Gorputz geometrikoak · 2019. 4. 27. · POLIEDROAK A = 4 π r 2 BIRAKETA-GORPUTZAK A aldtot = 2 π...

144

Unitatearen aurkezpena

•Unitatehonetangorputzgeometrikoakespazioanaztertukoditu-gu:aztertzea,deskribatzea,sailkatzea,luzerakneurtzeaetaaza-leraetabolumenakkalkulatzea.

•Ikasleekdagoeneko landuetagaratudutegorputzgeome-trikoennomenklatura.Bolumen-neurriakontzeptuaetamagnitu-dehorridagozkionsistemametrikohamartarrarenunitateakereikasidituzte;halaere,horiekguztiakoraindikezindirabarnera-tutzateman,edukiberriakdirelako.Hortaz,unitatehonetan,ikasleekezdituzteedukiakberrikusiko:aurrekojakintzakikasi,in-dartuetasakonduegingodituzte.

•Poliedromotaohikoenakaurkeztukoditugu,etahaiendualta-sun-erlazioaaztertukodugu.Horrezgain,poliedroerdierregula-rrakpoligonoerregularrakmoztuznolasortzendirenazaldukodugu.Simetriakaztertukoditugu.Luzeraketaazalerakzeharkaneurtuko ditugu, geometria lauan ikasitako ezaguerak(Pitagorasenteoremabereziki)erabiliz.Bolumenakkalkulatzekoprozeduraorokorrakereplanteatukoditugu.

•Azkenik,ikasitakozenbaitgeometria-ezagueraaplikatukoditu-gu,lur-esfera,koordenatugeografikoaketaLurrarenbiraketa-mugimenduenondorioakikasteko.

Gutxienekoezaguerak

Unitateaamaituorduko,ikasleekezaguerahauekjakinbeharkodi-tuzte,gutxienez:

•Poliedrokontzeptua:nomenklaturaetasailkapenaegitekogaiizatea.

•Biraketa-gorputzkontzeptua:nomenklaturaetasailkapenaegite-kogaiizatea.

•Gorputzgeometrikoeidagokiennomenklaturaerabiltzea,mun-duerrealekoobjektuakdeskribatzekoetahaieiburuzkoinforma-zioaemateko.

•Poliedroerregularrenezaugarriakzeindirenjakitea.

•Gorputzsinplebatzuenazaleraetabolumenakalkulatzea,gara-peneanoinarrituzedoformulabatbeharbezalaaplikatuz.

•Koordenatugeografikoak,latitudeaetalongitudeazerdirenjakitea.

11 Gorputz geometrikoak

144

Unitatearen eskema

IRUDIAK ESPAZIOAN

irudilauariardatzbateninguruanbiraeginezsortzendirengorputz

geometrikoak

poligonozmugatutakogorputz

geometrikoak

poliedroERREGULARRAK

etaIAERREGULARRAK

zeinenazaleraden

zeinenazaleraden

zeinenazaleraden

zeinenbolumenaden

zeinenbolumenaden

zeinenbolumenaden

etaberezikiinteresgarriakdira

honakohauekdiragarrantzitsuenak:

honakohaudira: honakohaudira:adibidez adibidez

V=Aoin·h=πr2h

V=34 πr3

V=31 Aoin·h= 3

1 πr2h

POLIEDROAK

A=4πr2

BIRAKETA-GORPUTZAK

Aald=2πrh

Atot=2πrh+2πr2

zeinenazaleraden

zeinenazaleraden

zeinenazaleraden

zeinenbolumenaden

zeinenbolumenaden

zeinenbolumenaden

V=Aoin·h

Atot=2·(ab+ac+bc)

V=Aoin·h=a·b·c

V=31 Aoin·h

Aald=p·h

Atot=Aald+2Aoin

Aald=p·a/2

Atot=Aald+AoinAald=πrg

Atot=πrg+πr2

PRISMA

ZILINDROA

KONOA

ESFERA

ORTOEDROA

PIRAMIDEA

145

Osagarrigarrantzitsuak

Komenidaikasleakedukiosagarriakerabiltzea,ikasketa-prozesuaosatzeko.Unitatehonetan,honelakoekintzakproposatukodira:

•Hainbatgorputzgeometrikodeskribatzea.

•Bostpoliedroerregularrenidentifikatzeaetaaztertzea.

•Poliedroakmoztuz,poliedroerdierregularraklortzea.

•Simetria-planoaketabiraketa-ardatzakidentifikatzea.

•Arrazoitutakoprozedurenbitartez,poliedroenetabiraketa-gor-putzenluzerak,azaleraketabolumenakneurtzea.

•Piramideenenborrenazaleraetabolumenakalkulatzea,baitakono-enborrenaketagorputzkonposatuenakere.

•Ordu-ardatzak.

Lanakaurreratu

•Ikasleekgorputzgeometrikoenetaeurengarapenenereduaketairudikapenukigarriaksortukodituzte,edo,orohar,irudimenespazialalantzenlaguntzekomodukoedozeinbaliabide,unita-teanzeharaztertukodituztenirudiakerrazagoikusteko.

• Ikasgelaraekarrikodituztepoliedroedobiraketa-gorputzenfor-madutenobjektuak,haienazaleraketabolumenakkalkulatzeko;adibidez:freskagarri-latak,botilak,edalontziak,ortoedroformadutenkaxak,prismak…

•Esferazuribat,harengaineanparaleloaketameridianoakma-rrazteko.

LANKIDETZAN IKASI PENTSAMENDU ULERKORRA PENTSAMENDU KRITIKOA

206.or.PDhonetaniradokitakoariketa. 209.or.2.ariketa.(*) 209.or.3.(*),4.(*)eta5.(*)ariketak.

223.eta224.or.PDhonetaniradokitakoariketa.(Talde-laneanegiteko)

212.or.1.ariketa.(*) 210.or.1.(*)eta2.(*)ariketak.

214.,216.eta219.or.Ariketaebatziak.(*) 212.or.1.(*)eta4.(*)ariketak.

222.or.«Ariketaetaproblemaebatziak».(*) 223.,224.eta225.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

223.or.3.(*)eta5.(*)ariketak. 225.or.25.eta26.ariketak.(*)

225.or.27.ariketa.(*)

227.or.44.,48.(*)eta50.(*)ariketak.

DIZIPLINARTEKOTASUNA IKT EKIMENA PROBLEMAK EBAZTEA

206.or.PDhonetaniradokitakoariketa.

207.or.«Ebatzi».1.ari-keta.(*)

207.or.«Ebatzi».2.ariketa.(*) Ikaslearenliburuanproposatutakoproblemaguztiakatalhonidagozkio.Jarraian,interesbereziadutenbatzukadierazikoditugu.

220.or.«Koordenatugeografikoak».

208.or.1.ariketa.(*) 211.or.3.ariketa.(*)

221.or.1.(*)eta3.(*)ariketak. 212.or.3.ariketa.(*) 217.or.1.(*)eta5.(*)ariketak.

224.or.17.ariketa.(*) 213.or.3.ariketa.(*) 219.or.3.(*)eta4.(*)ariketak.

228.or.«Espazioabetetzekoformabatzuk».(*)

223.or.4.ariketa.(*) 225.or.25.eta26.(*)ariketak.

224.or.9.eta20.ariketak. 226.or.32.(*),39.(*)eta41.(*)ariketak.

228.or.«Irakurri,asmatuetaulertu».

227.or.43.(*)eta45.ariketak.

229.or.«Trebatuproblemakebatziz».

Jarraianaurkeztukoduguntaulan,lankidetza,pentsamenduulerkorra,pentsamendukritikoa,diziplinartekotasuna,IKTak,eki-menaetaproblemenebazpenalantzekoariketasortabatproposatukodugu.Horietakobatzukikaslearenliburuanproposatuditugu,etahemenadieraziditugubakoitzaridagokionorrialdeaetaariketa.Besteariketabatzuk,ordea,proposamendi-daktikoanbertanjasoditugu.

Iradokizunhorienaukeraketabatikaslearenliburuandagoadierazita,ikonobatekin;hemen,izartxo(*)batekinadieraziditugu.

146

Unitatea hasteko

InteresgarriaizandaitekeikasleekPlatoneketaArkimedesekkulturarietapentsamenduariegindakoekarpenenberriizatea,baitazientziarekikoetamatematikarekikoizanzutenjarrerazer-nolakoaizanzenjakiteaere.

Arkimedesek,gertakarifisikoakedopropietatematematikoakulertzeko,esperimentazioa,teknikaetaobjektu-sorkuntzaerabilizituen.Platonek,al-diz,esperimentazioaetapraktikagutxietsiegitenzituen.

Kalkuluak Arkimedesen estiloan

Zirkuluarenazaleraetaesferarenbolumenakalkulatzekoaurkeztudugunprozedurariexhauzio-metododeritzo.Horrenarabera,irudiainfinituzatiñimiñotanzatitutadago.Prozedurahori,halaber,kalkuluinfinitesimalarenabiapuntua izan zen. Eudoxiok erabili zuen lehenengo aldiz, bainaArkimedesekaterazionetekinikgehien.

Exhodiok(K.a.408–K.a.335)Akademianikasizuen,Platonekinbatera.Geometria-demostrazio ugari lortu zituen; gerora, horietako askoElementuak liburuanbilduzituenEuklidesek.PlanetenmugimenduariburuzPlatonekzeukanteoria(zirkuluperfektuakdeskribatuzituen)bereideiekinuztartzensaiatuzen.

Lankidetzan ikasi

Honakoariketahauiradokitzendugu:

Talde-lana:EginArkimedesensolidoeiburuzkohorma-irudia.

Diziplinartekotasuna


Sakonduirakurgaiariburuzkoinformazioa:matematikarenetafilosofiarenartekoloturakantzinakoGrezian.

Ekimena


BilatuArkimedesensolidoeiburuzkoinformazioa;gero,aukeratubatetadeskribatuharenaurpegiak,erpin-etaertz-kopurua,etab.

«Ebatzi» atalaren soluzioak

1 a)Erronbikuboktaedroarenazalera8triangeluketa18karratukera-tzendute.

b)Kuboktaedroa,ikosidodekaedroa,erronbikosidodekaedroa.

2 Piramideenoinarrienazalerarenbaturaetaazaleraesferikoabatda-toz:4πr2.

Piramidebakoitzarenaltueraesferarenerradiotik,r-tik,hurbildago.

V=31 (Oinarrienazalerenbatura)·Altuera=

31 (4πr2)·r=

34 πr3

207206

11 Gorputz geometrikoak

Ebatzi

1. Jo arkimedear solidoei buruzko informazio bila:a) Zenbat triangeluk eta zenbat karratuk eratzen dute erronbikuboktaedroaren azalera?b) Idatzi beste arkimedear hiru solidoren izenak.

2. Kalkulatu, Arkimedesen eran, zenbat den esferaren bolumena, honako laguntza hauek kontuan hartuz:

•Altuera bereko hainbat piramideren bolumenen batura da:

A = 13 (oinarrien azaleren batura) · Altuera

•Esferaren bolumena zenbat den kalkulatzeko, aurreko formula esfera deskonposa daitekeen O erpineko eta r altuerako piramide oso finen baturari aplikatuz kalkulatzen da.

• Esferaren gainazalaren azalera 4π r 2 da.

