124

GEOMETRA

VI. GEOMETRA DEL ESPACIO

1. INTRODUCCIN.

La geometra del espacio o estereometra tiene por objeto el estudio de las figuras slidas o del espacio, es decir de las figuras cuyos puntos no pertenecen todos a un mismo plano, si no al espacio tridimensional, por ejemplo el prisma, el cilindro, la esfera, etc.

2. PLANO: Es una superficie ilimitada de puntos donde toda recta que pase por dos de sus puntos est ntegramente contenida en el plano.

Si A y B pertenecen al plano P; entonces la recta esta contenida en P.

Q : no es un plano.

POSTULADOS PARA LA

DETERMINACIN DE UN PLANO.

Un plano queda determinado por :

1 Tres puntos no colineales. 2 Una recta y un punto exterior a ella. 3 Dos rectas secantes. 4 Dos rectas paralelas.

2.1 POSICIONES DE DOS PLANOS a).- Secantes .- Tiene una recta comn. b).- Paralelos.- No tienen punto comn.

2.2 POSICIONES DE UNA RECTA Y UN

PLANO a).- Secantes . Tienen un punto comn.

A : Punto comn

b).- Paralelas: No tiene punto comn.

Si l es paralela a cualquier recta

contenida en el plano entonces l es paralelo al plano.

2.3 TEOREMAS a) Recta perpendicular a un plano.

Una recta es perpendicular a un plano si es perpendicular a dos rectas contenidas en l.

b) Teorema de las tres perpendiculares

Si por el pie de una perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano el punto de interseccin de esta segunda y un punto cualquiera de la primera determinan una tercera perpendicular a la recta contenida en el plano.

3. NGULO DIEDRO Es la figura por dos semiplanos que tienen una recta comn llamada arista del ngulo diedro.

Elementos : Caras : P y Q

Arista : AB

Notacin : Un ngulo diedro AB.

es el ngulo plano o rectilneo de la medida del diedro.

4. NGULO TRIEDRO Es la figura que esta formada por 3 regiones angulares los cuales tiene el mismo vrtice.

Elementos :

Vrtice : O

Arista : OA , OA , OC

Caras : a, b y c

Teorema : o < a + b + c

125

GEOMETRA

5.1.- POLIEDROS REGULARES Son aquellos poliedros cuyas caras son polgonos regulares, solamente existen 5 poliedros regulares y son:

a.- TETRAEDRO REGULAR

G = Baricentro Caras = Tringulos equilteros

b.- EXGONO REGULAR (CUBO) * Caras : Cuadrados

c.- OCTAEDRO REGULAR

Caras: Triangulares equilteras.

d.- DODECAEDRO e.- ICOSAEDRO REGULAR REGULAR

* Caras: * Caras :

pentgonos Tringulos regulares equilteros

6. SLIDOS GEOMTRICOS 6.1.- EL PRISMA

Es el slido cuyas caras bases son paralelas y congruentes todas la caras laterales son paralelogramos.

CLASES :

Prisma recto.- Es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Prisma oblicuo.- Es aquel cuyas aristas laterales no son perpendiculares a las bases.

Prisma regular .- Es un prisma recto cuyas bases son polgonos regulares.

Prisma irregular.- Es aquel cuyas bases son polgono irregulares.

OBSERVACIONES: 1. Un prisma se denomina segn el

polgono que limita su base, as los prismas sern triangulares, cuadrangulares, pentagonales, etc., segn que sus bases sean regiones triangulares, cuadrangulares y pentagonales, etc.

2. Un prisma es recto si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, en caso contrario ser oblicuo.

3. En un prisma recto las caras laterales son regiones rectangulares.

4. Un prisma recto es regular si sus bases son regiones limitadas por polgonos regulares.

6.1.1.- PRISMA RECTO

a. El rea de la superficie lateral de un prisma recto es igual al producto del permetro de la base y la altura.

