JoaqunPerezMunozGeometrayTopologaIntroduccionEstos son los apuntes dela asignatura GeometrayTopologa, obligatoria decuartocursodelaLicenciaturadeMatematicas delaUniversidaddeGranada.Sondelibre distribucion, y pueden bajarse de la pagina webhttp://www.ugr.es/local/jperez/Estan basados en apuntes previos del profesor Francisco Urbano, y en ellos encontraras losenunciados y demostraciones de los resultados contenidos en el programa de la asignatura,distribuidos por temas tal y como esta se estructuro y aprobo en Consejo de Departamento.Algunasveces, lasdemostracionesestanresumidasydejanqueel lectorcompruebelosdetalles como ejercicio. Ademas de estos, al nal de cada tema hay una relacion de ejerciciospropuestos.Como siempre en estos casos, los apuntes no estaran libres de errores, y es labor con-junta del autor y de los lectores mejorarlos, un trabajo que nunca se termina. Si encuentrasalg un error, por favor enva un e-mail a la direccion de correo electronico jperez@ugr.esTodo lo quese dice enlos apuntes puedeencontrarse, a menudo explicado con mas pro-fundidad, en numerosos textos basicos. Son recomendables los siguientes:G. E. Bredon,TopologyandGeometry, Springer-Verlag 1993.C. Godbillon,ElementsdeTopologieAlgebrique, Hermann 1971.J. Lafontaine, IntroductionauxVarietesDifferentielles, Presses Universi-taires de Grenoble 1996.G. L. Naber, Topology, Geometry, and Gauge Theory, Springer-Verlag 2000.M. Spivak, A comprehensiveintroduction to DifferentialGeometry I-V,Publish or Perish (1979).F. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, Scott-Foresman (1971).Granada,septiembrede2007Joaqun Perez Mu noziiiIndicegeneral1. VARIEDADES DIFERENCIABLES 11.1. Subvariedades del espacio Eucldeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Concepto de variedad diferenciable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3. Aplicaciones diferenciables. Difeomorsmos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4. Espacio Tangente. Diferencial de una aplicacion. . . . . . . . . . . . . . . . 231.5. Difeomorsmos locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342. CAMPOS YFORMAS DIFERENCIABLES 432.1. Campos de Vectores.Algebra de Lie de los campos de vectores. . . . . . . . 432.2. 1-formas diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.3. Algebra exterior. Formas diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.4. Orientacion en variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.5. Integracion de formas sobre variedades orientadas. . . . . . . . . . . . . . . 673. DIFERENCIACION EXTERIOR.TEOREMADESTOKES 833.1. La diferencial exterior. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.2. Dominios con borde en una variedad orientada. . . . . . . . . . . . . . . . . 873.3. El teorema de Stokes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 893.4. Campos y formas en abiertos de R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974. COHOMOLOGIADEde RHAM 1054.1. Espacios de cohomologa de de Rham. Lema de Poincare. . . . . . . . . . .1064.2. Invarianza homotopica de la cohomologa de de Rham. . . . . . . . . . . . .1074.3. La sucesion de Mayer-Vietoris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1114.4. Cohomologa de la esfera y el espacio proyectivo real. . . . . . . . . . . . . .1204.5. Cohomologa de grado maximo. Clase fundamental. . . . . . . . . . . . . . .1264.6. Grado de aplicaciones diferenciables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129iiiCaptulo1VARIEDADESDIFERENCIABLES1.1. SubvariedadesdelespacioEucldeo.Recordemos de cursos anteriores el concepto de supercie:Denicion1.1.1Una supercie (regular) es un subconjuntoS R3tal quepara cadap SexistenunabiertoUR2, unentornoabiertoV de penR3yunaaplicacionX : U R3diferenciable (en el sentido del Analisis) vericando:1. X : U V Ses un homeomorsmo.2. La diferencialdXq : R2R3es inyectiva para todoq U.Recordemos que el cambio de parametros en una supercie es de clase C en una superciedeR3, comoconsecuenciadel TeoremadelaFuncionInversa. Estaventajaprocedede que lassupercies vivenenunambienteeucldeo; sinembargocuandoestudiemosvariedades diferenciables sin apoyarnos en espacios ambientes mayores, no contaremos conesta ventaja y tendremos de imponer la diferenciabilidad del cambio de cartas.Generalizamosloanterioracualquierdimensionycodimensionenunambienteeu-cldeo:Denicion1.1.2Una subvariedad de dimensionn de Rkes un subconjuntoM Rktalque para cadap Mexisten un abiertoU Rn, un entorno abiertoVdep en Rky unaaplicacion diferenciableX : U Rkvericando:1. X : U V Mes un homeomorsmo.2. dXq : RnRkes inyectiva para todoq U.12 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESA la aplicacion Xanterior se la llama parametrizacion local deMalrededor dep.Usaremos la notacion Mnpara indicar que la dimension de M es n. Observemos que lacondicion 2 anterior dice que n k. Al entero no negativo kn se le llama la codimensionde la subvariedad. Cuandon = k 1, llamamos aMuna hipersupercie de Rk. Tambienconviene poner demaniestoquetodoabiertode unasubvariedadMndeRkes unasubvariedad de Rkde la misma dimensionn.Ejemplo1.1.1Grafodeunaaplicaci ondiferenciable.SeaF: O Rknuna aplicacion diferenciable denida en un abierto O de Rn. Entonces,el grafo deFdenido porG(F) =_(x, F(x)) Rn Rkn Rk[ x O_es una subvariedad de dimensionn de Rk.Una sencilla utilizacion del teorema de la funcion inversa nos permite probar el sigu-iente resultado (ya conocido para supercies), el cual nos proporcionara gran cantidad deejemplos de subvariedades.Proposicion1.1.1SeaF: O Rp(k > p) una aplicacion diferenciable denida en unabiertoOde Rk,yseaa RpunvalorregulardeF(estoes, paratodox F1(a), ladiferencial dFx : RkRpes sobreyectiva). Si F1(a) ,= , entonces M := F1(a) es unasubvariedad de dimensionn = k p de Rk.Demostracion. Fijemos un punto p F1(a), y vamos a encontrar una parametrizacion deF1(a) alrededor dep. Seany = (y1, y2) = (y1, . . . , ykp, ykp+1, . . . , yk) las coordenadasanes respecto a un sistema de referencia afn de Rkcentrado en p. Denimos H(y1, y2) =(y1, F(y)) Rkp Rpen unentorno de(0, 0) p en Rk.Entonces, H(0, 0) = (0, a) RkpRpydH(0,0) =_IkpA(kp)p0p(kp)Bpp_,dondedFp =_AB_. Como dFp es sobreyectiva, el rango de esta ultima matriz es p luegoendFphayplaslinealmenteindependientes. Salvounapermutaciondelasveriablesy1, . . . , yk, podemos suponer que las p ultimas las de dFp son linealmente independientes,luegoBesunamatrizregular. Portanto, elrangodedH(0,0)esk,ydH(0,0)esuniso-morsmo.Porelteoremadelafuncioninversa, existenentornosabiertos deOdepenRkyH(O) de(0, a) Rkp Rpen Rktales queH[O: O H(O) esundifeomors-mo. Geometricamente, Hrectica OF1(a) llevandolo en puntos del subespacio afn1.1. SUBVARIEDADESDELESPACIOEUCLIDEO. 3y2= a de Rk. Mas concretamente, si y = (y1, y2) OF1(a) entoncesH(y) = (y1, a)yademas,y11(H(O)) donde1 : Rk Rkpla proyeccion sobre las primerask pcomponentes. Notese que1(H(O)) es abierto de Rkp, ya que 1 es una aplicacion abier-ta. Sin embargo, el recproco no tiene porque ser cierto, ya que si y1 1(H(O)) entoncesno tenemos asegurado que (y1, a) H(O), como puede verse en el dibujo siguiente:EsteproblematecnicopuedesolucionarsetomandoH(O)maspeque no: cambiamosH(O) por H(O)11_1(H(O) y2= a)(que es abierto de Rkporque H(O)y2= aes abierto en la topologa inducida en y2= a, donde 1 se restringe como difeomorsmoa Rkp), ydespues cambiamosOpor la imagen inversa medianteHdel nuevoH(O).Consideremos elabiertoU:=1(H(O)) Rkp. Deniendoy1X(y1) =H1(y1, a),tendremos la parametrizacion que buscamos. 2Ejemplo1.1.2Esferas.Seaa = (a1, . . . , an+1) Rn+1yr > 0. Entonces, el conjuntoSn(a, r) =_x = (x1, . . . , xn+1) Rn+1[n+1

i=1(xiai)2= r2_es una hipersupercie de Rn+1, a la que se llamaremos esfera de dimensionn, centroa yradior de Rn+1.En efecto, basta aplicar la Proposicion 1.1.1 a la aplicacionF: Rn+1 R dada porF(x1, . . . , xn+1) =

