GRAFICAS DE COMPUTADORA CON JAVA...de computo, desde la implementación de placas madre con buses...

Gráficas e imágenes con Java

INTRODUCCION A LAS GRAFICAS DE COMPUTADORA CON JAVA

PROLOGO:

Hoy día las gráficas por computadora están presentes en prácticamente toda actividad humana en la que se haga transferencia de información, por ejemplo, reportes meteorológicos, reportes sobre el estado de la bolsa de valores, análisis de jugadas importantes en el futbol por televisión, impresiones de dibujos sobre todo tipo de materiales, anuncios publicitarios, estudios de encuestas políticas y de mercadotecnia, análisis de imágenes en medicina, observaciones celestes en astronomía. Desde luego las gráficas por computadora también se encuentran en el ocio, por ejemplo en los reportes estadísticos en sitios de apuestas, los muy populares juegos de computadora y de la misma Internet. Sin Embargo vale la pena detenernos un poco, con el fin de estudiar los elementos que sirven de pilares para la graficación por computadora, el software, los dispositivos electrónicos para despliegue de imágenes y desde luego los fundamentos matemáticos y físicos, que existen debajo de cada gráfica por sencilla que esta pueda parecernos.

La presente obra tiene su origen en el aula universitaria y se distingue de otros libros relacionados con el tema, en el sentido de que una vez expuesto el fundamento matemático, rápidamente se presenta una batería de ejemplos resueltos, otros propuestos y se proporciona un enlace al lenguaje de programación JAVA que tiene un amplísimo soporte multiplataforma. Por ejemplo para la representación de objetos de tres dimensiones, JAVA cuenta un conjunto de servicios de 3D, con implementaciones sobre OpenGL y DirectX, por lo que podemos asegurar una amplia cobertura de plataformas en el ámbito de gráficos de objetos 3D.

El libro lo hemos orientado a un espectro de personas que se relacionan con las gráficas por computadora en un ambiente universitario pero también en uno industrial y comercial ya que presenta muchas prácticas y ejemplos de programación a lo largo de la obra. Así que tanto si nuestro amable lector trabaja ya en la industria, en el comercio, en hospitales o centros de investigación, encontrará una diversidad de problemas y aplicaciones en varios campos del conocimiento. Los requisitos previos para sacarle jugo a la presente obra son sencillos; conocimientos básicos de programación, en particular lo esencial de la programación en JAVA, una base matemática y física universitaria. Ahora teniendo en cuenta que en el presente libro se desarrollan los principios fundamentales de los gráficos en computadora, un lector comprometido en el tema, con sólo el nivel de bachillerato puede ampliamente seguir todo el libro y sacarle provecho.

Algunos elementos de gráficas por computadora tienen sus raíces en la Inteligencia Artificial, por lo que sería posible que el presente texto pudiera ser usado como apoyo o referencia en estudios prácticos en visión artificial y robótica. Por ejemplo el tema de las figuras de Bresenham y sus conclusiones, repercute directamente en el área del reconocimiento de figuras geométricas en la visión artificial o visión por computadora; lo que termina llevándonos a un aspecto importante de la robótica, como el “visual servoing”.

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El libro está seccionado en 4 partes; cada una de ellas está conectada por una batería de problemas y aplicaciones que unen los conceptos que soportan cada parte.

1.- La tecnología y los circuitos para la graficación por computadora.2.- Los fundamentos de las graficas en dos dimensiones y JAVA 2D.3.- Graficas de objetos 3D y la API de JAVA 3D.4.- Tratamiento y filtrado de imágenes.

Los objetivos de esta obra son:• Introducir al estudiante/lector en el mundo de las graficas por computadora.• Presentar a JAVA como una lanzadera de programación de aplicaciones

gráficas en diversas áreas de la Ciencia.• Proponer al lector la innovación de soluciones gráficas auxiliándose en el gran

pilar de las matemáticas.

La graficación es la acción de representar información en términos de figuras geométricas, colores y la animación de estos. Así pues la graficación por computadora ha explotado dentro de la Ciencia en diversas formas de acuerdo al campo de aplicación.

De hecho los objetivos de la graficación se han ampliado gracias al uso de la computadora con modernos y poderosos microprocesadores.

• Información visual de datos• Interfaz próxima-humana• Educación-capacitación• Entretenimiento y publicidad• Investigación {básica, avanzada y de aplicación}

Aunque recordemos que hace 40 años la graficación por computadora se hacía por medio del dispositivo de salida tradicional por excelencia...."el teletipo". Máquinas como la IBM-360, la PDP-11...etc., empleaban como dispositivo de E/, S el teletipo...y por lo tanto las "gráficas" sa hacían con la impresión de caracteres, letras, puntos, rayas ...etc.

Ya en los increíbles y rockeros años 60´s el uso del tubo de rayos catódicos era común en las televisiones y en los equipos de radar que había y todavía hay en los aeropuertos. Pero implementar y comercializar monitores de TRC para las computadoras, eso ya era otra cosa muy distinta... tuvimos que esperar hasta los dorados años 70´s (el tratado SALT-II), para que un monitor monocromático decente y de buen precio llegara como un accesorio básico para las computadoras.