Slateral = 2P (base) . h

b. El rea de la superficie de un prisma recto es igual al rea de la superficie lateral ms 2 veces el rea de la base.

S total = S lateral + 2S (base)

c. El volumen de un prisma recto es el

producto del rea de la base y su altura.

Volumen = S(base) . h

6.1.2.- PRISMA OBLICUO

a. El rea de la superficie lateral de un prisma oblicuo es igual al producto del permetro de la seccin recta y la arista lateral.

Nota .- La seccin recta es el polgono cuyos lados son perpendiculares a las aristas laterales del prisma oblicuo. Adems su rea es diferente al rea de la base.

b. El rea de la superficie total de un prisma oblicuo es igual al rea de la superficie lateral ms 2 veces el rea de la base.

c. El volumen de un prisma oblicuo es igual al producto del rea de la base y su altura o tambin el producto del rea de la seccin recta y una arista lateral.

6.1.3.- TRONCO DE PRISMA

Es la porcin de prisma comprendido entre una de las bases y la seccin que determina un planos secante a las aristas y no paralelo a las bases.

G a a

h

3aS 2

12

12aV

3

3

6ah

d

a

a

S=6a2

V=a3

d = a 3

a

a

S = 2a2 3

V = 3

2a3

d =a 2

h

B

B

Cara lateral

Base Arista bsica

Arista lateral

B

B

Seccin

recta

a

h

Slateral = 2P (seccin recta) . a

Stotal = S lateral + 2S(base)

Volumen1 = S(base) . h

Volumen2 = S(seccin recta) . a

V = S(base) . h

h=3

cba b

B

a c h

G

126

GEOMETRA

6.2.- EL PARALELEPPEDO Es el prisma cuadrangular cuyas bases son paralelogramos.

Paraleleppedo Rectangular .- Es un

paraleleppedo recto, cuyas bases son rectngulos. Tambin se llama ortoedro o rectoedro.

1. El volumen de un paraleleppedo es igual al producto de sus 3 dimensiones.

2. Diagonal : d

6.3.- CILINDRO

6.3.1 CILINDRO CIRCULAR RECTO O DE REVOLUCIN.-

Es el slido generado por un rectngulo, cuando gira alrededor de uno de sus lados tomados como eje.

Nota .- Las frmulas aplicadas en un prisma recto tambin se aplican al cilindro de revolucin.

a. El rea de la superficie lateral de un cilindro recto es igual al producto del permetro de la base y su altura.

b. El rea de la superficie de un cilindro

recto es igual al rea de la superficie lateral ms 2 veces el rea de la base.

Stotal = 2R . g + 2 R2

Stotal = 2R (g + R)

c. El volumen de un cilindro es igual al producto del rea de la base y su altura.

Volumen = R2 . g

6.3.2.CILINDRO OBLICUO Si se corta a un cilindro recto con dos plano paralelos se obtiene un cilindro oblicuo cuyas bases son elipses. Nota.- B: elipse Seccin recto : crculo

a. El rea de la superficie lateral es un crculo oblicuo es igual al producto del permetro de la seccin recta y la generatriz.

Slateral = 2r . g

b. El rea de la superficie total de un cilindro oblicuo es igual al rea lateral ms 2 veces el rea de la base (elipse).

c. El volumen de un cilindro oblicuo es igual al producto del rea de la base y su altura o tambin el producto del rea de la seccin recta y su generatriz.

6.4.- LA PIRAMIDE

Es el slido cuya base es una regin poligonal y cuyas caras laterales son regiones triangulares, que tienen un vrtice comn.

6.4.1 PIRMIDE REGULAR

Es la pirmide cuya base es una regin poligonal regular y cuyo pie de la altura coincide con el centro de la base.

a. El rea de la superficie lateral de una pirmide regular es igual al producto del semipermetro de la base y su apotema.

b. El rea de la superficie total de una

pirmide regular es igual al rea de la superficie lateral ms el rea de la base.

c. El volumen de toda pirmide es igual a

1/3 del producto del rea de la base y su altura.

