Grado de Estabilidad Estática Longitudinal,EEL, Cessna 172N

ESTABILIDAD Y CONTROL TP N2 Grado de estabilidad

esttica longitudinal

Hctor Carrasco S. Pablo Figueroa T. Felipe Medrano D.

VII Ao de Ingeniera Aeronutica

2

INDICE

I. OBJETIVO ................................................................................................................................... 3

II. ECUACIONES Y CONDICIN DE LA ESTABILIDAD ESTTICA LONGITUDINAL ............... 3

III. CONTRIBUCIONES A LA ESTABILIDAD ................................................................................. 5

A. Contribucin del ala. ................................................................................................................ 5

B. Contribucin del Empenaje Horizontal Mando Fijo .............................................................. 6

C. Contribucin del Fuselaje ...................................................................................................... 10

D. Contribucin de la Potencia-Motor hlice ............................................................................. 14

E. Cuadro resumen .................................................................................................................... 19

IV. ANLISIS DE RESULTADOS .................................................................................................. 20

V. BIBLIOGRAFIA ......................................................................................................................... 22

3

I. OBJETIVO

Para el avin en estudio, establecer los respectivos Grados de EEL,

cuando se encuentra volando en rgimen de crucero (CR) y en las

siguientes condiciones de peso y de posicin de Centro de Gravedad:

- Peso: 90% del Peso Mximo de Despegue (MTOW)

- CG: al 10%, 35% y 90% de la Cuerda Media Aerodinmica (CMA)

II. ECUACIONES Y CONDICIN DE LA ESTABILIDAD

ESTTICA LONGITUDINAL

Para establecer los respectivos Grados de estabilidad esttica longitudinal

se calcular la contribucin de cada uno de los elementos del avin (a/c), como lo

es el fuselaje (fus), el ala (w), la potencia propulsiva (Pot) y finalmente el empenaje

(h), el cual mediante el principio de superposicin se determinar la caracterstica

final de la aeronave.

La superposicin a una determinada distancia del CG, se obtendr

mediante la siguiente ecuacin:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Por otra parte, para realizar el proceso de clculo se tendrn las siguientes

consideraciones:

1. En la contribucin del ala, se considerar la contribucin del trmino de

resistencia.

2. En la contribucin del fuselaje, se emplear los mtodos de Gilruth y

Multhopp y se compararn.

3. En la contribucin de Potencia se tendrn en cuenta los efectos directos e

indirectos.

4

CONDICIONES ESTABLECIDAS

Datos CESSNA 172 SKYHAWK

Velocidad crucero 130 kts - 219,415 ft/s

Peso mximo de despegue 2300 lbs

Peso al 90% del MTOW 2070 lbs

CMA ala 5,537 ft

CMA empenaje horizontal 3,866 ft

CL Crucero 0,25

Sw 179,3 ft2

Sh 43,059 ft2 Tabla 1 Datos Cessna 172

Considerando que se analizarn 3 posiciones del CG.

- Condicin 1: 10% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA) - Condicin 2: 35% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA) - Condicin 3: 90% de Cuerda Media Aerodinmica (CMA)

A continuacin se observa la posicin del perfil alar y del empenaje en relacin al CG.

Ilustracin 1 Posicin del Perfil alar y Empenaje

Condiciones

1 CG a 10% de la CMA -0,83 ft 11,9827 ft -1,2488 ft 2,676 ft

2 CG a 35% de la CMA 0,5537 ft 15,02805 ft -1,2488 ft 2,676 ft

3 CG a 90% de la CMA 3,599 ft 16,4123 ft -1,2488 ft 2,676 ft

Tabla 2 Datos Condiciones

5

III. CONTRIBUCIONES A LA ESTABILIDAD

A. Contribucin del ala.

La contribucin del ala a la Estabilidad Esttica Longitudinal est dada por

la siguiente ecuacin:

( ) (

)

(

) (

)

Donde el valor de Xw es la distancia horizontal entre el Centro

Aerodinmico del ala y el centro de gravedad, A es la razn de aspecto del ala, e

es el factor de oswald, c la cuerda media aerodinmica del ala, aw es la pendiente

del ala y Zw es la distancia vertical entre el centro aerodinmico del ala y el centro

de gravedad. Sin embargo y por propsitos prcticos de anlisis y debido al valor

de bajos (CL crucero = 0,25) es posible utilizar la expresin antes mencionada

quedando reducida en:

( ) (

)

Se consideran relevantes los CL >1.

