Gonzalo Adán Micó (*) - Instituto Balear de Estudios ... · de MDS en su conjunto, sus objetivos,...
Transcript of Gonzalo Adán Micó (*) - Instituto Balear de Estudios ... · de MDS en su conjunto, sus objetivos,...
Universidad de las Illes Balears Departamento de Psicología
Area de Metodología
ESCALAMIENTO MULTIDIMENSIONAL MÉTRICO VS. NO-MÉTRICO:
Intervalos de error en la interpretación de los resultados
Gonzalo Adán Micó (*) Doctor en Psicología
(monografía expuesta en noviembre de 1999 para
la obtención del Título de Suficiencia Investigadora, y ampliada en abril de 2012)
(*) Profesor de la Universidad de las Illes Balears Director del Instituto Balear de Estudios Sociales (IBES: www.ibesinvestigacion.com)
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
2
Resumen
El escalamiento multidimensional (MDS) es una técnica estadística multivariante que
combina su potencia analítica para reducir datos con su potencia gráfica para representarlos
en un espacio de baja dimensionalidad. De todo ello se deriva una gran utilidad para
descifrar constructos teóricos y su estructura subyacente a partir de complejas colecciones
de datos multivariados donde la relación entre los estímulos (sujetos, objetos o variables),
están medidos en términos de proximidad.
Si bien los primeros algoritmos eficaces se formularon en la década de los sesenta del
siglo XX, el MDS no se ha hecho popular hasta la aparición de los paquetes estadísticos más
recientes, siendo todavía escasos los trabajos orientados a optimizar su correcta utilización.
Observaciones empatadas, número de dimensiones o condicionabilidad son aspectos poco
tratados, estando este trabajo centrado en uno que nos parece de máximo interés: los
errores esperados según determinadas características de los datos.
Analíticamente, el MDS puede abordarse desde una perspectiva métrica (donde se espera
una relación lineal entre las proximidades de entrada y las distancias euclídeas resultantes) o
desde una perspectiva no-métrica (relación entre ambas sólo monotónica). Aunque esta
segunda perspectiva es la que goza de mayor popularidad al proporcionar mejores ajustes
entrada-salida, tiene una importante limitación, y es que para la correcta interpretación de
los resultados, se necesita disponer de la función monotónica citada. Los resultados del
procedimiento métrico, aunque con mayores dificultades de ajuste, son en cambio más
fácilmente interpretables.
En el presente trabajo nos preguntamos precisamente por dichos “desajustes” o errores
esperados, tabulándolos en sus valores máximos y mínimos desde una amplia gama de
características de los datos. Dicha tabla estará orientada a facilitar al usuario de MDS el
procedimiento y la interpretación de menor error según el tamaño, la dispersión, la precisión
y la distribución de sus datos.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
3
Indice
página
Introducción……………………………. 4 Justificación teórica 4 Planteamiento analítico 15
Método ………………………………….. 36
Variables 36 Muestreo 40 Procedimiento 40
Resultados …………………………….. 41 Conclusiones ………………………….. 49 Discusión …………………………….. 56 Bibliografía …………………………….. 58 Anexos ……………………………… 62
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
4
Introducción
A lo largo de la introducción expondremos los objetivos de nuestro trabajo, centrándonos
para ello en dos grandes apartados: la justificación teórica y la explicación analítica.
La justificación teórica se basa en describir los fundamentos teóricos sobre los que
descansa el Escalamiento Multidimensional (MDS) y que han dado lugar al planteamiento de
nuestro objetivo de investigación. Ello en tres apartados: el primero hace referencia a la idea
de MDS en su conjunto, sus objetivos, su historia y sus aplicaciones más importantes. El
segundo se centra en los conceptos de distancia y proximidad, que representa la mayor
diferencia del MDS con otras técnicas de reducción de datos. Por último, el tercer apartado
describe los objetivos y los límites del trabajo.
El planteamiento analítico describe los pormenores matemáticos del MDS en general y
aquellos que han sido empleados para el contraste de nuestros objetivos. Lo hemos dividido
en tres apartados que hacen referencia, respectivamente, a la formulación matemática del
procedimiento métrico, del no-métrico y de nuestros criterios de investigación.
1.- Justificación teórica
El término escalamiento multidimensional se refiere a una familia de métodos de análisis
de datos los cuales tienen como objetivo final representar un conjunto de estímulos1
relacionados en un espacio de baja dimensionalidad (habitualmente dos o tres ejes).
Conceptualmente se trata de convertir la medida de relación entre ellos (proximidad) en una
medida de distancia euclídea. El cuadro siguiente ilustra lo dicho:
1 Traducción literal del inglés “stimulus”, que, en literatura de MDS, se refiere a objetos, eventos, sujetos,
atributos, categorías, cualidades, etc. En general, todo aquello que puede ser represenatdo mediante un punto en el espacio euclídeo.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
5
Entrada (matriz de distancias)
Salida (gráfico de distancias)
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8
S1 -
S2 3 -
S3 7 4 -
S4 5 3 4 -
S5 4 5 6 3 -
S6 6 3 8 9 4 -
S7 5 3 5 7 5 2 -
S8 5 5 6 6 10 5 5 -
FF
s8
s7
s6
s5
s4
s3
s2
s1
3,0 2,0 1,0 0,0 -1,0 -2,0 -3,0
3,0
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
-3,0
Aunque el fundamento del MDS es esencialmente geométrico, su utilidad alcanza
aspectos importantes y variados de la inferencia estadística. Por un lado, el MDS pertenece a
las técnicas de reducción factorial, partiendo de n estímulos en un espacio de n-1
dimensiones y llegando a una representación de los n estímulos en un espacio de una
dimensionalidad fácilmente interpretable2. En este sentido, el MDS facilita la interpretación
de dichas dimensiones mediante el peso (coordenadas) de cada estímulo sobre cada
dimensión. Por otro lado, ya que la distancia entre los estímulos representa la mayor o
menor similitud entre ellos, el MDS se convierte en una herramienta útil para concluir sobre
estructuras de semejanza subyacente, de forma similar a como se realiza en el análisis de
clusters.
Un conjunto de estímulos es candidato para el análisis mediante MDS si, en su forma
matricial, las casillas indican alguna medida de relación entre los estímulos representados
2 Para ello puede partirse bien de matrices cuadradas (donde filas y columnas representan los mismos
estímulos) o a partir de matrices rectangulares (donde filas y columnas representan distintos estímulos, por ejemplo sujetos x variables). En el primer caso, la configuración resultante consistirá en una mera transformación gráfica de las proximidades entre los estímulos, pero en el segundo caso, además, informará sobre la reducción factorial efectuada sobre el estímulo no escogido para su representación (por ejemplo representar a los sujetos sobre una reducción factorial de las variables o las variables sobre una reducción factorial de los sujetos). Este segundo caso, no contemplado en nuestro estudio, es el que creemos que convierte el MDS en un complemento interesante al análisis factorial. .
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
6
por las filas y las columnas de la matriz. Estas medidas pueden hacer referencia a
correlaciones, distancias, proximidades, similaridades, clasificaciones, preferencias,
puntuaciones o cualquier otra forma de medir relaciones. Así mismo, las matrices pueden
presentarse en formas simétricas o asimétricas, rectangulares o cuadradas, con dos o tres
vías, y algunos tipos más.
Aunque cada tipología exige algoritmos distintos de resolución, en la base de todos ellos
se encuentran uno de los dos procedimientos siguientes: el métrico o el no-métrico. En
términos generales, si la transformación de las medidas de proximidad en distancias
euclídeas se realiza asumiendo una relación lineal – proporcional -, deberá utilizarse el
procedimiento métrico (Torgerson, 1938). En cambio, si somos menos restrictivos y
asumimos una relación solo monotónica entre ambas, deberá utilizarse el no-métrico
(Shepard-Kruskal, 1962). Dicho en un ejemplo, si tenemos dos proximidades, una doble que
la otra, el procedimiento métrico (función lineal) tendería a buscar dos distancias, una doble
que la otra. En cambio, el no-métrico (función monotónica), tendería a buscar dos
distancias, una mayor que la otra.
Es un hecho que la mayoría de los trabajos utiliza el procedimiento no-métrico, pues al ser
menos exigente proporciona menor error en la transformación. No obstante tiene una
limitación, y es que la interpretación monotónica que debe hacerse en la configuración es
menos intuitiva y por lo tanto más compleja que la lineal del procedimiento métrico. ¿ Que
error cometemos si no realizamos esta interpretación monotónica y aplicamos una
interpretación de las distancias lineal, es decir, proporcional ?. Nuestro trabajo está
centrado en responder ésta y otras cuestiones colaterales, tales como tabular este error en
función del número máximo de estímulos con los que puede utilizarse MDS para obtener
configuraciones significativas. Aunque volveremos sobre ello, el trabajo está limitado al
siguiente formato de los datos: dos vías (rango dos), un modo (filas y columnas son los
mismos estímulos), simétrica (proximidad entre i y j es la misma que entre j e i), y la medida
de proximidad es desemejanza (es decir, a mayor magnitud, mayor desemejanza). El
algoritmo de resolución ha sido ALSCAL, (Takane, Young y Leeuw, 1977) implementado en
SPSS.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
7
a) Breve reseña histórica del MDS
Numerosos autores proponen dividir la historia del MDS en cuatro fases, coincidiendo
cada una de ella con los cuatro pasos más importantes dados en el descubrimiento de
nuevos y más eficaces algoritmos de resolución.
La primera fase, centrada en la década de 1950, está caracterizada por la propuesta del
primer método de MDS, (Torgerson, 1952), acuñado como método métrico. Torgerson se
basó en el teorema matemático propuesto por Young y Housholder (1938) según el cual
“Una matriz de productos escalares derivada a partir de una matriz de distancias euclidianas
(de n puntos en un espacio de r dimensiones) puede descomponerse en el producto de una
matriz de coordenadas (de los n puntos en las r dimensiones) y su transpuesta”, pero
optimizando el algoritmo para el caso de que las distancias no cumplieran totalmente las
condiciones euclídeas3. Años más tarde, Messick y Abelson (1956) lograron simplificar el
modelo de Torgerson, añadiendo en los cálculos la denominada “constante aditiva” que
mejoraba aún más el cumplimiento de la condición euclídea de desigualdad triangular y por
lo tanto mejoraba el ajuste de la configuración.
La segunda fase abarca la década de 1960 y está protagonizada por los trabajos de
Shepard (1962), introduciendo el concepto de MDS no-métrico. Su mérito consistió en
resolver los mismos problemas que el MDS métrico, pero utilizando sólo la información
ordinal contenida en los datos, con lo que se evitaban ciertos supuestos sobre la distribución
y la variabilidad de los mismos. Los datos de partida ya no eran magnitudes de razón, sino de
rango. Su método supuso la generalización del procedimiento a un amplio número de
disciplinas científicas: arquitectura, geografía, política, psicología, etc.
De las muchas investigaciones que originó el método de Shepard, la más importante fue
3 Que es precisamente el caso que nos trata. Los datos empíricos presentados en forma de matriz de
proximidades suelen cumplir las condiciones euclídeas de simetría (Pij=Pji) y nulidad (Pij=0 si i=j), pero no la de desigualdad triangular (Pik>Pij+Pjk). Los errores de transformaciones de MDS se deben, entre otros, a este incumplimiento.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
8
sin duda la realizada por Kruskal (1964). Mientras que el procedimiento de Shepard consistía
en obtener una representación de n puntos en n-1 dimensiones, y reducir progresivamente
la dimensionalidad, el procedimiento de Kruskal comenzaba obteniendo la mejor
representación posible de los n puntos en el espacio r-dimensional, siendo r mucho más
pequeño que n y estando especificado antes del análisis en vez de después. Kruskal, además,
introdujo el estadístico “stress” como medida de discrepancia entre los datos de entrada
(proximidades) y los datos de salida (distancias de la configuración). Al hablar hoy en día del
MDS no-métrico, se entiende este último modelo, siendo conocido como el de Shepard-
Kruskal.
Recientes mejoras de este modelo, la mayoría hechas por el propio Kruskal, han
consistido en la posibilidad de tratar matrices incompletas o con datos missing, realizar
configuraciones en espacios no-Euclídeos o la posibilidad de “desempatar” proximidades con
el mismo valor.
La tercera fase, centrada en la década de 1970, es conocida por los trabajos sobre MDS de
diferencias individuales. Hasta el momento, en los casos en que los datos se presentaban
medidos bajo tres vías en vez de en dos, (por ejemplo varias matrices estímulos x estímulos
originadas cada una de ellas por un sujeto, un tiempo, una condición experimental, etc.), se
procedía obteniendo una media en una de las tres vías y se reducía la matriz a una de doble
entrada, o bien se analizaba separadamente cada matriz y se concluía en función de los
resultados obtenidos. En esta tercera década se da una respuesta a este problema, y se
desarrollan los modelos de tres vías o también llamados de “diferencias individuales.
Anteriormente a la década que se trata ya hubo algunos intentos por resolver el
problema, por ejemplo Tuker y Messick (1963) o McGee (1968). No obstante, el MDS de
diferencias individuales más importante fue el formulado por Carrol y Chang (1970). El
modelo presupone que existe un conjunto de r dimensiones o “factores” subyacentes a los n
estímulos, y que estas dimensiones son comunes a todas las fuentes de datos (sujetos). La
estructura del modelo asume que la relación entre las proximidades y las distancias es lineal,
pero que puede ser distinta para cada sujeto. El resultado son dos matrices, que representan
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
9
dos espacios distintos, uno para las coordenadas de los estímulos (común para todos los
sujetos) y uno para los pesos de los sujetos (para cada dimensión).
Por otro lado, con el fin de representar estímulos y sujetos en un mismo espacio, Carrol
(1972, 1980) se centra en las preferencias en vez de en las proximidades, y elabora una
teoría general que la componen cuatro modelos: El modelo I (el más general) se denomina
Unfolding general, el modelo II Unfolding ponderado, el modelo III unfolding simple y el
modelo IV (el más específico) modelo vectorial. Esta tercera década está también
caracterizada por una unificación de criterios, métodos y procedimientos, apoyada por el
uso incipiente de ordenadores que facilitaban los cálculos. De esta manera, Takane, Young y
Leeuw (1977) trabajaron en un algoritmo capaz de usar análisis métricos y no métricos,
dando como resultado ALSCAL (Alternativa de Escalamiento por mínimos cuadrados), y fue
rápidamente incorporado a lenguajes informáticos a través de los programas SAS y SPSS,
haciendo a partir de este momento el MDS mucho más popular de lo que ya lo había sido
hasta ese momento.
La cuarta fase, que abarca la década de 1980, se caracteriza por modelos más complejos.
El más significativo es sin duda el llamado modelo potencial de Ramsay (1983), basado en un
procedimiento de estimación de parámetros por máxima verosimilitud que asume una
relación potencial entre las proximidades y distancias. Dado que se basa en un
comportamiento muy concreto de la distribución de los datos, el modelo está casi
exclusivamente orientado a análisis de tipo confirmatorio, utilizándose para ello un gran
número de estadísticos de contraste, por ejemplo para confirmar hipótesis sobre el número
de dimensiones a retener o sobre la bondad del tipo de modelo aplicado.
b) Conceptos de distancia y de proximidad
Hemos considerado importante tratar ambos conceptos por dos motivos esenciales: en
primer lugar porque el MDS, técnica básicamente gráfica, descansa precisamente en
intuiciones espaciales de tipo métrico, y en segundo lugar, porque la gran cantidad de
términos relacionados (proximidad, relación, similaridad, similitud, etc.) no son igualmente
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
10
utilizados y tampoco igualmente traducidos.
En psicología, es costumbre trabajar con relaciones entre variables, y esta relación puede
medirse mediante escalas de similitud o de asociación El concepto métrico más
ampliamente utilizado para representar dicha similitud o asociación es quizás la de
proximidad (Shepard, 1962).
El MDS necesita asumir este concepto intuitivo y cuasi-métrico de proximidad para poder
representar dichas proximidades en un espacio métrico (normalmente euclídeo) con todas
sus propiedades, siendo precisamente esta transformación de proximidades a distancias la
que diferencia la mayoría de los procedimientos de MDS y más concretamente, el métrico y
el no métrico. Aunque volveremos sobre ello con más detalle, la diferencia más notable
entre ambos es que el procedimiento métrico asume que entre proximidades y las distancias
existe (o debe existir) una relación lineal, conocida, mientras que el no métrico asume que
esta relación es desconocida y, al menos, monotónica.
Parece que hay cierto acuerdo en definir los conceptos de similaridad y disimilaridad
como formas de entender la proximidad (algunos textos en castellano las traducen como
semejanza y desemejanza). Operativamente implica que la magnitud de esta proximidad
será mínima (0 o próxima a cero) en el caso de máxima similaridad/semejanza (mínima
disimilaridad/desemejanza), lo que a su vez exige que las proximidades adecuadas al MDS
sean disimilaridades/desemejanzas. Habitualmente se utiliza un re-escalamiento donde la
mínima desemejanza sea 1, dejando el valor 0 para designar la desemejanza de un estímulo
consigo mismo.
Para MDS, la asunción de que las proximidades (psicológicas) sean cuasi-distancias obliga
a que éstas deban cumplir las condiciones de distancia euclídea. Así, mientras son de fácil
cumplimiento las condiciones de nulidad (Pij = 0 si y solo si i=j) y simetría (Pij = Pji), los datos
empíricos no siempre satisfacen el axioma de desigualdad triangular (Pjk > Pij + Pik), lo que
origina una de las principales fuentes de error del ajuste proximidades-distancias.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
11
Un último aspecto hace referencia a la obtención de los datos de proximidad. Existen
multitud de medidas de proximidad. Davison (1983), las agrupa en tres: a) Juicios directos, b)
Probabilidades condicionales o conjuntas y c) Indices de perfil. Al igual que Arce (1993),
nosotros añadiríamos los datos de preferencia, aunque no existe acuerdo en este sentido
porque mientras unos autores los incluyen como datos de proximidad, otros los orientan
exclusivamente al procedimiento “Unfolding” (Cox, 1994; Young, 1987).
Los juicios directos de proximidad son la forma tradicionalmente utilizada cuando se
aplica MDS Se trata de pedir a un sujeto que emita juicios de semejanza sobre pares de
estímulos (en este caso estaríamos ante una matriz de dos vías), aunque el procedimiento de
MDS de “Diferencias Individuales” (de tres vías) permitiría la posibilidad – empíricamente
más eficaz – de ser varios sujetos los que efectúan juicios sobre la semejanza entre varios
estímulos. La subjetividad de los juicios emitidos es precisamente el sesgo a que antes nos
hemos referido al hablar del axioma de la desigualdad triangular, axioma que quedaría
perfectamente cumplimentado en el caso de que las proximidades fueran en sí mismas
distancias métricas.
Los datos de probabilidad no representan, para nosotros, un formato de datos en sí
mismos, sino una forma de presentar la matriz. Una probabilidad representa, al igual que
una correlación, una forma de medida de proximidad, por lo que desde este punto de vista,
las probabilidades quedarían encuadradas en el apartado anterior. No obstante, puede
ocurrir que una matriz de probabilidades no sea simétrica, e incluso que la probabilidad de
un estímulo consigo mismo no sea 0. Es el caso, por ejemplo, de una matriz factorial de
transición. Incluso pueden presentarse juicios de proximidad (por ejemplo sociométricos)
que incumplan la simetría. En todos estos casos lo de menos es el tipo de medida, y lo
importante es por lo tanto como transformar la matriz asimétrica en una simétrica con
mayor cumplimiento de los axiomas métricos. Existen varios procedimientos para esta
transformación, por ejemplo Kruskal (1964), Gower (1977) o Harshman (1978).