Entonces la graficación se dividió en dos áreas; una de investigación y otra de consumo general. La primera empleaba técnicas vectoriales, tal como los radares de los

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aeropuertos; mientras que el área general usaba la técnica del rastreo de rayos...tal como la televisión monocromática y en color.

Con las computadoras también nació el software "grafico" y un conjunto interesante de bibliotecas con operaciones de interfaz para desarrollar aplicaciones ( API´s pues ).

1. XEngine2. OpenGL de SGI (aunque hoy día se encuentra bajo GNU)3. Direct-X Microsoft4. Q3Dimension 5. RenderMan PIXAR6. Glide API

En algunos casos, parte de la API se encuentra incrustada como parte funcional de E/S de los sistemas operativos, como el propio Windows XP/Vista, Linux… etc. Sin embargo en otros casos la API completa se encuentra integrada en aplicaciones sofisticadas y de propósito específico, por ejemplo:

• POV-ray• PIXAR RenderMan

• Realsoft 3D

Por mencionar algunos, aunque sin duda el amable lector podrá reconocer en el amplio mundo de Internet y de la televisión, una buena cantidad de programas de aplicación gráfica avanzada cuyos nombres por ahora se nos escapan de nuestra memoria.

Así que podemos afirmar que el software del sistema, mediante los servicios que nos proporcionan los métodos de alguna API en particular, está atado al hardware gráfico, por lo que las aplicaciones gráficas deben ser optimadas para cada caso especial si se desea explotar alguna característica especial de los circuitos electrónicos del adaptador de gráficas/video. Por ejemplo, al seleccionar una tarjeta aceleradora de gráficos, tal vez nos interesa manipular los registros de la paleta de colores del chip de la tarjeta, la manipulación de registros a ese nivel se puede hacer en ensamblador, pero tal acción, en los sistemas operativos modernos, representa un acceso que pone en riesgo la integridad del sistema en su totalidad, por lo que generalmente esa acción sólo puede lograrse en modo supervisor y de ninguna manera en el modo de aplicación de usuario; no obstante la existencia de la API, por ejemplo en DirectX, la clase DirectDraw nos proporciona métodos de interfaz para manipular la paleta de colores y asociarla a las superficies de objetos que deseamos iluminar en una hipotética escena en pantalla.

La importancia de las modernas implementaciones de OpenGL y de DirectX, por mencionar este notable par de conjuntos de API´s , es el nivel de abstracción y seguridad al programar los circuitos gráficos, que hoy por hoy son muy poderosos, pero

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también bastante complejos, pues aparte de contener los obligados circuitos convertidores DAC de colores y los circuitos temporizadores, también contienen avanzados manejadores de memoria y un gran número de registros propios para el almacenamiento de valores y constantes importantes para el desplegado gráfico. De hecho los modernos circuitos integrados para gráficos avanzados, deben considerarse por propio derecho “microprocesadores”, claro destinados al procesamiento gráfico. En algunos casos son capaces del tratamiento de números reales en el formato IEEE754, ciertas operaciones de tipo “convolución”, multiplicaciones matriciales concatenadas, operaciones vectoriales … etc.

Hoy día se observa una competencia fuertísima por el mercado de las gráficas de alto rendimiento, tanto en investigación, gestión, comercio y el entretenimiento de los juegos por computadora que además aprovechan la Internet. En el momento de escribir la presente obra tenemos una carrera pesada entre ATI y NVIDIA, aunque desde luego no podemos descartar los grandes esfuerzos de otras compañías de semiconductores y centros de investigación que producen circuitos gráficos dedicados.

La serie GeForce y en especial la QUADRO Fx de NVIDIA, la serie Radeon 9xxx han sido un parteaguas en el tratamiento de las gráficas por computadora. La necesidad de contar con sistemas de información que dispongan de rendimientos gráficos mejorados para el mercado del modelado y simulación de procesos, procesamiento gráfico rápido de estadísticas para análisis de fenómenos económicos y sociales, contar con sistemas eficientes de tratamiento de imágenes para el pronóstico de clima severo, ha puesto enorme presión para los desarrolladores de hardware gráfico y de los propios sistemas de computo, desde la implementación de placas madre con buses veloces, memoria de alta densidad y respuesta rápida hasta el desarrollo de mejores microprocesadores con múltiples tuberías de ejecución; claro sin olvidarnos de los imprescindibles compiladores, los cuales deben de generar código eficiente en el llamado de métodos nativos de los procesadores gráficos, de ahí la gran importancia de las implementaciones de API´s en diversas plataformas.

A continuación mostramos una tabla comparativa de rendimientos relativos de algunos chips gráficos existentes en el mercado desde hace algún tiempo.

