USP-FFCLRP Introducao a Teoria de ProbabilidadeDFM Informatica BiomedicaProf. Rafael A. Rosales 1 de marco de 2010

Exercıcios de Probabilidade

Os exercıcios marcados com “†” sao mais difıceis e podem ser deixados para umasegunda leitura. Cada uma das provas terao uma ou dois perguntas a este nevel.Os exercıcios marcados com “††” sao ainda mais difıceis e alguns serao resolvidosem aula, porem recomendamos a maneira de reto a sua resolucao. A secao desuplementos contem topicos mais avancados e o seu estudo e opcional.

1 Eventos e Espacos amostrais

1.1 Eventos (Conjuntos)

Exercıcio 1. Demonstrar as seguintes identidades utilizando a definicao de cadaoperacao, considerando que para quaisquer dois conjuntos A e B, A = B se A ⊆ Be B ⊆ A.

A4B = (A ∩Bc) ∪ (Ac ∩B) (i)

A = (A ∩B) ∪ (A ∩Bc) (ii)

A \B = A ∩Bc (iii)

Ac = Ω \ A (iv)

A ∩ Ac = ∅ (v)

A ∪ Ac = Ω (vi)

A ∪ A = A ∩ A = A (vii)

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) (viii)

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) (ix)

Exercıcio 2. (Leis de De Morgan) Seja Ai : i = 1, . . . , n uma colecao de eventosde Ω. Mostrar, ( n⋃

i=1

Ai

)c

=n⋂

i=1

Aci ,

( n⋂i=1

Ai

)c

=n⋃

i=1

Aci .

Exercıcio 3. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equacoes e fra-ses, unindo cada equacao expressa na notacao de conjuntos com a correspondente

1

frase na linguagem de eventos,

(a)A ∩B ∩ C = A ∪B ∪ C (i) A e “B ou C” sao incompatıveis(b)A ∩B ∩ C = A (ii) Os eventos A,B,C sao identicos(c)A ∪B ∪ C = A (iii) A ocorrencia de A implica a de “B e C”(d) (A ∪B ∪ C) \ (B ∪ C) = A (iv) A ocorrencia de A decorre de “B ou C”

Exercıcio 4. Sejam A,B,C eventos de Ω. Mostrar que A \ (B \C) 6= A \B ∪C.Encontrar uma exprecao mais simples para A \B ∪ C.

Exercıcio 5. Sejam A,B e C tres eventos em Ω. Encontrar as expressoes para osseguintes eventos:

(a) aconteceu somente A(b) aconteceram A e B mas nao C(c) aconteceram os tres eventos(d) aconteceu ao menos um dos eventos(e) aconteceram ao menos dois eventos(f) aconteceu so um dos eventos(g) ocorreram so dois eventos(h) nao aconteceu nenhum dos eventos(i) nao aconteceram mais de dois eventos

Exercıcio 6. Dois dados sao lancados. Sejam os eventos E = a soma dos dadose impar1, F = pelo menos um dado tem o numero 1 na face superior, e G = a soma dos dados e 5. Descreva os eventos E ∪ F , E ∩ F , F ∩ G, E ∩ F c, eE ∩ F ∩G.

1.2 Espacos amostrais Ω

Exercıcio 7. Descrever os espacos amostrais, Ω, dos seguintes experimentos:(i) uma moeda e lancada n vezes (n < ∞) [Dica: pense em um produto

cartesiano. Por que?](ii) duas bolas sao retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas

pretas e duas vermelhas. Considere todas as posıveis situacoes: as bolas podemser retiradas com reposicao ou sem reposicao, e a ordem na qual sao retiradas asbolas pode ser considerada ou nao.

(iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitario

(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1

(iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e comreposicao, ate retirar-se o primeiro rei. Registra-se o numero total de retiradas.

1Esta notacao e a forma abreviada de ω ∈ Ω : ω que apresentam soma impar. Em geralA = ϕ denota o conjunto dos eventos elementares ω ∈ Ω : ω ∈ ϕ.

2

Exercıcio 8. † Um torneio de tenis comeca com 2n competidores e apresentan jogos. Descrever o espaco Ω de todos os possıves resultados. [Dica: produtocartesiano]

1.3 Sequencia de eventos

Exercıcio 9. Seja A1, A2, . . . uma sequencia de eventos. Defina

Bn =∞⋃

m=n

Am, Cn =∞⋂

m=n

Am.

Neste caso Cn ⊆ An ⊆ Bn. As sequencias Bn e An sao respectivamentedecrescentes e crescentes com limites

limBn = B =∞⋂

n=1

Bn =∞⋂

n=1

∞⋃m≥n

Am,

limCn = C =∞⋃

n=1

Cn =∞⋃

n=1

∞⋂m≥n

Am.

Os eventos B e C sao chamados lim supn→∞An e lim infn→∞An respectivamente.(i) Demonstrar a seguinte interpretacao para B e C,

B = ω ∈ Ω : ω ∈ An para uma infinidade de valores de n,C = ω ∈ Ω : ω ∈ An para todo n menos uma quantidade finita de valores de n.

(ii) (esta parte realmente e de probabilidade) Se

lim supn→∞

An = lim infn→∞

An = A,

chamamos o evento limite A de limn→∞An, ou simplesmente An → A. Demonstrarque se A = limn→∞An, entao P(An) → P(A) quando n→∞.

2 Probabilidade

Exercıcio 10. Para os experimentos (i) e (ii) mencionados no exercicio 6, descrevaum espaco de probabilidade.

Exercıcio 11. †† Uma moeda e jogada um numero infinito de vezes. Descreva umespaco de probabilidade para este experimento.

3

Exercıcio 12. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual e a probabilidadede que: (i) o numero 6 ocorre so uma vez, (ii) ambos resultados sejam um numeropar, (iii) a soma dos resultados e 4, (iv) a soma dos resultados e divisıvel por 3.

Exercıcio 13. Dois dados equilibrados sao jogados simultaneamente. Qual e aprobabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados e 2, 3 ou 12, (ii) asoma dos resultados e impar, (iii) o produto e impar, (iv) a diferenca e impar, (v)o resultado de um dado e menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentese o menor dos dois numeros e r, para 1 ≤ r ≤ 6. [E importante distinguiros dois dados. No caso que isto nao seja tomado em conta, o espaco amostralΩ = (i, j) : 1 ≤ i ≤ j ≤ 6, apresenta 21 possibilidades, |Ω| = 21, cada uma comprobabilidades diferentes do caso na qual os dados sao diferentes.]

