geometriapauulpgc

IES Saulo Torn Matemticas II Departamento de Matemticas Geometra del espacio

1

Ejercicios de PAU de la Universidad de Las Palmas

1. (junio 99) Se considera la recta

. Determinar a para que el

plano sea paralelo a r. Decir para qu valor de b la recta est

contenida en el plano.

Si el plano es paralelo a la recta, los vectores (normal del plano) (director de la recta)

sern perpendiculares y, por lo tanto, su producto escalar ser nulo. Para encontrar el

vector director de una recta dada como interseccin de dos planos, tenemos en cuenta

que la recta est contenida en cada uno de los planos por lo que su vector director es

perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de ambos planos, es decir, es su producto

vectorial:

Si la recta est contenida en el plano, cualquier punto de la recta cumplir la ecuacin del

plano. Para hallar un punto de la recta, damos un valor arbitrario a una de las variables y

resolvemos el sistema resultante. Por ejemplo, si damos a z el valor 0, tenemos:

El punto R est en el plano si

2. (junio 99) Calcular la ecuacin del plano que contiene a la recta definida por el punto

(1, 1, 1) y el vector (0, 5, 3) y que pasa por el punto P(1, 0, 5)

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado

por un punto A y dos vectores , y definida por la siguiente

condicin: Cualquier punto Q(x, y, z) del plano debe verificar que

es combinacin lineal de luego el determinante formado por

los tres vectores es nulo.

En nuestro caso, el plano est determinado por un punto R(1, 1, 1) y los vectores

y . Su ecuacin general ser


2

3. (septiembre 99) Determinar el valor de k para que los puntos (k, 3, 2), (2, 3, k) y

(4, 6, 4) no pertenezcan a un nico plano. Se puede construir una recta con esos

tres puntos para el valor de k encontrado?. Encontrar la recta que contiene a los tres

puntos, en caso afirmativo.

Tres puntos no alineados determinan un nico plano.

Tres puntos alineados determinan una recta que est contenida en infinitos planos

(haz de planos)

Para que los tres puntos no pertenezcan a un nico plano, deben estar alineados, es decir, los

vectores que determinan tendrn la misma direccin y, por tanto, sus componentes sern

proporcionales:

Resolviendo ambas ecuaciones, el valor de k tiene que coincidir:

Para k = 2, la ecuacin en forma continua de la recta que contiene a los tres puntos ser:

4. (septiembre 99) Calcular el valor de k para que la recta

y el plano

a) Sean paralelos (sin punto comn)

La recta pasa por el punto R (0, 0, 1) y su direccin es

Para que la recta y el plano sean paralelos, el vector director de la

recta y el vector normal (A, B, C) del plano deben ser perpendiculares

Vamos a comprobar que no tienen ningn punto comn verificando que R no est contenido

en el plano. Sustituyendo R(0, 0, 1) en la ecuacin del plano, no la cumple:

r


3

b) Cambiar el valor 4 de la ecuacin del plano para que la recta est contenida en el

plano.

Sustituyendo R(0, 0, 1) en la ecuacin del plano, tenemos: luego para

que la recta est contenida en el plano, el trmino independiente debe ser 1 en vez de 4.

5. (junio 2000) Discutir, segn los valores de k, la posicin relativa de los planos

Para estudiar la posicin relativa, resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de los tres

planos. Las matrices asociadas al sistema son

Los tres planos tendrn un solo punto en comn si R (C) = 3, es decir, si

Si , el sistema no tiene solucin nica y lo estudiamos.

luego:

Si los tres planos se cortan en un punto

Si k = 8 resolvemos el sistema aplicando el teorema de Rouch:

El sistema tiene infinitas soluciones por lo que los planos se cortan segn una recta. Pueden

darse dos casos:

a) los tres planos se sitan como las hojas de un libro abierto

b) dos planos coinciden y el tercero los corta.

Al hallar el rango hemos comprobado que , por lo

que los planos coinciden y los corta


4

6. (junio 2000) Se dan dos rectas definidas por las ecuaciones siguientes:

a) Investigar si son paralelas

Si son paralelas, sus vectores directores tendrn la misma direccin (componentes

proporcionales). Para encontrar el vector director de una recta dada como interseccin de dos

planos, tenemos en cuenta que la recta est contenida en cada uno de los planos por lo que su

vector director es perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de ambos planos, es decir, es

su producto vectorial.