6.4.2 TRONCO DE PIRMIDE

Es la porcin de una pirmide, comprendido entre la base y la seccin que determina un plano secante a las aristas. Si el plano secante es paralelos a la base, el tronco de pirmide se denomina de bases paralelas.

6.5.- EL CONO

Es el slido geomtrico determinado al hacer girar una vuelta a un tringulo rectngulo. Alrededor de uno de sus catetos tomado como eje. Por tal motivo se le llama circular recto o cono de revolucin.

Volumen = a.b.c

d2 = a2 + b2 + c2

B

B

h

R

g

Slateral = 2P(base) . h

Slateral = 2R. g

2R

g

Stotal = S(lateral) + 2S(base)

Volumen = S(Base) . h

B

B

h r

Seccin recta

g

Slateral = 2P(seccin recta) . g

Stotal = Slateral + 2S (base)

Volumen = Sbase . h

Volumen = S (Seccin recta) .g

B

Apotema de la pirmide (ap)

Vrtice

Altura de la

pirmide (h)

Slateral = P(base).ap

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen = 3

1S(Base) . h

B1

B2

Volumen = )BB.BB(3

h2211

d

a

b

c

127

GEOMETRA

NOTA.- Las frmulas aplicadas en una pirmide regular son aplicadas tambin en el cono circular recto.

1)

2)

Stotal = R. g+R2

Slateral = R (g + R 3)

6.5.1 TRONCO DE CONO

Es la porcin de cono comprendido entre la base y la seccin que determina un plano secante a dicho cono, si el plano es paralelos a la base, el tronco de cono se denomina de bases paralelas.

1)

2) 3)

6.6. LA ESFERA Es el slido geomt5ico determinado al hacer girar una vuelta a un semicrculo, alrededor de su dimetro tomado como eje. 6.6.1 SUPERFICIE ESFRICA.-

Es la superficie que genera una semicircunferencia cuando gira una vuelta alrededor de su dimetro tomado como eje.

1)

2) Uso esfrico (superficie) Cua esfrica (volumen)

7. TEOREMA DE PAPPUS GULDIM

a. El rea generada por una figura que

gira alrededor de un eje coplanar y exterior, es igual al producto de la

longitud de la figura, por la longitud de la circunferencia que describe su centro de gravedad.

b. El volumen engendrado por la rotacin

de una figura que gira alrededor de un eje coplanar y exterior es igual al producto del rea de la figura por la longitud de la semicircunferencia que describe su centro de gravedad.

Corte del volumen obtenido

PROBLEMAS RESUELTOS 1.- Calcula el volumen de un

paraleleppedo rectangular, el rea de la superficie total es 180m2 la diagonal de la base mide 10m y la suma de las longitudes de las tres dimensiones es 17m. Solucin: Del grfico: b2 + c2 = 100

2(ab+bc+ca) = 180 ab+bc=90 (II) a+b+c=17

(I) De (I)2: a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 172 a2 + 100 + 180 = 289 a = 3 De (II): a(b + c) + bc = 90 3 x 14 + bc = 90 bc = 48 Nos piden: V = 3 x 48 V = 144m3

2.- Halla el volumen de un paraleleppedo

rectangular sabiendo que las longitudes de sus tres dimensiones se hallan en progresin aritmtica y que ellas suman 18m. Su rea total es 208m2.

Solucin: * a - r + a + a + r = 18 a = 6 * 2[a(a - r) + (a - r)(a + r) + (a + r)a] = 208

a2 - ar + a2 r2 + a2 + ar = 104 3 x 62 r2 = 104 r = 2

Nos piden V = 6 x 4 x 8 V = 192m3

Slateral = R. g

Stotal = Slateral + S(base)

Volumen = h.S3

1)Base(

Sesfrica = 4R2

Volumen = 3

4 R3

R

R

R

A eje

x

B

l

Corte de la

superficie obtenida

eje

S = 2 x (l)

eje Corte del volumen obtenido

V=2 x (S)

B R

h g

Volumen = )BB.BB(3

h2211

Slateral =(PB1 + PB2)g

Stotal = Slateral + SB1 + SB2

S=90

R2

V=270

R3

C.G.