Exercıcio 14. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoassao selecionadas ao acaso para sair da sala, qual e a probabilidade destas serem domesmo sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa e selecionada para sairda sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente?

Exercıcio 15. Uma moeda equilibrada e jogada repetidas vezes. Qual e a pro-babilidade de que na n-esima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeiravez, (ii) o numero de caras e coroas e o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duascaras, (iv) ocorreram pelo menos duas caras.

Exercıcio 16. Descrever os espacos de probabilidade dos seguintes experimentos:(i) Uma moeda nao equilibrada e jogada tres vezes, (ii) duas bolas sao retiradassem reposicao de uma urna que contem duas bolas brancas e duas pretas, (iii) umamoeda nao equilibrada e jogada repetidas vezes ate aparecer a primeira cara.

Exercıcio 17. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e Be P(A) + P(B)− 2P(A ∩B).

Exercıcio 18. Demonstre as seguintes propriedades

(i) Se P(An) = 0 para n = 1, 2, . . . , entao P( ∞⋃

k=1

An

)= 0,

(ii) Se P(An) = 1 para n = 1, 2, . . . , entao P( ∞⋂

k=1

An

)= 1.

Exercıcio 19. Demonstrar as seguintes desigualdades de Boole,

P( n⋃

i=1

Ai

)≤

n∑i=1

P(Ai), P( n⋂

i=1

Ai

)≥ 1−

n∑i=1

P(Aci)

Exercıcio 20. †† Mostre que se P(Ak) ≥ 1− ε para k = 1, . . . , n, entao,

P( n⋂

k=1

Ak

)≥ 1− nε.

4

Exercıcio 21. †† Demonstre o seguinte fato: se A1, A2, . . . e B1, B2, . . . sao eventosdo mesmo espaco de probabilidade tais que P(An) → 1 e P(B) → p, quandon→∞, entao P(An ∩Bn) → p.

Exercıcio 22. †† Demonstrar que

P( n⋂

i=1

Ai

)=

n∑i=1

P(Ai)−n∑

i<j

P(Ai ∪ Aj) +n∑

i<j<k

P(Ai ∩ Aj ∪ Ak)

+ · · ·+ (−1)n+1P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An).

Exercıcio 23. Dois dados sao jogados, sendo observado o resultado da face su-perior de cada um. Qual e a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dosresultados e 2, 3, ou 12?, (ii) a soma e empar, (iii) a diferenea e empar, (iv) oproduto e empar.

Exercıcio 24. Uma moeda equilibrada e jogada quatro vezes. Qual e a probabi-lidades de: (i) o resultado contem pelo menos tres caras, (ii) o resultado contemexatamente tres caras, (iii) o resultado contem tres o mais caras consecutivas, (iv)o resultado tem exatamente tres caras consecutivas.

Exercıcio 25. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duasbolas sao retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaeo amostral eformado por todos os pares nao ordenados de bolas indistingueveis. (ii) Qual e aprobabilidade de que a primeira bola seja branca? e da segunda branca?. (iii) Ametade das bolas sao removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restantesuma e escolhida ao acaso, qual e a probabilidade de que esta ultima seja laranja?.(iii) Um dado honesto com n lados e jogado. Se a r-esima face e o resultado, rbolas sao removidas da urna e colocadas num saco. Qual e a probabilidade de queuma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja?

Exercıcio 26. Um jogo de 4 xecaras e 4 pires contem duas xecaras brancas edois pires de um cor, e os restantes de outro cor, por exemplo, preto e branco. (i)Qual e a probabilidade de que exatamente uma xecara esteja sobre um pires domesmo cor?. (ii) Qual e a probabilidade de que duas xecaras estejam sobre piresdo mesmo cor?. (iii) Qual e a probabilidade de que nenhuma xecara esteja sobreum pires do mesmo cor se o jogo consiste de quatro cores diferentes em lugar dese dois? [Dica: bote primeiro os pires e deixe estes fixos!]

Exercıcio 27. A fim de comeear um jogo de azar com um dado, e preciso sacarum 6 no primeiro laneamento. (i) Qual e a probabilidade de que o 6 resulte pelaprimeira vez se no terceiro intento?. (ii) Qual e a probabilidade de que sejamrequeridos mais de tres intentos?. (iii) Qual e o numero de intentos mais provaveisrequeridos para obter um 6?

Exercıcio 28. Encontrar a probabilidade de que em 24 lacamentos de dois dadosnao ocorra o evento (6,6).

5

Exercıcio 29. † No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual e a probabilidadedos seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lancamento, (ii)ganhar ou perder antes ou no terceiro lancamento, (iii) ganhar se no primeirolancamento o primeiro dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lancamentoo primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possıvel fixar o resultado de um dosdados no primeiro lancamento, qual seria o numero escolhido por voce?

Exercıcio 30. †† Uma urna contem tres tickets marcados com “1”, “2” e “3”. Seos tickets sao retirados sem reposicao, qual e a probabilidade de que exista umvalor r (r = 1, 2, 3) tal que na r-esima retirada resulte um tiket marcado com r?

3 Probabilidade (Combinatoria)

Mesmo que seja possıvel obter a resposta por outros medios, todos os calculosnecessarios para obter as probabilidades nesta secao devem utilizar argumentoscombinatorios.

Exercıcio 31. De quantas maneiras e possıvel ordenar um conjunto de n elemen-tos?

Exercıcio 32. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjuntode n elementos? (neste caso a ordem nao e considerada)

Exercıcio 33. Qual e o numero de bijecoes de um conjunto de n elementos a umconjunto de m elementos?

Exercıcio 34. Qual e o numero de todas as relacoes (nao unicamente as bijecoes)de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos?

Exercıcio 35. Qual e o numero de subconjuntos de um conjunto de n elementos?

Exercıcio 36. Suponha que voce tem dois pares de meias vermelhas, tres paresde meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-eris. Se sao escolhidaduas meias ao acaso, qual e a probabilidade destas serem do mesmo par?

