangre". Pero, si bien Wittgenstein se opone a una concepción empi­rista como la de Mili, él sostiene, en todo caso, que si nuestra historia natural hubiese sido diferente, entonces nuestras matemáticas se­rían diferentes. Las matemáticas no describen el mundo físico -pues no describen nada en absoluto- pero su uso y aplicación dependen de que se den ciertas condiciones naturales básicas en él.

8 9

Raúl Meléndez

Crít icas al i n t u i c i o n i s m o m a t e m á t i c o á la 1 Icyt ing

De acuerdo con otra explicación del significado de las proposi­ciones matemáticas que les atribuye a éstas una función descriptiva, dichas proposiciones no describirían o afirmarían hechos de u n m u n d o abstracto, ni del m u n d o físico exterior a nuestras mentes , sino que afirmarían que se han dado ciertos procesos mentales, más precisamente construcciones mentales que se realizarían a partir de nuestras intuiciones básicas de la un idad y de los números naturales. Entre quienes h a n defendido más clara y resuel tamente este p u n t o de vista se cuenta el matemático intuicionista Arend Heyting. En su Introducción al Intuicionismo Heyt ing afirma que:

Toda aserción matemática afirma el hecho de que se haya efectuado cierta construcción matemática. [...] La característica del pensa­miento matemático es que no nos proporciona verdad alguna acer­ca del mundo exterior, sino que sólo se ocupa de construcciones mentales. (Heyting 1976,14 y 15)

En una conferencia titulada "Los fundamentos intuidonistas de las matemáticas", Heyt ing explicaba de manera algo diferente el sentido de las proposiciones matemáticas:

Una proposición matemática expresa una cierta expectativa. Por ejemplo, la proposición 'La constante de Euler C es racional, expresa la expectativa de que podamos encontrar dos enteros a y b, tales que C = a/b. (Heyting 1983, 58)

Pese a las diferencias que pueda haber entre estas dos maneras de explicar lo que se afirmaría por medio de una proposición mate­mática, nos interesa aquí resaltar que ambas explicaciones coinciden en un p u n t o general, a saber, que mediante una proposición matemática se expresa el darse de un hecho mental, ya sea el que se haya realizado u n a construcción mental o el que se tenga una cierta expectativa de que se realice una construcción. Y nos interesa resaltar este p u n t o ge­neral común, pues es a éste al que se oponen los puntos de vista de Wittgenstein acerca de las proposiciones matemáticas en particular y acerca de lo que da significado a las proposiciones, en general. En efecto, Wittgenstein rechaza el mentalismo, concebido como una ex­plicación general del significado de una proposición. Según la expli­cación mentalista, lo que da significado a las proposiciones del lenguaje son los procesos mentales que ocurren cuando ellas se com­prenden o se usan. Oponiéndose a esta forma de mentalismo, Witt­genstein sostiene que lo que da vida y sentido a un signo, incluidos

9 0

Gramática de ¡as proposiciones matemáticas

los signos y proposiciones matemáticas, es su uso y no los procesos mentales eque puedan acompañar tal uso.

Sin embargo, habría que distinguir, en aras de la claridad, entre dos variantes de explicación mentalista del significado de las propo­siciones matemáticas. A ambas se oponen, aunque de diversas mane­ras, los piuntos de vista de Wittgenstein. Según una primera variante, eque está ejemplificada por los pasajes de Heyting que hemos citado, la proposición matemática describe o afirma un hecho mental. De acuerdo con una segunda variante, tanto el significar de cierta mane­ra, como el comprender una proposición matemática, más aún una proposición cualquiera, son procesos mentales específicos. Las dos variantes son diferentes, pues se podría defender o sostener una de las dos variantes sin eque ello eequivalga a estar sosteniendo la otra. Alguien puede afirmar que el significado de una proposición mate­mática es el hecho mental eque se afirma con ella, pero negarse, sin caer con ello en una incoherencia, a identificar el significar o el com­prender con procesos mentales específicos. Por otro lado, quien identifique el significar y el comprender una proposición con proce­sos mentales específicos podría sostener consistentemente, a la vez, que las proposiciones matemáticas no describen hechos mentales, sino, por ejemplo, hechos abstractos o hechos empíricos muy gene­rales; piara él significar y comprender la proposición matemática po­dría consistir, en los ejempilos mencionados, en transmitir o tener cierta imagen mental de cualesquiera hechos eque sean descritos o afirmados pior ella.