Con relación a los datos de preferencia, ya hemos dicho que los consideramos como una
forma de juicios de proximidad. El hecho de que algunos autores los traten por separado es
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
12
debido a que la forma de la matriz no es cuadrada (m x m) sino rectangular (m x n) donde m
son los sujetos que emiten sus juicios de preferencia, lo que indujo en su momento a idear
un procedimiento que representara en un mismo espacio métrico a los sujetos y a los
estímulos. Este es el motivo por el cual muchos autores prefieren clasificar los datos por la
forma en que se presentan los modos de la matriz que por la información de los datos en sí
mismos (Young y Hamer, 1987). Una excepción a la matriz sujetos x estímulos reside en la
sociometría, donde pueden existir datos de preferencia en una matriz sujetos x sujetos.
Por último, los datos pueden presentarse en forma multivariada, quizás el formato de
mayor frecuencia en psicología. En este caso, la matriz tiene la forma sujetos x variables, y
los datos no son proximidades ni preferencias, sino puntuaciones. En este caso, se necesita
una transformación que convierta la matriz en una sujetos x sujetos o en una variables x
variables. Las transformaciones más utilizadas son (Cox y Cox, 1994): euclídea, euclídea
ponderada, Mahalanobis, city block, Minkowski, Canberra, Bray-Curtis, separación angular y
correlación. Incluso para datos binarios se han establecido como distancias: Hamman,
Ochiai, Phi, Yule, y otras.
c) Objeto y límites de la investigación
Si exceptuamos el modelo potencial de Ramsay, para todos los procedimientos descritos,
así como para todas las formas de presentarse los datos, se precisa de la decisión de
emplear el procedimiento métrico o el procedimiento no-métrico.
Es un hecho que desde la generalización del procedimiento no-métrico, es mayoritario su
uso frente al métrico, pues como ya hemos dicho, la menor exigencia en la transformacion
proporciona mejores ajustes. Operativamente ello se explica porque es más sencillo que las
distancias y las proximidades se hagan coincidir a través de sus rangos que a través de sus
valores absolutos.
No obstante, emplear el procedimiento no-métrico pasa por asumir dos importantes
cuestiones: en primer lugar que los datos (proximidades) sean susceptibles de una
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
13
conversión ordinal, y la segunda, mucho más importante, que la interpretación de la
configuración se realice teniendo en cuenta la función monotónica que relaciona las
proximidades con una transformación previa de las distancias denominadas disparidades.
Ello se ilustra en los siguientes gráficos:
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
14
G1: Función monotónica
R2 = 87,68 %
Proximidades
12,010,08,06,04,02,00,0
Dis
pa
rid
ad
es
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
G2: Configuración final
R2 = 86,29%
Disparidades
3,53,02,52,01,51,0,5
Dis
tancia
s
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
MDS no-métrico
G3: Función lineal
R2 = 100%
Proximidades
121086420
Dis
pa
rid
ad
es
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
MDS métrico
G4: Configuración final
R2 = 65,51%
Disparidades
4,03,53,02,52,01,51,0,5
Dis
tancia
s
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
15
G2 representa el ajuste (o error) a la solución no-métrica correspondiente a la matriz de
proximidades anteriormente expuesta, y G4 representa el ajuste (o error) a la
transformación métrica. La transformación G2 tiene menos error porque su referencia es la
función monotónica G1, mientras que el error de G4 es mayor porque su referencia es una
función lineal, más exigente de cumplir.
A raíz de lo dicho nos planteamos las siguientes cuestiones: 1.- Comparando ambos
procedimientos con sus restricciones específicas ¿ Siempre tiene menor error el
procedimiento no-métrico ?. 2.- Si escogemos el procedimiento no-métrico... ¿ Qué error
cometemos si la interpretación de la configuración es lineal en vez de monotónica?. 3.- Ante
una interpretación lineal... ¿ Cuál es el procedimiento de menor error?
Tanto el procedimiento métrico como el no-métrico puede emplearse bajo una gran
variedad de formatos de datos y matrices. Con el fin de delimitar los que han sido
empleados en la presente investigación presentamos el cuadro siguiente, donde éstos se
han sombreado en color gris.
Nº de vías (rango de la
matriz)
Nº de modos (conjunto diferente de estímulos)
Tipo de medida
Configuración buscada
Nombre
2 Vías
1 Modo (Matriz cuadrada m x m)
Proximidades 1 modo (m ó n) CMDS
(Clasiccal)
2 Modos (Matriz rectangular m x n)
Puntuaciones o perfil
1 modo (m ó n)
Preferencias 2 modos (m y n)
UMDS (Unfolding)
3 Vías Mismas opciones que para dos vías,
añadiendo los sujetos como tercera vía. INDSCAL
Dentro del tipo de datos de preferencia, hemos intentado contestar a las cuestiones antes
expuestas en un amplio rango de posibilidades, es decir, de formato de datos. En el apartado
correspondiente al método se describirán pormenorizadamente dichos tipos, que
adelantamos que han sido los siguientes: distribución normal y uniforme, dispersión alta y
baja, precisión de la medida alta y baja y número de estímulos 5, 10 y 15.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
16
Otro de los límites se ha fijado en los algoritmos utilizados, habiéndose realizado toda la
investigación con la versión de ALSCAL (Takane, Young y de Leeuw, 1977) implementada en
SPSS-7.
2.- PLANTEAMIENTO ANALITICO DEL PROBLEMA
En términos de teoría psicológica, queremos averiguar el error cometido al interpretar las
relaciones entre estímulos mediante la intuición de que entre las proximidades empíricas y
las distancias de la configuración debe existir una relación lineal, cuando en realidad esta
relación es de tipo monotónico.
Con el fin de tabular dicho error en sus valores máximo y mínimo utilizaremos como
variables moduladoras aquellas que mejor definen las posibles formas de los datos de
proximidad: a) el tamaño de la matriz de proximidades, b) su forma de distribución, c) la
precisión (entera o decimal) de la medida y d) la dispersión de los datos. Los criterios serán
los ajustes (y discrepancias) utilizando los procedimientos métrico y no-métrico de MDS
Como única restricción al estudio hemos impuesto la bidimensionalidad de la configuración
resultante y el tipo de medida continuo. Sobre todo ello insistiremos más adelante.
En esta segunda parte de la introducción exponemos la cuestión que se trata bajo el
punto de vista analítico, revisando para ello los pormenores matemáticos de los algoritmos
métrico y no-métrico y definiendo los criterios de contraste empleados.
Utilizaremos el mismo ejemplo que el empleado en la primera parte de la introducción.
Imaginemos un grupo de ocho estímulos S1-S8 (variables, sujetos u objetos) y las
proximidades empíricas entre ellos (cuadro siguiente). Mediante escalamiento
multidimensional se pretende obtener una configuración gráfica bidimensional en la cual las
distancias entre los estímulos representados reproduzcan de la mejor manera posible las
proximidades de dicha matriz.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
17
Datos de entrada (proximidades)
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8
S1 -
S2 3 -
S3 7 4 -
S4 5 3 4 -
S5 4 5 6 3 -
S6 6 3 8 9 4 -
S7 5 3 5 7 5 2 -
S8 5 5 6 6 10 5 5 -
Por tratarse de una matriz de proximidades no necesita de transformaciones previas, y los
datos se introducen en cualquiera de los programas de ordenador tal y como los hemos
presentado en la matriz. En nuestro caso, en SPSS vs. 7.0.
a) Análisis con el procedimiento métrico
Ya sabemos que el procedimiento métrico trabaja bajo la hipótesis de que los datos de
entrada (proximidades) y los datos de salida de la configuración (distancias), están
relacionados mediante una función lineal. Esta forma de relación, la más obvia e intuitiva,
fue expuesta primeramente por Torgerson (1958).
Como ya expusimos en la introducción, el algoritmo matemático de Torgerson está
basado en el teorema de Young y Householder (1938) según el cual una matriz de productos
escalares derivada a partir de una matriz de distancias euclidianas (de n puntos en un
espacio de r dimensiones) puede descomponerse en el producto de una matriz de
coordenadas (de los n puntos en las r dimensiones) y su transpuesta.
ALSCAL se basa en el algoritmo de Torgerson, pero añade algunos pasos que mejoran la
configuración final. Por ejemplo, a pesar de que el concepto de disparidad es específico del
caso no-métrico, introduce el concepto también en el caso métrico, con el fin de unificar los
criterios de ajuste bajo los mismos términos. De esta manera, las disparidades en el caso
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
18
métrico no son más que una transformación lineal de las proximidades en que la variancia es
la unidad, con lo que puede utilizar el estadístico “stress” como criterio de ajuste
disparidades-distancias de igual forma que en el caso no-métrico. Lo mismo ocurre con los
pasos iterativos de optimización “en fino” de las coordenadas finales, utilizando el mismo
índice “s-stress” que en el caso no-métrico como criterio de convergencia para llegar a la
solución final.
El cuadro siguiente representa un esquema del algoritmo de resolución.
El primer paso consiste en transformar las proximidades en disparidades mediante una
estandarización en que la variancia es la unidad. A continuación se calcula la constante
aditiva que acerca las proximidades a un mejor cumplimiento de la condición euclídea de
desigualdad triangular. El siguiente paso consiste en la obtención de la matriz B de productos
escalares. Después se obtiene la matriz X de coordenadas (según B=XX’) mediante la
factorización por componentes principales y a continuación se entra en un proceso de
cálculo iterativo donde se intentan optimizar las coordenadas finales comparando las
distancias entre los puntos con las disparidades mediante el estadístico s-stress. Por último,
encontrado el mejor de los ajustes posibles, se rota ortogonalmente la configuración y se
hallan los estadísticos de ajuste final: stress y RSQ (R2).
Como ya hemos dicho, uno de los pasos que más caracterizan ALSCAL es el empleo del
estadístico s-stress para optimizar la configuración resultante (el nombre de Alternating
Cálculo de
Disparidades
y
Normalización
Estimación de
la constante
aditiva
Cálculo de
productos
escalares
Obtención de
coordenadas
por CP.
Cálculo de
distancias
Cálculo de
s-stress (1)
Movimiento de
coordenadas
por gradiente
Calculo de
s-stress (2)
Convergencia
entre s-stress
(1) y (2)
Configuración
final y cálculo
de stress
c < 0,001
c> 0,001
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
19
Least Squares sCALing proviene precisamente del uso de s-stress). Así, una vez halladas las
coordenadas mediante componentes principales, se halla dicho índice como factor de
discrepancia entre las distancias y las disparidades. Su cálculo responde a la siguiente
fórmula: (Sum (dp2 – de2)2 / Sum (de2)2)1/2, donde Sum = sumatorio, dp = disparidad y de =
distancia estimada. (Como puede verse, responde a una suma residual cuadrática de
cuadrados disparidades-distancias normalizada en las distancias).
Una vez hallado s-stress, se mueven todas las coordenadas un poco (según el método del
gradiente o del descenso profundo) y se vuelve a hallar dicho índice. Cuando la diferencia
entre dos sucesivos s-stress es menor o igual a un valor dado (en nuestro caso 0,001), se da
por finalizada la optimización y ALSCAL proporciona las coordenadas finales. En ese
momento se hallan las distancias definitivas y a partir de ellas el ajuste final disparidades-
distancias, tanto a través del estadístico stress como del estadístico RSQ (R-SQuared).
Proximidades (P), disparidades finales (d) y distancias finales (D) del ejemplo fueron:
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
P d D P d D P d D P d D P d D P d D P d D
S2 3 1.13 1.05
S3 7 2.64 2.46 4 1.51 1.63
S4 5 1.89 2.07 3 1.13 1.67 4 1.51 1.03
S5 4 1.51 0.98 5 1.89 1.76 6 2.27 2.66 3 1.13 1.91 - - -
S6 6 2.27 1.52 3 1.13 1.62 8 3.02 3.21 9 3.40 3.25 4 1.51 2.47 - - -
S7 5 1.89 1.28 3 1.13 0.87 5 1.89 2.39 7 2.64 2.55 5 1.89 2.24 2 0.76 0.84 - - -
S8 5 1.89 2.69 5 1.89 1.74 6 2.27 2.14 6 2.27 2.88 10 3.77 3.50 5 1.89 2.25 5 1.89 1,59
Y los resultados, tal y como son dados por ALSCAL en el output de SPSS-7 fueron:
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
20
SOLUCION SEGÚN MDS METRICO Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared distances)
Iterations stopped because S-stress improvement is less than ,001000
Stress = ,20927 RSQ = ,65511
Configuration derived in 2 dimensions: Stimulus Coordinates
Estimulus 1 2
1 S1 -,1005 ,9701
2 S2 ,0722 -,0662
3 S3 -,9358 -1,3454
4 S4 -1,5412 -,5151
5 S5 -1,0169 1,3165
6 S6 1,4101 ,8516
7 S7 ,9097 ,1765
8 S8 1,2025 -1,3880
Iteration S-stress Improvement
1 ,35999
2 ,31837 ,04163
3 ,31801 ,00036
Derived Stimulus Configuration
2,01,51,0,50,0-,5-1,0-1,5-2,0
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
s8
s7
s6
s5
s4
s3
s2
s1
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
21
El stress de 0,209 proviene de aplicar la fórmula de Kruskal (1964) siguiente: (Sum (dp –
df)2 / Sum (df)2)1/2, donde Sum = sumatorio, dp = disparidad y df = distancia final. (Como
puede verse, responde a una suma residual de cuadrados disparidades-distancias
normalizada en las distancias). Al igual que s-stress, es una medida de error o discrepancia
entre ambas variables, adimensional y siempre positiva. Aunque la información que
proporciona stress puede considerarse suficiente, suele acompañarse de RSQ, que
representa el % de variancia de las disparidades que es explicada por las distancias de la
configuración. (Aritméticamente idéntico a R2 de la recta de regresión y al valor del
coeficiente de correlación elevado al cuadrado).
Los gráficos que exponemos a continuación ilustran las tres transformaciones más
importantes habidas a lo largo del proceso de cálculo, así como el ajuste (medido mediante
RSQ y representado por R2) que explica la bondad de la transformación. (Los puntos que
representan los datos se han unido con una línea para una mejor interpretación de su ajuste
respecto de la recta de regresión. Por lo tanto, debe abstraerse cualquier tipo de inferencia
temporal o serial).
Así pues, en el Gráfico-1 queda representada la transformación de las proximidades en
disparidades, realizada mediante una mera normalización y obviamente dando como
resultado un RSQ = 100%.
En el Gráfico-2 se representa la transformación de las disparidades en distancias y cuyo
RSQ = 65,51. Este valor representa precisamente el ajuste dado por SPSS como solución
definitiva. Su interpretación podría hacerse diciendo que el 65,51 % de la variancia en la
configuración ha sido debida a las disparidades, por lo que puede cifrarse el error de la
configuración en un 100-65,51=34,49%.
Por último, el Gráfico-3 representa la relación entre las proximidades (entrada) y las
distancias (salida). Dado que la relación de variancia proximidades-disparidades era del
100%, no podía esperarse otra cosa de que este ajuste proximidades-distancias coincidiera
con el hallado en disparidades-distancias, es decir, 65,51%. Este gráfico, que consideramos el
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
22
más importante, ha sido incluido por ser precisamente el que nos informará (en el caso no-
métrico) sobre la variancia “perdida” por la transformación monotónica de las proximidades,
no existiendo esta pérdida de información en el caso métrico por ser la transformación
proximidades-disparidades lineal. Sobre todo ello incidiremos en el capítulo siguiente.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
23
Gráfico-3
R2 = 65,51%
Proximidades
121086420
Dis
tancia
s
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Gráfico-2
R2 = 65,51%
Disparidades
4,03,53,02,52,01,51,0,5
Dis
tanc
ias
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Gráfico-1
R2 = 100%
Proximidades
121086420
Dis
pa
rid
ad
es
4,0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
24
b) Procedimiento No-métrico
El fundamento teórico del MDS no-métrico es esencialmente distinto al métrico. Se basa,
igual que en el caso métrico, en ajustar las distancias a las disparidades, pero mientras que
en éste último las disparidades estaban relacionadas linealmente con las proximidades, en el
no-métrico están relacionadas monotónicamente. Esta condición de monoticidad incluye no
sólo a la propia función lineal, sino también a la exponencial, potencial, logarítmica y en
general, aquellas monótonamente crecientes o decrecientes.
Esta mayor libertad para relacionar proximidades y distancias implica como ventaja
fundamental mayor facilidad para encontrar configuraciones ajustadas. Por otro lado, al
bastar el rango de las proximidades para encontrar la solución, se ahorran los supuestos
acerca de la distribución de los datos que son necesarios en las técnicas basadas en la
variabilidad. A nivel analítico, ALSCAL trabaja en un proceso iterativo de cálculo que se
resume en el cuadro siguiente:
Configuración Inicial y cálculo de distancias estimadas: Los cálculos parten de una
configuración inicial dada. ALSCAL utiliza la proporcionada por el algoritmo métrico en la
fase de factorización de la matriz de productos escalares, hallando a continuación las
distancias entre los estímulos. A estas distancias se les denomina distancias estimadas.
Configuración
Incial
estimada
Cálculo de
Disparidades
Cálculo de
s-stress (1)
Normalización
Coordenadas
estimadas
Configuración
final y cálculo
de stress
Cálculo de
s-stress (2)
Movimiento de
coordenadas
Covergencia
entre s-stress
(1) y (2)
c > 0,001
c < 0,001
Cálculo de
distancias
estimadas
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
25
Disparidades: Las disparidades son producto de la (mejor) transformación monotónica de las
proximidades, y, a su vez, origen del (mejor) ajuste de la configuración final.
Para su cálculo se opera de la siguiente manera: 1) se ordenan las proximidades según su
rango, 2) se asigna a cada valor el correspondiente a su distancia estimada, 3) se aplica una
transformación monotónica de mínimos cuadrados (sustituyendo aquellos valores que no
cumplen el orden por su media) y 4) los valores así hallados (disparidades) se sustituyen por
las distancias estimadas.
Normalización y cálculo de s-stress (1): Dado que s-stress es un estadístico normalizado,
también deben serlo los valores de disparidad trasformados mediante regresión
monotónica. Esta normalización se realiza multiplicando cada valor de disparidad por un
factor que es el cociente entre la suma de las distancias al cuadrado y la suma de los
productos distancias x disparidades.
El cálculo de s-stress, igual que en el caso métrico, responde a la raíz cuadrada del
cuadrado de la suma de las diferencias de los cuadrados de distancias y disparidades dividido
por la suma de la potencia 4 de las distancias.
Movimiento de coordenadas y cálculo de s-stress (2): Este paso es el que se encarga de
buscar una nueva configuración cuyo s-stress sea menor que el hallado en el paso anterior.
Esta nueva configuración se halla mediante el movimiento de cada coordenada de cada
punto una magnitud que viene dada por una constante que define el tamaño del paso,
multiplicada por la derivada del stress respecto de la coordenada en cuestión. Este método
de incremento es denominado de gradiente negativo o del “descenso profundo”, ya
mencionado en el procedimiento métrico.
A continuación se halla el nuevo s-stress (2) de la configuración y se compara con el (1). Si
no ha variado o su diferencia es menor de 0,001, se da finalizado el proceso de cálculo
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
26
iterativo. En cambio, si la diferencia es mayor de 0,001 comienza un nuevo ciclo por si la
configuración pudiera mejorar mediante un nuevo movimiento de sus coordenadas.