Exercıcio 37. Um estudante do DFM tem a livros de algebra, b sobre bancos dedados, e c de calculo. Se os livros sao colocados numa prateleira ao acaso, qualsera a probabilidade dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema nao estamseparados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabetico mas naosao necessariamente adjacentes, (iii) os livros sobre o mesmo tema sao adjacentese seguem o ordem alfabetico.

Exercıcio 38. Um jogo de cartas e bem embaralhado e uma mao de 13 cartas eoferecida a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogadortenha um a?¡s, (ii) um jogador tenha todos os asses. [Dica: usualmente em um jogocom cartas, a ordem na qual as cartas sao entregues nao e importante. Lembretambem que as cartas sao inicialmente entregues sem reposicao. Como contamosos eventos?]

6

Exercıcio 39. † Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer emqualquer dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quaise sabido que nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade deque ao menos duas destas tenham aniversario em dias consecutivos ou no mesmodia e pr, onde

pr = 1− (365− r − 1)!

(365− 2r)!365−r+1, (2r < 365).

Deduzir que para r = 13, a probabilidade de conseguir dois aniversarios consecu-tivos e 1/2.

Exercıcio 40. Uma urna contem 4n bolas, n das quais sao pretas, n roxas, nazuis e n marrons. Se r, r ≥ 4, bolas sao retiradas sem reposicaoao, qual e aprobabilidade de que: (i) ao menos uma bola e preta? (ii) exatamente duas bolassao pretas? (iii) existe ao menos uma bola de cada cor?

Exercıcio 41. De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser dis-tribuedas, ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual e a probabilidade deque pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual e a probabilidade de cada umaconter no maximo uma bola?

Exercıcio 42. Um indiveduo tem n chaves, das quais somente uma abre umaporta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposicao e tentaabrir a porta. Qual e a probabilidade de que ele abra a porta na k-esima tentativa(k = 1, 2, . . . , n)?

Exercıcio 43. † Dez pessoas sao sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual aprobabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas umaao lado da outra? [Dica: enumere as cadeiras do 1 ate o 10 ao igual que dez cartasbem embaralhadas, as quais serao repartidas entre as dez pessoas. O numero totalde resultados e igual a todas as permutacoes de 10 elementos. Conte o numero deeventos “favoraveis”.]

Exercıcio 44. Voce encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas. Um full houseconsta de tres cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2♣, 2♦, 2♠,4♦, 4♥). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e umaquinta carta de qualquer outro valor, por exemplo (5♣, 5♥, 5♠, 5♦,K♦). O quee mais provavel, que voce receba um full house ou uma quadra? [Dica: mesmaobservacao que para o exercıcio 38]

Exercıcio 45. Seis numeros sao escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual aprobabilidade dos seguintes eventos (i) A = os numeros escolhidos sao 1, 2, 3, 4,5, 6, (ii) B = 44 e um dos numeros escolhidos. [Dica: A ordem das escolhasnao e importante.]

7

Exercıcio 46. Qual e a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA seas letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R sao escolhidas ao acaso?

Exercıcio 47. Mostrar as seguintes identidades

(i)n∑

k=0

(−)k

(n

k

)= 0. (iii)

n/2∑k=0

(n

2k

)= 2n−1, se n e par.

(ii)n∑

k=0

(n

k

)= 2n. (iv)

n/2∑k=0

(n

k

)= 2n−1, se n e par.

Exercıcio 48. Considerando as identidades

(1 + x)m(1 + x)n = (1 + x)m+n,

(1 + x)m(1 + x)−n−2 = (1 + x)m−n−2,

mostrar que

(i)k∑

j=0

(m

j

)(n

k − j

)=

(m+ n

k

). (ii)

m∑k=1

(−)m−k

(m

k

)(n+ k

n+ 1

)=

(n

m− 1

).

Exercıcio 49. † Mostrar que(n

r

)(n+ k

r + 2k

)(n

r + k

)=

(n

r + k

)(n+ k

r

)(n+ 2k

r + 2k

)e interpretar esta identidade no triangulo de Pascal. O triangulo de de Pascal eapresentado como um arranjo de coeficientes binomiais, Cm

n ,

C00

C01 C1

1

C02 C1

2 C22

C03 C1

3 C23 C3

3

...

=

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

...

para C00 = 1, ja que por definicao 0! = 1.

4 Probabilidade Condicional

Exercıcio 50. Um dado viciado com faces 1, 2, 3 da cor laranja e 4, 5, 6 da corazul tem probabilidades

P(1) = P(3) = P(5) =1

9, P(2) = P(4) = P(6) =

2

9.

Se o dado e laneado uma vez, qual a probabilidade de que de que a face superiormostre um numero par dado que esta e da cor laranja?

8

Exercıcio 51. Dois dados sao jogados no cassino, porem e o seu resultado nao emostrado. Suponha que o cassino informa que a face superior de um dos dados e1, qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior o igual a 5? [Dica: queme Ω? Se uma das faces e 1, quais dos elementos de Ω nao sao possıveis? quantossobram?]

Exercıcio 52. Durante o mes de novembro a probabilidade de chuva e de 0,3. OSao Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,4; emum dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, quale a probabilidade de que choveu nesse dia?

Exercıcio 53. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de quePedro escreva a carta e de 0,8. A probabilidade de que o correio nao a perca ede 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue e de 0,9. Dado que Marinanao recebeu a carta, qual e a probabilidade condicional de que Pedro nao a tenhaescrito?

Exercıcio 54. (“Urna de Polya”) Uma urna contem a bolas azuis e v de cor verde.Uma bola e retirada ao acaso e seu cor e considerado. Subsequentemente a bola edevolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual e a probabilidadedos eventos: (a) a segunda bola e verde, (b) a primeira bola retirada e verde dadoque a segunda bola foi verde. (ii) Se Vn denota o evento “o resultado da n-esimaretirada e verde”, mostrar que P(Vn) = P(V1) para todo n ≥ 1. (iii) Encontrar aprobabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-esima retirada oresultado e verde. (iv) Mostrar que para quaisquer j, k, P(Vk|Vj) = P(Vj|Vk).

