GPT-04_M1AA2L2_Funciones Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Pérez

 

 

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     Funciones trigonométricas   

Por Sandra Elvia Pérez Márquez

 

Las funciones trigonométricas son funciones de la medida de un ángulo, es decir, si el valor del ángulo cambia, el valor de éstas también. La tabla 1 muestras las seis funciones trigonométricas.

Función trigonométrica

Su forma abreviada

Se lee

Seno sen (A) Seno de A Coseno cos (A) Coseno de A Tangente tan (A) Tangente de A Cotangente cot (A) Cotangente de A Secante sec (A) Secante de A Cosecante csc (A) Cosecante de A

Tabla 1. Nombre de las funciones trigonométricas.

Las funciones trigonométricas, al igual que el teorema de Pitágoras, son relaciones existentes entre los lados de un triángulo rectángulo que permiten determinar el valor de los ángulos del triángulo y, con el apoyo del teorema de Pitágoras, también los lados desconocidos.

Para el caso de las funciones trigonométricas, a diferencia del teorema de Pitágoras en donde no es relevante identificar con detalle los catetos, cada uno de los lados y los ángulos del triángulo rectángulo toman un nombre específico de acuerdo al ángulo que se tome como referencia. La figura 1 muestra un triángulo rectángulo en donde:

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1. Los ángulos se identifican con las literales A y B (mayúsculas).

2. Los lados (catetos) se identifican con las literales a y b (minúsculas).

3. Los ángulos y lados opuestos se identifican con la misma letra.

Figura 1. Denominación de los lados y ángulos en un triángulo. En este triángulo, es importante observar que:

• Para el ángulo A, el cateto opuesto es a y el cateto adyacente (o contiguo) es b. • Para el ángulo B, el cateto opuesto es b y el cateto adyacente (o contiguo) es a.

La siguiente tabla, muestra con detalle lo anterior, dependiendo del ángulo que se tome de referencia.

Ángulo de referencia A Ángulo de referencia B

Hipotenusa: es el lado que se encuentra frente al ángulo de 90° y se denota por h. Cateto opuesto: es el lado que se encuentra frente al ángulo que se está tomando como referencia; en este caso, a es el cateto opuesto. Cateto adyacente: es el lado que se encuentra junto al ángulo que se está tomando como referencia; en este caso b es el cateto adyacente.

Hipotenusa: es el lado que se encuentra frente al ángulo de 90° y se denota por h. Cateto opuesto: es el lado que se encuentra frente al ángulo que se está tomando como referencia; en este caso, b es el cateto opuesto. Cateto adyacente: es el lado que se encuentra junto al ángulo que se está tomando como referencia; en este caso, a es el cateto adyacente.

Tabla 2. Denominación de los catetos conforme al ángulo tomado como referencia.

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Tomando como base lo anterior, para todo triángulo rectángulo, las funciones trigonométricas se definen como sigue:

Tabla 3. Funciones trigonométricas y la relación con los lados de un triángulo.

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Aplicando estas definiciones a los dos ángulos de referencia en un triángulo rectángulo tenemos:

Ángulo de referencia A Ángulo de referencia B

( )haAsen =

( )hbBsen =

( )hbA =cos

( )

haB =cos

( )baA =tan

( )

abB =tan

( )abA =cot

( )

baB =cot

( )bhA =sec

( )

ahB =sec

( )ahA =csc

( )

bhB =csc

Tabla 4. Funciones trigonométricas conforme al ángulo tomado como referencia.

A continuación se presentan algunos ejemplos que muestran cómo calcular las funciones trigonométricas y cómo utilizarlas para determinar datos del triángulo no conocidos. Donde sea necesario, se utilizarán las abreviaciones h para denominar a la hipotenusa, co para el cateto opuesto y ca para el cateto adyacente

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Ejemplo 1

Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, determina las 6 funciones trigonométricas tomando como referencia el ángulo A.

Figura 2. Triángulo tomando como referencia el ángulo A. Solución Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente, para este caso el cateto opuesto es a = 3 y el cateto adyacente es b = 4. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que:

43)tan(

54)cos(

53)(

==

==

==

cacoA

hcaA

hcoAsen

35)csc(

45)sec(

34)cot(

==

==

==

cohA

cahA

cocaA

Ejemplo 2

Para el triángulo rectángulo de la figura 3, determina las 6 funciones trigonométricas tomando como referencia el ángulo B.

