grafos

1 Semestre A2005 Teora

Introduccin a la Teora de Grafos

1. Grafos. Conceptos fundamentales

Un grafo G es un par G = (V,E), donde V es un conjunto nito (vrtices,nodos) y E es un multiconjunto de pares no ordenados de vrtices, denotadospor {x, y}, que se denominan lados, aristas, etc. En este caso decimos que xy y son extremos de {x, y}. Denotamos V (G) por el conjunto de vrtices delgrafo G y por E(G) el conjunto de lados del grafo G. Adems (G) y (G)denotan el nmero de vrtices y el nmero de aristas de G respectivamente.Puesto que E es un multiconjunto es posible que existen pares repetidos,en este caso G tiene lados mltiples. Tambin es posible que algn par noordenado de E tenga el mismo vrtice repetido, en este caso decimos queel lado es un lazo (loop) o bucle . Cuando existen lados mltiples y/o lazosdecimos que G es un multigrafo. Si no hay lados mltiples ni lazos decimosque es un grafo simple. Un digrafo G es un par G = (V,E) donde V es unconjunto de vrtices y E es un multiconjunto de pares ordenados. Los ladosse denotan por pares ordenados, (u, v) denota el lado dirigido que tiene comovrtice inicial a u y como vrtice terminal a v.

A continuacin damos unas deniciones que provienen del libro de Matem-ticas Discreta y sus aplicaciones de Rosen [2]. Se deja al lector comparar lasdiferentes deniciones.

Definicin 1 Un grafo simple G(V,E) consta de V , un conjunto no va-co de vrtices, y de E, un conjunto de pares no ordenados de elementosdistintos de V . A esos pares se les llama aristas o lados.

Ejercicio 1 Muestre que si G es simple, entonces (2

).

En algunos casos lo grafos simples no bastan para modelar ciertas situacionesen las cuales se requiere de la existencia de mltiples aristas entre par devrtices. En este caso no es suciente denir las aristas como par de vrtices;la denicin de multigrafo es un poco ms complicada.

Definicin 2 Un multigrafo G(V,E) consta de un conjunto V de vertices,un conjunto E de aristas y una funcin f de E en {{u, v}|u, v V, u 6= v}. Sedice que las aristas e1, e2 son aristasmltiples o paralelas si f(e1) = f(e2).

Matemticas Discreta Prof. Jos Luis Chacn Grafos


Los multigrafos denidos no admiten bucles o lazos (aristas que conectanun vrtice consigo mismo). Usamos en este caso, pseudografos que son msgenerales que los multigrafos.

Definicin 3 Un pseudografo G(V,E) consta de un conjunto V de verti-ces, un conjunto E de aristas y una funcin f de E en {{u, v}|u, v V }. Sedice que una arista e es un bucle o lazo si f(e) = {u, u} = {u} para algnu V .La diferencia entre grafo y digrafo es que el ltimo tiene los lados dirigidosy se entiende como un grafo dirigido.

Definicin 4 Un grafo dirigido o digrafo G = (V,E) consta de un con-junto V de vertices, un conjunto E de aristas, que son pares ordenados deelementos de V .

Denimos los multigrafos dirigidos de la siguiente manera

Definicin 5 Un multigrafo dirigido G(V,E) consta de un conjunto V devertices, un conjunto E de aristas y una funcin f de E en {(u, v)|u, v V }.Se dice que las aristas e1, e2 son aristas mltiples o paralelas si f(e1) =f(e2).

b

b

b b

b

b

b b

Figura 1: Ejemplos de grafo y multigrafo dirigido.

1.1. Adyacencia de Vrtices, Incidencia de Aristas y

Grado de los Vrtices

Dos vertices u, v de un grafo G = (V,E) se dicen adyacentes si {u, v} E, asimismo dos aristas son adyacentes si tienen un mismo vrtice comoextremo; anlogamente si e = {u, v} decimos que el lado e es incidente alos vrtices u y v. El grado de un vrtice es el nmero de lados incidentes al. El grado de un vrtice u se denota gr(u). Denotamos con (G) y (G) elmnimo y el mximo grado de los vrtices de G respectivamente.



Ejercicio 2 Si G es un grafo simple, muestre que 1 donde es elnmero de vrtices de G.

En un digrafo distinguimos entre grado entrante (indegree) y grado saliente(outdegree) de u, el primero indica el nmero de lados que tienen al vrticeu como terminal y el segundo indica el nmero de lados que tiene al vrticeu como inicial, y se denotan gr(u) y gr+(u) respectivamente.

Teorema 1 Pruebe que en un grafo la suma de los grados de los vrtices esel doble del nmero de lados. Es decir, si G = (V,E) es el grafo, entonces

uV

gr(u) = 2|E|

Teorema 2 Si G = (V,E) es un digrafo, entoncesuV

gr(u) =uV

gr+(u) = |E|

Teorema 3 Pruebe que el nmero de vrtices de grado impar es par.

Ejercicio 3 Muestre que 2/ .

Ejercicio 4 El grafo arista de un grafo G es el grafo cuyo conjunto devrtices es E(G) en el cual dos vrtices son adyacentes si y slo si ellos sonaristas adyacentes en G. Muestre que, si G es simple el grafo arista de G

tiene (G) vrtices y

uV (G)

(gr(u)

2

)aristas.

1.2. Representaciones de los grafos

Sea G = (V,E) un grafo con vrtices y aristas, entonces le correspondeuna matriz denominada la matriz de incidencia de G. Si denotamoslos vrtices de G por v1, v2, . . . , v y las aristas por e1, e2, . . . , e. Entonces lamatriz de incidencia de G es la matrizM(G) = [mij] donde mij es el nmerode veces que la arista ej incide en el vrtice vi; los valores son 0,1 2 (2 enel caso que la arista sea un lazo).