Exercıcio 55. †† T e J decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades T podeganhar cada buraco com probabilidade p e J com probabilidade q. A probabilidadede empatar e r. O jogo acaba na primeira vez na qual se um dos dois jogadoresganhe um buraco. (i) Mostrar que a probabilidade un de que T ganhe antes ou non-esimo buraco e

un =p(1− rn)

(1− r).

(ii) Dado que T ganha antes ou no n-esimo buraco, mostrar que: (a) a probabili-dade de que o primeiro buraco resultou em empate e

r(1− rn−1)

(1− rn).

(b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado e

(1− r)

(1− rn).

(iii) Dado a que J ganha, qual e a probabilidade disto acontecer antes do terceiroburaco?

9

Exercıcio 56. Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, umatem duas coroas e as duas ultimas sao normais.(i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lanea. Qual e a probabilidadede que a face inferior da moeda seja cara?(ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual e a probabi-lidade de que a face inferior seja cara?(iii) O homem fecha seus olhos de novo e lanea a moeda uma segunda vez. Quale a probabilidade de que a face inferior seja cara?(iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado e cara; qual e a probabili-dade de que a face inferior seja cara?(v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lanea. Qual e aprobabilidade de que o resultado seja cara?

5 Independencia de eventos

Exercıcio 57. Se A e B sao eventos independentes, mostrar que Ac e B saoindependentes, e entao deducir que Ac e Bc tambem sao independentes.

Exercıcio 58. Seja (Ω,A ,P) um espaeo de probabilidade, e A1, . . . , An ∈ Aeventos independentes com pk = P(Ak), k = 1, . . . , n. Obtenha a probabilidade deocorrencia dos seguintes eventos, em termos das probabilidades pk: (i) a ocorrenciade nenhum dos Ak, (ii) a ocorrencia de pelo menos um dos Ak, (iii) a ocorrenciade exatamente um dos Ak, (iv) a ocorrencia de exatamente dois dos Ak, (v) aocorrencia de, no maximo, n− 1 dos Ak.

Exercıcio 59. (Independencia a pares nao implica independencia coletiva) Umdado e jogado n vezes. Seja o evento Aij=“a i-esima e a j-esima jogada tem omesmo resultado”. Mostrar que os eventos Aij : 1 ≤ i < j ≤ n sao independen-tes somente quando considerados por pares, isto e, P(Aij ∩ Ajn) = P(Aij)P(Ajn)mas P(Aij ∩ Ajk ∩ Aik) 6= P(Aij)P(Ajk)P(Aik) se i 6= j 6= k.

Exercıcio 60. Uma moeda honesta e jogada repetidas vezes. Mostrar que osseguintes enunciados sao equivalentes (⇔):(a) os resultados de laneamentos diferentes sao independentes,(b) dada qualquer sequencia de caras e coroas, a probabilidade de que a sequenciaocorra nos primeiros m laneamentos e 2−m, sendo m o comprimento da sequencia.

Exercıcio 61. † Suponha que ter um menino ou uma menina tem a mesma pro-babilidade. Suponha tambem que a Sra. M tem tres filhos. Seja A o evento quea famelia tem filhos de ambos sexos, e B o evento que a famelia apresenta pelomenos uma menina. (i) Mostre que A e B sao independentes. (ii) Serao A e Bindependentes se a probabilidade de ter um menino ou uma menina nao sao iguais?(iii) O que ocorre se a Sra. M tem quatro filhos?

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Exercıcio 62. †† Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C.Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a umacidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de queuma das estradas de A a B esteja aberta dado que nao existe nenhuma estradaaberta de B a C. (ii) Encontrar a probabilidade condicional se adicionalmenteexiste uma estrada direta entre A e C, tambem bloqueada independentemente dasoutras com probabilidade p.

Ap

p

p

Bp

p C

(iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposicao entre estascidades segue o seguinte desenho embaixo?

B p

pA

p

D

Cp p

6 Variaveis Aleatorias

Exercıcio 63. Considere a v.a. discreta X com distribuicao de probabilidadeP (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10,P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X ≥ 6); (ii) P (|X−4| > 2);(iii) P (X = a), a e um numero primo.

Exercıcio 64. Suponha que voce e convidado a jogar um jogo definido de acordoas seguintes regras: um dos numeros 2, . . ., 12 e escolhido ao acaso ao jogar umpar de dados e somando os resultados das faces superiores. Voce ganha 9 reaiscaso o resultado seja 2, 3, 11, ou 12, ou perde 10 reais se o resultado e 7. No casocontrario a estas duas situacoes, voce nao perde ou ganha nada. Se ξ denota ovalor ganho (ou perdido) no jogo, quais sao as probabilidades P (ξ > 0) e P (ξ < 0)?

Exercıcio 65. Seja X uma v.a. discreta com distribuicao de probabilidade dadapor

P (X = x) =

c2−x, x ∈ N,0, x ∈ N.

onde N = 0, 1, 2, . . ., e N e o complemento de N. Determine: (i) O valor daconstante c; (ii) P (X ≤ 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser empar).

Exercıcio 66. Considere o laneamento de dois dados simultaneamente. Paracada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), ∀x ∈ Im(X): (i) X:maior valor observado no laneamento dos sois dados. (ii) X e a soma dos valoresobservados. (iii) X e o produto dos valores observados. (iv) X e a diferenea entreo maior valor observado e o menor valor observado.

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Exercıcio 67. Seja X uma v.a. cuja funcao de distribuicao e dada por

F (x) =

0, x < 0,

1/3, 0 ≤ x < 1,

1/2, 1 ≤ x < 2,

1, x ≥ 2.

Calcular: P (12≤ X ≤ 3

2), P (1

2≤ X < 3

2), P (1

2≤ X ≤ 1), P (1

2≤ X < 1),

P (1 < X < 2), P (1 ≤ X ≤ 2) e P (X > 1).

Exercıcio 68. Cinco bolas sao selecionadas aleatoriamente sem reposicao de umaurna contendo N bolas numeradas de 1 ate N , N > 5. Seja X a v.a. que denotao maior valor selecionado, determine a funcao de distribuicao de X.

Exercıcio 69. Quais sao os valores da constante C para que as seguintes funcoessejam distribuicoes nos inteiros positivos 1, 2, . . .?(i) Geometrica: P (X = x) = C2−x.(ii) Logaretmica: P (X = x) = C2−x/x.(iii) Quadratica inversa: P (X = x) = Cx−2.(iv) Poisson “modificada”: P (X = x) = C2x/x!.