Los vectores directores son iguales, luego las rectas son paralelas

b) En caso afirmativo, hallar la ecuacin del plano que las contiene:

El plano est determinado por el punto R y los vectores

Hallamos los puntos R y S dando un valor arbitrario a una de las

variables (por ejemplo, z = 0

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto A y dos

vectores , y definida por la siguiente condicin: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe

verificar que es combinacin lineal de luego el determinante formado por los

tres vectores es nulo.

operando,

7. (junio 2001) Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(1, 2, 4) y C(1, 3, 5) estn

alineados. En caso negativo, determinar la ecuacin del nico plano que los contiene

Si los puntos estn alineados, los vectores tienen la misma direccin y sus

componentes son proporcionales. En caso contrario, los tres puntos determinan un nico

plano.


5

luego los puntos no estn alineados y determinan un plano.

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto A y dos

vectores , y definida por la siguiente condicin: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe

verificar que es combinacin lineal de luego el determinante formado por los

tres vectores es nulo.

El plano est determinado por el punto A y los vectores y

El nico plano que contiene a los puntos A, B y C es el plano , que es paralelo

al plano YZ por x = 1

8. Junio 2001) En caso de que las dos rectas siguientes se corten en un punto, hallar las

coordenadas del mismo:

Si las dos rectas se cortan, determinan un plano y los vectores sern coplanarios y su determinante, nulo. Los puntos y las direcciones de las rectas son:

luego

las rectas se cortan. Para hallar el punto de corte, sustituimos en s los valores de x, y, z

presentes en r y obtenemos el valor de t:

Sustituyendo t = 2 en la ecuacin de r, obtenemos que el punto de corte es

9. (sept. 2001) Discutir la posicin relativa de la recta

y

el plano , en funcin del parmetro m.

Para estudiar la posicin relativa de y , planteamos el sistema formado por las ecuaciones

de ambos y discutimos las soluciones:

A

B

C


6

Si R(C) = R(A) = 3: El sistema tiene solucin nica luego r corta a

Si , R(C) = 2 (*)

si El sistema tiene solucin nica.

Si m = 2

si m = 3

(*) R(C) no puede ser menor que 2 porque en ese caso la recta estara

determinada por dos planos paralelos o coincidentes, lo que es imposible.

10. (sept. 2001) Determinar la posicin relativa de las rectas:

y

Vamos a determinar la posicin mediante vectores. Para ello, necesitamos un punto y un

vector de cada recta. Para encontrar el vector director de una recta dada como interseccin de

dos planos, tenemos en cuenta que la recta est contenida en cada uno de los planos por lo

que su vector director es perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de ambos planos, es

decir, es su producto vectorial. Para hallar un punto, damos un valor cualquiera a una de las

incgnitas (coordenadas) y resolvemos el sistema para calcular las dems.

r

r


7

3)

Como los vectores directores de las dos rectas son iguales, las rectas tienen la misma direccin.

Como, adems, tiene la misma direccin que y ,

11. (junio 2002) En el espacio se da la recta definida por los puntos (1, 2, 3) y ( 1, 6, 2).

Hallar el valor de k para que el punto (k, 2k, 3k) pertenezca a dicha recta:

El procedimiento ms sencillo es mediante vectores:

Para que los puntos A, B y P estn alineados,

deben tener la misma direccin, es decir, sus componentes

han de ser proporcionales o el rango de la matriz formada por ellos ser

igual a uno.

El nico valor de k que cumple las dos condiciones anteriores es k = 1 (comprobar). Pero en

ese caso, los puntos A y P coinciden, luego no hay ningn punto P (k, 2k, 2k) distinto del

A(1, 2, 3) y alineado con A y B.

12. (junio 2002) Dada la recta de ecuaciones

, se pide:

a) Cul es su vector director?

La ecuacin est en forma continua y su vector director es

b) Pertenece el punto (9, 1, 1) a la recta?

Si el punto pertenece a la recta, cumplir sus ecuaciones, es decir, si sustituimos las

coordenadas en la ecuacin de la recta, obtendremos dos identidades:

Es evidente que las dos igualdades son ciertas luego el punto (9, 1, 1) si

pertenece a la recta.

c) Las ecuaciones de una recta que tiene la misma direccin que la dada y pasa por

( 1, 1, 0)

Si la recta que buscamos tiene la misma direccin que la dada, los vectores directores de

ambas sern proporcionales (o iguales). Si pasa por el punto ( 1, 1, 0) su ecuacin continua

ser:


8

13. (sept. 2002) Decidir si el plano de ecuacin cartesiana x + y + z = 1 tambin viene

dado por las ecuaciones paramtricas

Las ecuaciones paramtricas de un plano determinado por un punto A ( y dos

vectores con distinta direccin son

Por lo que el plano del ejercicio est definido por el punto A(1/2, 1/2, 0) y los vectores

.

