GET00116 – Fundamentos de Estatıstica Aplicada – Turma C1Lista de Exercıcios – 1/2018 – Profa. Ana Maria Farias

1. Faca cada um dos calculos indicados a seguir, apresentando os resultados com(i) 2 casas decimais(ii) 3 casas decimais(iii) 4 casas decimais(a) 100× 2030(b) 2 + 57(c) 174(d) 1731 + 331(e) 1219 × 2132. Complete a tabela abaixo:

Classe Freq. Simples Freq.AcumuladaAbsoluta Relativa (%) Absoluta0 8 4,01 162 603 544 1445 1666 207TOTAL3. Escolha, na Figura 1, o grafico que melhor descreve cada uma das afirmacoes a seguir.

(a) Mais da metade dos elementos pertence a categoria A.(b) Metade dos elementos esta na categoria A e a outra metade esta igualmente distribuıdaentre as categorias B, C, D.(c) Os elementos estao divididos uniformemente entre as 4 categorias.(d) Metade dos elementos esta na categoria A. Em relacao a outra metade, as categoriasC e D tem metade dos elementos da categoria B.4. A seguir, sao dadas quatro afirmativas, duas das quais descrevem corretamente algumainformacao contida na Tabela 1. Identifique essas afirmativas e explique porque as outrasduas estao erradas.

(a) Menos de 10 domicılios tem renda inferior a 82 unidades monetarias.(b) 95% dos domicılios tem renda inferior a 50 unidades monetarias.(c) Mais de 80% dos domicılios tem renda inferior a 10 unidades monetarias.(d) A renda maxima entre esses 500 domicılios e de 50 unidades monetarias.

Figura 1 – Graficos para o Exercıcio 3Tabela 1 – Distribuicao da renda de 500 domicılios (dados fictıcios)Renda Numero de Domicılios Numero Acumulado de Domicılios(u.m.) Absoluto Relativo (%) Absoluto Relativo (%)Menos de 3 285 57,0 285 57,03 ` 5 80 16,0 365 73,05 ` 10 45 9,0 410 82,010 ` 20 35 7,0 445 89,020 ` 50 30 6,0 475 95,050 ou mais 25 5,0 500 100,00Total 500 100,00

5. Construa uma tabela de frequencias com 4 classes de mesmo tamanho para os dados daTabela 2. Os limites das classes devem ser numeros inteiros. Faca o ajuste mınimo necessariona amplitude. Em seguida, calcule a media dos dados a partir da tabela de frequenciasconstruıda e compare com o valor x = 35, 9425 obtido a partir dos dados brutos.Obs: Os valores mınimo e maximo dos dados sao 12,8 e 59,4.6. Na Tabela 3 e dada a relacao de notas de 150 candidatos a um emprego. Construa umatabela de frequencias com 5 classes de mesmo tamanho. Os limites das classes devem sernumeros inteiros e o limite inferior da primeira classe tem que ser 0. Em seguida, calcule amedia dos dados a partir da tabela de frequencias construıda.Obs: Os valores mınimo e maximo das notas sao 0,9 e 99,0.7. Para os dados da Tabela 2, faca o seguinte:(a) Arredonde os numeros para numeros inteiros.(b) Construa o diagrama de ramo e folhas, tendo o cuidado de especificar a escala.(c) Calcule a media dos dados arredondados, sabendo que ∑40i=1 = 1441.(d) Calcule os 3 quartis.8. Para os dados da Tabela 3, faca o seguinte:(a) Arredonde os numeros para numeros inteiros.(b) Construa o diagrama de ramo e folhas, tendo o cuidado de especificar a escala.(c) Calcule a media dos dados arredondados, sabendo que ∑150i=1 = 7792.(d) Calcule os 3 quartis.

Tabela 2 – Dados para o Exercıcio 533,0 43,5 22,7 24,8 35,1 55,8 27,7 58,9 37,0 46,054,8 59,0 55,1 59,4 52,9 14,8 12,8 34,0 13,8 27,219,3 25,8 27,4 53,0 57,6 13,5 43,1 38,5 40,9 17,943,6 37,1 34,3 31,4 28,9 13,5 25,2 42,6 46,5 29,3

