CONTENIDO 7

CONTEXTO Y JUSTIFICACIÓN.

CONTEXTO   : JUSTIFICACIÓN   :

La ciencia utiliza el método deductivo, que consiste en encadenar los saberes de manera tal que se obtengan nuevos conocimientos.

En Geometría, existen puntos de partida necesarios para obtener nuevos saberes y que son aceptados por sí mismos : son los axiomas y postulados ; es decir se fijan conceptos primitivos que se aceptan sin definir y ciertas propiedades que se aceptan sin demostrar, que son los axiomas. A partir de los conceptos primitivos ( punto, recta, plano ) se definen nuevos conceptos y de los axiomas se deducen nuevas propiedades apareciendo los teoremas, que son verdades que deben ser demostradas y de las cuales puedo obtener otras proposiciones que son los corolarios.

En Babilonia ( entre 8000 y 6000 años A.C.) y en Egipto ( 700 y 500 años A.C. ) se hicieron estudios de la Geometría como conjunto de reglas prácticas aplicadas preferencialmente a la agromensura y la agricultura, para que, posteriormente en Gracia se ordenaran dichos conocimientos dando paso a la ciencia con sus deducciones en forma rigurosa y racional.

En Grecia aparecen Thales, Heródoto, Pitágoras, Euclides que con sus aportes permiten construir el edificio de la Geometría que prevalece hasta hoy día.

AXIOMA :

POSTULADO :

TEOREMA :

COROLARIO :

107

ACTIVIDAD :

Como buen investigador, busca antecedentes sobre los conceptos que fueron entregados en el párrafo anterior y complementa cada uno con dos buenos ejemplos :

AXIOMAPOSTULADOTEOREMACOROLARIO

CONTENIDO 8 Recordar y aplicar los conceptos fundamentales de la geometría plana :

a) axiomas y postulados b) conceptos básicos : recta, ángulo c) teoremas sobre ángulos

Geometría: Ciencia que estudia las propiedades de las figuras desde el punto de vista de la forma, de la magnitud, de la posición.

Algunos conjuntos de puntos son:

Nombre del Conjunto

PUNTO RECTA SEGMENTO

RAYO PLANO

Representación X

P M N M N M N

Simbolo P

P

Se leePunto P Recta MN

Recta NMSegmento MNSegmento NM

Rayo MN Plano P

DimensiónNo tiene Una:

LARGOUna: LARGO

Una: LARGO

Dos: LARGO y ANCHO

ÁNGULO: podemos darle la siguiente definición : “es la porción de un plano limitada por dos rayos (dos semirrectas) que tienen un vértice común”.

108

A

O

B

Un ángulo se mide en grados, minutos y segundos.

El circulo completo mide 360º, es decir, un grado es la trescientas sesenta ava parte del circulo completo.

Un grado se divide en 60 partes iguales y cada una de estas partes se llama minuto, es decir:

Un minuto se divide en 60 partes iguales y cada una de ellas recibe el nombre de segundo, es decir:

CLASIFICACIÓN DE ÁNGULOS : (completa el cuadro)

ÁNGULO COMPLETO ÁNGULO EXTENDIDO

ÁNGULO OBTUSO

mide mide Mide

Dibujo Dibujo Dibujo

ÁNGULO RECTO ÁNGULO AGUDOmide mide

Dibujo Dibujo Dibujo

SUMA (RESTA) DE ANGULOS: Los ángulos expresados en grados, minutos y segundos se pueden sumar o restar como sigue: Ejemplos: 1) Suma de ángulos: 15º 28’ 35’’

+ 48º 47’ 52’’ 63º 75’ 87’’

Luego, 63º 76’ 87’’ = 64º 16’ 27’’

2) Realiza la resta: 150º - 122º 45’ 35’’

Así 149º 59’ 60’’ - 122º 45’ 35’’

27º 14’ 25’’

109

1º = 60’

1’ = 60’’

O = vértice del ángulo rayos

AOB BOA

L1

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.)Determinar el valor de los siguientes ángulos:

AOC = BOE =BOD = COF =AOE = DOF =AOF =

2.)Dados los siguientes ángulos: = 23º 45’ , = 120º 40’ 32’’ , = 92º 10’ 20’’

Calcula

a) + + = b) - = c) 2

3) En la figura, OC es bisectriz del AOB. Encuentra el valor de x e y , si AOB = 140º.