n+1i=1 (xiai)2.Ejemplo1.1.3Torosn-dimensionales.Seanr1, . . . , rn > 0. Entonces, el conjuntoTn=_(z1, . . . , zn) Cn R2n[ [zi[2= r2i, i = 1, . . . , n_es una subvariedad de dimensionn de R2n, a la que llamamos toro n-dimensional.En este caso aplicaremos la Proposicion 1.1.1 a la aplicacionF: R2n Rndada porF(z1, . . . , zn) = ([z1[2, . . . , [zn[2).4 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESEjemplo1.1.4Grupoortogonal.Sea /n(R) Rn2el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n con coecientesreales, y on(R) /n(R) el subespacio vectorial de las matrices simetricas (dimRon(R) =n(n+1)2). Entonces, la aplicacionF: /n(R) on(R) dada porF(A) = AAtes diferen-ciable (identicamos on(R) con Rn(n+1)2) y la matriz identidad In es un valor regular deF(ejercicio 5). Por tanto, el conjuntoO(n) =_A /n(R) [ AAt= In_es una subvariedad de dimensionn(n1)2de /n(R), a la que llamamos el grupo ortogonalde ordenn. Cada matriz ortogonal se corresponde con una isometra vectorial del espaciovectorial metrico (Rn, g0)ensmismo. Estas isometras vectoriales tienendeterminante1, y las que corresponden a rotaciones forman un subgrupo de ndice 2 (el grupo especialortogonal):SO(n) = A O(n) [ det A = 1.La continuidad de la aplicacion determinante nos dice queSO(n) es abierto y cerrado deO(n). Por tanto, SO(n) es tambien una subvariedad de /n(R) de dimensionn(n1)2.Ejemplo1.1.5Grupoespeciallineal.SeaGl(n, R) = A /n(R) [ det A ,=0elgrupolinealdeordenn,formadoporlasmatrices de automorsmos vectoriales de Rn. Como Gl(n, R) = det1(R0), deducimosqueGl(n, R) esunabierto delespacio eucldeo /n(R), ypor tanto esunasubvariedadn2-dimensional. Consideremos la aplicacion diferenciable det :Gl(n, R) R 0, cuyadiferencial es d detA(B)=det ATraza(BA1)(ejercicio10).Portanto,1esunvalorregular deFy la Proposicion 1.1.1 nos dice que el grupo especial lineal de ordennSl(n, R) = A /n(R) [ det A = 1 Gl(n, R)es una subvariedad de dimensionn2 1 deGl(n, R).Ejemplo1.1.6GrupoUnitario.Sea /n(C) Cn2R2n2el espaciovectorial complejodelasmatricescuadradasdeordenn con coecientes complejos. Entonces, el conjuntoU(n) =_A /n(C) [A At= In_es una subvariedad de dimensionn2de /n(C) (ejercicio 11), a la que llamamos el grupounitario de ordenn.1.1. SUBVARIEDADESDELESPACIOEUCLIDEO. 5Ejemplo1.1.7Grupoespecialunitario.El determinantedecadamatrizA U(n)esunn umerocomplejounitario.DentrodeU(n) podemos considerar las matrices con determinante 1:SU(n) = A U(n) [ det A = 1,que forma un subgrupo de U(n). Entonces, SU(n) es una subvariedad de dimension n21de /n(C), a la que llamamos el grupo especial unitario de ordenn. Quizas valga la penaexponeralgunos detalles de la demostracion de esta propiedad. Mucho de lo que viene acontinuacion esta contenido en el ejercicio 11.Llamamos o(n(C) = A /n(C) [ At=A, /(n(C) = A /n(C) [ At= A.Entonces, o(n(C), /(n(C) son subespacios vectoriales reales de /n(C) de dimensionn2y /n(C)= o(n(C) /(n(C)comoespaciosvectorialesreales. As, el grupounitarioes U(n) =F1(In)donde Ineslamatrizidentidaddeordenn, yFeslaaplicaciondiferenciable dada porF: /n(C) o((C), F(A) = A At.Entonces, dada A U(n) (grupo unitario), se tiene ker(dFA) = A ker(dFIn), de donde sededucefacilmente queInes un valor regular deF, y por tantoU(n) es una subvariedadde /n(C) de dimension (real) n2.Si queremos repetir los argumentos para dotar de estructura de subvariedad a SU(n),consideraremos la aplicacion F: /n(C) o(n(R)R dada porF(A) = (AAt, (det A)), (1.1)donde (z)denotalaparteimaginaria dez C. Esfacilcomprobarque F1(In, 0)=SU(n) SU(n), donde SU(n) = A U(n) [ det A= 1yque SU(n), SU(n)sonabiertosdisjuntosde F1(In, 0).Si dotamosa F1(In, 0)deestructuradesubvar-iedad(n2 1)-dimensional de /n(C), entoncestendremosqueSU(n)tambienesunasubvariedad (n2 1)-dimensional de /n(C), que es lo que queramos demostrar. Y paracomprobar que F1(In, 0) es una subvariedad (n2 1)-dimensional de /n(C), solo ten-emos que probar que (In, 0) es un valor regular de F. Tomemos A F1(In, 0). Entonces,dFA : /n(C) o(n(C)R viene dada pordFA(B) = (dFA(B), (d(det)A(B))) ,donde F(A) = AAt. La diferencial de la aplicacion determinante anterior se obtiene pasan-do a matrices complejas regulares la formula del ejercicio 10:d(det)A(B) = det A Traza(BA1) = Traza(BA1),6 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESdondehemosusadoque F(A)=(In, 0). AsquehayqueprobarquelaaplicacionB /n(C) _dFA(B), _Traza(BA1__essobreyectivasobre o(n(C)R. Probaremosesta sobreyectividad cuando det A = 1 (es decir, cuando el anterior es +), ya que el casodet A = 1 es similar.Dada (C, ) o(n(C)R, la sobreyectividad dedFAde /n(C) a o(n(C) nos pro-porcionaunamartiz B1/n(C) tal que dFA(B1) =C. Ahorahayque comprobarque sepuede elegirtal matriz B1deformaque _Traza(B1A1)_=. TodamatrizB B1 + ker(dFA)=B1 + A/(n(C)tambien cumpledFA(B)=C(yassontodaslassolucionesBdelaecuaciondFA(B)=C), luegolacuestionsereduceaencontrarD /(n(C) tal que_Traza_(B1 +AD)A1_= . (1.2)TomemosD /(n(C) a determinar. Entonces,_Traza_(B1 + AD)A1_= _Traza_(B1A1_+ [Traza (D)] .El primer sumando del miembro de la derecha anterior es un n umero real que no dependedeD. Por otro lado, el queD /(n(C) implica queTraza(D) =ipara alg un R,luegohayqueresolverlaecuacion= + con, Rdados, enlaincognita, ycon este = deniremos la matrizD /(n(C) que haga cierta la ecuacion (1.2).Porejemplo, tomaremosDcomolamatrizdiagonalcomplejadeordenncondiagonal(i, 0, . . . , 0). Esto prueba queSU(n) es una subvariedad de /n(C) de dimension n21.Proposicion1.1.2SeaMRkunasubvariedaddedimensionn. Paracadai=1, 2tomemos una parametrizacion Xi : Ui RnRkde M tal que O = X1(U1)X2(U2) ,= .Entonces,X12 X1 : X11(O) X12(O)es un difeomorsmo al que se llama cambio de parametros.Denicion1.1.3SeaM Rkuna subvariedad de dimensionn, yp M. Una funcionf:M R se llama diferenciable enp si existe una parametrizacionX:U Rn Rkconp X(U) tal quef X : U Rn R es diferenciable enX1(p).La independencia de la parametrizacion en la denicion anterior es consecuencia del cambiode parametros (Proposicion 1.1.2).1.2. Conceptodevariedaddiferenciable.Denicion1.2.1SeaMun espacio topologico. Una estructura diferenciable sobreMesuna familia T = (Ui, i)iI(aqu Ies cualquier conjunto de ndices) vericando1.2. CONCEPTODEVARIEDADDIFERENCIABLE. 71. UiiIes un recubrimiento por abiertos deM.2. Existe un entero n 1 tal que para todo i I, i es un homeomorsmo de Ui sobreun abierto de Rn.3. Sii, j IcumplenUi Uj ,= , entonces la aplicacionj 1i: i(Ui Uj) j(Ui Uj)es un difeomorsmo entre abiertos de Rn.4. Lafamilia Tes maximal,enelsentido deque Tcontienea todos los pares(U, )cumpliendo:a) Ues un abierto deMy un homeomorsmo sobre un abierto de Rn.b) Para todoi Ital queU Ui ,= , 1ies un difeomorsmo.Diremos que M(M, T) es unavariedaddiferenciablede dimensionn. Acadapar(U, ) Tse le llama entorno coordenado o carta de la variedad y a cada recubrimiento(nonecesariamentemaximal) (Ui, i)iIdeMporcartasde T, atlasdeM. Si aloscambios de coordenadas, esto es a los difeomorsmos del punto 3 anterior, solo le exigimosquesean difeomorsmos de claseCk(resp. analticos), a la estructura diferenciable se lellama de claseCk(resp. analtica). Como el cambio de cartas es un difeomorsmo entreabiertos del eucldeo,el teorema dela funcioninversa nos dicequela dimension deunavariedad esta bien denida (no depende de la carta ni del atlas diferenciable1).Nota1.2.1No hemos impuesto a nuestras variedades condiciones topologicas naturales,como ser Hausdor. La razon es que esto crea algunos problemas con cocientes (por ejem-plo,en laProposicion 1.3.3). Detodas formas,a partirde ciertomomento supondremosque todas las variedades que consideremos seran Hausdor y ANII (al probar la existenciade particiones de la unidad).Las siguientes armaciones son faciles de probar:Lema1.2.1(i) SeaMunespacio topologicoy / = (Ui, i)iIunatlassobreM.Entonces, existeuna unicaestructuradevariedaddiferenciablesobre Mquecontieneal atlas /.Representaremos a dicha estructura diferenciable por T(/) (estructura diferenciablegenerada por /).1Aqu usamosquelasvariedadessondeclaseCr, r 1. Si estudiamosvariedades C0(topologicas),nopodremoshacerusodel teoremadelafuncioninversa, sinodel teoremadeinvarianzadel dominiodeBrouwer,paraconcluirqueladimensiondeunavariedaddeclaseC0est abiendenida.8 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES(ii) Si /1 y /2 son dos atlas sobre el mismo espacio topologico, entonces T(/1) = T(/2)si y solo si para todo (U1, 1) /1 y (U2, 2) /2conU1U2 ,= ,2 11es undifeomorsmo.(iii)Toda subvariedad n-dimensional de Rkes una variedad diferenciable de dimension n.(iv) SeaMuna variedaddiferenciable de dimensionn con estructuradiferenciable T, yseaO un abierto deM. EntoncesTO = (V O, [VO) [ (V, ) Tdene una estructurade variedad diferenciable de dimensionn enO. En este caso,decimos queO es una subvariedad abierta deM.Por ejemplo, en R podemos considerar los atlas /1 = (R, 1R), /2 = (R, t3). Cadaunode ellos genera una estructura diferenciable sobre R, pero el cambio de cartas entre1R3 yt3no es diferenciable. Por tanto, T(/1) ,= T(/2) (ver ejercicio 1).Ejemplo1.2.1Seg unel punto(iii)anterior, todos losejemplos anteriormentevistosde subvariedades del eucldeosonvariedades diferenciables. Estose aplicaalaesferaSn=Sn(1) Rn+1. Acontinuacionpresentamosunatlassobrelaesfera: Paracadai = 1, . . . , n + 1, seanU+i= (x1, . . . , xn+1) Sn[xi> 0, Ui= (x1, . . . , xn+1) Sn[xi < 0.Claramente,U+i, Uison abiertos de Sny Sn= n+1i=1 (U+i Ui). Si Dn Rnes el discoabierto centrado en el origen y de radio 1, consideramos las aplicacionesi: UiDn, i (x1, . . . , xn+1) = (x1, . . . , xi, . . . xn+1),donde xisignica que omitimos esa coordenada.ies claramente continua, con inversa(i)(y1, . . . , yn) =__y1, . . . , yi1, _1 n

i=1y2i, yi, . . . , yn__, (y1, . . . , yn) Dn.Como (i) tambien es continua, deducimos queies un homeomorsmo. Es facil com-probarqueel cambio decartas esdiferenciable, ypor tanto / = (Ui, pmi)n+1i=1esunatlas diferenciable sobre Sn, que genera la estructura diferenciable estandar sobre esta. Enel ejercicio 17 se deneotro atlas diferenciable sobre Snque genera la misma estructuradiferenciable, esta vez basado en proyecciones estereogracas.1.2. CONCEPTODEVARIEDADDIFERENCIABLE. 9Ejemplo1.2.2Variedadesproducto.SeanMn, Nmvariedadesdiferenciables. Si /M, /Nson atlas diferenciables sobreM, N,entonces podemos construir un atlas diferenciable sobreMNmediante las cartas pro-ducto:Dadas(U, ) /M,(V, ) /N, consideramosel homeomorsmo (tomamos enM Nla topologa producto) : UV (U) (V ) Rn+m.Los cambios de cartas son diferenciables, y / = (UV, ) [ (U, ) /M, (V, ) /Nformanunatlas diferenciable(no maximal) sobreMN. Ala estructura diferenciablegenerada por / sobreMNse le llama estructura producto.Ejemplo1.2.3EspacioProyectivoReal (modelo de Rn+1 0).En Rn+1 0 se considera la relacion de equivalenciaR dada porxRy R 0 tal quey = x.Al espacio cociente RPn= (Rn+1 0)/R se le llama espacio proyectivoreal de dimen-sionn. EnRPnconsideramoslatopologacociente, quehacedelaproyeccionnatural : Rn+10 RPnuna identicacion (es la mayor topologa en RPnque hace continuaa ).Para cadai 1, . . . , n + 1 seaOi el abierto deRn+10 denido porOi = (x1, . . . , xn+1) Rn+1[xi ,= 0.Como 1((Oi)) =Oi(es decir,Oies un abierto saturado), el conjuntoVi = (Oi) esun abierto de RPn. Consideremos la aplicacion i : Vi Rndada pori((x1, . . . , xn+1)) =_x1xi, . . . , xi1xi, xi+1xi, . . . , xn+1xi_.Entonces, (Vi, i)1in+1deneunatlas sobre RPnqueloconvierteenunavariedaddiferenciable de dimensionn.Si i : Sn Rn+1 0 representa la inclusion y : Sn RPnes la aplicacion dadapor = i, entonces(Sn) = RPn. En particular, RPnes una variedad compacta. Masadelante veremos como describir RPna partir de Sn, mediante la accion del grupo Z/2Z.Ejemplo1.2.4Espacioproyectivocomplejo.El espacio proyectivo complejo CPnse dene de forma analoga al caso real, tomando enCn+1 0 = R2n+20 la relacion de equivalenciazRzt C 0 tal quezt = z.10 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESAlespacio cociente CPn= (Cn+1 0)/R sele llama espacioproyectivocomplejo. Lascartas de un atlas diferenciable sobre CPnse denen de forma similar al caso real: primeroconsideramosen CPnconsideramoslatopologa cociente,queconviertealaproyeccion : Cn+1 0 CPnen una identicacion. Para cadai 1, . . . , n + 1 se deneOi = (z1, . . . , zn+1) Cn+1[zi ,= 0.Entonces,Vi = (Oi) es un abierto de CPn, y la aplicacion i : Vi Cn R2ndada pori ((z1, . . . , zn+1)) =_z1zi, . . . , zi1zi, zi+1zi, . . . , zn+1zi_dene un atlas (Vi, i)1in+1 sobre CPn, que lo convierte en una variedad diferenciablededimension2n. LoscambiosdecartanosonsolodifeormorsmosdeclaseC, sinodifeomorsmos analticos (holomorfos) en el sentido de la variable compleja, lo que hace queCPntenga una estructura de variedad compleja de dimensionn, aunque no estudiaremosvariedades complejas en este curso.1.3. Aplicacionesdiferenciables.Difeomorsmos.Denicion1.3.1SeanMnyNmdos variedades diferenciables y p M. Una aplicacionF: M Nse dice diferenciable enp si para cualquier carta (V, ) deNconF(p) V ,existe una carta (U, ) deMconp Utal queF(U) Vy F 1: (U) (V ),es diferenciable en (p) como aplicacion entre abiertos de Rny Rm. Fse dice diferenciableenMsi es diferenciable entodo punto deM. Al conjunto de aplicaciones diferenciablesdeMenNlo representaremos porC(M, N) (simplicaremos C(M, R) porC(M)).Nota1.3.1(i) La denicion anterior no depende de las cartas alrededor de p y F(p), porque el cambiodecartasesdiferenciablecomoaplicacionentreabiertosdel espacioeucldeo. Dehecho, podemoscambiar(V, ) . . . (U, ) por(V, ), (U, ) . . .obienpor(V, ), (U, ) . . . con los cambios obvios.(ii) NohemosimpuestoqueFsea,apriori,continua.Sinembargo,esfacilverquesiF: M Nes diferenciable, entoncesFes continua (ejercicio).(iii)Si Mo Nson abiertos de Rno Rmentonces, para cualquier punto p M, las cartaspuedensertomadasas: (U, )=(Rn, 1Rn)o(V, )=(Rm, 1Rm). Enparticular,cuandoMyNsonabiertosdeRnyRm, el nuevoconceptodediferenciablidadcoincide con el del Analisis.1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 11Denicion1.3.2UndifeomorsmoentredosvariedadesdiferenciablesMyNesunaaplicacion biyectivaF:M Ntal queFyF1son aplicaciones diferenciables. En talcaso, M, N se dicen variedades difeomorfas. Claramente, las dimensiones de dos variedadesdifeomorfas coinciden. Un difeomorsmo local es una aplicacion diferenciable F: M Ntal que p M, existenentornosabiertosUdepenMyV deF(p)enNtalesqueF[U: U Ves un difeomorsmo.Dos ejemplos: Si(U, ) esunacarta deunavariedad diferenciableM, entoncesesundifeomorsmode Uen(U), ambosconlaestructuradiferenciableinducidacomoabiertosdeMyRn, respectivamente. Porotrolado, lasvariedades(R, T((R, 1R))y(R, T((R, t3))sondifeomorfas,aunqueambasestructurasdiferenciablessondistintas.EnGeometraDiferencial,identicamosvariedadesdiferenciablesqueseandifeomorfas,as que los dos ejemplos anteriores de estructuras diferenciables sobre R son consideradasidenticas desde este punto de vista.Otro problema, mucho mas complejo, es determinar cuantas estructuras diferenciablesdistintas (no difeomorfas) admite una variedad topologica dada, si es que admite alguna.A nivel informativo:Toda variedadCkadmite una unica estructura diferenciable (C) que escompat-ibleconlaestructuraCk,enelsentidodequeloscambios decartasentreambasestructuras son difeomorsmos de claseCk(Whitney).Existen variedades topologicas (C0) que no admiten ninguna estructura diferenciable(Donaldson).Cada variedad topologica Mncon dimM 3 admite una unica estructura diferen-ciable (salvo difeomorsmos).CadavariedaddiferenciablecompactaMncondimM5admiteunacantidadnita de estructuras diferenciables (salvo difeomorsmos).Para cadan N,n ,= 4, Rnadmite una unica estructura diferenciable (salvo difeo-morsmos).R4admite una cantidad innita no numerable de estructuras diferenciables.Una esfera exotica es una variedad diferenciable Mnhomemorfa a Snpero no difeo-morfa a Sn. La tabla siguiente muestra la cantidad de estructuras diferenciables enuna esfera (salvo difeomorsmos) para dimensiones bajas:dimM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 . . .#estr. dif. 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 312 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESEnparticular, paran = 4 sedesconocesi existen esferas exoticas. La conjeturadePoincare diferenciable dice que no existen esferas exoticas 4-dimensionales, pero eseproblema esta a un abierto (incluso podran existir innitas).Proposicion1.3.1(i) La aplicaciones constantes entre variedades diferenciables son diferenciables.(ii) La identidad de una variedad diferenciable en s misma es un difeomorsmo.(iii)La composicion de aplicaciones diferenciables entre variedades diferenciables es difer-enciable. En particular, la composicion de difeomorsmos es un difeomorsmo.(iv) Si O es un abierto de una variedad diferenciable M, entonces la inclusion i : O Mesdiferenciable.Ademas,si F: M NesdiferenciableentoncesF[O: O Ntambien es diferenciable.(v) Si (V, )esunacartadeunavariedaddiferenciableMn, entonces: V(V )esundifeomorsmo. Llamaremosfunciones coordenadas delacarta(V, )alascomponentesxi = pi : V R, dondepi : RnR son las proyecciones.Demostracion. Ejercicio. 2Proposicion1.3.2SeaMn Rkuna subvariedad. Entonces:1. La inclusioni : M Rkes diferenciable.2. Una aplicacionF: N Mes diferenciable si ysolo sii F: N Rkes diferen-ciable.3. SiO es un abierto de RkconM OyF: O Nes una aplicacion diferenciable,entoncesF[M: M Nes diferenciable.Demostracion.Paraprobarqueiesdiferenciableenp M, bastaelegirunacarta(U, ) paraMalrededor dep que sea la inversa de una parametrizacionX. La carta elegida para Rksera (Rk, 1Rk), luego la version dei en coordenadas locales respecto a ambas cartas es laparametrizacionXdeM, que es diferenciable. Esto prueba el apartado 1. El apartado 3esconsecuenciade1ya queF[M=F isiendoila inclusiondeMenO. Por ultimo,veamos el apartado 2:La implicacion necesaria se deduce de que la composicion de aplicaciones diferenciableses diferenciable. Veamos la implicacion suciente:1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 13Primero notemos queF C0(N, M), ya queMtiene la topologa inducida (es decir,la topologa inicial para la inclusi on) ei Fes continua deNa Rk.Fijemos un punto p N. Basta probar que F: N M es diferenciable en p. Usando elLema 1.3.1 en F(p) (que probaremos despues), tenemos que existen cartas (U, ) para M y(V, ) para Rktales queF(p) U, (F(p)) = 0 Rn,i(F(p)) V ,(i(F(p))) = 0 Rk,U Vy _ i [_(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).Usandola continuidad deF:N My elabiertoUdeM, encontramos unacarta(W, ) enNtal quep WyF(W) U. Si vemos que F 1es diferenciableen(W) podremos concluir queFes diferenciable en p y habremos terminado. Llamando 1a la proyeccion de Rk= Rn Rknsobre su primer factor, tenemosF1= 1(U)_ F 1_=_1 i 1__ F 1_= 1_ (i F) 1,que es diferenciable por ser composicion de aplicaciones diferenciables. 2Lema1.3.1SeaMn Rkunasubvariedad, yp M.Entonces,existencartas(U, )paraMy(V, ) para Rktalesquep U, (p) = 0 Rn, i(p) V , (i(p)) = 0 Rk,U Vy_ i [_(x1, . . . , xn) = (x1, . . . , xn, 0, . . . , 0).Demostracion. Tomemosunacarta(U, )paraMalrededordep, del tipoinversadeuna parametrizacion, i.e. existe una parametrizacion X : (U) RkdeMalrededor dep, tal que esla inversa del homeomorsmo obtenido restringiendoXa su imagen. Noperdemos generalidad suponiendo 0 (U) yX(0) = p.Pordeniciondeparametrizacion, la diferencial dX0: Rn Rkesinyectiva. Pode-mossuponer, trasposiblementeunapermutaciondelascomponentesdeX(queesundifeomorsmo de Rky portanto una carta de este) que la matriz JacobianadX0es deltipodX0 =_AnnB(kn)n_conA regular. Consideremos la aplicacion diferenciableH : (U) RknRkdada porH(x, y) = X(x)+(0, y), donde x (U), y Rkn. As, H(0, 0) = p y la matriz JacobianadeHen (0, 0) esdH(0,0) =_Ann0B Ikn_,que es una matriz regular. Por el Teorema de la Funcion Inversa, existen abiertos O (U)yW Rkn,ambos conteniendo a los respectivos orgenes, tales queH[