Datos de Diseo Ala

b Envergadura Alar 36 ft

Sw Superficie Ala 179,3 Ft2

iwr Calaje de Raiz 0,014 rad

iwt Calaje de Puntera -0,049 rad

a0w Pendiente de Sustentacin 2D 5,730 rad-1

Datos Ala

AR Alargamiento 7,22810931

Ahusamiento 0,7134424

CMAw Cuerda Media Aerodinmica 5,537 ft

ew Factor de Oswald 0,827 Tabla 3 Datos Ala

6

Pero como esta ltima ecuacin no considera los trminos de resistencia,

se utilizar la primera ecuacin (1). Quedando los siguientes valores:

Condicin 1 Condicin 2 Condicin 3

(

)

CONTRIBUCIN DEL ALA -0,162 0,088 0,638

Tabla 4 Contribucin del Ala

B. Contribucin del Empenaje Horizontal Mando Fijo

La contribucin del empenaje horizontal a la EEL se obtiene segn la

siguiente ecuacin

( ) (

)

(

)

Donde el trmino ah es la pendiente de sustentacin 3D del empenaje

horizontal, aw es la pendiente sustentacin 3D del ala, es la derivada del

downwash con respecto al ngulo de ataque o en otras palabras es el impacto de

la estela vorticosa en el avin, es la eficiencia del empenaje horizontal y es

el volumen de cola.

Para la eficiencia del empenaje horizontal se considera el valor de 0,98. En el caso

del volumen de cola:

Donde lh es la distancia del centro aerodinmico del empenaje horizontal al centro

de gravedad.

N Condiciones lh Vh

1 xw1 Distancia del CG al CA del ala (10% de CMA) 11,983 ft 0,520



Tabla 5 Distancia al Centro Aerodinmico al Empenaje horizontal

Pendiente de sustentacin

Primero se debe obtener el valor de las pendientes de sustentacin 3D,

tanto del ala como del empenaje horizontal, que se alcanzan a partir de las

7

caractersticas de su perfil (2D). Se considera que para alargamientos mayores a 5

se debe utilizar la ecuacin que a continuacin aparece.

( )

Donde a0 corresponde a la pendiente de sustentacin de su perfil.

Por otra parte, para alargamientos menores que 5 se recomienda utilizar la

siguiente expresin:

( )

(

)

( ( ))

Dnde: , g es el factor de correccin de superficie de control

(1 en caso del ala y 0,85 en el caso del empenaje), 0,5 corresponde a la flecha de

la superficie sustentadora al 50% de la cuerda.

Por lo tanto, observando el valor de alargamiento del ala y empenaje.

AR Ala 7,228

AR Empenaje Horizontal 3,125

La pendiente de sustentacin 3D del ala ser obtenida por medio de la

ecuacin (4), en cambio la pendiente de sustentacin 3D del empenaje ser

obtenida mediante la ecuacin (5).

Datos de Diseo

bh Envergadura 11,600 ft

sh Superficie 43,059 ft2

ih Calaje 0,000 rad-1

0h Eficiencia 0,980

a0h Pendiente de Sustentacin 2D 5,730 rad-1

Datos Derivados

Arh Alargamiento 3,125

h Ahusamiento 0,500

CMAh Cuerda Media Aerodinmica 3,866 ft

Tabla 6 Datos Empenaje

8

Considerando la velocidad crucero en 130 nudos, lo que equivale a un

nmero Mach de 0,197, resolviendo para las pendientes de sustentacin 3D:

(Pendiente de Sustentacin 3D)w 4,575 rad-1

(Pendiente de Sustentacin 3D)h 2,513 rad-1 Tabla 7 Pendiente de Sutentacin Empenaje

Efecto del Downwash:

Para la estimacin de efectos de la red de vrtices generada agua abajo

del ala se efectuar por tres medios analticos aproximados presentados en la

asignatura, Elskar, Smetana y una estimacin rpida del valor.

