Geometría IGrupo Nº 3:

Fernández Daniel

Kurtz Johanna

Mujica Graciela

Elia Ayelen

Perspectiva

¿De qué estamos hablando?

Es un sistema que permite representar las tres

dimensiones sobre una superficie plana, además

dando así una simulación del volumen de los

objetos creando una profundidad falsa por

medio de los puntos de fuga

Sus orígenes

La necesidad de representar el espacio tridimensional sobre el plano da lugar a la aparición de la perspectiva en el Renacimiento, período de transición entre la Edad Media y el mundo moderno.

A finales del siglo XV y XVI se perfecciona la perspectiva bajo la aportación de Leonardo da Vinci en su Tratado de la pintura (1680) con la perspectiva del color, donde los colores se difuminan según va aumentando la distancia y la perspectiva menguante, donde los objetos o figuras van perdiendo nitidez con la distancia.

Auxiliados por la geometría, podemos simular el efecto visual de la perspectiva proyectando los objetos tridimensionales sobre un plano (bidimensional) utilizando los métodos de la perspectiva cónica. Recibe este nombre por el hecho de que las líneas paralelas de proyección parten de un punto (a modo de un cono). Mediante este procedimiento se pueden obtener imágenes realistas. Sin embargo, la perspectiva cónica no puede imitar fielmente la visión estereoscópica del ser humano.

Geometría Euclidiana

Desarrollada por Euclides en su obra “Los Elementos de Geometría”, que consta de 13 Libros.

Destacaremos las siguientes definiciones:

Un punto es aquello que no tiene partes.

Una recta es una longitud sin anchura.

Los extremos de un segmento son puntos.

Una superficie es aquello que tiene sólo longitud y anchura.

Los extremos de una superficie son rectas o segmentos de rectas.

Un sólido es aquello que tiene longitud, anchura y profundidad.

Un extremo de un sólido es una superficie.

Postulados:

Dado dos puntos, es posible trazar un segmento.

Dado un segmento, es posible prolongarlo tanto como se desee.

Dado un centro y un radio, es posible construir una circunferencia.

Los ángulos rectos son iguales entre sí.

El quinto postulado:a. Si una recta intercepta a dos rectas de modo que los ángulos

interiores a un lado de ella suman menos que dos ángulos rectos, estas dos rectas se interceptarán, si se prolongan lo suficiente, hacia el lado en que la suma de sus ángulos interiores es menor que dos rectos.

b. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar, una segunda recta paralela a la primera, y solo una.

Geometría No-Euclidiana

Son todas las geometrías que poseen postulados y/o propiedades que difieren con lo establecido en Los Elementos de Euclides.

Existen diversas geometrías no euclidianas. Geometría hiperbólica. Geometría Elíptica.

Principales exponentes: Carl Gauss. Janos Bolyai. Nikolai Ivanovich Lobachevsky. Bernhard Riemann. Giovanni Gerolamo Saccheri.

Sus orígenes

Surge a partir de que diversos matemáticos que intentaron negar el Postulado V, de la Geometría Euclidiana.

Recordemos que el quinto postulado se caracteriza por ser sumamente complejo.

Los numerosos primeros intentos en tratar, mediante el absurdo del quinto Postulado proporcionan algunas propiedades iniciales de las geometrías hiperbólicas y elípticas.

Cuadrilátero de Saccheri

• Hipótesis del ángulo recto: Los ángulos D y C son iguales y rectos.

• Hipótesis del ángulo obtuso: Los ángulos D y C son iguales y obtusos.

• Hipótesis del ángulo agudo: Los ángulos D y C son iguales y agudos.

• .

-(α +β +δ) = C. A α β δ

Fórmula de Lambert

Relación Gauss- F. Bolyai: comunicándose mediantes cartas los descubrimientos de Janos.

Las geometrías no euclidianas, no fueron reconocidas por la totalidad de la comunidad científica hasta el siglo XIX.

János Bolyai y e Nikolai Ivanovich Lobachevsk : denominados como los autores básicos de la geometría no euclidiana.

El alemán Bernhard Riemann, buscando obtener su título de Privatdozent, presentó su obra “Hipótesis en que se basa la geometría”.

Dato curioso: La hipótesis en que se basa la geometría de Riemann fue publicada recién en el año 1868, cuando el mismo matemático la presento en el año 1854.

Geometría Hiperbólica Conocida como lobachevskiana o geometría Bolyai-lobachevskiana

Cumple con los cuatro primeros postulados euclidianos.