Proximidades (P), disparidades finales (d) y distancias finales (D) fueron las siguientes:
S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7
P d D P d D P d D P d D P d D P d D P d D
S2 3 1,02 1,02
S3 7 2,69 2,45 4 1,73 1,82
S4 5 1,73 1,68 3 1,48 1,68 4 1,48 1,33
S5 4 1,48 0,58 5 1,73 1,59 6 2,69 2,81 3 1,48 1,79
S6 6 2,29 1,81 3 1,48 1,65 8 3,31 3,43 9 3,31 3,25 4 1,73 2,23
S7 5 1,73 1,68 3 0,99 0,96 5 2,29 2,52 7 2,69 2,64 5 2,25 2,25 2 0,99 1,02
S8 5 2,29 2,66 5 1,73 1,65 6 2,29 2,06 6 2,69 2,84 10 3,31 3,23 5 2,29 2,32 5 1,73 1,34
Configuración final y cálculo de stress: Al igual que en el procedimiento métrico, el output de
SPSS incluye los sucesivos pasos de iteracción y el s-stress de cada uno, stress, RSQ y las
coordenadas finales de la configuración. Los resultados a nuestro ejemplo, tal y como
fueron dados en pantalla se describen en el cuadro siguiente:
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
27
SOLUCION SEGÚN MDS NO-METRICO Iteration history for the 2 dimensional solution (in squared distances)
Iteration S-stress Improvement
1 ,25706
2 ,21193 ,04512
3 ,18951 ,02242
4 ,17778 ,01174
5 ,17311 ,00467
6 ,17113 ,00197
7 ,17019 ,00094
Iterations stopped because S-stress improvement is less than ,001000
Stress = ,12603 RSQ = ,86287
Configuration derived in 2 dimensions: Stimulus Coordinates
Dimension
Estimulus 1 2
1 S1 -,3380 -,8975
2 S2 ,0976 ,0249
3 S3 -1,0283 1,4536
4 S4 -1,5721 ,2354
5 S5 -,7166 -1,3414
6 S6 1,4709 -,8979
7 S7 1,0591 ,0403
8 S8 1,0273 1,3826
Derived Stimulus Configuration
Dimension 1
2,01,51,0,50,0-,5-1,0-1,5-2,0
Dim
ensio
n 2
2,0
1,5
1,0
,5
0,0
-,5
-1,0
-1,5
-2,0
s8
s7
s6
s5
s4
s3
s2
s1
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
28
Los gráficos de la página siguiente ilustran mejor las transformaciones descritas. En el
Gráfico-4 se muestra la ocurrida al convertir las proximidades en disparidades, y en el
Gráfico-5 se muestra la ocurrida entre disparidades y distancias finales. El valor de R2
representa RSQ en %.
Ya dijimos en el procedimiento métrico que ALSCAL no incluye ningún índice que informe
sobre la relación proximidades-distancias, pues las primeras dejaron de ser relevantes para
el proceso una vez encontrada su mejor transformación monotónica (disparidades).
Recordemos que en el caso métrico stress también estaba medido entre distancias y
disparidades, pero dado que la transformación proximidades-disparidades era lineal, el
índice coincidía con el ajuste proximidades-distancias.
El Gráfico-6 representa precisamente la relación entrada-salida, es decir, proximidades y
distancias. La proporción de variancia es del 63,90 %, un valor muy semejante al 65,51 %
obtenido por el procedimiento métrico.
Sobre este último aspecto incidimos en el punto siguiente.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
29
Gráfico-4
R2 = 87,68 %
Proximidades
12,010,08,06,04,02,00,0
Dis
pari
dades
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Gráfico-5
R2 = 86,29%
Disparidades
3,53,02,52,01,51,0,5
Dis
tancia
s
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Gráfico-6
R2 = 63,90 %
Proximidades
12,010,08,06,04,02,00,0
Dis
tancia
s
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
30
c) Criterios de contraste
¿ Qué procedimiento debemos pues utilizar ?. Si nos atenemos al único criterio de
escoger aquél de mejor ajuste disparidades-distancias, es obvio escoger el no-métrico,
pues siempre proporcionará mayores significaciones (es un hecho que la gran mayoría de
los estudios utilizan este procedimiento), pero si el criterio es el ajuste proximidades-
distancias la respuesta no es ya tan evidente.
Incluso escoger el procedimiento no-métrico pasa por tener en cuenta dos importantes
aspectos. En primer lugar si los datos de proximidad son susceptibles de una conversión
ordinal, y en segundo lugar, mucho más importante, la interpretación monotónica. Somos
de la opinión de que no siempre se tiene en cuenta no ya la propia restricción
monotónica, sino la forma de la función que relaciona las proximidades y las disparidades.
Si éste es el caso... ¿ Qué error estamos cometiendo ?.
La primera cuestión puede analizarse bajo dos puntos de vista según el criterio de
contraste empleado. Si éste se centra en las disparidades (es decir, asumiendo la
linealidad en el caso métrico y la monoticidad en el no-métrico), escogeríamos el 86,29 %
del procedimiento no-métrico frente al 65,51 % del métrico. Por otro lado, si el criterio se
centra en las proximidades de entrada (es decir, asumiendo la linealidad en ambos
procedimientos), escogeríamos el 65,51 % del procedimiento métrico frente al 63,90% del
no-métrico.
La segunda cuestión, quedaría contestada con el valor ya mencionado del ajuste lineal
proximidades-distancias en el procedimiento no-métrico, sin más que restárselo de 100.
En nuestro caso, 100 - 63,90 = 36,10 %.
Las tres cuestiones planteadas configuran el eje del trabajo.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
31
Para llegar a los datos expuestos ha sido necesario previamente tabular y analizar los
ajustes de cada transformación en cada procedimiento.
El cuadro siguiente representa todos ellos (T1 a T4) entre las proximidades (P),
disparidades (d) y Distancias (D).
Y la tabla siguiente la que refleja los estadísticos RSQ de cada relación:
T1
(Prox-Disp) T2
(Disp-Dist) T3
(Prox-Dist) T4
(Dist-Dist)
Procedimiento Métrico
100 65,51 65,51
92,87 Procedimiento No-Métrico
87,68 86,29 63,90
De esta manera, conocidos dichos datos se podrían contestar otras cuestiones que
ayudarían a explicar las dos ya planteadas... ¿ Cuál es el grado de coincidencia entre la
configuración métrica y la no-métrica ?, ¿ Cuánto es la variancia perdida cuando se aplica
la transformación monotónica a las proximidades en el caso no-métrico ?, ¿ Cuánto es la
variancia ganada al ajustar disparidades en vez de proximidades ?.
Aunque las conclusiones están centradas en las tres cuestiones ya planteadas, los análisis
han abarcado todas las relaciones descritas. Para su mejor tratamiento se han
operativizado en conceptos de error (1-R2.) según el siguiente cuadro de criterios:
P DdT1 T2
T3
P DdT1 T2
T3 T4
No-métrico
métrico
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
32
Procedimiento Criterio Valor
Métrico Error de ajuste métrico 1 – T3
No-métrico
Error en la transformación monotónica 1 – T1
Error de ajuste no-métrico 1 – T2
Error en el ajuste métrico 1 – T3
Entre ambos Ajuste mediante R2 T4
Discrepancia T3m – T3nm
1.- Procedimiento métrico: Error en el ajuste métrico (proximidades-disparidades)
Si entendemos que T2 representa el % del ajuste entre el modelo y los datos de
entrada (o el % de variancia del modelo que es explicada a partir de las proximidades de
entrada), su diferencia hasta el 100% puede ser entendida como el error de la
configuración respecto de los datos de entrada. Aunque en el caso métrico T2 coincide
con T3, es más coherente con el procedimiento emplear el valor T2 (en nuestro caso 100 -
65,51 = 34,49 %).
2.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación monotónica
Recordemos que la transformación monotónica consiste en convertir las proximidades
de entrada en unos valores (disparidades) que sólo conservan de éstas sus rangos. Ello
quedó ilustrado en el Gráfico-4.
La condición de monoticidad consiste en que proximidades y disparidades crecen (o
decrecen) a la vez, pero no lo hacen necesariamente de forma lineal. Si entendemos que
T1 representa el ajuste P-d, el valor 100 - T1 representará la pérdida de linealidad. En
nuestro caso 100 - 87,68 = 32,32 %.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
33
3.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación d-D
Al igual que con el procedimiento métrico, es T2 el valor que representa el ajuste de la
configuración no-métrica, y el valor 100-T2 será por lo tanto el error de dicha
transformación (en nuestro caso 100 – 86,29 = 13,71 %.
4.- Procedimiento no-métrico: Error en la transformación P-D
Dado que los dos anteriores índices definen todas las transformaciones ocurridas en
ambos procedimientos, podría pensarse que el valor T3 no es ya pertinente. Con relación
al procedimiento métrico porque su valor coincide con T2, y con relación al no-métrico
porque sería introducir una conceptualización métrica en unos cálculos únicamente
ordinales.
El motivo de introducirlo ha sido precisamente para poner a prueba la potencia del
procedimiento no-métrico para realizar interpretaciones métricas, facilitando su
comparación por lo tanto con el T3 (=T2) del procedimiento métrico. En nuestro caso, 100
– 63,90 = 36,10 %.
5.- Discrepancia Métrico/No-Métrico: Ajuste D-D
Este valor (T4), representado por el R2 entre las distancias finales de ambas
configuraciones, representa una de las mejores formas de comparación entre ambos
procedimientos.
En el Gráfico siguiente hemos superpuesto las configuraciones resultantes de ambos
procedimientos (Sm para los estímulos de la configuración métrica y So para los de a
configuración no-métrica). Se ha tenido que realizar una rotación de 180o en el eje Y de la
configuración no-métrica para equipararla a la métrica, lo que no supone ninguna
distorsión en las distancias.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
34
Podemos pues preguntarnos... ¿ Cuál es el grado de ajuste entre ambas configuraciones
?. En el Gráfico-7 hemos representado esta relación, siendo T4 (R2 ) el 92,87 %.
Gráfico-7
R2 = 92,87 %
Distancias (procedimiento métrico)
4,03,53,02,52,01,51,0,5
Dis
tancia
s (p
rocedim
iento
no-m
étr
ico) 3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
,5
s8o
s7o
s6o
s5o
s4o
s3o
s2o
s1o
s8m
s7m
s6m
s5m
s4m
s3m
s2m
s1m
2,01,00,0-1,0-2,0
2,0
1,0
0,0
-1,0
-2,0
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
35
- Discrepancia Métrico/No-Métrico: Mejor procedimiento P-D
El hecho de que la coincidencia no sea del 100% implica que las configuraciones son
distintas y que por lo tanto, una se ajustará más que la otra a las proximidades iniciales.
¿Cuál es pues el procedimiento que mejor ajusta?. La respuesta es bastante simple: aquél
cuyo T3 sea mayor, en nuestro caso el procedimiento métrico.
Esta medida puede representarse tanto por su valor absoluto como por su valor
relativo, y debe establecerse uno de los dos procedimiento como referencia de dicho
valor. Así pues, tomando el procedimiento métrico como referencia nuestro caso
arrojaría como resultado que la configuración es mejor representada mediante el
procedimiento métrico, por 65,51-63,90 = 1,61 puntos porcentuales, o que el métrico es
un 100 - (63,90 / 65,51) = 2,46 % mejor.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
36
Método
A continuación se describen las variables y el procedimiento empleado.
VARIABLES
a) Variables criterio
Los criterios han sido los seis expuestos en el capítulo anterior, codificados y calculados
según el cuadro siguiente. En los resultados se hará referencia también a los datos fuente
Indicadores de ajuste Código1 Cálcuo2
Datos fuente
Proc. Métrico Proximidades-Distancias V2 R2 P-D
Proc. No-métrico
Proximidades-Disparidades V4 R2 P-d
Disparidades-Distancias V5 R2 d-D
Proximidades-Distancias V6 R2 P-D
Criterios de contraste
Proc. Métrico Error de ajuste métrico V7 1-V2
Proc. No-métrico
Error de transf. monotónica V8 1-V4
Error de ajuste no-métrico V9 1-V5
Error de ajuste métrico V10 1-V6
Entre ambos Ajuste V11 R2 D-D
Discrepancia V12 V2-V6 1 El código será el empleado a lo largo del capítulo para hacer referencia a los indicadores de ajuste 2 Cálculo para el estadístico del error , ajuste o discrepancia
b) Variables moduladoras
Por variables moduladoras hemos entendido aquellas que nos van a permitir tabular los
indicadores en las formas con que habitualmente se presentan los datos de proximidad.
Aunque la única variable que determina un mejor o peor ajuste es el cumplimiento de la
condición euclídea de desigualdad triangular, algunas características de los datos influyen
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
37
sobre ella. Hemos considerado, como más importantes, la forma de la distribución, la
dispersión de los datos, la precisión de la medida y el tamaño de la matriz.
No obstante a lo dicho, mención aparte nos parece la influencia de los datos empatados o
coincidentes, pues el procedimiento no-métrico necesita de su desempate para establecer
su rango y ordenar.
Existen dos formas de abordar el problema. Si se asume que las proximidades están
medidas en una escala continua (nuestro caso), se fuerza el desempate reasignando a las
proximidades empatadas el rango correspondiente a sus distancias estimadas. Si se
asumiera un proceso de medida discreto el rango de las proximidades empatadas se
asignaría aleatoriamente.
El procedimiento de desempate (opción “Untie tied” en ALSCAL) proporciona, en general,
mejores ajustes que el aleatorio, pero desconocemos si el mayor o menor número total de
empates en la matriz de proximidades tendrá un efecto significativo sobre la configuración
final.
No hemos querido dejar pasar por alto la influencia de ello, pero hemos entendido su
efecto como subyacente a las variables distribución, dispersión y precisión. De esta manera,
una distribución normal, con escasa dispersión y precisión sin decimales tendrá una
concentración de empates sobre escasos valores muy superior a la combinación contraria.
(Hay que tener en cuenta que el producto nº de empates x nº de valores con empates es
siempre constante).
1) Tipo de distribución de los datos
Las formas habituales de distribución de dichos datos podemos generalizar diciendo que
tenderán a la forma normal, a la forma uniforme o a formas logarítmicas o exponenciales.
Dado que las dos primeras son las más habituales, y que el efecto subyacente del número de
empates podía quedar interpolado entre las formas normal y uniforme, se rechazaron las
dos últimas.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
38
2) Dispersión de los datos
Siendo la dispersión otra de las características definitorias de todo conjunto de datos, se
tuvieron en cuenta los extremos alta dispersión y baja dispersión.
3) Precisión de la medida
Para forzar el efecto de los empates, se ha incluido como posibilidades un tipo de medida
discreto, con valores enteros, y un tipo de medida continuo, con dos decimales.
4) Tamaño de la matriz de datos
El MDS utilizado como herramienta gráfica tiene una fuerte limitación en cuanto al
número de estímulos que puede representar. Este límite está basado, esencialmente, en la
claridad interpretativa de la configuración y en el ajuste estadístico del modelo. Con el fin de
conciliar estas limitaciones con unos valores que nos proporcionaran un espectro de
posibilidades reales, escogimos los tamaños 5, 10 y 15. En el cuadro siguiente hemos
representado todas las posibles combinaciones de las variables expuestas.
Distribución NORMAL
Dispersión BAJA
Entero
n=5
n=10
n=15
Decimal
n=5
n=10
n=15
Dispersión ALTA
Entero
n=5
n=10
n=15
Decimal
n=5
n=10
n=15
Distribución UNIFORME
Dispersión BAJA
Entero
n=5
n=10
n=15
Decimal
n=5
n=10
n=15
Dispersión ALTA
Entero
n=5
n=10
n=15
Decimal
n=5
n=10
n=15
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
39
MUESTREO
Para cada una de las 24 posibilidades de presentarse los datos se diseñaron cinco series
aleatorias de datos de proximidad con los mismos requisitos de distribución, dispersión,
precisión y tamaño, lo que arrojó un total de 120 series y que a su vez fueron convertidas en
120 matrices simétricas de proximidad. En los anexos 1, 2 y 3 se muestran, para cada
tamaño, las condiciones impuestas a las series y los estadísticos obtenidos de las mismas
(cada serie tenía un tamaño de n(n-1)/2, correspondiente a una de las partes simétricas de la
matriz menos la diagonal principal, que se supone 0). En los anexos 4, 5 y 6 se muestran las
series propiamente dichas.
PROCEDIMIENTO
Una vez elaboradas las 120 series de datos se procedió de la siguiente manera:
1) Transformación de la serie de proximidades (P) en matriz de datos, asignando el primer
valor a la celda (1,2), el segundo valor a la celda (1,3) y así sucesivamente.
2) Aplicación de MDS métrico a dicha matriz
Extracción de las disparidades (d)
Extracción de coordenadas y transformación a distancias (D)
Cálculo de R2 P-d (V1) y comprobación de que = 100
Cálculo de R2 d-D (V2)
Cálculo de R2 P-D (V3) y comprobación de que = V2
3) Aplicación de MDS no-métrico a la misma matriz
Extracción de las disparidades (d)
Extracción de coordenadas y transformación a distancias (D)
Cálculo de R2 P-d (V4)
Cálculo de R2 d-D (V5)
Cálculo de R2 P-D (V6)
4) Cálculo de los criterios V7 a V12 según lo siguiente:
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
40
V7 = 1-V2
V8 = 1-V4
V9 = 1-V5
V10 = 1-V6
V11 = R2 D (métrico)-D (no-métrico)
V12 = V2 – V6
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
41
Resultados
Los resultados (variables V7 a V12) obtenidos para cada uno de los 120 casos (3 tamaños x
2 distribuciones x 2 dispersiones x 2 precisiones x 5 series) son los que se expresan en los
anexos 7,8 y 9. Para nuestros propósitos de análisis se ha utilizado una reducción de dichas
tablas, consistente en independizar los datos por tamaño y hallar para cada uno de ellos la
media de V7 a V12 de cada par de variables moduladoras, añadiendo además una media
total, su intervalo de confianza para P<0,05 y la dispersión medida mediante el coeficiente
de variación. Los datos quedaron recogidos y agrupados de la siguiente manera4
4 La media total, su intervalo de confianza y el coeficiente de variación están calculados respecto de las 40 observaciones de
cada tamaño (2 distribuciones x 2 dispersiones x 2 precisiones x 5 series). Obviamente, la media coincide con la correspondiente a cada par de variables moduladoras.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
42
5 No se contempla por existir valores negativos y positivos 6 No se contempla por existir valores negativos y positivos 7 No se contempla por existir valores negativos y positivos
Medias para n=5 v7 v8 v9 v10 v11 v12
D. Normal 29,24 19,32 0,06 19,87 85,62 -9,38
D. Uniforme 19,18 18,52 1,85 22,53 87,31 3,36
D. Baja 32,42 21,56 0,73 23,22 82,00 -9,19
D. Alta 16,00 16,27 1,18 19,18 90,92 3,18
Entero 28,73 22,93 0,02 23,45 86,75 -5,28
Decimal 19,69 14,91 1,89 18,95 86,18 -0,74
Media Total 24.21 18.92 0.96 21.20 86.46 -3.01
Interv. Confianza () 5,81 4,97 1,13 5,62 4,90 4,54
Coeficiente variación 77.49 84.85 382.80 85.83 18.28 5
Medias para n=10 v7 v8 v9 v10 v11 v12
D. Normal 56,71 29,43 24,68 59,12 67,07 2,41
D. Uniforme 54,18 22,90 24,82 54,88 76,63 0,70
D. Baja 58,20 31,58 18,80 56,35 65,83 -1,85
D. Alta 52,69 20,75 30,69 57,65 77,87 4,97
Entero 57,85 32,74 17,41 58,74 70,58 0,89
Decimal 53,04 19,59 32,09 55,26 73,12 2,22
Media 55.45 26.17 24.75 57.00 71.85 1.56
Interv. Confianza () 2,56 4,03 4,24 3,32 6.73 2,41
Coeficiente variación 14.90 49.68 55.26 18.81 30.22 6
Medias para n=15 v7 v8 v9 v10 v11 v12
D. Normal 67,72 27,14 38,95 68,77 64,21 1,05
D. Uniforme 66,96 31,09 43,72 72,52 56,13 5,55
D. Baja 70,14 36,66 35,07 71,84 48,75 1,70
D. Alta 64,55 21,57 47,60 69,45 71,59 4,90
Entero 67,19 34,73 27,97 68,75 64,11 1,55
Decimal 67,49 23,49 54,71 72,54 56,23 5,05
Media 67.34 29.11 41.34 70.64 60.17 3.30
Int. Confianza () 1,87 4,27 5,73 2,50 7,41 1,72
Coeficiente variación 8.94 47.28 44.76 11.41 39.76 7
N=10
N=15
N=10
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
43
Dichos resultados son tratados con detalle a continuación
1) Variable V7: ERROR EN EL AJUSTE METRICO
La variable V7 informa sobre el error cometido en la transformación disparidades-
distancias del procedimiento métrico. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-7 se
muestran las medias globales y su intervalo de confianza, y en el gráfico-8 se muestran las
medias para cada par de variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, del 24,21% para n=5 al 67,34% en n=15. Se observa una tendencia a la estabilización alrededor del 70%.
Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 18-30% para n=5 y 66-69% para n=15 (valores redondeados).
En términos generales, se observa escasa diferencia en el efecto de las variables moduladoras, disminuyendo ésta con el tamaño de la matriz.
Los mayores errores se observan cuando los datos cumplen una baja dispersión, una distribución normal y se emplea un precisión sin decimales.
Gráfico-8: Variable V7
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-7: Variable V7
24,21
55,45
67,34
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
44
2) Variable V8: ERROR EN LA TRANSFORMACIÓN MONOTÓNICA
La variable V8 informa sobre el error cometido en la transformación monotónica
proximidades-disparidades del procedimiento no-métrico. Más que un error de
transformación debe interpretarse como una pérdida de “linealidad” en dicha
transformación. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-9 se muestran las medias
globales y su intervalo de confianza, y en el gráfico-10 se muestran las medias para cada par
de variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Gráfico-10: Variable V8
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-9: Variable V8
18,92
26,1729,11
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
1 2 3
Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, aunque con escaso incremento, del 18.92% para n=5 al 29.11% en n=15. Parece tender a un valor estable alrededor del 30%.
Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 14-24% para n=5 y 25-33% para n=15 (valores redondeados).
En relación a las variables moduladoras se aprecian notables diferencias en su efecto sobre la media, acentuándose éstas con el aumento de tamaño de la matriz.
Así, los mayores errores se observan cuando los datos cumplen una baja dispersión, y se emplea un precisión sin decimales. El efecto de la distribución es impreciso y sin tendencia definida.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
45
3) Variable V9: ERROR EN EL AJUSTE NO-METRICO
La variable V9, al igual que la V7, informa sobre el error cometido en la transformación
disparidades-distancias, pero esta vez referida al procedimiento no-métrico. La mayor
diferencia con V7 es que las disparidades, en vez de relacionarse linealmente con las
proximidades lo han hecho de forma monotónica según la transformación analizada en V8.
En función del tamaño del grupo, en el gráfico-11 se muestran las medias globales de este
error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-12 se muestran las medias para cada par de
variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Gráfico-12: Variable V9
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-11: Variable V9
0,96
24,75
41,34
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
1 2 3
Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, en forma lineal, del 0,96% para n=5 al 41.34% en n=15.
Según los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 0-2% para n=5 y 36-47% para n=15 (valores redondeados).
En relación a la dispersión, cabe señalar que la serie de valores para n=5 incluyen dos valores “outlayer” de 21,21 y 9,84, lo que explicaría el coeficiente de variación de 382.80%. Obviando dichos valores, el intervalo de la media quedaría entre 0-1%.
En relación a las variables moduladoras se observa que las diferencias son nulas para n=5 y aumentan muy notablemente conforme aumenta el tamaño de la matriz.
Los mayores errores se observan, en n=10 y n=15 cuando los datos cumplen una distribución uniforme, una alta dispersión y se emplea un precisión con decimales.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
46
4) Variable V10: ERROR DE AJUSTE METRICO
La variable V10 informa sobre el error cometido en la transformación proximidades-
distancias referida al procedimiento no-métrico. Los resultados pueden compararse pues
con los de V7, pues los valores de esta última coinciden con los que se hubieran obtenidos
relacionando proximidades-distancias. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-13 se
muestran las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-14 se
muestran las medidas para cada par de variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Gráfico-14: Variable V10
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-13: Variable V10
21,20
57,00
70,64
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Aumento de la media de error conforme el tamaño de la matriz, del 21,20% para n=5 al 70.64% en n=15. Se observa una tendencia a la estabilización alrededor del 75%.
Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que los errores estarán comprendidos entre 16-27% para n=5 y 68-73% para n=15 (valores redondeados).
En términos generales, se observa una muy escasa diferencia en el efecto de las variables moduladoras en relación al tamaño de la matriz, pudiéndo ésta considerarse nula y sin ninguna tendencia.
No se aprecia por lo tanto ninguna variable moduladora que explique en mayor medida que otra la aparición de los errores.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
47
5) Variable V11: AJUSTE METRICO/NO-METRICO
La variable V11 informa sobre la relación, medida mediante R2, entre las distancias
obtenidas mediante el procedimiento métrico y las distancias obtenidas mediante el
procedimiento no-métrico. En función del tamaño del grupo, en el gráfico-15 se muestran
las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en el gráfico-16 se muestran
las medidas para cada par de variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Gráfico-16: Variable V11
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-15: Variable V11
86,46
71,85
60,17
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Disminución de la relación conforme el tamaño de la matriz, del 86.46% para n=5 al 60.17% en n=15.
Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que esta relación estará comprendida entre 82-91% para n=5 y 63-68% para n=15 (valores redondeados).
Respecto de la influencia de las variables moduladoras sobre la media, se observa un efecto apreciable de la dispersión sobre la relación entre ambas variables, aumentando éste conforme el tamaño de la matriz. El efecto del resto es impreciso y sin tendencia definida.
En este sentido, se evidencia una mejor relación entre las variables cuando la dispersión es alta.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
48
6) Variable V12: DISCREPANCIA METRICO/NO-METRICO
La variable V12 es, junto a V11, otra de las formas escogidas para relacionar
conjuntamente los procedimientos métrico y no métrico. En este caso, V12 informa sobre la
diferencia, en valores absolutos, de las variables V2 y V6, es decir, entre las relaciones
proximidades-distancias de ambos procedimientos. Por lo tanto, valores positivos indicarán
que el ajuste métrico (lineal) del procedimiento métrico (V2) es mejor que el ajuste métrico
(lineal) del procedimiento no-métrico (V6), y viceversa. En función del tamaño del grupo, en
el gráfico-17 se muestran las medias globales de este error y su intervalo de confianza, y en
el gráfico-18 las medidas para cada par de variables moduladoras.
De dichos gráficos se concluye lo siguiente:
Gráfico-18: Variable V12
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
5 10 15
D. Normal
D. Uniforme
D. Baja
D. Alta
Entero
Dec imal
Gráfico-17: Variable V12
-3,01
1,563,30
-50,00
-40,00
-30,00
-20,00
-10,00
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
5 10 15
Leve aumento en el signo de la diferencia entre ambas variables. Esta diferencia oscila entre –3,01 y + 3,30 puntos, lo que indica que el ajuste P-D del procedimiento métrico (V2) es mayor que el ajuste P-D del procedimiento no-métrico conforme aumenta el tamaño de la matriz.
Teniendo en cuenta los intervalos de confianza, puede afirmarse, con P<0,05, que esta relación estará comprendida entre –8 y +2 en n=5 y +2 y +5 en n=15 (valores redondeados).
En relación a las variables moduladoras, se observa que su efecto diferencial disminuye conforme el tamaño de la matriz, tendiendo a unas diferencias nulas.
Sólo parece tener un efecto significativo la dispersión, cuyos valores altos parecen favorecer la preponderancia del ajuste métrico sobre el no-métrico.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
49
Conclusiones
En este último apartado se da respuesta a las dos cuestiones planteadas como objetivo de
la investigación: ¿ Es mejor el procedimiento métrico o el no-métrico?. Caso de escogerse el
procedimiento no-métrico... ¿ Que error cometemos si la interpretación no asume la
transformación monotónica y se realiza exclusivamente bajo intuiciones métricas lineales?.
1.- En términos generales... ¿ Procedimiento métrico o procedimiento no-métrico?
El gráfico-19 representa una superposición de los gráficos 7 y 11, y en él se representan
los errores en las transformaciones disparidades-distancias de los procedimientos métrico y
no métrico (variables V7 y V9 respectivamente).
Dado que los valores representados son exactamente los proporcionados por ALSCAL
cuando se efectúa sobre una matriz uno u otro procedimiento, esta sería la forma más
sencilla de comparar la bondad de ajuste de ambos procedimientos.
24,21
55,45
67,34
0,96
24,75
41,34
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Gráfico-19: Variables V7 y V9
V7
V9
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
50
Se observa que el error cometido en el procedimiento métrico es siempre mayor que el
obtenido en el no-métrico, debido, como ya hemos explicado anteriormente, a la
transformación monotónica previa del no-métrico.
A nivel de interpretación de los resultados, la respuesta a la cuestión planteada parece
pues bastante evidente, y podemos formularla en los siguientes términos: Siempre que se
tenga en cuenta la función monotónica que relaciona las proximidades con las disparidades,
el procedimiento no-métrico proporciona una configuración de menor error, alrededor de 27
puntos, al menos en tamaños que oscilen entre 5 y 15 estímulos.
Una vez asumida esta afirmación, puede concretarse respecto del procedimiento no-
métrico lo siguiente:
1.- El error se incrementa linealmente conforme el tamaño de la matriz.
2.- Para el caso en que no se conozcan o no puedan escogerse ciertas características
de los datos (gráfico-15), los intervalos de confianza para P<0,05 no recomiendan el
empleo de MDS no-métrico con un número de estímulos superior a 10, dado que el
error esperado superaría el 20%.
3.- Para el caso en que se conozcan o puedan escogerse dichas características, puede
esperarse un reducción considerable de los errores. Así, el error medio disminuiría en
el caso de que la distribución fuera normal, la dispersión de los datos fuera, o se
emplearan puntuaciones enteras en vez de puntuaciones decimales. Caso de
combinarse las tres posibilidades (NBE) los errores todavía serían menores.
Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente:
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
51
Error medio
(intervalo a P<0,05) Error mínimo Error máximo
n=5 0.96
(0 - 2,09)
* 0,06 con D. Normal * 0,73 con D. Baja * 0,02 con Entero * 0,00 con NBE
* 1,85 con D. Uniforme * 1,18 con D. Alta * 1,89 con Decimal * 4,48 con UAD
n=10 24.75
(20,51 - 28,99)
* 24,68 con D. Normal * 18,80 con D. Baja * 17,41 con Entero * 2,35 con NBE
* 24,82 con D. Uniforme * 30,69 con D. Alta * 32,09 con Decimal * 33,38 con UBD
n=15 41.34
(35,61 - 47,07)
* 38,95 con D. Normal * 35,07 con D. Baja * 27,97 con Entero * 5,93 con NBE
* 43,72 con D. Uniforme * 47,60 con D. Alta * 54,71 con Decimal * 58,26 con UBD
2.- Dado el procedimiento no-métrico... ¿ Que error cometemos si la interpretación es de
intuición lineal en vez de monotónica ?
El gráfico-20 representa una superposición de los gráficos 11 y 13, y en él se representan,
respectivamente, los errores cometidos en el procedimiento no-métrico cuando la
interpretación se realiza teniendo en cuenta la transformación monotónica y cuando se
realiza sin tener en cuenta, es decir, asumiendo una relación lineal proximidades-distancias.
Esta última relación nos dará precisamente la respuesta a la cuestión planteada, mientras
que la primera nos servirá de referencia para comparar la magnitud de dicho error.
0,96
24,75
41,34
21,20
57,00
70,64
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Gráfico-20: Variables V9 y V10
V9
V10
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
52
Del gráfico se observa que el error cometido con la relación lineal proximidades-distancias
(V10) es sustancialmente mayor que el cometido con la interpretación tradicional
disparidades-distancias (V9).
La respuesta a la cuestión planteada podría quedar formulada en los siguientes términos:
Utilizando el procedimiento no-métrico, el error cometido cuando las distancias de la
configuración se interpretan intuyendo una relación lineal con las proximidades, tiene un
valor mayor, alrededor de 27 puntos, respecto del error cometido cuando esta interpretación
se realiza intuyendo una relación monotónica conocida, menos en tamaños que oscilen entre
5 y 15 estímulos.
Asumido este mayor error, puede concretarse respecto a la interpretación lineal lo
siguiente:
1.- El error se incrementa en forma logarítmica conforme aumenta el tamaño de la
matriz.
2.- Los valores son prácticamente insensibles a las características de los datos
(gráfico-18). No se aprecian diferencias significativas en relación a ninguna de las
variables moduladoras estudiadas cuando estas se estudian de forma independiente,
lo que implica utilizar los intervalos de confianza como único criterio para decidir la
bondad óptima del procedimiento. Así pues, con P<0,05, no parece recomendable
utilizar este procedimiento con un número de estímulos superior a 5, dado que el
error superaría aproximadamente el 20%.
3.- Cuando las variables moduladoras se estudian de manera dependiente su efecto
parece más considerable, y puede observarse una variabilidad mayor en los errores
esperados. Aunque este efecto no es el mismo para todos los tamaños de la matriz,
destaca el valor de error 9,55% para n=5 cuando se combinan la distribución normal,
una alta dispersión y se usan valores decimales. Para tamaños mayores el efecto es
impreciso.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
53
Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente:
Error medio
(intervalo a P<0,05) Error mínimo Error máximo
n=5 21,20
(15,58 - 26,82)
* 19,87 con D. Normal * 19,18 con D. Alta * 18,95 con Entero * 9,55 con NBD
* 22,53 con D. Uniforme * 23,22 con D. Baja * 23,45 con Decimal * 32,53 con NBE
n=10 57,00
(53,68 - 60,32)
* 54,88 con D. Uniforme * 56,35 con D. Alta * 55,26 con Decimal * 51,17 con UAD
* 59,12 con D. Normal * 57,65 con D. Baja * 58,74 con Entero * 67,27 con NAE
n=15 70,64
(68,14 - 73,14)
* 68,77 con D. Normal * 69,45 con D. Alta * 68,75 con Entero * 63,93 con NBE
* 72,52 con D. Uniforme * 71,84 con D. Baja * 72,54 con Decimal * 78,16 con UBD
3.- Dada la interpretación lineal en vez de monotónica ..... ¿ Procedimiento métrico o procedimiento no-métrico?
El gráfico-21 representa una superposición de los gráficos 7 y 13, y en él se representan,
respectivamente, los errores cometidos en el procedimiento métrico y en el no-métrico
cuando la interpretación se realiza teniendo en cuenta una relación lineal proximidades-
distancias.
Del gráfico se observa que el error cometido por el procedimiento métrico (V7) es, en
relación al cometido por el no-métrico (V10), aparentemente mayor para n=5, igual para
n=10 y menor para n=15. No obstante, realizada la prueba t para dichas diferencias, ésta dio,
24,21
55,45
67,34
21,20
57,00
70,64
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
80,00
90,00
100,00
5 10 15
Gráfico-21: Variables V7 y V10
V7
V10
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
54
respectivamente, los valores t=-1,30 (P=0,202), t=1,27 (P=0,212) y t=3,76 (P=0,001), lo que
sólo señala como significativa la diferencia para n=15.
La respuesta a la cuestión planteada podría quedar formulada en los siguientes términos:
Cuando utilicemos una interpretación de las distancias de tipo lineal respecto de las
proximidades, el procedimiento no-métrico proporciona, menos error que el procedimiento
métrico, al menos para tamaños superiores a 12 estímulos. Aunque en tamaños inferiores
este efecto tiende a invertirse, no puede ello afirmarse con una precisión igual o mayor del
95%.
Esta afirmación puede matizarse en los siguientes puntos:
1.- A partir de n=10, cuando comienza a ser más eficaz el procedimiento no-métrico,
las diferencias explicadas por las variables moduladoras disminuyen y tienden a ser
nulas. Ello puede observarse en el gráfico-24, que es coherente con lo explicado para
el gráfico-18.
2.- En cambio, para valores de n inferiores, las diferencias observadas en las variables
moduladoras aumentan en relación inversa con el tamaño. Para n=5 la mayor
diferencia entre los procedimientos (a favor del métrico) se da con distribución
normal, valores enteros o baja dispersión. Para ésta última característica, el
procedimiento métrico es incluso mejor que el no-métrico para N=10 y n=15.
3.- Cuando las variables se estudian de manera dependiente su efecto queda aún más
discriminado, observándose que con las combinaciones NBE, NBD y UBD es preferible
el procedimiento métrico en los tres intervalos, quedando el resto de combinaciones
como predictoras de mejores ajustes en el procedimiento no-métrico también para
los tres intervalos.
Todo lo anterior queda más claramente expuesto en el cuadro siguiente (valores
negativos indican mejor ajuste del procedimiento métrico y viceversa. En el cuadro se
resaltan en negrilla).
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
55
Error medio
(intervalo a P<0,05) Error mínimo Error máximo
n=5 -3,01
(-7,55 a 1,53)
* -9,38 con D. Normal * -9,19 con D. Baja * -5,28 con Entero * -25,17 con NBE
* 3,36 con D. Uniforme * 3,18 con D. Alta * -0,74 con Decimal * 7,01 con UAD
n=10 1,56
(-0,85 a 3,97)
* 0,70 con D. Uniforme * -1,85 con D. Baja * 0,89 con Entero * -4,66 con UBE
* 2,41 con D. Normal * 4,.97 con D. Alta * 2,22 con Decimal * 7,61 con NAD
n=15 3,30
(1,58 a 5,02)
* 1,05 con D. Normal * 1,70 con D. Baja * 1,55 con Entero * -5,54 con NBE
* 5,55 con D. Uniforme * 4,90 con D. Alta * 5,05 con Decimal * 6,80 con UAD
4.- Dadas las tres posibilidades... ¿ Cuál es el número máximo de estímulos que pueden
representarse con un error igual o menor que el 20%.
El cuadro siguiente representa una forma alternativa de presentar los resultados.
Conocidas las limitaciones de cada procedimiento se trata de decidir el número máximo de
estímulos que pueden representarse caso de conocerse o no conocerse las características de
los datos de proximidad.
Total D. Normal D. Uniforme D. Baja D. Alta Entero Decimal NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD
V7 3 2 4 5 2 4 3 4 5 3 4 6 5
V9 9 9 9 10 8 11 8 38 8 8 15 7 9 8
V10 4 4 4 3 4 3 4 6 4 5 3 3 5 3
Se han reflejado los valores para el caso métrico (V7), no-métrico con interpretación
monotónica (V9) y no-métrico con interpretación lineal (V10), para cada uno de los tres
casos: a) No se conocen las características de los datos (fila “Total”), b) Se conoce sólo una
de las característica y c) Se conocen las tres características.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
56
Discusión
De todo lo expuesto hasta el momento, sobresalen algunas cuestiones que es
conveniente aclarar.
Más allá del objetivo empírico del trabajo, se encontraba la idea de establecer unos
límites al uso del MDS, basados esencialmente en los errores que pueden tolerarse en la
configuración gráfica. De manera aproximada, nuestra experiencia aconseja establecer este
límite de error entre el 10% y el 20% aunque ello dependerá siempre del uso que quiera
dársele a la gráfica resultante. Si éste uso está orientado a las agrupaciones o clusters de los
estímulos, quizás basten ajustes del 80%, pero si su uso está orientado a la interpretación de
las dimensiones (uso no tratado en nuestro trabajo) el rigor del ajuste debe elevarse más allá
del 90%.
El uso 100-R2 como indicador de dichos errores ha demostrado tener una potente
capacidad interpretativa, más incluso que el índice “stress” propuesto por Kruskal. De hecho,
hemos podido constatar la relación lineal entre ambos, siendo además nuestro límite del
20% coherente con los estudios del propio Kruskal (1964), donde califica de “pobre” niveles
de stress superiores al 20% (y que equivale, según nuestras investigaciones, al un R2 del 85%
y por lo tanto a un error del 15%).
Dada esta matización, la implicación más importante de nuestra investigación es la
relativa al número máximo de estímulos que deben utilizarse según los errores esperados.