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Se ha empleado una popular serie de transformaciones geométricas sobre un poliedro, al que se requiere iluminar en diversas posiciones en un tiempo límite; la cuestión es medir el rendimiento de colores y polígonos en una cantidad finita de tiempo en términos de un microprocesador, que en ese caso particular, un chip de AMD, el Athlon 64 2000+. Se ha empleado una computadora armada con tarjeta madre para socket 754 GA-K8NSPRO y cinco adaptadores de gráficas. Los aspectos relativos al rendimiento de polígonos quedará aclarado en el capitulo de objetos de 3D.

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Aplicaciones CAD

Realidad Virtual

Modelado y Simulación

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Investigación, Diseño de experimentos

Evolución de los Dispositivos gráficos de salida.

A continuación se muestra una línea de tiempo, en la cual podemos ver como la Historia de las "Guerras" en el siglo XX también refleja avances significativos en la Ciencia y particularmente en la Tecnología. Así podemos ver que en la primera guerra mundial se estableció el uso del TRC aunque fuere para tomar placas de rayos-X. No obstante pocos años despues se vería el impacto del TRC.

Orgullosamente un Ing. Mexicano..el Ing. Guillermo Camarena, desarrolló en 1944 el sistema ROJO-VERDE-AZUL para implementar la primera televisión en color en el

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mundo. Poco después la RCA-Víctor le compra los derechos. Sin Embargo las bases para la televisión a colores y por lo tanto para los modernos monitores vendría a a fortificarse con el advenimiento del transistor y por el circuito integrado desarrollado por Texas Instruments a finales de la década de los 50´s por el inolvidable Jack Kilby.

Como sea el principio de operación del TRC es sencillo...aunque costoso de implementar y no sin riesgos. El monitor basado en TRC emplea un par de bobinas para generar campos electromagnéticos que puedan guiar el haz de electrónes hacia un área de impacto común, en donde se forma el elemento mínimo de imagen...es decir el píxel, la contracción de la frase en inglés “Picture element”. Los electrones son desprendidos en virtud de una energía aplicada a los cañones aceleradores..."tres" por cada color primario; según el modelo de color aditivo como veremos mas delante serían el rojo, verde y azul.

Plasma

El dispositivo de plasma emplea un gas raro, el neón, xenón y el radioactivo radón...todos ellos tienen una estimulación suficiente para emitir luz en alguna longitud de onda particular. Los contenedores de gas son recipientes de SiO2 con parejas de electrodos para aplicar la estimulación.

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LCD-cristal liquido

Con esta tecnología, relativamente ecológica..se aprovecha la propiedad piezo-eléctrica del cuarzo...de tal forma que los cristales "polarizan" la luz. En este sentido los dispositivos LCD no son emisivos..o aditivos.

Arquitectura básica.

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Modelo de memoria y colorimetría

Conversión de modelos

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Ejemplos y problemas

GRAFICAS DE 2D

ELEMENTOS BÁSICOS DE GRAFICAS 2D.

• El píxel es elemento atómico de una imagen o gráfico en dos dimensiones. El manejo del píxel es fundamental en los sistemas de gráficas basados en rastreo de líneas de mapa de memoria, es y ha sido una técnica muy favorecida por las

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fábricas que construyen monitores y televisores digitales en colores como ya vimos en el capitulo anterior. El píxel es pues el inicio de todo en cuanto a las gráficas por computadora se refiere, siendo este el punto de arranque para construir métodos de dibujo de elementos primordiales o primitivos en una gráfica de dos dimensiones. A continuación mostramos una lista con lo fundamental para empezar a construir un sistema de gráficos 2D en computadora.

•Línea recta•Polígonos•Curvas cónicas•Relleno de superficies•Curvas con interpolación polinomial•Texto•Anti-alias

•Trazado de líneas rectas

Lo que pudiera parecer como un trabajo sencillo y rápido de hacer, se vuelve complicado tan pronto como intentamos tratar de implementar la clásica ecuación de la recta, en un campo numérico finito.

El problema es que por mas pequeñas que sean las dimensiones en pantalla del píxel, nunca habrá un número infinito de ellos y por lo tanto tampoco habrá una cantidad infinita de memoria para video que respaldara tal cantidad de información; por lo que en términos prácticos, es mejor olvidarse del tratamiento numérico de las rectas con el campo de los números reales.

Entre el cero y el uno, existe infinito número de cifras y al contrario, en pantalla no existe infinito número de pixel´s. Sin embargo podemos intentar algunas estrategias

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para fin de darle la vuelta a ese problema matemático y físicamente técnico. En primer lugar intentaremos aplicar el simple redondeo a la fuerza bruta de la ecuación clásica de la recta en geometría analítica.

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Podemos ver claramente que con el método tradicional para la recta encontramos un par de operaciones aritméticas que involucran números reales, con ello queda desechado este método, pues en el redondeo aparece el error y aquí vemos dos acciones con números reales. Sin embargo podemos emplear una aproximción ligeramente diferente al método de la geometría analítica clásico, usando a la propia pendiente de la recta, tal es el método DDA, del inglés Digital Differential Analizer.

