GEOMETRIA VECTORIAL - FORMULAS.pdf

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Geometría Vectorial A continuación se darán los conceptos y resultados mas utilizados en Geometría Vectorial. Estan dados , en general ,para el trabajo en 3 , pero note que todo es similar en el espacio 2 Longitud de un vector Sea u a, b, c la longitud del vector u sera denotada por u a 2 b 2 c 2 Vector unitario Sea u un vector, se define el vector unitario en la direccion de u , al vector u u . Note que este vector tiene longitud 1. Producto interior Sea u a 1 , b 1 , c 1 y v a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto interior entre u y v por u v a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 Proyección Ortogonal Sean u , v vectores. La proyección ortogonal de u en v es el vector proy v u u v v 2 v Ángulo entre vectores Sea u y v vectores, sera denotado por u , v Queda determinado pues sabemos que cos u v u v . (Como cos2 cos , para que no haya ambigüedad se considera como el menor ángulo formado por los vectores u y v ) Paralelismo y perpendicularidad entre vectores u v 0 / u v u v u v 0 Producto vectorial Sea u a 1 , b 1 , c 1 y v a 2 , b 2 , c 2 , denotaremos el producto vectorial entre u y v por u v b 1 c 2 c 1 b 2 , a 2 c 1 a 1 c 2 , a 1 b 2 a 2 b 1 (Observación: u v es un vector ortogonal a u ya v Aplicación: u v es el área del paralelogramo cuyo lados estan formados por los vectores u y v

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Geometría VectorialA continuación se darán los conceptos y resultados mas utilizados en Geometría Vectorial. Estan

dados , en general ,para el trabajo en �3 , pero note que todo es similar en el espacio �2

Longitud de un vectorSea u� � �a,b,c� la longitud del vector u� sera denotada por�u�� � a2 � b2 � c2

Vector unitarioSea u� un vector, se define el vector unitario en la direccion de u�, al vector u�

�u��. �Note que este

vector tiene longitud 1�.

Producto interiorSea u� � �a1,b1,c1� y v� � �a2,b2,c2�, denotaremos el producto interior entre u� y v� poru� � v� � a1a2 � b1b2 � c1c2

Proyección OrtogonalSean u�,v� vectores. La proyección ortogonal de u� en v� es el vectorproy v� u� � u� � v�

�v��2 v�

Ángulo entre vectoresSea u� y v� vectores, sera denotado por � � ��u�,v��Queda determinado pues sabemos que cos� � u� � v�

�u���v��.

(Como cos�2� � �� � cos�, para que no haya ambigüedad se considera � como el menor ánguloformado por los vectores u� y v�)

Paralelismo y perpendicularidad entre vectoresu��v� � �� � � � �0� / u� � �vu��v� � u� � v� � 0

Producto vectorialSea u� � �a1,b1,c1� y v� � �a2,b2,c2�, denotaremos el producto vectorial entre u� y v� poru� � v� � �b1c2 � c1b2,a2c1 � a1c2,a1b2 � a2b1�(Observación: u� � v� es un vector ortogonal a u� y a v��Aplicación: �u� � v�� es el área del paralelogramo cuyo lados estan formados por los vectores u� y

v�

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�u� � v�� � �u���v�� sin� , donde � � ��u�,v��

Producto mixtoSea u�,v�,w� vectores , el producto mixto es �u� � v�� � w� � �u� � v����w��cos��, � � ��u� � v�,w� �Aplicación : |�u� � v�� � w� | es el volúmen del paralelepipedo cuyos lados estan formados por los

vectores u�,v�,w�

Cosenos directores de un vectorSea v� � �a1,b1,c1� �,�,� son los respectivos ángulos formados por el vector v� con los ejes

cartesianos , como muestra la figura:

cos� � a1

�v��, cos� � b1

�v��, cos� � c1

�v��

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Ecuación de la RectaPara calcular ecuación de la recta que pasa por los puntos P�a1,b1,c1� y Q�a2,b2,c2�, primero