Otra matriz asociada aG es la matriz de adyacencia, esta es una matriz A(G)[aij], en donde aij es el nmero de aristas que van de vi hasta vj.A continuacin damos un ejemplo de un grafo con su correspondiente matrizde incidencia y matriz de adyacencia.



b b

b b

v1 v2

v3v4

e5

e4

e3

e7

e1

e2

e6

G

v4

v3

v2

v1

e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7

1 1 0 0 1 0 1

1 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 1

0 0 0 1 1 2 0

M(G)

v4

v3

v2

v1

v1 v2 v3 v4

0 2 1 1

2 0 1 0

1 1 0 1

1 0 1 1

A(G)

Figura 2: Matriz de Incidencia y de Adyacencia de G

1.3. Caminos y Ciclos

En algunos textos, e.g Brualdi [1] se distingue entre cadenas (chains) ycaminos (path), usando el primer trmino para grafos y el segundo paradigrafos. Una sucesin alternada de vrtices y lados u1, e1, u2, e2, . . . , ek, uk+1tal que ei = [ui, ui+1] se denomina cadena en un grafo y camino en un digrafo.Los caminos deben realizarse de acuerdo a la direccin de los lados. Si noexisten lados multiples podemos denotar sin ambigedad la cadena comouna sucesin de vrtices (vrtices consecutivos adyacentes). Una cadena escerrada si el vrtice inicial y nal es el mismo. La cadena cerrada es un ciclosi todos los vrtices (excepto los extremos) son distintos. El camino cerradoes un circuito si todos los vrtices (excepto los extremos) son distintos.

Teorema 4 Si en un grafo G todos los vrtices tiene grado mayor a 1, pruebeque existe un ciclo.

Ejercicio 5 Muestre que si 2, entonces G contiene un ciclo.

Decimos que la cadena (camino) es simple si no hay vrtices repetidos en lasucesin. Decimos que la cadena (camino) es un recorrido (trayectoria) si notiene lados repetidos.

Ejercicio 6 Pruebe que todo camino simple es un recorrido. De un ejemploen un grafo de un recorrido que no es camino simple.

La longitud de una cadena (camino) es el nmero de lados que hay en l. Ladistancia entre dos vrtices distintos es igual a la longitud de la cadena mscorta entre ellos, si no hay camino entre ellos la distancia no est deniday la distancia es cero si los vrtices son iguales. El dimetro de un grafo esel mximo de las distancias entre cualesquiera par de vrtices. Una cadena(camino) = (v0, v1, . . . , vn) es cerrada(o) si v0 = vn

Ejercicio 7 Muestre que si G es simple y 2, entonces G contiene unciclo de longitud al menos + 1.



Teorema 5 Existe una cadena de u a v si y slo si existe un camino simplede u a v.

Ejercicio 8 Muestre que si G es simple y k, entonces G tiene un caminosimple de longitud k.

1.4. Grafos Etiquetados y Ponderados

Aunque ya hemos usado los grafos etiquetados, damos una denicin enesta seccin. Un grafo G es un grafo etiquetado si sus aristas y/o vrticestienen asignado alguna identicacin. En particular, G es un grafo pon-derado si a cada arista e de G se le asigna un nmero no negativo w(e)denominado peso o longitud de e. El peso (o longitud de un camino enun grafo ponderado G se dene como la suma de los pesos de las aristas delcamino. Un importante problema en teora de grafos es encontrar el caminoms corto (liviano), esto es, el camino con el peso (longitud) mnimo entredos vrtices dados.

Ejercicio 9 Encontrar los caminos ms cortos entre P y Q

b

b

b

b

b

b

b

bP

A1 A2 A3

A4 A5 A6

Q

3

4

22

6

3

4

3

6

7 2

1

4

2

b

b

b

b

b

b

b b

b b b

P Q

2

1

8

7

6

1

9

2

5

1

3

1

6

2

9

4

3

1

7

2

4

9



1.5. Tipos de Grafos

Hay varios tipos de grafos. En esta seccin consideramos tres tipos deellos, libre, completo, regular. Ms adelante estudiamos los grafos bipartitos.

Grafos LibresUn grafo G = (V,E) se dice libre si E = , es decir, si no tiene aristas.

Grados CompletosUn grafo simple G = (V,E) se dice completo si cada vrtice est conectadoa cualquier otro vrtice en G. El grafo completo con n vrtices se denota Kn.b

b b

K3

bb

b b

K4

Ejercicio 10 Un grafo completo con n vrtices tiene(n

2

)aristas.

Grafos RegularesUn grafo G = (V,E) es regular de grado k o k-regular si cada vrtice tienegrado k; es decir, un grafo es regular si todos los vrtices tienen el mismogrado.

bb

b b

b

b

b b

b

2-regulares

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

3-regulares

b

b

b

b

b

b

b

b

Ejercicio 11 Sea k impar. Pruebe que no existen grafos k-regulares con unnmero impar de vrtices



2. Isomorfismo de Grafos

Definicin 6 Los grafos G1 = (V1, E1) y G2 = (V2, E2) son isomorfos siexiste una funcin biyectiva f de V1 en V2 con la propiedad de que, para cadapar de vrtices u, v V1, u, v son adyacentes en G1 si y slo si f(u), f(v)son adyacentes en G2. Es decir {u, v} E1 {f(u), f(v)} E2. Si G1 yG2 son isomorfos lo denotamos G1 = G2.

Si dos grafos G1 y G2 son isomorfos, tienen el mismo nmero de vrtices, elmismo nmero de aristas, el mismo nmero de vrtices de cualquier grado,el mismo nmero de ciclos de cualquier longitud, etc. Esto nos provee dealgunos criterios para determinar si dos grafos no son isomorfos.

Ejercicio 12 Pruebe que los grafos G y H dados son isomorfos.

b

b

b

b

b

v4v1

v2

v3

v5

e1

e8

e4

e6

e2

e5 e3e7

G

b

b

b

b bv

c

b

yx

a g

w

e

d f

h

u

H

Figura 3: Diagramas de los grafos G y H

Ejercicio 13

1. Muestre que si G = H, entonces (G) = (H) y (G) = (H).2. De un ejemplo en el cual el recproco de la afirmacin anterior es falso.