Kalkuluak Arkimedesen estiloan

Azalerak eta bolumenak zenbat diren kalkulatzeko, Arkimedesek irudia oso zati txikitan deskonposatuta zegoela jo eta horiei buruzko arrazoibideak egiten zituen. Ikus dezagun, adibidez, nola lor daitekeen, horrela, zenbat den zirkulu baten azalera:

•Altuera bereko hainbat triangeluren azaleren batura, logiko denez, honako hau da:

A = 21 (oinarri guztien batura) · Altuera

•Nola erabil dezakegu aurreko emaitza zirkulurako? Triangelutan deskon-posatuko dugu, erpina O-n dutela; triangeluen oinarriak segmentu lerrozuzenak izateko moduko finak izango dira eta horien guztien altuera r izango da.

Azalera totala izango da:

A = 21 (oinarri guztien batura) · Altuera

2 · π · r r

Eragiketak eginez, zirkuluaren azaleraren formula lortuko dugu:

A = 21 · 2π r · r = π r 2

O

2 · π · r

…

r

h

b1 b2 b3 b4

1A = — (b1 + b2 + b3 + b4) · h 2

r

Or

O

2 · π · r

…

r

h

b1 b2 b3 b4

1A = — (b1 + b2 + b3 + b4) · h 2

r

Esferaren gainazalaren azalera barnean hartzen duen zilindroarenarekin bat datorrela Arkimedesen eran justifikatzea.

WebguneanArkimedesen solidoak.

Platon (427 K. a.-347 K. a.) Platon Atenasko filosofoa izan zen eta filosofia moralari buruzko interesa izan zuen batez ere; Platonentzat, zientzia beheragoko mailako jakindu-ria zen. Matematika abstrakzio idealizatuengatik eta kontu materialeta-tik urruntzen zelako gustatzen zitzaion; nahiz eta matematika Platonen arloa izan ez, gai hori ikastea bultzatu zuen; hainbesteraino bultzatu zuen non Platonek Atenasen fundatu zuen unibertsitatearen antzekoa zen Aka-demiaren sarreran honako testu hau zegoen idatzita: «Matematikarik ez dakienik ez dadila hemen sartu».Poliedro erregularrek, platondar solidoek, unibertsoarekin lotura estua zutela uste zuen: zeruek matematika abstraktuaren bikaintasuna islatu behar zuten bere formarik soilenean.Platonek eragin handia izan zuen geroagoko pentsaeran.

Arkimedes (287 K.a.-212 K.a.) Ingeniaria, matematikaria eta asmatzailea izan zen. Bizitzan zehar, apa-ratu mekaniko asko asmatu eta egin zituen. Eta esperimentazioa erabili zuen propietate fisikoak edo matematikoak aurkitzeko; gero, aurkikuntzak zorrotz frogatzen saiatzen zen.Kalkulatzaile handia izanik, irudi geometrikoen azalerak eta bolumenak

kalkulatzeko formulak ondo-rioztatu zituen eta, horrez gainera, bere izena daramaten 13 gorputzak aztertu zituen: Arkimedesen solido deritze.Platon izutu egingo zen, beharbada, Arkimedesen matematika lantzeko meto-doaren aurrean; hala ere, Antzinaroko matematikari-rik handiena izan zen.

Platonen solidoak.

Platon bere ikasleekin solasaldian. Ponpeian (Italia) aurkitutako erromatar mosaikoa.

Arkimedesen ohorezko Italiako seilua.

OHARRAK

147

IradokizunakPoliedroerregularrakzerdirenbadakiteere,komenidaalderdihaueksa-konagolantzea:

•Hasteko,angelupoliedroaksortzekozeraukeradagoenikertzeaeska-tukodieguikasleei;horretarako,poligonoerregularrakerabilikodituzte.

Horrela,jakingodutetriangelualdekidebatsortzekohiruaukeradaude-la;karratuasortzeko,aukerabat;etapentagonoasortzeko,bestebat.Moduhorretaraulertukoduteikasleekzergatikdaudenbostpoliedro(etabostbakarrik)erregular.

•Poliedroerregularrenartekodualtasun-erlazioakdeskubritzeaereeska-tukodieguikasleei.

Osogarrantzitsuadaikasleekhainbatmaterialez(zurez,plastikoz,kartoimehez)sortutakopoliedroerregularraklantzea.Irakasleakbostirudiho-riengarapenaaurkitukoduanayaeducacion.eswebgunean.

Indartu eta sakondu

•MATEMATIKA-ARIKETAKizeneko4.koadernotik:

Indartzeko:18.orrialdeko3.eta4.ariketak.25.orrialdeko1.ariketa.27.orrialdeko5.,6.,7.eta8.ariketak.28.orrialdeko10.ariketa.29.orrialde-ko1.eta2.ariketak.30.orrialdeko1.ariketa.

Sakontzeko:26.orrialdeko2.,3.eta4.ariketak.28.orrialdeko9.ariketa.

«Pentsatu eta egin» atalaren soluzioak

1

oktaedroa – kuboa dodekaedroa – ikosaedroa tetraedroa– tetraedroa

2 a)

tetr. kuboa okt. dodek. ikos.aurpegiak 4 6 8 12 20

erpinak 4 8 6 20 12

ertzak 6 12 12 30 30

EgiaztadezakegudenekbetetzendutelaEulerrenformula.

b)Dodekaedrobatenondozondokobiaurpegirenzentroaklotuzge-ro,ikosaedroaeratzenda.

Ikosaedrobatekineginezgero,dodekaedroalortzenda.Halaber,dodekaedroarenaurpegi-kopuruabatdatorikosaedroarenerpin-kopuruarekin,etaalderantziz.

Biekduteertz-kopurubera.Hortaz,poliedrodualakdira.

c)

Tetraedroabereburuarendualada.

3 Ezdaerdierregularra,erpinguztietanezbaitatorbataurpegi-kopurubera.

4 Ezdaerdierregularra,harenaldekoaurpegiakezbaitirapoligonoerregularrak.

5 Poliedrobatenertzakharenaldeenaurpegiakdira.Harenaldeakpoli-gonoerregularrakbadira,aldeberdinakdituzte.

209208

Eulerren formula

Poliedro erregular sinplean (zulorik ez duenean) aurpegi (c), erpin (v) eta ertz (a) kopurua zenbatuz gero, honako hau betetzen da:

Eulerren formula: c + v – a = 2

Gehienetan erabiltzen ditugun poliedroak (prismak, piramideak, piramide-enborrak, poliedro erregularrak, eta abar) sinpleak dira. Horregatik, horietan guztietan betetzen da Eulerren formula.Adibidez, honako piramide pentagonal honetan, Eulerren formula betetzen dela egiaztatuko dugu:

cav

610

6

Aurpegi kop.:Ertz kop.:Erpin kop.:

===

_

`

a

bb

bb → 6 + 6 – 10 = 2

Poliedro erdierregularrak

Bi mota edo gehiagoko poligono erregular diren aurpegiak dituzten eta erpin guztietan poligono berak bat datozenei poliedro erdierregular esaten zaie.

Honako poliedro hauek, esaterako, erdierregularrak dira:

Ezkerrekoa, aldeko aurpegiak karratuak dituen prisma pentagonal erregularra da.

Eskuinekoari antiprisma esaten zaio. Hori, zehazki, hexagonal erregularra da eta erpinetako bakoitzean hexagono bat eta hiru triangelu aldekide biltzen dira.

Poliedro erregularrak

Poliedroa erregularra dela esaten da honako bi baldintza hauek betez gero:1. Aurpegiak poligono erregular berdin-berdinak dira.2. Poliedroaren erpinetako bakoitzean aurpegi kopuru bera biltzen da.

Bost poliedro erregular baino ez daude:

TETRAEDROA KUBO edo HEXAEDROA OKTAEDROA DODEKAEDROA IKOSAEDROA4 aurp., triangeluak 6 aurp., karratuak 8 aurp., triangeluak 12 aurp., pentagonoak 20 aurp., triangeluak

Sei aurpegiak triangelu aldekide berdin-berdinak izan arren, poliedro hori ez da erregularra, erpinetako batzuetan hiru aurpegi batzen direlako eta beste batzuetan, aldiz, lau.

Dualtasuna

Segmentuen bidez kuboaren ondoz ondoko bi aurpegiren zentroak bilduz gero, oktaedroa eratzen da.Oktaedroarekin gauza bera eginez gero, kuboa eratuko litzateke. Horregatik esaten da oktaedroa eta kuboa polie-dro dualak direla.

Poliedroaren aurpegien kopurua bat dator horren dualaren erpinen kopuruare-kin. Eta bietan dago ertz kopuru bera.

kuboa oktaedroa

aurpegiak 6 8erpinak 8 6ertzak 12 12

Dodekaedroa ikosaedroaren duala da. Eta tetraedroa bere buruaren duala da.

1 Poliedro erregularrak eta irregularrak

Solido platonikoak

Mendeetan onartu zen kosmosa lau elementuk osatzen zutela: aireak, urak, lurrak eta suak.Platonek poliedro erregular bat elkartu zuen horietako bakoitzarekin: airea → oktaedroa ura → ikosaedroa lurra → kuboa sua → tetraedroaEta dodekaedroa? Irudi hori Pla-tonen gogokoena zen eta, horregatik, unibertsoaren sinbolo zela alda-rrikatu zuen.Poliedro erregularrei solido plato-niko esaten zaie.

Zer egingo diogu, ba!

Honako formula hau, c + v – a = 2, Descartesek aurkitu zuen 23 urte zituenean, Euler jaio baino ia mende bat lehenago. Hala ere, Eulerren izena ematen zaio.

Interesgarria

Poliedro erdierregularrak, nahitaez, ertz guztiak berdinak izan behar ditu. Ez da zaila horrela zergatik izan behar duen arrazoitzea. Saiatu arrazoitzen.

2. Egin bost poliedro erregularren aurpegi, erpin eta ertz kopuruaren taula.

tetr. kuboa okt. dodek. ikos.

aurpegiak

erpinak

ertzak

a) Egiaztatu bostek betetzen dutela Eulerren formula.

b) Egiaztatu dodekaedroak eta ikosaedroak dualak izateko baldintzak betetzen dituztela.

c) Egiaztatu tetraedroak bere buruaren duala izateko baldintzak betetzen dituela.

3. Honako irudi hau polie-dro erregularra ez dela ikusi dugu. Erdierregularra al da?

4. Honako piramide moztu honen oinarriak karratuak dira. Poliedro erdierregularra al da? Zergatik?

5. Azaldu zergatik izan behar duten berdinak po-liedro erdierregularraren ertzek.

Pentsatu eta egin

1. Honako poliedro hauen aurpegi «frontalen» zentroak gorriz seinalatu ditugu eta, kolore argiagoz, «ezkutuan» dituzten aurpegi batzuk. Horiek era ego-kian lotuz, poliedro dualak lortzen dira. Egizu koa-dernoan.

Pentsatu eta egin

• Bost poliedro erregularrak garatzea.• Bost poliedro erregular baino ez daudela

justifikatzea.

Webgunean

Prismaren eta antiprismaren garapena.Webgunean

148

Iradokizunak

•Bestebehinere,ikasleeigogoratukodiegugorputzgeometrikoeiburuzaritzekoosogarrantzitsuadelahoriekeskuarteanedukitzea,baitaho-riengaineanmarrazkiakegitea,moztea…Atalhaulantzeko,ezinbeste-koadapoliedroerregularraklantzea,horieierreparatuz,horienaurpe-gietanmarrazkiakeginez…Horrela,ikasleekbertatikbertara«ikusikodute»orrialdehonetakopoliedroerdierregularraknolasortzendiren.

•Atalariamaieraemateko,antiprismaketabestepoliedroerdierregularbatzukeraikitzenikasikodugu,anayaeducacion.eswebgunekoprozedu-rakerabiliz.Alabaina,garrantzitsuagoairuditzenzaigupoliedroerregu-larrakmanipulatuzhorietaraheltzea.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:25.orrialdeko1.ariketakoe)atala.30.orrialdeko1.ariketa.