Exercıcio 70. Seja Ω = ω1, ω2, ω3, com P(ω1) = P(ω2) = P(ω3) = 13. Defina

X, Y, Z : Ω → R tal que

X(ω1) = 1, X(ω2) = 2, X(ω3) = 3,

Y (ω1) = 2, Y (ω2) = 3, Y (ω3) = 1,

Z(ω1) = 2, Z(ω2) = 2, Z(ω3) = 1.

Mostrar que X e Y tem as mesmas distribuicoes. Encontra a funcoes de distri-buicao de X + Y , XY , e X/Y .

Exercıcio 71. SejaX uma v.a. definida em (Ω,A ,P), e a uma constante. Mostrarque(i) aX e uma variavel aleatoria,(ii) X −X = 0 e uma variavel aleatoria sempre igual a cero, e X +X = 2X.

Exercıcio 72. Seja X uma v.a. com funcao de distribuicao F . Qual e a distri-buicao de Y = aX + b, onde a e b sao constantes (∈ R)?

Exercıcio 73. Seja X uma v.a. e seja g : R → R uma funcao continua e estrita-mente crescente. Mostrar que Y = g(X) e uma v.a.

Exercıcio 74. O laneamento de uma moeda resulta em cara com probabilidadep. A moeda e laneada ate aparecer a primeira cara. Seja X o numero total delaneamentos, qual e a probabilidade P (X > m)? Encontrar a funcao de distri-buicao de X.

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Exercıcio 75. Expressar as funcoes de distribuicao de

X+ = max0, X, X− = min0, X, |X| = X+ +X−, −X,

em termos da funcao de distribuicao F da v.a. X.

Exercıcio 76. Seja X uma variavel aleatoria com densidade dada por

f(x) =

a(1 + x) se 0 < x ≤ 1,

2/3 se 1 < x ≤ 2,

0 caso contrario.

(i) Obtenha o valor de a. (ii) P (1/2 < X < 3/2).

Exercıcio 77. †† Seja OA um segmento de R de comprimento a. Escolhem-sedois pontos P1 e P2 em OA de forma aleatoria e idependente. Denote por X1 e X2

os omprimentos dos segmentos OP1 e OP2 respectivamente. Dentre P1 e P2 sejamY1, o ponto mais proximo da O, e Y2, o ponto mais proximo a A. Sejam M1 e M2

os comprimentos dos segmentos OY1 e OY2 respectivamente. (i) Calcule a funcaode distribuicao da variavel aleatoria M = distancia entre P1 e P2. (ii) encontre adensidade de M . (iii) Determine a probabilidade de que com tres segmentos OY1,Y1Y2 e Y2A seja possıvel construir um triangulo. [Sugestoes: observe que X1 e X2

sao variaveis aleatorias independentes distribuıdas uniformemente em [0, a], logo(X1, X2) tem distribuicao uniforme no quadrado Q = [0, a] × [0, a]. Alem disso,M1 = mınX1, X2, M2 = maxX1, X2 e M = M2 −M1 = |X1 −X2|.]Exercıcio 78. † Considere um circulo de raio r na origem. Suponha que um pontodo circulo e escolhido ao acaso de maneira uniforme (ou seja, regioes da mesmaarea tem a mesma chance de conter o ponto).

x

y

(ξ1, ξ2)

r

Se ξ1 e ξ2 denotam as coordenadas do ponto escolhido, entao a densidade conjuntade (ξ1, ξ2) e

fξ1,ξ2(x, y) =

c se x2 + y2 ≤ r2

0 se x2 + y2 > r2.

para algum c > 0. (i) Determine o valor da constante c. (ii) Encontre as distri-buicoes marginais de ξ1 e ξ2. (iii) Seja D =

√ξ21 + ξ2

2 (a distancia de (ξ1, ξ2) aorigem). Calcule P (D ≤ a). (iv) Calcule E[D].

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7 Esperanca matematica e variancia

Exercıcio 79. Mostre, para toda variavel aleatoria X discreta, que: (i) Se existeuma constante α tal que P (X ≥ α) = 1, entao E[X] ≥ α. (ii) Se existe umaconstante β tal que P (X ≤ β) = 1, entao E[X] ≤ β. Se X ≤ Y , isto e, w ∈ Ω :X(w) ≤ Y (w), entao E[X] ≤ E[Y ].

Exercıcio 80. Seja X uma variavel aleatoria com E[X2] < ∞ e sejam a e bconstantes reais. Mostrar que Var(aX+b) = a2Var(X). [pode comeear mostrandoque Var(X + b) = Var(X).]

Exercıcio 81. Considere dois lancamentos consecutivos de um dado. Seja o Xnumero de vezes em que e obtida a face 1, x = 0, 1, 2; Y o numero de vezes emque e obtida a face 6, y = 0, 1, 2; e Z = X + Y o numero de vezes em que apareceou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z).Sera verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)?

Exercıcio 82. Para um grupo de n pessoas, determine o numero esperado de diasdo ano que sao aniversario de exatamente k pessoas, k ≤ n. [Dica: suponha que oano tem 365 dias e que todos os arranjos sao equiprovaveis.]

Exercıcio 83. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a portade sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determinea media e a variancia do numero de tentativas se (i) as chaves incorretas saodescartadas e, consequentemente, nao mais selecionadas; (ii) as chaves incorretasnao sao separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas umachave consegue abrir a porta.

Exercıcio 84. Uma urna contem bolas numeradas de 1 a N . Uma pessoa retirauma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta formaate obter uma bola pela segunda vez, isto e, ate obter uma bola ja retirada anteri-ormente. Seja X o numero total de extracoes necessarias para obter esta repeticao,(i) obtenha a distribuicao de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que

E[X] = 2 +(1− 1

n

)+

(1− 1

n

)(1− 2

n

)+ . . .+

(1− 1

n

)(1− 2

n

)· · ·

(1− n− 1

n

)Exercıcio 85. Cada membro de um grupo de n jogadores lanea um dado (se umavez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo laneamentotem o mesmo resultado, encontrar a media e a variancia do total de pontos dogrupo. (ii) Encontrar a media e a variancia dos pontos totais do grupo se qualquerpar de jogadores que laneam o mesmo numero k (k = 1, 2, . . . , 6), ganham kpontos.