OW: O W H(O W)14 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESesundifeomorsmo, yH(OW)esunabiertodeRkquecontieneap. Finalmente,denimos la cartas (U, ) deMy (V, ) de RkmedianteU= 1(O) U, = [U, V= H(O W) Rk, = (H[

OW)1.Notese que la inclusion U Vse traduce en 1(O) H(OW), inclusion que se cumpleya que dadoq 1(O), tenemosq =X((q)) luegoq =H((q), 0) H(OW). Soloqueda comprobar que ( i 1)(x) = (x, 0), dondex = (x1, . . . , xn) O. Pero( i 1)(x) =_(H[

OW)1 i _[U_1_(x) =_(H[

OW)1 X_(x),luego la igualdad que queremos se deduce de queX(x) = (H[

OW)(x, 0). 2Acontinuaciontenemosejemplosdeaplicaciones diferenciables.Lademostraciondela diferenciabilidad se deja como ejercicio.Ejemplo1.3.1(i) Dadoq Sn(1), la funcion alturafq : Sn(1) R dada porfq(p) = p, q), es diferen-ciable.(ii) Laproyeccioncanonica: Rn+1 0 RPnesdiferenciable, yunaaplicacionF: RPnMes diferenciable si y solo siF : Rn+10 Mes diferenciable.Unaformasencilladeproducirgrancantidaddevariedadesdiferenciablesescomococientes deotras variedades mediante acciones de grupos con ciertas condiciones, comoveremos a continuacion.Denicion1.3.3Sea Mnuna variedad diferenciable y G un grupo algebraico. Una acciones una aplicacion : GM Mtal que g, g1, g2 G, p M,1. ep = p,2. g1 (g2 p) = (g1 g2)p.Dadog G, se deneg : M Mporg(p) = gp. Entonces,ges una biyeccion, coninversag1.La accion se dice diferenciable cuando g G, g es un difeomorsmo de M en s mis-ma (equivalentemente, cuando g es diferenciable g G). Ademas, se dice propiamentediscontinuacuando p M, U MabiertoconteniendoaptalqueU g(U)=g G e.1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 15Toda accion sobreMdene una relacion de equivalencia sobreM:p Gq g G [gp = q.Llamemos : M M/G =M/ Ga la proyeccion canonica deMen su cociente.escontinua si enM/G consideramos la topologa cociente, y abierta (porque1((O)) =gGg(O), O M).Proposicion1.3.3Si :GM Mesunaacciondiferenciable ypropiamentedis-continuadeungrupoalgebraicoGsobreunavariedaddiferenciableM, entoncesexisteuna unica estructura diferenciable T sobre M/G que convierte a en difeomorsmo local.Ademas, la topologasubyacente a T es la topologacociente.Demostracion. Existencia.Consideremos enM/G la topologa cociente T /G de la topologa T deM. Dado p M,sea U un abierto de M conteniendo a p dado por la discontinuidad de la accion . Entonces,[U: U(U)esunhomeomorsmo(escontinua,sobreyectiva,inyectivayabierta).Ahora podemos denir las cartas deM/G como la composicion de[Ucon cartas deMcuyo abierto coordenado este contenido en U. Variando Uy aplicando este procedimiento,seobtieneunatlas diferenciable sobreM/G,quegeneraunaestructuradiferenciable Tque hace a difeomorsmo local (ejercicio).Unicidad.Si M/G admite una estructura diferenciable Tt que hace de un difeomorsmo local y lla-mamos Tt a la topologa subyacente a Tt, entonces : (M, T) (M/G, Tt) es continua,sobreyectiva y abierta, luego identicacion. Por tanto, Tt = T/G. Ahora consideramos lasaplicaciones M(M/G, T)1M/G(M/G, Tt), cuya composicion es. Como las dos sondifeomorsmos locales, conclumos que 1M/G es diferenciable de (M/G, T) en (M/G, Tt).El recproco es igual, con lo que T = Tt. 2Podramoshaber denidovariedaddiferenciable a nadiendoaladenicion1.2.1lacondicion de que el espacio topol ogico subyacente sea Hausdor (todos los ejemplos pre-sentados hasta ahora lo son, y tambien los que veremos en este curso). Sin embargo, a nadirT2aladeniciondevariedadexigequesea nadatambienunacondicionadicional alaProposicion 1.3.3 para que siga siendo cierta: necesitamos que dadosp, q Mque no serelacionen medianteG, existanUp, Uq Mabiertos conteniendo ap, qrespectivamente,tales queUp g(Uq) = para todog G (de hecho, esta ultima propiedad caracterizacuandoM/G es Hausdor). En esta lnea, debemos recordar las siguientes observacionestopologicas sobre separacion del cociente (X/ , T/ ) de un espacio topologico (X, T)por una relacion de equivalencia:Si la proyeccion canonica : X X/ es abierta yR = (x, y) X X [x yes cerrado (en la topolga producto), entoncesX/ es Hausdor.16 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESSi es cerrada, entoncesR es cerrado enXX.En el caso de una accion diferenciable y propiamente discontinua de un grupoG sobreuna variedadMn, sabemos que la proyeccion:M M/G es abierta, luego una formade tener que M/G es Hausdor es probar que es cerrada. Dado F Mcerrado, (F) escerrado en la topologa cociente si y solo si 1((F)) es cerrado en M. Pero 1((F)) =gGg(F), quees uniondecerrados. Estonosdicequesi Gesnito, entonces escerrada y por tanto, M/G es Hausdor. Sin embargo, este metodo no puede usarse en elEjemplo1.3.3, dondeGesisomorfo a Zn(enesecasoesfacilprobardirectamentequeR = (x, y) RnRn[ x y es cerrado de R2n, y por tanto el cociente Tnes Hausdor).Ejemplo1.3.2EspacioProyectivoReal (modelo de Sn)SiA es la aplicacion antpoda sobre Sn(1), entonces el grupoG = 1Sn(1), A act ua difer-enciable, propia y discontinuamente sobre Sn(1), luego existe una unica estructura difer-enciablesobre Sn(1)/G = RPnqueconvierteaendifeomorsmo local. Enparticular,una aplicacionF: RPn Mes diferenciable si y solo siF : Sn Mes diferenciable(siendoMcualquier variedad diferenciable).Ejemplo1.3.3Torosn-dimensionales.Dada una base B = v1, . . . , vn de Rn, el grupo de traslaciones G = Tv [ v Zv1. . . Zvn act ua diferenciable, propia y discontinuamente sobre Rn, dondeTvesla traslacionde vectorv. El cociente Rn/G = TnBes un toro n-dimensional, difeomorfo a S1