S

eje

x

a

10 c

b

a

a-r a+r

B1

B2 r

g h

R

128

GEOMETRA

3.- En un paraleleppedo rectngulo el rea de la base es 60m2, la suma de las longitudes de todas las aristas es 96m y la suma de los cuadrados de las longitudes de sus tres dimensiones es 200m2. halla la longitud de la altura del slido.

Solucin:

Del grfico: a x b x Sen = 60 Datos: * 4(x + a + b) = 96 x + a + b = 24 ...(I)

* x2 + a2 + b2 = 200

De (I)2

x2 + a2 + b2 + 2(ax + bx + abSen )= 242 200 + 2[x(a + b) + 60] = 576 x(a + b) = 128

De (I): a + b = 24 x luego: x(24 - x) = 8(24 - 8)

x = 8m 4.- Halla el volumen de un paraleleppedo

rectangular si su diagonal mide 10u y forma un ngulo que mide 45 con la base y un ngulo que mide 30 con una cara lateral.

Solucin: En el POR

OR = OP = 25 (Notable 45)

En el PAR:

AR = 5(Notable de 30 y 60)

En el OAR:

OA = 5(Teorema de Pitgoras)

Nos piden: V = 5x 25 x5

V = 125 2 u3

5.- Cul es el volumen de un prisma

oblicuo si la seccin recta es un tringulo circunscrito a un crculo de 3m de radio y el rea lateral del slido es 28m2. Solucin: Sea 2p el permetro de la seccin recta (SR) Dato: AL = 28 2p x a = 28 p x a = 14 Del grfico: ASR = 3p Nos piden: V = 3p x a V = 3 x 14 V = 42m3

PRCTICA DIRIGIDA N08

NIVEL I 1).- Se tiene un crculo de dimetro AB; por

A se levanta una perpendicular al plano del crculo, tomndose en ella un punto P. Si O es el centro del crculo, PO=5 y PB=213. Calcula el rea del crculo.

a) 3 b) 3 c) 9 d) 16 e) 25

2).- Verdadero (V) o Falso (F): ( ) La proyeccin de un segmento sobre

un plano es mayor que dicho segmento.

( ) La proyeccin de un segmento sobre un plano paralelo a l, es congruente con dicho segmento.

( ) La proyeccin de un segmento sobre un plano perpendicular a l, es un punto.

a) VVV b) VFV c) FVV d) VFF e) FFF

3).- Se tiene una circunferencia de centro

O y dimetro 12cm. Por O, pasa una recta LO perpendicular al plano de la circunferencia. F, es un punto de L, tal que OF=8cm. Halla la distancia de F a cualquier recta tangente a la circunferencia.

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 11

4).- En una circunferencia de centro O, se inscribe un tringulo ABC, recto en B. Se

eleva BF perpendicular al plano ABC, de modo que BF=AC. Si AB=6 y BC=8. Halla OF.

a)3 2 b)4 5 c) 5 5

d) 6 5 e) 2 5

5).- Indica verdadero (V) o falso (F):

Tres puntos determinan siempre un plano.

Dos rectas determinan siempre un Plano.

Si una recta es paralela a un plano, ser paralela a todas las rectas contenidas en dicho plano.

Si una recta es perpendicular a un plano, ser perpendicular a todas las rectas contenidas en dicho plano.