2y-20º x+10º

DEFINICIONES :

ÁNGULOS CONSECUTIVOSDos ángulos son consecutivos si tienen un ladoen común.

y son consecutivos

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:

Dos ángulos consecutivos son complementarios si suman en conjunto 90º.

9

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOSDos ángulos consecutivos son suplementarios si suman en conjunto 180º

180º

ANGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE.

1 2 3 4

110

1 4 5 8

2 3 6 7

D C B

42º 45º 30º

E 51º 0 A F

A C

O B

L2

5 6 7 8

EJERCICIOS :4. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ?

2x-1 29º

5. En la figura, ¿ cuál es el valor de x ? x+80 70°

6. En la figura, encuentra los valores de x e y

7. La suma de las magnitudes de dos ángulos es 124º. Si la medida de uno de ellos es el triple de la del otro. ¿ cuál es la medida de cada uno de ellos ?

8. Tres ángulos suman 157°. El mayor mide 32º más que el segundo, y éste 25º más que el tercero. ¿ Cuánto vale cada ángulo ?

9) 10) 11)

12) 13) 14)

CONSTRUCCIONES BÁSICAS.

Es necesario para el trabajo posterior de polígonos, sepas realizar las construcciones básicas de geometría, esto es con compás y escuadra.

14. Copia en tu cuaderno el ángulo dado en la figura :

15. En tu cuaderno, construye la simetral del trazo AB:

111

3x 2x 5x

2x-10°

x+40°

x+50°2x-80°

5x-75°

3x x+20°3x-15°

3xx+20° 116°

y+10º

2x 3x-70º

La simetral es la perpendicular en elpunto medio del segmento dado.

A B

16. Construye la bisectriz del ángulo dado.

17. Desde un punto P exterior a la recta L, traza otra recta perpendicular a la recta dada.X P

L

18. Encuentra el conjunto de todos los puntos del plano que están a distancia “d” del punto dado P.

d x P

19. Comprueba con tus útiles , que los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.20. Desde un punto exterior P a una recta L, traza una paralela a la recta dada.

P

REFLEXIÓN :Los conocimientos sobre la Geometría en Egipto

cobraron suma importancia en la construcción de las pirámides.

¿ Puedes considerar tú la cantidad de personas empleadas en la construcción de ese inmensa obra, la cantidad de material ?

¿ Sabías que este monumento ( la de Keops ) mide 230 metros por lado de su base cuadrada y 146 metros de altura ? ¿ A cuántas canchas de fútbol equivale su base ?

Escribe en tu cuaderno el producto de tu reflexión

112

CONTENIDO 9

LOS POLÍGONOS.

POLÍGONOS .

POLÍGONO es una figura limitada por segmentos de rectas.Los polígonos pueden ser cóncavos o convexos.

POLÍGONO CONVEXO POLÍGONO CÓNCAVO.

Se clasifican de acuerdo al número de lados:

3 lados es un _________________4 lados es ___________________.

5 lados es un _____________________6 lados es un _______________________

10 lados es un _____________________ 20 lados es un __________________

ANGULOS INTERIORES DE UN POLÍGONO

La suma de los ángulos interiores se obtiene multiplicando 180º por el número de lados del polígono menos dos.

DIAGONALES

113

S = 180º ( n - 2 )

D = ( n - 3)

i =

c =

e =

Número de diagonales que parten de un sólo vértice.

El número de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados, desde un mismo vértice se obtiene restando tres al número de lados.

NÚMERO TOTAL DE DIAGONALES.

El número total de diagonales que se pueden trazar en un polígono de n lados se obtiene según la siguiente fórmula:

POLIGONO REGULAR.