A continuacin se presentan los tres mtodos para determinar el efecto

downwash en la contribucin a la estabilidad esttica longitudinal del empenaje

horizontal.

a. Mtodo de Elskar:

( )

En la cual:

( )

(

)

Siendo:

( )

( ) (

)

( )

Resolviendo para este mtodo, considerando como el ahusamiento del

ala, z es la distancia vertical del Centro aerodinmico del empenaje horizontal y el

centro aerodinmico del ala y x es la distancia horizontal entre centros

aerodinmicos del ala y empenaje horizontal, por lo tanto, se obtiene que:

Downwash Mtodo Elskar

Kb 0,73825638

x 0,91934722

Z -0,19773253

/i1 1,95380453 Tabla 8 Efecto Downwash metdo Elskar

9

Se obtiene finalmente:

b. Mtodo de Smetana:

( )

( )

(

)

Donde c es la cuerda media aerodinmica del ala, x la distancia horizontal entre

los C.A del ala y empenaje y aw es la pendiente de sustentacin del ala expresada

en 1/rad. Mediante este mtodo se obtiene le siguiente valor del efecto downwash.

c. Estimacin rpida

( )

Resolviendo para este mtodo:

Resumiendo los tres mtodos en la siguiente tabla:

d/d Efecto "Downwash"

Elskar 0,394

Smetana 0,379

Mc. Cormik 0,403

Tabla 9 Contribucin Downwash

A continuacin se presenta la contribucin del empenaje horizontal a mando fijo,

en las distintas condiciones.

10


(

)

CONTRIBUCIN EMPENAJE

Mtodo Elskar -0,170 -0,213 -0,232

(

)


Mtodo Smetana -0,174 -0,218 -0,238

(

)


Estimacin rpida -0,167 -0,209 -0,229

Tabla 10 Contribucin Empenaje Horizontal

Como conclusin, se utilizar el mtodo de Elskar porque brinda un mayor

nmero de variables relacionadas al Downwash, lo que permitir tener un valor

ms aproximado de la contribucin del empenaje.

C. Contribucin del Fuselaje

De acuerdo al texto de Estabilidad y Control, la contribucin del fuselaje a

la EEL es casi siempre desestabilizante y su magnitud suele ser significativa por

lo cual se utilizan los dos mtodos descritos en la bibliografa los cuales permiten

la estimacin del valor. Estos son el Mtodo de Gilruth, el cual es el ms simple de

los dos pero a la vez menos exacto y el Mtodo de Multhopp que tiene una mayor

exactitud.

Se desarrollan a continuacin ambos mtodos.

a. Mtodo de Gilruth

(

)

Donde es el mximo ancho del fuselaje, es su largo total, la

superficie alar, la pendiente de sustentacin del ala expresada en 1/rad y c es

su cuerda media aerodinmica.

11

Los valores se presentan la tabla a continuacin:

Datos Fuselaje

Sw Superficie Ala 179.300 ft2

Lf Largo 27.400 ft

wf Ancho Mximo 3.800 ft

aw Pendiente de Sustentacin 3D 4.575 rad-1

C Cuerda Media Aerodinmica 5.537 ft

xf25% Posicin del 25% de Cr 30.300 %

Kf 0.011

Tabla 11 Datos Fuselaje

Donde es un factor dependiente de la pasicion del 25% de la cuerda

raz del ala respecto al fuselaje, expresada en porcentaje de y se obtiene del

siguiente grfico o al reemplazar en la ecuacin correspondiente al misma.

Grfico 1 Kf vs %Lf

Por lo tanto el valor de la contribucin del fuselaje basado en el mtodo Gilruth es:


(

)

CONTRIBUCIN DEL FUSELAJE

MTODO GILRUTH 0,053 0,053 0,053

Tabla 12 Contribucin Fuselaje Metdo Gilruth

12

b. Mtodo de Multhopp

El segundo mtodo utilizado es el mtodo de Multhopp, el cual es ms exacto

debido a que toma en cuenta un mayor nmero de variables que afectan a la

contribucin del fuselaje.