Cuantas proposiciones son verdaderas.

a) 1 b) 3 c) 2 d) 4 e) 0

6).- En un cubo, cuyas aristas tienen longitud a cada una, halla la distancia de un vrtice al centro de una cara opuesta.

a)2

3a b)

3

3a c)

2

2a

d) 2

6a e)

2

5a

7).- ABCD, es un cuadrado de lado a. Por

B, se eleva BE perpendicular al plano ABCD, tal que BE=a. Si O es centro del cuadrado y H punto medio de CD, halla el rea de la regin triangular EOH.

a) 8

5a2 b)

6

5a2 c)

8

3a2

d) 5

3a2 e)

8

5a2

8).- ABC es un tringulo equiltero de lado

L por B, se eleva BR perpendicular al plano ABC, de modo que: BR=L/2. Se

trazan luego RA y RC .Halla el rea de

la regin triangular ARC.

a)2

L2 b)

3

L2 c)2

4

L2 d)

5L2 e)

6L2

9).- Halla el mximo nmero de planos que determinan n puntos en el espacio.

a)2

)1n(n b)

6

)1n(n

c) 6

)2n)(1n(n d)

2

)2n)(1n(n

e) 6

)3n)(2n)(1n(n

10).- Halla el mximo de planos que determinan n rectas en el espacio.

a) 6

)1n(n b)

2

)1n(n

c) 2

)1n(n d)

3

)1n(n

e) 3

)2n)(1n(n

x

b a

60m2

5

5

5

A R

P

30

10

O

5 2

5 2 45

SR

3

a

129

GEOMETRA

NIVEL II 1).- Dados 20 puntos no colineales y no

coplanares, cuntos planos como mximo se podrn determinar con estos puntos?. a) 1130 b) 1140 c) 1150 d) 1160 e) 1170

2).- Halla el mximo nmero de planos que determinan 10 rectas y 12 puntos del espacio. a) 220 b) 385 c) 150 d) 260 e) 370

3).- Cuntas de las siguientes proposiciones son verdaderas:

( ) Dos rectas paralelas a un plano, son paralelas entre s.

( ) Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelas entre s.

( ) Una recta paralela a uno de dos planos perpendiculares, es paralela al otro plano.

( ) Tres puntos no colineales determinan un plano y solo uno.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 4).- ABCD: Regin cuadrada; PB es

perpendicular al plano ABCD; AB=2 Y PB=3. Calcula la medida del ngulo formado por PD y el plano ABCD.

a) 30 b) 37 c) 45 d) 16 e) 15

5).- En la figura ABCD: Regin cuadrada, PB es perpendicular al plano ABCD, PB=BC=2 , O es centro. Calcula la distancia de O a PD.

a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3

6).- Cuantos planos se determinan como

mximo con 10 rectas y 8 puntos a) 180 b) 181 c) 182 d) 183 e) 184

7).- ABCD cuadrado BP plano ABCD, AD =

22 Y BP = 3 . Calcula PO. (o centro del cuadro ABCD) a) 11 b) 23 c) 13 d) 14 e) 15

8).- Se muestra un crculo de centro 0

PA; es perpendicular al plano del crculo

m AR = 60; AB = 10 y PR = 6 . Calcula PB.

a) 110 b) 111 c) 112 d) 113 e) 114

9).- ABC, es un tringulo equiltero de lado

6 cm. Contenido en un plano P. Se

elevan : PCRyPBQ , de modo que

BQ=6cm y CR=3cm. Halla el rea de la regin triangular AQR

a) 9 2 b) 9 6 c) 3 2

d) 3 6 e) 2

10).- BAC, es un tringulo recto en A,

AB=6 y AC=8. Por su incentro I se eleva

IH Perpendicular al Plano ABC, siendo IH=3. Halla HC.

a) 10 b) 7 c) 5 d) 6 e) 8

NIVEL III : SLIDOS GEOMTRICOS 1. La base de un prisma recto, es base de

un tetraedro regular de altura 2 6 cm.

