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CDIN06_M1AA2L1_Algebraicas Versión: Septiembre 2012 Revisor: Sandra Elvia Pérez

Derivadas algebraicas

por Sandra Elvia Pérez

Derivada de una función El concepto de derivada, base del cálculo diferencial, ha permitido resolver múltiples

problemas y hoy en día continúa vigente; sirve como sustento a muchas disciplinas como: mecánica, electromagnetismo, electrónica, comunicaciones, termodinámica, economía, medicina.

Mediante el concepto de derivada, se pueden resolver problemas que impliquen una

variación, por ejemplo en medicina, se puede determinar la velocidad con la que cambia el tamaño de un tumor con respecto al tiempo, pudiendo determinar si un tratamiento está dando resultado o el tiempo adecuado para realizar una operación.

Otra posible aplicación es determinar las dimensiones óptimas de un contenedor (de forma

indistinta) que permita encerrar un volumen máximo utilizando un mínimo de material. Estos y otros problemas pueden ser resueltos mediante la aplicación de la derivada.

Definición

El concepto de derivada, según Purcell y Varberg (2000) es el siguiente:

“La derivada de una función f es otra función f’ (léase “efe prima) cuyo valor para un número cualquiera c es

( )( ) ( )

h

cfhcfcf

h

−+=′

→lim

0

una vez que dicho límite exista” (p. 101).

Esta definición es prácticamente la misma que manejan diferentes autores, por ejemplo Zill (1987) define a la derivada como sigue:

“La derivada de una función ( )xfy = con respecto a x es

( ) ( ) ( )xy

xxfxxfxf

xx Δ

Δ=

Δ

−Δ+=′

→Δ→Δlimlim

00

Siempre que este límite exista” (p. 117).


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Observa que ambas definiciones son las mismas y sólo se diferencian en las literales que utilizan, en nuestro curso utilizaremos la notación xΔ . La definición de derivada se puede desarrollar desde distintos puntos de vista, en este curso se lleva a cabo el desarrollo de la definición desde el punto de vista geométrico por considerarlo más representativo. Ahora observa

La expresión

( ) ( )x

xfxxfyx Δ

−Δ+=′

→Δlim

0 ,

la cual se conoce como Regla General de la Derivación. A continuación se analiza un ejemplo del uso de esta fórmula para explicar cómo se utiliza. Ejemplo Encontrar la derivada de la función lineal ( ) 35 += xxf En la fórmula se requiere el término ( )xxf Δ+ . Para hallarlo se sustituye el valor de las sx' por

xx Δ+ . En este caso queda,

Sustituyendo estas dos expresiones en la Regla General de la Derivación obtienes,

( ) ( )

( )[ ] ( )x

xxxy

xxfxxfy

x

x

Δ

+−+Δ+=′

Δ

−Δ+=′

→Δ

→Δ

3535lim

lim

0

0

Se requiere calcular el límite indicado. Para ello se desarrolla el numerador con el propósito de simplificarlo.


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( )[ ] ( )

[ ] ( )

5

555

35355

35355

3535

limlim

lim

lim

lim

00

0

0

0

=′

==Δ

Δ=′

Δ

−−+Δ+=′

Δ

+−+Δ+=′

Δ

+−+Δ+=′

→Δ→Δ

→Δ

→Δ

→Δ

yxxy

xxxxy

xxxxy

xxxxy

xx

x

x

x

En este ejemplo la derivada de la función ( ) 35 += xxf es 5=′y . La derivada de cualquier función puede ser determinada a partir de la regla general de la derivación, sin embargo entre más complicadas sean las funciones, las operaciones algebraicas que se tienen que realizar se vuelven más extensas y es por ello que se utilizan las reglas de derivación las cuales se muestran a continuación.

Derivadas de funciones algebraicas Las fórmulas de derivadas parten de la aplicación de la definición de derivada a los diferentes tipos de funciones. De acuerdo a Fuenlabrada de la Vega (2001) las notaciones de las derivadas de acuerdo al autor pueden ser como se muestran en la tabla 1:

Notación Autor

Cauchy

Lagrange

Lagrange

Leibnitz

Tabla 1. Notaciones y autores (Fuenlabrada de la Vega, 2001, p. 54).


