Esta Geometría se denomina a cualquier geometría que no difieren en algún punto de los establecidos por Euclides en su tratado de elementos. Los desarrollos de geometrías no euclidiana comenzó con el objetivo de construir modelos en los que se demostrara que no se cumpliera el quinto postulado de Euclides.

´´Si una recta corta a otras dos formando a un lado ángulos internos, y la suma de estos es menor que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de ese lado.´´

Ejemplos de geometrías no Euclidianas:

- Geometría Hiperbólica- Geometría elíptica

Euclides

Quinto postulado de Euclides

Esta geometría satisface sólo los cuatro primero postulados de Euclides y tiene curvatura negativa.Teorizada inicialmente por Immanuel Kant em donde el considera espacios de más de tres dimensiones.

Uno de los experimentos mas notables fue el de Janos Bolyai y Ferdinand Schweickard en la cual que los tres ángulos de un triángulo sumaban menos de 180º sexagesimales (en la geometría euclídeana la suma de los ángulos de los triángulos debe dar180º)

Esta geometría es confirmada cuando Beltrami demostró que la geometría hiperbólica coincide con la geometría intrínseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometría hiperbólica, ambos prueban que es tan consistente como la Geometría euclídeana.

Gauss fue el primer reconocido en considerar la posibilidad de que la geometría del Universo no fuera la Euclídeana.

También rechaza el postulado del paralelo, y establece que : "no hay

líneas paralelas, y si se extienden suficientemente lejos, dos líneas rectas

cualesquiera enun plano se encontrarán."

Su invención ha sido acreditada a Bernhard Riemann

o Negación del quinto postulado de Euclides:

Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna

recta paralela a la dada.

Experimento que comprueba

Consideró una esfera y la geometría intrínseca a ella, es decir, tomó la

esfera como plano. Las rectas del plano pasan a llamarse geodésicas y

son círculos máximos, es decir, circunferencias que dividen a la esfera en

dos hemisferios iguales Por tanto por un punto exterior a una geodésica

no pasa ninguna paralela a ella.

En esta geometría elíptica o tambein llamada esférica la suma de los

ángulos de un triángulo es mayor de 180º.

euclidiana

heliptica

eliptica

Es el estudio de las variedades

diferenciales con métricas de Riemann; es

decir de una aplicación que a cada punto de la

variedad, le asigna una forma

cuadrática definida positiva en su espacio

tangente, aplicación que varía suavemente de

un punto a otro. Esto da ideas locales de

magnitudes como ángulo ,longitud de curvas,

y volumen. En casos particulares aparecen

dos tipos convencionales (geometría elíptica y

geometría hiperbólica) pertenecientes a la

geometría NoEuclidiana, así igual como

la geometría euclidiana misma.

Todas estas geometrías se tratan sobre la misma base, al igual

que una amplia gama de las geometrías con propiedades métricas

que varían de punto a punto.