Tabela 3 – Dados para o Exercıcio 673,1 78,3 41,1 0,7 4,1 72,9 59,6 81,9 43,6 47,360,2 25,9 58,3 37,3 65,0 17,7 57,9 52,9 35,1 23,777,9 90,1 25,7 60,0 56,7 43,6 37,1 96,2 96,5 91,564,1 5,3 49,8 46,0 2,1 58,6 37,2 76,9 61,4 38,332,0 52,0 13,0 81,6 88,0 51,7 68,9 93,5 39,8 13,361,8 55,6 4,2 26,5 49,5 42,7 58,1 53,4 42,5 8,067,9 95,0 61,9 94,6 96,8 47,9 69,5 45,8 33,7 94,648,5 9,3 57,8 38,4 47,9 63,1 25,8 69,4 58,9 39,589,5 26,1 22,2 8,6 51,4 60,9 29,3 44,1 22,2 68,064,8 48,7 57,9 58,9 50,1 21,5 48,1 71,6 43,4 73,121,6 27,1 79,1 74,3 16,2 52,2 78,4 41,9 49,2 36,748,9 31,1 20,3 74,1 98,9 84,8 55,7 95,2 44,9 43,872,7 19,5 81,4 42,6 89,3 34,2 79,8 37,8 92,4 20,673,4 71,0 46,4 43,7 30,3 28,9 49,4 72,5 50,4 89,053,7 60,5 25,7 99,0 67,8 0,9 28,0 93,6 10,6 2 9,1

9. Em um estudo sobre a pontualidade de empresas aereas, coletaram-se dados relativos aotempo total de atraso (em minutos) de duas empresas durante 40 dias, selecionados aleato-riamente, no primeiro semestre de 2007. (Obs.: Dados fictıcios)Empresa 1105 102 108 111 105 108 99 126 111 102117 117 108 102 129 130 131 114 114 93114 102 114 99 126 117 111 108 105 114120 111 111 129 93 96 111 114 111 105∑40

i=1 xi = 4443 min = 93 max = 131Empresa 293 105 93 120 108 96 99 117 135 96123 87 105 120 147 87 93 123 123 129105 168 90 120 120 90 126 108 102 126114 96 156 99 111 105 102 96 96 99∑40

i=1 xi = 4428 min = 87 max = 168(a) Construa um diagrama de ramos-e-folhas lado a lado para comparar os tempos de atrasodas duas empresas.(b) Calcule a media e a amplitude de cada conjunto de dados, interpretando os resultadosobtidos.(c) Em uma mesma escala, construa os diagramas de caixa para os dados das 2 empresas.Comente.10. Na tabela a seguir temos a distribuicao das notas na prova de redacao de um conjunto decandidatos a emprego no departamento de marketing de uma grande empresa.Nota Frequencia Simples Frequencia AcumuladaAbsoluta (ni) Relativa (fi)% Absoluta (Ni) Relativa (Fi) %0 ` 2 25 17, 857 25 17, 8572 ` 4 32 22, 857 57 40, 7144 ` 6 48 34, 286 105 75, 0006 ` 8 27 19, 286 132 94, 2868 ` 10 8 5, 714 140 100, 000Total 140 100, 000

Calcule a nota media dos candidatos.11. A seguir temos informacoes sobre o numero de latas de um refrigerante vendidas no bar doHotel Brisa Mar nas ultimas 3 semanas. Construa um boxplot para esses dados.45 45 46 46 46 47 48 48 48 48 4849 49 49 50 50 51 52 53 54 54

12. A seguir temos dados que representam a diferenca (em minutos) entre o horario efetivo dechegada e o horario previsto de voos de uma companhia aerea (valores negativos indicamque o voo chegou antes do horario previsto). Construa um boxplot para esses dados.-18 -11 -2 6 7 11 15 16 17 19 19 20 2222 23 24 25 25 26 28 33 45 48 50 51

13. Calcule a variancia dos seguintes dados:10 12 15 19 21

14. Calcule a variancia dos seguintes dados:3 9 8 8 6 11 8 7

15. A seguir temos a distribuicao da receita (em unidades monetarias) de uma amostra de 50hoteis do estado do Rio de Janeiro (dados fictıcios). Calcule a media desses dados, interpre-tando o resultado. Receita Numero de hoteis1 ` 5 125 ` 10 2310 ` 20 820 ` 50 550 ` 100 216. A seguir temos a taxa de pulsacao (em batimentos por minuto, bpm) de uma amostra de 40mulheres. 46 50 52 54 56 56 58 58 60 6060 60 62 62 64 64 64 66 66 6668 68 68 68 68 70 70 70 72 7474 74 76 78 80 80 84 86 88 93(a) Construa um boxplot para esses dados.(b) Sabendo que a soma dos dados e 2693, calcule a media dos dados, interpretando seuresultado.(c) Construa uma tabela de frequencia completa para esses dados, com 5 classes de mesmotamanho e tomando 45 como limite inferior da primeira classe e 95 como o limite superiorda ultima classe.(d) Calcule a media dos dados a partir da tabela de frequencias construıda no item anterior.Compare com o resultado obtido anteriormente no item (16b). Explique o motivo dadiferenca. Quando voce deve usar cada um desses resultados?17. Para os dados apresentados no diagrama de ramo e folhas a seguir, calcule os 3 quartis.