Este número variará según el procedimiento escogido entre 4-5 para los procedimientos con
interpretación lineal y 9-10 para el procedimiento no-métrico con interpretación
monotónica. Recomendamos pues el uso de la interpretación monotónica caso de un
número elevado de estímulos, aunque ello exija tener delante el gráfico (o los valores) de
dicha transformación.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
57
El último aspecto a subrayar es el ámbito de aplicación de nuestro estudio. Las medidas
directas de proximidad fueron las inicialmente empleadas como aplicación del MDS, pero en
psicología no son tan habituales. Quedan por lo tanto abiertas dos opciones de análisis, con
metodología similar a la empleada por nosotros y que hacen referencia a la forma de
presentarse los datos. Por un lado, caso de seguir empleando medidas directas de
proximidad sería conveniente estudiar la opción de que fueran varios sujetos los que
realizaran éstas, con una matriz de proximidad para cada uno de ellos (procedimiento
INDSCAL). Ello añadiría el efecto de la variable “número de sujetos”. Por otro lado quedaría
la posibilidad de que las medidas de proximidad fueran una transformación de una matriz
sujetos x variables. En este caso, además de la variable “número de sujetos” habría que
estudiar el efecto del “número de variables”.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
58
Bibliografía
ARCE, C. “Escalamiento Multidimensional. Una técnica multivariante para el análisis de datos
de proximidad y preferencia”, Barcelona: PPU, 1993.
CARROLL, J.D.: “Individual differences and multidimensional scaling”, en R.N. Shepard, A:K:
Rommey y S. Nerlove (Ed,s), Multidimensional Scaling: Theory and applications in the
social sciences, Volume I: Theory. Nueva York: Seminaar Press, 1972.
CARROLL, J.D., y CHANG, J.J.: “Analysis of individual differences in multidimensional scaling
via N-way generalization of Eckart-Young descomposition”, Psychometrika, 35, (1970),
283-319.
CARROLL, J.D.: “Models and methods for multidimensional analysis of preferential choice
(or other diminance) data”, en E.D. Lantermann, y H. Feger (Ed,s), Similarity and choice
(pp.234-289). Viena: Hans Huber, 1980.
COX, T.F Y COX, M.A.: “Multidimensional Scaling”, Monographs on Statistics and Applied
Probability nº 59, Chapman and Hall, 1994.
DAVISON, M.L.: “Multidimensional scaling”, Nueva York: Wiley, 1983.
KRUSKAL, J.B.: “Multidimensional scaling by optimizing goodness of fit to nonmetric
hypothesis”, en “El modelo de escalamiento multidimensional no-métrico”, Colección de
artículos de R.N. Shepard y J.B. Kruskal editados por Rafael López Feal en Temas de
Psicología nº 2, Barcelona: EU, 1983.
KRUSKAL, J.B.: “Nonmetric multidimensional scaling: A numerical method”, en “El modelo de
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
59
escalamiento multidimensional no-métrico”, Colección de artículos de R.N. Shepard y J.B.
Kruskal editados por Rafael López Feal. Temas de Psicología nº 2, Barcelona: EU, 1983.
McGEE, V.C.: “Multidimensional scaling of n sets of similarity mesures: A non-metric
individual differences approach”. Multivariate Behavioral Research, 1968, nº 3, pp. 233-
248.
MESSICK, S., Y ABELSON, R.P.: “The additative constant problem in multidimensional
scaling”, Psychometrika nº 21, 1956, pp. 1-17.
RAMSAY, J.O.: “MULTISCALE: A multidimensional scaling program”, American Statistician, nº
37, 1983, pp. 326-327.
SHEPARD, R.N.: “The analysis of proximities: Multidimensional scaling with an unknown
distances function (I y II)”, Psychometrika, nº 27, 1962, pp. 125-139, 219-246.
TAKANE, Y., YOUNG, F.W., Y DE LEEUW, J.: “Nonmetric individual differences
multidimensional scaling: An alternating least-squares method with optimal scaling
features”, Psichometrika, nº 42, 1972, pp. 7-67.
TORGERSON, W.S.: “Theory and methods of scaling”, Nueva YorK: Wiley, 1958.
TUKER, L.R., Y MESSICK, S.: “An individual difference model for multidimensional scaling”,
Psychometrika, nº 28, 1963, pp. 333-367.
YOUNG, F.W., Y HOUSEHOLDER, A.S.: “Discussion of a set of points in terms of their mutual
distances”, Psychometrika, nº 3, 1938, 19-22.
YOUNG, F.W.: “Multidimensional scaling: History, Theory and Applications”, (Ed. R.M.
Hamer), Londres: LEA, 1987.
YOUNG, F.W., LEWYCKYJ, R.: “ALSCAL User’s guide”, Chapel Hill, N.C., 1996.
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
60
Anexos
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
61
ANEXO-1 Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=5
(Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 10
(1) (2) (3) (4) condiciones (5) media media DS media asimetría media curtosis media
Normal Baja Entero S1 X=5, DS=0,5, e 5,50 5,34 0,53 0,47 0,00 1,03 -2,60 0,32
S2 X=5, DS=0,5, e 5,10 0,32 3,16 10,00
S3 X=5, DS=0,5, e 5,40 0,52 0,48 -2,30
S4 X=5, DS=0,5, e 5,40 0,52 0,48 -2,30
S5 X=5, DS=0,5, e 5,30 0,48 1,04 -1,20
Decimal S1 X=5, DS=0,5, d2 5,09 4,95 0,16 0,50 0,62 0,07 1,12 -0,31
S2 X=5, DS=0,5, d2 5,00 0,75 -0,22 -0,09
S3 X=5, DS=0,5, d2 5,20 0,47 -0,33 -1,20
S4 X=5, DS=0,5, d2 4,78 0,61 0,25 -0,06
S5 X=5, DS=0,5, d2 4,68 0,52 0,02 -1,34
Alta Entero S1 X=5, DS=2, e 5,20 5,28 1,99 1,96 0,50 -0,35 -0,30 -0,23
S2 X=5, DS=2, e 5,50 2,27 0,28 -1,50
S3 X=5, DS=2, e 5,90 2,13 -0,44 -0,40
S4 X=5, DS=2, e 4,90 1,52 -0,73 0,04
S5 X=5, DS=2, e 4,90 1,91 -1,37 1,01
Decimal S1 X=5, DS=2, d2 5,16 4,90 1,94 2,05 -0,09 -0,03 -0,42 -0,49
S2 X=5, DS=2, d2 3,47 2,06 0,08 -1,44
S3 X=5, DS=2, d2 4,85 1,84 -0,16 -1,61
S4 X=5, DS=2, d2 6,16 2,03 -0,59 0,25
S5 X=5, DS=2, d2 4,86 2,36 0,59 0,76
Uniforme Baja Entero S1 I=1-10, e 5,80 5,98 0,92 0,82 0,47 0,05 -1,80 -1,26
S2 I=1-10, e 5,90 0,74 0,17 -0,70
S3 I=1-10, e 6,00 0,82 0,00 -1,40
S4 I=1-10, e 6,10 0,88 -0,22 -1,70
S5 I=1-10, e 6,10 0,74 -0,17 -0,70
Decimal S1 I=1-10, d2 5,59 5,74 0,80 0,88 -0,79 -0,67 -0,03 -0,34
S2 I=1-10, d2 5,82 0,92 -0,77 -0,14
S3 I=1-10, d2 5,79 0,99 -0,52 -1,23
S4 I=1-10, d2 5,76 0,85 -0,10 -1,48
S5 I=1-10, d2 5,75 0,83 -1,17 1,17
Alta Entero S1 I=4-7, e 6,90 6,58 2,60 2,57 -0,62 -0,08 -0,20 -0,54
S2 I=4-7, e 6,90 2,47 -0,74 0,56
S3 I=4-7, e 5,80 2,53 0,38 -0,07
S4 I=4-7, e 7,30 2,11 0,22 -1,20
S5 I=4-7, e 6,00 3,16 0,37 -1,80
Decimal S1 I=4-7, d2 6,26 5,69 2,33 2,66 0,15 0,18 -1,92 -1,61
S2 I=4-7, d2 4,84 3,07 0,41 -1,92
S3 I=4-7, d2 5,27 2,61 0,31 -1,09
S4 I=4-7, d2 6,14 2,48 0,17 -1,41
S5 I=4-7, d2 5,94 2,83 -0,12 -1,70
(1) Distribución (Normal/Uniforme) (2) Dispersión (Alta/Baja) (3) Precisión (Entero/Decimal) (4) Serie (5) X=media, DS=Desviación Standard, e=entero, d2=2 decimales, I=intervalo
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
62
ANEXO-2
Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=10 (Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 45
(1) (2) (3) (4) condiciones (5) media media DS media asimetría media curtosis media
Normal
Baja
Entero
S1 X=5, DS=0,5, e 4,36
4,46
0,48
0,57
0,62
0,11
-1,69
-0,79
S2 X=5, DS=0,5, e 4,42 0,66 -0,20 -0,22
S3 X=5, DS=0,5, e 4,47 0,55 -0,30 -1,06
S4 X=5, DS=0,5, e 4,53 0,59 -0,13 -0,41
S5 X=5, DS=0,5, e 4,53 0,59 0,57 -0,58
Decimal
S1 X=5, DS=0,5, d2 5,16
5,06
0,45
0,45
-0,09
0,04
-0,43
0,03
S2 X=5, DS=0,5, d2 5,03 0,52 0,81 0,34
S3 X=5, DS=0,5, d2 5,03 0,41 -0,70 0,92
S4 X=5, DS=0,5, d2 5,10 0,44 0,30 -0,02
S5 X=5, DS=0,5, d2 4,97 0,44 -0,12 -0,66
Alta
Entero
S1 X=5, DS=2, e 4,82
4,45
2,20
1,95
0,12
0,34
-0,29
0,03
S2 X=5, DS=2, e 3,96 1,89 0,78 1,11
S3 X=5, DS=2, e 4,60 1,68 0,07 -1,24
S4 X=5, DS=2, e 4,73 1,89 0,49 0,62
S5 X=5, DS=2, e 4,16 2,10 0,26 -0,07
Decimal
S1 X=5, DS=2, d2 4,80
4,96
1,78
1,88
0,22
0,16
-0,79
0,00
S2 X=5, DS=2, d2 4,90 1,78 0,08 0,10
S3 X=5, DS=2, d2 5,30 1,54 0,50 1,05
S4 X=5, DS=2, d2 4,79 1,92 0,26 -0,04
S5 X=5, DS=2, d2 5,00 2,38 -0,27 -0,32
Uniforme
Baja
Entero
S1 I=1-10, e 5,18
5,03
0,81
0,80
-0,34
-0,05
-1,37
-1,37
S2 I=1-10, e 4,82 0,83 0,35 -1,48
S3 I=1-10, e 5,02 0,72 -0,03 -1,02
S4 I=1-10, e 5,04 0,85 -0,09 -1,63
S5 I=1-10, e 5,07 0,78 -0,12 -1,33
Decimal
S1 I=1-10, d2 5,62
5,61
0,81
0,87
-0,19
-0,18
-1,00
-1,17
S2 I=1-10, d2 5,55 0,97 0,01 -1,56
S3 I=1-10, d2 5,58 0,81 -0,14 -0,90
S4 I=1-10, d2 5,61 0,89 -0,24 -1,18
S5 I=1-10, d2 5,70 0,89 -0,36 -1,22
Alta
Entero
S1 I=4-7, e 4,18
4,84
2,69
2,49
0,28
0,13
-1,46
-1,11
S2 I=4-7, e 5,16 2,36 0,00 -0,90
S3 I=4-7, e 5,27 2,44 0,03 -1,28
S4 I=4-7, e 4,96 2,34 0,26 -0,67
S5 I=4-7, e 4,62 2,61 0,07 -1,27
Decimal
S1 I=4-7, d2 6,49
5,70
2,48
2,55
-0,63
-0,15
-0,54
-1,07
S2 I=4-7, d2 5,95 2,48 -0,19 -1,39
S3 I=4-7, d2 5,12 2,48 0,20 -0,94
S4 I=4-7, d2 5,28 2,86 0,00 -1,51
S5 I=4-7, d2 5,68 2,46 -0,13 -0,97
(1) Distribución (Normal/Uniforme) (2) Dispersión (Alta/Baja) (3) Precisión (Entero/Decimal) (4) Serie (5) X=media, DS=Desviación Standard, e=entero, d2=2 decimales, I=intervalo
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
63
ANEXO-3
Condiciones impuestas y estadísticos de las series aleatorias para N=15 (Tamaño de cada serie = n(n-1)/2) = 105
(1) (2) (3) (4) condiciones (5) media media DS media asimetría media curtosis media
Normal
Baja
Entero
S1 X=5, DS=0,5, e 5,52
5,52
0,56
0,56
0,08
0,17
-0,82
-0,82
S2 X=5, DS=0,5, e 5,59 0,57 -0,04 -0,60
S3 X=5, DS=0,5, e 5,44 0,54 0,25 -1,00
S4 X=5, DS=0,5, e 5,51 0,59 0,37 -0,48
S5 X=5, DS=0,5, e 5,55 0,54 0,17 -1,18
Decimal
S1 X=5, DS=0,5, d2 4,99
5,02
0,56
0,51
-0,29
-0,05
0,45
-0,13
S2 X=5, DS=0,5, d2 5,07 0,50 -0,01 -0,01
S3 X=5, DS=0,5, d2 5,04 0,49 0,02 -0,12
S4 X=5, DS=0,5, d2 4,99 0,49 -0,02 -0,18
S5 X=5, DS=0,5, d2 5,04 0,50 0,04 -0,80
Alta
Entero
S1 X=5, DS=2, e 5,61
5,60
1,84
2,02
-0,23
-0,11
-0,12
-0,25
S2 X=5, DS=2, e 5,59 2,36 0,10 -0,52
S3 X=5, DS=2, e 5,48 2,11 0,02 -0,52
S4 X=5, DS=2, e 5,61 1,83 0,01 -0,20
S5 X=5, DS=2, e 5,70 1,97 -0,45 0,10
Decimal
S1 X=5, DS=2, d2 5,03
5,00
1,89
1,95
0,17
0,13
-0,54
-0,48
S2 X=5, DS=2, d2 5,05 2,02 0,13 -0,55
S3 X=5, DS=2, d2 5,26 1,98 0,05 -0,50
S4 X=5, DS=2, d2 5,03 1,92 0,13 -0,46
S5 X=5, DS=2, d2 4,65 1,96 0,18 -0,36
Uniforme
Baja
Entero
S1 I=1-10, e 5,91
5,94
0,82
0,83
0,16
0,11
-1,50
-1,55
S2 I=1-10, e 5,96 0,84 0,07 -1,59
S3 I=1-10, e 5,95 0,84 0,09 -1,57
S4 I=1-10, e 5,91 0,82 0,16 -1,50
S5 I=1-10, e 5,97 0,84 0,05 -1,58
Decimal
S1 I=1-10, d2 5,65
5,56
0,86
0,86
-0,18
-0,10
-1,09
-1,16
S2 I=1-10, d2 5,42 0,86 -0,03 -1,21
S3 I=1-10, d2 5,56 0,93 -0,08 -1,34
S4 I=1-10, d2 5,55 0,81 -0,15 -0,96
S5 I=1-10, d2 5,59 0,86 -0,08 -1,20
Alta
Entero
S1 I=4-7, e 6,10
6,20
2,71
2,64
-0,08
-0,13
-1,34
-1,27
S2 I=4-7, e 5,95 2,59 0,05 -1,24
S3 I=4-7, e 6,40 2,54 -0,15 -1,16
S4 I=4-7, e 6,36 2,65 -0,24 -1,24
S5 I=4-7, e 6,18 2,70 -0,22 -1,35
Decimal
S1 I=4-7, d2 5,39
5,63
2,44
2,64
-0,02
-0,09
-0,93
-1,15 S2 I=4-7, d2 5,40 2,75 -0,03 -1,38 S3 I=4-7, d2 5,52 2,79 0,11 -1,30
S4 I=4-7, d2 5,79 2,65 -0,12 -1,16
S5 I=4-7, d2 6,05 2,55 -0,38 -1,01
(1) Distribución (Normal/Uniforme) (2) Dispersión (Alta/Baja) (3) Precisión (Entero/Decimal) (4) Serie (5) X=media, DS=Desviación Standard, e=entero, d2=2 decimales, I=intervalo
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
64
ANEXO-4
Series para N=15
Distribucion NORMAL Distribución UNIFORME
dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2
enteros decimales enteros decimales enteros decimales enteros decimales
NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