El método basado en el análisis digital (o discreto ) de diferencias se ocupa de modificar el cálculo subsiguiente del par X e Y de un punto sobre la recta a dibujar en pantalla, en función de la magnitud de su pendiente. Con DDA se distinguen cinco casos para dibujar la recta en términos de la pendiente:

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El método basado en el DDA es un poco más rápido que el clásico, pues elimina la multiplicación de numeros reales y sólo se queda con la suma de un entero contra un real. Ciertamente sigue siendo necesario el redondeo y por ese motivo puede que no sea considerado como el óptimo método para trazar rectas. Sin embargo una variante del método de análisis de diferencias nos conduce a una forma muy interesante de calcular puntos intermedios para graficar curvas arbitrarias, y todo ello basado en el conocido concepto de la derivada. Uno de los principales atractivos de los algoritmos derivados del DDA, es sin duda su simplicidad y por lo tanto su relativamente fácil camino a la implementación.

Como quiera que sea, sería mejor implementar una solución basada en operaciones de números enteros con el fin de no requerir la operación de redondeo y por lo tanto evitar la propagación del error aritmético. En este punto debemos reconocer que los procesadores numéricos hoy día son muchísimas veces mas eficientes y con mayor precisión que aquellos de hace dos décadas, vamos pues, microprocesadores del siglo pasado, de la 3ª generación. Hoy por hoy los procesadores gráficos requieren de un apoyo intenso de operaciones con números reales, por ejemplo la serie Quadro FX de Nvidia, cuentan con operaciones de punto flotante de precisión sencilla ( FX 570 y FX 370). Funcionamiento similar encontramos la serie Xpress del chip Radeon de Ati; por ejemplo el Radeon Xpress 1100 o el Xpress 200.

En el siguiente método de trazado de rectas apreciaremos en lo que vale, el esfuerzo que se hace para eliminar las operaciones con números reales. El método propone el empleo de un par de rectas virtuales, que siempre “pasan” sobre la representación entera del píxel en memoria. La cosa, es que se tiene que decidir por cual recta nos inclinamos para escoger el píxel correspondiente.

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Este es el conocido método de Bresenham, y se basa en operaciones de aritmética con números enteros. Las rectas virtuales contienen el siguiente punto a dibujar, es decir, usando sólo enteros, como en realidad manejaríamos las direcciones de memoria de video. Pero de las dos opciones a dibujar una es la mejor, y ello depende de ver cual recta virtual está más próxima a la recta propuesta o en su caso, recta teórica. No es un problema trivial que podamos alegremente pasar por alto; vamos a suponer que deseamos dibujar en pantalla una escena basada en una familia de polígonos ( algo muy común en diseño gráfico ), no podemos permitir que las rectas que forman las aristas de los polígonos tengan huecos o discontinuidades, ello daría al traste con el relleno de colores para cada polígono, pues el relleno de estos, requiere de una frontera continua para determinar la superficie visible de cada polígono, de tal manera que no se produzca una invasión de color entre figuras geométricas vecinas. Un beneficio adicional y muy importante para la gestión del sistema, es que con las fronteras bien delimitadas se puede calcular con precisión el volumen de memoria requerido para almacenar las imágenes.

El método de Bresenham se basa en operaciones con enteros, y su principio es el del mero conocimiento de los puntos inicial y final. Así que por lo menos tenemos un comienzo firme; el parámetro que nos permite inclinar la decisión por un siguiente punto particular (P[n+1]), sobre la recta virtual superior o inferior, es la diferencia de las distancias, d1 contra d2, dicha diferencia la llamaremos simplemente parámetro de decisión o P.

Para el caso que se presenta, si P es menor a cero, significa que la recta superior es más cercana a la teórica que la inferior, por lo que el siguiente punto simplemente sería:

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donde y[n] es la ordenada actual al tiempo del cálculo, y y[n+1] es la siguiente ordenada.

En otro caso, si P es mayor a cero, implica que el siguiente punto sería:

A continuación, los cálculos a seguir para determinar los pixel´s de la recta a visualizar. Calculo de Bresenham:

Para calcular la recta:

1.- entramos las coordenadas (xi,yi) y (xf,yf) correspondientes a los puntos inicial y final …pi, pf

2.- determinamos la magnitud de m, para el caso m<1:

3.- calculamos el parámetro de decisión “P” :

4.- determinamos el siguiente punto en base a “P”:

*la ultima operación puede valer 0 o 1, lo que simplifica el subsiguiente cálculo.

xyp ∆−∆= 20

5.- si P < 0 entonces:

[ ] [ ] 11 +=+ nyny

xypp nn ∆−∆+=+ 221

6.- otro caso P>0 entonces:

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[ ] [ ]nyny =+1

ypp nn ∆+=+ 21

7.- repetir desde (5) hasta que: [ ] xfnx =+1

Lo anterior aplica para rectas con pendientes mayores a cero pero menores a la unidad, para pendientes mayores a la unidad, simplemente intercambiamos el papel que juegan x e y.