Escala30 0 = 300ni Ni30 0 0 1 5 8 5 531 0 0 1 2 2 3 4 6 8 8 10 1532 0 1 2 2 2 2 3 3 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 19 3433 0 0 2 2 3 3 3 6 6 6 7 7 7 7 8 9 16 5034 1 1 2 3 5 6 6 3 8 8 9 9 12 6235 0 0 2 64

18. Para os dados apresentados no diagrama de ramo e folhas a seguir, calcule os 3 quartis.Escala15 0 = 1,50

ni Ni15 0 0 1 5 8 9 6 616 0 0 1 2 2 3 4 6 8 8 9 11 1717 0 1 2 2 2 2 3 3 5 5 5 6 6 7 7 7 8 9 9 19 3618 0 0 2 2 3 3 3 6 6 6 7 7 7 7 8 9 9 17 5319 1 1 2 3 5 6 6 3 8 8 9 9 12 6520 0 0 2 6719. Determine a posicao dos 3 quartis sabendo que o conjunto de dados tem

(a) 120 observacoes;(b) 53 observacoes;(c) 129 observacoes;(d) 1000 observacoes;(e) 483 observacoes.20. Em um conjunto de dados referentes ao gasto medio por pessoa em uma amostra de 50turistas visitando Niteroi, o valor mınimo foi de R$22,35 e o valor maximo foi de R$127,50.Quais seriam os limites de classes para uma distribuicao de frequencias com 5 classes demesmo tamanho, se esses limites devem ser numeros inteiros, escolhidos de forma a se fazero menor ajuste necessario na amplitude geral?21. Complete a tabela abaixo:

Classe Freq. Simples Freq.AcumuladaAbsoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%)20 ` 30 830 ` 40 12 10,0040 ` 4650 ` 60 105` 70TOTAL

SOLUCAO DOS EXERCICIOS

1. (a) 100× 2030 = 66, 66666667(i) 2 casas decimais: 66,67(ii) 3 casas decimais: 66,667(iii) 4 casas decimais: 66,6667(b) 2 + 57 = 2, 714285714285714(i) 2 casas decimais: 2,71(ii) 3 casas decimais: 2,714(iii) 4 casas decimais: 2,7143(c) 174(i) 2 casas decimais: 4,25(ii) 3 casas decimais: 4,250(iii) 4 casas decimais: 4,2500(d) 1731 + 331Primeira solucao: fazendo cada parcela individualmente1731 = 0, 5483870967741935 331 = 0, 0967741935483871(i) 2 casas decimais: 0, 55 + 0, 10 = 0, 65(ii) 3 casas decimais: 0, 548 + 0, 097 = 0, 645(iii) 4 casas decimais: 0, 5484 + 0, 0968 = 0, 6452Segunda solucao: fazendo a soma primeiro1731 + 331 = 2031 = 0, 6451612903225806(i) 2 casas decimais: 0, 65(ii) 3 casas decimais: 0, 645(iii) 4 casas decimais: 0, 6452Embora nesse exemplo nao tenha dado diferenca, e sempre recomendavel fazer o menornumero de divisoes e multiplicacoes possıvel antes de arredondar.(e) 1219 × 213Primeira solucao: fazendo cada fator individualmente1219 = 0, 6315789473684211 213 = 0, 1538461538461538(i) 2 casas decimais: 0, 63× 0, 15 = 0, 09(ii) 3 casas decimais: 0, 632× 0, 154 = 0, 097(iii) 4 casas decimais: 0, 6316× 0, 1538 = 0, 0971Segunda solucao: fazendo a multiplicacao primeiro (melhor solucao)1219 × 213 = 24247 = 0, 097165991902834(i) 2 casas decimais: 0, 10(ii) 3 casas decimais: 0, 097(iii) 4 casas decimais: 0, 09722. . Classe Freq. Simples Freq.AcumuladaAbsoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%)0 8 4,0 8 4,01 16 8,0 24 12,02 36 18,0 60 30,03 54 27,0 114 57,04 30 15,0 144 72,05 22 11,0 166 83,06 20 10,0 186 93,07 14 7,0 200 100,0TOTAL 200 100,0

