GRADIENTE

CALCULO VECTORIAL

DEFINICION

Sea 𝑓 una función de dos variables. El gradiente de 𝑓 (o de 𝑓 𝑥, 𝑦 ) es una función vectorial

dada por:

∇𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

EJEMPLO: HALLAR LA GRADIENTE DE LA FUNCION 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙𝒚𝟐 EN EL PUNTO

(1,2)

SOLUCION:

PRIMERO HALLEMOS LA DERIVADA DE PRIMER ORDEN CON RESPECTO A “x” Y “y”:

𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 =𝒚

𝒙+ 𝒚2

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 + 𝒙𝒚𝟐

𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟐𝒙𝒚

DE ACUERDO CON LA FORMULA DE LA GRADIENTE, COMENZAMOS A SUSTITUIR ESOS

RESULTADOS DE LA DERIVADA:

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =𝒚

𝒙+ 𝒚2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 𝑗

AHORA SUSTITUIMOS ESE RESULTADO EN EL PUNTO (1,2)

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =𝒚

𝒙+ 𝒚2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟐𝒙𝒚 𝑗

𝛻𝑓 1,2 =𝟐

𝟏+ 𝟐2 𝑖 + 𝒍𝒏 𝟏 + 𝟐 𝟏 𝟐 𝑗

= 𝟐 + 4 𝑖 + 𝟎 + 𝟒 𝑗 = 6 𝑖 + 𝟒 𝑗

ASI QUE EL RESULTADO FINAL ES:

𝛻𝑓 1,2 = 6 𝑖 + 𝟒 𝑗

DERIVADA DIRECCIONAL

(EN TERMINOS DE LA GRADIENTE)

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑢

𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗 𝑢 = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗

EJEMPLO: HALLAR LA DERIVADA DIRECCIONAL CUYA FUNCION ES

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐, EN LA DIRECCION DE P(-3/4, 0) A Q(0,1)

SOLUCION:

NECESITAMOS DERIVAR LA FUNCION (PRIMER ORDEN):

𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟔𝒙

𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐

𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = −𝟒𝒚

LUEGO, NOS DAN 2 PUNTOS, ASI QUE, NECESITAMOS TRANSFORMARLO EN UN VECTOR:

𝑃 −3

4, 0 𝑦 𝑄 0, 1

𝑣 = 0 +3

4, 1 − 0 =

3

4, 1

𝑣 =3

4 𝑖 + 1 𝑗

Y LUEGO, TRANSFORMAR ESE VECTOR EN UN VECTOR UNITARIO:

𝑢 = 𝑣

𝑣=

34 𝑖 + 1 𝑗

34 𝑖 + 1 𝑗

=

34 𝑖 + 1 𝑗

916 + 1

=

34 𝑖 + 1 𝑗

916 +

1616

=

34 𝑖 + 1 𝑗

2516

=

34 𝑖 + 1 𝑗

54

=3 𝑖 + 4 𝑗

5=

3

5 𝑖 +

4

5 𝑗

𝑢 = 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗

SUSTITUYENDO ESTOS VALORES EN LA FORMULA, ENCONTRAMOS EL RESULTADO:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 ∙ 𝑢

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑖 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑗 ∙ 𝑢1 𝑖 + 𝑢2 𝑗

= 6𝑥 𝑖 − 4𝑦 𝑗 ∙3

5 𝑖 +

4

5 𝑗 =

18

5𝑥 −

16

5𝑦

NOS DAN DOS PUNTOS, ASI QUE, TOMAREMOS EL PUNTO INICIAL, ES DECIR, P (-3/4, 0) Y POR

LO TANTO LO SUSTITUIREMOS EN EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 =18

5𝑥 −

16

5𝑦

𝐷𝑢𝑓 −3

4, 0 =

18

5−

3

4−

16

50 = −

54

20− 0 = −

54

20

POR LO TANTO EL RESULTADO DE LA DERIVADA DIRECCIONAL ES:

𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = −54

20= −

27

10= −2.7

BIBLIOGRAFIAS

LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Cálculo de varias variables. Matemáticas 3”, 1ra

Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.

Swokowski, Earl, “Cálculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial Iberoamericana,

2da Edición, Estados Unidos de América, 1097