Quisiéramos concentrarnos, piues son las más relevantes en este contexto, en las críticas que se puedan formular, desde una perspec­tiva wittgensteiniana, a la primera variante del mentalismo, atribuí-ble a algunos intuidonistas matemáticos. Luego señalaremos muy brevemente cómo Wittgenstein se opone explícitamente a la segun­da variante del mentalismo, opiosidón que es familiar piara los lecto­res de su obra tardía.

Algunas de las objeciones que se pueden esgrimir, desde un punto de vista wittgensteiniano, contra la idea de epie las proposicio­nes matemáticas describen o afirman hechos mentales sem análogas a las que ya se han esgrimido arriba contra el empirismo matemático á la Mili. Esto no es en absoluto sorprendente, pues a la explicación intuicionista del significado de las proposiciones matemáticas, tal como la hemos caracterizado de modo muy general, se la puede in­terpretar como una suerte ele empirismo psicologista. Se podría ar-

19 1

laúd Meléndez

güir que los intuidonistas matemáticos como Brouwer y Heyting parten de una noción de intuición que es de raigambre kantiana y que, por ende, se trata de una intuición concebida como una forma a priori de representación de los fenómenos de la experiencia sensible y no como un proceso psicológico, empírico. Pero, de todas maneras, los hechos mentales -las construcciones mentales o las expectativas de ellas- eque, según Heyting, serían expresados por las proposicio­nes matemáticas, son hechos psicológicos y empíricos, aunque par­tan de una intuición a priori. Concedido esto, valdrían entonces críticas similares a las formuladas contra el empirismo matemático. Si un intuicionista matemático no concede esto, entonces las objecio­nes que puedan llegar a formulársele podrían no ser del tipo eque epueremos ejemplificar en este ensayo.

Fas siguientes objeciones están, pues, dirigidas contra un intui-cionista matemático que quiera dar una explicación de corte psicolo-gista del significado de las proposiciones matemáticas. En primer lugar tal intuicionista, al sostener que las proposiciones matemáticas afirman hechos empíricos, no podría dar cuenta satisfactoriamente del carácter necesario que se les atribuye. En segundo lugar, podría objetársele que no distingue como es debido entre dos tipos de pro­posiciones que cumplen funciones muy diferentes: por un lado pro­posiciones matemáticas del tipo "12x12 = 144", por otro lado piroposidones que ya no son matemáticas sino empíricas, del tipo "se ha realizado (o se tiene la expectativa de realizar) una construcción mental que parte de la intuición de la unidad y epue procede de tal y tal manera". La primera proposición no se refiere a ningún hecho y su validez no se establece indagando acerca de lo eque ocurre en ese ámbito presuntamente oculto y misterioso de nuestras mentes. Las piroposidones matemáticas pueden establecerse como válidas por medio de cálculos o de demostraciones lógicas, pero ellas no afirman que dichos cálculos o demostraciones lógicas se hayan realizado. Además Wittgenstein no concibe el calcular, el inferir, el demostrar algo mediante una pirueba lógica como procesos mentales ocultos, sino como técnicas, capacidades (comparables con la de jugar aje-d rez), cuyo dominio consiste en saber realizar ciertas cosas, en actuar de ciertas maneras, en, entre otras cosas, transformar y manipular signos ele modos que sean los correctos, los usuales.

Con lo anterior, arribamos a las críticas que Wittgenstein hace al mentalismo, en la segunda de las variantes señaladas anteriormente. Efectivamente, del calcular, inferir o demostrar lógicamente pueden

192

Gramática de las proposiciones matemáticas

decirse cosas similares a las que Wittgenstein dice del significar una expresión de cierta manera o del comprender. Para ponerlo en su propia terminología; la gramática de "calcular", "inferir", "demostrar lógicamente" es similar a la de "significar", "querer decir", "compren­der". La similitud que es particularmente pertinente en este contexto es que así como, para Wittgenstein, "calcular", "inferir", "demostrar lógicamente" no designan procesos mentales, tampoco lo hacen "significar" o "comprender". En ambos tipiéis de casos se trataría, más bien, de técnicas, habilidades, usos, cuyo dominio se manifiesta pú­blicamente en lo eque hacemos y no de lo que ocurra en el reino su­puestamente privado y oculto de lo mental. Wittgenstein no epuiere negar eque al calcular y demostrar, así como al significar o al compren­der, ocurran procesos mentales concomitantes. Lo eque él rechaza es que el calcular, demostrar, significar, comprender se identifiquen con esos procesos mentales.