n). . . S1.Ejemplo1.3.4BotelladeKlein.Se considera la grupoG generado por los movimientos rgidos del plano1(x, y) = (x + 1, y), 2(x, y) = (1 x, y 1).Gact uade formanatural sobreR2, de formadiferenciable, propiaydiscontinua. Laactuacion de G sobre el cuadrado unidad [0, 1]2se representa mediante la gura de arriba.Elcociente R2/Gesla botelladeKlein BK. Laproyeccion natural : R2 BKesundifeomorsmo local, y una aplicacion F: BK Mnvaluada en una variedad diferenciableMes diferenciable si y solo siF : R2Mes diferenciable.1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 17A continuacion probaremos la existencia de funciones meseta y particiones de la unidadencualquiervariedadconciertashipotesistopologicas. Lasfuncionesmesetapermitenconstruir particiones de la unidad, quea su vez trasladan conceptos y cuestiones localesa otras globales (por ejemplo, en la Seccion 1.4 podremos tratar indistintamente vectorestangentesenunpuntopaunavariedadcomoderivacionessobrefuncionesglobalmentedenidas o como germenes de funciones alrededor dep).Lema1.3.2(Existenciadefuncionesdiferenciables noconstantes)SeaMnunavariedaddiferenciable, UMunabiertoypunpuntodeU. Entonces,existe una funcion diferenciablef : M R vericando:1. f= 1 sobre un entorno abierto relativamente compactoVdep conV U.2. soporte(f) = p M [f(p) ,= 0 es un compacto contenido enUyf 0 enM.A una tal funcionfla llamaremos funcion meseta.Demostracion. Empezaremosproduciendounafuncionsimilaralaquebuscamos, perodenida sobre R. Denimosu : R R medianteu(t) =_e1/tsit > 00 sit 0uesdeclaseC,estrictamente creciente, tienelmite 1cuandot yunpuntodeinexion ent = 1/2. Con estau denimosg : R R dada porg(t) =u(t)u(t)+u(1t):Es facil comprobar queg C(R), g 0,g(0) = 0,g(t) = 1 sit 1 yg(t) = 0 sit 0.Por ultimo, denimosh : R R dada porh(t) = g(t + 2) g(2 t):18 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESEs facil comprobar queh C(R), h 0, h(t) = 0 si [t[ 2 y h(t) = 1 si [t[ 1. Esta esla funcion meseta que buscamos sobre R. Con la notacion del lema, tenemosV= (1, 1)yUpodemos tomarlo como cualquier abierto que contenga a [2, 2].En la segunda parte de la prueba, encontraremos la funcion meseta sobre la variedadM. Es claro que no perdemos generalidad suponiendo queUes el abierto coordenado deunacarta (U, ) centradaenp(esdecir, (p) =0 Rn).Como(U) esunabierto deRnque contiene a 0, existe > 0 tal que B(0, 2) (U). DenimosV:=1(B(0, )),abierto deMque contiene ap, yf: M R mediantef(q) =_h_|(q)|22_si q U,0 si q/ U,dondeh es la funcion meseta en R que acabamos de construir. Entonces,fesCenM(la diferenciabilidad de fen U se deduce de la de h, y M1(B(0, 2)) es un abierto quecontiene a MU, donde fes identicamente cero). Ademas, V= 1(B(0, )) es compactopor ser imagen continua de un compacto, y esta contenido enU. Es facil comprobar quef= 1 en Vy que q M [ f(q) ,= 0 1(B(0, 2)), luego tomando clausuras deducimosque soporte(f) es un compacto contenido enU. 2Denicion1.3.4Unespaciotopologicocumple el segundoaxioma de numerabilidad(ANII) si admite una base numerable de topologa.Por ejemplo, Rncon la topologa usual es ANII. Si X es un espacio topologico y A X esun subconjunto suyo, entonces A es ANII con la topologa inducida . Ser ANII tambien sehereda a los productos cartesianos, y la imagen por una aplicacion continua, sobreyectivay abierta de un espacio topologico ANII sigue siendo ANII. A partir de estas propiedades,es facil comprobar que todos los ejemplos de variedades vistas hasta ahora son ANII. Deahora enadelante, supondremosquetodas nuestras variedadesdiferenciables son ANIIyHausdor.Denicion1.3.5SeaMunavariedaddiferenciabley Uunrecubrimientoporabiertos de M. Una particion de la unidad subordinada a U es una familia numerableiiN C(M) cumpliendo las siguientes propiedades:1. 0 i 1 enMy soporte(i) es compacto, i N.2. p M, Uentorno abierto dep enMtal quesoporte(i) U=paratodoisalvo para una cantidad nita de ndices (la familia iiN es localmente nita).3. n=1i = 1 (la serie tiene sentido por 2).4. i N, = (i) tal que soporte(i) U(i).1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 19Nuestro siguiente objetivo esprobar que toda variedad diferenciable (ANII)admite unaparticion de la unidad subordinada a cualquier recubrimiento por abiertos prescrito. Em-pezaremos con un resultado topol ogico.Lema1.3.3SeaXun espacio topologico conexo, localmente compacto2,T2 y ANII. En-tonces, existe una sucesion GiiN de abiertos de X cumpliendo las siguientes propiedades:1. i=1Gi = M.2. Gies compacto yGi Gi+1para todoi N.Demostracion. Primeroveamosqueexisteunabasedetopologa UiiNtalqueUiescompacto i N. Enefecto,porserXANIIadmiteunabasenumerabledetopologaB= BiiN.Veamos que Bt:= Bi B [ Bi es compactoesunabasedetopologa ytendremos este primer paso probado. Dado p X y dado O X abierto de X con p O,basta comprobar que existeBi Bt tal quep Bi O. Por serXlocalmente compacto,existeunentornocompactoV deptalquep VO.Como Besbasedetopologa,existeBi B tal quep Bi V . Tomando adherencias y usando queV= V(porque uncompacto en un espacioT2 es siempre cerrado), deducimos queBi Bt, como queramos.Ensegundolugar, denimos G1=U1(novaco3, abiertoyconcierrecompacto).Como UiiNesunrecubrimientoporabiertosdel compactoG1, podemosextraerunsubrrecubrimiento nito. En particular, existe un menor n umero natural j1 tal queG1 U1 . . . Uj1 := G2.Entonces G2 = j1i=1Ui, que es compacto por ser union nita de compactos. Cambiando G1por G2 en el razonamiento anterior, existe un menor n umero natural j2 (podemos suponerj2 j1) tal queG2 U1 . . . Uj2 := G3.Reiterando el proceso denimos una sucesion de n umeros naturales jky abiertos Gk Xtalesque jkesel menorn umeronatural cumpliendoGkU1 . . . UjkyGk+1:=U1 . . . Ujk. Es claro que GkkN cumple al punto 2 del enunciado. Queda comprobarque el punto 1 tambien se cumple. Notemos que la sucesion jkk N es no decreciente, ylo mismo le pasa a Gkk(respecto a la inclusion). Razonando por reduccion al absurdo,comolos UirecubrenaX, si suponemos kNGk,=Xentonces lasucesion jkkesconstanteapartir deunnatural k.Portanto, Gk Gk+1=GkluegoGkesabierto ycerrado deX, peroGk ,= X. Como Gkes no vaco, contradecimos queXes conexo. 22Esdecir,cadapuntodeXadmiteunabasedeentornoscompactos.3NoperdemosgeneralidadsuponiendoqueU1esnovaco.20 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESTeorema1.3.1(Existenciadeparticionesdelaunidad) Sea M una variedad difer-enciable(ANII)y UunrecubrimientoporabiertosdeM. Entonces,existeunaparticion de la unidad iiN subordinada al recubrimiento U.Demostracion. Supongamos que el teorema es cierto cuandoMes conexa (este caso par-ticular lo probaremos despues), y veamos el caso general. Primero notemos que comoMes ANII, entonces M tiene una cantidad numerable de componentes conexas (ejercicio 12),a las que llamamosCj, j A N. Si Uesun recubrimiento por abiertos deM,entonces para cada j A jo UCj es un recubrimiento por abiertos de la variedaddiferenciable conexa Cj. Por el Teorema en el caso conexo, existe una particion de la unidadi,jiN subordinada al recubrimiento U Cj. Entonces, i,j [i N, j A esuna particion de la unidad de Msubordinada al recubrimiento U, lo que prueba elTeorema en el caso general, suponiendolo cierto en el caso conexo.Ahora supondremos queMes conexa y probaremos el Teorema: Tomemos la familiaGiiN del Lema 1.3.3. DenimosG0 = ,K0 = G1,Ki = Gi+1Gi, i 1. As, Ki escompacto,Ki Gi+2Gi1 i, y iNKi = M.Dadop Kiexiste(p) talquep U(p)(porque Uunrecubrimientopor abiertos deM). En particularp Ki U(p) (Gi+2 Gi1) U(p). Aplicando alpuntop y al abierto (Gi+2 Gi1) U(p) el Lema 1.3.2, existenfp C(M) yVp Mabierto relativamente compacto tales quep Vp, Vp (Gi+2 Gi1) U(p),fp= 1 enVp,fp 0 enM, y soporte(fp) es un compacto contenido en (Gi+2 Gi1) U(p). Portanto, VppKiesunrecubrimientoporabiertosdel compactoKi, luegopodemosex-1.3. APLICACIONESDIFERENCIABLES.DIFEOMORFISMOS. 21traer un subrrecubrimiento nito. Haciendo esto Ki obtendremos una sucesion de puntospjjN M, abiertos Vpj My funcionesfpj C(M) tales quesoporte(fpj) es compacto y esta contenido en alg un U (concretamente, en U(pj)) yen alg un Gi+2 Gi1.fpj= 1 enVpj,fpj 0 enM.Cada abierto Gk solo puede cortar a una cantidad nita de soportes de las fpj(comocada fpj tiene soporte contenido en alguna franja Gi+2Gi1, Gk solo podra cortara aquellos soportes de fpjque esten contenidos en una franja que corte a Gk; perofranjas de estas solo hay una cantidad nita (k es jo), y cada franja solo cortaa una cantidad nita de soportes de las f(pj)).Consideremos ahora la serie

jNfpj. Dado x M, existe k N tal que x Gk. Como Gksolo corta a una cantidad nita de soportes de las fpj, conclumos que (

j fpj)(x) es nita yque_

j fpj_[Gk C(Gk). Como esto es cierto x M, tenemos que

j fpj C(M).Ademas, dadox Mexistei N tal quex Ki, y por tanto x esta en alg unVpj0de losque recubren aKi. As, (

j fpj)(x) fpj0(x) > 0.Dadoi N, denimosi : M R pori =fpi

jNfpj C(M).Entonces, 0 i 1 enM, soporte(i) =soporte(fpi) es compacto y iNi = 1 enM.Ademas, ii es una familia localmente nita (porque dadox M, existe k N tal quex Gk yGk es un abierto que solo corta a una cantidad nita de soportes de las i). Por ultimo, soporte(i) = soporte(fpi) U(pi), con lo que hemos probado el teorema cuandoMes conexa. 2Recordemos el siguiente resultado topologico:Lema1.3.4(Urysohn) Un espacio topologicoXes normal4si ysolo si paratodopardecerradosdisjuntosF1, F2 X,existef: X [0, 1] continuatal quef=0enF1yf= 1 enF2.Veamos la version diferenciable del Lema de Urysohn:Corolario1.3.1SeanFyOuncerradoyunabiertodeunavariedaddiferenciableMconFO.Entonces,existef C(M)tal quef=1enFyf=0enM O.Enparticular,Mes un espacio topologico normal.4Todopardecerradosdisjuntospuedesepararseporabiertosdisjuntos.22 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESDemostracion. Aplicando el Teorema 1.3.1 al recubrimiento de M por abiertos O, MF,obtenemosunaparticiondelaunidad iiNsubordinadaadichorecubrimiento. En-tonces, la funcionf=

iAi dondeA = i N [ soporte(i) , M F es una funciondiferenciable enM(porque la suma es localmente nita) que cumple las condiciones pe-didas. 2Corolario1.3.2Sea Muna variedad diferenciable, Uun abierto deMy K un compactodeMconK U. Entonces, existef C(M) tal quef[K = 1 y soporte(f) U.Otro resultado clasico de Topologa es el siguiente.Lema1.3.5(Teoremadeextension deTietze) Unespaciotopologicoesnormal siysolosi dadocualquiercerradoF Xycualquierfuncioncontinuaf:F R,existef: X R continua tal que f[F= f.A continuacion veremos la version diferenciable del ultimo enunciado.Corolario1.3.3 (TeoremadeextensiondeTietzediferenciable)Sea Mn Rkunasubvariedad cerrada de Rk. Dadaf C(M), existe f C(Rk) tal que f[M= f.Demostracion. Enprimerlugarveamosquedadop M, existeWpabiertodeRkconpWpyexiste fpC(Wp) tal que fp[WpM=f[WpM: Enefecto, aplicandoelLema 1.3.1 enp M, existe una carta (Wp, = (y1, . . . , yk)) de Rktal queM Wp = (y1, . . . , yk) V[yn+1 = . . . = yk = 0.Ahora denimosfp C(Wp) porfp(y1, . . . , yn, yn+1, . . . , yk) = f(y1, . . . , yn, 0, . . . , 0) (osea, extendemosfcomo constante a lo largo delas direccionesyn+1, . . . , yk), y tenemosla funcion deseada.El segundo paso en la demostracion consiste en pegar todas las extensiones localesfpanteriores para conseguir una extension global fdef. Consideremos el recubrimientode Rkpor abiertos WppM RkM (aqu usamos queMes cerrada en Rk). Por elTeorema 1.3.1, existe una particion de la unidad iiN C(Rk) subordinada a dichorecubrimiento. SeaA = i N [ soporte(i) M ,= .Dadoi Aexiste p(i) Mtal quesoporte(i) Wp(i). Denimos gp(i): RkRmediantegp(i)(x) =_fp(i)(x)i(x) six Wp(i),0 six RkWp(i).1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 23As gp(i)C(Rk). Ademas, lafamilia gp(i)iAes localmentenita, luegolaserief:= iAgp(i)deneunafuncionenC(Rk).Soloquedaprobarque f[M=f. Dadox M,f(x) =

iAgp(i)(x) = iAxWp(i)gp(i)(x) = iAxWp(i)fp(i)(x)i(x)(xM)=

iAxWp(i)f(x)i(x)= f(x) iAxWp(i)i(x) = f(x)__

iAxWp(i)i(x) + iAx/ Wp(i)i(x) + iNAi(x)__= f(x).21.4. EspacioTangente.Diferencialdeunaaplicaci on.A diferencia de lo que ocurre en Rn, las variedades diferenciables no tienen en generaluna estructura de espacio vectorial. Esto impide que el concepto de diferencial del Analisispueda trasladarse dirctamente a una variedad abstracta M. Necesitaremos ver los vectoresdeRn(engeneral,del espaciotangenteaunavariedaddiferenciable)comountipodeoperadores diferenciales, llamados derivaciones.SeaMnunavariedaddiferenciable. Dadasf, g C(M)=C(M, R)ya, b R,entonces deniendoaf + bg, fg : M R por(af +bg)(p) = af(p) +bg(p), (fg)(p) = f(p)g(p), p M,esclaro queaf + bg, fg C(M), yas C(M)tieneestructura dealgebra, siendoelneutro del producto la funcion constantemente 1.En el siguiente resultado veremos una primera aproximacion del concepto de espaciotangente en un puntop a una variedad diferenciable. Empezaremos con el casoM= Rn,ya que usaremos la regla de la cadena y el desarrollo en serie del Analisis. Posteriormenteextenderemos el concepto de espacio tangente en un punto de una variedad abstracta.Proposicion1.4.1Dadop Rn, sea 1pel espaciodederivacionesenpdefuncionesglobalmente denidas, es decir:1p = w : C(Rn) R [w es lineal yw(fg) = w(f)g(p) +f(p)w(g), f, g C(Rn) .Entonces, 1pes un espacio vectorial real, y la aplicacion : Rn1pdada porv Rn[(v)](f) =ddt0f(p +tv), f C(Rn), (1.3)es un isomorsmo de espacios vectoriales.24 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESDemostracion. Deniendo aw1+bw2 : C(Rn) R mediante (aw1+bw2)(f) = aw1(f)+bw2(f), es un ejercicio sencillo comprobar que 1p se convierte en un espacio vectorial real.Si v Rn, la aplicacion (v) denida en (1.3) es lineal en f (por la linealidad de la derivadarespectoat) y cumple [(v)](fg) = [(v)](f)g(p) + f(p)[(v)]w(g) f, g C(Rn) (porla regla del producto para la derivada respecto at). Por tanto, (v) es una derivacion, yesunaaplicacion valuadaen 1p.Lalinealidaddeesconsecuenciadelaregladelacadena para funciones reales de una variable real. es inyectiva, ya que siv Rn 0entonces i=1, . . . , ntal quevi ,=0. Entonces, tomandof =xi C(Rn)(i-esimaproyeccion de Rnen R), tenemos [(v)](f) =ddt0xi(p +tv) = vi ,= 0. Por ultimo, veamosla sobreyectividad de:Dadaw 1p, denimosv = (w(x1), . . . , w(xn)) Rn. Si vemos que(v) =w habre-mos terminado. Paraello, tomemos f C(Rn) yprobemos que [(v)](f) =w(f).Desarrollando fen serie alrededor dep tenemosf(x) = f(p) +n