Sakontzeko:31.Orrialdeko2.,3.,4.eta4.ariketak.


1 a)Oktaedroa.

b)Kuboktaedroa.

c) Ikosidodekaedroapentagonoerregularreketatriangelualdekideekeratzendute.

Erpinbakoitzean,bipentagonoketabitriangelukegitendutebat.

Dodekaedroamozteanere,ikosidodekaedroalortzenda.

d)Bipoliedrodualmoztutasortzendenirudiaberberada.

2 Poliedroerregularrakmoztuzlortzenditugunaldeakbipoligonoerre-gularmotadira,etaerpinguztietanbategitendubetiaurpegi-kopuruberak.

3 x=31 l,ltriangeluarenaldeada.

4 8aurpegiditu,4hexagonoerregulareta4triangelualdekide.12erpinditu.18ertzditu,etatetraedroarenertzenherenarenneurriadute.

5 14aurpegiditu,8hexagonoerregulareta6karratu.24erpineta36 ertzditu.

6 32aurpegiditu,12dekagonoerregulareta20triangelualdekide.60 erpineta90ertzditu.

7 32aurpegiditu,20hexagonoerregulareta12pentagonoerregular.60erpineta90ertzditu.

211210

Mozteko beste modu bat

Kuboaren erpinak ertzen zati bat utziz gero, aur-pegiak oktogono bihurtzen dira. Distantzia ego-kietan moztuz gero, oktogonoak erregularrak izango dira eta, horrela, lortu den gorputza, kubo moztua, poliedro erdierregularra da.

Kuboa erpinetatik distantzia egokietan moztuz gero, poliedro erdierregularra lortzen da (kubo moztua esaten zaio), eta horren erpinetako bakoitzean bi oktogono eta triangelu bat biltzen dira.

Antzean, tetraedro moztua, oktaedro moztua, dodekaedro moztua eta ikosaedro moztua poligono erdierregularrak dira.

tetraedro oktaedro dodekaedro ikosaedro moztua moztua moztua moztua

Moztea poliedroaren erpinetako bat, ebakidura laua eginez, kentzea da. Irudi ezagunak moztuz, irudi berri asko lor daitezke.

Poligono erregularrak moztea

Kubo baten erpin guztiak ertz auzokideetako erdiguneetatik pasatzen diren pla-noen bidez moztuz lortzen den irudia analizatuko dugu.

Horrela lortzen den irudiari kuboktaedro esaten zaio, 6 aurpegi karratu (kuboaren aurpegi bakoitzeko bat) eta 8 aurpegi triangeluar ditu (moztutako erpin bakoitzeko bat). Egiazta dezakezunez, poliedro erdierregularra da.

Antzean, dodekaedro erregularraren erpinak ertz auzokideen erdiguneetatik pasatzen diren planoen bidez ebakiz gero, poliedro erdierregularra lortzen da eta, horri, ikosidodekaedro esaten zaio.

Ondoren proposatzen diren ariketetan, kuboktaedroaren eta ikosidodekaedroa-ren izenei buruzko gogoeta egiten da.

2 Poliedroak moztea

1. Ertz auzokideen erdiguneetatik pasatzen diren eba-kiak eginez, gainerako poliedro erregularrak moztuko ditugu.

a) Tetraedroa era horretan moztuz gero, irudi ezaguna lortzen da. Zein?

b) Oktaedroa moztuz lortzen dena ere ezaguna da.

Ulertzen al duzu, orain, zergatik esaten zaion kubok taedro irudi horri?

c) Zer irudi ateratzen da ikosaedroa moztuz gero? Konpara ezazu dodekaedroa moztuz lehen ikusi du-zunarekin eta azaldu zergatik den poliedro erdierre-gularra (gogoan izan, ikosidodekaedro esaten zaiola).

d) Lotu aurreko emaitzak aurreko epigrafean ikasi ditugun poliedroen dualtasunarekin.

2. Azaldu poliedro erregularrak moztuz, tetraedroa izan ezik, zergatik lortzen diren beti poliedro erdierregula-rrak.

Pentsatu eta egin

Arkimedesen solidoak

Arkimedesek mota bateko poliedro erdierregularrak aztertu zituen eta Arkimedesen solido esaten zaie horiei. Guztira, 13 dira: orrialde honetan ikasi ditugun 5ak eta ezke-rreko orrialdeko 2 moztuak eta kora-pilatsuagoak diren beste 6.

3. Erpinetik zer distantziatan moztu behar ditugu triangelu txikiak, aterako den hexagonoa erregularra izan dadin?

x

4. Deskribatu tetraedro moztua.Zenbat aurpegi ditu?Mota bakoitzeko zenbat dira?Zenbat erpin?Zenbat ertz?Zer neurri du tetrae-dro moztuaren ertzak jatorrizko tetraedroa-renari dagokionez?

5. Deskribatu oktaedro moztua.Aurpegiak, motak.Erpinak.Ertzak.

6. Dodekaedro baten ezaugarriak (aurpegiak, erpinak) zein diren jakinda, deskribatu nolakoa izango den do-dekaedro moztua.

7. Ikosaedroaren ezaugarriak zein diren jakinik, deskri-batu nolakoa izango den ikosaedro moztua.

Pentsatu eta egin

Kuboktaedroaren eta ikosidodekaedroaren garapena.

Webgunean

Bost poliedro erregular moztuak garatzea.Webgunean

OHARRAK

149

Iradokizunak•Gorputzgeometrikoeibehatuzgero,ikasleeksimetria-planoakantze-mangodituzte.

•Bipoliedrodualeksimetria-planoakpartekatzendituzte.Horrela,batenplanoetatikbestearenplanoakidentifikatzekogaiizangogara.

Indartu eta sakonduHonakohauekgomendatzendira:

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTZEAizenekofotoko-piatzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.


1 Ertzbatizanbehardu,etabiaurpegieiperpendikularraizanbeharzaie.

Tetraedroakseisimetria-planoditu,ertzbakoitzekobat.

2 Prismahexagonalerregularrakseisimetria-planoditu,harenoinarriensimetria-ardatzbakoitzekobat.Halaber,bioinarrienparaleloadensi-metria-planoaerebadu.

Piramidehexagonalerregularrakseisimetria-planoditu,harenoina-rriensimetria-ardatzbakoitzekobat.

3 Oktaedroaninskribatutakokuboarensimetria-planoguztiakoktae-droarensimetria-planoakerebadira.

4 Konuarenardatzabarneanhartzenduenedozeinplanokonoarensi-metria-planoada.Hortaz,infinitudaude.

Esferarenzentroabarneanhartzenduenedozeinplanoesferarensi-metria-planoada.Hortaz,infinitudaude.

Iradokizunak

Atalhonetan,aurrekoataleanaipatudugungauzaberaazpimarratukodu-gu:zeingarrantzitsuadenukitudaitezkeengorputzgeometrikoekinlanegitea,etairudidualaerabiltzekoaukeraizatea,ardatzakhobetoikustekoaukeraematenbadu.

Kuboak«3ordenakolaubiraketa-ardatz»ditueladiogunean,gurehelbu-ruaezdaikasleekemaitzahoriikastea,baiziketaardatzakikustekoahale-ginaegitea.Horilortzeko,ikasleekhirudimentsiokoirudiakerabilibe-harkodituztenahitaez.

Indartu eta sakondu

Honakohauekgomendatzendira:


Indartzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.


1 Piramidehexagonalerregularbatek6ordenakobiraketa-ardatzbatdubakarrik.Oinarriarenzentrotiketaaurkakoerpinetikpasatzenda.

Prismahexagonalerregularbatek6ordenakobiraketa-ardatzbatdueta2ordenako6biraketa-ardatz.

2 2ordenakohirubiraketa-ardatzditu.

3 4ordenakohirubiraketa-ardatzditu;2ordenakoseibiraketa-ardatz,eta3ordenakolaubiraketa-ardatz.

213212

Naturako forma batzuek, itsas izarrak edo erditik ebakitako sagarrak, esaterako, simetria erradiala dute. Matematikaren nomenklaturan, 5 ordenako biraketa-ardatza dutela esango dugu.

E zuzena n ordenako biraketa-ardatza da baldin eta, irudia e-ren inguruan biratuz gero, posizio bera n aldiz okupatzen badu (hasierako posizioa barne).

Kuboaren biraketa-ardatza

Eskuinean, 4 ordenako biraketa-ardatzak ikus ditzakezu, kuboak, horien inguruan biratuz, bira bakoitzean lau aldiz okupatzen duelako posizio bera. Hiru daude.

2 ordenako bira-keta-ardatza.Sei daude.

3 ordenako bira-keta-ardatza.Lau daude.

Tetraedroaren biraketa-ardatzak

Ardatza erpin batetik eta aurkako aur-pegiko erdigunetik (barizentrotik) pasa-tzen da. 3 ordenako biraketa-ardatza da.Lau daude (erpinak adina).

Ardatz hori perpendikular zaie aurkako bi ertzi haien erdiguneetan. 2 ordenako biraketa-ardatza da.Hiru daude (bat bi ertzeko).

Animaliarik gehienek alde biko simetria dute. Hau da, simetrikoak dira irudizko eran erdibitzen dituen planoari dagokionez.Irudi geometriko askok ere simetria-planoak dituzte. Eta batzuek, bat baino gehiago. Interesgarria da simetria-plano horiek aurkitzea.

Kuboaren simetria-planoak

Aurkako bi ertzek simetria-planoa den pla-noa determinatzen dute. Kuboak, ondorioz, beste sei simetria-plano ditu.

Kuboak hiru simetria-plano ditu. Horietako bakoitza aur-pegietako biren paralelo da.

Prismen eta zilindroen simetria-planoak

Prisma pentagonalak bost simetria-plano ditu, oinarrietako simetria-ardatz bakoitzeko bat.Eta oinarriei paralelo zaien beste simetria-plano bat.

Zilindroaren ardatza barnean hartzen duen edozein plano zilindroaren sime-tria-ardatz da. Beraz, infinitu daude. Horiez gainera, oinarriei paralelo zaien simetria-plano bat dago.

4 Irudien biraketa-ardatzak3 Irudiaren simetria-planoak

1. Zer baldintza bete behar ditu planoak tetraedroaren sime-tria-plano izateko?Zenbat simetria-plano ditu tetraedroak?

2. Marraztu prisma hexagonal erregularra. Zenbat sime-tria-plano ditu? Zenbat simetria-plano ditu piramide hexagonal erregularrak?

3. Gogoratu kuboaren eta oktaedroaren arteko dualtasun-erlazioa (aurpegiak-erpinak).Kuboaren simetria-planoe-tan oinarrituta, deskribatu oktaedroaren simetria-pla-no guztiak.

4. Zer simetria-plano ditu konoak?Eta esferak?

Pentsatu eta egin

1. Zer biraketa-ardatz ditu hexagono erregularrak? Zer ordenatakoak dira?Eta prisma hexagonal erregularrak? (Ez ahaztu 2 orde-nako batzuk).

2. Zer biraketa-ardatz ditu ortoedroak, hiru dimentsioak desberdinak izanik? Zer ordenatakoak dira?

3. Aztertu oktaedroaren biraketa-ardatzak.

Kuboarenak har ditzakezu oinarri.

Pentsatu eta egin

150

Iradokizunak•Biorrialdehauetan, ikasleekezagutzendituzten irudigeometrikoguztienazaleraklortzekoprozedurakberrikusikoditugu.