“Dada una recta r y un punto P externo a la recta, hay por lo menos dos rectas distintas que pasan por el punto las cuales no intersecan a la recta”

Curvatura negativa.

La suma de los ángulos interiores, de un triángulo, es siempre menor 180. Existen triángulos hiperbólicos ideales donde los tres ángulos son iguales a cero grados.

La geometría hiperbólica es crucial para la Teoría de la Relatividad de Einstein y se utiliza pródigamente en el campo de la topografía.

Geometría Elíptica Satisface los cuatro primeros postulados de la geometría euclidiana y tiene

curvatura positiva.

“Dada una recta r y un punto P externo a la recta, todas las rectas que pasan por el punto intersecan a la recta”

No existen líneas paralelas.

La suma de los ángulos de un triángulo en la geometría elíptica es siempre mayor que 180 grados.

El teorema de Pitágoras no puede ser aplicado. Hay dos tipos principales de geometría elíptica:

la esférica la proyectiva

Geometría Esférica

“Un subconjunto de la geometría elíptica”

Se basa en la superficie de una esfera en dos dimensiones.

Los conceptos básicos de los puntos y las líneas se definen como en la geometría euclidiana,

Se define a la línea como “el recorrido más corto entre dos puntos” y se denomina geodésica. Son círculos máximos, que son los círculos más grandes que se pueden dibujar en una esfera.

Ejemplo la line del ecuador.

Aplicaciones la navegación y la astronomía.

GEOMETRÍA PROYECTIVA

Exponentes:

• Leonardo Da Vinci (1452-1519)

• Gerard Desargues (1591-1661)

• Rene Descartes (1596-1650)

CONTEXTO

• La geometría proyectiva nace como consecuencia de los esfuerzos realizados por los artistas del Renacimiento para representar de manera más realista el mundo que les rodeaba. El gran problema al que se enfrentaron los pintores del Renacimiento era cómo plasmar el mundo tridimensional real en un lienzo bidimensional.

Principales Exponentes

Gerard Desargues

• Nació en Lyon el 21 de febrero de 1591.

• Fue matemático e ingeniero.

• Se intereso por las aplicaciones sobre la geometría en la arquitectura y la geometría.

Su obra

• Las secciones cónicas.

• La invarianza de la razón doble y las cuaternas armónicas.

• La teoría de polares, de ahí se obtiene su famoso Teorema de Desargues

La invarianza de la razón doble y las cuaternas armónicas

• Desargues demostró que la razón doble es la misma en cualquier sección.

• Cuaterna armónica: la define a partir de la involución: “A, B, E y F forman una cuaterna armónica si A y B son un par de puntos conjugados con respecto a los puntos dobles E y F de una involución”

Las secciones cónicas y los puntos infinitos

• Como forma de representar a un circulo en distintas perspectivas.

• También hace uso del punto en el infinito.

• Ideas que tomo de Kepler

Obra (1639)

Teoría de los

polares

A partir de una circunferencia y un punto exterior a ella A, considera sobre cada recta que pasa por A y corta a la circunferencia el cuarto armónico de A respecto de los dos puntos de intersección de la recta con la circunferencia. Todos esos puntos yacen en una recta que llama polar del punto A.

Dice que en el plano proyectivo, dos triángulos son perspectivos desde un punto si y sólo si son perspectivos desde una recta

Teorema de Desargues

Félix Klein

• Nació el 25 de abril de 1849 en Düsseldorf, Prusia (Alemania).

• Estudio Matemática y Física.

• En 1866 obtuvo el puesto de asistente de laboratorio de Plucker.

• En 1872 ingreso como profesor en la Universidad de Erlagen.

Su obra

• Programa de Erlagen

• Las geometrías Kleinianas: Geometría Métrica, Geometría Afín, Geometría Proyectiva, la Topología

• En 1871 publico dos artículos sobre la geometría no euclidianas

Programa de

Erlagen

• Afirma que una geometría es el estudio de ciertas propiedades, que no cambian cuando se le aplican ciertas transformaciones. Estas propiedades se las llamo invariantes.• Incluyendo a la

euclidiana y no euclidiana.

Geometrías Kleinianas

Giovanni Saccheri.

Matemático Italiano.

Nació el 5 de setiembre de 1667 en San Remo, Génova.

Perteneciente a la Orden Jesuita, de la Compañía de Jesús.