Passo 1: Numero total n de observacoes e obtido a partir das informacoes da primeira classee com isso todas as frequencias relativas podem ser obtidas:4, 0% = 100× 8

n ⇒ 4n = 800⇒ n = 200Passo 2: Frequencias acumuladas da classe 0Passo 3: Frequencias acumuladas da classe 1: 16 + 8 = 24Passo 4: Frequencia simples da classe 2: 60− 24 = 36Passo 5: Frequencia acumulada da classe 3: 60 + 54 = 114Passo 6: Frequencia simples da classe 4: 144− 114 = 30Passo 7: Frequencia simples da classe 5: 166− 144 = 22Passo 8: Frequencia acumulada da classe 6: 166 + 20 = 186Passo 9: Frequencia acumulada da classe 7 e o numero total de observacoesPasso 10: Frequencia simples da classe 7: 200− 186 = 143. (a) Grafico 4(b) Grafico 1(c) Grafico 2(d) Grafico 3.4. • Afirmativa (a) - erradaNote que essa afirmativa envolve numeros que constam da terceira lina da tabela. Maso que temos ai e o seguinte: 82% dos domicılios tem renda inferior a 10 u.m.• Afirmativa (b) - CorretaNote que essa afirmativa envolve a quinta linha da tabela: na classe 20 ` 50 temosuma frequencia acumulada de 95%.• Afirmativa (c) - Correta82% dos domicılios (portanto, mais de 80%) tem renda inferior a 10 u.m.• Afirmativa (d) - ErradaNa ultima classe nao temos informacao sobre a renda maxima; so podemos dizer que arenda maxima e maior que 50 u.m.5. Amplitude exata: 59, 4− 12, 8 = 46, 6Proximo multiplo de 4: 48 = 46, 6 + 1,4Comprimento de classe: 48/4 = 12Limite inferior da primeira classe: 12 = 12, 8− 0,8.Comecando de 12 e somando a nova amplitude 48, o novo limite superior sera 60, que incluio valor maximo dos dados. Logo, nao teremos problema ao usar 12 como valor mınimo.

Valor dos Frequencia simples ni Frequencia acumuladadados Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%)12 ` 24 8 21,05 8 21,0524 ` 36 13 34,21 21 55,2636 ` 48 10 26,32 31 81,5848 ` 60 7 18,42 38 100,00Total 38 100,00Os pontos medios das classes sao:x1 = 12 + 242 = 18 x2 = 24 + 362 = 30 x3 = 36 + 482 = 42 x4 = 48 + 602 = 54

x = 8 · 18 + 13 · 30 + 10 · 42 + 7 · 6038= 133238 = 35, 0526= 838 · 18 + 1338 · 30 + 1038 · 42 + 738 · 54= 0, 2105 · 18 + 0, 3421 · 30 + 0, 2632 · 42 + 0, 1842 · 54 = 35, 0532

Trabalhar com as frequencias simples e a maneira mais facil e tambem diminui os erros dearredondamento, conforme ilustrado; veja o calculo acima. Para realizar esse calculo demaneira organizada,podemos completar a tabela conforme ilustrado a seguir.Valor dos Frequencia simples ni Frequencia acumulada Ponto ni · xidados Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) medio xi12 ` 24 8 21,05 8 21,05 18 18 · 8 = 14424 ` 36 13 34,21 21 55,26 30 30 · 13 = 39036 ` 48 10 26,32 31 81,58 42 42 · 10 = 42048 ` 60 7 18,42 38 100,00 54 54 · 7 = 378Total 38 100,00 1332

Ao agrupar os dados em classes, perdemos informacao e a media tambem fica aproximada.6. Amplitude exata: 99, 0− 0, 9 = 98, 1Proximo multiplo de 5: 100 = 98, 1 + 1,9Comprimento de classe: 100/5 = 20Limite inferior da primeira classe: 0 = 0, 9− 0,9.Comecando de 0 e somando a nova amplitude 100, o novo limite superior sera 100, que incluio valor maximo dos dados. Logo, nao teremos problema ao usar 0 como valor mınimo.Valor dos Frequencia simples ni Frequencia acumulada Ponto ni · xidados Absoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%) medio xi0 ` 20 15 10,00 15 10,00 10 10 · 15 = 15020 ` 40 33 22,00 48 32,00 30 30 · 33 = 99040 ` 60 47 31,33 95 63,33 50 50 · 47 = 235060 ` 80 34 22,67 129 86,00 70 70 · 34 = 238080 ` 100 21 14,00 150 100,00 90 90 · 21 = 1890Total 150 100,00 7760x = 7760150 = 51, 7333