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El siguiente formulario sólo incluye los teoremas sobre derivadas de Funciones Algebraicas. En secciones posteriores se anexan las fórmulas de las funciones trigonométricas directas, funciones exponenciales y logarítmicas

Formulario de Derivadas de Funciones Algebraicas

C representa cualquier constante. Las literales u, v, w, representan cualquier función. uʼ, vʼ,wʼ representan la derivada de u, v, w)

1. ( ) 0=Cdxd

2. ( ) 1=xdxd

3. ( ) ( )xdxdccx

dxd

=

4. ( ) wvuwvudxd

′−′+′=−+

5. ( ) ( ) 1−= nn xnxdxd

6. ( ) ( ) ucudxdccu

dxd

′==

7. ( ) uvvuuvdxd

′+′=

8. 2vvuuv

vu

dxd ′−′

=

9. ( ) ( ) uunudxd nn ′= −1

Figura 1. Formulario de derivadas básicas realizado con base en la nomenclatura de Leibnitz y de Lagrange.


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Derivada de una constante Ejemplo Deriva 5=y Usando la regla para derivar una constante,

0)( =Cdxd

Tiene que:

0)5( =dxd

Por lo tanto, 0=′y

Ejemplo Deriva π=y En esta expresión aparece la constante π (pi), por lo que π también es una constante

0)( =πdxd

0=′y

Derivada de la variable independiente La regla para la derivada de la variable independiente x es 1.

( ) 1=xdxd

Es importante señalar que la variable x puede representar cualquier tipo de variable, sin embargo en los problemas de aplicación frecuentemente se utilizan literales que hacen referencia a la variable que se tiene que manipular, de esta forma si se pretende realizar la derivada de la velocidad con respecto a la velocidad es común utilizar la variable v. De esta forma tienes que:

( ) 1=vdvd


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Derivada de la variable independiente (x) multiplicando a una constante Recuerda que es común que se represente la variable independiente con la letra x, sin embargo puede ser cualquier variable (letra) la que esté representada. Ejemplo Deriva ty 7= Usando la regla número 7

( ) ( )xdxdccx

dxd

= y aplicando a la variable t

Tienes:

( ) ( ) ( ) 71777 ====′ tdtdt

dtdy

,

por lo que: 7=′y

Observa que en este ejemplo se está derivando t con respecto a t

Ejemplo

Encuentra la derivada de 23xy −

=

( )23)1(

23

23

23 −

=−

=−

=

−=′ xdxdx

dxdy

Derivada de una suma de funciones Para realizar la derivada de una suma de funciones, se aplican las reglas de derivación a cada uno de los términos por separado. Ejemplo Deriva 34 −= xy Usando la regla


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( ) wvuwvudxd

′−′+′=−+,

la derivada de 34 −= xy es:

( ) ( ) ( ) 4043434 =−=−=−=′dxdx

dxdx

dxdy

Ejemplo Deriva 25 +−= xy La derivada de 25 +−= xy es

( ) ( ) ( ) 5052525 −=+−=+−=+−=′dxdx

dxdx

dxdy

Ahora observa alguna de las aplicaciones que se pueden tener al realizar las derivadas de

funciones lineales.

Supón que te proporcionan la ecuación de una línea recta ( 12 −= xy ) y te piden encontrar el ángulo de intersección en la recta y el eje positivo de las x. La geometría analítica proporciona una forma de resolver este problema, pero lo solucionas con derivadas sólo para ejemplificar su aplicación.

Derivando 12 −= xy obtienes,

( ) ( ) ( ) 2021212 =+=−+=−dxdx

dxdx

dxd

Debido a que la derivada obtenida también es la pendiente de la recta, 3=m y a que la

pendiente de una recta es la tangente del ángulo de inclinación ( αtan=m ), entonces:

α

α

tan2tan2

=

=

=

mm

Si despejas el ángulo α puedes hallar su valor,

( ) °== 43.632tan1α ,


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que es el valor que estabas buscando.

La comprensión del Cálculo puede llegar a ser una herramienta muy poderosa en la resolución de problemas pero depende, como casi todo, de la destreza que se alcance en su manejo.

Derivada de la variable independiente (x) elevada a un exponente distinto de 1 Ejemplo Deriva 5xy = Usando la regla número 5

( ) ( ) 1−= nn xnxdxd

,

la derivada de 5xy = es:

( ) ( ) ( ) 44155 555 xxxxdxdy ====′ −

Ejemplo

Deriva 34

xy = En este ejemplo aunque el exponente es fraccionario, el proceso es exactamente el mismo.