•Badaudezenbaitmetodogarrantzitsu,Pitagorasenteoremaedotrian-geluenantzekotasunaerabiliz,oinarrizkozenbaitelementu(piramidebatenapotema,hots,harenalboetakoaurpegienaltuera;kono-enbo-rrarenzenbaitelementu;txapelesferikobatenaltuera…)lortzekoauke-raematendutenak.Metodohoriekaurreragoerabilikoditugu,kalkuluakegiteko.

•Honakoemaitzahausarritanahaztuegitendugu,errazaetaoparoaba-daere:haltueraduentxapelesferikoedozona-esferabatenazalera,haltueraduendagokionesferakozilindrozirkunskribatuarenaltueraberada.



Indartzeko:20.orrialdeko3.,4.eta5.ariketak.21.orrialdeko6.,7.eta8.ariketak.22.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.23.orrialdeko4.eta5.arike-tak.32.orrialdeko1.,2.eta3.ariketak.33.orrialdeko1.eta2.ariketak.36.orrialdeko1.eta2.ariketak.37.orrialdeko3.,4.eta5.ariketak.

Sakontzeko:24.orrialdeko6.eta7.ariketak.34.orrialdeko3.,4.,5.eta6.ariketak.35.orrialdeko7.,8.,9.ariketak.37.orrialdeko6.ariketa.43.orrialdeko7.ariketa.


Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.Afitxako«Aplikatu»ataleko1.eta2.ariketak.Bfitxako«Aplikatu»ataleko1.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.Bfitxako«Aplikatu»ataleko2.eta3.ariketak.

215214

■ kono-enborraren azalera

•Erradioen, altueraren eta sortzailearen arteko erlazioa

Kono-enborrean, altuerak, h, erradioen arteko kendurak, r1 – r2, eta sor-tzaileak, g, triangelu zuzena eratzen dute. Ondorioz:

g 2 = h2 + (r1 – r2)2

•Aldeko azalera zenbat den kalkulatzea

Kono-enborrarentzako formula trapezioarenaren antzekoa da. Gogoratu trapezioan azalera oinarrien baturaerdia bider altuera dela. Hemen aldeko azaleraren garapena oinarriak 2πr1 eta 2πr2 neurriak eta altuera g den trapezio gisa hartuz gero, honako hau lortuko dugu:

Azalera = π πr r2

2 21 2+ · g = π(r1 + r2)g Hori da bila genbiltzan azalera.

KONTUZ! Hori ez da froga, erregela mnemoteknikoa baino. Froga unita-tearen amaierako 44. ariketan duzu.

Aaldeko = π(r1 + r2)g Atotal = π(r1 + r2)g + πr12 + πr2

2

■ azalerak esferan

Gainazal esferikoaren azalera esfera inguratzen duen zilindroaren azaleraren parekoa da. Eta gauza bera gertatzen da sekzio lau paraleloen artean dauden bi gorputzen azalerekin ere.

Aesfera = 2πr · 2r = 4πr 2

r

2r

r

r

Atxapel esferiko = 2πr · hAzona esferiko = 2πr · h'

h'

h

Esferaren eta zilindroaren arteko erlazio horiek interes handikoak dira. Baina are gehiago honako hau: esferan irudi bat zein beste marraztu, zilindroaren gainean proiektatzean, guztiz desberdina izan daitekeen baina azalera bera duen beste irudi bat sortzen da.

■ poliedroaren azalera

Poliedroaren azalera aurpegi guztien azalerak batuz lortzen da. Prozesua erraztu egiten da poliedroaren garapenetik hasiz gero.

■ zilindroaren azalera

Zilindroaren aldeko azalera oinarria zirkuluaren perime-troaren berdina, 2πr, eta altuera, h, zilindroarena dituen laukizuzena da.

ππ

A rA r

2 · h2

ALDEKO

OINARRI

== 4 → Atotal = 2πr h + 2πr 2

■ konoaren azalera

Konoaren aldeko garapena g erradioko zirkuluko zirkulu-sektorea da, eta konoaren oinarria (2πr) den zirkunferen-tziarekin bat datorren luzerako arkua hartzen du barnean.

AA

Zirkunferentzia handiaren luzeraSektorearen arkuaren luzera

ZIRKULU HANDIA

SEKTORE =

π ππ

gA

gr

22

2SEKTORE = → Asektore = πrg

Aaldeko = πrg Atotal = πrg + πr 2

5 Gorputz geometrikoen azalera

Arkimedes. Esfera eta zilindroa

Zilindroaren aldeko azalera esfera inskribatuarena bera da. Eta zilin-droaren azalera totala?

4πr 2 + πr 2 + πr 2 = 6πr 2

Atotal zilindro = 1,5 · AesferaGeroago ikusiko dugunez, erlazio bera dago honako bi irudi hauen bolumenen artean ere:

Vzilindro = 1,5 · VesferaErlazio horiek Arkimedesek aurkitu zituen eta bere aurkikuntzaz hain harro zegoenez, hilarrian zilindroan inskribatutako esfera grabatzeko eskatu zuen.

r

h

h

2πr

r

r

g

r

g

2πr

2πr

r

10 cm

10 c

m

14,14 cm

a

14,14 cm

62,83 cm

g

r2

r1

h

2πr 1

g

2πr 2

r2

r1

Erradioa 10 cm-koa duen kono angeluzuzenaren azalera totala kalkula-tzea (altuera = erradioa). Zer angelu du konoa eraikitzeko erabiltzen den zirkulu-sektoreak?

Sortzailean neurria da: g = 10 102 2+ = 14,14 cm

Aaldeko = πrg = π · 10 · 14,14 = 444 cm2

Atotal = 444 + π · 102 = 758 cm2

Konoaren oinarriaren perimetroa = 2π · 10 = 62,83 cmZirkulu-sektorea 14,14 cm-ko erradioarekin marraztu da.Erradio hori izanda, zirkunferentzia osoaren neurria da:

l = 2 · π · 14,14 = 88,84 cmOndorioz, honako proportzio hau ezar dezakegu:

, ,°a

62 83 88 84360= → α = 254,60° = 254° 36'

kalkulagailua erabiliz:62,83 * 360 / 88,84 = {“∞¢…\≠………} O {“∞¢o«\o∞…∞‘o}

Ariketa ebatzia

OHARRAK

151


1 A→Azalera=792cm2

B→Azalera=635,64cm2

C→Azalera=772,73cm2

D→Azalera=619,02cm2

2 A→Azalera=812,64cm2





4 A→Azalera=1856cm2





6 a)Azalera=565,49cm2

b)Azalera=565,49cm2

7 a)Azalera=1359,6cm2

b)Azalera=235,9cm2

c)Azalera=946,41cm2

d)Azalera=7260cm2

217216

1. Piramide zuzen hexagonal erregularraren azalera totala zenbat den kalkulatzea, jakinik oinarriaren ertza 5 cm eta aldeko ertza 13 cm direla.

•Piramidearen apotema (m) eta oinarriaren apotema (x) zenbat diren kalkulatzea:

m = ,13 2 5–2 2 ≈ 12,76 cm x = ,5 2 5–2 2 ≈ 4,33 cm•Azalera zenbat den kalkulatzea:

Aaldeko = 6 · · m2

5 = 6 · · ,2

5 12 76 = 191,4 cm2

Aoinarri = · · x2

6 5 = · · ,2

6 5 4 33 = 64,95 cm2

Atotal = Aaldeko + Aoinarri = 191,4 + 64,95 = 256,35 cm2

2. 15 cm-ko altuera eta oinarria 16 cm-ko aldeko karratua dituen pira-midearen azalera totala zenbat den kalkulatzea.

m = 15 82 2+ = 17

Aaldeko aurpegi = ·2

16 17 = 136 cm2 Aoinarri = 162 = 256 cm2

Atotal = 4 · Aaldeko aurpegi + Aoinarri = 4 · 136 + 256 = 800 cm2

3. Kono jakin batek 12 cm-ko altuera eta 9 cm-ko erradioa du oinarrian. Konoa oinarriari paralelo zaion 4 cm-ko altuerako plano paralelotik ebakitzean lortzen den kono-enborraren aldeko azalera eta azalera totala zenbat diren kalkulatzea.

•Lehenengo, sortzailea zein den jakin beharra dago: g = 12 92 2+ = 15 cm•Oinarri txikiaren erradioa (x) eta enborraren sortzailea (y) zenbat diren

kalkulatu behar dugu. Antzekotasunera eta Pitagorasen teoremara joz:

x912 8= → x = 6 cm z = 9 – x → z = 9 – 6 = 3 cm

y = z42 2+ = 4 32 2+ = 5 cm•Azalera zenbat den kalkulatzea:

Aaldeko = π(r + x)y = 3,14 · (9 + 6) · 5 = 235,5 cm2

Aoinarriak = πr 2 + πx 2 = 3,14 · 92 + 3,14 · 62 = 367,38 cm2

Atotal = Aaldeko + Aoinarriak = 235,5 + 367,38 = 602,88 cm2

4. 20 cm-ko erradioko esfera ebakiko dugu eta, sekzioan, 16 cm-ko erra-dioko zirkulua lortuko dugu. Zenbat da esferatik bereizi dugun txapel esferikoaren azalera?

•Txapelaren altuera, x, zenbat den kalkulatuko dugu:

y = 20 16–2 2 = 12 cm x = 20 – y = 20 – 12 = 8 cm•Txapelaren azalera zenbat den kalkulatuko dugu:

A = 2πRx = 2 · 3,14 · 20 · 8 = 1 004,8 cm2

Ariketa ebatziak

5 5 5

2,5

m

m

x

13

13 cm

5 cm

2,5

16

15

8

m

44

8

r = 9

g

x

zy

R = 20

16x

y

1. Kalkulatu zenbat den 12 cm-ko ertzeko kubo-tik lortu diren honako poliedro hauen azalera:

12

12

12

6

6

12 12

12

6

6

6

6

6

6

12

12

12

A B

C D

2. Zenbat da prismaren eta piramidearen azaleraren neurria? Bion oinarria hexagono erregularra da.

8 cm 8 cm

10 cm12 cm

A B

oinarriaren ertza : 8 cm oinarriaren ertza : 8 cmprismaren altuera : 10 cm aldeko ertza : 12 cm

3. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz hauen azalerak:

12 cm 12 c

m

6 cm

6 cm

6 cmA B

C

4. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz hauen azalerak:10 cm

26 cm

17 cm

13 cm

17 cm

5 cmA B

5. Kalkulatu zenbat diren konoaren, konoa erdi-bituz ateratzen den gorputzaren eta oinarriari paralelo zaion sekziotik, 5 cm-ko altueran, ebakiz lortzen den kono-enborraren azalerak.

20 c

m

8 cm5 cm

A B C

6. 30 cm-ko diametroa duen esferan, kalkulatu zenbat diren:a) 6 cm-ko altuera duen zona esferikoaren azalera.b) 12 cm-ko erradioko oinarria duen txapel esfe-

rikoaren azalera.

12 cm

15 cm

6 cm

7. Kalkulatu zenbat diren honako hauen azalerak:a) 12 cm eta 20 cm-ko diagonaleko erronboa oinarri

duen prisma zuzenarena, aldeko ertza 24 cm-koa dela jakinik.

b) Aurreko prismak bezalako oinarria eta aldeko ertza dituen piramide zuzenarena.

c) 10 cm-ko ertzeko kuboktaedroarenad) 10 cm-ko ertza duen dodekaedro moztuarena.

Pentsatu eta egin

OHARRAK

152

Iradokizunak•Atalhonetanere,ikasleekezagutzendituztenirudigeometrikoaskorenbolumenakkalkulatzekoteknikaksakonberrikusikoditugu.Halaere,arretabereziajarrikodieguzailenei:kono-enborraetaesfera-zonaketatxapelesferikoak.