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto y dos vectores,

y definida por la siguiente condicin: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe verificar que

es combinacin lineal de luego el determinante formado por los tres vectores es

nulo.

luego

luego

14. (sept. 2002) Calcular el valor de a para que los cuatro puntos siguientes estn en un

mismo plano: A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) y D(1, 1, a).

Cuatro puntos A, B, C y D son coplanarios si los tres vectores que parten de uno de ellos hacia

los otros tres son linealmente dependientes, es decir, si el determinante formado por ellos es

nulo.

A

P


9

15. (junio 2003) Se sospecha que el plano definido por el punto A (1, 0, 5) y los vectores

se corta en un punto con la recta cuyas ecuaciones en

forma continua son

. Decidir razonadamente la cuestin.

Si nuestra sospecha ser cierta, el sistema formado por la ecuacin del plano (que

calcularemos) y las ecuaciones de la recta, tiene solucin nica.




nulo.

luego

El mtodo ms sencillo de resolver el sistema es el de sustitucin: Si sustituimos x, y, z (de la

ecuacin paramtrica de la recta) en la ecuacin del plano, obtenemos:

Sustituyendo t = 0 en la ecuacin de r,

Otro procedimiento:

Vectorialmente, si la recta no corta al plano ser paralela a l. En este caso, el vector director

de la recta y el vector normal del plano sern perpendiculares y su producto escalar, nulo.

El vector director de la recta lo leemos en la ecuacin. El vector normal del plano es

perpendicular a y , luego es su producto vectorial:

: la recta corta al plano.

16. (junio 2003) Hallar la ecuacin cartesiana del plano que pasa por el punto A(3, 0, 3) y

contiene a la recta cuyas ecuaciones son

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene

determinado por un punto y dos vectores, y definida por la siguiente condicin: Cualquier

A

P(x, y, z)


10

punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinacin lineal de luego el

determinante formado por los tres vectores es nulo.

En nuestro caso, el plano est determinado por el punto R y los vectores

Luego la ecuacin

cartesiana (o general) del plano ser:

17. (septiembre 2003) Dada la recta

, estudiar la posicin relativa de la recta r y el plano segn los

valores del parmetro m. Hallar tambin el punto de interseccin de la recta y el

plano en el caso de m = 1

Para estudiar la posicin relativa de la recta y el plano, discutimos las soluciones del sistema

formado por las ecuaciones de ambos mediante el teorema de Rouch:

Si R(C) = R(A) =3: El sistema tiene solucin nica luego r corta a

Si , R(C) = 2 (*)

(*) R(C) no puede ser menor que 2 porque en ese casola recta estara

determinadapor dos planos paralelos o coincidentes, lo que es imposible.

si El sistema tiene solucin nica.

.

Si m =4

El sistema tiene infinitas soluciones porlo que

r


11

Nos piden que hallemos el punto de interseccin en el caso de m = 1. Como sabemos que el

sistema tiene solucin nica, lo resolvemos mediante la regla de Cramer:

18. (sept. 2003) Obtener la ecuacin del plano paralelo a las dos rectas

Y que pasa por el punto P(1, 1, 2).




nulo. En nuestro caso, el punto es P y los vectores son las direcciones de las dos rectas.

Desarrollando el

determinante, luego la ecuacin del plano es

Otro procedimiento:

Si el plano es paralelo a las dos rectas, su vector normal ser perpendicular a las direcciones de

ambas, es decir, ser su producto vectorial. Conocidos un punto A y el vector normal, podemos

escribir la ecuacin normal del plano: Como A est en el plano, cualquier punto P (x, y, z) del

plano verificar que es perpendicular a y, por lo tanto,

La ecuacin normal del plano ser: desarrollando,


12

19. (junio 2004) a) Estn alineados los puntos A(1, 0, 1), B( 1, 1, 2) y C(3, 0, 1)? Justificar la

respuesta.

b) En caso afirmativo, determinar la ecuacin de la recta que los contiene. En caso

negativo, determinar la ecuacin del plano que pasa por los tres puntos.

El procedimiento ms sencillo es mediante vectores:

Para que los puntos A, B y C estn alineados,



igual a uno:

como las componentes no son proporcionales, los

puntos A, B y C no estn alineados.