Este propone:

(

)

(

( )

)

( )

De acuerdo a la bibliografa referida el primer trmino representa la

variacin de momento del cuerpo fuselado respecto de la sustentacin del avin.

El segundo trmino introduce un factor que tiene en cuenta el efecto del fuselaje

sobre el momento de cabeceo del ala por presencia de aquel, el cual para la

aeronave en cuestin es igual a cero ya que que el ancho del fuselaje entre el

borde de ataque y el de fuga es constante.

Por lo tanto la contribucin del fuselaje segn este mtodo aproximando el

primer trmino es:

(

)

(

( )

)

Para desarrollar la ecuacin y obtener el valor de la contribucin del fuselaje, de

divide el fuselaje en secciones basado en el ejemplo del caso ECH-02 amcu de

la bibliografa y se desarrolla una tabla con los valores necesarios para calcular la

contribucin. A continuacin se muestran las secciones del aeronave seleccionada

y detallan los valores en la tabla siguiente.

13

Ilustracin 2 Secciones del Fuselaje

tramo x (ft) wf (ft)

wf2

(ft2) x1 (ft) x/c d/d wf2 * d/d * x

(ft3)

1 1.24615 2.769 7.669 4.361538 0.787707867 1.3 12.42319527

2 1.24615 3.6 12.960 3.115385 0.562648477 2.1 33.91532308

3 1.24615 3.6 12.960 1.869231 0.337589086 2.6 41.9904

4 1.24615 3.6 12.960 1.246154 0.225059391 3.2 51.68049231

5 2.07692 2.077 4.314 1.038462 0.090861977 0.08592 0.769752868

6 2.07692 2.077 4.314 3.115385 0.272585932 0.25776 2.309258603

7 2.07692 2.077 4.314 5.192308 0.454309886 0.4296 3.848764338

8 2.07692 2.077 4.314 7.269231 0.636033841 0.60143 5.388270074

9 2.07692 2.077 4.314 9.346154 0.817757796 0.77327 6.927775809

10 2.07692 2.077 4.314 11.42308 0.99948175 0.94511 8.467281545

167.7205139

Tabla 13 Tabla Aproximacin Sumatoria

Con los datos necesarios presentados a continuacin:

14

Datos

Sw Superficie Ala 179.300 ft2

aw Pendiente de Sustentacin 3D 4.575 rad-1

C Cuerda Media Aerodinmica 5.537 ft

[('f)2*(d/d)*X [ft3]] Aproximacin de sumatoria 167.720514 Tabla 14 Datos calculo mtodo de Multhoop

Reemplazando en la ecuacin mencionada anteriormente se obtiene el valor de la

contribucin del fuselaje por el mtodo de Multhoop, la cual se considerar

posteriormente debido a su mayor exactitud, esta es:


(

)


MTODO MULTHOOP 0,058 0,058 0,058

Tabla 15 Contribucin del Fuselaje, Mtodo del Multhoop

D. Contribucin de la Potencia-Motor hlice

La potencia propulsiva de la aeronave puede tener un significativo

impacto para la ecuacin de equilibrio como en la ecuacin de estabilidad

longitudinal del avin. La contribucin de la hlice a la Estabilidad esttica

longitudinal se puede analizar tomando en cuenta dos tipos de efectos principales:

Datos de Diseo Potencia-motor hlice

MCPrev Revoluciones al 75% 2025 RPM

Dp Dimetro Hlice 6,25 ft

dp Distancia entre Ala y Hlice 8,1343 ft

h Distancia entre Eje Traccin y CG 0,7136 ft

Derivados

Sp Superficie Disco de Hlice 30,68 ft2

lp Distancia entre Hlice y Ca ala 7,625 ft

Nhp Potencia Rgimen Crucero 145 Bhp

Nrev Rgimen RPS de motor crucero 33,750 RPS

Tabla 16 Datos para calculo de contribucin de la Potencia

Efectos Directos

Este efecto es consecuencia de las fuerzas que genera la hlice misma.