Indartzeko:38.orrialdeko1.,2.,3.eta4.ariketak.39.orrialdeko1.arike-ta.40.orrialdeko2.ariketa.41.orrialdeko1.eta2.ariketak.

Sakontzeko:40.orrialdeko3.ariketa.41.orrialdeko3.ariketa.42.orrial-deko1.,2.,3.eta4.ariketak.43.orrialdeko5.,6.eta7.ariketak.

•INKLUSIOAETAANIZTASUNAKONTUANHARTUizenekofotokopia-tzekomaterialetik:

Indartzeko:Afitxako«Praktikatu»ataleko1.ariketa.Afitxako«Aplikatu»ataleko3.ariketa.

Sakontzeko:Bfitxako«Praktikatu»ataleko2.eta3.ariketak.


1 A→V=864cm3

B→V=1296cm3

C→V=864cm3

2 A→V=583,76cm3

B→V=703,53cm3

3 A→V=774,92cm3

B→V=640,8cm3

4 Goikozatia→V=1809,56cm3

Erdikozatia→V=10404,95cm3

Behekozatia→V=12214,51cm3

219218

■ prismen eta zilindroen bolumena

Bi oinarri berdin eta haien artean paralelo dituen (irudi prismatikoa) edozein irudiren bolumena oinarriaren azalera altuerarekin biderkatuz lortzen da.

h

V = Aoinarri · h

r

h

r

V = Aoinarri · h == π · r 2 · h

■ piramideen eta konoen bolumena

Piramidearen edo konoaren bolumena oinarriaren azaleraren herena bider altuera da.

h

V = 31 Aoinarri · h

h

r

V = 31 π · r 2 · h

■ esferaren bolumena

R erradioko esferaren bolumena da: V = 34 π · R 3

•Hartu kontuan esferaren bolumena esfera inguratzen duen zilindroaren bolumenaren bi heren dela.

Vesfera = 34 πR 3 = 3

2 (2πR 3) = 32 Vzilindro

•Erlazio interesgarria:

+ =R

RR

Vesferaerdi + Vkono = Vzilindro

V32

ZILINDROc m V31

ZILINDROc m

■ esfera-zonaren bolumena

Esferaerdiaren, konoaren eta zilindroaren arteko aurreko erlazioa plano para-leloz determinatutako dagozkien zatietan ere betetzen da.

R R R

Vesfera zati = Vzilindro zati – Vkono-enbor

6 Gorputz geometrikoen bolumena

VZILINDRO = πR2 · 2R = 2πR3

2R

Hartu kontuan, aurreko ariketan esan dugunaren arabera:

Vzilindro = 23 Vesfera

Ez ahaztu

Eskuineko erlazioaren bidez, esfera-zonaren bolumena zenbat den zilin-droaren bolumenari kono-enborraren bolumena kenduz kalkula daiteke.

1. Oinarrian 10 cm-ko erradioa eta 30 cm-ko altuera dituen konoa oina-rriari paralelo zaion 12 cm-ko altuerako planotik ebakitzen da. Lortu den kono-enborraren bolumena zenbat den kalkulatzea.

•( ): 8x x x18

1030

3018 10 6· cm

Oinarri txikiaren bolumena zenbatden kalkulatuko dugu, = = =4

•Bolumena zenbat den kalkulatuko dugu:

Vkono-enbor = Vkono nagusia – Vkono txikia =

= 31 π · 102 · 30 – 3

1 π · 62 · 18 = 3 140 – 678,24 = 2 461,76 cm3

2. 20 cm-ko erradioa duen esfera zentrotik hurrenez hurren 4 cm eta 15 cm-ko distantzian dauden bi plano paralelotatik ebakitzen da. Bi pla-noren artean dagoen esfera zatiaren bolumena zenbat den kalkulatzea.

Vzilindro zatia = π · 202 · 10 = 4 000π cm3

Vkono-enborra = 31 π · 152 · 15 – 3

1 π · 52 · 5 = 1 083,33π cm3

Vesfera zatia = Vzilindro zatia – Vkono-enborra =

= 4 000π – 1 083,33π = 9 158,34 cm3

Ariketa ebatziak

30

12

10

18

x

18

x

12

10

515

20

5

10

5

1. Honako prisma hauek 12 cm-ko ertzeko kuboa ebakiz lortu dira. Kalkulatu zenbat den prismen bolumena:

12

12

6

66

66

612

12

12

12

A C

B

2. Honako piramide huen oinarriak poligono erregula-rrak dira. Kalkulatu zenbat den bolumena:

12 cm

8 cm

15 cm

15 cm

A B

3. Kalkulatu zenbat diren kono-enborraren eta piramide-enborraren bolumenak.

5

x

8

66 cm

8 cm

5 cm

6 cm

5 cm

8 cm

AB

4. 36 cm-ko diametroa duen esfera bi plano paralelotatik ebaki da: planoetako bat zentrotik pasa-tzen da eta bestea zentrotik 12 cm-ra dago.

1818

36

1812

Kalkulatu zenbat den esfera zatituta geratu den hiru zatietako bakoitzaren bolumena.

Pentsatu eta egin

• Praktikatu, prismen azalerak eta bolumenak zenbat diren kalku-latuz.

• Praktikatu, piramideen azale-rak eta bolumenak zenbat diren kalkulatuz.

• Praktikatu, zilindroen azalerak eta bolumenak zenbat diren kalku-latuz.

• Praktikatu, konoen azalerak eta bolumenak zenbat diren kalku-latuz.

Webgunean

Arkimedes eta esferaren bolumena.

Webgunean

OHARRAK

153

Iradokizunak•Atalhonetanedukihaueklandukoditugu:lur-esfera,koordenatugeo-grafikoak,baitabiraketa-mugimenduarenzenbaitondorioere:egunaetagauaetaordu-ardatzak.

Edukihoriekbesteikasgaibatzuetanlantzenbadiraere,komenidama-tematikarenikuspuntutikberrikusteaetaindartzea.

•Atalekoedukiaklantzeko,lur-globoekinlanegiteairadokitzendugu,ika-sitakoakirudikatzekobaliagarriaizandaitekeeta.Koordenatugeogra-fikoaketaordu-ardatzakaztertzeko,esferazuriakerabiltzeakomenida,ikasleekhoriengaineanparaleloak,meridianoak,ordu-ardatzak,etaan-tzekoakmarrazteko.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

28286,82km


1 a)6370km

b)510milioikm2

c)3,25bilioikm3

d)21,25milioikm2

2 a)6736,3km

b)17322km

3 Hiroshimanarratsaldeko7akdira.

221220

Ordu-ardatzak

Eguzkiak Lurraren inguruan zeharko itxurazko mugimenduari (hau da, toki jakin bateko meridianotik pasatzen den unetik hurrengoan pasatzen denera arteko denbo-rari) eguna esaten zaio. Eguzkia toki jakin bateko meridianotik pasatzen denean, eguer-dia dela esaten da. Kontrako meridianotik pasatzen denean, gauerdia dela esaten da.Horren arabera, longitude bakoitzean eguerdia une desberdinean izango da eta, ondorioz, erlojuak gertaera horri osoan doituz gero, hurbil dauden tokiek antzeko ordua izango lukete, baina ez ordu bera, eta hori kaosa izango litzateke. Horregatik, orduz orduko jauziak ezartzen dira, honela:Zentroa 0° meridianoan dela, 15°-ko ardatz esferikoa eratzen da (360° : 24 h = 15° orduko). Ardatz horretan, Eguzkia 0° meridianotik pasatzen denean, 12:00ak dira. Hori da Espainiari dagokion ordua, Kanarietako Autono-mia Erkidegoari izan ezik. Beste ardatzak ardatz horretatik aurrera eratzen dira.Herrialdeak arau horretara egokitzen dira, gutxi gorabehera; herrialde txiki batzuetan, esaterako, ordu-sistema egokitu egiten da lurraldean bi ordutegi ez izateko.Esate baterako, Bilbon (3° M longitudea) 12:00ak izanez gero, Istanbulen (29° E longitudea) zer ordu izango den ikusiko dugu. Bilbo zero ordu-ardatzean dago, eta Istanbulen, bi ordu-ardatz ekialderago dagoenez, 2 h gehiago izango dira, hau da 14:00ak izango dira. Mendebalderagoko ordu-ardatzean egonez gero, ardatz horri dagozkion orduak kenduko genizkioke.

7 Koordenatu geografikoak Hartu kontuan

Lurraren gainazala 24 ordu-ardatze-tan zatitu da.Jerezko meridianoa Aucklandekoaren kontrakoa da. Horregatik, 12 orduko aldea dago beti bi hirion artean.

7° 30'

–7° 30'

0°

Problema ebatzia

Honako latitude hauei dagoz-kien paraleloek zenbat kilome-tro dituzten kalkulatzea:

a) 60° b) 30°

Lurraren erradioak 6 371 km ditu, gutxi gorabehera.

Zeuk egin. Kalkulatu zenbat den, kilometrotan, 45° parale-loaren neurria.

a) Eskeman, Lurraren erradioa, R, triangelu aldekide baten aldearen baliokide da; beraz, 60° paraleloaren erradioak, r, R/2 = 6 371/2 = 3 185,5 km ditu.60° paraleloaren neurria L = 2 · π · 3 185,5 ≈ 20 015 km da.

R/2

30°

60°

R

rR/230°

R

rb) Honako beste eskema honetan, kalkulatu nahi dugun

erradioaren, r, neurria triangelu aldekidearen altuera-ren baliokide da.Pitagorasen teoremaren arabera:

R 2 = (R/2)2 + r 2 → r = 23 R → r ≈ 5 517 km

30° paraleloaren neurria L = 2 · π · 5 517 ≈ 34 646 km da.

R/2

30°

60°

R

rR/230°

R

r

–7°30' 0°

B E

7°30' 15° 22°30' 30° 37°30'

1. Metroa, luzera-neurrien unitatea, zer zen de-finitzeko, Lurraren meridianoaren koadrante baten ha-marmilioirena zela esaten zen lehenago. Hau da, Lu-rraren meridiano batek 40 000 000 metro ditu.Horren arabera, kalkulatu zenbat den:a) Kilometrotan, Lurraren erradioa.b) Kilometro karratutan, Lurraren azalera.c) Kilometro kubikotan, Lurraren bolumena.d) Ordu-ardatz baten azalera.

2. Itsasontzia Afrikako kostako 30° ipar latitudeko eta 10° mendebalde longitudeko kostako A puntutik, latitude bereko eta 80° mendebalde longitudeko beste puntu batera doa paralelo komunari jarraituz.a) Zer distantzia egingo du?b) Zer distantzia egingo luke bi puntuetako longitu-

deen arteko kendura 180°-koa izango balitz?

3. Rio de Janeiron (43° M), goizeko 7ak dira. Zer ordu da Hiroshiman (132° E)?

Pentsatu eta egin

Lurra bere ardatzaren inguruan biratzen da; ardatz hori bere zentrotik pasatzen den eta bi puntutan, poloetan, ebakitzen duen irudizko lerroa da.Ardatza hartzen duten planoek meridiano deritzen zirkulu maximoetan ebakitzen dute Lurraren gainazala. Horiek guztiak poloetatik pasatzen dira.Lurraren ardatzari perpendikular diren planoek paralelo deritzen zirkunferentziatan ebakitzen dute Lurra. Paralelo horietako baten zen-troa bat dator esferarenarekin eta ekuatore esaten zaio. Zirkunferentzia maximo horrek Lurraren gainazala erdibitu egiten du eta, hortaz, ipar eta hego hemisferioak bereizten ditugu.