i=1(xipi)fi(x),dondefi es cierta funcion diferenciable en un entorno dep. Por la linealidad de(v) y dew, y por la regla del producto, basta probar que se cumplen_[(v)](f(p)) = w(f(p)),[(v)](xipi) = w(xipi).(1.4)Laprimeraigualdadde(1.4) estaraprobadasi vemosquew(c)=0paratodafuncionconstante c. Esto ultimo es consecuencia de lo siguiente: por ser w lineal, dada g C(Rn)tenemos c w(g) = w(c g) = w(c) g(p)+c w(g) luego w(c) g(p) = 0, g C(Rn). Tomandoahorag tal queg(p) ,= 0, tendremosw(c) = 0.En cuanto a la segunda igualdad de (1.4):[(v)](xi pi) = [(v)](xi) [(v)](pi) = [(v)](xi) =ddt0xi(p +tv)=ddt0(pi + tvi) = vi = w(xi) = w(xi) w(pi) = w(xipi).2Generalizamos lo anterior a variedades diferenciables.Denicion1.4.1Seap un punto en una variedad diferenciableMn. Un vector tangenteaMenp es una funcionv : C(M) R satisfaciendo1. (Linealidad) v(a f +b g) = a v(f) +b v(g), y1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 252. (Regla del producto) v(f g) = v(f) g(p) + f(p) v(g),para todof, g C(M) ya, b R.RazonandocomoenlademostraciondelaProposicion1.4.1deducimosquesi vesunvector tangente a Menp, entoncesv(c) = 0 para toda funcion constantec sobreM.Lema1.4.1(i) Sives un vector tangente aMenp yf, g C(M) coinciden en alg un entorno dep, entoncesv(f) = v(g).(ii) Siv es un vector tangente aMenp yf C(M) es constante en alg un entorno dep, entoncesv(f) = 0.Demostracion. Las dos armaciones son equivalentes, y por linealidad podemos reducirnosaprobar quesi f= 0 enunentornoUdep, entoncesv(f) = 0. Para ello, tomemos uncompactoK Mconp K U. Usandoel Corolario 1.3.2, encontramos unafuncionh C(M) tal queh =1 enKyh = 0enM U. Entonces, f h = 0 enM(razonarseparadamente enUy enM U) luegov(f h) = 0. Perov(f h) = v(f)h(p) +f(p)v(h) =v(f), luegov(f) = 0. 2Denicion1.4.2SiU Mes un abierto yf C(M), entoncesf[U C(U). Dadounpuntop M, representaremospor C(p)al conjuntode funciones diferenciablesvaluadasenRqueestandenidasenalg unentornoabiertode p(funcionesdiferentespuedentenerdominiosdedeniciondiferentes).AloselementosdeC(p) selesllamagermenes de funciones diferenciables alrededor dep). La estructura algebraica deC(p)esla misma quela deC(M), con la salvedad dequesif, g C(p) ya, b R confdenida en un entorno abierto U1 de p y g denida en un entorno abierto U2 de p, entoncesaf +bg yfg estan denidas enU1 U2.Es claro queC(M) C(p). De aqu deducimos que si un operador v : C(p) Rsatisface las condiciones1 y 2 dela Denicion 1.4.1, entoncesves unvector tangente aMenp. El siguiente resultado nos dice que el recproco tambien es cierto.Lema1.4.2v es un vector tangente aMenp si y solo siv es una funcion deC(p) enR vericando las propiedades 1 y 2 de la Denicion 1.4.1.Demostracion. Supongamos que v : C(M) R es un vector tangente. Se trata de deniruna derivacion lineal v : C(p) R tal que v[C(M) = v. Para ello, tomemos f C(p)26 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESdenida en un entorno abierto Ude p. Aplicando el Lema 1.3.2 de existencia de funcionesmeseta, encontramos una funcionh C(M) y un un entorno abierto Vdep tales queh[V= 1, p V V soporte(h) U, soporte(h) compacto.Extendiendofh por cero deUaMobtenemos una funcion f C(M) que coincide confenunentornoabiertodep(concretamente, enV ).Entonces, denimos v(f)=v(f).Esta denicion es independiente de fpor el apartado (i) del Lema 1.4.1. La independenciade v(f) respecto de fprueba que v(f1f2) = v(f1f2) = v(f1f2) = v(f1)f2(p) + f1(p)v(f2) = v(f1)f2(p) +f1(p)v(f2),yanalogamente veslineal. Por tanto, ves unaderivacion lineal sobreC(p). Tenemosentonces una aplicacionH : derivaciones enC(M) derivaciones enC(p), H(v) = v,Claramente, v[C(M) = v, lo que nos dice que Hes inyectiva. Veamos que Hes sobreyec-tiva: Sea v : C(p) R una derivacion, yv := v[C(M). Debemos probar queH(v) = v.Para ello, tomemosf C(p), denida en un abiertoUdeMque contiene ap. Por unlado,[H(v)](f) = v(f) =_v[C(M)_(f) = v(f),luego todo se reduce a probar que v(f) = v(f). Esto se deduce de aplicar el Lema 1.4.1-(i)a la variedadU, a la derivacion v[C(U) y a las funcionesf, f[U. As,Hes biyectiva. 2Por tanto, podemos ver los vectores tangentes a una variedadMen un puntop comooperadores lineales vericando la regla del producto, denidos sobreC(M) o bien sobreC(p).Denicion1.4.3El espacio tangente aMenp, que se representara porTpM, se denecomoel conjuntodetodoslosvectorestangentesaMenp. TpMtieneunaestructuranatural de espacio vectorial real sin mas que denirv +w yav por(v + w)(f) = v(f) + v(g) (av)(f) = av(f),parav, w TpM,a R yf C(M) of C(p).Nota1.4.1SeaO Mun abierto de unavariedad diferenciableMyp Oun puntodeM. EntoncesTpO es isomorfo aTpMde manera natural.1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 27Denicion1.4.4Sea :I Munaaplicacion diferenciable deunintervalo abiertoIde R, a la que llamaremos curva diferenciable en M. Seat0 Iyp = (t0). Denimos laaplicaciont(t0) : C(p) R port(t0)(f) =ddtt0(f )(t).Entoncest(t0)esunvectortangenteaMen(t0)=p,estoest(t0) TpM, alquellamamos el vector tangente o velocidad de ent0.Lema1.4.3TpMcoincide con el conjunto devectores tangentes a curvasdiferenciablesenMpasando porp.Demostracion. Basta probar quetodo vector tangentev TpM(esdecir, v:C(p) Resunaderivacion)eslavelocidaddeunacurvadiferenciable : (, ) Mcon(0)=p. Tomemosunacarta(U, =(x1, . . . , xn))conp Uy(p)=0. Lacurva(t) = 1(tv(x1), . . . , tv(xn)) (denida alrededor de 0 R) esC, cumple(0) = p y[t(0)](xi) =ddt0(xi 1)(tv(x1), . . . , tv(xn)) = v(xi), i = 1, . . . , n.Sea f C(p). Si vemos que [t(0)](f) = v(f) habremos terminado. Viendo t(0), v comoderivaciones sobre germenes de funciones en p, podemos suponer que (U) convexo y usarlaArmacion1.4.1(queprobaremosacontinuacion).As, existenf1, . . . , fn C(U)tales quef[U= f(p) +

ni=1xifi luego[t(0)](f) = [t(0)]_f(p) +n

i=1xifi_=n

i=1[t(0)](xi)fi(p) +n

i=1xi(p)[t(0)](fi)=n

i=1v(xi)fi(p).Deshaciendo los pasos anteriores cambiendot(0) porv, tendremos [t(0)](f) = v(f). 2Armacion1.4.1Sea p un punto en una variedad diferenciable M y (U, = (x1, . . . , xn))una carta de tal que p U, (p) = 0 Rny (U) es convexo. Entonces, dadaf C(U)existenf1, . . . , fn C(U) tales quef= f(p) +n

i=1xifi.28 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESDemostracion. Seaq UyF(t) = (f 1)(tx1(q), . . . , txn(q)), denidaen (, 1 + )para cierto > 0 por la convexidad de(U). Usando la regla de Barrow,f(q) = F(1) = F(0) +_10Ft(t) dt = f(p) +_10ddt0(f 1)(tx1(q), . . . , txn(q)) dt.Usando la regla de la cadena paraf 1 C((U)), lo anterior se escribef(p) +n

i=1xi(q)_10(f 1)ri(tx1(q), . . . , txn(q)) dt = f(p) +n

i=1xi(q)fi(q),dondefi C(U) viene dada porfi(q) =_10(f 1)ri(tx1(q), . . . , txn(q)) dt.2Denicion1.4.5Sea(U, =(x1, . . . , xn)) unacartadeunavariedadM. Denimos_xi_p: C(p) R por_xi_p(f)(notacion)=fxi(p) :=(f 1)ri(p),siendor1, . . . , rn las coordenadas en Rn.As,_xi_pes el vector tangente ent = 0 a la curvai(t) =1(r01, . . . , r0i+ t, . . . , r0n),donde (r01, . . . , r0n) = (p). En particular,_xi_p TpM. Conviene notar quexixj(p) = ij.Teorema1.4.1Sea p un punto de una variedad diferenciable Mn, y (U, = (x1, . . . , xn))una carta de Mcon p U. Entonces, _xi_p[ i = 1, . . . , n es una base de TpM. Ademaspara cada vectorv TpM, se tienev =n

i=1v(xi)_xi_p. (1.5)En particular,TpMes un espacio vectorial real de dimensionn.1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 29Demostracion. Dadov TpM, sea C((, ), M) con(0)=p, t(0)=v, queexiste por el Lema 1.4.3. Dadaf C(p),v(f) = [t(0)](f) =ddt0(f )(t) =ddt0(f 1)[( )(t)].Usando la regla de la cadena para aplicaciones de Rnen R, lo anterior se escriben

i=1(f 1)ri(p)()ti(0) =n

i=1_xi_p(f)[t(0)](xi) =n

i=1_[t(0)](xi)_xi_p_(f).Como lo anterior es valido f C(p), deducimos la ecuacion (1.5). As,_x1_p,. . .,_xn_pformanunsistema degeneradoresdeTpM.Delaecuacionxixj(p) =ijdeducimosque_x1_p, . . . ,_xn_pson linealmente independientes, y por tanto forman base deTpM. 2Ejemplo1.4.1Dado p Rn, podemos identicar canonicamente TpRncon Rn, medianteel isomorsmo de espacios vectoriales : TpRnRndado por(v) = (v(x1), . . . , v(xn)). (1.6)As, identica un vector tangente a Rnen p (como derivacion) con la lista de coordenadasdev respecto a la base deTpMasociada a la carta (Rn, 1Rn).Proposicion1.4.2(Cambiodebase) Sea M una variedad, p M y (U, = (x1, . . . , xn)),(V, = (y1, . . . , yn)) dos cartas deMconp U V . Entonces,_yj_p=n

i=1xiyj(p)_xi_p.Demostracion. Ejercicio. 2Denicion1.4.6SeaF C(M, N) yp M. Se dene la diferencial deFenp comola aplicacion dFp = Fp : TpM TF(p)Ndada por[dFp(v)] (f) = v(f F), v TpM, f C(F(p)).Es claro quedFp(v) TF(p)Ny quedFp es una aplicacion lineal.Proposicion1.4.330 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES(i) SeaF C(M, N) yp M. Siv TpMes el vector tangente a una curvadiferen-ciable : (, ) Mcon(0) = p, entoncesdFp(v) = (F )t(0).(ii) SiF: M Nes constante, entoncesdFp = 0 p M.(iii) d(1M)p = 1TpM, p M.(iv) Regladelacadena. SiF C(M, N) yG C(N, P), entoncesd(G F)p = dGF(p) dFp, p M.(v) Si F:M Nesundifeomorsmo,entoncesdFpesunisomorsmoy(dFp)1=d(F1)F(p), p M.(vi) Si : (, ) Mes una curva diferenciable, entoncesd0_ddt0_= t(0).(vii) SiF C(M, N),p My (U, = (x1, . . . , xn)), (V, = (y1, . . . , ym)) son cartasdeMyNalrededordepyF(p)respectivamente,entonceslaexpresionmatricialdedFprespectoalasbasesB1= _xj_pnj=1deTpMyB2= _yi_F(p)mi=1deTF(p)NesdFp__xj_p_=n