Exercıcio 86. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m.Se as m pessoas sao selecionadas ao acaso, calcule o numero medio de cassaissobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.]

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Exercıcio 87. Mostrar que se Var(X) = 0 entaoX e constante; isto e, existe a ∈ Rtal que P (X = a) = 1. [Mostrar primeiro que se E[X2] = 0 entao P (X = 0) = 1.]

Exercıcio 88. Seja X uma v.a. discreta e g : R → R. Mostrar que

E[g(X)] =∑

x

g(x)P (X = x)

se a soma existe.

8 Esperanca condicionada

Exercıcio 89. Mostrar as seguintes propriedades da esperanca condicionada(i) E[aY + bZ|X] = aE[Y |X] + bE[Z|X], a, b ∈ R.(ii) E[Y |X] ≥ 0 se Y ≥ 0.(iii) E[1|X] = 1.(iv) Se X e Y sao independentes, entao E[Y |X] = E[Y ].(vi) E[Y g(X)|X] = g(X)[Y |X] para qualquer funcao g apropriada.(v) EE[Y |X,Z]|X = E[Y |X]

9 Independencia de variaveis aleatorias

Exercıcio 90. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1com probabilidade 1/2. Seja Z = XY . Mostrar que X, Y e Z sao independentesa pares. Serao as tres independentes?

Exercıcio 91. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos inteiros positivose com a mesma distribuicao P (X = x) = 2−x, x = 1, 2, . . .. Encontrar

(i)P (minX,Y ≤ x). (ii)P (Y > X).

(iii)P (X = Y ). (iv)P (X ≥ kY ), k inteiro positivo.

(v)P (X divide Y ). (vi)P (X = rY ), r racional positivo.

Exercıcio 92. Tres jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo aordem ABC, ABC, A . . . (i) Mostrar que a probabilidade de que A seja o primeiroem lanear um 6, logo B e finalmente tambem C e 216/1001. (ii) Mostrar que aprobabilidade de que o primeiro 6 seja laneado por A, o segundo por B, e o terceiropor C e 46656/753571.

Exercıcio 93. (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R →R. Mostrar que g(X) e h(Y ) sao independentes.(b) Mostrar que duas v.a. X e Y sao independentes se, e somente se, P (X =x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) para todo x ∈ Im(X), y ∈ Im(Y ).(c) Mais geralmente, mostrar que X e Y sao independentes se, e somente se,P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma funcao de xe outra de y.

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10 Extras

Exercıcio 94. Definimos a funcao geradora de probabilidade da variavel aleatoriaX (inteira nao-negativa) como sendo

ϕX(t) = E[tX ], t ∈ R.

(i) Verifique que ϕX(t) = φX(log(t)) e que φX(t) = ϕX(et), onde ϕX(t) e a funcaogeradora de momentos de X. (ii) Mostre que

dϕX(t)

dt

∣∣∣t=1

= E[X],

dnϕX(t)

dtn

∣∣∣t=0

= n!P (X = n).

Exercıcio 95. Seja X uma variavel aleatoria. A funcao caracterestica de X e afuncao ψ : R → C dada por

ψX(t) = E[eitX ],

onde i =√−1. Lembrando que eitX = cos(tX) + isen(tX) e |a + bi|2 = a2 +

b2, verifique que a funcao caracterestica e limitada por 1, isto e, |ψX(t)| ≤ 1,∀ t ∈ R. A funcao caracterestica de v.as. e de grande importancia em teoria dasprobabilidades, dentre outros motivos, por ser limitada e portanto sempre existir.[Os pre-requisitos adotados nao permitem tratar da funcao caracterestica nessecurso!]

11 Modelos Probabilısticos Discretos

Exercıcio 96. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhiasao defeituosos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (istoe, a fracao nao-conforme de parafusos na producao e 0,01). A companhia vendeos parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolucaodo dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dezparafusos. (i) Qual a proporcao de pacotes vendidos para os quais a companhiadeve efetuar devolucao de dinheiro? (ii) Supondo que o numero de parafusosdefeituosos num determinado pacote e independente dos demais pacotes, qual aprobabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha queretornar a companhia para devolucao do dinheiro?

Exercıcio 97. Suponha que o numero de erros tipograficos em uma unica paginade um livro tem distribuicao Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existirexatamente dois erros tipograficos em uma pagina. (ii) Calcule a probabilidade deque exista pelo menos um erro em uma pagina. (iii) Suponha agora que o livro emquestao possui 200 paginas. Qual a probabilidade de nao existir erros tipograficosneste livro?

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Exercıcio 98. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por umamaquina seja defeituoso e 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra dedez itens contera no maximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidospelas distribuicoes binomial e Poisson.

Exercıcio 99. Seja X uma variavel aleatoria com distribuicao Poisson(λ). Deter-mine P (X ∈ A), onde A = 0, 2, 4, . . ..Exercıcio 100. Considere X ∼ Poisson(λ). (i) Mostre que E[Xn] = λE[(X +1)n−1]. (ii) Calcule E[X4]. (iii) Determine E[X!] para 0 < λ < 1. (iv) DetermineE[cos(πX)] e Var(cos(πX)).

Exercıcio 101. Seja X uma variavel aleatoria binomial com parametros n e p.Mostre que P (X = k) atinge o valor maximo para k = [(n + 1)p] ([x] denota omaior inteiro menor ou igual a x).

Exercıcio 102. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidadep de sucesso, 0 < p < 1, sao realizados ate que um total de R sucessos sejaacumulado. Seja X o numero de ensaios necessarios para se obter o total deR sucessos. Determine a distribuicao de X (dizemos, neste caso, que X possuidistribuicao binomial negativa com parametros R e p).

Exercıcio 103. Considere a variavel aleatoria X do exercecio anterior. DetermineE[X] e Var(X). [Observe que X = Y1 + Y2 + . . . + YR, onde Yi tem distribuicaogeometrica de parametro p, 1 ≤ i ≤ R.]

Exercıcio 104. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em sucessocom probabilidade p, sao realizados indefinidamente, qual a probabilidade de queR sucessos ocorram antes de M fracassos?