Entre las razones, más o menos bien conocidas, que Wittgens­tein da para sostener que el significar o el comprender no deben con­cebirse como procesos mentales está el que el darse de estos procesos no es condición necesaria, ni suficiente para el significar algo así a asá o para comprenderlo. Los criterios para atribuir el significar algo de cierta manera o el comprender son públicos: decimos de alguien que significa una expresión de tal y tal modo o eque comprende una ex­presión en virtud de lo que hace, de cómo y en qué circunstancias usa y aplica esas expresiones, de cómo responde a ciertas preguntas, de qué escribe a continuación de qué, etc, etc... y no en virtud del estado en que pueda encontrarse su "aparato mental".

Resumiendo: el diagnóstico que se hace de los extravíos en los eque se desorienta un intuicionista matemático que se comprometa con alguna de las dos variantes de explicación mentalista que hemos distinguido antes, consiste, en lo fundamental, en eque sus extravíos tienen una fuente gramatical - y éste es el punto eque queremos sub­rayar una y otra vez para ilustrar la perspectiva desde la cual el Witt­genstein tardío aborda los problemas filosóficos. El intuicionista mentalista o bien estaría confundiendo la gramática de las proposi­ciones matemáticas con la de las empíricas, al sostener que las prime­ras, al igual eque las segundas, afirman hechos, o bien confunde la gramática de expresiones como 'calcular', 'demostrar', 'significar', 'comprender' con la gramática de expresiones que designan proce­sos o estados mentales.

9 3

Raúl Meléndez

Las proposiciones matemáticas como normas de descripción

Wittgenstein quiere resaltar una importante diferencia entre la fun­ción eque desempeñan en nuestro lenguaje las proposiciones mate­máticas y la que cumplen las proposiciones empíricas: mientras que las segundas son descriptivas, las primeras no lo son. Pero, si las proposiciones matemáticas no describen nada, no representan nada, ni en una supuesta realidad matemática abstracta, ni en el mundo exterior, ni en nuestra mente, ¿Cuál podría ser entonces su sentido? Aquí hay eque abandonar un prejuicio en favor ele las pro­posiciones que describen o afirman hechos. Podría pensarse que toda proposición ha de describir o afirmar algo pues, de lo contra­rio, carecería de sentido. Las proposiciones son, para el Wittgens­tein tardío, comparables a instrumentos eque pueden recibir muy diversos usos y, entonces, una proposición puede ser significativa, así no tenga un carácter descriptivo. De acuerdo con la concepción positiva del Wittgenstein tardío acerca del sentido de las proposi­ciones matemáticas, éstas no son descriptivas, sino prcscriptivas o normativas. Ellas juegan el papel de normas de descripción y no de descripciones; funcionan como reglas que contribuyen a fijar o de­terminar el uso de otras proposiciones, con las cuales sí describimos la realidad empírica. Las proposiciones matemáticas forman parte de un sistema de reglas que rigen el uso de los conceptos matemáti­cos en contextos extra-matemáticos, en los cuales describimos y re­presentamos hechos. Tales proposiciones, concebidas como reglas, nos proveen con normas para utilizar los conceptos matemáticos en nuestras descripciones del mundo de la experiencia. Esta es, a gran­eles rasgos, la manera como Wittgenstein entiende el papel de las proposiciones matemáticas en nuestro lenguaje.