X�x,y, z� va a representar un punto arbitrario que esta en la recta , luegoPX � �PQ ,� � �X � P � ��Q � P�X � ��Q � P� � P�x,y, z� � ���a2,b2,c2� � �a1,b1,c1�� � �a1,b1,c1��x,y, z� � ���a2 � a1� � a1,��b2 � b1� � b1,��c2 � c1� � c1�

Ecuación paramétrica. �� � ��x � ��a2 � a1� � a1,y � ��b2 � b1� � b1,z � ��c2 � c1� � c1,

Ecuación Cartesianax � a1a2 � a1

� y � b1

b2 � b1� z � c1

c2 � c1

(Note que es lo mismo para P,Q � �2)

El vector director de la recta que pasa por los puntos P y Q es el vector PQ

Ecuación del PlanoPara calcular la ecuación del plano que definen los puntos P�a1,b1,c2�,Q�a2,b2,c2� y

R�a3,b3,c3��no colineales� :Primero consideremos los vectores PQ y PR, estos claramente estan en el plano que pasa por los

puntos P,Q,R . Llamaremos n� � PQ � PR , el vector normal del plano. Recuerde que n� esperpendicular a PQ y PR.

Sea X�x,y, z� un punto arbitrario en el plano., luego el vector PX esta en el plano , y como n� esperpendicular a PQ y PR., se debe tener que n� es perpendicular a PX , por lo tanto

PX � n� � 0 ,(con n� � �n1,n2,n3�)�x � a1,y � b1, z � c1� � �n1,n2,n3� � 0n1x � n2y � n3z � �n1a1 � n2b1 � n3c1� � 0

Asi el plano que pasa por los P,Q y R es� : n1x � n2y � n3z � �n1a1 � n2b1 � n3c1� � 0donde n� � �n1,n2,n3� vector normal del plano �.

Los vectores directores del plano son PQ y PR

Angulos entre rectas, planos y rectas y planos .Sean L y L� dos rectas con vectores directores u� y u�� respectivamente, ademas sea � y � � dos

planos con vectores normales n� y n��respectivamente, entonces se tiene1. ��L,L�� � ��u�,u���2. ���,� �� � ��n�,n���

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3. ��L,�� � ��u�,n��

Paralelismo y PerpendicularidadSean L y L� dos rectas con vectores directores u� y u�� respectivamente, ademas sea � y � � dos

planos con vectores normales n� y n��respectivamente, entonces se tiene1. L�L� � u��u��

2. ��� � � n��n��

3. L�L� � u��u��

4. ��� � � n��n��

5. L�� � u��n�6. L�� � u��n�

DistanciasDistancia entre puntos: sean P,Q dos puntos , la distancia entre P y Q esd�P,Q� � PQ

Distancia de un punto a una recta: sea L recta con vector director u�, sea Q un punto tal queQ � L, y sea P un punto arbitrario que pertenece a la recta L. La distancia del punto Q a la recta Les

d�Q,L� �u� � PQ

�u��

Distancia de un punto a un plano: sea � plano con vector normal n�, sea Q un punto tal queQ � �, y sea P un punto arbitrario que pertenece al plano �. La distancia del punto Q al plano �es:

d�Q,�� �n� � PQ

�n��

Distancia de un plano a un plano: sean �1 , �2 dos planos en �3, se tienen dos posibilidades�1 � �2 � � o �1 � �2 � �.Si �1 � �2 � � esto equivale a que �1��2 , y asi d��1,�2� � d��1,P� con P � �2 (P punto

arbitrario que pertenece al plano �2)Si �1 � �2 � � , se tiene que d��1,�2� � 0

Distancia de una recta a un plano: sea L una recta y � un plano en �3, se tienen dosposibilidades

L � � � � o L � � � �.Si L � � � � esto equivale a que L�� , y asi d�L,�� � d�L,P� con P � � (P punto arbitrario

que pertenece al plano �2)Si L � � � � , se tiene que d�L,�� � 0