Las componentes de fuerza generadas por la hlice funcionando con cierto ngulo

de ataque respecto del vector viento relativo incluyen una fuerza de traccin T a

lo largo del eje de empuje y una fuerza normal Np, contenida en el plano de disco

15

de la hlice. Como se observa a continuacin se presenta la configuracin del

CESSNA 172.

Ilustracin 3 Configuracin Cessna 172

Esta es la ecuacin obtenida para la contribucin de efectos directos de la

potencia sobre la estabilidad esttica longitudinal.

(

)

{[

(

) ] [(

)

]} (

)

Dnde:

Cp es el coeficiente de potencia desarrollado por la hlice.

J es la relacin de avance, V la velocidad en vuelo, D el dimetro del avin y n las

revoluciones de la hlice.

De esta manera se obtiene los siguientes datos:

Cp Coeficiente de Potencia de la Hlice 0,113

J Razn de Avance 1,040

dCp/dJ -0,100 rad-1

Tabla 17 Datos

16

Para obtener dCp/dJ se debe trabajar con el grfico de la hlice de 2 palas que

aparece a continuacin:

Grfico 2 dCp/dJ. Hlice de 2 palas

Se calcul el valor de J y Cp, de esta manera con ambos valores se

intersectan en el grfico y posteriormente se obtiene la pendiente de la recta

tangente a la curva que intersecta a ambos valores, de esta manera se obtiene el

valor de dCp/dJ

Por ltimo se obtiene el valor del efecto upwash:

(

)

Este valor se obtiene del siguiente grfico:

Grfico 3 Calculo efecto upwash

17

X1 Distancia desde la hlice al B. ataque 6,360 ft

X1/c Razn entre X1 y la CMA 1,1486

dp/d 0,650

d/d Upwash del ala 1,650

Tabla 18 Datos Efecto Upwash

Para obtener el valor de VT se realiza por la siguiente ecuacin:

Siendo constante para este caso, porque la posicin del centro de gravedad

en la vertical no vara (h). El valor de .

En la siguiente tabla resumen, aparecen las distancias lp, que hace

referencia a la distancia que existe entre el centro de gravedad y la hlice, por otra

parte se obtiene el valor de VN:

N Condiciones VN




Tabla 19

Por lo tanto, la contribucin de efectos directos de la potencia sobre la estabilidad

esttica longitudinal es:


(

)

CONTRIBUCIN DIRECTA POTENCIA 0,009 0,011 0,017

Tabla 20 Contribucin Directa de la Potencia

Efectos indirectos:

Estos son los relacionados con la generacin del flujo a partir de la hlice

y su interaccin con las superficies de las alas y empenaje. Estos efectos no son

menos importantes que los directos pero su tratamiento analtico es ms complejo

y no permiten predicciones muy exactas, por lo que se indicarn solo las mayores

18

contribuciones de la estela vorticosa de la hlice a la estabilidad esttica

longitudinal, la contribucin indirecta de la hlice se puede resumir en:

a. Efectos de la hlice vorticosa sobre los momentos aerodinmicos del ala

y del fuselaje.

b. Efectos de la hlice vorticosa sobre la sustentacin total del ala.

c. Efectos de la hlice vorticosa sobre la eficiencia del empenaje.

d. Efecto downwash de la hlice vorticosa aguas abajo.

Por lo tanto se considerarn para esto tres casos:

- La eficiencia del estabilizador horizontal se obtiene mediante la siguiente

ecuacin:

Eficiencia estabilizador horizontal 0,156

- Downwash de la hlice es obtenido por las ecuaciones siguientes:

-

p

w

DTS

SCK

Se ocupar el reemplazando en:

Se obtiene que CD = 0,025 de esta manera, KT = 0,146. Reemplazando para la

siguiente ecuacin:

(

)

Reemplazando los valores anteriores en la ecuacin que aparece a continuacin:

T

T

p

N

p

dp

K

Kd

dK

d

d

4

19

- Contribucin del empenaje horizontal a la EEL modificada por los

efectos indirectos de la potencia:

(

)