El plano que contiene a los tres puntos es el lugar geomtrico de los puntos P(x, y, z) que

verifican que es linealmente dependiente de , es decir, que el determinante

formado por los tres vectores es nulo:

luego

19. (junio 2004) Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A(0, 2, 4) y a la recta

de ecuacin


determinado por un punto y dos vectores, y definida por la siguiente

condicin: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es

combinacin lineal de luego el determinante formado por



Efectuando, la ecuacin cartesiana del plano ser:

A B

C

A B

C


13

20. (septiembre 2004) Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto A(2, 4, 0) y

contiene a la recta

Cuando la ecuacin de la recta est en forma implcita (como interseccin de dos planos), el

mtodo ms sencillo para encontrar la ecuacin del plano que la contiene es mediante el haz

de planos.

El haz de planos que contiene a la recta r (excepto el ) es :

De todos ellos, el que pase por el punto A(2, 4, 0) ha de verificar que

Sustituyendo el valor de t en la

ecuacin del haz, el plano buscado es:

o bien, multiplicando por 2,

21. (septiembre 2004) Dados los planos de ecuaciones

determinar

los valores de a para que los tres planos pasen por una recta. Justificar.

Tres planos pasan por una recta en los dos casos siguientes:

Dos planos coinciden y uno los corta

Los planos se cortan dos a dos, como

las hojas de un libro abierto

En los dos casos, el sistema es compatible indeterminado:

Aplicando el teorema de Rouch, R(C) =R(A) = 2

Las matrices asociadas al sistema son

Para que


14

.

Los tres planos se cortan segn una recta. Adems, como los coeficientes de las ecuaciones

no son proporcionales, no hay planos coincidentes, luego la figura resultante corresponde al

segundo caso de la explicacin terica:

22. (junio 2005) a) Comprueba que las rectas y

se cortan en un punto.

Dos rectas que se cortan en un punto deben cumplir dos condiciones:

- Tienen distinta direccin (sus vectores directores no son proporcionales)

- Determinan un plano, es decir, los vectores directores de ambas rectas y el que une

los puntos R y S son linealmente dependientes por lo que su determinante es nulo.

Es evidente que las direcciones no son proporcionales:

Adems,

b)Hallar la ecuacin general del plano que contiene a las rectas dadas en el ejercicio

anterior.

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado por un punto (R) y los dos

vectores directores de las rectas, y definida por la siguiente condicin: Cualquier punto

P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinacin lineal de luego el


R

P


15

Desarrollando,

23. (junio 2005) a) Estudiar, segn los valores del parmetro m, la posicin relativa de los

planos:

Para estudiar la posicin relativa de los tres planos, discutimos el sistema formado por sus

ecuaciones. En este caso se trata de un sistema homogneo que, como sabemos, siempre

tiene solucin (ya que, al menos, siempre admite la solucin trivial: x = y = z = 0). Aplicando el

teorema de Rouch,

Si R(C) = 3. El sistema tiene solucin nica. Los planos se cortan en un punto.

Si , R(C) < 3. Estudiamos la posicin en cada caso.

Por lo tanto,

Si El sistema slo admite la solucin trivial: Los tres planos se cortan en el

origen de coordenadas.

Si

Los tres planos se cortan segn una recta. Caben dos posibilidades:

- Dos planos coinciden y uno los corta.

- Los tres planos se disponen como las hojas de un libro abierto.

Para que dos planos coincidan los coeficientes han de ser proporcionales. A la vista de la

matriz de los coeficientes, es evidente que no es nuestro caso, luego la figura que forman los

tres planos si m = 3 es:

b)Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(0, 1, 2), B(1, 0, 3) y C(2, 1, 0)

Tres puntos no alineados determinan un plano. El plano que los contiene es el lugar

geomtrico de los puntos P(x, y, z) que verifican que es linealmente dependiente de

, es decir, que el determinante formado por los tres vectores es nulo:

A

B

C


16

Desarrollando,

o bien,

24. (Septiembre 2005) Dada la recta

, hallar la ecuacin del

plano que contiene a sta y pasa por el punto A (0, 2, 1)

La recta pasa por el punto R (1, 1, 2) y su vector director es


determinado por un punto y dos vectores, y definida por la siguiente





Efectuando, la ecuacin cartesiana del plano ser:

25. (sept.2005) Estudiar la posicin relativa del plano y la

recta

segn los valores del parmetro m.

Un ejercicio idntico a ste ha sido resuelto en la pgina 5. Vamos a resolverlo por otro

procedimiento.

Vamos a hallar un punto y el vector director de la recta y a estudiar vectorialmente su

posicin con respecto al plano. Para encontrar el vector director de una recta dada como

interseccin de dos planos, tenemos en cuenta que la recta est contenida en cada uno de los

planos por lo que su vector director es perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de

ambos planos, es decir, es su producto vectorial. Para hallar un punto, damos un valor

cualquiera a una de las incgnitas (coordenadas) y calculamos las dems.