El duque de Saboya (Víctor Amadeo II), solía llamar a Giovanni cuando necesitan a alguien para llevar a cabo cálculos matemáticos difíciles.

Saccheri murió a los 66 años, el 25 de octubre de 1733 en Milán, Italia.

Su vida

Sus Obras Intentos por demostrar el postulado paralelo de Euclides.

Trabajó en lógica matemática.

Escribió destacables trabajos sobre geometría no-euclidiana.

Libros “Lógica demonstrativa” en el año 1701. “Euclidesab omni naevo vindicatus”

(Euclides liberado de toda imperfección), en el año 1733.

“La hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa, porque repugna a la naturaleza de la línea recta".

Janos Bolyai

Nació el 15 de diciembre de 1802 en Kolozsvár, Imperio Austriaco (actualmente Cluj, Rumania).

Su padre fue el matemático Farkas Bolyai.

En los años que van del1818 al 1822 Estudió en la Universidad de Ingeniería Real en Viena.

Al finalizar sus estudios, se unió al Cuerpo de Armada de Ingeniería.

Se retira de la armada por problemas de salud.

El 27 de enero de 1860, fallece en lo que actualmente es Tirgu-Mures, Rumania.

Su vida

¿Sabias qué…?

A la edad de cuatro años podía distinguir ciertas figuras geométricas, conocía la función seno y era capaz de identificar las principales constelaciones.

A la edad de solo trece años aprendió cálculo y otras formas mecánicas analíticas.

Se destaco no solo en el área de la matemática, también era un experto violinista e interpretó su música en Viena.

El mejor espadachín y bailarín en la Armada del Imperio Austriaco.

Experto lingüístico y habló nueve idiomas entre ellos Chino y Tibetano.

Cada descubrimiento que Bolyai realizaba, era transmitido a su padre por cartas.

Bolyai padre, era amigo de Gauss.

En 1945, se nombró en Cluj una universidad con su nombre que corresponde ahora a la Universidad Babes-Bolyai.

Obras Reconocidas por Gauss: “Yo considero que este joven geómetra Bolyai

es un genio de primer nivel…”

Reconocido por ser uno de los fundadores de la geometría no euclidiana.

En 1831 creó un apéndice de solo 24 páginas, en un libro de su padre (Farkas) sobrematemáticas.

Después de su muerte se encontraron más de veinte mil páginas de manuscritos que se encuentran en la biblioteca Bolyai-Teleki en Tirgu-Mures.

Bernhard Riemann.

Su vida Nació el 17 de septiembre de 1826, en una aldea

cercana a Dannenberg, Alemania.

Su padre Friedrich Bernhard Riemann .

En 1840 Riemann entro directamente en la clase de tercero en el Liceo de Hanover y luego se traslado al Johanneum Gymnasium en Lüneburg.

En 1847 su padre reunió el dinero suficiente para que comenzara a estudiar matemáticas.

Fue alumno y discípulo de gauss, en 1859, se doctoro en matemática, formuló por primera vez la hipótesis de Riemann (el cual sigue sin resolverse),

Dio sus primeras conferencias en 1854, en las cuales fundó el campo de la geometría de Riemann.

Lo ascendieron a profesor extraordinario en la universidad de Göttingen en 1857 y se hizo profesor ordinario en 1859.

En 1862 se casó con Elise Koch.

Murió, el 20 de julio de 1866, de tuberculosis en su tercer viaje a Italia en Selasca.

Obras Diversos aportes en el área de la matemática: Geometría de Riemann Superficie de Riemann Integración de Riemann Función zeta de Riemann Variedad de Riemann Tensor métrico

Combinó las ideas de Gauss referentes a la geometría no-euclidian,con algunos principios de la última obra de Gauss sobre la medición de las superficies curvas. Formando un importante sistema de Geometría Diferencial que reveló formas generales para realizar las mediciones en un espacio de cualquier curvatura y de un número cualquiera de dimensiones.

La unificación de todas las geometrías se conoce hoy en día como geometría de Riemann y es básica para la formulación de la Teoría de la Relatividad de Einstein.

El Espacio libre de Riemann

Espacios curvos.

En dicho espacio las trayectorias más cortas entre puntos son líneas curvas.

Los triángulos se modifican al moverlos y la suma de sus ángulos, en lugar de ser 180 grados, varía cuando los triángulos se trasladan.