Ahora veamos un ejemplo:

A continuación, código de JAVA que ayuda a calcular los puntos a visualizar de una recta determinada por dos puntos. La entrada al programa es pues el punto inicial y final de una recta. El código principal se localiza en el directorio bresh.prim.

package bresh.prim;

public class BresLinea {//atributos de la claseprivate int xi,xf,yi,yf;private int deltax, deltay;private int dosX, dosY;protected int temp, p;

//constructor de pruebapublic BresLinea(){xi=0;xf=10;yi=0;yf=10;iniC();}

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//constructor generalpublic BresLinea(int x1,int y1, int x2, int y2){xi=x1;xf=x2;yi=y1;yf=y2;iniC();}

//determina si m<1 o m<1private void iniC(){

double dx;double dy;

dx=Math.abs(xf-xi); dy=Math.abs(yf-yi);

if(dy>dx){calcaY();}else{calcaX();}

}// cálculo de Xprivate void calcaX(){

if(xi>xf){ temp=xf; xf=xi; xi=temp; temp=yf; yf=yi; yi=temp; } deltax=xf-xi;deltay=yf-yi; dosX=2*deltax;dosY=2*deltay; System.out.println("X = :"+xi+" ; Y = :"+yi); p=dosY-deltax; xi++; while(xi<xf){ if(p>0){ p=p+dosY-dosX; yi++; } else{ p=p+dosY; } System.out.println(“P= > "+p” ; X = :"+xi+" ; Y = :"+yi); xi++; }} //cálculo de Y private void calcaY(){

if(yi>yf){ temp=xf; xf=xi; xi=temp; temp=yf; yf=yi; yi=temp; } deltax=xf-xi;deltay=yf-yi; dosX=2*deltax;dosY=2*deltay; System.out.println("X = :"+xi+" ; Y = :"+yi); p=dosX-deltay;

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yi++; while(yi<yf){ if(p>0){ p=p+dosX-dosY; xi++; } else{ p=p+dosX; } System.out.println("X = :"+xi+" ; Y = :"+yi); yi++; }}

}

• Los polígonos

Una vez que podemos trazar rectas continuas en la pantalla, ya podemos pasar a crear figuras compuestas por segmentos abiertos de recta y por polígonos. Ello es posible mediante la implementación de un arreglo de rectas.; posteriormente “pasar” los elementos de dicho arreglo al método de trazado de rectas. Por ejemplo en la API de JAVA 2D tenemos a la importantísima interfaz Shape, con la cual se implementan una variedad de clases para gráficas en 2D, para el caso que nos ocupa, Rectangle2D, Polygon, en relación a figuras cerradas, pero también podemos tener figuras abiertas con GeneralPath.

En la mayoría de las ocasiones, cuando se desea implementar una serie de escenas o paisajes en algún juego por computadora, se prefiere el uso de polígonos para crear superficies, estas se pueden iluminar de manera sencilla y sobre todo rápida. Muchos paisajes pueden crearse en base al polígono mas simple… el triángulo. En JAVA esto es muy sencillo, si nos apoyamos en la API 2D ya incorporada. Sin embargo para completar la salida del siguiente ejemplo, observamos que al generar líneas rectas le podemos asociar algunas cualidades que son de utilidad para crear dibujos con mejor contenido. Por ejemplo a las rectas con todo y polígonos, les podemos colgar algunas otras cualidades deseables.

• Color de la línea o arista.• Grosor de de la recta.• Patrón de despliegue.• Terminado de vértices de polígonos.

Sobre todo eso último era de impacto en los tiempos en que los monitores soportaban bajas resoluciones, pues en ciertas situaciones los vértices aparentaban terminados extraños, por ejemplo, cuadros triángulos…etc.

• Curvas cónicas

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La circunferencia y la elipse son figuras básicas en las gráficas por computadora y forman una familia de curvas basadas en polinomios de segundo grado; las llamadas “curvas cónicas” desde los tiempos de Apolonio(262-190 AC). Esta clase curvas ha sido un pilar muy importante en diversas actividades de la humanidad. Podría decirse que el estudio detallado de las curvas cónicas y sus implicaciones en la física clásica han llevado al Hombre a la Luna y en un sentido mas extenso, a conquistar los misterios del Sistema Solar, tal vez algún día en el lejano futuro, las curvas cónicas nos lleven a las estrellas.

Tal vez el matemático griego Menecmo(375 -325 AC) contemporáneo del Filósofo Platón, descubrió en principio las curvas cónicas, pero fue Apolunio quien realizó los primeros estudios de tales curvas de manera profunda y sobre todo, documentada. Los aficionados a la astronomía le agradecemos grandemente a Apolonio por su estudio de las cónicas.

Apolonio encontró que si despliega una fuente de luz en el foco de un espejo con sección elíptica, entonces la luz reflejada en el espejo conduce a un punto preciso que representa el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana ( para fines prácticos una fuente con rayos paralelos al eje de giro de la sección de espejo) con sección parabólica, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco; desde luego esto nos recuerda invariablemente al principio de funcionamiento del telescopio reflector de Newton. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. Actualmente esta propiedad se utiliza en los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si emanara del otro foco.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y.

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Presentamos la aplicación del método analizador diferencial a la circunferencia; aunque este se puede hacer extensivo fácilmente a la elipse. Para la exitosa ejecución de la implementación del método DDA a las curvas cónicas, sólo recordemos que a diferencia de el caso de la recta, acá la pendiente es dinámica.