17

Si la recta corta al plano

Si , el vector director de la recta y el normal del plano son perpendiculares

por lo que la recta est contenida en el plano (si R o es paralela al plano (en

caso contrario).

Por lo tanto,

ya que

26. (junio 2006) a) Halla la ecuacin del plano determinado por los puntos A(1, 3, 2),

B(2, 0, 1) y C(1, 4 ,3).

Tres puntos no alineados determinan un plano. El plano que los contiene es el lugar

geomtrico de los puntos P(x, y, z) que verifican que es linealmente dependiente de

, es decir, que el determinante formado por los tres vectores es nulo:

Desarrollando,

o bien,

b)Estudia la posicin relativa de la recta

con respecto al plano anterior,

hallando el punto de interseccin en caso de que se corten.

El procedimiento ms sencillo es sustituir las ecuaciones paramtricas de la recta en la del

plano. Si en la ecuacin en t resultante obtenemos un valor nico para t, la recta y el plano

se cortan en el punto que resulta de sustituirlo en la ecuacin paramtrica de la recta:

A B

C


18

27. (junio 2006) Estudiar la posicin relativa de los siguientes planos segn los valores

del parmetro t:

Para estudiar la posicin relativa, discutimos y resolvemos el sistema formado por las

ecuaciones de los tres planos.

Las matrices del sistema son:

Discutimos el sistema segn los valores del parmetro:

El sistema tendr solucin nica (los tres planos se cortan en un punto) si R(C) = 3, es

decir, si .

Si lo estudiamos.

por lo tanto:

Si t = 1: Resolvemos el sistema por el teorema de Rouch:

El sistema es compatible

indeterminado. Los tres planos tienen una recta en comn.

Como dos ecuaciones son idnticas,

Si t =3,

S. Incompat.

No existe ningn punto comn a los tres planos .

Como las ecuaciones de los dos primeros planos slo

difieren en el trmino independiente, son paralelos.


19

28. (sept. 2006) Estudiar la posicin relativa de las rectas r y s. En caso de que se corten

en un punto, hallar las coordenadas del mismo.

Conocemos un punto de cada recta (R y S) y las direcciones de ambas. Para estudiar la posicin

relativa, trabajamos con los vectores .

29. (SEPT. 2006) Hallar la ecuacin implcita del plano que pasa por el punto A(0, 1, 0)

y es paralelo a las rectas

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinada por un punto (A) y dos

vectores con distinta direccin , y definida por la siguiente condicin: Cualquier

punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinacin lineal de luego el

determinante formado por los tres vectores es nulo. En nuestro caso, los vectores son las

direcciones de las rectas paralelas al plano que, al ser vectores libres, son tambin vectores del

plano.

r

s

s

s

r

r

r s


20

30. Dada la recta

y el plano

a) Determinar su posicin relativa.

Resolvemos el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano. En este caso, como

sabemos que , basta con sustituir ese valor en las dems ecuaciones:

b) En caso de cortarse, determina el ngulo que forman y el punto de corte.

El punto ya lo hemos hallado en el apartado anterior. Para hallar el ngulo que forman,

consideramos el vector director de la recta y el normal del plano. Vamos a

calcularlos:

Llamando al ngulo que forman la recta y el plano, el que forman los vectores ser su

complementario (

. Aplicando la frmula del ngulo de dos vectores, tenemos:

Cos

= 30

31. (junio 2007) Determinar la ecuacin general (implcita) del plano paralelo a las rectas

y que pasa por el origen de coordenadas.

La ecuacin general o implcita de un plano determinado por un punto (A) y dos vectores con

distinta direccin , es el lugar geomtrico de los puntos P(x, y, z) del plano que verifican

que es combinacin lineal de , luego el determinante formado por los tres vectores

A

P(x,y,z)


21

es nulo. En nuestro caso, A es el origen y los vectores son las direcciones de las rectas paralelas

al plano que, al ser vectores libres, son tambin vectores del plano.

32. (sept. 2007) Dadas las rectas

a) Determinar su posicin relativa.

Vamos a resolver el sistema formado por las ecuaciones implcitas de las dos rectas:

El sistema formado por las ecuaciones es muy sencillo y se puede resolver por mtodos

tradicionales:

b) En caso de cortarse, determinar el ngulo que forman y el punto de corte.

El punto ya lo hemos hallado en el apartado anterior.