3. Muestre que hay once grafos simples no isomorfos de cuatro vrtices.

4. Muestre que los siguientes grafos no son isomorfos



b

b

b

b b

G1

b

b

b

b b

G2

Figura 4: Diagramas de los grafos G1 y G2

Ejercicio 14 En los siguientes grafos diga si son isomorfos o no. Expliquesu respuesta

b

b

b

b

b

b

G1

b

b b

b

b b

G2

Figura 5: Diagramas de los grafos G1 y G2

Ejercicio 15 Muestre que los siguientes grafos son isomorfos

b

b

b

b b

b

b

b

b b

G1

b

b

b

b

b

b

b

b

bb

G2Figura 6: Diagramas de los grafos G1 y G2

2.1. Grafos complementarios

Dado un grafo simple G = (V,E) el grafo complementario denotado porGc es el grafo simple que tiene los mismos vrtices y el conjunto de aristas



son todas aquellas que le faltan a G para que sea completo. De manerams formal, si E = {{u, v}|u, v V, u 6= v} es el conjunto de todas lasaristas posibles y Ec = E \E denota el complemento respecto a E, entoncesGc = (V,Ec).

Ejemplo 1

bb

b b

G1

bb

b b

G2

Grafos complementarios

b

b

b b

b

H1

b

b

b b

b

H2

Grafos complementarios

Ejercicio 16

1. Describa los grafos Kcn y Kcn,m.

2. Hallar el grafo complementario de cada uno de los grafos 3-regularesdados arriba.

Definicin 7 Un grafo simple G se dice auto-complementario si G = Gc.

Ejercicio 17

1. Muestre que si G es auto-complementario, entonces 0, 1( mod 4).2. Hallar los grafos auto-complementarios con 4 y 5 vrtices.



2.2. Subgrafos

Sea G = (V,E) un grafo. Si H = (W,F ) es un grafo tal que W V yF E decimos que H es un subgrafo de G. Si F contiene todos los lados deE que unen a los puntos de W en G se dice que H es un subgrafo completode G generado por W . Si W = V decimos que H es un subgrafo extendidode G (spanning subgraph).

Ejemplo 2

b b b b

b

b

b b

b

b

G

v1v2

v3

v4

v5 v8

v6

v7

v9 v10b b b

b

b

b

b

b

G1

v2

v3

v4

v5 v8

v6

v7

v9

b b b b

b

b

b

b

G2

v1v2

v3

v4

v5 v8

v6

v7

b b b b

b

b

b b

b

b

G3

v1v2

v3

v4

v5 v8

v6

v7

v9 v10

Figura 7: Subgrafos de G

El grafo G1 es un subgrafo de G, el grafo G2 es un subgrafo completo deG y el grafo G3 es un subgrafo extendido de G.

2.3. Grafos Bipartitos

Definicin 8 Se dice que un grafo simple G = (V,E) es bipartito si elconjunto de vrtices V se puede dividir en dos conjuntos disjuntos V1, V2,(V1 V2 = V, V1 V2 = , de tal manera que toda arista e E conecta unvrtice de V1 con un vrtice de V2.

Esto signica que el subgrafo completo generado por V1 es libre de lados;asimismo el subgrafo completo generado por V2.



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

G1

b

b

b

b

b

b

G2

Figura 8: Grafos bipartitos

Ejemplo 3 Damos dos ejemplos de grafos bipartitos

Un subgrafo bipartito se dice completo si cada vrtice de V1 est conectadoa todos los vrtices de V2; si |V1| = n y |V2| = m este grafo se denota Km,n

b

b

b

b

b

K2,3

b

b

b b

b

b

K3,3

b

b

b

b

b

b

b

K2,4

Figura 9: Grafos bipartitos completos

2.4. Conexidad

Un grafo (multigrafo, digrafo) G es conexo si existe una cadena (camino)entre cualesquiera par de vrtices.

H es una componente conexa de G si H es un subgrafo conexo com-pleto maximal. Es decir no existe un subgrafo completo de G que contengapropiamente a H y sea conexo.

Denimos en G una relacin sobre los vrtices de esta manera: u = v siu = v, o existe una cadena que los une.



Pruebe que = es una relacin de equivalencia.Pruebe que cada clase de equivalencia es una componente conexa de G.

Denotamos el nmero de componentes conexas de G con (G).Sea G un grafo y v V (G) un vrtice de G, se dene G v como el

subgrafo de G que se obtiene al borrar el vrtice v del grafo G y todos loslados incidentes a v.

Definicin 9 Si G es un grafo simple no trivial, entonces v es un vrticede corte si y slo si (G v) > (G).

Sea G un grafo y e E(G) un lado de G, se dene Ge como el subgrafode G que se obtiene al borrar el lado e del grafo G. As V (G) = V (G e) yE(G e) = E(G) \ {e}.

Definicin 10 Un lado e de un grafo G se dice que es puente si G e tienems componentes conexas que G.

Ejercicio 18

Pruebe que si e es un puente, entonces (G e) = (G) + 1.Ejercicio 19 Hallar los puentes en el siguiente grafo

b b b

b

bb

b b

b

b b

bb

G

Teorema 6 Si G es conexo y e es un puente de G, pruebe que G e tienedos componentes conexas.

Ejercicio 20

1. Muestre que si G es simple y >(12

), entonces G es conexo.

Sugerencia: Use la identidad

(s+ t 1)(s+ t 2) = s(s 1) + t(t 1) + 2(s 1)(t 1)



2. Para > 1, encuentre un grafo simple disconexo G con =(12

)Ejercicio 21

1. Muestre que si G es simple y > [/2] 1, entonces G es conexo.2. Encuentre un grafo simple [/2] 1-regular disconexo para par.

Ejercicio 22 Muestre que si G es disconexo, entonces Gc es conexo.

Un multigrafo se dice que se puede recorrer si se puede dibujar sin roturas(levantar el lpiz) y usando cada lado exactamente una vez, es decir hay unacadena que pasa por todos los vrtices y por todos los lados exactamente unavez. Esta cadena la denominamos un recorrido total.

Teorema 7 Suponga que G se puede recorrer y que es un recorrido totalque no empieza ni termina en el vrtice u. Pruebe que el grado de u es par.

Un grafo (multigrafo) es euleriano si existe un recorrido total cerrado.

Teorema 8 Un grafo finito conexo es euleriano si y slo si cada vrtice tienegrado par.

Pruebe que cualquier grafo conexo nito con dos vrtices de grado impartiene un recorrido total.