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El método DDA para la circunferencia y para la elipse resulta fácil de implementar, lamentablemente se tiene que recurrir al redondeo y como en el caso de la recta, ello ocasiona errores y sus consecuentes huecos en el trazado de la curva, con desastrosos resultados a la hora del relleno de las superficies “cerradas” por esta clase de curvas.

Considerando la aritmética con números enteros, entonces recuperamos las ideas centrales del método de Bresenham para le recta y luego las aplicamos para la implementación del trazado de elipses y circunferencias y al fin de cuentas para las cónicas. La ecuaciones básicas de la circunferencia y de la elipse son:

bayaxbRyx

2222

222

)()( =+

=+

El método consiste en escoger un punto sobre alguna de las dos curvas hipotéticas que siguen a la curva propuesta, ambas curvas sólo difieren de la propuesta por medio píxel, entonces el factor que determina cual punto de que curva tomar para realizar el trazado es la menor distancia que exista entre las curvas hipotéticas y la propuesta para cada iteración.

Un elemento que nos ayuda al trazado de la curva es el principio de simetría, que aplica perfectamente para las curvas cónicas. Además el hecho de que la derivada que determina la tangente a tales curvas es dinámica, pero siempre pasa por un punto en donde el valor de la pendiente de la recta tangente es -1, nos simplifica aun mas el cálculo de los puntos a trazar de las cónicas. En una parte del cálculo la pendiente es muy suave y cambia lentamente la ordenada, mientras que la abscisa cambia con mayor magnitud. En otra parte del cálculo cambia la situación y la pendiente aumenta, la ordenada cambia en mayor magnitud mientras que la abscisa cambia lentamente. El punto donde se separan los cálculos se localiza sobre la curva en donde la tangente tiene una pendiente igual a -1; esto es:

1−=dx

dy

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Ahora seguimos con el desarrollo del método, tanto para la circunferencia como para la elipse, en ambos casos tratamos el cálculo del primer sector del primer cuadrante; para el caso es en el sentido de incrementar la abscisa y decrementar la ordenada hasta que la primera derivada es igual a -1.

Partimos del punto X=0, Y=R

0),(222 =−+= Ryxyxf

Luego probamos las siguientes condiciones para averiguar si el punto se encuentra sobre la curva propuesta o sobre las hipotéticas interior y exterior.

0),( <yxf circunferencia interna

0),( =yxf circunferencia propuesta

0),( >yxf circunferencia exterior

Además debemos probar si el siguiente punto de la iteración, corresponde a alguna de las curvas que difieren por sólo ½ píxel en la ordenada, que para efectos prácticos viene siendo aproximadamente de la magnitud del radio. Ahora incorporamos estas ideas a la función de la circunferencia y en su momento a la de la elipse.

Primeramente determinamos la función de la circunferencia para el siguiente punto, que difiere sólo ½ píxel en la oordenada…que al principio del método coincide con el radio R.

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Ryxyxf2

2

2

)21

()1()21

,1( −+=−+ −+

)21

,1( −+= nnn yxfp

)21

,1( 111 −+= +++ nnn yxfp

1.- Ahora consideramos que Po se determina a partir de Xi=0; y Yi=R:

Rp

Rp

Rfp

−=

+−=

−+=

45

41

)21

)((21

)21

,10(

0

0

0

Por lo que básicamente la primara “P” es para fines prácticos igual a 1-R:

2.- Mientras P es menor que cero.

1)(2

1

0

11

1

1

++==

+=<

++

+

+

nnn

nn

nn

n

xpp

yy

xx

p

3.- Otro caso si P mayor que cero:

1)(2)(2

1

1

0

111

1

1

−−+=−=+=

>

+++

+

+

nnnn

nn

nn

n

yxpp

yy

xx

p

4.- Repetir 2 o 3 hasta que completamos el sector 1 es decir; 1−=dx

dy

Y finalmente por simetría completamos los demás sectores.

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Ahora veamos la adaptación de todo lo anterior al caso mas general de la elipse:

0),( 222222 =−+= bayaxbyxf

En el caso de la elipse la frontera de las secciones 1 y 2 se define de manera similar a la de la circunferencia:

yaxb

dxdy

dxdy

2

2

22

1

−=

−=

Partimos del punto X=0, Y=b; entonces el primer parámetro en el sector 1.

1.- Se calcula la primera “P” del primer sector

22201 )

41

( ababp +−=

2.- Para el caso de P<0

21

2111

1

1

1

)(2

1

0

bxbpp

yy

xx

p

nnn

nn

nn

n

++=

=+=

<

++

+

+

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3.- Otro caso P>0

pn1>0

xn+1=xn+1yn+1= yn−1

pn+1= pn+2b2 ( xn+1 )−2a2( y n+1)+b2

4.- Repetir 2 o 3 hasta que se completa el primer sector, que tiene condiciones de fronteraSiguientes:

yaxb

dxdy

dxdy

2

2

22

1

−=

−=º

5.- Calcular “P” para el sector 2. 222222

02 )1()5.0( bayfaxfbp −−++=Donde xf e yf son las últimas coordenadas calculadas en el sector 1.