Es el polígono que tiene todos sus lados iguales y sus ángulos congruentes. Además se puede inscribir en una circunferencia.

a) Angulo Interno: como tiene todo sus ángulos congruentes, se divide la suma total por el número de ángulos.

b) Angulo del centro: se divide 360º por el número de lados del polígono

.

c)Angulo exterior: también se obtiene dividiendo 360º por el número de lados.

EJERCICIOS.21.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un decágono regular?

22.- ¿Cuánto mide la suma de los ángulos interiores de un polígono de 8 lados?

23.- ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en total en un polígono de 9 lados?

24.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo interior mide 150º ?

114

i

c

d = n - 3

e

25.- ¿En qué polígono se pueden trazar 9 diagonales en total ?

26.- En un polígono regular de 12 lados:a) ¿cuánto mide cada ángulo interior?b) ¿cuánto mide cada ángulo exterior?c) ¿cuánto mide cada ángulo central?

CONTENIDO 10

TRIÁNGULOS.

Identificar los triángulos.

ABC triángulo cualquiera C AB , BC y AC lados del triángulo

interiores

, , exteriores A

’ A, B y C vértices del triángulo

115

B

`

CLASIFICACION DE TRIÁNGULOS.

SEGÚN SUS LADOS.

1. EQUILÁTERO AB BC AC

2. ISÓSCELES AC BC

3. ESCALENO AB BC AC

SEGÚN SUS ÁNGULOS :

4. ACUTÁNGULO Todos sus ángulos interiores son agudos.

5. RECTÁNGULO 1 ángulo recto y dos agudos suplementarios

6. OBTUSÁNGULO 1 ángulo obtuso y dos agudos.

PROPIEDADES DE TODO TRIÁNGULO :

I. LOS TRES ÁNGULOS INTERIORES SUMAN EN CONJUNTO 180º.

II. LOS TRES ANGULOS EXTERIORES EN CONJUNTO, SUMAN 360º.

III. CADA ANGULO EXTERIOR ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LOS DOS ÁNGULOS INTERIORES NO ADYACENTES.

EJERCICIOS :

27) De los tres ángulos de un triángulo el mayor mide 32 más que el segundo y éste 25 más que el tercero. ¿ Cuánto mide cada ángulo ?

28) El ángulo basal de un triángulo isósceles mide 57 más que el ángulo del vértice. ¿ Cuánto mide cada ángulo ?

29) Los ángulos interiores de un triángulo están en la razón de 3 : 5 : 7. ¿ Cuál es la medida del ángulo del medio ?

30) El perímetro de un triángulo equilátero es 24. ¿ Cuál es la magnitud de su lado ?

31. 32.

30º

116

65°xx

20°

y

35º

y

y

33.. 34. x

120º

100º

35º 62º

x

SEGMENTOS SECUNDARIOS EN UN TRIÁNGULO.

I.BISECTRICES. C AE = b

BF = b

CD = b

F E Las tres bisectrices se cortan en un mismo punto que sirve de centro a la circunferencia INSCRITA.

A D BDICHO PUNTO SE LLAMA INCENTRO.

II. TRANSVERSALES DE GRAVEDAD.

C E punto medio de BCD punto medio de ABF punto medio de AC.

F E = ta ; = tb ; = tc

GLas tres tranversales se cortan en un sólo punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD.

Una característica especial de las transversales es que el segmento adyacente al vértice es el doble del segmento adyacente al lado. es decir, AG = 2GE.

III. ALTURAS DEL TRIÁNGULO.

C La altura es un segmento perpendicular al lado bajada desde el vértice opuesto.

CD AB ; AE BC ; BF AC

E Las tres alturas se cortan en un

117

A D B

F mismo punto llamado ORTOCENTRO.

A D B

IV. MEDIANAS. C D, E y F son los puntos medios de los

lados del triángulo.

DE, EF y FD son las medianas.

Cada mediana que une dos puntos medios es paralela al lado al tercer lado y es la mitad de dicho lado.

V. SIMETRALESSimetral es la perpendicular levantada en el punto medio de cada lado del triángulo.

Las tres simetrales se cortan en un solo punto que sirve de centro a la circunferencia circunscrita, es decir, pasa por cada vértice del triángulo. Dicho punto se denominaCIRCUNCENTRO.