3. Grafos Planares

Decimos que un grafo G es planar si se puede dibujar en el plano sin quelos lados se crucen fuera de sus extremos. Las regiones en una representacinde un grafo planar, estn limitadas por los lados. Dos puntos se encuentranen la misma regin si existe una linea continua que los une sin cruzar ningnlado o vrtice. El grado de una regin es el nmero de lados que son fronterade dicha regin; cuando un lado pertenece por completo a una regin estelado aporta 2 al grado de la regin

Teorema 9 (Euler) Si G es un grafo planar conexo, entonces cualquierrepresentacin planar de G tiene r = ev+2 regiones donde e es el nmerode lados y v el nmero de vrtices.

Ejemplo 4

En este grafo G, el nmero de vrtices v es 8, el nmero de aristas e es 13y el nmero de regiones r es 7 y se verica la frmula de Euler para grafosplanares conexos,

Teorema 10 Si G es planar conexo con v 3, entonces e 3v 6



b b

b

bb

b b

b

G

Definicin 11 Sea G un grafo, y u, v dos de sus vrtices que forman arista.Entonces, una subdivisin elemental del grafo G es el grafo G que es elgrafo G al que se le aade un vrtice w, se le quita la arista {u, v}, y se leaaden dos aristas, una la {u,w}, y otra la {w, v}. Es como sustituir unade sus aristas por un vrtice unido a los vrtices que antes eran extremos deesa arista. Una subdivisin de G es el grafo despus de hacer un nmerofinito (incluso 0) de subdivisiones elementales sucesivas.

Teorema 11 (Kuratowski) Un grafo G es planar si y slo si no tiene sub-grafos isomorfos a una subdivisin de K5 o de K3,3.

4. rboles

Un rbol T es un grafo en el cual cada par de vrtices distintos esta unidospor una nica cadena simple.

Ejemplo 5

b b b b

b

b

b b

b

b

b

b

b

b

T1

b b b

b b b

b b b

T2

Figura 10: T1 y T2 rboles

Definicin 12 Sea G un grafo, decimos que T es un rbol extendido (span-ning tree) de G si es un subgrafo extendido (spanning subgraph) que es unrbol.



Ejemplo 6

b b b

b b b

b

b

G

b b b

b b b

b

b

T1

b b b

b b b

b

b

T2

Figura 11: Algunos rboles extendidos de G

Ejercicio 23

1. Encuentre los rboles extendidos del grafo dado arriba.

2. Encuentre todos los rboles no isomorfos de cuatro vrtices.

3. Encuentre todos los rboles no isomorfos de cinco vrtices.

4. Encuentre todos los rboles no isomorfos de seis vrtices.

Teorema 12 G es conexo si y slo si existe un rbol extendido de G. Losrboles extendidos se obtiene borrando sucesivamente lados que formen ciclos.Al realizar este procedimiento rompiendo los ciclos que existen en G se llegaa un rbol extendido.

Hay una frmula recursiva simple y elegante para hallar el nmero derboles extendidos de un grafo G. Tenemos que usar una operacin sobre losgrafos que es la contraccin de un lado, la cual denimos a continuacin.Un lado e de G se dice que es contrado si el es borrado y los extremosson identicados; el grafo resultante se denota por G e. Ilustramos con unejemplo esta operacin

Ejemplo 7

b b

b b

b

e1 e2 e3

e4

e5

e6 e7

G

b

b b

b

e1

e4e3

e5e6 e7

G e2

b

b b

b

e1 e2e3

e5

e6 e7

G e4

b b

b

b

e1e2

e3

e4

e6 e7

G e5



Si e es un lado de G, entonces:

(G e) = (G) 1 (G e) = (G) 1 (G e) = (G)

Vericarlo.Concluir que si T es un rbol y e es un lado del rbol, entonces T e es unrbol.Denotaremos el nmero de rboles extendidos de G por (G).

Teorema 13 Si e es un lado de G, entonces (G) = (G e) + (G e)Prueba. Mostramos un esbozo de la prueba. Primero observe que podemosdividir los rboles extendidos de G en dos conjuntos disjuntos: los que tienenel lado e y los que no tienen el lado e. Existe una correspondencia biyectivaentre los rboles que contienen el lado e y los rboles extendidos del grafoG e (la biyeccin es T T e). Mientras que todo rbol extendido de Gque no contiene e es un rbol extendido de G e. Usamos el principio de lasuma.

Ejercicio 24

1. Un grafo G es un rbol si y slo si es conexo y sin ciclos.

2. G es un rbol si y slo si es conexo y todos sus lados son puentes.

3. Si G es un rbol existen al menos un vrtices colgantes (de grado uno).

4. Si T es un rbol de n vrtices, entonces el nmero de lados es n 1.5. Si G es un rbol existen al menos dos vrtices colgantes (de grado uno).

6. Un bosque es un grafo donde cada componente conexa es un rbol. Siun bosque tiene n vrtices y k componentes Cuntos lados tiene?

7. Si G tiene n vrtices, n 1 lados y es conexo, entonces es un rbol.8. Si G tiene n vrtices, n1 lados y no tiene ciclos, entonces es un rbol.

Teorema 14 Un vrtice v de un rbol T es un vrtice de corte de T si yslo si gr(v) > 1.

Prueba. Si gr(v) = 0, entonces T = K1 y es el grafo trivial y no es vrticesde corte por la denicin 9. Si gr(v) = 1, entonces T v no tiene ciclos ytiene (T ) 2 aristas ya que tena originalmente (T ) 1 aristas (por serrbol) y se borr la arista incidente al vrtice v. Pero (T v) = (T ) 1,por lo tanto tiene (T v) 1 aristas; y del resultado anterior se tiene queT v es un rbol y por lo tanto conexo. Es decir (T ) = (T v) y enconsecuencia v no es vrtice de corte de T .



Si gr(v) > 1, existen dos vrtices distintos u,w adyacentes a u. El caminouvw es un camino entre u y w en T . Puesto que existe un slo camino simpleentre u y w, se sigue que no hay camino entre u y w en el grafo T v. Porlo tanto u y w se encuentran en diferentes componentes conexas, es decir,(T v) > (T ).Corolario 1 Todo grafo simple conexo tiene al menos dos vrtices que noson vrtices de corte.