Exercıcio 105. Sejam X e Y variaveis aleatorias binomiais com parametros (n, p)e (m, p), respectivamente. (i) Determine a distribuicao de X + Y . (ii) Determinea distribuicao condicional de X dado X + Y = n.

Exercıcio 106. Sejam X e Y variaveis aleatorias Poisson com parametros λ e µ.Mostrar que: (i) X+Y e Poisson(λ+µ), (ii) a distribuicao condicional de X dadoX + Y = n e binomial. Encontrar os parametros da distribuicao em (ii).

Exercıcio 107. Se X ∼ geometrica, entao P (X = n + k|X > n) = P (X = k)para k, n ≥ 1. (i) Isto e interpretado como perda de memeria, por que? (ii) Mostreque nao existe outra distribuicao nos inteiros com esta propriedade.

Exercıcio 108. Uma urna contem N bolas das quais b sao azuis e r (= N−b) saovermelhas. Uma amostra aleatoria de n bolas e retirada sem reposicao da urna.Mostrar que o numero B de bolas azuis na amostra da distribuicao

P (B = k) =

(b

k

)(N − b

n− k

)/(N

n

).

Esta distribuicao e a distribuicao hipergeometrica com parametros N , b e n.

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Exercıcio 109. †† (i) Mostrar que se X toma valores inteiros nao negativos, entao

E[X] =∞∑

n=0

P (X > n).

(ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas sao removidas aoacaso ate aparecer a primeira bola azul. Mostrar que o numero esperado de bolasremovidas e (b+ r + 1)/(b+ 1).

Exercıcio 110. † Em 1710, J. Arbuthnot observou que o numero de meninos nas-cidos em Londres superou ao numero de meninas em 82 anos sucessivos. Supondoque os dois sexos podem ocorrer na mesma proporcao, e que 2−82 e pequeno, Ar-buthnot atribuiu a diferenca observada a Providencia Divina. Suponhamos que onascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante emcada nascimento e independente dos outros. (i) Mostrar que a probabilidade deque a menimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos e(

2n

n

)pnqn q

q − p.

onde q = 1− p. (ii) Suponha que nasceram 20.000 pessoas em 82 anos sucessivos.Mostrar que a probabilidade de que os meninos superem o numero de meninas emcada ano e ao menos 0,99.

Exercıcio 111. Sejam X e Y variaveis aleatorias Bernoulli(1/2) independentes.Mostrar que X + Y e |X − Y | sao dependentes mas nao correlacionadas.

12 Modelos Probabilısticos Contınuos

Exercıcio 112. Se X e uniformemente distribuıda no intervalo (0,20), calcule aprobabilidade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) |X − 3| < 4.

Exercıcio 113. Se X e uma variavel aleatoria normal com µ = 3 e σ2 = 9,determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0).

13 Suplementos

13.1 Conjuntos enumeraveis

Denotamos por Q os numeros racionais, logo [0, 1] ∩ Q, sao os numeros racionaisem [0, 1]. Se agrupamos estes numeros de acordo aos denominadores comuns, estespodem ser ordenados da seguinte maneira

0, 1,1

2,1

3,2

3,1

4,2

4,3

4,1

5,2

5,3

5,4

5,1

6, . . .

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O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8, . . . nao tem importancia(podemos omitir qualquer numero que ja esteja na sequencia de tal forma que cadaracional em [0, 1] seja obtido de uma unica forma).

Definicao 1. Um conjunto e enumeravel se os seus elementos podem ser dispostosem uma sequencia (permitindo repeticoes).

Teorema 1. Q e enumeravel.

A demonstracao deste Teorema utilizara o seguinte resultado.

Proposicao 1. A uniao de uma sequencia de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Demonstracao. 2 Se os conjuntos sao denotados por Si = sij, i, j > 1, entao osterminos da sequencia

s11, s12, s21, s31, s22, s13, s14, . . .

formada ao seguir as frechas no desenho

S1 s11,""s12, s13,@@

""s14,

. . .

S2 s21,

s22,@@

s23,

s24, . . .

S3 s31, s32,

s33, s34, . . .

S4 s41, s42, s43, s44, . . .

contam (possıvelmente com repeticoes) todos os elementos de todos os conjuntosSi. Portanto a uniao ∪iSi e enumeravel.

Para provar o Teorema 1, e suficiente tomar S1, S2, S3, S4, . . ., como os conjun-tos formados pelos numeros racionais nos intervalos [0, 1], [−1, 0], [1, 2], [−2,−1],. . . respectivamente. Por que sera que que os racionais em [0,1] sao enumeraveis?(Exercecio).

Teorema 2. R nao e enumeravel.

Demonstracao. 3 Mostraremos apenas que os numeros reais em (0, 1) nao saoenumeraveis. Seja sn uma sequencia arbitraria dos numeros reais no intervaloaberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um numeroreal que nao corresponde a nenhum dos numeros sn. Observamos que os numerossn podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansao

2O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento ‘diagonal’, e devido a GeorgCantor.

3Esta prova tambem e devida a G. Cantor.

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decimal, por exemplo, o numero 4,291. . . pode ser escrito como 4+2/10+9/102 +1/103 + . . .. Em geral qualquer numero s ∈ R pode ser expressado pela serie

s = a+∞∑

k=1

ak

10k= a, a0a1a2

onde ak ∈ 0, 1, . . . , 9, e a e a parte inteira de s. Esta representacao e consistentese, por exemplo, sempre e utilizado o numero 0, 1999 . . . em lugar de 0, 2000 . . .para 1/5. Seja

s1 = 0, a11a12a13 . . .

s2 = 0, a21a22a23 . . .

s3 = 0, a31a32a33 . . .

...

Se ann 6= 1 seja bn = 1 e se ann = 1 seja bn = 2. Isto define bn para qualquer n > 1.Devido a construcao realizada, a expansao decimal sem fim

0, b1b2b3 . . .

converge a um numero real b em (0, 1) o qual e diferente de qualquer sn, sendo quea sua expansao difere da expansao de sn na n-esima posicao. Suponhamos, porexemplo, que a nossa listagem sn e dada pelos numeros

s1 = 0.23115 . . .s2 = 0.13789 . . .s3 = 0.83161 . . .s4 = 0.91152 . . .

logo

a11 = 2 6= 1 ⇒ b1 = 1a22 = 3 6= 1 ⇒ b2 = 1a33 = 1 ⇒ b3 = 2a44 = 5 6= 1 ⇒ b4 = 1

Assim b = 0, 1121 . . . ∈ (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = sN , paraalgum N ∈ N, mas a expansao decimal de b difere da expansao de sN no N -esimodecimal. Concluemos que nao e possıvel dispor numa sequencia todos os numerosem (0,1), isto e, R nao e enumeravel.