7. (a) Os numeros arredondados sao33 44 23 25 35 56 28 59 37 4655 59 55 59 53 15 13 34 14 2719 26 27 53 58 14 43 39 41 1844 37 34 31 29 14 25 43 47 29(b) . Escala1 3 = 131 3 4 4 4 5 8 92 3 5 5 6 7 7 8 9 93 1 3 4 4 5 7 7 94 1 3 3 4 4 6 75 3 3 5 5 6 8 9 9 9

(c) x = 144140 = 36, 025

(d) n = 40 – parMediana: deixa 20 observacoes abaixo e 20 acima; logo, a mediana e a media davigesima e da vigesima primeira observacoes:Q2 = 34 + 352 = 34, 5O primeiro quartil e a mediana das 20 menores observacoes; como 20 e par, o primeiroquartil vai ser a media da decima e da decima primeira observacoes.Q1 = 25 + 262 = 25, 5O terceiro quartil e a mediana das 20 maiores observacoes; como 20 e par, o terceiroquartil vai ser a media da decima e da decima primeira observacoes da metade superior.Como na metade inferior ja tem 20 observacoes, o terceiro quartil vai ser a mediatrigesima e da trigesima primeira observacoes.Q3 = 46 + 472 = 46, 5Veja o esquema a seguir.

8. (a) Os numeros arredondados sao73 78 41 1 4 73 60 82 44 4760 26 58 37 65 18 58 53 35 2478 90 26 60 57 44 37 96 97 9264 5 50 46 2 59 37 77 61 3832 52 13 82 88 52 69 94 40 1362 56 4 27 50 43 58 53 43 868 95 62 95 97 48 70 46 34 9549 9 58 38 48 63 26 69 59 4090 26 22 9 51 61 29 44 22 6865 49 58 59 50 22 48 72 43 7322 27 79 74 16 52 78 42 49 3749 31 20 74 99 85 56 95 45 4473 20 81 43 89 34 80 38 92 2173 71 46 44 30 29 49 73 50 8954 61 26 99 68 1 28 94 11 29(b) .

Escala1 1 = 110 1 1 2 4 4 5 8 9 91 1 3 3 6 82 0 0 1 2 2 2 2 4 6 6 6 6 6 7 7 8 9 9 93 0 1 2 4 4 5 7 7 7 7 8 8 84 0 0 1 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 6 6 6 7 8 8 8 9 9 9 9 95 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 4 6 6 7 8 8 8 8 8 9 9 96 0 0 0 1 1 1 2 2 3 4 5 5 8 8 8 9 97 0 1 2 3 3 3 3 3 3 4 4 7 8 8 8 98 0 1 2 2 5 8 9 99 0 0 2 2 4 4 5 5 5 5 6 7 7 9 9

(c) x = 7792150 = 51, 9467(d) n = 150 – parMediana: deixa 75 observacoes abaixo e 75 acima; logo, a mediana e a media dasobservacoes de ordem 75 e 76.Q2 = 50 + 502 = 50O primeiro quartil e a mediana das 75 menores observacoes; como 75 e ımpar, o primeiroquartil vai deixar 37 observacoes para baixo e 37 para cima, ou seja, o primeiro quartilvai ser a trigesima oitava observacao.Q1 = 34O terceiro quartil e a mediana das 75 maiores observacoes; como 75 e ımpar, o terceiroquartil vai quartil vai ser a trigesima oitava observacao da metade superior. Como nametade inferior ja tem 75 observacoes, o terceiro quartil vai ser a observacao de ordem75+38=113.Q3 = 71Veja o esquema a seguir.

9. (a) Considerando os dados na ordem dada:

Empresa 2 (folha=unidade) Empresa 1 (folha=unidade)7 7 89 6 6 9 6 0 0 3 6 9 6 3 3 9 9 3 9 3 32 5 2 8 5 5 8 5 10 5 2 8 5 8 2 8 2 2 8 5 51 4 7 11 1 1 7 7 4 4 4 4 7 1 4 1 1 1 4 46 6 0 0 9 3 3 0 3 0 12 6 9 6 0 95 13 0 17 146 158 16Ordenando os dados em cada ramo:Empresa 2 (folha=unidade) Empresa 1 (folha=unidade)7 7 89 9 9 6 6 6 6 6 3 3 3 0 0 9 3 3 3 9 98 8 5 5 5 5 2 2 10 2 2 2 2 5 5 5 5 8 8 8 87 4 1 11 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 4 4 4 7 7 79 6 6 3 3 3 0 0 0 0 12 0 6 6 9 95 13 0 17 146 158 16Ambas empresas tem a grande parte dos tempos de atraso entre 90 e 129 minutos, masa empresa 2 tem tres tempos grandes, o que torna a amplitude dos seus dados maiordo que a da empresa 1.