i=1(yi F)xj(p)_yi_F(p), j = 1 . . . , n.As, la matrizM(dFp, B1, B2) es la matriz Jacobiana de F 1en(p).Demostracion. Ejercicio. 2Ejemplo1.4.2Enel caso particularf C(M) =C(M, R), dadop Mpodemosconsiderar la composicionTpMdfpTf(p)RR(esel isomorsmodeespaciosvectorialesdadoen(1.6)). Entonces, si v TpMytrepresenta la funcion identidad de R en R,dfp(v) [dfp(v)] = [dfp(v)](t) = v(t f) = v(f),luego dfp (TpM) (espacio dual). A (TpM) := TpMse le llama el espacio cotangente deMenp. As, dfp TpM f C(M) (esto puede hacerse f C(p)). Como caso par-ticular, tomando como f= xi la i-esima funcion coordenada de una carta (U, ) alrededorde p, es facil comprobar que (dx1)p, . . . , (dxn)p es la base dual de__x1_p, . . . ,_xn_p_.1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 31Proposicion1.4.4Si Mn Rkunasubvariedadei : M Rklacorrespondiente in-clusion, entonces dip : TpM TpRkes un monomorsmo para todo p M. Consideremosla composicionTpMdipTpRkRkdonde esel isomorsmodeespacios vectoriales dadoen(1.6). Enadelante,se identi-caraTpMcon ( dip)(TpM) Rkpara todop M.Ademas,unvectorv Rkpertenecealsubespaciovectorial ( dip)(TpM)s ysolosi v=(t1(0), . . . , tk(0)), donde: (, ) M Rkesunacurvadiferenciablecon(0) = p.Demostracion. Para quedip sea un monomorsmo de espacios vectoriales, basta ver queker(dip) = 0. Si v TpMcumpledip(v) = 0, entoncesv(f i) = 0 para toda funciondiferenciable denidaenunentornode penRk. Usandoel Teoremade extensiondeTietzeensuversiondiferenciable(Corolario 1.3.35), todafunciondiferenciabledenidaen un entorno dep en Mes restriccion de una funcion denida en un entorno de p en Rk,con lo quev = 0 como vector deTpM.Seav Rk. Siv ( dip)(TpM), entonces existe w TpMtal quev = (dip(w)) = ([dip(w)](x1), . . . , [dip(w)](xk)) = (w(x1 i), . . . , w(xk i)) .Por otro lado, el Lema 1.4.3 implica que existe C((, ), M) con (0) = p, t(0) = wy por tanto,v =_[t(0)](x1 i), . . . , [t(0)](xk i)_=_(x1 i )t(0), . . . , (xk i )t(0)_=_t1(0), . . . , tk(0)_.Recprocamente, seav = (t1(0), . . . , tk(0)) Rkcon C((, ), M), (0) = p. As,la derivaciont(0) esta enTpM. Como (t(0)) = v, tenemosv ( dip)(TpM). 2Ejemplo1.4.31. Sea Snla esfera unidad en Rn+1. Entonces, bajo la identicacion dada en la Proposi-cion 1.4.4,TpSn v Rn+1[ v, p) = 0 = p), p Sn.2. SiA O(n) (grupo ortogonal), entonces:TAO(n) = AX [X /n(R) antisimetrica.5Enrigor, el Corolario1.3.3seenuncioparaunasubvariedadcerradadeRk. Enestaaplicaciondelmismo no tenemos Mcerrada, pero s olo nos interesa el comportamiento local de falrededor de p. PodemosentoncessuponerqueM B(p, )esuncerradode B(p, )paracierto> 0yrehacerlademostraci ondelCorolario1.3.3cambiando Rkpor B(p, ).32 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES3. SiA Sl(n, R) (grupo especial unitario), entonces:TASl(nR) = XA [X /n(R), Traza(X) = 0= AX [X /n(R), Traza(X) = 0.Ejemplo1.4.4Tenamos dos modelos para el espacio proyectivo real RPn:RP1 =Rn+10R, dondexRy siempre quey = x con R 0,RP2 =Sn(1), dondep qsiempre queq = p.Veamos como identicar el espacio tangente a RPnen un punto, siguiendo ambos modelos.Empezamos con RPn2: Dadop Sn(1) y [p] =2(p) RPn2(aqu2 : Sn(1) RPn2es laproyeccion canonica), la diferencial(d2)p : TpSn(1) T[p]RPn2esunisomorsmodeespaciosvectoriales.Enefecto, contandodimensionesbastacom-probarqueker(d2)p= 0; si v ker(d2)pentoncesv(f 2) = 0 f C([p]). Porotro lado, comov TpSn(1) entoncesv = ni=1v(xi)_xi_pdonde (U, = (x1, . . . , xn))esuna carta para Sn(1) alrededor dep. Si probamos quepodemos elegir estas funcionescoordenadasxi de forma quexi = fi 2para ciertas fi C([p]), habremos terminado. Y esto es facil de probar, usando como sedoto de estructura diferenciable a RPn2. Por tanto:Podemos identicarT[p]RPn2conTpSn(1) vad(2)p(y por tanto, con p) Rn+1).Desde luego, podemos hacer la identicacion anterior de T[p]RPn2 con TpSn(1) va d(2)p.As,acadaw T[p]RPn2lecorrespondenunicosv1 TpSn(1), v2 TpSn(1)talesqued(2)p(v1)=w=d(2)p(v2). Pasandoadiferencialeslaigualdad2 A=2dondeA: Sn(1) Sn(1)eslaaplicaci onantpoda,concluiremosquev2=dAp(v1). Si ahoraidenticamosv1, v2convectores de p), podemosvervi=ti(0) Rn+1parai = 1, 2,dondei C((, ), Sn(1)), 1(0) = p,2(0) = p. Entonces,dAp(v1) = dAp(t1(0)) =ddt0(A 1)(t) =ddt0(1(t)) = ddt01(t) = v1,luegov2 = v1 como vectores de p). En resumen:Podemos identicar cada vector tangente en T[p]RPn2como un par de vectores tangentesa Sn(1) en puntos antpodas, siendo estos vectores opuestos.1.4. ESPACIOTANGENTE.DIFERENCIALDEUNAAPLICACION. 33Que tiene que verw T[p]RPn2como derivacion sobreC([p]) conv = (d2)1p(w) TpSn(1) como derivacion sobreC(p)? Es facil probar quewderiva a cada funcionf C([p]) comov=(d2)1p(w) TpSn(1) derivaafvistadesdelaesfera,esdecir,af 2. Notese que podemos subir a Sn(1) cada funcion deC([p]), pero el recproco noes cierto. En este sentido, la aplicacionC(RPn2) h C(Sn(1)) [ h A = h, f f 2,es biyectiva.Ahora hacemos lo analogo con RPn1. Consideremos la aplicacion diferenciablef: Rn+10 Sn(1), f(x) =x|x|.finduce un difeomorsmo f: RPn1 RPn2 tal que f 1 = 2f, donde 1 : Rn+10 RPn1eslaproyeccioncanonica.Pasando adiferencialesenunpuntox Rn+1 0la ultima igualdad y usando quedf1(x), (d2)f(x) son isomorsmos deespacios vectoriales,deducimos que ker(d1)x = ker(dfx). Por otro lado, un calculo sencillo nos dice que dadov Tx(Rn+1 0) Rn+1,dfx(v) =v|x| x, v)|x|3 x.Portanto, ker(dfx) Span(x). Contandodimensiones,tenemosdimker(dfx) 1,luegoker(dfx) = Span(x). En particular, conclumos:(dfx)[x) : x) Tf(x)Sn(1) es un isomorsmo de espacios vectoriales.ker(d1)x = Span(x).(d1)x[x) : x) T1(x)RPn1es un isomorsmo de espacios vectoriales.Podemos identicarTxRPn1con x), siendox Rn+10 cualquier elemento en11(x).Tambienpodemos preguntarnosquetieneque ver wTxRPn1comoderivacionsobreC(x) conv x)con (d1)x(v) =w, como derivacionsobreC(x). Larespuesta esque w deriva a cada funcion f C(x) como v x) deriva a f 1. Notese que podemossubira Rn+1 0 cadafunciondeC(RPn1) (yobtenemos unafuncioninvariante porhomotecias), peroel recproconoescierto: laaplicacionh h 1de C(RPn1)enh C(Rn+1 0) [ h(x) =h(x), R 0, x Rn+1 0, es biyectiva.34 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES1.5. Difeomorsmoslocales.Teorema1.5.1(Teoremadelafuncioninversa)SeaF: MnNnunaaplicaciondiferenciableyp M. Supongamosque dFp: TpMTF(p)Nesunisomorsmodeespacios vectoriales. Entonces, existen abiertosU M,V N, conp UyF(U) =Vtales queF[U: U Ves un difeomorsmo (y el recproco es cierto).Demostracion. Ejercicio. 2Denicion1.5.1Un difeomorsmo local entre dos variedades diferenciables M, N es unaaplicacionFC(M, N)tal que pM, ladiferencial dFp: TpMTF(p)Nesunisomorsmo deespaciosvectoriales. Equivalentemente, Fesundifeomorsmo enunentorno de cada punto deM. Notese queFno tiene porque ser sobreyectiva ni inyectiva.1.5. DIFEOMORFISMOSLOCALES. 35Ejercicios.1. En R seconsideranlosatlas /1 = (R, 1R), /2 = (R, t3). Demostrar queel cambiodecartasentre1R3 yt3noesdiferenciable. Deducir que /1y /2denenestructurasdiferenciablesdistintassobre R.Probarqueambasestructurasdiferenciablessondifeo-morfas.2. Probar quetodavariedaddiferenciableconexaesarco-conexa.3. Existeunatlasde S2formadopor unasolacarta?4. Sea Vun espacio vectorial real, B una base ordenada de Vy FB : V Rnel isomorsmodeespaciosvectorialesquellevacadax V ensuscoordenadasrespectoaB.Probarquela estructuradiferenciablegenerada por el atlas (V, FB) no dependedela base B(estructuradiferenciablecan onicaenunespaciovectorial).5. Probar queInesunvalor regular deF: /n(R) on(R), F(A) = A At.6. SeanM, Nvariedades diferenciables, y1: MNM, 2: MNNlasproyeccionescanonicasalosfactores.a) Probar que1, 2sondiferenciables.b) DadaunavariedadP yunaaplicacionf : PM N, demostrar que f esdiferenciablesi ysolosii fesdiferenciable,i = 1, 2.c) Probar que lainyecciones ip: NM N, jq: MM Ndadas porip(q) = jq(p) = (p, q), sondiferenciables.7. Seanf1 C(M1, N1), f2 C(M2, N2). Probar quef1f2 : M1M2 N1N2esdiferenciable.8. Seana, r > 0cona > r. Encontrarundifeomorsmoentreeltoro derevolucionT= (x, y, z) R3[ (_x2+y2a)2+z2= r2,ylavariedadproducto S1(1) S1(1).9. Probar que laaplicacionf : Rn+1 0 Sn(1)dadapor f(x)=x|x|, induce undifeomorsmoentrelosmodelosdel espacioproyectivocomococientede Rn+1 0porcoordenadashomogeneasycomococientede Sn(1) porlaaplicacionantpoda.10. Derivadadeundeterminante.a) Sea A C(]a, b[, /n(R)) una familia de matrices tal que t0 ]a, b[ con A(t0) =In.Probarque(det A)t(t0) = Traza(At(t0))(indicacion: usarlatensorialidaddeldeterminantesobrelascolumnasdeA(t)paracalcular (det A)t(t)).36 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESb) SeaA C(]a, b[, Gl(n, R)). Demostrar que(det A)t = det A Traza(AtA1) en ]a, b[.(Indicacion:Fijadot0 ]a, b[, aplicarelapartadoanterioraB(t) = A(t)A(t0)1).11. Probar queo(n(C) = A /n(C) [At= A, /(n(C) = A /n(C) [At= Ason subespacios vectoriales reales de /n(C) de dimension n2, y que /n(C) = o(n(C)/(n(C)(comoespaciosvectorialesreales).SeconsideralaaplicacionF: /n(C) o((C), F(A) = A At.Probar que ker(dFIn) = /(n(C),ydeducirquedFInessobreyectiva.Probar quedadaA U(n)(grupounitario),setiene ker(dFA) = A ker(dFIn). Deducirdeaqu queInesunvalor regular deF, ypor tantoU(n) esunasubvariedadde /n(C) dedimension(real) n2.12. ProbarquetodavariedaddiferenciableANII tieneunacantidadnumerabledecompo-nentesconexas.13. Probar lasProposiciones1.4.2 y1.4.3.14. Seap unpuntoenunavariedad diferenciableM. Probar quetodoelementodeTpMesladiferencial enpdeciertafuncionf C(p).15. SeaOunabiertonovaco deunavariedaddiferenciableM.Probar quedadop O, ladiferencial dip : TpO = TpM TpMeslaidentidad.16. SeanMn, Nmvariedadesdiferenciables, y (p, q) M N.a) Probar quelaaplicacion : T(p,q)(M N) TpM TqN, v _(d1)(p,q)(v), (d2)(p,q)(v)_,es unisomorsmode espacios vectoriales, donde 1, 2sonlas proyecciones deMNsobresusfactores.Demostrar quesuinversavienedadapor1(v1, v2) = (diq)p(v1) + (djp)q(v2), (v1, v2) TpMTqN.Deestaforma, identicaremosT(p,q)(M N)conTpM TqN.1.5. DIFEOMORFISMOSLOCALES. 37b) Demostrar que a nivel de vectores tangentesa curvas, la identicacion anterior aso-cia (1, 2)t(0) con (t1(0), t2(0)), donde 1, 2 son curvas diferenciables valuadasenMyN,respectivamente.c) SeaPunavariedaddiferenciableyF C(P, MN),concomponentes F=(F1, F2)acadaunodelosfactores. Probarquedadox P, setiene dFx=((dF1)x, (dF2)x).IdenticaremosdFx ((dF1)x, (dF2)x) .d) SeaF C(MN, P).Probarquedados (p, q) M Ny (v1, v2) TpM TqN, setienedF(p,q)_1(v1, v2)_= (dF iq)p(v1) +(dF jp)q(v2), dondeip, jqsonlasinyeccionesdenidasenelejercicio6.IdenticaremosdF(p,q)(v) (dF iq)p(v1) + (dF jp)q(v2) si v (v1, v2).e) SeanFi C(Mi, Ni), i =1, 2.Probarque_d(F1 F2)(p,q)(1(v1, v2)) =((dF1)p(v1), (dF2)q(v2)). Identicaremosd(F1F2)(p,q) ((dF1)p, (dF2)q) .17. Enlaesferaunidad Sn= Sn(1) Rn+1, seconsideranlosabiertosUN= Sn pN,US = SnpS, donde pN, pSson los polos norte y sur, respectivamente.Se consideranlas proyecciones estereogracasN: UN Rn, N(x1, . . . , xn+1) =11 xn+1(x1, . . . , xn),S : US Rn, N(x1, . . . , xn+1) =11 +xn+1(x1, . . . , xn).Interpretar geometricamente Ny S. Probar quelas inversasde estasaplicacionesson1N: RnUN, 1S: RnUS,1N(y1, . . . , yn) =11 + |y|2_2y1, . . . , 2yn, |y|21_,1S(y1, . . . , yn) =11 + |y|2_2y1, . . . , 2yn, 1 |y|2_,yque (UN, N), (US, S)esunatlassobrelaesfera.18. Sea F: M Nuna aplicaci on diferenciable entre variedades, tal que dFp = 0 p M.ProbarqueFesconstanteencadacomponenteconexadeM(suponemos queNesHausdor).38 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES19. Dada una variedad diferenciableMy una funcion f C(M), un puntop Mse diceun punto crtico de fsi dfp = 0. Estudiar los puntoscrticos de las siguientesfunciones.a) Funcionaltura:Fijadoa Sn(1), f: Sn(1) Rdadaporf(p) = p, a).b) Funciondistanciaalcuadrado:Fijadop0 Rn+1, f: Sn(1) R dadaporf(p) =|p p0|2.20. Demostrarquelafuncionf: Sn(1) Rdadaporf(x1, . . . , xn+1) =n+1