Y el rea lateral del prisma es igual al rea total del tetraedro. Halla el volumen del prisma.

a) 50cm b) 51 c) 52 d) 53 e) 54

2. Halla el rea lateral de un prisma oblicuo, cuya seccin recta es un

hexgono regular de rea 24 3 U2. La

altura del prisma es 3 3 u y las aristas

laterales forman ngulos de 60 con la base.

a) 140 u2 b) 142 c) 144 d) 146 e) 150

3. Halla el volumen de un prisma oblicuo

triangular, sabiendo que el rea de una cara lateral, es 5cm2 y la distancia de la arista opuesta a sta es 10cm.

a) 35cm3 b). 25 c) 27 d) 28 e) 29

4. La base de un tronco de prisma oblicuo triangular, tiene rea 12. Halla el volumen del slido, sabiendo que las aristas laterales estn inclinadas 60 respecto a la base y tienen longitudes 3, 4 y 5 respectivamente.

a) 22 3 b) 23 3 c) 24 3

d) 25 3 e) 26 3

5. Halla el volumen de un tronco de prisma recto, cuyas bases son un tringulo equiltero FED y un tringulo rectngulo issceles ABC. Adems una cara lateral es un rectngulo de lados

3 2 y 6; siendo los mayores son las

aristas laterales.

a) 30 b) 30.5 c) 31 d) 31.5 e) 31

6. Halla el rea lateral y el volumen de una pirmide regular hexagonal, sabiendo que las caras laterales forman diedros de 45 con la base y las aristas bsicas tienen longitudes a Dar como respuesta el volumen.

a) 3a4

5 b) 3a

2

3 c) 3a

4

3

d) 3a4

1 e) 3a

7

3

7. Las reas de las bases de dos

pirmides semejantes, son entre si 4 es a 9. Halla la relacin de sus volmenes.

a) 1/8 b) 8/27 c) 27/64 d) 1/27 e) 1/64

8. En que relacin se encuentran los volmenes de los slidos parciales que determina el plano mediatriz de la altura de una pirmide.

a) 1/8 b) 3/8 c) 5/6 d) 1/7 e) 1/2

9. El volumen de un tetraedro ABCD, es

30 u3 sobre ADyAC,AB , se toman

los puntos M, N y R, respectivamente. Si : AM=MB; AN=2NC y 2AR=3RD, Halla el volumen del slido BCDRMN.

a) 20u3 b) 21 c) 24 d) 26 e) 28

A D

C B

P

A D

C B

P

O .

A

B

P

X

O

C

D

A

P

R

B .O

130

GEOMETRA

10. El volumen de un tronco de pirmide cuadrangular regular es 74 cm3. Si su altura mide 6cm y el rea de una de las bases es 16 cm2 . Halla el rea de la otra base, en cm2.

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 5

11. Un cilindro est lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo metlico y el nivel del agua sube a 3,5 cm. Si el dimetro del cilindro es 8cm. cul es el volumen del pedazo?.

a) 150 b) 152 c) 174 d) 176 e) 175

12. AB y CD , son generatrices opuestas

de un cilindro circular recto y O punto

medio deBC . Siendo E un punto de

CD , tal que AEOE , CE = 8cm. Y

ED = 9cm. Halla el rea total del slido.

a). 270 b) 272 c) 274 d) 276 e) 278

13. En un vaso que tiene la forma de un cilindro recto de resolucin, la altura es el doble del dimetro de la base. Si el vaso contiene un lquido que ocupa las partes de su capacidad, determinar el ngulo que debe inclinarse desde su posicin normal hasta el instante en que el lquido est por derramarse.

a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47

14. Halla el volumen de un cilindro oblicuo,

de base circular; sabiendo que la generatriz mide igual que el dimetro de la base y la distancia del centro Q de una de dichas bases a los extremos

de un dimetro AC de la otra, son 9 y

13cm.;respectivamente.