(b) Empresa 1: x1 = 434140 = 111, 075 minutos ∆1 = 131− 93 = 38 minutosEmpresa 2: x2 = 442840 = 110, 700 minutos ∆2 = 168− 87 = 81 minutosO tempo medio de ambas e bem proximo, mas a amplitude para a Empresa 2 e bemmaior, caracterizando uma maior variabilidade.(c) Como cada conjunto de dados tem 40 observacoes, a mediana sera a media da 20a e 21aobservacoes. O primeiro quartil sera a media da 10a e da 11a observacoes. O terceiroquartil sera a media da 30a e 31a observacoes.Empresa 1: Q1 = 105+1052 = 105 Q2 = 111+1112 = 111 Q3 = 114+1172 = 115, 5Empresa 2: Q1 = 96+962 = 96 Q2 = 105+1052 = 105 Q3 = 120+1232 = 121, 5Verificacao de valores discrepantesEmpresa 1:AIQ = Q3 −Q1 = 115, 5− 105 = 10, 5Q1− 1, 5×AIQ = 105− 1, 5× 10, 5 = 89, 25 Q3 +1, 5×AIQ = 115, 5+1, 5× 10, 5 =131, 25Nao ha valores discrepantes para a Empresa 1.Empresa 2:AIQ = Q3 −Q1 = 121, 5− 96 = 25, 5Q1 − 1, 5× AIQ = 96− 1, 5× 25, 5 = 57, 75 Q3 + 1, 5× AIQ = 121, 5 + 1, 5× 25, 5 =159, 75O valor 168 e um valor discrepante para a Empresa 2.

Vemos que na Empresa 2 ha muito mais variabilidade; o tempo mediano da empresa 1e maior, mas os 50% centrais estao mais concentrados.10. Os pontos medios das classes saox1 = 0+22 = 1 x2 = 2+42 = 3 x2 = 4+62 = 5 x2 = 6+82 = 7 x5 = 8+102 = 9Lembre-se que trabalhar com as frequencias simples e a maneira mais facil e que evita errosde arredondamento:

Nota Frequencia absoluta ni Ponto medio xi ni · xi0 ` 2 25 1 25 · 1 = 252 ` 4 32 3 32 · 3 = 964 ` 6 48 5 48 · 5 = 2406 ` 8 27 7 27 · 7 = 1898 ` 10 8 9 8 · 9 = 72Total 140 25 + 96 + 240 + 189 + 72 = 622

Media: x = 622140 = 4, 44311. n = 21

Q2 e a 11a observacao. Q1 e a media da 5a e da 6a observacoes. Q3 e a media da 16a e da17a observacoes.Q1 = 46 + 472 = 46, 5 Q2 = 48 Q3 = 50 + 512 = 50, 5Verificacao de valores discrepantesAIQ = Q3 −Q1 = 50, 5− 46, 5 = 4, 0Q1 − 1, 5AIQ = 46, 5 − 1, 5 × 4 = 46, 5 − 6 = 40, 5 Q3 + 1, 5 × AIQ = 50, 5 + 1, 5 × 4 =50, 5 + 6 = 56, 5Nao ha valores discrepantes.

12. n = 25Q2 e a 13a observacao. Q1 e a media da 6a e da 7a observacoes. Q3 e a media da 19a e da20a observacoes.Q1 = 46 + 4711 + 152 = 13 Q2 = 22 Q3 = 26 + 282 = 27Verificacao de valores discrepantesAIQ = Q3 −Q1 = 27− 13 = 14Q1−1, 5AIQ = 13−1, 5×14 = 13−21 = −8 Q3+1, 5×AIQ = 27+1, 5×14 = 27+21 = 48As duas observacoes inferiores e as duas observacoes superiores sao valores discrepantes.