6.- Si P > 0 entonces:

21

2212

1

1

2

2

1

0

ayapp

yy

xx

p

nnn

nn

nn

n

+−=

−==>

++

+

+

7.- Otro caso si P < 0:

21

21

2212

1

1

2

22

1

1

0

ayaxbpp

yy

xx

p

nnnn

nn

nn

n

+−+=

−=+=

<

+++

+

+

8.- Repetir 6 o 7 hasta que Xn= a; Yn=0; es decir hasta el final del sector 2.

Posteriormente completamos el resto de la elipse por el principio de simetría al igual que con la circunferencia.

A continuación codigo de JAVA con la solución:

package bresh.prim;

public class Bres_Oval {

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private int xc,xr,yc,yr; private int p;

public Bres_Oval(){xc=0;yc=0; xr=10;yr=10;}

public Bres_Oval(int xc, int yc, int r){ this.xc=xc;this.yc=yc;xr=r;yr=xr;}

public Bres_Oval(int r){ xc=0;yc=0; xr=r;yr=xr;}

public Bres_Oval(int ra, int rb){ xc=0;yc=0; xr=ra;yr=rb;}

public Bres_Oval(int xc, int yc, int ra, int rb) { this.xc=xc;this.yc=yc; xr=ra;yr=rb; }

public void calcOval(){

if(xr==yr)circ(); else elipse();

}

private void circ(){ int x, y; x=0; y=yr; System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=1-xr; x++; while(x<=y){ if(p<0){ System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p+(2*x) +1; }else { y=y-1; System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p+(2*x)-(2*y)+1; } x++; }

}

private void elipse(){

int x, y; x=0; y=yr; System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=(yr*yr) -(xr*xr*yr) +((xr*xr)>>2);

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x++; try{ while((2*x*(yr*yr))<(2*y*(xr*xr))){ if(p<0){ System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p+ (2*x*(yr*yr)) + (yr*yr); } else{ y=y-1; System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p+ (2*x*(yr*yr)) + (yr*yr)- (2*y*(xr*xr)); } x++; Thread.sleep(500); } }catch(InterruptedException xe){xe.printStackTrace();} System.out.println("fin reghion 1 ..x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=(int)Math.round((yr*yr)*(x+0.5)*(x+0.5)+(xr*xr)*(y-1)*(y-1)-(xr*xr)*(yr*yr)); try{ while(y>0){ if(p>0){ y=y-1;System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p-(2*y*(xr*xr))+(xr*xr);

} else{ x=x+1;y=y-1; System.out.println("x := "+(x+xc)+ " y := "+(y+yc)); p=p-(2*y*(xr*xr))+(xr*xr)+(2*x*(yr*yr)); } Thread.sleep(500); }

}catch(InterruptedException xe){xe.printStackTrace();}}

}

Por supuesto que este tipo de código es sólo para poner de ejemplo el cálculo sencillo de los sectores de la circunferencia/elipse. La verdad es que la API 2D de Java tiene soluciones muchisimo más poderosas y versátiles; simplemente considere las implementaciones de JRE´s para OpenGL y DirectX.

La parábola tiene una importancia especial en Ingeniería, por ello vamos a ver el método DDA para la parábola, el cual es rapidísimo, aunque lamentablemente requiere de redondeo , para algunas aplicaciones de simulación puede ser suficiente la aproximación con diferencias digitales.

)(2

2

xxaxxy

ay

∆+=∆+

=

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)2(

)2(22

xxaxy

xxayy xx∆+=∆

∆+∆+=∆+ ∆

Si:

x

yy

xx

y

y

x

n

n

∆∆+=

+=

<∆∆

+

+

1

11

1

Por otra parte si:

1

1

1

1

+=

∆∆+=

>∆∆

+

+

y

y

xx

x

y

y

x

n

n

Se puede implementar el método del medio punto para la parábola considerando en primer lugar la ecuación más sencilla de dicha curva cónica, para el caso, con el eje paralelo a “Y”.

xay2=

Donde:

pa

4

1=

Siendo “P” la posición del foco de la parábola respecto al vértice de la misma. Lo decisión sobre que pixel activar se basa en el valor de la derivada dy/dx=2ax. Sólo en la región cercana al vértice la derivada es pequeña y esta depende de la magnitud de P.

Algunos elementos de Java 2D que lo hacen muy atractivo para implementar soluciones gráficas en sistemas completos pero igualmente en sistemas empotrados en electrónica móvil y casera es la amplia cobertura de su API en capacidades gráficas.

Algunos puntos importantes son:

• Modelado uniforme para desplegados gráficos• Amplia cartera de primitivas gráficas, incluidas curvas de interpolación

polinomial.• Detección de traslapes con figuras, texto e imágenes.

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• Soporte para diversos modelos de color.• Impresión de documentos.• Tipos sugeridos de despliegue.