Quisiéramos ahora ilustrar esta manera algo general y abstracta de presentar esta posición con algunos ejemplos. En sus Observacio­nes sobre los fundamentos de las matemáticas, Wittgenstein ofrece el si­guiente ejemplo para ilustrar cómo, si bien los conceptos v proposiciones de las matemáticas no representan ni objetos, ni he­chos del mundo empírico, nuestras descripciones de estos objetos y estos hechos serían muy diferentes si no empleáramos en ellas tales conceptos y proposiciones, hasta el punto de que sin ellos, muchos hechos de los que hablamos serían simplemente inexpresables, in-

1 9 4

Gramática ile las pro¡>osiciones matemáticas

concebibles, no Itis reconoceríamos como hechos, no se darían piara nosotros:

Pero ¿Qué cosas son "hechos"? ¿Crees que puedes mostrara qué he­cho nos referimos señalando algo con el dedo 1 ¿Eso hace ya que esté claro el papel que desempeña la "determinación" de un hed ió? -¿Y si fuera la matemática la que determina primero el carácter de eso que llamas "hecho"? | "lis interesante saber vibraciones tiene ese fono." Pero es la aritmética la que te ha enseñado primero esa pre­gunta, le ha enseñado a ver esa ciase de hechos. (OEV1 VII, §18,321)

Los hechos que ocurren en ei mundo empírico, aunque no son creados o constituidos pior nosotros mismos, por nuestros conceptos, nuestro lenguaje (el pasaje citado no justifica una atribución a Witt­genstein de esta posición idealista), no determinan de manera uní­voca cómo hemos de describirlos, ni qué conceptos hemos de utilizar para ello, ni cómo ha de ser el lenguaje mediante el cual los represen­tamos. Los hechos no están ahí de modo que lo único que podemos hacer es señalarlos pasivamente. Nosotros creamos formas de repre­sentación, sistemas de conceptos, lenguajes que usamos piara descri­bir los hechos y las matemáticas, para Wittgenstein, forman piarte muy importante de estas formas de representación, de estos marcos conceptuales para la descripción:

"Para ser práctica, la matemática ha de mostrarnos hechos." Pero ¿tienen que ser esos hechos los hechos matemáticos? ¿Por cpié en lu­gar de "enseñarnos hechos" no ha de crearlas formas de eso que lla­mamos hechos? (Ibd., 322)

Una analogía que Wittgenstein empleó en el Tractatus para dar cuenta del carácter a priori de ciertas leyes de la física, puede sernos útil ahora piara ilustrar la manera como las matemáticas se relacionan con los hechos del mundo empírico. Supongamos que tenemos unas manchas negras de formas irregulares sobre un papel blanco y que­remos describirlas. Para ello utilizamos una red de cuadrados que co­locamos sobre el piapel manchado y decimos cuáles cuadrados han quedado completamente blancos y cuáles completamente negros. De los cuadrados que no hayan quedado completamente de un color podemos decir si predomina en ellos el blanco o el negro o si no pre­domina visiblemente ninguno de los dos. Pero no estamos obligados a usar determinada red para describir las manchas negras sobre el papel blanco. Es claro que usando diferentes redes daremos descrip­ciones diferentes. Podemos, por ejemplo usar redes de cuadrados muv pequeños, lo cual permitiría describir mejor algunos detalles. O

195

Raid Meléndez

podríamos usar redes hexagonales o triangulares, en lugar de cua­driculadas. Tenemos, pues, diferentes formas de representación o sistemas de descripción de las manchas. Podemos distinguir ahora entre dos lipios de proposiciones: proposiciones con las eque, usando la red, describimos las manchas y proposiciones con las eque habla­mos no de las manchas, sino de la red y de cómo decidimos usarla para describir las manchas. Ejemplos del primer tipo de proposición serían: "El cuadrado de la fila m y la columna n de la red queda com­pletamente negro", "el último cuadrado de la primera columna de la red queda completamente blanco", "en tal y tal cuadrado no piredo-mina ninguno de los dos colores. A estas proposiciones podemos lla­marlas por razones obvias proposiciones descriptivas. Ahora, ejemplos del segundo tipo de proposiciones serían "debe colocarse la red de modo que cubra todo el piapel manchado", "la red que usa­remos será cuadriculada y todos sus cuadrados serán del mismo ta­maño, a saber, del tamaño axb", "si digo de un cuadrado que predomina en él el color negro, no puedo decir de éi que es completa­mente de uno de los dos colores", "atribuiremos colores sólo a cuadra­dos individuales y no a grupos de cuadrados" y similares. A estas proposiciones podemos llamarlas proposiciones prescriptivas o nor­mativas o si se quiere ser algo más preciso: normas de descripción o reglas para el uso de las proposiciones descripitivas.