9. ¿Qué puedes decir acerca de las alturas?. Dibújalas.

a) en un triángulo rectángulo Conclusiones

B

C A

b) en un triángulo acutángulo Conclusiones B

A C

c) en un triángulo obtusángulo Conclusiones

118

A

BF

E

D

B

A CDibuja las medianas : Conclusiones

B

A C

Traza las simetrales de los lados del triángulo : Conclusiones

B

A C

Traza las transversales de gravedad : Conclusiones

B

A C

CONSTRUCCIONES DE TRIÁNGULOS

PRIMER CASO : Se conocen los tres lados.Construye un triángulo dados : lado a = 4 ; b = 5 cm y c = 6 cm.Construcción : 1º Se dibujan los tres trazos dados2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B.3º Desde A se traza un nuevo arco hacia C con radio b.4º Desde el vértice B se traza un arco hacia C con radio a.5º Queda determinado el vértice C. Se une A con C y b con C

a b cb a

A c B

119

EN TU CUADERNO :35. Dibuja un triángulo dados : a = 12 : b = 7 ; c = 8

36.¿ Crees tú poder construir una triángulo dados a = 4 ; b = 6 ; c = 12 cm. ?

SEGUNDO CASO : Se conocen dos lados y el ángulo formado por ellos..Construye un triángulo dados : lado b = 4 ; c = 5 cm y = 60º.Construcción : 1º Se dibujan los dos trazos dados y el ángulo de 60º

2º Se traza una recta. Se determina el vértice A. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B.

3º En A se copia el ángulo de 60º. Se obtiene el lado libre del ángulo .

4º Sobre el lado libre del ángulo se copia el segmento b. Se determina el vértice C.

5º Se une B con C y queda construido el triángulo.

CONSTRUCCIÓN ( EN TU CUADERNO )

EN TU CUADERNO :37. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º38. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º

TERCER CASO : Se conocen un lado y los dos ángulos contiguos.Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; = 120º y = 30º.Construcción : 1º Se dibujan el trazo dado y los dos ángulos dados.

2º Se traza una recta. Se determina el vértice a. Se dibuja una arco centro A y con radio c. Se determina el vértice B.

3º En el vértice A se copia el ángulo .

4º En el vértice B se copia el ángulo .

5º Se unen los vértices con los puntos determinados en cada arco. Queda determinado el triángulo ABC.

EN TU CUADERNO :39. Construye un triángulo dados : a = 4,5 cm ; = 75º y = 50º40. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; = 105º y = 35º

CUARTO CASO : Se conocen dos lados y un ángulo.Construye un triángulo dados : lado c = 4,6 cm ; b = 5,4 cm y = 85º.Construcción : 1º Se dibujan los tres datos2º Se traza una

120

3º

4º

5º

EN TU CUADERNO :41. Construye un triángulo dados : b = 4,5 cm ; c = 5,0 cm y = 50º

42. Construye un triángulo dados : b = 52 mm ; a = 35 mm y = 65º

43. El pueblo A está situado a 23 km al sur del pueblo B. El pueblo C está 35 km al suroeste de B. ¿ Cuál es la distancia entre A y C?

44. Desde un acantilado, Luis observa un barco bajo un ángulo de 20º. Luis se encuentra a 15 metros sobre el nivel del mar. ¿ A qué distancia está el barco

CONTENIDO Nº 11 :

C O N G R U E N C I A.

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

121

De que somos figuras, sí...Pero...¿ seremos congruentes?

Oye...¿crees tú que somos figuras congruentes ?

ESTAS SÍ SON FIGURAS CONGRUENTES

ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUENTES

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y el mismo tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión.