5 5 5 6 5 4,98 4,4 4,76 3,94 5,38 4 3 4 5 1 7,8 0,38 3,47 6,37 3,97 5 7 7 5 6 5,69 6,77 5,93 6,63 5,78 7 4 10 6 10 3,62 7,01 6,29 5,94 5,16
5 5 5 5 6 5,2 3,63 5,53 5,85 4,79 6 9 8 2 5 2,69 1,82 3,98 4,79 6,95 5 6 6 5 7 6,05 6,61 4,44 4,53 6,05 5 10 4 6 3 7,03 4,04 6,27 5,83 2,16
6 5 6 6 5 5,01 5,4 5,48 4,78 4,58 9 8 7 5 5 6,12 5,82 5,29 4,3 9,58 5 5 6 7 5 5,97 6,62 6,81 6,37 5,95 10 8 6 4 8 8,01 8,41 3,03 4,07 7,83
6 5 5 5 5 5,2 5,7 4,44 5,23 4,57 6 4 6 6 6 5,45 5,97 6,46 5,68 1,26 6 5 6 5 7 5,89 4,75 6,97 5,32 6,33 7 10 4 6 4 8,54 9,12 8,61 9,81 4,55
6 5 5 5 5 5,06 5,53 5,88 4,96 3,98 7 3 7 3 6 5,08 6,14 7,07 7,83 6,25 6 6 5 6 6 4,19 5,67 4,22 4,68 5,94 9 7 4 10 10 4,63 2,13 5,23 9,13 2,57
6 5 5 6 5 4,84 5,2 5,24 4,3 4,76 3 6 9 4 7 8,04 3,47 4,08 2,19 2,6 7 5 7 6 7 6,73 5,46 6,34 5,07 6,45 10 8 5 7 4 9,62 8,52 9,54 7,46 8,82
6 5 5 5 5 5,41 4,51 4,67 5,44 4,02 3 6 5 6 2 4,72 4,56 2,68 7,81 3,4 7 6 5 7 6 5,16 6,01 6,59 5,72 5,47 7 7 8 8 4 4,5 2,3 6,24 2,66 8,17
5 6 6 5 6 5,03 4,77 4,94 4,76 4,14 3 3 2 5 5 4,06 2,67 6,52 7,37 4,92 5 6 5 7 6 5,74 6,75 5,51 6,62 6,76 2 6 2 10 10 4,57 2,13 2,55 8,46 9,84
5 5 6 6 6 5,03 6,2 5,57 4,55 5,19 5 8 4 6 6 2 2,45 6,9 9,09 5,25 7 7 7 6 5 4,35 5,54 4,85 6,92 4 8 2 9 10 5 3,49 3,27 2,9 4,42 2,86
5 5 6 5 5 5,15 4,66 5,52 4,01 5,35 6 5 7 7 6 5,67 1,46 2,08 6,13 4,4 5 6 6 7 6 6,15 4,04 6,21 5,73 4,76 4 7 6 6 2 8,6 1,48 2 3,62 7,41
ANEXO-5 Series para N=10
Distribucion NORMAL Distribución UNIFORME
dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2
enteros decimales enteros decimales enteros decimales enteros decimales
NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
4 4 4 5 4 5,83 5,11 4,01 4,96 4,37 8 3 3 6 1 7,51 4,67 5,38 4,87 6,5 5 5 4 6 6 6,56 4,15 5,82 5,09 5,13 3 1 4 9 1 8,2 2,26 4,88 1,54 6,16
4 5 5 4 5 4,84 5,53 4,66 4,88 4,74 7 3 4 7 4 3,58 3,74 2,25 3,38 7,41 6 4 4 5 4 5,61 6,37 6,74 6,44 5,93 6 9 3 5 1 6,85 6,18 1,12 1,82 8,73
4 5 5 4 6 5,78 4,81 4,72 5,05 4,51 6 4 3 7 2 3,11 4,2 10 5,05 3,35 6 4 6 6 5 5,97 4,36 5,61 5,97 4,68 1 5 7 4 3 8,11 7,75 7,53 3,42 2,53
4 5 5 5 4 4,99 4,28 5,24 5,01 4,72 5 4 7 3 4 4,86 6,12 5,63 2,95 0,25 4 5 5 4 4 6,91 4,2 6,39 4,47 6,21 1 4 8 8 3 9,89 2,75 4,21 6,83 7,1
4 5 5 5 5 4,69 5,18 5,61 5,33 5,27 5 1 4 6 3 3,28 3,48 6,5 3,12 3,8 4 4 5 4 6 5,28 4,86 5,38 4,69 6,21 2 4 3 1 8 3,51 2,95 8,82 3,01 4,28
4 4 4 5 4 4,97 5,4 5,35 5,2 4,35 5 1 4 4 7 2,13 6,55 3,69 5,22 5,19 5 4 5 5 5 5,69 6,55 6,01 4,59 6,74 4 7 9 6 3 1,86 7,89 6,66 7,33 1,91
4 3 4 4 4 6,07 4,82 4,69 5,38 5,24 1 2 6 4 5 3,48 5,28 5,61 7,05 5,07 6 4 6 6 6 4,76 4,58 5,65 6,83 5,24 7 1 5 3 1 7,82 9,22 8,9 9,04 5,71
5 5 4 5 4 5,27 5,35 4,72 5,14 4,97 5 2 3 4 2 7,28 6,31 4,41 2,76 1,24 5 6 4 5 5 6,51 4,65 6,79 6,07 6,34 1 8 3 5 6 9,91 3,7 1,29 8 7,64
4 5 4 5 5 5,47 4,77 5,2 4,92 4,66 3 3 7 5 4 2,86 4,9 8,45 5,21 4,22 4 4 4 6 5 5,36 6,24 5,18 6,46 6,05 1 6 2 7 3 9,34 3,7 8,72 3,43 9,92
4 5 5 5 4 5,58 4,89 5,1 5,53 5,2 5 6 7 3 0 5,24 1,94 5,16 5,5 5,62 6 5 5 4 5 5,75 4,64 4,45 5,88 6,09 7 9 9 5 7 8,62 8,99 1,28 9,01 1,53
4 5 4 5 4 5,46 4,58 5,32 4,96 4,35 1 4 4 3 2 3,49 4,66 7,05 4,81 0,34 6 5 4 5 6 6 5,83 5,95 5,23 6,42 2 7 1 9 2 2,5 5,46 4,76 8,01 3,54
4 4 5 4 4 5,24 5,86 4,57 5,83 4,26 6 4 4 3 4 4,89 8,55 4,77 7,19 5,54 5 4 6 4 4 4,37 4,57 5,25 4,45 4,29 2 7 5 5 3 1,19 8,7 3,89 8,75 1,82
5 4 5 4 5 5,09 6,42 5,37 5,2 5,16 3 7 6 1 5 2,74 6,59 4,75 2,34 6,56 6 4 5 4 5 6,25 4,54 6,65 5,45 6,46 1 7 4 6 4 5,54 3,57 2,35 8,73 8,85
4 6 4 4 5 5,56 4,85 5,23 4,73 5,04 5 6 5 5 5 8,49 3,94 2,8 0,7 9,16 5 5 5 4 6 5,12 6,67 6,75 4,26 4,3 6 9 4 3 6 8,26 7,91 3,03 7,58 4,45
4 4 4 5 6 4,73 4,84 5,2 5,25 5,06 4 5 2 4 9 2,37 5,19 5 6,28 3,48 5 4 5 4 5 6,3 6,34 5,23 4,28 4,38 8 5 3 3 9 6,61 7,54 7,77 9,39 6,58
4 4 5 3 4 5,07 4,85 5,38 4,43 4,28 5 5 5 5 3 6,48 1,25 5,76 5,57 9,24 6 5 4 6 6 6,62 4,06 6,59 5,55 5,77 3 4 7 4 1 8,57 4,47 2,26 2,83 6,01
4 5 5 4 4 5,29 4,72 4,88 4,59 5,4 10 6 7 8 6 3,19 5,28 5 1,46 5,68 6 4 4 5 4 4,77 4,43 4,95 6,68 6,49 1 3 7 4 8 7,2 6,01 9,86 6,83 7,27
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
65
5 5 4 5 4 5,88 5,79 4,74 4,96 4,82 3 1 6 3 2 4,1 5,09 7,67 7,13 7,05 5 5 6 6 6 5,38 6,61 5,34 5,97 6,64 7 5 9 5 8 5,28 3,49 3,41 9,46 4,42
5 4 5 5 5 5,51 4,68 5,2 5,86 4,55 3 5 6 5 8 3,36 1,97 6,36 3,34 3,58 6 4 5 6 6 6,28 6,87 5,4 6,56 5,53 1 5 4 2 1 5,28 5,29 2,09 2,93 1,97
5 5 4 5 5 5,2 4,82 4,41 4,37 5,73 5 3 7 5 6 4,95 5,07 5,84 4,7 7,98 6 6 5 5 4 5,68 5,27 6,46 6,78 6,51 9 9 7 2 4 8,72 8,36 6,91 2,68 4,57
5 5 4 4 5 4,62 4,96 4,6 5,3 5,12 6 5 3 7 3 6,4 1,17 5,2 6,84 4,4 4 5 6 4 5 5,06 4,78 5,97 6,7 6,34 6 6 8 3 5 9,17 4,37 8,18 1,08 9,86
4 4 5 4 4 5,37 5,95 5 5,22 5,64 5 2 3 3 3 1,76 4,41 4,62 6,13 6,05 6 6 5 5 5 6,19 6,27 4,52 5,47 4,24 4 5 2 9 8 1,71 1,88 7,59 6,17 2,45
5 4 5 4 5 4,57 4,55 5,28 5,3 5,52 8 3 7 6 4 5,03 2,56 7,2 5 2,58 4 6 5 4 4 6,1 5,46 5,94 5,36 4,7 8 3 2 5 5 3,78 9,13 9,13 4,82 8,36
4 5 5 4 4 5,17 4,54 5,1 4,62 4,97 1 2 5 3 2 5,48 4,1 4,61 8,5 4,34 5 4 6 6 6 4,65 5,34 5,59 6 5,23 2 1 7 5 1 1,75 3,66 1,45 1,67 6,43
4 5 5 4 4 4,98 6,06 4,98 4,86 5,61 4 5 7 5 5 3,33 7,64 3,44 5,36 7,89 4 6 5 6 5 6,89 6,73 4,28 5,87 6,28 2 5 9 2 4 6,32 8,63 2,73 1,1 6,54
5 3 5 4 5 5,12 4,47 4,55 4,24 5,91 2 6 3 7 7 5,82 7,98 7,03 3,28 3,13 4 6 5 4 5 4,46 6,66 5,79 5,96 5,97 4 4 4 3 2 2,5 3,27 5,02 7,61 4,41
4 5 4 4 4 4,7 4,39 4,99 4,6 4,46 6 8 6 5 5 7,44 5,07 6,34 3,82 7,71 6 6 5 4 5 6 4,71 4,87 4,01 5,09 7 3 7 6 7 9,8 9,06 4,07 4,75 6,21
4 4 4 5 5 5,59 4,42 5,44 4,94 5,29 5 2 4 9 1 5,33 6,1 5,36 5,29 2,45 4 4 4 6 6 5,58 6,45 6,26 5,65 5,62 1 7 4 9 3 6,09 3,9 4,57 7,81 9,1
5 5 4 5 5 5,41 5,22 4,78 5,18 4,63 6 3 5 3 2 4,58 5,64 3,96 6,78 5,89 4 4 4 6 6 5,57 5,61 4,08 5,61 6,87 8 9 3 5 3 3,15 6,52 2,53 1,04 6,09
4 4 5 5 5 4,47 5,14 4,92 5,8 4,9 4 4 2 6 5 6,88 6,74 4,32 3,53 2,96 4 4 5 5 4 5,9 6,68 6,83 4,4 6,66 3 3 7 1 6 7,87 6,72 6,35 2,74 1,48
4 4 4 4 4 5,33 4,78 4,84 5,35 4,16 5 2 2 5 9 5,42 4,54 3,24 3,12 3,64 5 4 5 4 5 4,08 4,54 5,24 4,85 6,87 6 5 3 7 5 4,25 5,47 6,64 7,03 7,2
5 5 4 4 5 5,23 6,16 5,75 4,91 4,13 9 6 4 3 1 2,72 4,84 2,41 6,36 5,06 5 6 5 5 4 5,16 4,11 6,24 6,02 6,93 4 2 2 9 1 5,18 3,7 6,36 1,68 4,39
4 4 4 5 5 4,51 5,24 5,21 4,95 4,74 5 3 2 3 4 4 4,16 5,5 9,66 6,16 6 4 6 6 5 6,87 6,36 5,49 5,21 6,28 8 8 5 4 1 7,87 4,16 3,18 8,95 4,48
4 4 5 5 4 4,71 5,02 5,45 4,78 5,19 3 5 6 1 3 6,4 3,27 3,91 8,24 3,86 6 6 5 6 5 5,34 6,85 5,17 6,44 4,6 3 7 7 3 9 8,42 1,9 6,24 1,48 8,47
4 4 4 4 5 5 4,43 5,07 4,65 5,24 2 3 4 2 4 1,7 6,56 3,59 4,66 4,17 6 5 6 5 6 4,57 5,49 4,26 6,28 5,5 3 5 1 2 2 9,89 1,37 5,08 1,92 3,34
4 5 4 5 5 5,8 4,49 5,19 4,34 5,24 7 5 5 5 4 6,18 2,79 4,4 4,01 9,34 6 4 6 6 5 5,76 4,88 5,02 6,67 4,7 4 8 4 5 6 6,59 7,37 4,82 9,39 8,04
4 4 5 4 4 5,46 5,32 3,84 5,58 5,18 6 4 3 10 5 5,24 4,1 5,42 1,98 4,46 5 5 6 5 6 4,87 4,59 4,34 6,91 5,01 8 7 8 4 8 7,43 8,38 3,11 5,65 5,34
5 4 4 4 5 4,82 5,04 4,5 5,58 4,68 4 4 7 6 6 6,41 9,04 5,64 4,68 5,87 6 5 5 4 4 5,1 6,91 5,27 4,37 5,07 2 5 8 5 7 9,45 7,5 3,28 3,92 5,49
5 4 5 5 4 5,17 4,23 4,88 5,24 5,21 3 5 4 5 4 8,26 4,31 6,62 5,5 0,1 5 6 5 6 4 6,53 6,91 4,35 5,33 4,89 1 6 4 4 6 6,66 7,31 4,69 5,52 5,87
4 3 5 5 5 5,1 5,14 5,21 4,9 5,5 2 5 3 4 5 3,52 7 6,37 3,76 6,83 5 6 4 5 5 4,11 5,94 5,64 6,93 6,9 2 2 6 6 6 6,48 8,69 9,74 7,99 8,98
4 4 3 4 4 5,92 5,22 5,31 5,93 5,21 8 2 5 4 5 5,9 5,16 7,09 6,52 7,68 5 5 4 6 4 4,85 6,06 4,28 6,63 6,57 8 3 3 6 9 7,59 3,76 5,63 4,66 8,46
5 4 4 5 5 4,98 5,1 5,21 5,16 5,25 1 10 3 5 5 7,51 6,24 5,14 2,6 0,69 6 5 5 5 4 6,6 4,77 5,62 6,41 4,32 6 2 8 1 6 6,81 9,66 6,52 4,81 8,26
5 4 4 5 4 4,21 5,38 5,33 6,18 4,79 5 3 5 4 6 5 4,89 4,35 2,84 6,13 4 4 6 6 5 4,32 7 6,73 4,49 4,01 1 5 7 6 6 6,92 8,83 2,49 3,37 3,83
5 5 5 6 4 4,27 5,08 5,37 5,39 5,14 7 4 7 6 6 4,6 4,02 4,95 5,02 6,72 6 4 6 4 6 6,46 4,98 6,74 5,23 6,58 8 2 5 9 3 7,4 8,64 5,81 3,17 5,8
5 5 5 5 4 5,28 4,53 5,84 4,83 5,17 8 2 2 5 1 3,75 3,27 5,75 3,62 5,42 5 6 5 4 6 6,64 5,93 5,88 4,06 5,94 6 4 9 8 7 5,59 7,87 5,54 8,74 1,59
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
66
ANEXO-6 Resultados para N=15
Distribucion NORMAL Distribución UNIFORME
dt = 0,5 dt = 2 dt = 0,5 dt = 2
enteros decimales enteros decimales enteros decimales enteros decimales
NBE NBD NAE NAD UBE UBD UAE UAD
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
5 6 6 6 5 4,99 4,4 6,06 5,57 5,05 6 8 8 5 8 9,11 2,58 5,47 6,47 3,94 5 6 5 5 7 4,97 5,02 4,62 4,1 6,39 8 9 7 3 8 4,75 5,61 1,74 9,87 1,55 5 6 6 5 6 5,19 4,63 5,13 4,95 4,98 7 10 5 7 7 8,11 7,44 4,8 3,77 5,18 6 7 6 5 5 6,08 6,76 5,53 6,32 6,91 4 10 7 5 7 5,83 4,01 5,78 1,74 7,79
5 6 5 6 6 4,97 5,42 4,72 5,73 5,49 3 4 8 6 7 5,44 5,53 4,47 2,59 3,01 6 5 6 5 5 5,55 4,95 6,17 6,4 6,77 6 2 10 9 8 5,62 4,59 3,4 9,53 1,47
5 5 5 6 5 4,59 6,07 5,44 6,17 4,37 7 6 6 6 6 3,63 5,48 4,04 5,42 4,59 6 6 6 5 7 6,76 5,31 6,2 5,77 6,68 6 10 6 7 10 7,71 4,45 4,31 2,82 7,24 6 5 5 5 5 5,01 5,44 4,66 4,78 4,9 6 5 4 7 7 7,28 4,81 5,18 6,62 2,45 6 5 5 5 7 6,06 6,21 5,95 6,6 5,6 2 5 6 6 4 3,88 6,47 7,48 6,98 6,09
5 5 5 6 6 4,49 4,88 4,95 4,71 4,58 7 1 5 9 10 4,74 8,99 3,06 7,25 2,89 5 5 5 5 6 6,99 4,1 6,86 5,44 5,35 10 5 2 9 8 5,79 3,32 8,49 1,86 7,01 5 5 4 6 5 4,53 5,15 5,29 5,33 5,3 6 4 4 6 7 3,07 2,43 5,88 2,92 1,66 5 5 7 6 6 6,27 4,26 6,36 5,86 6,65 4 7 4 9 2 3,14 5,45 6,68 9,18 3,12
5 5 5 6 6 5,06 5,12 4,25 5,09 4,04 5 4 6 7 8 5,66 6,95 7,17 4,52 5,92 7 7 5 6 7 4,05 4,93 5,12 6,47 6,87 10 8 10 9 2 7,74 2,87 8,82 1,53 8,13
6 6 5 5 6 5,51 5,27 5,09 4,85 5,19 6 10 2 4 5 5,09 6,96 6,18 7,76 0,83 6 7 7 5 6 6,86 4,13 6,75 4,81 6,17 2 7 8 5 3 2,15 1,95 2,76 6,61 5 5 6 5 6 6 4,44 4,14 5,9 5 5,63 7 5 5 6 3 4,64 2,77 10 3,95 1,69 6 6 7 6 5 6,64 4,18 4,44 5,69 6,62 3 3 8 9 5 1,16 1,16 7,48 8,8 5
5 6 5 5 6 5,05 4,77 4,83 4,68 5,25 6 7 6 6 6 1,51 5,97 4 7,45 7,59 7 5 7 7 6 6,46 5,93 6,64 4,94 6,68 2 8 3 6 7 3,21 1,4 4,29 3,56 2,9
7 5 6 6 5 5,12 4,33 4,12 4,18 5,58 6 3 7 8 5 2,7 5,68 4,45 4,16 6,78 5 5 7 5 5 4,62 6,2 6,95 5,55 6,06 8 10 2 4 9 4,1 2,27 4,58 1,14 1,57 5 6 5 6 6 4,95 5,09 5,19 5,13 5,02 8 4 3 6 7 3,01 4,02 7,52 6,65 3,23 7 7 5 5 6 5,87 4,49 4,07 5,02 4,79 8 6 2 4 3 6,35 6,82 8,52 8,68 3,27
5 6 5 6 6 5,55 5,02 4,37 3,97 5,62 9 2 3 7 4 1,96 4,73 5,96 5,13 7,82 7 5 7 6 7 6,8 5,21 5,81 4,3 4,52 6 8 9 2 7 6,53 4,22 5,07 4,39 8,24
5 7 6 7 5 4,33 4,54 5,07 4,96 5,98 5 3 8 6 5 5,04 6,92 1,23 3,5 6,33 5 6 5 5 7 5,33 6,67 4,28 5,35 6,8 10 2 7 10 3 5,75 6,38 3,64 7,51 7,88 6 6 6 5 5 3,57 4,53 4,87 4,05 4,35 4 1 8 6 4 4,27 1,36 7,23 5,61 7,36 5 5 7 5 6 4,31 4,45 5,01 6,43 4,8 3 10 10 8 3 4,15 9,29 9,67 6,91 8,36
6 5 6 6 5 5,32 4,8 5,1 5,53 5,94 7 6 6 6 6 5,64 5,42 6,92 1,88 2,54 6 5 7 5 5 4,17 5,81 6,26 5,19 4,9 9 4 10 4 6 6,29 1,15 2,13 4,25 4,08 5 5 6 6 5 5,14 4,94 4,89 4,25 4,67 4 10 6 2 2 6,1 5,01 4,83 3,56 6,8 5 7 7 5 5 5,75 6,52 4,91 6,52 6,6 3 9 6 4 6 3,75 1,48 8,29 2,35 5,38
7 5 6 5 5 4,11 5,52 5,03 4,92 4,48 7 8 8 10 7 3,21 5,26 4,7 3,78 4,02 7 5 5 5 6 5,1 5,2 4,84 5,39 6,25 3 5 8 9 3 7,96 8,9 4,5 4,17 3,27
6 5 5 5 5 5,53 5,76 4,62 4,01 5,59 4 6 8 7 7 7,92 5,61 2,7 7,5 5,03 6 5 7 5 6 6,21 6,9 6,23 6,25 4,88 3 9 5 8 5 8,23 9,86 6,6 2,06 1,64 6 5 6 5 6 4,59 4,99 5,38 5,09 5,71 6 8 5 6 6 6,04 7,45 4,71 6,82 4,8 7 5 6 7 7 7 4,41 6,76 4,05 5,48 3 6 4 7 2 7,92 7,57 5,52 9,49 9,04
5 6 5 5 5 4,93 5,83 5,46 4,51 5,02 7 9 4 6 8 3,52 1,83 2,32 6,28 5,39 6 6 6 7 5 5,35 5,4 6,94 4,17 5,76 2 7 5 2 9 4,41 1,66 9,89 5,78 1,14