Prueba. Sea G un grafo simple conexo. Por el teorema 12 existe un rbolextendido T ; como T tiene al menos dos vrtices de grado 1, por el teoremaanterior, estos vrtices no son de corte. Sea v uno de esos vrtices, entonces

(T v) = 1Puesto que T es un rbol extendido de G, T v es un rbol extendido deG e y en consecuencia

(G e) (T e)Se sigue que (G e) = 1, y de este modo v no es vrtice de corte de G.Puesto que hay al menos dos vrtices de este tipo la prueba termina.

Teorema 15 (Cayley 1889) Existen nn2 rboles etiquetados distintos den vrtices (cada vrtice con una etiqueta distinta).

Prueba. Damos una prueba debida a Prfer (1918).Prfer establece una biyeccin entre los rboles etiquetados de n vrtices

y unos cdigos que denominamos cdigos de Prfer. Dado un rbol etique-tado V (T ) = {1, 2, 3, . . . , n} construimos el cdigo de Prfer asociado de lasiguiente manera: sea T1 := T y b1 el vrtice de grado 1 con el valor mnimoen su etiqueta de T1 y a1 el vrtice adyacente, sea T2 el rbol que se obtieneal borrar el vrtice b1 y el lado {a1, b1}. Repetimos el procedimiento sobreT2, de esta manera obtenemos [a1, a2, , an2] el cual es el cdigo del rbolT . Como un ejemplo sea Los vrtices de grado 1 son 2, 4, 5, 6, 7, 9 y el de

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

4

5 3 10

2 1

9

8

6

7

T := T1

b

b

b

b

b

b

b

b

b

4

5 3 10

1

9

8

6

7

T2

menor valor es 2. De este modo el primer valor del cdigo es 10 que es laetiqueta del vrtice que es adyacente al vrtice 2 y obtenemos el rbol T2 aleliminar este vrtice y su lado. En el siguiente el vrtice de grado 1 con elmenor valor es 4 y su vrtice adyacente es el 3 que es el siguiente valor en el



b

b

b

b

b

b

b

b

5 3 10

1

9

8

6

7

T3

b

b

b

b

b

b

b

3 10

1

9

8

6

7

T4

b

b

b

b

b

b

10

1

9

8

6

7

T5

b

b

b

b

b

10

1

9

87

T6

b

b

b

b

10

1

9

8

T7

b

b

b

10

1

9

T8

b

b

10

1

T9

cdigo; obtenemos el rbol T3 al borrar el vrtice 4 y su lado etc. El cdigoque se obtiene a travs de este proceso es [10, 3, 3, 10, 8, 8, 10, 1].

Existe una biyeccin entre los rboles con vrtices V (T ) = {1, 2, 3, . . . , n}y cdigos de la forma A = [a1, a2, . . . , an2] donde ai {1, 2, 3, . . . , n}. Damosla manera de obtener un rbol a travs de un cdigo dado; el asunto consisteen construir los lados. Puesto que [n] \ [a1, a2, . . . , an2] 6= , procedemos aconstruir los lados de manera inductiva: sea b1 = mn{[n]\ [a1, a2, . . . , an2]},entonces {a1, b1} es un lado del rbol T correspondiente al cdigo A; seab2 = mn{[n]\ ([a2, a3 . . . , an2]{b1}}, el lado que se obtiene en este paso es{a2, b2}, en el paso i bi = mn{[n]\ ([ai, . . . , an2]{b1, . . . , bi1}}, se obtieneel lado {ai, bi} hasta que slo quedan dos vrtices que son adyacentes, yeste es el ltimo lado. Damos un ejemplo de como obtener un rbol pormedio de su cdigo de Prfer. Sea V (T ) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y el cdigoA = [3, 3, 1, 8, 8, 5, 3]

[9] \ A = {2, 4, 6, 7, 9}. El primer lado es {3, 2}.[9] \ [3, 1, 8, 8, 5, 3] {2} = {4, 6, 7, 9}. El lado es {3, 4}.[9] \ [1, 8, 8, 5, 3] {2, 4} = {6, 7, 9}. El lado es {1, 6}.[9] \ [8, 8, 5, 3] {2, 4, 6} = {1, 7, 9}. El lado es {8, 1}.[9] \ [8, 5, 3] {1, 2, 4, 6} = {7, 9}. El lado es {8, 7}.[9] \ [5, 3] {1, 2, 4, 6, 7} = {8, 9}. El lado es {5, 8}.[9] \ [3] {1, 2, 4, 6, 7, 8} = {5, 9}. El lado es {3, 5}.[9] \ {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8} = {3, 9}. El lado es {3, 9}.Luego el grafo correspondiente al cdigo A = [3, 3, 1, 8, 8, 5, 3] es: Puesto

que hay una biyeccin entre los rboles etiquetados con n vrtices y loscdigos [a1, a2, . . . , an2], donde ai [n]; y el nmero de cdigos posibles esnn2 (el nmero de funciones de [n 2] en [n]), se concluye que hay nn2rboles etiquetados con n vrtices.

Igualmente este nmero es el nmero de rboles extendidos de Kn.



b

b

b

b

b

b

b

b

b

4

93 5

2

8

16

7

T

5. Coloracin de Grafos

Tenemos un grafo G y un conjunto de colores C = {a, b, . . . }. Una co-loracin de G con los colores de C es una asignacin a los vrtices de G deelementos de C (" colores") de manera que los extremos de cada arista reci-ban colores distintos. Formalmente, una coloracin de G con colores de C esuna aplicacin

: V (G) Ctal que si {v, w} E(G) entonces (v) 6= (w) Observacin. En algunoslibros estas coloraciones se denominan coloraciones admisibles; aqu, porcomodidad, las denominamos coloraciones.

Definicin 13 El nmero cromtico de un grafo G, (G), es el nmeromnimo de colores necesario para colorear G.

Algunas observaciones inmediatas sobre el nmero cromtico son las siguien-tes:

1. Para todo grafo G, (G) |V | , porque siempre podremos colorearcon |V | colores, asignando a cada vrtice un color distinto. sta es,obviamente, la forma menos efectiva de colorear.