Figura 3. Triángulo tomando como referencia el ángulo B.

Solución Lo primero es identificar el cateto opuesto y el cateto adyacente. Para este caso el cateto opuesto es b = 4 y el cateto adyacente es a = 3. Partiendo de la definición de la funciones trigonométricas tienes que:

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34)tan(

53)cos(

54)(

==

==

==

cacoB

hcaB

hcoBsen

45)csc(

35)sec(

43)cot(

==

==

==

cohB

cahB

cocaB

Observa cómo en los ejemplos 1 y 2, aunque se analizó el mismo triangulo, las funciones trigonométricas son distintas para cada ángulo de referencia (A o B).

Ejemplo 3

A partir de la función trigonométrica tan(A) = 1520

determina las funciones trigonométricas faltantes.

Solución

Recuerda que la función tangente se define como:

De esta relación se puede obtener que 15=opuestocateto y 20=adyacentecateto Ya que:

Si se representa en un triángulo rectángulo, puedes observar que hace falta calcular el valor de la hipotenusa, para ello puedes utilizar el teorema de Pitágoras.

222 bah +=

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Figura 4. Triángulo conocidos dos catetos.

Sustituyendo los datos conocidos:

25625

6254002252015

2

2

222

==

=

+=

+=

h

hhh

Una vez que tienes el valor de todos los lados del triángulo, puedes establecer las 6 funciones trigonométricas como se muestra a continuación.

2015)tan(

2520)cos(

2515)(

==

==

==

cacoA

hcaA

hcoAsen

1525)csc(

2025)sec(

1520)cot(

==

==

==

cohA

cahA

cocaA

 Funciones trigonométricas recíprocas  ¿Has notado la similitud existente entre algunas funciones trigonométricas?, ¿cuáles son similares? Observa la función tangente y la función cotangente, ¿en qué son parecidas? Si se consideran los resultados del ejemplo anterior, puedes observar lo siguiente:

Tangente Cotangente

1195)tan( ==

cacoF

5119)cot( ==

cocaF

Al observar estas funciones trigonométricas, se puede apreciar que son recíprocas entre sí. Si no lo recuerdas, dos números son recíprocos si al multiplicarse son iguales a la unidad. Multipliquemos la tangente y la cotangente para verificar su reciprocidad.

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( )( )( )( ) 1

51191195

5119

1195

==

Tabla 5. Tangente y cotangente.

En la tabla 6 se muestra la reciprocidad que existe entre las funciones trigonométricas.

Funciones trigonométricas

Esto implica que:

Tabla 6. Funciones trigonométricas recíprocas.

Conocer que las funciones trigonométricas son recíprocas en parejas, es de utilidad cuando se quiere determinar el valor de las funciones cotangente, secante y cosecante, usando una calculadora científica. En los ejemplos anteriores se determinó el valor de las funciones trigonométricas mediante las relaciones de los lados de un triángulo rectángulo. Cuando se conocen los ángulos del triángulo, se puede utilizar una calculadora científica para calcular las funciones trigonométricas. Observa el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1 Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, determina las 6 funciones trigonométricas para el ángulo de 30º.

Figura 5. Triángulo conocidos dos ángulos.

es recíproca de es recíproca de es recíproca de

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Solución Las calculadoras científicas incluyen las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente. Para calcularlas se pulsa la tecla correspondiente con la función trigonométrica a calcular y el valor del ángulo.

Calcula las funciones trigonométricas utilizando la calculadora científica. Para ello, te recomiendo utilizar la calculadora científica UVEG. Si no sabes cómo acceder a ella haz clic en Apoyo 1.Guía para acceder a la Calculadora UVEG, localizado en la parte derecha de tu pantalla en la sección Recursos, en el área de Lecturas. Posteriormente realiza las siguientes operaciones:

Calcular el valor de

)º30(sen )º30cos( )º30tan(

Si las calculadoras científicas sólo consideran las funciones anteriores, ¿cómo calcularás las tres funciones restantes? Regresa a las relaciones de reciprocidad.