5 5 6 6 6 5,46 4,31 5,17 4,81 5,97 5 7 4 6 9 7,09 3,32 5,18 3,11 7,06 6 7 5 5 6 5,97 5,67 4,39 5,43 4,37 2 4 6 2 8 8,01 1,1 9,32 7,4 3 6 6 5 7 6 5,28 4,47 5,55 5,21 4,33 7 5 5 3 6 5,45 2,86 7,52 6,44 7,3 5 7 6 6 6 6,09 5,21 6,37 6,26 5,55 10 8 3 4 9 4,26 8,5 7,69 4,74 1,54
6 5 5 6 6 5 6,21 4,16 5,13 4,65 1 5 7 4 6 1,48 5,83 6,82 5,92 4,95 7 5 6 7 7 4,2 5,98 4,27 5,03 5,69 7 6 5 10 7 6,38 1,99 9,8 2,78 9,18
5 5 5 6 5 5,87 5,13 5,93 5,22 5,18 9 5 8 1 8 7,7 4,29 6,21 7,96 4,59 5 7 6 7 5 5,15 4,45 5,34 6,76 4,22 10 2 6 2 10 7,65 9 6,17 8,49 4,24 6 6 6 5 5 5,09 3,83 4,84 4,68 4,87 6 6 4 6 4 6,04 3,62 4,18 2,39 4,18 6 6 5 6 5 4,52 6,62 5,55 4,71 5,49 7 3 9 8 5 2,68 8,61 7,19 8,57 2,4
6 5 6 5 5 4,57 4,66 5,22 5,03 5,25 7 10 7 6 4 2,82 4,58 5,41 5,29 4,73 6 7 7 6 5 6,43 4,52 5,56 6,75 4,65 5 8 10 7 9 4,79 4,08 8,54 1,64 8,92 6 5 6 6 6 4,7 4,81 5,9 4,17 5,32 7 7 5 5 6 2,42 3,14 5,9 3,07 8,99 6 7 6 5 6 5,49 5,43 6,3 6,05 5,67 7 8 10 5 7 5,07 1,62 2,03 9,54 9,21
6 6 5 5 6 5,07 4,41 5,32 5,54 6,02 5 3 4 8 9 5,39 8,92 2,23 4,45 5,12 5 6 6 6 5 5,98 5,33 5,3 6,35 4,2 6 7 8 7 7 7,98 1,13 3,84 2,44 8,11
6 6 5 6 5 5,45 5,36 5,01 4,9 5,46 10 3 5 7 4 6,83 2,96 5,01 3,44 9,54 7 6 6 5 5 6,77 5,79 4,08 5,12 5,06 9 3 7 8 3 2,86 8,18 9,89 6,87 3,35 5 6 5 6 6 4,63 4,91 5,66 4,73 4,42 5 6 7 6 6 2,84 6,04 4,09 4,16 4,85 5 6 5 5 6 6,18 5 6,8 6,85 6,93 2 4 9 2 9 1,11 7,96 3,29 8,07 1,38
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
67
5 5 5 5 5 4,53 5,26 5,45 4,55 5,53 8 1 3 3 8 7,65 8,22 5,03 7,1 4,06 7 6 5 6 6 4,85 5,72 6,91 5,53 6,99 4 5 3 8 7 9,86 3,68 6,96 8,89 3,84 5 6 6 5 6 5,34 4,77 5,21 5,1 5,5 5 8 4 4 5 4,1 5,16 4,27 4,43 3,85 5 6 5 7 5 5,14 5,58 4,65 6,89 6,6 4 4 5 6 2 1,01 8,34 2,66 1,68 6,76
5 5 5 5 6 6,16 5,54 5,61 4,92 4,69 6 5 7 6 7 4,43 7,19 6,95 6,46 5,74 5 5 7 7 6 5,72 5,79 6,89 6,11 5,15 10 4 6 4 10 6,56 2,85 8,16 9,03 7,09
6 5 6 5 5 5,81 5,28 4,55 5,74 5,44 7 9 4 5 7 3,04 6,27 2,6 5,19 2,87 6 6 5 6 7 4,97 6,85 6,32 4,3 6,32 9 7 5 2 7 4,12 7,68 4,33 7,81 7,88 6 6 5 5 6 4,92 4,43 5,17 5,53 4,38 9 8 8 8 4 4,8 3,9 4,08 7,84 2,6 7 6 6 7 5 5,87 4,2 5,57 5,3 5,8 10 7 7 7 2 9,91 6,87 4,46 2,92 5,5
6 6 6 6 5 4,75 5,52 4,88 5,94 5,86 5 1 5 8 3 5,38 5,3 3,16 6,58 4,87 6 7 5 6 6 6,64 4,26 6,05 5,77 5,87 8 10 7 7 10 2,93 2,64 9,64 7,7 5,82
5 6 5 6 5 4,25 5,19 5,33 4,94 4,6 5 8 6 6 3 5,6 6,69 5,15 8,35 6,45 6 5 7 7 7 4,42 6,52 4,6 5,75 6,87 3 10 9 10 2 6,47 2,03 9,83 4,81 3,05 5 6 5 5 5 4,92 4,98 4,97 4,67 5,09 3 5 8 2 4 5,81 5,2 2,27 4,56 5,96 7 7 7 5 5 5,2 6,38 5,58 5,24 6,79 5 4 3 8 3 1,91 2,58 8,57 2,78 6,64
6 5 6 5 5 5,13 5,37 5,64 5,57 5,1 8 8 6 7 7 5,13 0,86 6,6 4,07 8,51 7 7 7 7 7 6,34 5,1 6,09 5,46 4,02 6 9 2 10 9 2,56 2,94 7,95 8,46 6
6 6 6 4 6 4,69 4,98 4,82 5,17 5,23 6 4 7 5 5 4,34 5,36 7,67 4,91 5,34 7 7 5 7 7 6,9 6,93 6,74 4,84 5,36 10 4 2 3 7 2,49 6,95 1,16 9,97 8,22 6 6 5 5 6 5,38 4,36 4,66 4,25 4,9 4 4 1 5 2 3,88 9,28 2,87 3,57 3,25 5 7 7 6 6 4,77 4,31 5,45 5,88 5,17 7 2 9 4 10 3,42 3,84 7,66 1,68 9,43
5 5 7 5 6 4,4 4,86 4,96 5 5,4 7 5 5 2 7 5,73 8,41 7,66 4,31 6,69 7 6 7 7 5 6,88 4,29 4,93 5,02 4,62 8 10 7 4 9 5,3 3,81 1,38 1,66 6,05 6 6 5 6 6 4,46 5,72 4,87 5,08 4,47 7 5 2 6 6 5,24 6,25 3,56 2,57 4,38 5 5 7 5 7 4,45 6,18 6,87 4,12 6,3 5 9 6 4 2 5,46 1,18 3,22 4,47 9,66
6 5 5 6 6 5 5,48 5,47 6,01 5,15 6 4 6 10 6 4,04 6,45 8,66 7,16 3,6 5 7 6 6 6 5,06 6,09 4,17 4,13 6,62 8 4 3 10 9 4,27 2,08 2,56 5,07 9,7
6 5 5 7 6 4,65 5,7 4,95 5,11 5,2 4 9 4 7 5 6,56 3,04 3,32 3,22 5,91 6 5 5 6 7 5,54 6,49 4,16 4,36 5,99 6 6 9 2 5 7,87 9,15 3,75 4,9 9,71 6 5 5 5 5 5,37 4,91 4,38 5,41 4,98 5 10 8 4 8 2,41 8,6 8,73 8,37 5,62 7 7 6 5 5 4,29 6,72 4,2 6,3 6,13 5 8 10 2 4 4,3 3,84 5,77 6,28 7,31
5 5 5 6 5 5,6 4,04 4,5 5,63 5,24 5 4 9 4 6 8,2 4,53 8,5 2,06 4,66 6 7 6 5 5 4,94 5,13 5,66 5,13 4,66 6 7 6 7 9 5,99 5,78 2,76 8,48 7,55
5 5 5 5 5 4,59 5,42 4,64 5,18 4,66 5 10 3 4 1 5,4 6,74 6,19 6,56 4,58 5 5 7 5 5 4,44 6,55 4,97 6,84 6,04 8 6 7 10 9 4,65 8,35 1,18 4,11 9,38 6 6 6 6 5 3,33 5,5 4,61 4,39 4,06 8 8 2 9 6 4,55 4,86 6,6 4,48 4,16 6 6 5 5 7 6,81 4,18 4,57 6,48 5,93 9 6 3 8 3 3,02 7,55 3,12 3,87 9,77
5 6 5 6 6 4,7 5,45 4,41 4,62 5,69 2 6 4 7 8 6,51 2,82 6,97 5,24 4,79 6 5 5 7 6 4,92 6,15 6,36 5,95 6,36 7 3 10 10 4 9,31 7,75 3,59 7,58 6,56
5 6 5 5 5 5,05 4,9 5,25 4,5 5,57 3 3 3 8 6 2,99 2,1 5,18 5,06 3,16 7 6 5 7 5 6,4 5,92 5,4 5,96 4,57 6 10 6 3 2 3,95 7,22 3,06 8,81 3,95 5 6 6 5 5 5,02 4,31 4,89 4,65 5,3 5 4 3 6 2 4,98 2,48 7,57 7,41 6,67 7 5 7 7 7 5,65 6,02 4,32 4,98 5,82 3 9 5 9 3 5,71 6,06 9,98 4,18 2,21
6 5 5 5 7 4,06 5,47 4,4 5,71 4,16 6 5 6 4 6 6,92 4,15 3,86 6,1 2,11 5 7 7 7 5 6,01 4,05 4,45 6,36 6,8 9 2 5 2 9 5,42 7,21 2,84 1,06 8,63 6 6 6 5 5 4,81 5,09 5,62 5,36 5,33 7 8 2 8 4 2,97 6,65 6,03 5,46 2,39 5 6 7 7 7 6,92 5,61 4,34 5,42 5,93 3 2 3 5 4 1,05 2,81 4,65 9,14 4,17
5 6 6 6 6 5,16 4,65 5,13 4,88 4,71 7 6 8 4 6 5,14 3,85 2,97 1,09 4,2 5 5 5 7 6 6,84 5,97 6,65 5,08 5,44 3 4 8 9 6 3,63 6,5 4,61 6,26 6,1
5 6 5 6 6 3,84 4,5 4,62 5,18 5,3 3 4 6 4 8 5,75 5,13 4,97 4,39 4,24 5 7 6 7 7 5,99 5,88 4,46 6,77 6,5 7 5 8 10 8 1,98 4,81 9,37 4,95 2,75 5 6 5 6 6 5,13 5,01 4,1 4,46 5,65 7 10 2 4 5 6,57 4,99 3,95 5,69 3,4 7 5 5 5 6 4,95 5,33 5,84 6,51 4,51 2 3 9 7 8 8,27 2,2 6,72 1,94 3,85
6 5 6 5 5 5,39 5,29 5,53 4,86 4,88 5 4 2 4 8 8,46 5,5 2,54 5,35 3,11 5 5 6 7 6 5,89 6,09 5,78 4,77 6,01 10 6 2 5 4 4,06 6,04 1,17 5,95 4,1
5 6 6 5 5 6,04 5,46 5,66 5 4,39 7 7 4 3 5 8,18 4,71 4,15 1,84 5,26 5 6 5 6 7 6,47 4,36 4,92 4,71 4,2 7 5 9 8 8 6,15 6,66 5,21 7,64 7,36 5 6 5 6 5 4,62 4,7 4,49 5,84 4,46 8 5 8 4 7 5,13 3,95 4,94 3,47 2,85 7 7 5 5 5 6,39 4,76 4,31 4,16 5,04 4 4 9 2 10 1,17 10 5,97 6,3 5,18
5 6 6 7 6 6,06 4,96 5,2 5,14 5,01 4 1 7 5 10 5,08 8,09 5,79 6,09 1,81 7 6 6 6 5 6,95 5,33 4,54 4,21 4,89 7 10 8 7 9 2,23 8,26 1,34 4,22 9,72
6 6 6 5 5 5,17 3,94 5,4 5,18 5,16 6 4 6 4 6 5,71 7,47 3,4 10 5,66 7 5 6 7 7 5,95 6,2 4,97 6,02 4,59 4 3 7 8 8 9,4 5,93 3,34 5,88 7,45 6 6 6 5 7 5,51 5,78 4,5 4,81 4,36 6 4 10 5 6 7,21 4,56 7,77 6,86 2,34 5 7 7 5 5 5,95 6,63 4,1 6,5 5,4 7 9 5 4 6 2,11 2,24 4,54 4,38 5,45
6 6 6 5 6 4,64 4,77 4,71 5,46 5,6 4 6 4 4 4 6,74 4,75 8,22 4,97 2,1 6 7 7 6 7 6,93 4,21 4,34 6,03 5,89 9 4 10 10 5 7,8 2,27 1,51 7,75 9,37 6 6 6 5 6 5,75 5,52 4,99 4,74 5,81 2 9 5 3 5 7,12 3,65 3,45 4,04 4,01 5 5 7 6 5 4,37 6,04 6,9 4,74 6,11 8 5 8 2 7 6,77 7,4 7,48 5,51 1,47
6 6 5 5 5 4,85 5,32 5,3 5,15 4,17 7 6 10 4 4 5,51 7,74 7,3 1,03 4,97 5 5 5 5 6 5,3 4,03 5,29 4,41 6,28 2 9 9 3 7 5,04 2,35 9,62 5,81 8,43
4 4 5 6 6 5,26 4,64 5,83 4,7 4,83 1 5 4 6 7 8,24 5,88 1,47 5,53 2,88 5 7 7 7 6 4,13 6,08 5,69 4,31 4,86 3 2 10 5 8 1,33 8,28 2,61 6,53 6,46 5 6 6 6 5 4,39 5,22 6,07 4,89 4,58 7 10 5 9 8 6,35 9,17 7,46 6,91 4,22 5 5 5 7 7 6,64 5,46 4,3 6,34 4,63 9 9 3 5 10 9,86 3,15 6,67 2,14 8,67
5 5 6 5 6 4,84 5,6 6,14 5,28 5,33 5 6 6 6 8 2,31 6,23 4,32 3,03 6,68 7 5 6 5 7 5,26 5,03 4,4 6,9 4,64 4 5 7 6 2 8,17 4,7 6,72 1,32 9,13
6 6 6 6 6 5,72 6,46 4,55 5,28 4,91 4 5 7 5 7 3,23 2,31 5,61 4,02 2,55 6 5 5 5 7 6,41 5,79 6,65 4,76 4,99 9 8 7 7 3 2,24 2,53 2,29 8,83 5,71
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
68
6 5 5 6 6 4,53 4,92 4,12 4,96 5,12 7 6 5 3 6 1,63 3,76 5,15 8,91 7,75 7 6 5 6 5 6,17 5,08 6,91 5,5 6,93 6 4 6 7 2 6,41 3,67 6,49 8,29 2,66 6 6 6 6 5 5,68 4,66 4,62 5,79 4,68 8 5 3 5 6 8,05 4,72 8,01 3,22 8,4 7 7 5 7 6 5,65 5,2 5,54 4,54 5,71 3 2 4 9 10 3,14 8,65 7,26 5,32 8,37
6 5 5 6 5 4,36 5,3 5,09 5,52 4,66 3 5 7 8 7 7,34 9,21 7,2 4,31 4,67 5 7 5 7 7 6,47 5,13 4,74 5,65 4,79 2 7 3 9 8 1,38 7,22 9,26 4,55 6,75
6 6 6 6 5 5,22 5,27 5,23 4,01 5,95 4 6 7 6 5 3,57 4,13 3,37 5,07 2,94 6 6 5 6 6 5,72 4,45 5,79 4,3 6,17 9 8 10 9 5 6,54 5,43 1,27 8,33 7,11 6 5 5 5 6 4,49 4,81 4,98 4,96 4,69 3 7 2 2 7 3,54 6,74 5,79 5,86 4,3 6 6 7 5 7 5,69 4,97 6,92 6,85 6,71 7 8 5 9 3 6,12 9,3 2,76 9,57 8,66
5 6 5 6 6 4,66 5,11 5,29 4,96 4,59 5 6 7 7 5 10 2,26 1,23 3,89 3,41 5 7 6 5 6 5,47 5,83 4,8 5,88 4,53 10 5 4 9 3 8,98 7,15 9,93 1,86 8,34
5 7 5 5 6 5,02 5,64 5,01 5,35 4,3 7 6 6 4 5 7,84 4 6 3,95 8,14 6 5 7 5 5 4,5 4,52 5,5 5,7 4,69 4 2 3 3 8 7,61 7,3 4 8,47 6,12 6 5 5 5 6 5,29 5,45 5,33 5,56 4,95 7 5 6 4 4 5,13 5,18 3,99 5,16 3,47 6 6 6 6 7 4,25 5,28 6,01 5,59 5,2 3 3 9 7 8 8,26 8,32 1,43 8,02 1,73
6 5 6 5 6 4,71 5,16 3,64 5,17 5,76 5 5 10 5 8 3,92 4,48 5,98 5,01 5,76 7 5 7 6 7 5,97 4 4,24 5,26 5,05 6 7 7 7 2 9,33 2,86 4,34 7,43 1,37
6 6 5 5 6 4,79 4,97 4,9 4,63 5,17 5 8 2 6 8 6,21 2,54 1,86 4,16 5,69 6 7 6 7 5 4,06 4,54 6,84 5,78 5,84 6 6 4 10 6 5,44 9,27 6,06 5,32 6,6 6 6 6 5 6 6,33 4,8 4,76 4,8 5,01 5 9 1 5 5 3,79 4,36 3,74 4,58 4,36 5 7 5 6 7 6,44 6,38 5,97 5,32 5,09 7 6 7 7 8 5,65 5,16 5,39 6,34 5,47
6 6 5 5 5 4,86 5,13 5,39 4,67 5,78 7 6 6 7 4 5,08 4,79 4,82 3,64 4,5 5 5 6 7 7 6,8 5,54 5,5 4,05 6,35 10 8 4 8 3 9,96 2,86 8,48 9,68 3,78 6 6 6 6 6 5,22 5,22 4,46 4,48 5,35 2 7 6 3 7 3,76 6,56 4,92 7,51 5,43 5 7 6 6 7 5,31 4,6 6,72 5,45 6,11 2 10 10 10 6 8,68 8,42 9,24 5,44 7,91
5 5 5 5 5 3,78 5,45 4,66 3,76 4,66 5 2 8 8 7 5,23 1,88 7,48 3,17 3,22 7 6 7 6 7 6,24 6,1 6,77 6,97 4,55 5 3 6 8 10 2,47 9,98 3,25 2,02 7,13
6 5 5 6 5 5,46 5,37 5,28 4,44 4,54 6 7 8 8 5 5,26 6,28 3,1 2,23 2,21 6 5 7 6 5 4,93 6,86 4,65 6,08 6,12 8 6 7 7 4 8,87 5,78 9,66 9,98 6,38 5 5 6 5 6 5,67 4,63 4,99 5,71 4,51 4 5 6 7 8 3,03 6,05 7,47 6,24 1,08 7 5 7 6 6 5,01 4,38 4,12 4,83 5,72 3 3 4 5 10 1,47 6,68 9,91 6,73 7,8
6 6 5 5 6 3,69 5,6 4,29 4,57 4,72 7 3 6 4 0 6,77 3,86 5,96 4,93 0,49 5 5 5 5 5 6,19 6,75 6,44 5,77 4,59 8 2 3 10 9 5,08 2,11 2,74 4,26 6,84
6 6 6 5 6 5,28 5,67 4,56 5,82 5,25 3 4 4 7 1 4,61 7,93 2,57 6,65 6,69 5 6 6 7 6 5,56 6,09 6,16 6,48 4,61 8 3 10 10 9 6,09 3,93 4,86 3,27 6,03 5 6 6 6 5 5,43 4,33 5,9 4,74 4,11 5 1 7 7 5 3,15 3,16 5,58 8,96 4,3 6 5 5 5 5 5,15 6,52 6,33 4,78 4,68 9 4 4 8 6 6 1,06 8,74 4,52 7,3
6 5 5 5 5 5,11 4,49 4,94 4,61 4,82 2 2 10 7 4 3,36 3,94 3,86 4,21 3,35 5 7 7 6 5 4,88 6,34 6,31 6,67 5,9 3 10 5 9 9 6,65 8,13 4,23 5,96 7,99
5 6 6 6 5 5,26 4,73 4,71 4,89 5,06 5 5 4 5 4 6,06 6,67 3,76 4,44 0,41 7 6 7 5 6 6,43 6,11 6,66 6,34 6,15 5 2 5 10 7 5,68 9,09 2,13 6,04 9,81 5 7 6 5 5 4,91 4,29 5,08 4,98 5,05 5 3 3 4 4 2,36 6,71 8,83 6,83 6,85 5 6 6 6 5 4,24 4,59 5,61 5,74 5,24 9 8 7 3 5 4,64 1,48 9,6 7,85 7,84
5 6 6 5 6 4,38 5,29 4,99 4,78 4,9 4 4 9 7 5 4,62 1,67 7,5 3,66 5,09 6 6 6 5 6 5,61 6,18 5,55 5,4 5,71 10 6 10 9 3 8,24 9,67 6,33 5,37 2,05 6 5 5 5 5 4,58 5,97 5,83 5,74 5,38 7 8 6 6 2 7 6,62 5,51 5,26 5,5 6 5 6 7 5 6,38 4,42 5,85 6,43 6,73 10 3 8 4 6 8,75 3,06 7,59 2,62 7,44
5 5 6 5 5 5,69 5,14 5,27 4,96 4,87 6 4 5 4 7 4,51 2,64 8,08 1,05 2,39 7 7 5 7 6 6,67 6,4 6,31 5,92 6,41 2 3 8 6 2 7,29 2,15 2,45 4,5 5,87
6 6 5 6 5 5,75 5,11 5,52 4,2 4,49 9 7 7 7 6 1,95 4,58 5,36 8,37 8,16 7 5 5 6 7 4,41 5,55 6,63 5,58 6,9 9 10 2 6 8 4,13 6,35 1,35 5,13 8,65 6 6 5 5 6 5,36 4,86 5,01 5,2 5,6 9 8 4 4 8 1,93 8,65 4,37 6,92 3,52 6 6 5 6 5 4,42 4,02 4,06 5,81 4,16 8 3 10 2 6 4,15 8,59 3,97 5,31 5,17
6 5 5 6 6 5,86 5,25 5,03 4,21 5,16 6 6 5 4 4 4,11 5,33 5,68 2,51 2,26 5 6 5 5 7 5,11 5,04 5,11 4,59 5,71 2 5 6 4 9 6,11 9,41 1,4 9,58 8,52
5 5 6 6 6 5,43 5,82 4,7 5,05 5,15 4 4 6 9 7 5,12 4,05 1,09 6,61 5,87 6 7 6 5 5 5,14 4,55 4,89 5,72 5,34 3 6 8 7 6 7,66 4,79 5,49 10 6,32 5 5 5 5 6 5,04 4,72 5,91 5,01 4,6 3 5 4 5 7 2,84 0,8 5,05 1,76 5,76 5 7 5 6 6 5,13 4,27 5,35 5,09 4,67 7 9 3 8 4 7,96 6,51 8,03 2,33 5,16
5 6 5 6 6 5,13 5,46 5,46 4,66 5,91 7 3 5 6 3 5,07 2,22 5 6,77 6,9 5 5 6 7 5 5,58 5,34 6,62 5,69 4,01 10 7 10 4 9 5,81 5,5 9,15 5,82 9,73