( ) ( ) 31

311

34

34

34

34

34 xxxx

dxdy ===

=′ −

Ejemplo Deriva 3523 +−+= xxxy En este ejemplo primero debes utilizar la regla de la suma y enseguida las reglas anteriores.


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( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

523´523

)0(15)2(3

3535

2

2

1213

2323

−+=

−+=′

+−+=′

+−+=+−+=′

−−

xxyxxy

xxydxdx

dxdx

dxdx

dxdxxx

dxdy

En los ejemplos anteriores se puede observar que la

derivada de una función del tipo ( ) nxxf = , implica dos pasos:

1) Bajar el exponente y colocarlo enfrente de la x. 2) Restar un 1 al exponente teniendo cuidado de

aplicar correctamente las leyes de los signos y de los exponentes.

Derivada del producto de una función por una constante

La regla 6 es la que se usa en los siguientes ejemplos. Este teorema es una ampliación de la regla 3.

( ) ( ) ucudxdccu

dxd

′==

Ejemplo Calcula ahora la derivada de 53xy −= Observa que en este ejemplo el exponente incluye decimales, pero el proceso es el mismo La derivada de 53xy −= queda:

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] 441555 15535333 xxxxdxdx

dxdy −=−=−=−=−=′ −


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Ejemplo

Deriva 6

21 xy =

La derivada de 6

21 xy = es:

( ) ( )[ ] ( )[ ] 5551666 3266

216

21

21

21 xxxxx

dxdx

dxdy =====

=′ −

Este último ejercicio 53x es ya un resultado correcto de la derivada. El resultado 53x lo

obtienes después de una simplificación de la fracción.

En muchas ocasiones, simplificar las expresiones ayuda a que los resultados sean más fáciles de obtener, además de que permite practicar el uso del Álgebra.

Ejemplo Deriva 355 23 ++−= xxxy . Observa que este ejemplo es una suma de funciones.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )355355 2323

dxdx

dxdx

dxdx

dxdxxx

dxdy +−−=++−=′

Para facilitar el cálculo, resulve cada derivada por separado.

( ) ( ) ( )[ ] 21333 153555 xxxdxdx

dxd

=== −

( ) ( )[ ] xxxdxd 22 122 == −

( ) 5)1(5)(55 === xdxdx

dxd


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( ) 03 =dxd

De esta manera el resultado final se obtiene sumando los resultados anteriores, por lo que la derivada buscada es:

5215 2 −+=′ xxy Observa que en este tipo de derivadas se usa lo que ya habías estudiado y solamente

realizas la suma.

Fórmula para derivar un producto de funciones

En la resolución de los siguientes ejemplos será necesario utilizar la regla 7.

( ) uvvuuvdxd

′+′=

Ejemplo Deriva ( )( )xxy 2535 −+= Para resolver este tipo de derivadas es recomendable identificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas derivadas u′ y v′ .

( )( )xvxu2535

−=

+=

220)2()5(´

505)3()5(´

−=−=−+=

=+=+=

xdxd

dxdv

dxdx

dxdu

Ahora que ya tienes a vvuu ′′ ,,, , los sustituyes en la regla de derivación 7,

( )( ) ( )( )

19201025610

525235

+−=′

−+−−=′

−+−+=′

xyxxyxxy


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Ejemplo Deriva ( )( )25 74 xxy =

Identifica vvuu ′′ ,,,

( )( )

xvxuxvxu

14´20´74

4

2

5

=

=

=

=

Ahora que ya tienes a vvuu ′′ ,,, , los sustituyes en el teorema 7

( )( ) ( )( )( ) ( ) 666

425

19614056207144xxxyxxxxy

=+=′

+=′

El resultado es entonces:

6196xy =′

Conforme avances en el dominio de las derivadas, podrás omitir algunos pasos del desarrollo, lo que te ayudará a que encuentres tus derivadas en un tiempo cada vez menor. Como puedes observar, en la fórmula del producto se multiplica una de las funciones por la derivada de la segunda función y viceversa.


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Fórmula para derivar un cociente de funciones

2vvuuv

vu

dxd ′−′

=

Ejemplo

Deriva 123+

−=xxy

, observa que este ejemplo corresponde a un cociente de funciones.