1)csc()( =∗ AAsen 1)sec()cos( =∗ AA 1)cot()tan( =∗ AA

Utilizando las expresiones anteriores y los valores obtenidos de las funciones trigonométricas en la calculadora (seno, coseno y tangente) se pueden obtener los valores de las funciones reciprocas del ángulo de 30º.

Para obtener el valor de

Utilizamos Despejando y sustituyendo Valor obtenido

)º30csc(

5.0)º30( =sen y

1)csc()( =∗ AAsen

Como )(Asen está multiplicando pasa dividiendo al 1, así la fórmula despejada es:

)(1)csc(Asen

A =

Sustituyendo:

25.01

)º30(1)º30csc( ===

sen

2)º30csc( =

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)º30sec(

866.0)º30cos( = y

1)sec()cos( =∗ AA

Como )cos(A está multiplicando pasa dividiendo al 1, así la fórmula despejada es:

)cos(1)sec(A

A =

Sustituyendo:

154.1866.01

)º30cos(1)º30sec( ===

154.1)º30csc( =

)º30cot(

577.0)º30tan( = y

1)cot()tan( =∗ AA

Como )tan(A está multiplicando pasa dividiendo al 1, así la formula despejada es:

)tan(1)cot(A

A =

Sustituyendo:

732.15773.01

)º30tan(1)º30cot( ===

732.1)º30cot( =

Tabla 7. Funciones reciprocas del ángulo de 30º. Como se pudo observar en el ejemplo anterior, las funciones trigonométricas se pueden calcular utilizando una calculadora científica. Pero debido a que estos aparatos contemplan solamente a las funciones seno, coseno y tangente, para continuar con los triángulos rectángulos, centraremos nuestro estudio en estas tres funciones trigonométricas. Obtención de los datos desconocidos en un triángulo rectángulo  En muchas ocasiones, sólo se conocen algunos datos de un triángulo rectángulo pero con esta información y aplicando el teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas, es posible determinar los datos que faltan. En los siguientes ejemplos se muestran algunas de las situaciones antes mencionadas.

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Ejemplo 1

Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, determina el valor de los ángulos A y B.

Figura 6. Triángulo del cual se conocen

3 lados. Solución Como se conocen todos los lados del triángulo, es posible utilizar cualquiera de las funciones trigonométricas. Si utilizas la función seno y se toma de referencia el ángulo A, obtendrás:

654)( =Asen

A partir de la función:

654)( =Asen

º74.29)4961.0(654 11 ==

= −− sensenA

Recordando que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º,

º25.60)º9074.29(º180

=

+−=

BB

Ejemplo 2

Para el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, determina el valor de los datos que faltan.

Figura 7. Triángulo del cual se conoce 1 lado y un

ángulo.

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Solución A diferencia del ejemplo anterior y debido a que sólo se conoce el ángulo B = 50º y su lado opuesto, es necesario decidir qué función trigonométrica utilizar. Observa que no es posible la función coseno porque se desconoce tanto el cateto opuesto como el cateto adyacente pero sí es posible aplicar la función seno y la función tangente. Si aplicas la función seno, tienes:

hsen 6)º50( =

Si despejas h de esta expresión, tienes que:

8324.7)º50(

6

=

=

hsen

h

Ahora que ya se conoce la hipotenusa es posible calcular el lado a utilizando el teorema de Pitágoras.

0345.568324.7 22

=

−=

aa

Finalmente, encuentra el ángulo A.

º40º50º90º90º50

=

−=

=+

AAA

Los ejemplos anteriores muestran cómo aplicando las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras se puede encontrar todos los datos de un triángulo rectángulo.

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 Bibilografía 

Clemens, S., OʼDaffer, P. & Cooney, T. (1998). Geometría. (Addison- Wesley Iberoamericana, l López Mateos, M. Trad.). México: Pearson.

Fuenlabrada, S. (2007). Geometría y trigonometría (3ª. ed.). México. McGraw-Hill.

Geltner, P. & Peterson, D. (1998). Geometría (3ª. ed., Villagómez, H. Trad.). México: Thomson.

Geltner, P., Peterson, D., Swokowski, E. & Cole, J. (2002). Geometría y Trigonometría. (3ª. ed., Villagómez, H. y Romo, J. H. Trad.). México: Thomson.