Ardatza

Ekuatorea

Meridianoa

Paraleloa

Koordenatu geografikoak

Lurreko puntuetako bakoitzetik (Zeelanda Berriko Aucklandetik, esaterako) paralelo bat eta meridiano bat pasatzen dira. Bi zirkulu maximori buruz duten posizioaren arabera izendatzen dira:•Ekuatorea.•Meridiano jakin bat. Londrestik

hurbil dagoen Greenwich hiri-tik pasatzen dena hain zuzen ere; Greenwichen, astronomia-beha-toki garrantzitsua dago.

■ latitudea

Lurreko puntu baten latitudea puntu horretatik ekuatorera doan meridianoaren arkuaren neurri angeluarra da. Iparrean egonez gero, (I) gehitu behar da, eta hegoan egonez gero, (H). Auckland 37o H paraleloan dago.

IPAR POLOA

HEGO POLOA

EKUATOREA

Auckland

Jerez

Iparra (I)Ekialdea (E)

Mendebaldea(M)

Hegoa (H)

GRE

ENW

ICH

EKO

MER

IDIA

NO

A

Paralelo bakoitzaren puntu guztiek latitude bera dute.

■ longitudea

Lurreko puntu baten longitudea toki horretako meridianoak determinatzen duen planoak Greenwicheko meridianoarekin determinatzen duen planoare-kin eratzen duen angelua da. Auckland 174o E meridianoan dago.

Toki baten koordenatu geografikoak toki horren longitudea eta latitudea dira. Aucklanden koordenatu geografikoak 174o E 37o H dira; Jerez de la Fronteraren antipodetan dago. Azken hiri horren koordenatu geografikoak 6o M 37o I dira.

Etimologia

Ekuatore: Latineko aequus, berdin, hitzetik dator. Ekuatorea goian zein behean esfera kantitate bera uzten duen planoa da.Meridiano: Latineko meridies, eguer-dia, hitzetik dator. Eguzkia toki bakoitzeko meridianotik eguerdian pasatzen delako.

Lur-esfera

Lurra ziba bezala biraka ari den esfera da. Geu ere bere birarekin bat garamatzanez, inguruan ditugun zeru-gorputz guztiak ikus ditzakegu. Eguzkia da garrantzirik handienekoa guretzat. Eguzkiaren horizontean zeharko itxurazko joan-etorriek gure bizitzaren erritmoa arautzen dute, egunak eta gauak eragiten baitituzte.

60° I paraleloa

60°

37°

37° H paraleloa

EKUATOREA

80°

mer

idian

oa

80° Mendebaldea 37° Ekialdea(Greenwicheko)0° meridianoa

37° Emeridianoa

(Greenwicheko)0° meridianoa

OHARRAK

154

Lankidetzan ikasi

Geometriariburuzkoariketakosoegokiakdirataldetxikianlanegiteko;horrela,berdinenartekoikasketasustatukodugu(marraztea,eraikitzea,egiaztatzea,ebaztea…).Halaber,proposamenakegin,etaondorioakpar-tekatukodituzte.

Irakasleakegokijotzenbadu,metodologiahorierabildezakeatalenbatlantzeko.

Pentsamendu kritikoa

Irakasleakkomenigarrijokobalu,ariketahauekegiteairadokitzendugu:

– Txartoebatzitakoariketakaurkeztu,etaikasleeiakatsakaurkitzekoetazuzentzekoeskatu.

– Zuzenduetaeztabaidatu,binaka,ikaskidearenlana.

«Zeuk egin» atalaren soluzioak

1 20cm-kodistantziatikbegiratubehardiogu.

2 Aosoa≈361,91cm2 B≈477,52cm3

«Ariketak eta problemak» alaren soluzioak

1 a)Aosoa=856cm2 B=1246,5cm3

b)Aosoa=340cm2 B=363,67cm3

2 a)Aosoa=1081,6cm2 B=2160cm3

b)Aosoa=399,6cm2 B=505,128cm3

c)Aosoa=346,4cm2 B=473,4cm3

d)Aosoa=1495cm2 B=4156,38cm3

e)Aosoa=678,59cm2 B=1017,88cm3

f)Aosoa=628,32cm2 B=2094,4cm3

g)Aosoa=31415,93cm2 B=523598,78cm3

h)Aosoa=527,79cm2 B=1488,07cm3

3 a)Aosoa=204,21cm2 B=150,8cm3

b)Aosoa=703,72cm2 B=760,27cm3

c)Aosoa=265,32cm2 B=249,6cm3

d)Aosoa=5864,31cm2 B=30717,79cm3

4 12cm-kokatetoareninguruanbiratzea→Aosoa=678,59cm2

9cm-kokatetoareninguruanbiratzea→Aosoa=1017,88cm2

5 a)A=844cm2 b)A=2064cm2

6 Airudia→Aa=110,88cm2

Birudia→Ab=221,76cm2

Cirudia→Ac=384cm2

Dirudia→Ad=605,76cm2

Eirudia→Ae=1714,56cm2

Firudia→Af=554,4cm2

Girudia→Ag=1373,76cm2

7 Ezkerrekoprisma→Aosoa=833cm2;B=1732cm3

Eskuinekoprisma→Aosoa=1332,8cm2;B=2771,2cm3

Ariketak eta problemak

223

Ariketa eta problema ebatziak

222

1. Esfera baterako distantzia

Zer distantziatatik begiratu behar diogu 60 cm-ko diame-troko esferari horren gainaza-laren herena ikusteko?

Zeuk egin. Kalkulatu zer dis-tantziatatik begiratu behar dio-gun 40 cm-ko diametroko esfe-rari horren gainazalaren laurdena ikusteko.

Esferari begiratzean, txapel esferikoa ikusten dugu. Txapel esferikoaren azalera zilindro zirkunskribatuaren dagokion aldeko azalerarekin bat datorrenez, txapela-ren azalera totalaren herena izateko, altuera zilindroaren altueraren 1/3 izango da.

1/3

Ondorioz, txapelak 20 cm-ko altuera du.

30 cm

30 cm20 cm

10 cm

O

O

B

B

P

A A

d

AB 30 10 800–2 2= =ABO eta PBA triangeluak antzekoak dira eta angelu zorrotz bat berdina dute. Ondorioz, aldeak proportzionalak dira:

d80010

20800=+

→ 10(20 + d ) = 800 → 200 + 10d = 800 → d = 60 cm

Esferari 60 cm-ko distantziatik begiratuz gero, gainazalaren herena ikusiko dugu.

2. Kono-enborraren azalera eta bolumena

16 cm-ko altuera eta 18 cm eta 30 cm-ko erradioak dituen kono-enborraren azalera totala eta bolumena zenbat diren kalkulatzea.

Zeuk egin. Kalkulatu zenbat diren 6 cm-ko altuera eta 6 cm eta 4 cm-ko erradioak dituen kono-enborraren azalera totala eta bolumena.

Bolumena zenbat den kalkulatzeko, kono-enborra bi konoren arteko kendura dela joko dugu:

30 cm

16 c

m

18 cm

x

g

x x18 30

16= + → 30x = 18x + 288 → 12x = 288 → x = 24 cm

Venbor = Vkono handia – Vkono txikia =

= 31 π · 302 · 40 – 3

1 π · 182 · 24 ≈ 29 556,10 cm3

Azalera zenbat den kalkulatzeko, sortzailea behar dugu: g = 16 122 2+ = 20 cm

Atotal = π(18 + 30) · 20 + π · 182 + π · 302 ≈ 6 861,24 cm2

Egin Gorputz geometrikoen azalerak eta bolumenak

1. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz geome-triko hauen azalera eta bolumena:a) b)

13 cm13 cm

20 cm

15 c

m

10 cm

13 cm

10 cm

2. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz hauen azalera eta bolumena:a) 20 cm-ko altuerako prismarena, horren oinarria 18 cm

eta 12 cm-ko diagonalak dituen erronboa izanik.b) 18 cm-ko aldeko ertza eta 6 cm-ko oinarriko ertza

dituen piramide hexagonal erregularrarena.c) 10 cm-ko ertza duen oktaedro erregularrarena.d) 27 cm-ko altuera eta oinarriko zirkunferentzia

44 cm-ko luzerakoa dituen zilindroarena.e) 9 cm-ko erradioa eta 15 cm-ko sortzailea dituen

konoarena.f ) 10 cm-ko erradioa duen esferaerdiarena.g) Metro bateko altuera duen zilindroan inskribatu-

tako esferarena.h) 12 cm-ko erradioa duen esferaren 7 cm-ko altue-

rako txapel esferikoarena.

3. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz hauen azalera eta bolumena:a) b)

6 cm

8 cm 4 cm

20 cm

6 cm

c) d)

6 cm

10 cm

20 cm

30°

4. 9 cm eta 12 cm-ko katetoak dituen triangelu zuzenari katetoetako bakoitzaren inguruan biratu eragi-nez, bi kono lortzen dira. Marraztu konoak eta kalkulatu zenbat diren horietako bakoitzaren azalera eta bolumena.

5. Kalkulatu zenbat den honako hauen azalera:a) Ertz guztiak 10 cm-koak dituen prisma zuzen pen-

tagonal erregularrarena.b) 10 cm-ko ertza duen dodekaedro erregularrarena.

Gogoan izan l aldeko pentagono erregularraren apote-maren neurria 0,6882 l dela.

6. Kalkulatu zenbat diren 8 cm-ko ertza duten honako poliedro erregular eta erdierregular hauen azalera totalak:

A B C D

E FG

A eta F irudien azaleren batura B irudiaren azalera halako hiruren parekoa dela dakigu. Honako hau esango dugu, orduan:

A + F = 3BHonako baieztapen hauetako zein da egia?a) 2C + D = G b) B + 3C = Gc) B + C = D d) 2F + B + C = E

7. Kalkulatu zenbat diren honako prisma erregular hauen azalerak eta bolumenak. Biotan, oinarriko ertza 10 cm da eta altuera, 8 cm.

Ebatzi honako problema hauek «Ontziak 1», «Ontziak 2» eta «Ontziak 3».Webgunean

155


8 a)Aosoa=205,74cm2 B=207,35cm3

b)Aosoa=640,88cm2 B=565,49cm3

c)Aosoa=1644,5cm2 B=4452cm3

d)Aosoa=71,05cm2 B=117,81cm3

9 Aosoa=110,88cm2 B=60,34cm3

10 Aurpegietakodiagonalek26,7dm-koeta12,5dm-koneurriadute.

Diagonalnagusiak27,06dm-koneurriadu.

11 B=1293,3m3

12 Bzatia1=24663,61cm3 Bzatia2=4289,31cm

3

Bzatia3=28952,92cm3

13 V=36651,9cm3

14 E-ko3.ardatzeanhiruordugehiagodira,hots,11a.m.

O-ko5.ardatzeanbostordugutxiagodira,hots,3a.m.

15 Monterreyngoizekoordubiakdira.

16 Goizekoordubataizangoda.

17 Maputo(32ºE)→3a.m. Natal→11p.m.

Astana(71ºE)→6a.m. Temuco(73ºM)→8p.m.

Honolulu(158ºM)→2p.m. Dakar(16ºM)→0a.m.

Katmandu(85ºE)→7a.m. Melbourne(144ºE)→11a.m.

18 6670,65km

19 Itsasmiliabat=1,85km

20 Ibilbidepolarralaburragoada.

21 AlexandriatikNewOrleansera,5724,33km.

AlexandriatikHoustonera,6201,36km.

22 Aosoa=222,23cm2 B=237,19cm3

23 A→B=141,37cm3 B→B=84,82cm3

24 B=536,16cm3

25 Aosoa=628,22cm2 B=785,4cm3

26 Aosoa=346,15cm2 B=332,89cm3

27 a)Sartzenda. b)Ezdasartzen. c)Sartzenda.

d)Sartzenda. e)Sartzenda.