Si comparamos el papel manchado con el mundo empírico y las redes con diferentes sistemas de descripción del mismo, enton­ces las proposiciones empíricas que expiresan hechos en juegan un piapel análogo al cjue juegan las proposiciones del primer tipo en el ejemplo y las propiosiciones matemáticas juegan un papiel análogo al de las proposiciones del segundo tipo. El ejemplo ilustra enton­ces la diferencia entre el carácter descriptivo de las proposiciones empíricas y el carácter normativo de las propiosiciones matemáti­cas, diferencia que Wittgenstein quiere resaltar, pues si se pasa pen­ado puede conducir a confusiones filosóficas como las pircsentadas en la piarte anterior.

Otro piuiito impiortante que se puede ilustrar por medio de la analogía es el siguiente: así como las expresiones "cuadrado de la red", "tamaño de los cuadrados", "finura de la red" no representan nada eque haga piarte del papel manchado, pero los usamos para des­cribirlo, asimismo los términos matemáticos como "el número 2", "TI", "el pentágono regular", la derivada de la función f(x)=x2 ", "la clase de los números reales" no denotan entidades del mundo empí-

9 6

Gramática de las proposiciones matemáticas

rico, ni de un mundo abstracto, pero los usamos piara describir los he­chos del mundo empírico. Las proposiciones matemáticas que contienen estos términos pueden entenderse entonces, propone Wittgenstein, como reglas para regir su uso en nuestras descripcio­nes de hechos.

Veamos en un caso concreto cómo una proposición matemática pmede cumplir la función de norma de descripción. Tomemos como ejemplo una proposición aritmética muy elemental: "7+5 = 12". Para Wittgenstein esta proposición no expresaría un hecho matemático, los términos "7", "5", "12" no denotarían entidades matemáticas eque guarden una relación descrita por la proposición. La proposición cumpliría, más bien, la función de una regla para usar estos concep­tos numéricos en proposiciones que sí son descriptivas y expresan hechos. Si alguien nos dice "tengo exactamente 7 hijos varones y exactamente 5 hijas", entonces nuestra proposición entendida como regla nos autoriza a inferir, sin tener eque recurrir a buscar más infor­mación empírica eque "entonces usted tiene en total 12 hijos". Si al­guien nos dice "en mi finca tengo exactamente 7 cabras y 5 conejos y no tengo en ella más animales; tengo, pues, en total 13 animales en mi finca", entonces nuestra piroposición entendida como regla nos autoriza a decir, sin tener eque ir a la finca a realizar indagaciones em­píricas: "usted está describiendo mal las cosas, no puede ser que us­ted, tenga 13 animales en su finca, si tiene 7 cabras y 5 conejos y esos son todos los animales que tiene en su finca." Estos ejemplos triviales muestran cómo una proposición matemática puede usarse como re­gla piara inferir una proposición empiírica de otras o para excluir una proposición empírica por no ser una adecuada descripción de los he­chos en determinado juego de lenguaje. Las matemáticas piermilen, entonces, describir hechos que de otro modo serían inexpresables e incluso impensables y nos dan reglas piara regir el uso de sus concep­to en proposiciones empiíricas.

Para concluir, veamos cómo el carácter normativo que Witt­genstein atribuye a las piroposidones matemáticas permite dar cuen­ta del carácter a priori y necesario eque usualmente se les atribuye. Tomemos ahora como ejemplo la demostración de que un hepitágo-no regular no es construidle con regla y compiás. Según Wittgenstein, no es necesario que admitamos la conclusión de esta prueba, no hay nada que, en la práctica, nos obligue a ello. Pero una vez aceptamos la conclusión de la prueba (y es un hecho que aceptarla es lo más natu­ral para cualepuiera con cierta formación matemática), la independi-

9"