El ngulo de las rectas es el menor de los que forman (dos rectas que se cortan determinan

cuatro ngulos, iguales dos a dos y suplementarios). Se obtiene a partir de los vectores

directores. Vamos a hallarlos:

Aplicando la frmula del ngulo de dos vectores, tenemos:

luego Las rectas son perpendiculares.

33. (sept. 2007) a) Determinar si los puntos A( 1, 0, 3), B(2, 4, 1) y C( 4, 3, 1) estn

alineados.

Para que los puntos A, B y C estn alineados,


A

P(x,y,z)

A B

C


22


igual a uno:

Como las componentes no son proporcionales, los

puntos A, B y C no estn alineados.

b)Expresar en dos formas diferentes la ecuacin de la recta que pasa por A y B.

34. (junio 2008) Dadas las rectas

i) Determinar su posicin relativa

Para determinar su posicin relativa, estudiamos el sistema formado por las ecuaciones de las

dos rectas. En este caso, el sistema es muy sencillo y lo podemos estudiar por procedimientos

tradicionales:

ii) En caso de cortarse, determinar el ngulo que forman y el punto de corte.

El punto de corte ya lo hemos encontrado en el apartado anterior: P (2, 4, 1)

El ngulo de las rectas es el menor de los que forman (dos rectas que se cortan determinan

cuatro ngulos, iguales dos a dos y suplementarios). Se obtiene a partir de los vectores

directores. Para encontrar el vector director de una recta dada como interseccin de dos

planos, tenemos en cuenta que la recta est contenida en cada uno de los planos por lo

que su vector director es perpendicular a los vectores normales (A, B, C) de ambos planos,

es decir, es su producto vectorial:

Aplicando la frmula del ngulo de dos vectores, tenemos:

luego


23

35. (junio 2008)Se consideran la recta

, el plano

y el punto P(1, 1, 1), se pide:

i) Determinar la ecuacin del plano 1 que pasa por el punto P y es paralelo a

Las ecuaciones de dos planos paralelos tienen los coeficientes de x, y, z proporcionales. Por lo

tanto, la ecuacin de todos los planos paralelos a es de la forma

De ellos, el plano que buscamos pasa por el punto P(1, 1, 1)

luego

K = 2 1 4 1 2 1 = 4 Por tanto,

ii) Determinar la ecuacin general del plano 2 que contiene a la recta r y pasa

por el punto P.

La recta r pasa por el punto R (2, 2, 3) y su vector director es


determinado por un punto A y dos vectores , y definida por la

siguiente condicin: Cualquier punto P(x, y, z) del plano debe verificar

que es combinacin lineal de luego el determinante

formado por los tres vectores es nulo.

En nuestro caso, el plano est determinado por el punto R y los

vectores

Efectuando, la

ecuacin cartesiana del plano ser:

36. (sept. 2008) Calcula la ecuacin de una recta que pasa por rl punto de interseccin

del plano con la recta

y es paralela a

la recta

Para hallar el punto de interseccin resolvemos el sistema formado por la ecuacin del plano y

las dos ecuaciones de la recta:

Las matrices del sistema son


24

Resolvemos el sistema aplicando el teorema de Rouch, calculando el rango de las matrices

por el mtodo de Gauss:

R (C) = R (A) = 3: EL SISTEMA TIENE SOLUCIN NICA, que obtenemos a partir del sistema

equivalente:

El punto de interseccin de la recta y el plano es P ( 9, 1, 4). La ecuacin de la recta que

pasa por P y es paralela a la recta s tiene la misma direccin que sta. Su ecuacin ser:

37. (sept. 2008) Hallar la ecuacin del plano que pasa por el punto P ( 1, 0, 2) y contiene

a la recta

La recta r pasa por el punto R (0, 1, 2) y su direccin es .

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado

por un punto A y dos vectores , y definida por la siguiente




En nuestro caso, el plano est determinado por el punto R y los vectores

Desarrollando el determinante por la primera fila,


25

38. (junio 2009) Dado el punto P(5, 0, 1) exterior a la recta

, hallar

el plano que contenga a R y pase por P.

La ecuacin general o cartesiana de un plano viene determinado por

un punto A y dos vectores , y definida por la siguiente

condicin: Cualquier punto Q(x, y, z) del plano debe verificar que

es combinacin lineal de luego el determinante formado por


En nuestro caso, el punto A y uno de los vectores provienen de la ecuacin de la recta y el otro

vector es :

y Por lo tanto,

Efectuando y simplificando (dividiendo por 2), la ecuacin es:

39. (junio 2009) Estudiar la posicin relativa de los tres planos:

En caso de que se corten en un punto, hallar ste. Y en caso de que se corten en una recta,

determinarla.