2. Si el grafo contiene al menos una arista, necesitaremos dos colores comomnimo; es decir, si |A| 1, entonces (G) 2.

3. Si G contiene a G como subgrafo, entonces

(G) (G)

4. Si G tiene k componentes conexas, G1, G2, . . . , Gk que tienen nmeroscromticos (G1), (G2), . . . , (Gk) respectivamente, entonces

(G) = max1ik

{(Gi)}

5. Si G y G son isomorfos, entonces (G) = (G).

Ejemplo 8



b b b b b b b b

Figura 12: Grafo lineal L9

El grafo lineal de n vrtices que denotamos Ln tiene nmero cromtico 2, esdecir (Ln) = 2 Procedemos a dar una demostracin por induccin. Puestoque para n 2 hay por lo menos una arista, se tiene por las observacionesdadas que (Ln) 2. L2 tiene como nmero cromtico 2. Su pongamos quepara todo k < n se verica (Lk) = 2. Sea e E(Ln) y sea Ln e elsubgrafo de Ln que se obtiene al borrar el lado e, el subgrafo Ln e tienedos componentes conexas que son grafos lineales Ls y Lt tal que s + t = ny 1 s, t < n; por hiptesis inductiva Ls y Lt verican (Ls) = (Lt) = 2.Si u y v son los extremos de e, entonces u y v pertenecen a componentesconexas distintas y ambos tienen grado 1. Usemos dos colores para colorearambas componentes conexas Ls y Lt tal que u y v tengan colores distintos(esto siempre es posible); luego al agregar el lado e se obtiene una coloracinde Ln.

Este argumento se puede usar para probar que todo rbol tiene nmerocromtico 2, es decir, (Tn) = 2 siendo Tn un rbol de n vrtices. Hacerlo!

Consideremos los ciclos Cn que son todos los grafos isomorfos al grafo quetiene V = {v1, v2, . . . , vn} como vrtices y el conjunto de aristas es

E = {{vi, vi+1}|i = 1, . . . , n 1} {vn, v1}}

Observe que se e es una arista de Cn entonces Cn e = Ln y si v1, vn son los

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 13: Ciclos C9 y C12

vrtices de grado 1 de Ln entonces el grafo que se obtiene de Ln al agregar ellado {v1, vn} es (isomorfo a) Cn; adems si se tiene una 2-coloracin de Ln yn es par entonces los 2 vrtices de grado 1 tienen colores distintos y si n esimpar estos tienen la misma coloracin. Probarlo! Por lo tanto si n es par yLn tiene una 2-coloracin podemos agregar un lado que unan los vrtices degrado 1 y se obtiene una 2-coloracin de Cn. Esto es imposible si n es impar.Por esta razn son necesarios tres colores para colorear Cn si n es impar. En



conclusin

(Cn) =

{2 si n es par

3 si n es impar

Si G1 y G2 son grafos simples, denimos el grafo G1 G2 como el grafosimple que se obtiene de G1 y G2 agregando todos los lados posibles entrelos vrtices de G1 y los vrtices de G2. De manera ms formal: G1G2 es elgrafo simple tal que

V (G1 G2) = V (G1) V (G2)

y

E(G1 G2) = E(G1) E(G2)

{{u, v}|u G1, v G2}donde

denota la unin disjunta.El grafo rueda Rn se dene Rn = Cn K1 donde K1 es el grafo simple

con un vrtice

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 14: Grafo rueda R8

Vericar

(Rn) =

{3 si n es par

4 si n es impar

5.1. Relaciones con listas y particiones en bloques

Una coloracin de un grafo G es equivalente a una lista con ciertas res-tricciones. Supongamos que V (G) = {v1, v2, , vn}, entonces una coloracinusando los k colores C = {a1, a2, . . . , ak} es una lista (n-upla) con repeticin(ai1 , ai2 , . . . , ain) tal que si vs y vt son adyacentes entonces ais 6= ait .

Dada una coloracin : V (G) C denimos la relacin entre los vrticesde G de la siguiente manera: u v si (u) = (v), es decir, dos vrtices estnrelacionados si tienen el mismo color. Esta es una relacin de equivalencia(Vericarlo!). Esta relacin induce una particin sobre el conjunto V (G)



cuyos bloques son las clases de equivalencia. Cada bloque est constituidopor vrtices que tienen el mismo color. Es importante notar que los vrticesque estn relacionados no son adyacentes; si dos vrtices son adyacentes seencuentran en bloques distintos.

Recprocamente, si particionamos el conjunto de vrtices de un grafo Gde tal manera que vrtices adyacentes se encuentran en bloques distintos,entonces esta particin induce una coloracin de los vrtices de G. Se colo-rean los vrtices del mismo bloque con un mismo color y bloques distintoscon colores distintos. Estas observaciones son tiles para resolver problemas.Como ejemplo, recordemos los grafos bipartitos. El conjunto de vrtices sepuede particionar en dos conjuntos V1(G) y V2(G) de tal manera que vrti-ces adyacentes se encuentran en conjuntos distintos, as es posible usar doscolores para colorear los vrtices de dicho grafo. A los vrtices de V1(G) seles asigna un color y a los vrtices de V2(G) se les asigna otro color, y resultauna coloracin de G.

5.2. Algoritmo austero para colorear

Damos un procedimiento para colorear los vrtices de un grafo siguiendoun orden impuesto a los vrtices, usando la menor cantidad de colores posi-bles. Supongamos que C = {c1, c2, . . . } es el conjunto de colores; procedemosa describir el algoritmo que denominamos algoritmo austero1 y consta delos siguientes pasos:

Paso inicial. Ordenamos los vrtices del grafo. Es importante notarque la eciencia del algoritmo depende del orden que elijamos. Hacemosuna lista de los vrtices del grafo

(v1, v2, . . . , vn)

Primer paso. Le asignamos el primer color c1 al vrtice v1.

Segundo paso. Procedemos a asignar un color al vrtice v2 as: si esadyacente al vrtice v1 le asignamos el siguiente color c2, en otro casole asignamos c1

k-simo paso. Para colorear el vrtice vk buscamos todos los vrticesdel conjunto {v1, v2, . . . , vk1} que son adyacentes a vk y determinamoslos colores que han sido usados en sus coloraciones; luego usamos elprimero disponible en el orden de C que no haya sido usado en lacoloracin de los vrtices adyacentes a vk.