Esto significa que deben tener lados y ángulos iguales :

AB = A’B’ , A = A’ A A’ AC = A’C’ , B = B’

BC = B’C’ , C = C’

B C B’ C’

La notación de que un triangulo es congruente con otro lo anotamos ABC A’B’C’

Existen criterios que permiten afirmar que dos triángulos son congruentes :

CRITERIO ANGULO - LADO - ANGULO ( A . L ..A)

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él :

C A : A = A’ C’ L : AB = A’B’ A : B = B’

’ ’A B A’ B’

2. CRITERIO LADO - ANGULO - LADO ( L . A .L )Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el

ángulo comprendido entre ellos :

C L : AC = A’C’ C’ A : = ’

122

L : AB = A’B’ ’ ’A B A’ B’

3. CRITERIO LADO - LADO - ANGULO ( L . L. A . )

Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente iguales 2 lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos :

C L : AC = A’C’ C’ L : BC = B’C’ ’ A : = ’

’ ’A B A’ B’

4. CRITERIO LADO - LADO - LADO ( L . L. L . )

Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados respectivamente iguales :

C L : AC = A’C’ C’ L : BC = B’C’ ’ L : AB = A’B’

’ ’A B A’ B’

DOS EJEMPLOS DE APLICACIÓN   :

C1) TEOREMA  : La bisectriz correspondiente al ángulo basal de un triángulo isósceles es perpendicular a la base y la biseca. 1 2

Hipótesis   : ABC es isósceles CD es bisectríz

Tesis : ADC = CDB = 90º y AD = DB A D B

Demostración : En primer lugar se deben ubicar los datos de la hipótesis en la figura para luego darse cuenta cuál es el criterio a utilizar , así :

L  : AC = BC (lados iguales de un triángulo isósceles )A  : 1 = 2 (por ser CD bisectríz )L  : CD = CD ( lado común a los dos triángulos )

Por tanto : ADC DBC ( por criterio L.A.L.)

Ahora, si dos triángulos son congruentes, entonces todos sus elementos respectivos son iguales ( se dice que los elementos homólogos son iguales) , así :

123

ADC + CDB = 180º ( son ángulos adyacentes )

y como éstos son iguales, cada uno mide 90º ( los ángulos homólogos son los opuestos a lados iguales ).

Además : AD = DB ( por ser elementos homólogos )

Q. E. D. ( Queda Esto Demostrado )

2) En la figura : F E

Hipótesis : FA = DA y CFA = EDA A

Tesis   : i) ACF ADEii) A es el punto medio de CE

C D

Demostración   : I : CFA = EDA ( por hipótesis ) II : FA = DA ( por hipótesis ) III: CAF = EAD ( ángulos opuestos por el vértice )

por tanto : i) ACF ADE ( por criterio L.A.L.)ii) CA = EA ( lados homólogos )

3) En la figura : C

Hipótesis   : AC = AD y BC = BD

Tesis : i) ABC ABD A Bii) ACB = ADB

Demostración   : I: AC = AD ( por hipótesis ) II : BC = BD ( por hipótesis ) III : AB = AB ( por hipótesis )

Así : i) ABC ABD ( por criterio L.L.L.)ii) ACB = ADB ( ángulos homólogos )

E J E R C I C I O S.

45. Considera los siguientes pares de triángulos, en los que se indica los lados o ángulos respectivamente congruentes. ¿ En qué casos se puede asegurar la congruencia del par de triángulos ? Indica el criterio utilizado en cada caso :

a) B F b) E A C D

124

D

E A F D B C AB = DE , AC = DF AC = FE , AB = ED

BC = DF CAB = EDF

c) N d) D C

M R L

A B

J K DAB = CBA DBA = CAB

MN = LJ AB = AB MR = JK NRM = LKJ

Ee) f) A D A

D F B C E F

C B

BC = EF AB = BC = AC AB = DE DE = DF = FE

46. Señala en qué condiciones serían congruentes ( Realiza un dibujo )

a) Dos trazos o segmentos b) Dos rectángulos

c) Dos cuadrados d) Dos circunferencias

47. Responde , EN EL CUADERNO ,las siguientes preguntas ( Justifica tus respuestas )

a) ¿ Pueden dos triángulos ser congruentes sin ser coplanares ?

b) ¿ Pueden dos artículos manufacturados en serie llamarse congruentes en el más estricto sentido matemático ?

c) Un cuadrado tiene un lado igual a uno de los lados de otro cuadrado. ¿ Son los cuadrados necesariamente congruentes ?

d) Un cubo tiene igual arista a una arista de otro cubo. ¿ Son los cubos congruentes ?