Vamos a resolver el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos y a interpretar su

solucin. Aplicamos el teorema de Rouch, para lo cual calculamos simultneamente los

rangos de la matriz de los coeficientes y se la matriz ampliada por el mtodo de Gauss:

Reordenamos las ecuaciones para facilitar el clculo y calculamos el rango:

Caben dos posibilidades:

a) Dos planos coinciden y otro los corta

b) Los tres planos se disponen como las hojas de un libro.


26

Como es evidente que no hay dos planos coincidentes (los coeficientes de sus ecuaciones no

son proporcionales), estamos en el segundo caso.

La ecuacin de la recta proviene del sistema equivalente:

40. (sept. 2009) Calcular la ecuacin del plano que contiene a la recta

y es

paralelo a la recta

Un plano viene determinado por un punto y dos vectores linealmente independientes. Si el

plano que buscamos contiene a la recta r, ya tenemos un punto (R ) y un vector . Si, adems,

es paralelo a la recta s, tenemos el segundo vector .

Para obtener R y escribimos la ecuacin de la recta en forma paramtrica, aadiendo la

ecuacin x =

La ecuacin en forma cartesiana del plano conocidos un punto y dos

vectores la obtenemos a partir de la siguiente condicin: Cualquier

punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinacin lineal

de y y, por lo tanto, el determinante formado por los tres

vectores es nulo.

Desarrollando por la primera fila,

41. (sept. 2009) Dado el plano y la recta r:

, hallar

su posicin relativa. Si se cortan en un punto, hallar sus coordenadas. Y si son

paralelos, hallar el plano que contenga a r y sea paralelo a

La forma ms fcil de resolver este problema es vectorialmente. Si la recta no corta al plano,

ser paralela o estar contenida en el mismo. En cualquiera de los dos casos anteriores el vector

director de la recta ser perpendicular al vector normal del plano y su producto escalar ser

nulo.

R

P


27

luego

Para hallar las coordenadas del punto de corte, lo ms fcil es obtener las ecuaciones

paramtricas de la recta y sustituirlas en la del plano:

r :

Sustituyendo en la ecuacin del plano,

El punto de corte lo obtenemos sustituyendo el valor de en las ecuaciones paramtricas de r:

42. Junio 2010 fase general. Obtener la ecuacin en forma general del plano que pasa por

el punto (0, 3, 2) y es paralelo a las dos rectas siguientes:

Del plano conocemos un punto A(0, 3, 2) y los vectores directores de dos rectas paralelas al

plano que, por tratarse de vectores libres, son tambin vectores del plano.

La ecuacin en forma cartesiana del plano conocidos un punto y dos

vectores la obtenemos a partir de la siguiente condicin: Cualquier

punto P(x, y, z) del plano debe verificar que es combinacin lineal

de y y, por lo tanto, el determinante formado por los tres

vectores es nulo.

El vector director de la primera recta lo leemos directamente:

El de la segunda, lo podemos calcular por dos procedimientos:

a) Escribimos la recta en forma paramtrica y leemos el vector:

b) Mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la

recta:

A

P


28

Por los dos procedimientos obtenemos vectores directores de la recta. En efecto, ambos

tienen la misma direccin ya que sus componentes son proporcionales (el segundo es el triple

del primero).

La ecuacin del plano ser:

43. Junio 2010 fase general. Estudiar la posicin relativa de los planos

Para estudiar la posicin relativa de los tres planos, resolvemos el sistema formado por sus

ecuaciones. Utilizaremos el Teorema de Rouch y calcularemos el rango de las matrices por el

mtodo de Gauss.

Caben dos posibilidades:

a) Dos planos coinciden y otro los corta

b) Los tres planos se disponen como las hojas de un libro.

Como es evidente que no hay dos planos coincidentes (los

coeficientes de sus ecuaciones no son proporcionales), estamos en

el segundo caso.

La ecuacin de la recta proviene del sistema equivalente:


29

44. Junio 2010 fase especfica. Dada la recta

y el plano

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.

b) Determinar el ngulo que forman recta y plano.

Para hallar el punto de corte de recta y plano, resolvemos el sistema formado por sus

ecuaciones. Podemos utilizar dos procedimientos:

Escribir la recta en paramtricas y sustituir en la ecuacin del plano.

Sustituyendo en la ecuacin del plano,

Sustituyendo en las ecuaciones paramtricas de r obtenemos el punto de corte:

Aplicar la regla de Cramer, puesto que nos dicen que la recta y el plano se cortan en un

punto, es decir, que el sistema tiene solucin nica:

Para hallar el ngulo que forman, consideramos el vector director de la recta y el normal del

plano.