i=1ix2i,induceunaaplicaciondiferenciablef : RPnR.Calcularlospuntoscrticosdef.21. SeaF: S2(1) R4dadapor F(x, y, z)=(x2 y2, xy, xz, yz). Probar que existeFC(RP2, R4) tal que F =F, donde : S2(1) RP2es laproyeccioncanonica. DemostrarquedF[p]esinyectiva [p] RP2, yqueFesunembebimientotopologicode RP2en R4(estoesloquesellamaun embebimiento diferenciable,yasuimagenselellama una subvariedadde R4).Vergracos enhttp://www.ugr.es/ jperez/docencia/geotop/RP2enR4.html22. ProbarqueSO(2)es difeomorfoa S1(1)mediantelaaplicacionF: S1(1) SO(2)dadaporF(a, b) =_a bb a_.23. Probar quelaaplicacionF: S3(1) /3(R)dadaporF(x1, x2, x3, x4) =__2(x21 + x22) 1 2(x1x4 + x2x3) 2(x2x4 x1x3)2(x2x3 x1x4) 2(x21 + x23) 1 2(x1x2 + x3x4)2(x1x3 + x2x4) 2(x3x4 x1x2) 2(x21 + x24) 1__estavaluadaenSO(3), yqueinduceundifeomorsmode RP3enSO(3).24. EltorodeClifford.Sea F: S1(1)S1(1) R4la aplicacion dada por F(x1, x2, x3, x4) =12(x1, x2, x3, x4).(A) Probarque F(S1(1)S1(1)) S3(1)es diferenciable, condiferencial inyectivaencadapunto, yqueF: S1(1)S1(1) S3(1)esunembebimientotopologicode S1(1)S1(1)en S3(1)(decimosqueFesunembebimientodiferenciable,ysuimagen,una subvariedadde S3(1)). AF(S1(1)S1(1)) selallamael toro deCliord.1.5. DIFEOMORFISMOSLOCALES. 39(B) Demostrar que la proyeccion estereograca del toro de Cliord en R3desde el punto(0, 0, 0, 1) S3(1)esel toroderevolucionobtenidoal rotaralrededordel ejezlacircunferenciaderadio 1centradaen (2, 0, 0).25. Eltoroequil atero.(Subvariedadde S5(1) difeomorfa altoro derevolucion).ConsideremoslaaplicacionF: S1(1)S1(1) R6dadaporF(x1, x2, x3, x4) =13(x1, x2, x3, x4, x1x4 x2x3, x2x4 +x1x3).ProbarqueFproduceunembebimientodiferenciablede S1(1)S1(1)en S5(1).Asuimagen(subvariedadde S5(1)) selellamael toro equilatero.26. EmbebimientodeVeronese.ConsideremoslaaplicacionF: S2(1) R5dadaporF(x, y, z) =_12(x2y2), xz, yz, xy,36(x2+ y22z2)_.Probarque Finduce unembebimientodiferenciableF: RP2S4(1/3)(llamadoembebimiento de Veronese).27. Probarquesi B = v1, . . . , vn,Bt= vt1, . . . , vtnsondosbasesde Rn,entonceslostoros TnB, TnB asociadosaB, Btsondifeomorfos.28. Probar quelaaplicacionF: RnS1(1)n). . . S1(1)dadaporF(x1, . . . , xn) =_e2ix1, . . . , e2ixn_, (x1, . . . , xn) Rn,induceundifeomorsmodel toron-dimensional TBuen S1(1)n). . . S1(1),dondeBueslabasecanonicade Rn.29. Consideremos R2con su estructuradiferenciable usual. Fijado un vector no nulo a R2,seaa= ka/k Zel grupocclicogeneradopora. Denimosunaacciondeasobre R2por : aR2R2/(ka, p) = p + ka.(A) Probar que la accion es diferenciable y propiamente discontinua. As, R2/a tieneestructurade variedad diferenciable, a la que llamaremos Ca. Demostrar que dadosa, b R2nonulos,Caessiempredifeomorfa aCb.(B) Dadoa R2nonulo,demostrarqueexisteunembebimientodiferenciabledeCaen R3cuyaimageneselcilindrocircular recto (x1, x2, x3) R3/x21 +x22 = 1.40 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLES30. Probar que RP1esdifeomorfo a S1,yque CP1esdifeomorfo a S2.31. GruposdeLie.UngrupodeLiees ungrupoalgebraico(G, )juntoconunaestructurade variedaddiferenciablequehacediferenciablesalasaplicacionesGG G(g1, g2) g1 g2,G Gg g1a) Probar que dado cualquier g G, la traslacion a izquierda lg : G G / lg(x) =gxy la traslacion a derecha rg : G G / rg(x) = xgsondifeomorsmos deGensmismo.b) Demostrar que el producto de dos grupos de Lie, con laestructura algebraicaproductoylaestructuradiferenciableproducto,vuelveaserungrupodeLie.c) Probar quesiGesungrupodeLieyH Gesunsubgrupoalgebraico deGqueademasessubvariedaddeG,entoncesHtambienesungrupodeLie.d) DemostrarqueGl(n, R), O(n, R), S1(1) y S1(1)S1(1) songruposdeLie.32. Elespaciocuaterni onicoyelproyectivocuaterni onico.Amediados del sigloXIX, Hamiltonbuscaba formas de generalizar el cuerpode losnumeroscomplejosadimensionessuperiores, yencontrounageneralizacionnatural deC R2endimension4, es decir, unaestructura de cuerponoconmutativo enR4queextiendedeformanatural a C.EnhonoraHamilton,sueledenotarseal cuerpodecuaterniospor H. Nosotrosusamosenestecursoestamismanotacionparael espaciohiperbolico, peronoproduciremos confusionyaque solodedicaremos este ejercicioaestudiar algunos aspectos curiosos del espaciode cuaterniosHysuproyectivizacion,HPn;dejaremoslanotacion Hfueradeesteejercicioparaelespaciohiperbolico.Sea H elespaciodeloscuaternios,H = a + b +c +dk [a, b, c, d R,dotadodelasumayel productohabituales: lasumaseefectuacomponenteacompo-nente, yelproductoextiendepormultilinealidadapartir delatabla k 1k k 1 k 11.5. DIFEOMORFISMOSLOCALES. 41Probar que H es isomorfo a R4como espacio vectorial real (basta identicar a+b +c +dk Hcon (a, b, c, d) R4).Probar queel productodecuaterniosnoesconmutativo,aunque admiteunelementoneutro(1 =1 + 0 + 0 + 0k)ycadaelementotieneununicoinverso(elmismoporamboslados).El conjugadodeq=a + b + c + dk Hsedenecomoq=a b c dk, ylanormacomo[q[ =_q q =_q q =_a2+b2+ c2+ d2.Probar quedadosq, qt H,setiene:Siq ,= 0, entonceselinversodeqesq1=q[q[2.[qqt[ = [q[[qt[.Siq = a +b +c +dk,entoncesq2= (a2b2c2d2) + 2ab + 2ac + 2adk.El conjuntodecuaterniosdenorma 1 seidenticadeforma naturalconla esfera S3(1),loquedotaaestaultimadeestructuradegrupomultiplicativo6.Existeunacuriosarelacionentre C, S2(1), S3(1) y H:Consideremoslaaplicacion : S2(1) S3 H, (b, c, d) = 0 + b +c + dk.Probarque(S2(1)) = q S3[ q2= 1. Fijadoq (S2(1)), llamemos C(q)= + q [, R. Demostrarquelaaplicacionh : C C(q), h( +i) = +q.esunisomorsmodecuerpos,yportanto C(q)puedeversecomounacopiade C(yqhace el papelde unanueva unidadimaginaria). De esta forma, H puedeverse como unauniondeinnitascopiasde C, todascompartiendoel ejereal, pero cadaunacon unejeimaginario, parametrizados estosenlospuntosde(S2(1)).Si consideramos es producto cartesiano de n copias del espacio de cuaternios, tendremosHn R4n(noconfundirconelespaciohiperbolicon-dimensional).Acontinuacionconstruiremoselespacioproyectivocuaternionico:sobre Hn+1 0seconsideralarelacionde equivalenciaque identica puntos dentrode lamismarectacuaternionicapasandoporelorigen de Hn+1(notesequeunarectacuaternionicaesunplano4-dimensional real):qRqt H 0 talqueqt = q,6Lomismopasacon S0= {1, 1}ycon S1. Dehecho, estassonlas unicasesferas SnconestructuradegrupodeLie. S7admiteunavisionsimilara S3cambiandoloscuaterniosporotrotipoden umeros,llamadosoctonios, peroelproductodeoctoniosnoesasociativo).42 CAPITULO1. VARIEDADESDIFERENCIABLESdondeelproductoqseentiendecomponenteacomponente, esdecirq = (q1, . . . , qn+1) siq = (q1, . . . , qn+1) Hn+10.Al espacio cociente HPn= (Hn+10)/Rse le llama espacio proyectivo cuaternonico.Lascartasdeunatlasdiferenciablesobre HPnsedenendeformasimilaral casoreal(RPn)oal complejo(CPn). Construir unatlasdiferenciablesobre HPnsiguiendolosesquemasde RPny CPn.Probarquecadarectacuaternionicapasandoporel origendeHn+1cortaalaesferaunitaria S4n+3 R4n+4 Hn+1enunaesfera3-dimensional S3 S4n+3.Concluirquelarestricciondelarelaciondeequivalenciaanteriorde Hn+10a S4n+3esDadosq, qt S4n+3, qRqt S3(cuaterniosunitarios)tal queqt = q,Yportanto, HPn= S4n+3/R S4n+3/S3esunespaciocompacto.Probar que HP1esdifeomorfo a S4.Captulo2CAMPOSYFORMASDIFERENCIABLES2.1. CamposdeVectores.AlgebradeLiedeloscamposdevectores.A lo largo de esta seccion,Mdenotara una variedad diferenciable de dimensionn.Denicion2.1.1El brado tangente aMes el conjuntoTM := _pMTpM.A los elementos deTMlos representaremos indistintamente porv TpMo (p, v). Rep-resentaremos por : TM Ma la proyeccion natural, esto es(v) =p siv TpM. Esposible dotar aTMde estructura de variedad diferenciable 2n-dimensional (ejercicio 1).Un campo de vectores enMes una aplicacionX : M TMtal que X = 1M(enprincipio, no exigimos ninguna regularidad aX). A la imagen de un puntop MporXse le representara porXp.Si X, Y soncamposdevectoresenM, f: M Runafuncion(nonecesariamentediferenciable) y R, entoncesX +Y , XyfXson los campos de vectores dados por(X + Y )p = Xp +Yp, (X)p = Xp, (fX)p = f(p)Xp, p M.Nota2.1.1Sea (U, = (x1, . . . , xn)) una carta enM.La aplicacionxi: U TU TMdada porxi(p) =_xi_p, p U,4344 CAPITULO2. CAMPOSYFORMASDIFERENCIABLESes un campo de vectores enUpara cadai = 1, . . . , n.Dado un campoXenM, existen funcionesai : U R para i = 1, . . . , n tales queX[U =n

i=1aixi. (2.1)Denicion2.1.2Uncampodevectores Xsobre Msedicediferenciablesi existeunatlas (U, =(x1, . . . , xn)),enMtal quelas funcionesai: U Rdadaspor(2.1) para(U, =(x1, . . . , xn))=(U, =(x1, . . . , xn))sondiferenciablesparatodoi = 1, . . . , n y todo / (la denicion es correcta, ya que no depende del atlas escogidoenM). Al conjunto de campos diferenciables sobreMlo denotaremos porX(M).Nota2.1.2La denicion anterior de diferenciabilidad de un campo X sobre Mes equivalente a queX C(M, TM), con la estructura diferenciable en TMdada por el ejercicio 1. Sinembargo, evitaremos este punto de vista para prescindir de la estructura diferenciablesobreTM.Si (U, = (x1, . . . , xn)) es una carta enM, entoncesxi X(U), i = 1, . . . , n.SiX, Y X(M), R yf C(M), entoncesX +Y, X, fX X(M). Es claro queX(M) tiene estructura de espacio vectorial real y de modulo sobre el anillo C(M).Habamos denido los vectores tangentes en un puntop Mcomo derivaciones sobrefunciones denidas alrededor dep. Ahora estudiamos los campos como derivaciones sobrefuncionesglobalmentedenidas. Recordemosqueunaderivacionsobre C(M)esunaaplicacionF: C(M) C(M) que es lineal y cumple la regla del producto.Proposicion2.1.11. SeaX X(M) . DenimosFX : C(M) C(M) mediante [FX(f)](p) = Xp(f).Entonces,FXes una derivacion sobreC(M).2. Reciprocamente: si F:C(M) C(M)es unaderivacion,entonces deniendoX : M TMporXp(f) = [F(f)](p) para todop M, tenemos queXes un campodiferenciable de vectores (a partir de ahora identicaremosXyFX).Demostracion. Elapartado 1esconsecuenciadelaspropiedadesdederivaciondeXp TpMsobreC(p) y de la diferenciabilidad de la funcionX(f) f C(M); esta ultima2.1. CAMPOS DEVECTORES.ALGEBRA DE LIE DE LOS CAMPOS DE VECTORES.45se deduce de su expresion en cualquier carta (U, = (x1, . . . , xn)) deM, ya que si X[U =

iaixiconai C(U), entoncesX(f) 1=n

i=1(ai 1)(f 1)ri,que es una funcion diferenciable en(U).Veamos el apartado 2: Que Xp TpM es porque Xp es una derivacion sobre C(p) (noolvidemos quetoda funciondiferenciable alrededor dep puedeextendersea una funcionglobalmente denida enM, gracias al Lema 1.3.2). Queda ver la diferenciabilidad deX.Sea X[U =