a) 3cm1460 b) 3cm1461

c) 3cm1462 d) 3cm1463

e) 3cm1464

15. Una poblacin con 5 000 habitantes consume en promedio por persona 20 litros de agua diariamente. Determinar el radio de un pozo cilndrico que abastezca a la poblacin y que tengo adems capacidad para una reserva de 25% del consumo diario y tal que la altura sea 4 veces el dimetro.

a) 32

1

b)

32

2

c)

32

3

d) 33

5

e)

32

5

16. La superficie lateral de un cono de

revolucin se interfecta por un plano paralelo a la base, determinando un cono parcial. Si las reas laterales del cono parcial y tronco del cono, son entre s como 4 es a 5; Halla la relacin de volmenes del cono parcial al cono total.

a) 1/8 b) 1/27 c) 8/27 d) 27/64 e) N. A.

17. Dado un cono de revolucin, de vrtice E, y volumen 54cm3 ,se traza un

dimetro AC en el crculo de la base.

Halla el volumen del tronco de cono que se determina al trazar un plano paralelo a la base, por el baricentro de la regin triangular AEC

a) 35cm3. b) 36cm3. c) 38cm3. d) 39cm3. e) 34cm3.

18. Un cono de revolucin, se llama

equiltero, si la generatriz mide igual que el dimetro de la base. Halla el volumen de un cono equiltera, conociendo el radio r de la esfera inscrita en l.

a) 2r3. b) 3r3. c) 4r3. d) 5r3. e) 6r3.

19. Halla el volumen de un tronco de cono de revolucin, sabiendo que los radios de las bases, miden 8 y 12cm., respectivamente y que el rea de la superficie lateral es igual a la suma de reas de las bases.

a) 3244 /5cm3. b) 3234 /5cm3. c) 3224 /5cm3. d) 3264 /5cm3. e) 3274 /5cm3.

20. Halla el volumen de un tronco de cono de revolucin, cuyas bases tienen radios 4 y 9cm., respectivamente. El rea total del cono, es 266cm2.

a) 530cm3. b) 531cm3. c) 532cm3. d) 533cm3. e) 534cm3.

21. En una esfera de radio R, una zona

esfrica de altura R/4, es equivalente a un Huso. Halla el ngulo correspondiente al Huso.

a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65

22. Halla el volumen, en m3, de un

segmento esfrico de una base, cuyo casquete tiene rea 40 m2 y el radio de la esfera mide 10m.

a) 200/3 m2 b) 300/3 m2 c) 500/3 m2 d) 400/3 m2 e) 600/3 m2

23. Halla el rea de la superficie del slido

que se genera al girar la figura sombreada, alrededor del eje diametral

CD , si m BC =120 y radio r.

a) 3/2r2 b) 5/2r2 c) 7/2r2 d) 9/2r2 e) 1/2r2

24. Se funde una bola de plomo de radio 8cm para obtener luego bolitas del mismo material, con radio 1cm cada una. Cuntas bolitas, como mximo se obtendrn?.

a) 14 b) 24 c) 34 d) 54 e) 64

25. En un recipiente que tiene la forma de un cilindro circular recto de altura igual al radio, se deposita arena, adoptando sta la forma de una semiesfera cuyo crculo mximo coincide con la base del cilindro igual al radio de su base. Qu fraccin del volumen del recipiente no est ocupado?.

a) 2/3 VC b) 4/3 VC c) 5/3 VC d) 7/3 VC e) 1/3 VC

CLAVES DE RESPUESTAS NIVELI

1) c 2) c 3) c

4) c 5) a 6) -

7) e 8) a 9) c

10)a

NIVEL II

1)b 2)b 3)b 4)b 5)c

6)b 7)c 8)b 9)b 10)b

NIVEL III

1) e 2) c 3) b 4) c 5)d

6) c 7) b 8) d 9) c 10)d

11)e 12)d 13)c 14)a 15)e

16)c 17)c 18)b 19)d 20)c

21)c 22)d 23)d 24)e 25)e