125

En los casos siguientes demuestra lo que se indique :R

48. Hipótesis : 1 = 2 ; 3 = 4 Tesis : RZS RZT 1 2

3 4 T Z S

T

49. Hipótesis : 3 = 4 = 90º ; RS = RT Tesis : RZS RZT 3

R 4 Z

S

50. Hipótesis : DE EF ; XY XZ E X D = Y ; DZ = FY Tesis : DEF XYZ

D Z F Y 51. Hipótesis : AC = BC y CD = CE C Tesis : ADC BEC

A D E B

CONTENIDO Nº 12 :

CUADRILÁTEROS.

CUADRADO lados iguales ángulos rectos

diagonales se bisecan y son

perpendiculares entre sí.

PARALELOGRAMO(dos pares de lados

RECTANGULOlados paralelos

iguales ángulos rectossus diagonales se

bisecan.

paralelos) sus diagonales se bisecan y son

126

ROMBO lados iguales ángulos oblicuos perpendiculares entre sí.

ROMBOIDElados paralelos

iguales ángulos oblicuossus diagonales se

bisecan

Los ángulos internos y opuestos son congruentes.Los ángulos internos no opuestos son suplementarios.

ESCALENO (Sus lados no paralelos desiguales)

TRAPECIOS ISOSCELES (Sus lados no paralelos iguales )

RECTANGULO (Tiene dos ángulo rectos

55.- En los casos siguientes , si ABCD es paralelogramo , hallar el valor de las variables:

2y - 2a) B C b) B C c) B y C 2x E x+40 A D A D A D 2y-10

Perímetro ROMBO = 40 DE = 3 y , BE = x ABCD es rombo AC = 30 , EC = z

56.- En los siguientes casos , si ABCD es un rombo , hallar x e y .

a) B C b) B y+10 C c) B C 2y y +20 x 20 A 3x-7 D A D A D BAC = 4x - 5 CAD = 2x + 15 57.- Sean ABCD trapecio, hallar x e y en los casos siguientes :

a) B C b) B C c) B C 105º 9x+5º y y 7x

3y 2x+10º 2x+10º 4x-30º 2x A D A D A D

58.- Si ABCD es un paralelogramo , hallar x e y en los casos siguientes : B C (a) AD = 5x , AB = 2x , CD = y , Perímetro = 84 .(b) AB = 2x , BC = 3y+8 , CD = 7x25 , AD = 5y10 .(c) A = 4y60 , C = 2y , D = x .(d) A= 3x , B = 10x15 , C = y . A D

127

E J E R C I C I O S.

Usando congruencia de triángulo demuestra las siguientes propiedades de los paralelógramos :

D C

59. Los lados opuestos de los paralelógramos son iguales. AB = CD y AD = BC

A B A B

60. Los ángulos opuestos de los paralelógramos son iguales : E ABC = ADC y DAC = BCD D C

61. Las diagonales de un paralelógramo se dimidian : AE = EC y BE = DE

62. Hipótesis : AD // BC y AB // DC D C Tesis : ACD ACB

A B 63.. Hipótesis : CD = AB y 2 = 4 D C Tesis : ACD ACB y BC = AD 4

2 A B

64.Las diagonales de un rombo son perpendiculares D C entre sí.

Hipótesis : ABCD es romboTesis : AC DB

A B

65.Las diagonales de un rectángulo son iguales. D C

Hipótesis : ABCD es rectánguloTesis : AC = BD

A B

BIBLIOGRAFIA.

128

ALGEBRA de BALDOR.ALGEBRA Y GEOMETRIA, Tomo I, Editorial Santillana.ALGEBRA de DOLCIANI.ALGEBRA. Tomo I. Editorial Arrayán.DESCUBRIENDO LA MATEMATICA. Tomo I. Editorial SalesianaALGEBRA de PROESCHLE.

129