(

)

h 0,071 rad

0,022 rad

dp 0,012 rad

iw -0,049 rad

w 0,055 rad

ih 0,000 rad Tabla 21 Datos contribucin indirecta

Reemplazando:


(

)

CONTRIBUCIN INDIRECTA

POTENCIA 0,134 0,168 0,184

Tabla 22 Contribucin Indirecta de la Potencia

E. Cuadro resumen:


(

)

CONTRIBUCIN DEL ALA -0,162 0,088 0,638

(

)


MTODO ELSKAR -0,170 -0,213 -0,232

(

)


MTODO MULTHOOP 0,058 0,058 0,058

(

)

CONTRIBUCIN DIRECTA POTENCIA 0,009 0,011 0,017

(

)

CONTRIBUCIN INDIRECTA

POTENCIA 0,134 0,168 0,184

Tabla 23 Cuadro Resumen de Contribuciones

20

Con los valores seleccionados se obtiene el grado de estabilidad del avin para

cada una de las condiciones de posicin de CG establecidas en el trabajo como se

muestra a continuacin:

(

)

GRADO DE ESTABILIDAD DEL AVIN -0,131 0,112 0,665

Tabla 24 Grados de Estabilidad del avin

IV. Anlisis de resultados

Con el desarrollo de este trabajo es posible corroborar de manera terica la

materia expuesta en clases, y tal como se ense en sta, se aprecia que a

medida que el centro de gravedad se desplaza hacia la parte trasera del avin, su

grado de estabilidad va disminuyendo, por lo tanto, podramos decir que el

aeronave es cada vez es ms inestable pero a la vez es ms maniobrable, aunque

para este tipo de aeronave de uso civil, no es requerida una maniobrabilidad

elevada, ya que limitara su uso a pilotos experimentados y el sistema de control

debiese ser similar al utilizado en aviones de combate con sistemas de control

flight by wire que entregan al piloto una estabilidad simulada.

De acuerdo a los valores obtenidos podemos observar que el avin se comporta

de forma estable con su CG a una distancia del 10% de la cuerda aerodinmica al

poseer un valor de pendiente negativo y que al superar 35% de esta distancia se

vuelve inestable al poseer una pendiente positiva.

Anlisis del grado de estabilidad EEL en el ala: La contribucin del ala est

fuertemente afectada con la posicin del CG del avin con respecto a la posicin

del C.A, tal como se aprecia en los resultados obtenidos, para el 10% la

contribucin es un aporte al grado de estabilidad haciendo el aeronave ms

estable a diferencia de los casos de 35% y 90% donde la contribucin del ala es

21

cada vez es ms desestabilizante a medida que su CG se desplaza hacia la parte

trasera del avin.

Anlisis del grado de estabilidad EEL en el empenaje horizontal: Tal como

se discuti en clases la contribucin del empanje cumple un rol fundamental ya

que este es el que aporta en gran parte el valor del grado de estabilidad total de la

aeronave, al haber desarrollado el clculo de esta contribucin por los tres

mtodos propuestos en la bibliografa, se decide utilizar el de Elskar ya que

considera un mayor nmero de variables relacionadas a la contribucin del

empenaje obteniendo una aproximacin ms exacta del grado de estabilidad en

comparacin con los otros mtodos.

Anlisis del grado de estabilidad EEL en el fuselaje: Se corrobora la teora

mencionada en la bibliografa la cual indica de su condicin desestabilizante y su

magnitud significativa, tambin se aprecia que su contribucin al grado de

estabilidad no vara al cambiar la posicin del CG en la aeronave, adems de

acuerdo a lo mencionado durante el clculo de esta contribucin se selecciona el

mtodo de

Anlisis del grado de estabilidad EEL para la potencia: Como menciona la

bibliografa el clculo de este grado se realiz considerando los efectos directos e

indirectos como consecuencia de las fuerzas que genera la hlice como la

generacin e interaccin del flujo con las superficies de las alas y empenajes.

22

V. BIBLIOGRAFIA

Astica, Pablo. Apuntes de Estabilidad y Control 2006.

Grado de Estabilidad Estática Longitudinal,EEL, Cessna 172N

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