Para resolver este tipo de derivadas es recomendable identificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas derivadas u′ y v′ .

( )( )

2´1´

123

=

=

+=

−=

vu

xvxu

Aplicando la regla para la división 2vvuuv

vu

dxd ′−′

=

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )22

2

127

12621212

23112

+=

+

+−+=′

+

−−+=′

xxxxy

xxxy


( )2127+

=′x

y


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Ejemplo

Deriva 3

2

345x

xy−

+=

, observa que este ejemplo corresponde a un cociente de funciones.

Para resolver este tipo de derivadas es recomendable identificar qué funciones son u y v, y luego calcular sus respectivas derivadas u′ y v′ .

( )( )

xvxu

xvxu

6´2´

3452

2

−=

=

−=

+=

Aplicando la regla para la división 2vvuuv

vu

dxd ′−′

=

( )( ) ( )( )( )

( ) ( )( )

( )

( )22

22

33

22

33

22

22

3438

3430668

3430668

3465234

xxy

xxxxxy

xxxxxy

xxxxxy

−=′

−

++−=′

−

−−−−=′

−

−+−−=′


( )223438xxy

−=′


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Fórmula para calcular la derivada de una función elevada a un exponente diferente de 1

( ) ( ) uunudxd nn ′= −1

Este teorema es muy similar a la regla de derivación 3, que permite derivar la variable

independiente (x) cuando ésta se encuentra elevada a una potencia distinta de 1. A continuación se hace una comparación de su uso.

( ) ( ) 1−= nn xnxdxd ( ) ( ) uunu

dxd nn ′= −1

Deriva 3xy = . Observa que en esta expresión solamente la x está elevada al exponente 3.

Deriva 3)5( xy = . Aquí se utilizan los paréntesis para decir que la expresión (5x) está elevada al exponente 3 y aparece un término adicional: u’, que es la derivada del término 5x

( ) ( ) 2133 33 xxxdxdy ===′ −

El resultado es

23xy =′

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2222

133

375)25(15515553

5535

xxxxy

xdxdxx

dxdy

====′

==′ −

El resultado es 2375xy =′

Tabla 2. Comparativo de uso de reglas de derivación.

Es muy importante que te quede claro cuándo deberás usar una regla de derivación u otra.

Analiza los siguientes ejemplos.

Ejemplo Deriva 53 )325( +−= xxy En este tipo de derivadas es recomendable identificar u, u’, n, y luego aplicar la fórmula. u = 5x

3! 2x +3 "u =15x

2! 2 n = 5

"y = 5 5x3! 2x +3( )

5!1

15x2! 2( )

Se multiplica el ( )2155 2 −x Por lo tanto el resultado es

( )( )432 3251075 +−−=′ xxxy


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Ejemplo Deriva 3

22 )32( += xy En este tipo de derivadas es recomendable identificar u, u’, n, y luego aplicar la fórmula.

( ) ( )

( ) ( )xxy

xxy

nxuxu

43232

43232

432

31

32

2

12

322

−

−

+=′

+=′

==′+=

Si se multiplica el término x4 por 32 , y′ puede escribirse:

( ) 31

3238 2 −

+=′ xxy

Como puedes ver en estas dos últimas fórmulas, su uso correcto depende del buen manejo de las reglas de derivación anteriores además de que su aplicación requiere de un mayor cuidado para no cometer errores.


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Referencias

Fuenlabra de la Vega, S. (2001). Cálculo Diferencial (2a. ed.). México: McGraw-Hill Interamericana.

Leithold, L. (1987). El Cálculo con Geometría Analítica (5ª. ed.; J. C. Vega, Trad.). México: Harla.

Purcell, E. J. & Varberg, D. (2000). Cálculo Diferencial e Integral (6a. ed.; J. A. Gómez, Trad.). México: Prentice Hall.

Smith, R. T., & Minton, R. B. (2000). Cálculo Tomo 1 (H. A. Castillo y G. A. Villamizar, Trads.). México: McGraw Hill.

Stewart, J., Redlin, L. & Watson, S, (2001). Precálculo. Matemáticas para el cálculo. (3a. ed.; V. González y G. Sánchez, Trads.). México: International Thomson Editores.

Zill, D. G. (1987). Cálculo con Geometría Analítica (E. Ojeda, Trad.). México: Grupo Editorial Iberoamérica.

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