13. A media dos dados e x = 10 + 12 + 15 + 19 + 215 = 775 = 15, 4Vamos organizar os calculos em uma tabela.Dado xi Desvio = xi − x Desvio2 = (xi − x)210 10− 15, 4 = −5, 4 (−5, 4)2 = 29, 1612 12− 15, 4 = −3, 4 (−3, 4)2 = 11, 5615 15− 15, 4 = −0, 4 (−0, 4)2 = 0, 1619 19− 15, 4 = 3, 6 (3, 6)2 = 12, 9621 21− 15, 4 = 5, 6 (5, 6)2 = 31, 36Soma 77 −9, 2 + 9, 2 = 0 29, 16 + 11, 56 + 0, 16 + 12, 96 + 31, 36 = 85, 2

A variancia e a media dos desvios quadraticos:

σ 2 = 85, 25 = 17, 04Uma forma mais facil ainda de calcular a variancia e usar o resultado de que a varianciae a media dos quadrados menos o quadrado da media. Para os dados acima, a media dosquadrados e

102 + 122 + 152 + 192 + 2125 = 100 + 144 + 225 + 361 + 4415 = 12715 = 254, 2e a variancia e

σ 2 = 254, 2− (15, 4)2 = 17, 0414. Vamos organizar os dados para fazer os calculos utilizando a formula mais simples:

xi x2i3 32 = 99 92 = 818 82 = 648 82 = 646 62 = 3611 112 = 1218 82 = 647 72 = 49Soma 60 488

A media dos dados ex = 608 = 7, 5

A variancia eσ 2 = 4888 − 7, 52 = 61− 7, 52 = 4, 75

15. Vamos completar a tabela:Receita Numero de hoteis ni Ponto medio xi ni · xi1 ` 5 12 3 12 · 3 = 365 ` 10 23 7,5 23 · 7, 5 = 172, 510 ` 20 8 15 8 · 15 = 12020 ` 50 5 35 5 · 35 = 17550 ` 100 2 75 2 · 75 = 150Soma 50 653, 50

A media ex = 653, 5050 = 13, 07

A receita media dos 50 hoteis e de 13,07 unidades monetarias.16. (a)Q1 = 60 + 602 = 60 Q2 = 66 + 682 = 67 Q3 = 74 + 742 = 74

AIQ = Q3−Q1 = 74−60 = 14 Q1−1, 5AIQ = 60−1, 5×14 = 39 Q3+1, 5AIQ = 74+1, 5×14 = 95Nao ha valores discrepantes.

(b) x = 269340 = 67, 325 bpm.A taxa media de pulsacao dessas 40 mulheres e de 67,325 bpm.(c) Dados o limite inferior da primeira classe e o limite superior da ultima classe, temosque a amplitude dos dados na tabela de frequencia e de 95− 45 = 50 e o comprimentode cada classe tem de ser 50/5 = 10.BPM Frequencia Simples Frequencia AcumuladaAbsoluta (ni) Relativa (fi)% Absoluta (Ni) Relativa (Fi) %45 ` 55 4 10, 0 4 10, 055 ` 65 13 32, 5 17 42, 565 ` 75 15 37, 5 32 80, 075 ` 85 5 12, 5 37 92, 585 ` 95 3 7, 5 40 100, 0Total 40 100, 0(d) Os pontos medios das classes sao 50, 60, 70, 80, 90 e a media ex = 4× 50 + 13× 60 + 15× 70 + 5× 80 + 3× 9040 = 200 + 780 + 1050 + 400 + 27040 = 270040 = 67, 5A diferenca entre os valores (67,325 e 67,5) se deve ao fato de termos substituıdo cadavalor pelo ponto medio da respectiva classe. Se os dados brutos estiverem disponıveis,sempre devemos calcular quaisquer medidas a partir deles. Medidas estatısticas apartir de dados agrupados so devem ser usadas quando os dados brutos nao estiveremdisponıveis e devem sempre ser usadas com bastante cautela.17. n = 64 – parMediana: deixa 32 observacoes abaixo e 32 acima; logo, a mediana e a media da observacoesde ordem 32 e 33.

Q2 = x(32) + x(33)2 = 50 + 50328 + 3292 = 328, 5O primeiro quartil e a mediana das 32 menores observacoes; como 32 e par, o primeiro quartilvai deixar 16 observacoes para baixo e 16 para cima, ou seja, o primeiro quartil vai ser amedia das observacoes de ordem 16 e 17.Q1 = x(16) + x(17)2 = 320 + 3212 = 320, 5O terceiro quartil e a mediana das 32 maiores observacoes; como 32 e par, o terceiro quartilvai quartil vai ser a a media das observacoes de ordem 16 e 17 na metade superior. Comona metade inferior ja tem 32 observacoes, o terceiro quartil vai ser a media das observacoesde ordem 32+16=48 e 32+17=49.Q3 = x(48) + x(49)2 = 337 + 3382 = 337, 5Veja o esquema a seguir.