28 Oinarrikarratukooktaedroakbostsimetria-planoditu.4ordenakobi-raketa-ardatzbateta2ordenakolauditu.

Kuboak9simetria-planoditu,4ordenakohiruardatz,3ordenakolaueta2ordenako6.

29 a)Prismaerdierregularrada,bainahorrendualaez.

b)Prismakzazpisimetria-planoditu,etahorrendualakbesteho-rrenbeste.

c)Prismak13biraketa-ardatzditu,etaharendualakbestehorrenbeste.

30 a)Lausimetria-plano.

b)4ordenakobiraketa-ardatzbat.

31 a)Bi,15planodira.

b)15simetria-planoditu.

c) Ikosaedroarenaurkakobierpinetatikpasatzendirenbiraketa-arda-tzek2ordenadute,etabesteek3ordena.

224 225

Ariketak eta problemak8. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz geome-

triko hauen azalerak eta bolumenak:a) b)

5 m 15 m

10 m

8 m

4 m

6 m

c) d)

14 m16 m

15 m

12 m

5 m

8 m

4 m

2,5 m

9. Kalkulatu zenbat diren honako tetraedro erregu-lar honen azalera eta bolumena:

D

DH

8 cm h

A CO

O

B

A C

Altuera, H, zenbat den kalkulatzeko, gogoratu AO = 3

2 h dela, h aurpegietako baten altuera izanik.

10. Ortoedro baten dimentsioak 240 cm × 44 cm dira. Bolumena 1 235,52 dm3 da. Kalkulatu zenbat diren aurpegietako diagonalak eta diagonal nagusia.

11. Kalkulatu zenbat den oinarri karratuak dituen honako piramide enbor ho-nen bolumena:

16 m

6 m

10 m

12. 24 cm-ko erradioko esfera bi plano paralelotik ebaki dugu: bat zentrotik pasatzen da eta bestea zen-trotik 16 cm-ra. Kalkulatu zenbat diren lortu diren hiru zatien azalerak eta bolumenak.

13. 50 cm-ko diametroa duen esfera zentrotik 8 cm eta 15 cm-ko distantziako bi plano paralelotatik eba-ki da, hurrenez hurren. Kalkulatu zenbat den bi pla-noren arteko esfera zatiaren bolumena.

Koordenatu geografikoak

14. 0 ardatzean goizeko 8ak direnean, zer ordu da E-ko hirugarren ardatzean? Eta M-ko bosgarrenean?

15. Bilbon (3° M longitudea) goizeko 9ak direla da-kigu. Honako eskema hau erabiliz, adierazi zer ordu den Monterreyn (100° M longitudea).

112°30' 105°

M B

90° 75° 60° 45° 30° 15°7°30' 0° 7°30'

16. Erroma lehenengo ardatzean dago E-rantz eta New York, bosgarrenean M-rantz. Hegazkin bat 23:00etan atera da Erromatik eta hegaldiak 8 h iraungo du. Zer ordu izango da New Yorken hegaz-kina iristen denean?

17. Habanan (82° M) arratsaldeko 8ak direnean, adierazi koadernoan zer ordu den honako hiri hauetan:Maputo (Mozambike) 14:00Natal (Brasil) 3:00Astana (Kazakhstan) 20:00Temuco (Txile) 00:00Honolulu (Hawaii) 11:00Dakar (Senegal) 23:00Katmandu (Nepal) 6:00Melbourne (Australia) 7:00

18. Bi hirik longitude bera dute, 15° E, eta latitudeak 37° 25' I eta 22° 35' H dira. Zer distantzia dago hiri horien artean?

19. «Itsas milia» longitudean 1'-ko aldea duten ekua-toreko bi punturen arteko distantzia da. Kalkulatu zenbat den itsas miliaren luzera.

20. Hegazkina A-tik B-ra doa. Horiek alderik alde daude 45° paraleloan. (APB) paraleloari edo poloko bideari (ANB) ja-rraituz joan daiteke hegazkina. Kalkulatu zer distantzia dagoen ibilbide bakoitzean. H

A

BP

I

21. Alexandria, New Orleans eta Houstonek latitude bera dute, 30° I. Longitudeak, hurrenez hurren, hauek dira: 30° E, 90° M eta 95° M. Zer distantzia egingo luke Alexandriatik New Orleansera 30° I paralelotik doan hegazkinak? Eta Alexandriarik Houstonera joanda?

Pentsatu eta ebatzi22. Kalkulatu zenbat diren ho-

nako trapezio isoszele hau oina-rriei erdiguneetan perpendiku-lar zaien zuzen baten inguruan biratuz sortutako kono-enbo-rraren azalera eta bolumena.

5 cm

9 cm

6 cm

23. Kalkulatu zenbat den honako irudi lau hauetako bakoitzak adierazitako ardatzaren inguruan biratuz sortzen dituen biraketa-gorputzen bolumena:

3 cm

4 cm

3 cm

3 cm

7 cm

A B

24. 8 cm-ko katetoak dituen triangelu zuzen isoszelea hipotenusaren inguruan biratzen da. Kalkulatu zenbat den sortzen den biraketa-gorputzaren bolumena.

25. Saltxitxoia aiztoarekin eba-ki da irudian ikusten den bezala. Kalkulatu zenbat diren geratzen den zatiaren azalera eta bolumena. 20 cm

5 cm

26. Honako hau da 10 cm-ko ertzeko kuboan sartzen den tetraedrorik han-diena. Kalkulatu zenbat diren horren azalera eta bolumena.

B

CD

A

10 c

m

27. Kalkulatu ea sartzen den:a) 4 u-ko ertza duen tetraedro erregularra, 4 u-ko

ertze ko kuboaren barruan.b) 12 u-ko ertza duen kuboa, 20 u-ko diametroa

duen esferaren barruan.c) 10 u-ko ertzeko kuboa, 15 u-ko altuera eta oina-

rriko erradioa 15 2 u-koa dituen konoan.d) 4 u-ko erradioa duen esfera, 10 u-ko ertza duen

oktaedro erregularrean.e) 10 u-ko altuera eta 790 u3-ko bolumeneko zilin-

droa, 10 u-ko ertzeko kuboan.

28. Zein dira oinarri karratuko ortoedroaren sime-tria-planoak? Eta biraketa-ardatzak? Zer ordenatakoa da horietako bakoitza?Erantzun galdera horiei kuboaren kasuan ere.

29. Marraztu koadernoan honako prisma hexagonal erregular honen poliedro duala:

a) Poliedro erdierregularrak dira prisma edo horren duala?

b) Adierazi zein diren bakoitzaren simetria-planoak.c) Adierazi poliedro bakoitzaren (prisma eta horren dua-

la) biraketa-ardatzak eta zer ordenatakoa den bakoitza.

30. Marraztu koadernoan honako antiprisma karratu hau:

a) Zenbat simetria-plano ditu?b) Adierazi biraketa-ardatzak. Zer ordena dute?

31. Badakigu ikosaedro erregularrak hainbat simetria-plano dituela. Esaterako, aurkako bi aurpegiri errepa-ratuz gero, horren hiru altueretatik pasatzen diren hiru planoak ikosaedroaren simetria-planoak izango lirateke.

a) Simetria-planoak pasatzen al dira aurkako ertzeta-tik ere? Zenbat daude?

b) Zenbat simetria-plano ditu guztira?c) Ikosaedroaren aurkako bi erpinetatik pasatzen den

biraketa-ardatzak 5 ordena du. Zer ordena dute aurkako bi ertzen zentroetatik pasatzen direnek? Eta aurkako bi aurpegiren zentroetatik pasatzen direnek?

156

c)1) π.faktorekomunaaterakodugu.

2)Kantitateberabatukoetakendukodugu;hortaz,berdintzaezdaaldatzen.

3)r1etar2faktorekomunaaterakodugu.

4)gparentesiekinordezteko,g=g1–g2erabilikodugu.

5)gfaktorekomunaaterakodugu.

45 Lurrazalaren1247210

12471≈ ikusdezake.

46 Kuboktadroakkuboarensimetria-planoetabiraketa-ardatzberakditu.

47 a)Ezdaerdierregularra,eztaerregularraere.Izanere,erpinguztietanaurpegi-kopuruberakegitendubat.

30aurpegi,32erpineta60ertzditu→30+32–60=2.

b)Ezdaerregularraharenaurpegiguztiakberdinakezdirelako,bainaerdierregularrada.

8aurpegi,12erpineta18ertzditu→8+12–18=2.

48 Erradioaerdiratxikiagotuzgero,bolumenalaurdeneratxikiagotzenda.Altueraerdiratxikiagotuzgero,bolumenaerdiratxikiagotzenda.

49 B

B

81

TXIKIA

HANDIA =

50 Esferakbolumenhandiagoadu.

51 a)Esferaerdia:π·82Konoa:π·62Zilindroa:π·102

b)π·82+π·62=π·100=π·102

c)π·(102–h2)+π·h2=π·(102–h2+h2)=π·102

d)Esferaerdia:π·(r2–h2)Konoa:π·h2Zilindroa:π·r2


32 Altuera35,36cmdira.

33 A=113,05cm2 B=80cm3

34 Konoakdubolumenikhandiena.

35 a)Aurpegiak:20;erpinak:12

b)Hexagonoak:20;pentagonoak:12c)A=7260cm2

36 A=468,1cm2

37 B=225,8cm3

38 20cm-koaldeetatiksoldatuz.

39 a)B=1307,24cm3 b)h=6,67cm

40 Askak880690l-koedukieradu,eta10orduan900000lhustudira.Ezinezkoada10orduzureztatzeaurgehiagohornitugabe.

41 2,50€-koprezioaizanbeharkoluke.

42 Urarensakonera1,1mdira.

43 Apiramide-enborra=84,3cm2 Bpiramide-enborra=43,5cm

3

Aprisma=47,7cm2 Bprisma=18,8cm

3

44 a)r1etag1oinarriarenerradioaetakonohandiarensortzaileadira,hurrenezhurren;r2etag2konotxikiarenakdira;gkono-enborra-rensortzaileada.

g1=g+g2(lehenberdintza).BigarrenberdintzaTalesenposizioandaudenbitriangeluzuzenekjustifikatzendute.

b)Zatigorriarenazalerahonelalortuda:konohandiarenalbokoazale-rakenkonotxikiarenalbokoazalera.

226 227

Ariketak eta problemak

Ebatzi problemak32. 3 m luze den

hagatxoa ebakiz eta sol-datuz, oktaedro erregula-rraren formako farolaren egitura sortu da. Zenbat da farolaren AB altuera?

A

B

33. Kono jakin baten aldeko azaleraren garapena 120°-ko anplitudeko eta 84,78 cm2-ko azalera zirku-larra dituen zirkulu-sektorea da. Kalkulatu zenbat den eratzen den gorputzaren bolumena.

34. Zilindro batek eta kono batek azalera total bera, 96π cm2, eta erradio bera dute, 6 cm. Biotako zeinek du bolumenik handiena?

35. 30 cm-ko ertza duen ikosaedro erregularra moztuz, honako poliedro erdirregular hau lortzen da (tronkoikosaedroa):

a) Zenbat erpin eta aurpegi ditu ikosaedroak?

b) Zenbat pentagonok eta zenbat hexagonok eratzen dute moztuz lortu den poliedroaren azalera?

c) Kalkulatu zenbat den poliedro horren azalera.

36. Kubo bat MNC'A' puntuetatik pasatzen den planotik ebakiko dugu (M eta N puntuak AD eta DC ertzen erdiguneak dira, hurrenez hurren).