Exercıcio 114. Sera que o Teorema 1 e o Teorema 2 juntos permitem determinarse o conjunto dos numeros irracionais e enumeravel o nao? (Qual e a definicao deum numero irracional?)

Exercıcio 115. Considere o espaeo amostral Ω = 0, 1N. Isto e, Ω tem eventoselementares ωk, k ≥ 1, da forma ωk = (a1, a2, a3, . . .), onde ai ∈ 0, 1 para i ∈ N(ou seja, Ω contem todas as sequencias infintas de 0’s e 1’s). Sera Ω enumeravel?[Dica: revise cuidadosamente o Teorema 2]

Exercıcio 116. Seja N o conjunto dos numeros naturais e S1, S2, S3 uma sequenciados subconjuntos de N. Construa uma sequencia de N que seja diferente de Sn

para cada n ≥ 1. (Voce estara demonstrando que todos os subconjuntos de Nformam um conjunto nao enumeravel!)

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13.2 σ-algebras

Por que necessitamos de uma σ-algebra? Mais especificamente, por que nao pode-mos simplesmente considerar todos os possıveis subconjuntos de Ω para definir P?Do exercıcio ?? sabemos que isto e possıvel quando Ω e enumeravel, porem comoveremos a continuacao isto nao acontece se Ω nao e enumeravel.

Considere Ω = [0, 1] (obviamente nao enumeravel, veja a demosntracao doTeorema 2), e suponha que temos interesse em definir uma probabilidade P nesteconjunto. Seguindo a prescricao usual, fazemos

P([0, 1]) = P(Ω) = 1. (1)

Se assumimos que P e simetrica, entao P([0, 12]) = 1

2, ou, por exemplo, P([3

4, 7

8]) = 1

8.

Mais geralmente, sob simetria,

P([a, b]) = b− a, 0 ≤ a ≤ b ≤ 1. (2)

Assim, em particular, se a = b, entao

P([a, a]) = P(a) = 0. (3)

Pelo outro lado, se [a′, b′] e [a, b] sao dois conjuntos disjuntos de [0, 1], entao ime-diatamente de (2) temos que

P([a′, b′] ∪ [a, b]

)= P([a′, b′]) + P([a, b]), (4)

isto e, P e finitamente aditiva.E possıvel estender P a operacoes enumeraveis (estas permitem calcular as

probabilidades de operacoes infinitamente delicadas como um limite). Sejam Ai =[ai, bi], i = 1, 2, . . . um conjunto enumeravel de intervalos disjuntos de [0, 1], entao

P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = P(A1) + P(A2) + . . . (5)

Neste caso dezimos que P e enumeravelmente aditiva. Observamos agora que naoe possıvel estender P a unioes nao enumeraveis, pois claramente

P([0, 1]) =∑

x∈[0,1]

P(x)

e uma contradicao uma vez que lado esquerdo e 1, porem o lado direito e 0.Suponhamos que os conjuntos Ai em (5) formam uma particao de Ω, isto e, Ω =∪∞i=1Ai. E importante ressaltar que neste caso nao ha nenhum problema pois ointervalo [0, 1] e uma uniao enumeravel.

Seja A = [a, b]. Sob simetria de P, observamos que se transladamos A poruma quantidade fixa τ , a probabilidade do intervalo transladado devera ser iguala probabilidade do intervalo original. Denotamos a translacao de A por τ como

A⊕ τ = a+ τ : a ∈ A, a+ τ ≤ 1 ∪ a+ τ − 1 : a ∈ A, a+ τ > 1,

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assim,P(A⊕ τ) = P(A) (6)

O preximo resultado mostra que nao e possıvel definir uma probabilidade Psobre todos os conjuntos de [0, 1], se desejamos que esta seja consistente com aspropriedades (2), (5) e (6). Equivalentemente, existem conjuntos em [0,1], aosquais nao podemos outorgar um valor de probabilidade de maneira consistente, sequeremos que a probabilidade satisfaga as condicoes (2), (5) e (6).

Proposicao 2. Nao e possıvel definir uma probabilidade P, a qual satisfaz simul-taneamente (2), (5) e (6).

Demonstracao. Suponhamos que P(A) pode ser definida para qualquer conjuntoA ⊆ [0, 1]. Consideramos primeiro a seguinte relacao de equivalencia em [0, 1].Sejam x e y pontos em [0, 1], entao x ∼ y se e somente se y − x e racional. Estarelacao determina uma particao em [0, 1] de classes de equivalencia. Seja H umconjunto de [0, 1] o qual consiste de um elemento de cada uma destas classes deequivalencia (e possıvel formar este conjunto pelo axioma da escolha; um resultadofundamental da teoria dos conjuntos). Suponhamos que 0 6= H (se 0 ∈ H, entaopodemos substitui-lo por 1/2).

Sendo que H contem um elemento de cada uma das classes de equivalencia,observamos que cada ponto em (0, 1] esta contido na uniao⋃

τ ∈ [0,1)τ racional

(H⊕ τ)

das translacoes de H. Dado que H contem se um ponto de cada classe de equi-valencia, entao os conjuntos H ⊕ τ para τ ∈ [0, 1) racional sao todos disjuntos.Assim, da aditividade enumeravel temos que

P((0, 1]

)=

∑τ ∈ [0,1)

τ racional

P(H⊕ τ).

Porem, da invariancia por translacao temos que P(H⊕ τ) = P(H), logo

1 = P((0, 1]

)=

∑τ ∈ [0,1)

τ racional

P(H),

o qual implica a seguinte contradicao: uma soma enumeravel (infinita) da mesmaquantidade se pode ser igual a 0, ou ∞, ou ∞, mas nunca igual a 1.

Exercıcio 117. Mostre que a relacao ∼ definida em [0, 1] e uma relacao de equi-valencia.

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