18. n = 67 – ımparMediana: deixa 33 observacoes abaixo e 33 acima; logo, a mediana e a observacao de ordem34.Q2 = x(34) = 1, 78O primeiro quartil e a mediana das 33 menores observacoes; como 33 e ımpar, o primeiroquartil vai deixar 16 observacoes para baixo e 16 para cima, ou seja, o primeiro quartil vaiser a observacao de ordem 17.Q1 = x(17) = 1, 69O terceiro quartil e a mediana das 33 maiores observacoes; como 33 e ımpar, o terceiroquartil vai ser a observacao de ordem 17 na metade superior. Como na metade inferior jatem 33 + 1 = 34 observacoes, o terceiro quartil vai ser a observacao de ordem 34 + 17 = 51.Q3 = x(51) = 1, 88Veja o esquema a seguir.

19. (a) n = 120n par: Q2 = 60a + 61a2

O primeiro quartil e a mediana das 60 menores observacoes; como 60 e par, o primeiroquartil vai deixar 30 observacoes para baixo e 30 para cima:Q1 = 30a + 31a2O terceiro quartil e a mediana das 60 maiores observacoes; como 60 e par, o terceiroquartil e a media das observacoes de ordem 30 e 31 na metade superior e na metadeinferior ja tem 60 observacoes; logo,Q3 = (60 + 30)a + (60 + 31)a2 = 90a + 91a2(b) n = 53n ımpar: Q2 = 27a. Note que 27 = 53+12O primeiro quartil e a mediana das 26 menores observacoes; como 26 e par, o primeiroquartil vai deixar 13 observacoes para baixo e 13 para cima:Q1 = 13a + 14a2O terceiro quartil e a mediana das 26 maiores observacoes; como 26 e par, o terceiroquartil e a media das observacoes de ordem 13 e 14 na metade superior e na metadeinferior ja tem 27 observacoes; logo,Q3 = (27 + 13)a + (27 + 14)a2 = 40a + 41a2(c) n = 129n ımpar: Q2 = 65a. Note que 65 = 129+12O primeiro quartil e a mediana das 64 menores observacoes; como 64 e par, o primeiroquartil vai deixar 32 observacoes para baixo e 32 para cima:Q1 = 32a + 33a2O terceiro quartil e a mediana das 64 maiores observacoes; como 64 e par, o terceiroquartil e a media das observacoes de ordem 32 e 33 na metade superior e na metadeinferior ja tem 65 observacoes; logo,Q3 = (65 + 32)a + (65 + 33)a2 = 97a + 98a2(d) n = 1000n par: Q2 = 500a + 501a2O primeiro quartil e a mediana das 500 menores observacoes; como 500 e par, o primeiroquartil vai deixar 250 observacoes para baixo e 250 para cima:Q1 = 250a + 251a2O terceiro quartil e a mediana das 500 maiores observacoes; como 500 e par, o terceiroquartil e a media das observacoes de ordem 250 e 251 na metade superior e na metadeinferior ja tem 500 observacoes; logo,Q3 = (500 + 250)a + (500 + 251)a2 = 750a + 751a2(e) n = 483n ımpar: Q2 = 242a. Note que 242 = 483+12O primeiro quartil e a mediana das 241 menores observacoes; como 241 e ımpar, oprimeiro quartil vai deixar 120 observacoes para baixo e 120 para cima:Q1 = 121a. Note que 121 = 241+12O terceiro quartil e a mediana das 241 maiores observacoes; como 241 e ımpar, oterceiro quartil e a 121a na metade superior e abaixo ja tem 242Q3 = (242 + 121)a = 363aVeja a figura a seguir.

20. Amplitude: ∆ = 127, 50− 22, 35 = 105, 15Proximo multiplo de 5: 110Novo comprimento de classe: 1105 = 22Limites de classe (uma possibilidade):22 ` 4444 ` 6666 ` 8888 ` 110

110 ` 13221. A tabela completa eClasse Freq. Simples Freq.AcumuladaAbsoluta Relativa (%) Absoluta Relativa (%)20 ` 30 8 6,67 8 6,6730 ` 40 12 10,00 20 16,6740 ` 50 26 21,67 46 38,3350 ` 60 59 49,17 105 87,5060 ` 70 15 12,50 120 100,00TOTAL