A'

A

D'

C'

C

D

BM N

12 cm

Kalkulatu zenbat diren eratzen den poliedrorik txi-kienaren azalera totala eta bolumena.

37. Hiru tenis-pilota sartu dira 6,6 cm-ko diame-troko hodi zilindrikoan eta hodiaren ertzeraino ahokatzen dira. Kalkulatu zenbat den hutsik geratzen den zatiaren bolumena.

38. Hodi zilindrikoa eraiki nahi dugu 28 cm luze eta 20 cm zabal den laukizuzena aldeetatik soldatuz. No-la lortzen da bolumenik handiena, 28 cm-ko aldeeta-tik ala 20 cm-ko aldeetatik soldatuz?

39. 14 cm-ko diametroko harri-bola sartu da urez betetako 14 cm-ko ertzeko ontzi kubikoan eta, gero, harri-bola atera da ontzi kubikotik. Kalkulatu:

a) Zenbat ur isuri den.

b) Zer altuera duen urak bola atera eta gero.

40. Lursail bat ureztatzeko, irudian ageri den askako ura erabiltzen da; beterik dago orain. Ureztatzeko, segundoko 25 litroko emaria duen hustubidea ireki-tzen da. Ur gehiago hornitu gabe, iraungo al du ha-mar ordu askako urak?

10 m

1,8 m

50 m

5 m5 m

41. Zinema batean, krispetak, A motako on-tzietan, 1,50 euroan saldu dira orain arte. Arduradu-nak formatu handiagoan, B formatuan, saltzea ere pentsatu du. Zer prezio izan beharko luke B forma-tuak, zure ustez? Biribildu euroaren hamarrenetara.

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

20 cm

10 cm

A B

20 cm

15 c

m

42. Patxik 5 m-ko diametroko eta 100 m3-ko edukie-rako putzu zilindrikoa du. Baina ez dago beterik; pu-tzuaren ertzetik 2,25 m baino gehiago urrunduz gero, ez da urik ikusten. Kalkulatu zenbat den uraren sako-nera, Patxik begiak 1,80 cm-ko altueran dituela jota.

Problema korapilatsuagoak43. Prisma triangeluar erregularra ebaki dugu

bi ertzen erdigunetik eta aurkako beste ertzetik.Kalkulatu zenbat den zatietako bakoitzaren bolumena eta aza-lera totala. Hartu kontuan bi zatietako bat piramide-enborra dela.

6 cm

4 cm

44. Kono-enborraren aldeko azalera kalkulatzea:a)

g2

g = g1 – g2

g1

gg

r1 r2 — = — g1 g2

r1 r1

r2 r2

Azaldu zer diren r1, g1, r2, g2 eta g. Justifikatu aurreko bi berdintzak.

b)

Azalera

Konoaren aldeko azalera πrg dela gogoratuz, jus-tifikatu kalkulatu nahi dugun azalera (gorriz da-goena) A = πr1g1 – πr2g2 dela.

c) Hartu kontuan honako berdintza-kate hau: A = πr1g1 – πr2g2 = π (r1g1 – r2g2) =*

=* π (r1g1 – r1g2 + r2g1 – r2g2) = = π [r1(g1 – g2) + r2(g1 – g2)] = π [r1g + r2g] = = π (r1 + r2) gErrepikatu berdintzen katea pauso bakoitza justi-fikatuz. * berdintzan, hartu kontuan r1g2 = r2g1 dela. Azaldu zergatik.

45. Hegazkina 10 000 m-ko altueran doa. Lurrazala-ren zer zati ikus dezakete hegazkineko bidaztiek?

Lurraren erradioa 6 371 km-koa da, gutxi gorabehera.

Hausnartu teoriari buruz46. Gogoratu kuboaren sime-

tria-plano guztiak eta biraketa-ardatzak. Zer simetria-plano ditu kuboktaedroak (kuboa moztuz ateratzen den poliedroa)? Aztertu baita horren biraketa-ardatzak ere.

47. Azaldu zergatik ez den erregularra honako po-liedro hauetako bakoitza. Erdierregularrak al dira? Egiaztatzen al da Eulerren teorema bakoitzean?a) b)

48. Kono baten oinarriko erradioa erdira txi-kiagotu eta altuera bera gordez gero, erdira txikiago-tzen al da bolumena? Eta oinarri bera gorde eta altue-ra erdira txikiagotuz gero?

49. Oinarri karratuko piramidea oinarriari paralelo zaion eta altueraren erdigunetik pasatzen den plano-tik ebakiko da. Zer erlazio egongo da piramide han-diaren eta txikiaren bolumenen artean?

50. Kubo batek eta esfera batek azalera bera du-tela joko dugu. Zeinek du bolumenik handiena? Esfera-ren erradioari edozein balio emanez, egiaztatu erantzuna.

51. Hartu kontuan esferaerdiaren irudian 6 cm-ko altueran plano horizontalean ebaki diren kono iraulia eta zilindroa, guztiak diametro (20 cm) eta altuera (10 cm) berekoak:

202020

61010

66

a) Kalkulatu zenbat diren lortu diren sekzioen azalerak.b) Egiaztatu zilindroan lortu den sekzioa beste bien

baturaren baliokide dela.c) Egiaztatu erlazio hori bera betetzen dela planoaren

edozein altueratarako, h.d) Egiaztatu erlazio hori edozein erradiotarako, r, eta

edozein altueratarako, h, betetzen dela planoa ebakitzen den altuera edozein izanda ere.

157

Irakurri, asmatu eta ulertu

Ikasleekespazioa zatitzekomoduhauekhobetoulerditzaten, kubomoztuaketadagozkienoktaedroakeraikitzekoeskatukodiegu.

Trebatu problemak ebatziz

Soluzioak:

• 24dabilzezaketenbananenkopururiktxikiena.Tximinoak5bananajanditu,lehenbiziesnatudenmarinelak,12,etabestemarinelak,7.

• 10eta190zentimorenarteko10enmultiploguztiakeradaitezke.

• Karratuarenazalera5m2da.

Autoebaluazioaren soluzioak

1 Poliedroberriak6karratueta8hexagonoerregularditu.Erpinbakoi-tzeankarratubateketabihexagonokegitendutebat.

2 9simetria-planoditu.

Biraketa-ardatzak:4ordenako3,2ordenako6eta3ordenako4.

3 a)A=273,21cm2 b)A=602,88cm2

4 A=251,33cm2

5 Ba=48m3 Bb=586,43m

3 Bc=224m3

6 Oinarriarenerradioa9cmda.

Altuera15,69cmda.

Bolumena1330,87cm3da.

7 x40000

360 10= →x≈1111

Bihirienartean1111km-kodistantziadago,gutxigorabehera.

8 Bihirienarteanneurrihaudaukanarkuadago:30º-11º=19º.Hortaz,

bienartekodistantziahauda:°360

20015 ·19°≈1056,35km.

228 229

Taller de matemáticasMatematika-lantegia

eta ikasiizan ekimena

Irakurri, asmatu eta ulertuEspazioa betetzeko forma batzuk Salkinak biltzeko, garraiatzeko eta banatzeko zereginetan, espa-zioa ondo erabili behar da eta horrek ontzien formari buruzko gogoeta egitea eragiten du, salkinek biltegian ahalik eta espaziorik txikiena har dezaten, eta hutsunerik ez uzteko moduan.

Argi dago kaxarik egokienak ortoedroaren forma duena dela eta, horien artean, erregularrarena: kuboarena.Orain, kuboak pilatuta ditugula, espazioa betetzeko beste forma batzuen bila joko dugu; industriarako praktikotasun urriko poliedro erregularrak edo irregu-larrak izan daitezke, baina edertasun handikoak eta geometrian interesgarriak.

•Kubo baten izkinak ebakitzen ditugula joko dugu sekzioak triangelu aldekideak izateko eta aurpegiak oktogono erregular bihurtzeko eran.

Hartu kontuan:

— Kuboak pilatzean, erpin bakoitzean zortzi datozela bat.

— Kuboak ebakiz gero, erpin batean bat datozen zortzi izkinek oktaedro erregularra eratzen dutela.

Horrela, kubo moztuz eta oktaedro erregularrez espazioa bete-tzeko modua aurkitu dugu.

•Hartu kontuan baita:

Oktaedroek erpinetatik elkar ukitu arte sekzioak handiagotuz gero, gainerako espa-zioa ezagutzen duzun poliedro erdierregu-larraren bidez betetzen da.

Trebatu problemak ebatziz •Itsasontzia hondoratu eta gero, bi marinel eta tximinoa

uharte jendegabera iritsi dira. Jatekorik ez dutenez, bananak batu eta lotara joan dira.Gauez, marineletako bat esnatu, tximinoari bi banana eman eta gainerako bananen erdiak jan ditu. Gero, beste marinela esnatu da eta horrek ere tximinoari bi banana eman eta geratzen direnekin hiru zati egin eta zati horietako bi jan ditu.Goizean, geratzen diren bananak hiruren artean banatu dituzte.Bananarik zatitu beharrik ez da egon. Zenbat da bil zezaketen bananen kopururik txikiena? Zenbat banana jan ditu bakoitzak?

•Bost tanpon hauek dituzu:

Zenbat diru kantitate desberdin era ditzakezu?•Karratu baten diagonala bat dator 10 m2-ko azalerako

beste karratu baten aldearekin. Kalkulatu zenbat den karratu horren azalera.

1. Oktaedro erregular bat ertzak luzeraren herenean planoen bidez ebakiz moztu da. Deskribatu horrela lortu den poliedroa. Poliedro erdierregularra al da? Azaldu zergatik.

2. Deskribatu oktaedro erregularraren simetria-planoak. Adierazi baita biraketa-ardatzak zein diren eta bakoitza zer or-denatakoa den ere.

3. Kalkulatu zenbat den honako hauen azalera totala:

a) Aldeko ertza eta oinarriko ertza berdinak eta 10 cm-koak diren oinarri karratuko piramideare-na.

b) Oinarrietako erradioak 9 m eta 6 m-koak diren eta sortzailea 5 m-koa den kono-enborrarena.

4. 8 cm-ko erradioa duen esferan, bi ebaki paralelo egi-ten dira zentrotik alde desberdinetan, zentrotik 2 cm eta 3 cm urrunduta, hurrenez hurren.

Kalkulatu zenbat den bi ebakien arteko esfera-zona-ren azalera.

5. Kalkulatu zenbat diren honako gorputz hauen bolu-menak:

9 m

7 m 2 m

3 m

1 m

5 cm

8 cm

A CB

8 cm

8 cm6

cm

8 cm

4 cm

6. Honako zirkulu-sektore honen bidez, konoa eraiki da. Kalkulatu zenbat diren kono horren oinarriaren erradioa eta konoaren altuera eta bolumena.

18 cm

7. Bi hiri ekuatorean daude eta horien longitudeen ar-tean 10°-ko aldea dago. Zer distantzia dago bi hiri horien artean?(Lurraren erradioa: 6 371 km).

8. San Petersburgoren koordenatuak 60° I eta 30° E di-ra eta Oslorenak, 60° I eta 11° E.Kalkulatu zenbat den hiri batetik bestera doan para-leloaren arkuaren luzera.

Autoebaluazioa

HUTSUNEAK DAUDE EZ DAGO HUTSUNERIK

Honako ariketa hauek ebaztea.Webgunean

OHARRAK

Gorputz geometrikoak · 2019. 4. 27. · POLIEDROAK A = 4 π r 2 BIRAKETA-GORPUTZAK A aldtot = 2 π...

Documents

Transcript of Gorputz geometrikoak · 2019. 4. 27. · POLIEDROAK A = 4 π r 2 BIRAKETA-GORPUTZAK A aldtot = 2 π...