En la siguiente figura se muestra la salida de una pequeña aplicación con Java 2D, en la cual se simula una ventana a un paisaje. Las montañas y la nieve se hicieron con una serie de polígonos concatenados, mientras que la Luna, con la simple elipse. Una de las grandes ventajas de desplegar gráficos con la API 2D es que se presenta la independencia de dispositivo de salida…así pues desde el punto de vista del rendimiento de las primitivas gráficas, da lo mismo la salida a una pantalla LCD que a una impresora. Esto es la independencia de dispositivo.

Primitivas geométricas en Java 2D

La API 2D de Java proporciona un conjunto de elementos basicos en gráficas 2D (primitivas), tales como puntos, líneas, rectángulos, polígonos, elipses, curvas de interpolación y figuras en general. El paquete de clases sin duda más importante para los propósitos de graficar objetos 2D es java.awt.geom.

En la programación de graficas 2D con Java la interfaz “Shape” representa en general una figura geométrica cualquiera, que tiene perímetro y una superficie interior. Tal interfaz proporciona una serie de métodos adaptados para describir y ejecutar objetos de dos dimensiones. Antes de continuar con nuestro primer ejemplo de Graphics2D remarcamos que la clase Graphics soporta segmentos de figuras con lineas rectas,

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mientras que la interfaz Shape permite segmentación de figuras con curvas de interpolación.

La API 2D de Java es algo complicada de digerir en principio, pero es muy poderosa y te permite implementar soluciones creativas en poco tiempo. No obstante comenzamos con un subconjunto de sencillos metodos gráficos para objetos 2D, que localizamos en la clase calificada java.awt.Graphics. Básicamente los métodos de la clase Graphics pueden estudiarse por sus efectos.

• Metodos de dibujo e iluminación, para figuras primitivas, texto e imágenes.• Metodos de ajuste de atributos de dibujo e iluminación.

En Java todo es Object y los objetos gráficos 2D e inclusive los de 3D también son Object. Sin embargo son objetos de una jerarquía especial para contener gráficos, esto es los componentes gráficos del sistema de ventanas de Java se organizan básicamente de la siguiente manera.

Ahora para completar la idea de nuestro primer ejercicio con Java 2D, tenemos que recordar que el sistema operativo que envuelve a la aplicación, en este caso una aplicación de java, es multitarea y reacciona a diversos eventos, la mayoría de ellos de naturaleza asíncrona, por lo que debemos de dotar a nuestro ejercicio con la capacidad de responder a eventos. En Java la reacción a los eventos que transitan por el sistema operativo de hospedaje, se delega a los componentes responsables de procesar o al menos enlutar, el o los eventos asociados a tales componentes.

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Algunos eventos son desencadenados por el usuario de nuestra aplicación, pero otros eventos son temporizados por el propio sistema operativo, por ejemplo, cada tanto tiempo se tiene que refrescar el contenido de la memoria de video, se puede aprovechar ese hecho para actualizar el contenido gráfico de algún componente, por ejemplo, el contenido de un Applet, o de un Lienzo(Canvas).

Nuestro primer ejercicio en Java 2D consta de un par de componentes, un marco que a su vez contiene un applet en cuya superficie se despliega el contexto gráfico, independiente del dispositivo; es en ese contexto en el que dibujamos la cadena “hola mundo”. Para cerrar la idea, este ejercicio procesará dos mensajes:

1. Actualizar el área del applet.2. Cerrar la aplicación y terminar el applet.

A continuación nuestro primer ejercicio:

//aplicacion de java con una ventana para mostrar el applet// hola mundo @seic 2008 udg

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import java.awt.*;import java.awt.event.*;import java.applet.*;

class cierraVentana extends WindowAdapter {public void windowClosing(WindowEvent e){System.exit(0);}}

public class CA_Hola1 extends Applet {

public CA_Hola1()

{System.out.println("estoy en el constructor");}

public void init(){

resize(300,300);

System.out.println("estoy en el init");

}

public void start(){

System.out.println("estoy en el start");}

public void paint(Graphics g){

g.drawString("Hola mundo con applet ", 50, 50);

}

public void stop(){System.out.println("estoy en el stop");}

public void destroy(){System.out.println("estoy en el destructor");} public static void main(String arg[]){

CA_Hola1 cosa=new CA_Hola1(); Frame marco=new Frame("Mi Ventana");marco.addWindowListener(new cierraVentana());marco.setSize(320,320);cosa.init();cosa.start();

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marco.add("Center",cosa); marco.setVisible(true);}}

Aplicaciones gráficas con SWING. Veamos las clases principales de SWING.

A continuación un código de ejemplo con SWING.

import com.sun.java.swing.*;

public class JHolaMundo extends JFrame { public static void main( String argv[] ) { new JHolaMundo(); }

JHolaMundo() { JLabel hola = new JLabel( "Hola Mundo!" ); getContentPane().add( hola,"Center" ); setSize( 200,100); setVisible( true ); }

}

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GRAFICAS DE COMPUTADORA CON JAVA...de computo, desde la implementación de placas madre con buses...

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