1En la literatura anglosajona se denomina greedy algorithm, que se podra traducir

por algoritmo voraz, acaparador, avaricioso. . . Esta traduccin trata de captar la filosofa

del algoritmo, que supone elegir, en cada paso, la opcin ms econmica, hasta conseguir

la coloracin completa.



Ejemplo 9 Consideremos el siguiente grafo con los vrtices ordenados yC = {a, b, c, . . . }

b b b b

bbb

v1 v2

v3

v4

v5v6 v7

Usamos el algoritmo austero para asignar los colores:Al vrtice v1 le asignamos el colora a; puesto que el vrtice v2 es adyacente av1 le asignamos el color b; el vrtice v3 es adyacente a v2 pero no es adyacentea v1, de este modo le asignamos el color a; v4 es adyacente a v2 y v3, luegole asignamos el color c; v5 le corresponde a; v6 le corresponde b y a v7 lecorresponde b.

La coloracin correspondiente siguiendo el algoritmo austero es

b b b b

bbb

a b

a

c

ab b

El nmero de colores usado es tres el cual es su nmero cromtico. Nosiempre este algoritmo nos da una coloracin donde el nmero de colores esigual al nmero cromtico. Damos un ejemplo.

Ejemplo 10 Consideremos el grafo del cubo Q3

b b

bb

b b

bb

1

23

4

5

6 7

8

b b

bb

b b

bb

a

ab

b

c

c d

d

4 colores



b b

bb

b b

bb

1

28

5

6

3 4

7

b b

bb

b b

bb

a

ac

b

c

b c

b

3 colores

b b

bb

b b

bb

1

53

7

6

2 4

8

b b

bb

b b

bb

a

ba

b

a

b a

b

2 colores

Esta ltima coloracin es la mejor. Hay dos cosas importantes, las coloracio-nes dependen del orden en que se elijan los vrtices. La otra que no es tanevidente es que podemos determinar la peor coloracin segn (G) que es elmximo grado de los vrtices de G. En el paso k del algoritmo lo peor quepuede pasar es que todos los vrtices adyacentes a vk ya han sido coloreadoscon distintos colores, es decir, ya han sido usados gr(vk) colores y para co-lorear vk necesitamos gr(vk) + 1 colores. Podemos concluir que usando estealgoritmo para colorear G el mximo nmero de colores no es mayor que(G) + 1. Resumimos en:

Proposicin 1 Sea G un grafo y (G) el mximo de los grados de los vr-tices de G, entonces el algoritmo austero usa a lo sumo (G) + 1 colores.Por lo tanto

(G) (G) + 1Para conseguir un orden ptimo de los vrtices para aplicar el algoritmoveamos la siguiente:Observacin. El nmero de colores prohibidos en el paso k es el nmero decolores usados por los vrtices vecinos y anteriores:

#{colores prohibidos} mn{#vecinos,# anteriores} = mn{#vecinos,k 1}Un buen orden debe minimizar los colores prohibidos: se deben colocar losvrtices de mayor orden al principio. De todas maneras no hay un criterioestablecido para construir dicho orden.

Proposicin 2 Si G es un grafo conexo con mayor grado (G), pero en elque existe al menos un vrtice u tal que gr(u) < (G), entonces

(G) < (G) + 1



Prueba. Damos una idea de la prueba y se deja al lector completarlos detalles. El vrtice u lo colocamos ltimo en el orden, es decir, u =vn si G tiene n vrtices; si gr(u) = s < (G) los vrtices adyacentes a ulos enumeramos {vns, vns1, . . . , vn1} luego consideramos los adyacentesa vn1 que no han sido ordenados, y los de vn2 y as hasta ordenarlos todos.Por ser G conexo, podemos ordenarlos todos. Todos los vrtices tienen unvrtice adyacente posterior (con subndice mayor) excepto el vrtice u. Luegoel nmero de vrtices adyacentes con subndice menor es menor que (G),y usando el algoritmo austero, en cada paso hay a lo sumo (G) 1 coloresprohibidos. Para u el nmero de vrtices adyacentes es menor que (G). Encada paso hay a lo sumo (G) 1 colores prohibidos, por lo tanto se puedecolorear con (G) colores.

Los siguientes ejercicios nos permitirn familiarizarnos con las particionesdel conjunto de vrtices correspondientes a coloraciones

Ejercicio 25

1. Probar que en cualquier grafo G existe un orden sobre los vrtices talque el algoritmo austero de coloracin usa (G) colores.Sugerencia. Halle una particin de los vrtices en (G) bloques yproceda a ordenar los vrtices.

2. Pruebe que si G es un grafo con n vrtices tal que todos sus vrticestienen grado k, entonces

(G) nn k

Sugerencia. Halle una particin de los vrtices en (G) bloques ydetermine cul es el mayor nmero de vrtices posibles en cada bloque.

3. Pruebe que (G) ((G)2

).

Sugerencia. Halle una particin de los vrtices en (G) bloques ydemuestre que para cada par de bloques existe sendos vrtices que sonadyacentes.

Ejercicio 26 Sea n el numero de vrtices de G:

1. Probar que (G)(Gc) n.Sugerencia. Sean {a1, a2, . . . , an} y {b1, b2, . . . , bn} coloraciones de Gy Gc respectivamente, donde ai es el color correspondiente al vrtice vien el grafo G y bi es el color correspondiente al vrtice vi en el grafo Gc.Pruebe que {(a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn)} es una coloracin del grafoKn.

2. Probar que (G) + (Gc) n+ 1.Sugerencia. Trate el caso extremo en el cual un bloque tiene el mximoposible de elementos, es decir, el resto de los bloques tiene el mnimode elementos.



3. Probar que (G) + (Gc) 2n.Sugerencia. Trate el caso extremo en el cual los bloques tiene la dis-tribucin ms uniforme.

Ejercicio 27 Hallar el nmero cromtico de los siguientes grafos:

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b b bb

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

6. Ciclos de Hamilton

En la seccin 2.4 tratamos el problema de los caminos y ciclos de Eu-ler. En esta seccin damos una breve introduccin a los caminos y ciclosHamiltonianos.