5 5 5 6 6 4,54 5,15 4,96 5,66 4,28 5 3 6 6 6 6,31 4,29 7,29 3,43 4,53 7 7 5 6 7 5,67 4,99 6,53 4,56 4,06 6 8 8 4 9 4,37 8,41 2,88 7,35 3,05 5 6 5 6 5 4,79 5,01 4,64 4,88 4,97 5 7 3 6 2 2,34 2,81 9,68 3,2 7,39 6 6 6 6 5 6,85 6 5,31 5,79 4,83 6 6 3 3 2 1,88 8,63 3,94 9,74 4,65
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
69
ANEXO-7 Resultados para N=5
(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 S1 Normal Baja Entero NBE 53,61 70,45 100,00 70,44 46,39 29,55 0,00 29,56 90,09 -16,83
Decimal NBD 45,64 89,50 99,99 89,39 54,36 10,50 0,01 10,61 79,14 -43,75 Alta Entero NAE 57,27 50,79 99,93 49,34 42,73 49,21 0,07 50,66 92,81 7,94
Decimal NAD 92,49 91,96 99,78 90,01 7,51 8,04 0,22 9,99 98,43 2,48 Uniforme Baja Entero UBE 86,95 96,19 100,00 96,20 13,05 3,81 0,00 3,80 94,86 -9,25
Decimal UBD 80,52 88,95 97,74 86,74 19,48 11,05 2,26 13,26 85,65 -6,22 Alta Entero UAE 80,05 69,82 99,99 69,10 19,95 30,18 0,01 30,90 92,78 10,95
Decimal UAD 98,36 97,91 100,00 97,91 1,64 2,09 0,00 2,09 99,72 0,45 S2 Normal Baja Entero NBE 22,44 65,78 100,00 65,78 77,56 34,22 0,00 34,22 38,12 -43,33
Decimal NBD 94,75 96,21 100,00 96,16 5,25 3,79 0,00 3,84 93,32 -1,42 Alta Entero NAE 94,90 97,40 100,00 97,29 5,10 2,60 0,00 2,71 94,12 -2,39
Decimal NAD 67,27 65,21 99,38 62,89 32,73 34,79 0,62 37,11 90,48 4,38 Uniforme Baja Entero UBE 65,93 75,24 99,98 74,42 34,07 24,76 0,02 25,58 75,47 -8,50
Decimal UBD 82,75 81,86 99,99 81,38 17,25 18,14 0,01 18,62 79,65 1,37 Alta Entero UAE 99,30 99,06 100,00 99,06 0,70 0,94 0,00 0,94 99,87 0,24
Decimal UAD 93,90 94,76 99,85 93,13 6,10 5,24 0,15 6,87 97,12 0,77 S3 Normal Baja Entero NBE 64,02 97,71 100,00 97,71 35,98 2,29 0,00 2,29 69,50 -33,69
Decimal NBD 76,94 94,92 100,00 94,92 23,06 5,08 0,00 5,08 89,90 -17,99 Alta Entero NAE 92,56 89,68 100,00 89,57 7,44 10,32 0,00 10,43 99,28 2,99
Decimal NAD 91,73 90,44 100,00 90,36 8,27 9,56 0,00 9,64 99,60 1,38 Uniforme Baja Entero UBE 67,72 67,28 99,97 65,91 32,28 32,72 0,03 34,09 97,58 1,81
Decimal UBD 74,45 67,82 99,99 67,42 25,55 32,18 0,01 32,58 90,94 7,03 Alta Entero UAE 85,59 74,80 99,99 74,51 14,41 25,20 0,01 25,49 81,58 11,08
Decimal UAD 79,05 67,48 99,18 65,51 20,95 32,52 0,82 34,49 83,59 13,53 S4 Normal Baja Entero NBE 26,67 25,59 100,00 25,59 73,33 74,41 0,00 74,41 98,43 1,08
Decimal NBD 78,86 93,16 99,99 92,97 21,14 6,84 0,01 7,03 60,21 -14,10 Alta Entero NAE 81,23 90,40 99,99 90,14 18,77 9,60 0,01 9,86 87,51 -8,90
Decimal NAD 98,19 98,68 100,00 98,61 1,81 1,32 0,00 1,39 99,96 -0,42 Uniforme Baja Entero UBE 71,23 73,39 100,00 73,04 28,77 26,61 0,00 26,96 67,16 -1,81
Decimal UBD 78,43 91,37 90,16 73,40 21,57 8,63 9,84 26,60 95,81 5,03 Alta Entero UAE 85,47 87,67 99,84 85,67 14,53 12,33 0,16 14,33 98,32 -0,20
Decimal UAD 51,16 70,99 78,79 31,40 48,84 29,01 21,21 68,60 36,34 19,76 S5 Normal Baja Entero NBE 44,72 77,82 100,00 77,82 55,28 22,18 0,00 22,18 64,81 -33,10
Decimal NBD 85,96 79,74 99,88 78,79 14,04 20,26 0,12 21,21 95,60 7,17 Alta Entero NAE 67,59 58,48 99,90 55,50 32,41 41,52 0,10 44,50 97,10 12,09
Decimal NAD 78,24 89,64 99,99 89,34 21,76 10,36 0,01 10,66 73,93 -11,10 Uniforme Baja Entero UBE 80,93 74,59 100,00 74,59 19,07 25,41 0,00 25,41 98,17 6,34
Decimal UBD 69,12 61,11 97,68 52,83 30,88 38,89 2,32 47,17 75,67 16,29 Alta Entero UAE 97,21 99,28 100,00 99,28 2,79 0,72 0,00 0,72 97,35 -2,07
Decimal UAD 88,36 90,11 99,80 87,82 11,64 9,89 0,20 12,18 98,53 0,55 Media ............................................... Desviación Standard ........................
Intervalo Confianza () ....................
75,79 81,08 99,04 78,80 24,21 18,92 0,96 21,20 86,46 -3,01 18,76 16,05 3,66 18,13 18,76 16,05 3,66 18,13 15,80 14,66
5,81 4,97 1,13 5,62 5,81 4,97 1,13 5,62 4,90 4,54
(1) Serie simulada , Distribución (Normal/Uniforme), Dispersión (Alta/Baja) , Precisión (Entero/Decimal), Nomenclatura de cada análisis
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
70
ANEXO-8 Resultados para N=10
(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12
S1 Normal Baja Entero NBE 36,97 54,32 99,74 52,54 63,03 45,68 0,26 47,46 47,69 -15,57
Decimal NBD 46,13 85,77 66,48 47,61 53,87 14,23 33,52 52,39 93,20 -1,48
Alta Entero NAE 38,87 67,92 73,26 32,90 61,13 32,08 26,74 67,10 88,55 5,96
Decimal NAD 41,46 69,80 61,32 28,91 58,54 30,20 38,68 71,09 72,96 12,55
Uniforme Baja Entero UBE 46,26 63,12 94,63 46,57 53,74 36,88 5,37 53,43 64,50 -0,30
Decimal UBD 46,12 80,61 67,00 42,90 53,88 19,39 33,00 57,10 79,04 3,22
Alta Entero UAE 49,46 77,67 78,43 48,09 50,54 22,33 21,57 51,91 82,80 1,37
Decimal UAD 61,20 90,54 76,69 63,34 38,80 9,46 23,31 36,66 90,07 -2,14
S2 Normal Baja Entero NBE 47,55 54,54 93,46 34,94 52,45 45,46 6,54 65,06 44,45 12,61
Decimal NBD 48,69 80,26 72,17 50,15 51,31 19,74 27,83 49,85 83,19 -1,46
Alta Entero NAE 51,74 78,53 79,52 50,30 48,26 21,47 20,48 49,70 83,20 1,44
Decimal NAD 39,57 75,76 55,39 29,01 60,43 24,24 44,61 70,99 24,11 10,56
Uniforme Baja Entero UBE 40,19 68,22 93,92 51,70 59,81 31,78 6,08 48,30 56,05 -11,50
Decimal UBD 33,14 78,43 55,60 34,29 66,86 21,57 44,40 65,71 83,11 -1,15
Alta Entero UAE 46,58 69,71 80,90 42,77 53,42 30,29 19,10 57,23 79,52 3,81
Decimal UAD 51,48 84,48 72,91 51,82 48,52 15,52 27,09 48,18 54,64 -0,34
S3 Normal Baja Entero NBE 43,81 60,30 99,35 54,54 56,19 39,70 0,65 45,46 76,55 -10,73
Decimal NBD 28,56 71,26 50,49 25,54 71,44 28,74 49,51 74,46 36,47 3,02
Alta Entero NAE 33,88 38,25 57,58 4,89 66,12 61,75 42,42 95,11 6,63 28,99
Decimal NAD 59,35 92,86 69,10 58,89 40,65 7,14 30,90 41,11 96,97 0,46
Uniforme Baja Entero UBE 43,78 66,87 92,50 48,08 56,22 33,13 7,50 51,92 81,71 -4,30
Decimal UBD 49,92 75,81 77,76 48,25 50,08 24,19 22,24 51,75 78,34 1,67
Alta Entero UAE 41,56 81,15 65,33 36,88 58,44 18,85 34,67 63,12 89,55 4,68
Decimal UAD 44,53 72,88 68,13 37,44 55,47 27,12 31,87 62,56 88,42 7,09
S4 Normal Baja Entero NBE 41,56 49,66 97,81 41,06 58,44 50,34 2,19 58,94 59,18 0,50
Decimal NBD 39,70 70,86 76,00 40,66 60,30 29,14 24,00 59,34 50,75 -0,97
Alta Entero NAE 42,63 84,09 73,67 42,80 57,37 15,91 26,33 57,20 84,88 -0,17
Decimal NAD 66,53 90,06 72,95 57,51 33,47 9,94 27,05 42,49 87,89 9,02
Uniforme Baja Entero UBE 38,99 64,68 89,71 42,23 61,01 35,32 10,29 57,77 82,46 -3,24
Decimal UBD 54,48 77,80 72,77 49,31 45,52 22,20 27,23 50,69 63,07 5,17
Alta Entero UAE 38,15 80,05 63,41 33,50 61,85 19,95 36,59 66,50 77,85 4,64
Decimal UAD 45,65 86,37 66,49 43,63 54,35 13,63 33,51 56,37 87,19 2,02
S5 Normal Baja Entero NBE 38,51 45,14 97,89 35,49 61,49 54,86 2,11 64,51 81,87 3,02
Decimal NBD 31,63 73,85 78,18 48,22 68,37 26,15 21,82 51,78 36,72 -16,59
Alta Entero NAE 34,36 89,23 55,49 32,75 65,64 10,77 44,51 67,25 94,65 1,61
Decimal NAD 54,35 78,97 76,57 48,89 45,65 21,03 23,43 51,11 91,49 5,46
Uniforme Baja Entero UBE 34,52 62,29 88,46 38,46 65,48 37,71 11,54 61,54 36,90 -3,95
Decimal UBD 45,42 84,59 59,99 40,45 54,58 15,41 40,01 59,55 81,39 4,97
Alta Entero UAE 53,66 89,40 76,79 54,68 46,34 10,60 23,21 45,32 92,65 -1,02
Decimal UAD 51,24 87,26 62,19 47,91 48,76 12,74 37,81 52,09 83,36 3,33
Media ................................................... Desviación Standard ...........................
Intervalo Confianza () ........................
44,55 73,83 75,25 43,00 55,45 26,17 24,75 57,00 71,85 1,56
8,26 13,00 13,68 10,72 8,26 13,00 13,68 10,72 21,72 7,77
2,56 4,03 4,24 3,32 2,56 4,03 4,24 3,32 6,73 2,41
(1) Serie simulada , (2) Distribución (Normal/Uniforme), (3) Dispersión (Alta/Baja) , (4) Precisión (Entero/Decimal), (5) Nomenclatura de cada análisis
Errores esperados en la utilización del escalamiento multidimensional métrico vs no métrico. Gonzalo Adán. Memoria de Investigación. Universidad de las Illes Balears.
71
ANEXO-9 Resultados para N=15
(1) (2) (3) (4) (5) v2 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12
S1 Normal Baja Entero NBE 33,38 50,43 93,27 32,74 66,62 49,57 6,73 67,26 66,11 0,65
Decimal NBD 26,93 82,37 44,47 27,20 73,07 17,63 55,53 72,80 56,78 -0,27
Alta Entero NAE 36,60 75,32 67,59 32,17 63,40 24,68 32,41 67,83 90,08 4,43
Decimal NAD 47,34 91,78 56,76 47,29 52,66 8,22 43,24 52,71 94,07 0,05
Uniforme Baja Entero UBE 33,55 60,04 85,94 38,46 66,45 39,96 14,06 61,54 61,98 -4,92
Decimal UBD 28,81 71,80 40,62 22,89 71,19 28,20 59,38 77,11 49,12 5,92
Alta Entero UAE 31,51 79,18 58,06 31,35 68,49 20,82 41,94 68,65 83,98 0,16
Decimal UAD 40,09 87,14 47,10 36,33 59,91 12,86 52,90 63,67 53,45 3,76
S2 Normal Baja Entero NBE 25,78 51,92 96,19 38,70 74,22 48,08 3,81 61,30 47,38 -12,91
Decimal NBD 29,80 82,88 46,28 31,09 70,20 17,12 53,72 68,91 76,02 -1,29
Alta Entero NAE 23,63 70,03 54,06 22,52 76,37 29,97 45,94 77,48 54,19 1,10
Decimal NAD 40,12 92,39 43,53 34,80 59,88 7,61 56,47 65,20 93,01 5,32
Uniforme Baja Entero UBE 26,40 49,69 76,26 20,70 73,60 50,31 23,74 79,30 31,59 5,71
Decimal UBD 27,07 57,60 38,75 14,15 72,93 42,40 61,25 85,85 18,90 12,92
Alta Entero UAE 31,82 56,68 50,16 17,67 68,18 43,32 49,84 82,33 44,14 14,15
Decimal UAD 40,10 78,40 51,02 31,05 59,90 21,60 48,98 68,95 83,95 9,05
S3 Normal Baja Entero NBE 26,65 49,08 93,67 34,79 73,35 50,92 6,33 65,21 34,49 -8,14
Decimal NBD 23,05 67,19 44,69 15,51 76,95 32,81 55,31 84,49 6,04 7,54
Alta Entero NAE 28,09 82,50 42,76 20,54 71,91 17,50 57,24 79,46 57,80 7,55
Decimal NAD 30,73 78,02 46,37 27,28 69,27 21,98 53,63 72,72 82,20 3,45
Uniforme Baja Entero UBE 39,74 66,03 80,90 38,75 60,26 33,97 19,10 61,25 83,52 0,99
Decimal UBD 27,32 76,11 48,53 30,33 72,68 23,89 51,47 69,67 56,95 -3,02
Alta Entero UAE 39,18 82,68 57,36 35,11 60,82 17,32 42,64 64,89 92,56 4,07
Decimal UAD 40,24 89,41 50,22 37,04 59,76 10,59 49,78 62,96 68,93 3,19
S4 Normal Baja Entero NBE 35,18 53,45 93,15 37,29 64,82 46,55 6,85 62,71 61,18 -2,11
Decimal NBD 30,47 88,20 39,66 29,55 69,53 11,80 60,34 70,45 91,17 0,92
Alta Entero NAE 35,37 85,70 59,15 33,82 64,63 14,30 40,85 66,18 96,37 1,55
Decimal NAD 31,69 81,07 45,83 29,95 68,31 18,93 54,17 70,05 45,26 1,74
Uniforme Baja Entero UBE 28,06 54,57 78,26 24,06 71,94 45,43 21,74 75,94 28,56 3,99
Decimal UBD 33,94 81,05 38,31 23,38 66,06 18,95 61,69 76,62 32,61 10,56
Alta Entero UAE 45,14 84,95 60,54 39,18 54,86 15,05 39,46 60,82 88,65 5,96
Decimal UAD 23,32 56,26 38,28 12,32 76,68 43,74 61,72 87,68 40,94 11,00
S5 Normal Baja Entero NBE 31,65 52,38 94,08 36,83 68,35 47,62 5,92 63,17 68,23 -5,19
Decimal NBD 30,70 63,30 41,30 21,64 69,30 36,70 58,70 78,36 34,93 9,06
Alta Entero NAE 41,64 83,15 66,31 39,64 58,36 16,85 33,69 60,36 89,97 2,00
Decimal NAD 36,71 76,09 51,93 31,22 63,29 23,91 48,07 68,78 38,89 5,50
Uniforme Baja Entero UBE 31,66 51,75 81,77 26,67 68,34 48,25 18,23 73,33 35,17 4,99
Decimal UBD 27,05 57,01 42,52 18,46 72,95 42,99 57,48 81,54 34,29 8,60
Alta Entero UAE 31,08 65,78 51,19 24,05 68,92 34,22 48,81 75,95 66,31 7,03
Decimal UAD 34,65 72,14 49,73 27,67 65,35 27,86 50,27 72,33 67,08 6,99
Media ................................................... Desviación Standard ...........................
Intervalo Confianza () .......................
32,66 70,89 58,66 29,36 67,34 29,11 41,34 70,64 60,17 3,30
6,02 13,76 18,50 8,06 6,02 13,76 18,50 8,06 23,92 5,55
1,87 4,27 5,73 2,50 1,87 4,27 5,73 2,50 7,41 1,72
(1) Serie simulada, (2) Distribución (Normal/Uniforme), (3) Dispersión (Alta/Baja) , (4) Precisión (Entero/Decimal, ((5) Nomenclatura de cada análisis