ni=1aixila expresion local de X[U en combinacion de los campos basicosasociados a una carta (U, = (x1, . . . , xn)) enM. Comoxi(xj) = ij(delta de Kroneck-er), entonces (X[U)(xj) =aj. Por tanto, si vemos que (X[U)(xj) C(U) jhabremosterminado.La diferenciabilidad de(X[U)(xj) enunpunto arbitrarioq Usededucedequexjcoincide en un entorno abierto Vde q con cierta funcion globalmente denida xj C(M)(de nuevo por el Lema 1.3.2), ahora solo hay que aplicar queX( xj) = F( xj) C(M) yque [X( xj)][V= [(X[U)(xj)][V. Veamos que esta ultima igualdad es cierta:Seaq1 V . ComoXq1 Tq1M, existe : (, ) Mdiferenciable con(0) =q1,t(0) =Xq1. Entonces, [X( xj)](q1) =Xq1( xj) = ( xj )t(0)()=(xj )t(0) =Xq1(xj) =(X[U)q1(xj) = [(X[U)](xj)](q1), donde en () hemos usado que puede suponerse valuadaenV . 2Usando la identicacion anterior se puede dotar a X(M) de una estructura de algebrade Lie1mediante el corchete de Lie:X(M) X(M) X(M)(X, Y ) [X, Y ],donde[X, Y ](f) = X(Y (f)) Y (X(f)), f C(M).Este producto tiene las siguientes propiedades (probarlas como ejercicio).1. [X + Y, Z] = [X, Z] + [Y, Z]2. [X, Y ] = [Y, X],3. [fX, gY ] = fg[X, Y ] +fX(g)Y gY (f)X,1Un algebradeLie es unespaciovectorial Vsobreuncuerpo K (ennuestrocaso, K = R) junto conunaoperacionbinaria[, ]quecumplelaspropiedades1, 2, 3dearribaparaf, gconstantesytambiencumplelaidentidaddeJacobi.46 CAPITULO2. CAMPOSYFORMASDIFERENCIABLES4. [[X, Y ], Z] + [[Z, X], Y ] + [[Y, Z], X] = 0(identidaddeJacobi), X, Y, Z X(M), a, b R,f, g C(M).La regla de Schwarz para funciones enC(Rn) nos dice que dada una carta (U, =(x1, . . . , xn))enMyunafuncionf C(U),setienexi_xj(f)_ =xj_xi(f)_,ypor tanto[xi,xj] = 0, i, j = 1, . . . , n.Sin embargo, en general no es cierto queX(Y (f)) = Y (X(f)). Por ejemplo, consideremoslos campos X, Y X(S2(1)) dados por Xp = e1p, Yp = p, e3)pe3 (es claro que Xp, Yp TpS2(1) p y que X, Y C(S2(1), R3); como veremos mas abajo, esto sera suciente paraqueX, Ysean campos diferenciables sobre S2(1)). Dado p S2(1),[X(x2)](p) = (dx2)p(e1 p) = x2(e1 p) = x3(p),[Y (x2)](p) = (dx2)p(x3p e3) = x3(p)(dx2)p(p) = x3(p)x2(p)luego[Y (X(x2))](p) = Yp(x3) = (x3(p)p e3)(x3) = x3(p)d(x3)p(p) d(x3)p(e3)= x23(p) + 1,[X(Y (x2))](p) = Xp(x2x3) = x2(p)Xp(x3) + x3(p)Xp(x2)= x2(p)(dx3)p(e1 p) + x3(p)(dx2)p(e1p)= x2(p)x3(e1 p) + x3(p)x2(e1 p)= x22(p) x23(p).Proposicion2.1.2SeaF: Mn1Mn2undifeomorsmo. ConsideremoslaaplicacionF : X(M1) X(M2) dada por(FX)F(p) := dFp(Xp), X X(M1), p M1.Entonces:1. (FX)(h) = X(h F) F1, h C(M2).2. F(aX+bY ) = aFX+bFY, F(fX) = (f F1)FX, a, b R, X, Y X(M1),f C(M1).3. [FX, FY ] = F[X, Y ], X, Y X(M1).4. SiM1F1M2F2M3son difeomorsmos, entonces (F2 F1) = (F2) (F1).5. (F1) = (F)1, (1M) = 1X(M).2.1. CAMPOS DEVECTORES.ALGEBRA DE LIE DE LOS CAMPOS DE VECTORES.47Demostracion. Ejercicio. 2Por ejemplo, consideremos el difeomorsmo de Sn= Sn(1) dado por la aplicacion antpoda,A(p) = p, p Sn. ComoA A= 1Sn, entonceselautomorsmoAdeX(Sn)cumpleA A = 1X(Sn). Por tanto,X(Sn) = X+(Sn) X(Sn),siendoX(Sn) = X X(Sn) [AX = X.En estas condiciones, es posible probar que si : SnRPnes la proyeccion canonica,entonces existe un isomorsmo de algebras : X+(Sn) X(RPn),denido por (X)(p) = dp(Xp), p Sn. Notese que la denicion de es formalmentela misma que hemos hecho para un difeomorsmo, aunque : Sn RPnno es un difeo-morsmo. El concepto queextiende esta situacion es el de campos relacionados por unaaplicacion diferenciable.Denicion2.1.3Sea C(M, N),siendoM, Nvariedadesdiferenciables. Decimosque dos camposX X(M), Y X(N) estan-relacionados sidp(Xp) = Y(p), p M.As cuando : M Nes un difeomorsmo, entonces cada X X(M) solo esta relaciona-do con X X(N). En el caso anterior de Sn, cada campo X X+(Sn) esta -relacionadocon el campoX X(RPn) (y viceversa).Veamos como identicar los campos de algunas variedades sencillas.Ejemplo2.1.11. Usando la identicacion : TpRn Rndada en el Ejemplo 1.4.1, podemos deniruna biyeccion : X(O) C(O, Rn) dondeO Rnes cualquier abierto, dada por[(X)](p) = (Xp(x1), . . . , Xp(xn)), p O, X X(O).Notese que lleva los campos basicos para la carta (O, 1O) en los vectores de la basecanonica, vistos como aplicaciones constantes deO en Rn.2. SeaMn Rkuna subvariedad. Usando la identicacion entreTpMy el subespacio( dip)(TpM) de Rkdado en la Proposicion 1.4.4, podemos denir una biyeccionX(M) F C(M, Rk) [F(p) ( dip)(TpM), p MX _FX: M Rk,p FX(p) = (Xp(x1 i), . . . , Xp(xk i))_48 CAPITULO2. CAMPOSYFORMASDIFERENCIABLES3. Sea a Snun vector jo. Denimos un campo Xa X(Sn) como el que se identicamedianteelpunto2conlaaplicacionF(p)=a p, a)p, siendo , ) elproductoescalar usual en Rn+1. Si n = 2, podemos denir otro campo Ya X(S2) como el quese identica con la funcionG(p) =pa. Ahora los dos campos del ejemplo dadeoantes de la Proposicion 2.1.2 tienen sentido.4. Siguiendo los argumentos dados antes de la Denicion 2.1.3, tenemos que los campossobre RPnpueden identicarse de la siguiente forma:X(RPn) F C(Sn, Rn+1) [ F(p), p) = 0 y F(p) = F(p), p Sn.5. SeaX /n(R) una matriz antisimetrica. Entonces, las aplicaciones F, G : O(n) /n(R) dadas porF(A) = AX, G(A) = XA, A O(n),denencampos diferenciables devectores sobreO(n). Estos campos tienenla par-ticularidad de no tener ceros en ning un punto deO(n).6. Sea X /n(R) una matriz con traza cero. Entonces las funciones F, G : Sl(n, R) /n(R) dadas porF(A) = AX, G(A) = XA, A Sl(n, R),denen campos diferenciables de vectores in Sl(n, R), que vuelven a tener la propiedadde no tener ning un cero.7. Sea : GM Muna accion diferenciable y propiamente discontinua de un grupoalgebraico G sobre una variedad diferenciable M. Recordemos que M/G admite una unica estructura diferenciable que hace a la proyeccion canonica : M M/G undifeomorsmolocal (Proposicion 1.3.3). Dadop M,podemosidenticarTpMyT(p)(M/G) vadp, que es un isomorsmo de espacios vectoriales. Es facil ver quecada campo X X(M/G) dene un campoX X(M) mediantedp(Xp) = X(p), p M,es decir,Xesta-relacionado con X. Ademas, sig : M Mes cualquiera de losdifeomorsmos de Mdados por la accion, puede probarse que X esta g-relacionadocon s mismo,(dg)p(Xp) = Xgp, p M,2.1. CAMPOS DEVECTORES.ALGEBRA DE LIE DE LOS CAMPOS DE VECTORES.49y esto g G. Pues bien, esta construccion determina todos los campos diferencia-bles sobreM/G. En otras palabras, la aplicacionX(M/G) X X(M) [ (g)X = X, g GX _X : M TMp X(p) = (dp)1(X(p))_esunabiyeccion.Estogeneralizala descripciondeloscamposen RPndadaenelpunto 4, y tambien permite identicar los campos diferenciables en un toro Tnco-ciente de Rnpor las n traslaciones de vectores linealmente independientesv1, . . . , vncomo las aplicaciones F C(Rn, Rn) que son periodicas por el retculo de Rndadopor Zv1 . . . Zvn.Proposicion2.1.3(Extensiondecampos) SeanUunabiertode M, XX(U)yp M. Entonces, existenV Uabiertoconteniendo ap y X X(M) tales que X[V=X[V.Demostracion. Tomemos un cerradoFy un abierto Ut deMque cumplanp Int(F), F U Ut U.ComoF Ut, elCorolario 1.3.2 asegura queexistef C(M) tal quef=1 enFyF= 0 enM Ut. DenimosV:= Int(F), abierto deMconteniendo ap y contenido enU. Denimos X : M TMmedianteq M Xq =_f(q)Xqsiq U,0 siq/ U.X[U, X[Msoporte(f)sonclaramentediferenciables.Comosoporte(f) Ut U,tenemosM= U(Msoporte(f)), y por tanto deducimos que X X(M). Por ultimo, X[F= X[Fporquef[F= 1. Por tanto, X[V= X[V. 2Corolario2.1.1Seap Myv TpM. Entonces, existeX X(M) tal queXp = v.Demostracion. Tomemosunacarta local(U, =(x1, . . . , xn))alrededordep.As, v=

ni=1ai_xi_ppara ciertosai R,i = 1, . . . , n. DenimosX =

ni=1aixi X(U) (concoecientesconstantes). Por la Proposicion 2.1.3, existe unabiertoVconteniendo ap ycontenido enU, y existe X X(M) tal que X[V=X[V. Este Xes el campo global quebuscabamos. 250 CAPITULO2. CAMPOSYFORMASDIFERENCIABLES2.2. 1-formasdiferenciables.En esta seccion estudiaremos el concepto dual del de campo de vectores. De nuevoMdenotara una variedad diferenciable de dimensionn.Denicion2.2.1El brado contangente aMse dene comoTM:= _pMTpM= _pM(TpM).Representamos por : TM Ma la proyeccion natural, esto es() = p si TpM.DeformaanalogaaloqueocurreconTM, esposibledotaraTMdeestructuradevariedad diferenciable 2n-dimensional, que convierte a : TM Men una submersion.Pero no usaremos esa estructura diferenciable en lo que sigue.Una1-formaenMesunaaplicacion: M TMtal que =1M,sin exigirregularidad alguna a . A la imagen de un punto p por se le representara por p TpM.Si, son 1-formas enM,f: M R una funcion (no necesariamente diferenciable)y R, entonces +, yf son las 1-formas dadas por( + )p = p +p, ()p = p, (f)p = f(p)p, p M.Nota2.2.1En el Ejemplo 1.4.2 veamos la diferencialdfpde cadaf C(M) como elementoenTpM. Por tanto, p M dfp TpMdeneuna 1-forma a la que llamamos ladiferencial de f y representamos pordf.Sea(U, =(x1, . . . , xn))unacartaenM.Entonces, dxiesuna1-forma sobreUi, y (dx1)p, . . . , (dxn)p es la base dual enTpMde la base _x1_p, . . . ,_xn_p.Dada una 1-formasobreM, existen funcionesai : U R parai = 1, . . . , n talesque[U=n

i=1aidxi. (2.2)Denicion2.2.2Una 1-forma en Mse dice diferenciable si existe un atlas (U, =(x1, . . . , xn)), enMtal que las funcionesai: U R dadas por (2.2) son diferencia-bles para todo i = 1, . . . , n y todo / (la denicion es correcta, ya que no depende delatlas elegido enM). Al conjunto de 1-formas diferenciables sobreMlo denotaremos por1(M).Nota2.2.22.2. 1-FORMASDIFERENCIABLES. 51Si f C(M)esdiferenciable,entoncesdf 1(M). Dehecho,la diferencialdefunciones dene un operador d : C(M) 1(M) cumpliendod(f + g) = df +dg, d(fg) = f dg +g df, f, g C(M).Si (U, = (x1, . . . , xn)) es una carta enM, entoncesdxi 1(U), i = 1, . . . , n.Si , 1(M), R y f C(M), entonces +, , f 1(M). As, 1(M)tiene estructura de espacio vectorial real y de modulo sobre el anillo C(M).Proposicion2.2.11. Sea 1(M). DenimosF : X(M) C(M) mediante [F(X)](p) =p(Xp).Entonces, se tienen:F(X +Y ) = F(X) +F(Y ), F(fX) = fF(X), f C(M).2. Reciprocamente: si F: X(M) C(M) es una aplicacion que cumple las propiedadesanteriores, entonces deniendo : MTMpor p(v) =[F(X)](p) dondeX X(M)cumpleXp=v(este campoXexisteporelCorolario2.1.1),tenemosqueestabien denida(esindependiente delcampoXelegido)yesuna1-formadiferenciable sobreM.Demostracion. El apartado 1 es trivial. En cuanto al apartado 2, primero veremos que ladenicion de no depende deX. Esto sera consecuencia de varias observaciones.SeaU Mabierto yX X(M) tal queX[U = 0. Entonces, [F(X)][U = 0.Enefecto, jemos p Uyveamos que[F(X)](p) =0. Como p, M Usoncerrados disjuntos deM, el Corolario 1.3.2 asegura que existefp C(M) tal quefp[MU=1yfp(p)=0.ComoX[U=0,tenemosX=fpXenM(razonarporseparado enUy enM U), luegoF(X) =F(fpX) =fpF(X). Evaluando enp yusando que fp(p) = 0, tenemos [F(X)](p) = 0. Como p es arbitrario en U, conclumosque [F(X)][U = 0.Ahora podemos denir la restriccion F[U: X(U) C(U) de Fa cualquier abiertoU M, de la siguiente forma: DadoX X(U) yp U, se dene [(F[U)(X)](p) =[F(X)](p), donde X X(M)escualquiercampotal que X[Vp=X[Vp,siendoVpun abierto deUconp Vp (la existencia de X,Vp son consecuencia de la Proposi-cion 2.1.3). Para que esta denicion sea correcta, debemos probar queF[U no depended