Raúl Meléndez

zainos de la experiencia y le otorgamos un carácter necesario; para usar una imagen del propio Wittgenstein: la "colocamos en los archi­vos" en los que guardamos celosamente nuestras normas de descrip­ción. Por decirlo de una manera eque suena a paradoja: es un hecho contingente el que tal conclusión se vuelva, es decir, la volvamos, ne­cesaria! Pero ¿qué quiere decir que le otorgamos a la conclusión ele la prueba un carácter necesario y a priori? Quiere decir que decidimos ya no contar nada como una construcción del heptágono regular. La conclusión se vuelve un criterio o una norma eque rige el uso de nues­tro lenguaje y decidimos aplicar esta norma de manera inexorable: a nada habremos de llamar "construcción del heptágono regular", tal expresión queda excluida de nuestros juegos de lenguaje. El carácter necesario de las piroposiciones matemáticas está, pues, estrechamen­te relacionado con la función normativa epue cumplen.

Pero ¿acaso la pirueba no permite descubrir eque, en todo caso, era va imposible construir el heptágono regular? ¡No! Para Wittgenstein no se trata aquí de un descubrimiento. La prueba nos persuade a to­mar una decisión: la de no admitirle a nadie que ha construido un heptágono regular, no importa lo que haya hecho. No era necesario, ni forzoso tomar tal decisión, pero ella no es arbitraria. Hay buenas razones para tomarla, entre ellas que es la más natural y además, en cierto sentido, la más adecuada, la eque es mejor tomar por razones prácticas:

Para resumir, he tratado de mostrar cjue la conexión entre una pro­posición matemática y su aplicación es aproximadamente aquella entre una regla de expresión y la expresión misma en uso. Escoge­mos tal regla de expresión por una cantidad de razones. Por ejem­plo, la prueba matemática de que es imposible construir un heptágono regular con regla y compás nos da buenas razones para excluir la frase "construcción del heptágono" de nuestra notación, listas razones son muy complicadas; pero ellas muestran cjue, si no excluyéramos esa frase, caeríamos en dificultades no sólo acerca de esto, sino acerca de muchas otras cosas. - Podríamos multiplicar de alguna otra manera, pero no sería conveniente. (LEVI 47)

\ ' o descubrimos que el 13 sigue al 12. lisa es nuestra técnica -fijamos, enseñamos nuestra técnica de esa manera. Si hav un descubrimien­to- es que hacer esto es hacer algo valioso. (LEM 83)

Fl valor práctico que tienen las matemáticas en innumerables y muv importantes actividades de nuestra vida se constituye en una buena razón para usar las matemáticas de manera inexorable. La

198

Gramática de las ¡¡reposiciones matemáticas

aprioricidad y la necesidad que atribuimos a las matemáticas están estrechamente vinculadas al hecho de que ellas son vitales para nuestras maneras de satisfacer necesidades de tipio práctico. Si usára­mos el ajedrez para satisfacer propósitos prácticos muy importantes piara nosotros (como, pior ejemplo para tomar medidas políticas y econéimicas decisivas para un país), tal vez llegaríamos a guardar las reglas del ajedrez en los archivos (para usar de nuevo la metáfora de Wittgenstein), nos obligaríamos a aplicarlas de manera inexorable, les otorgaríamos ei carácter necesario eque tienen para nosotros las re­glas de las matemáticas y la lógica. Quizá diríamos cosas como "el en­roque tiene que realizarse así, pase lo que piase, en todas las circuns­tancias imaginables" y no concebiríamos alternativas.

Hemos visto antes que no es necesario eque usemos las matemá­ticas que usamos, es decir, eque si ciertas condiciones naturales muy básicas no se hubieran dado, nuestras matemáticas podrían haber-sido diferentes, Pero dado que esas condiciones se cumplen y que he­mos desarrollado las matemáticas que tenemos, decidimos ser infle­xibles, inexorables en el uso de sus piroposidones, de sus reglas, sin estar obligados a ello por los hechos de una realidad exterior, sino más bien pior que hay muchísimas y muy importantes razones de tipo práctico para hacerlo. Las proposiciones matemáticas constitu­yen un sistema de descripción, un marco conceptual para represen­tarnos el mundo que no es único, ni absoluto, ni universal, ni eterno, ni inmutable, pero que es de tanta impiortanda y tanto valor en nues­tra forma de vida, que ésta sería prácticamente inconcebible, imposi­ble si pirescindiéramos de ellas.

9 9