El vector normal del plano y el vector director de la recta coinciden, por lo que


30

45. Junio 2010 fase especfica Dadas las rectas

a) Estudiar la posicin relativa de ambas rectas.

b) Hallar la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a r y s.

a) Conocemos un punto de cada recta (R y S) y las direcciones de ambas. Para estudiar la

posicin relativa, trabajamos con los vectores .

b) La direccin de una recta perpendicular a r y s la obtenemos mediante el producto vectorial de y .

La recta que pasa por el origen y vector director (11, -2, 14) es

r

s

s

s

r

r

r s


31

46. Septiembre 2010 fase general Dadas las siguientes rectas:

a) Comprobar que se cortan en un punto y obtener sus coordenadas.

b) Hallar la ecuacin de la recta paralela a s que pasa por el punto (1, 0, 1).

a) Podemos comprobar que se cortan en un punto mediante vectores (para lo cual

necesitamos un punto y un vector director de la recta s) o resolviendo el sistema y

comprobando que tiene solucin nica (son las coordenadas del punto de

interseccin). As lo hemos hecho en ejercicios anteriores.

Hoy vamos a resolverlo de una manera diferente: Si las dos rectas se cortan, tiene que

haber un punto de la recta r que tambin pertenezca a la recta s. Vamos a hallarlo:

- La expresin general de los puntos de la recta r es:

- Sustituimos en las ecuaciones de la recta s. Si obtenemos un nico valor de , la

solucin es nica y las dos rectas se cortan en un punto:

- Las coordenadas del punto de interseccin se hallan sustituyendo el valor de en

la ecuacin de la recta r. En nuestro caso, como

b) Para hallar la ecuacin de una recta paralela a s, necesitamos un vector director. Lo

vamos a hallar como producto vectorial de los vectores normales de los planos que

determinan la ecuacin de la recta s:

La ecuacin en forma continua de la recta paralela a s que pasa por el punto (1, 0, 1)

es:


32

47. Septiembre 2010 fase general Dada la recta

Y los puntos A (1, 1, 0) y B (2, 0, 3)

a) Hallar la ecuacin general del plano que contiene a la recta r y al punto A.

b) Hallar el ngulo formado por la recta r y la recta que pasa por los puntos A y B.

a) La ecuacin general del plano determinado por un punto R y

dos vectores linealmente independientes y viene dada por la

siguiente condicin:

Cualquier punto P(x, y, z) del plano verifica que el vector es

combinacin lineal de los vectores y y, por lo tanto, el


De la ecuacin en forma continua de la recta obtenemos el punto R y el vector director

b) Llamamos ngulo de dos rectas ( ) al menor de los ngulos que forman. Es el determinado

por sus vectores directores , si es agudo o su suplementario, si no lo es.

48. Septiembre 2010 fase especfica Dados los puntos A (0, 5, 2) y B (1, 2, -1):

a) Averiguar si los puntos pertenecen a la recta

b) Determinar las ecuaciones paramtricas y las ecuaciones como interseccin de

dos planos de la recta que pasa por los puntos A y B.

P

A

R


33

a) Los puntos que pertenecen a una recta, deben cumplir su ecuacin. Sustituyendo sus

coordenadas en la ecuacin de la recta, debemos obtener identidades:

b) Para Hallar las ecuaciones que nos piden necesitamos un punto de la recta y un vector

director:

Cualquier punto P(x, y, z) que pertenezca a la recta debe

verificar que el vector tiene la misma direccin que

(es mltiplo de

Las ecuaciones como interseccin de dos planos se obtienen a partir de la ecuacin en forma

continua:

49. (Septiembre 2010 fase especfica) Dados los planos y

a) Hallar la ecuacin del plano perpendicular a ambos planos que pasa por el origen

de coordenadas.

b) Hallar el ngulo que forman los planos .

a) Como el ngulo que forman dos planos es el que forman sus vectores normales, el

vector normal (A, B, C) del plano que buscamos ser perpendicular a los vectores

normales de los planos y , es decir, ser su producto vectorial:

Como el plano que nos piden pasa por el origen, el trmino independiente de su

ecuacin es cero. Por lo tanto,

b) El ngulo de dos planos es el menor de los que forman sus vectores normales (para

asegurarnos de que o, utilizamos el valor absoluto del producto escalar):

A(0, 5, 2)

P(x, y, z)


34

geometriapauulpgc

Documents

Transcript of geometriapauulpgc