Un camino simple que contiene cada vrtice de G se denomina caminoHamiltoniano de G; anlogamente, un ciclo Hamiltoniano de G es unciclo que contiene todos los vrtices de G. Tales caminos y ciclos son asllamados despus que Hamilton (1856) describi, en una carta a su amigoGraves, un juego matemtico sobre el dodecaedro en el cual una personacoloca cinco alleres en cinco vrtices consecutivos y a otra se le exige com-pletar un camino simple hasta completar un ciclo. Un grafo es hamiltoniano

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

(a)

b

b

b

b

bb

b b

b bb

(b)

Figura 15: (a) El Dodecaedro; (b) El grafo Herschel

si contiene un ciclo Hamiltoniano. El dodecaedro es hamiltoniano; el grafo deHerschel no es hamiltoniano porque es bipartito y tienen un nmero imparde vrtices.



Lema 1 Sea Cn un ciclo con n vrtices y sea S un subconjunto propio delconjunto de vrtices de Cn. Entonces (Cn S) |S|.Prueba. Realizamos una prueba por induccin. Si S = {v} es un vrtice setiene que Cn v = Ln1 donde Ln es el grafo lineal con n vrtices, y por lotanto (Cn v) = 1 = |S|; supongamos que la armacin vale para |S| = k.El grafo (Cn S) consta de componentes conexas que son grafos lineales;sea v un vrtice de Cn tal que v / S, procedemos a eliminar v y analizamoslos casos: si es de grado 1 el nmero de componentes conexas permanece(ver demostracin del teorema 14), si el vrtice tiene grado 0 el nmero decomponentes conexas disminuye en 1 y si el vrtice es de grado 2 el nmero decomponentes conexas aumenta en uno; es decir (CnSv) (CnS)+1.por hiptesis inductiva (Cn S) |S|, en consecuencia

(Cn (S {v})) (Cn S) + 1 |S|+ 1 = |S {v}|Presentamos una condicin necesaria simple, pero til:

Teorema 16 Si G es hamiltoniano, para cada subconjunto propio no vacoS de V

(G S) |S|Prueba. Supongamos que G es hamiltoniano con n vrtices, entonces contie-ne un ciclo Cn. Puesto que V (GS) = V (CnS) y E(CnS) E(GS)se tiene

(G S) (Cn S)Se aplica el lema anterior y se obtiene el resultado.

El teorema 16 se puede aplicar en algunos casos para determinar cuan-do un grafo no es hamiltoniano. Por ejemplo el grafo dado, al eliminar los

l

b

b

l

b

b

l

b

b

Figura 16:

vrtices resaltados que son tres, se obtienen cuatro componentes conexas; deeste modo el teorema nos asegura que no es hamiltoniano. Sin embargo, estemtodo no siempre funciona; por ejemplo, el grafo de Peterson no es hamil-toniano, pero eso no se puede deducir del teorema 16. Veremos una condicin



b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

Figura 17: Grafo de Peterson

suciente para que un grafo sea hamiltoniano; puesto que un grafo es hamil-toniano si y slo si existe un subgrafo grafo simple que es hamiltoniano, essuciente tratar con grafos simples. Tenemos un resultado de Dirac (1952).

Teorema 17 (Dirac(1952)) Si G es un grafo simple con 3 y /2,entonces G es hamiltoniano.

Por contradiccin. Supongamos que el teorema es falso, y sea G un grafosimple maximal no hamiltoniano con 3 y /2. Puesto que 3 Gno es completo. Sean u, v vrtices no adyacentes en G. Por ser G maximal setiene que G + e con e = {u, v} es hamiltoniano. Adems, puesto que G noes hamiltoniano, cada ciclo de Hamilton de G + e debe contener el lado e.Entonces existe un camino de Hamilton v1v2 . . . v en G con origen en u = v1y nal en v . Denamos

S = {vi|{u, vi+1} E} y T = {vi|{vi, v} E}

v = v / T porque no hay lazos y v = v / S pues v+1 no existe es elmximo subndice. De este modo

|S T | < (1)

AdemsS T = (2)

ya que si S T contiene un vrtice vi, i = 2, . . . , 1, entonces existe unciclo de Hamilton v1v2 . . . vivv1 . . . vi+1v1 Usando (1) y (2) tenemos

gr(u) + gr(v) = |S|+ |T | <

Contradiccin con /2.Bondy y Chvtal (1974) observaron que la prueba del teorema 17 pue-

de ser modicada para obtener una condicin suciente ms fuerte que laobtenida por Dirac.



b b b b b b b

v1 v2 v3 vi vi+1 v1 vFigura 18:

Corolario 2 Sea G un grafo simple y sean u y v vrtices no adyacentes enG tales que

gr(u) + gr(v) (3)Entonces G es hamiltoniano si y slo si G+ {u, v} es hamiltoniano.Un teorema debido a Ore tiene como corolarios el teorema de Dirac y elcorolario de Bondy y Chvtal.

Teorema 18 (Ore(1960)) Suponga que G es un grafo simple con 3 ypara cada par de vrtices u 6= v que no son adyacentes, se verifica que

gr(u) + gr(v) Entonces G es hamiltoniano.

La prueba es similar a la dada en el teorema de Dirac.

Referencias

[1] Richard A. Brualdi. Introductory Combinatorics Elsevier North-Holland, 1977.

[2] Kenneth H. Rosen. Matemtica Discreta y sus aplicacionesMcGraw-Hill, Quinta Edicin. 2004.

[3] J.A.Bundy U.S.R.Murty.Graph Theory with Applications North-Holland, 1976.

[4] Fred S. Roberts.Applied Combinatorics Prentice-Hall, 1984.

[5] S. Lipschutz M. Lipson Discrete Mathematics. Schaums OutlineSeries. McGraw-Hill, 1997.

[6] Pablo Fernndez Gallardo y Jos Luis Fernndez Prez. Notas de Ma-temtica Discreta. Universidad Autnoma de Madrid. Versin Pre-liminar. Capitulo 8b. 2003


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