La geometría de Riemann es una aplicación que a cada punto de la variedad, le asigna una forma cuadrática definida positiva en su espacio tangente, aplicación que varía suavemente de un punto a otro. Esto da ideas locales de (entre otras magnitudes) ángulo, longitud de curvas, y volumen. A partir de éstas, pueden obtenerse otras magnitudes por integración de las magnitudes locales.

El propósito de Riemann era introducir un nuevo objeto en las matemáticas que le capacitase para describir todas las superficies, por complicadas que fueran.

Riemann descubrió que en cuatro dimensiones espaciales se necesita una colección de diez números en cada punto del espacio para describir sus propiedades. Por muy retorcido o distorsionado que este en el espacio, esta colección de números en cada punto es suficiente para codificar toda la información sobre dicho espacio. Hoy, esa colección de números se denomina, el tensor métrico de Riemann.

Hablando crudamente, cuanto mayor es el valor del tensor métrico, mayor es el arrugamiento de la superficie, digamos de una hoja de papel, y el tensor métrico nos da un medio para medir la curvatura en cada punto. Si alisamos completamente la hoja arrugada, entonces recuperaremos la formula de Pitágoras.

Jean Victor

Poncelet  

Su vida Nació el 1 de julio de 1788 en Metz, Francia.

Fue un matemático e ingeniero,

Realizo sus estudios en la Escuela Politécnica y en la Academia Militar de su ciudad natal.

Fue oficial del ejército de Napoleón y participó en la campaña contra Rusia.

Entre los años 1813 y 1814 estuvo retenido en la prisión de Saratoff, después de haber sido dado por muerto durante la retirada de Moscú.

Tras su vuelta a Francia se dedico a poner por escrito y dar a conocer sus descubrimientos

Murió en Paris, el 22 de diciembre de 1867.

Obras: Sus descubrimientos matemáticos más importantes, que

renovaron la geometría proyectiva, fueron gestados durante los años de cautiverio.

La obra más conocida de Poncelet, Tratado de las propiedades proyectivas de las figuras -1822-. Está centrado en tres ideas:

Figuras homólogas.

Principio de continuidad.

Principio de dualidad.

Figuras Homólogas Dos figuras son homólogas si una de ellas procede de la otra

mediante una sucesión de proyecciones y secciones. Se trata luego de

encontrar para cualquier figura su homóloga más sencilla, estudiar en ella las

propiedadesinvariantes mediante sección y proyección, y llegar de este

modo a propiedades de la figura originaria.

Principio de continuidad

Si una figura deriva de otra mediante un cambio continuo, toda propiedad de

la primera vale para la segunda. Este teorema afirma que los puntos de

intersección de los pares de lados opuestos de un hexágono inscrito en una

cónica están en línea recta.

Principio de dualidad

Fundado en la correspondencia entre polo y polar relativaa una cónica:

Dice que todo enunciado de geometría proyectiva plana permanece válido si

se sustituyen los puntos por rectas, las rectas por puntos, la concurrencia de

rectas por la colineación de puntos, etc. y viceversa.Las líneas que unen los vértices opuestos de un hexágono

circunscrito a una Cónica, pasan por un mismo punto

Gaspard Monge  

Su vida Nació el 9 de mayo de 1746 en Beaune, Francia,.

Hijo de un vendedor ambulante. Estudió en las escuelas de Beaune, Lyon y en la escuela militar de Mezieres.

Ejerció como profesor de física a partir de los 16 años, a los 19 como profesor de matemática.

Contribuyó a fundar la Escuela Politécnica en 1794, en la que dio clases de geometría descriptiva durante más de diez años.

Murió en París el 28 de julio de 1818.

Obra: Inventor de la geometría descriptiva.

La geometría descriptiva es la que nos permite representar superficies tridimensionales de objetos sobre una superficie bidimensional.

Libros:• Geometria Descriptiva -1799-• Aplicación del algebra a la geometría -1805-• Aplicación del análisis a la geometría -1807-• Estatica Tratado Elemental -1810- El sistema diédrico, también conocido como sistema Monge, que

fue desarrollado en su primera publicación en el año 1799.

Leonardo da Vinci  

Su vida Nació el 15 de abril de 1452 en villa Toscana de Vinci,

República de Florencia.

Hijo natural de una campesina, Caterina (que se casó poco después con un artesano de la región), y de Ser Piero, un rico notario florentino.

En 1460 se trasladó junto a su familia a Florencia, donde se formó.

Con 16 años entró en el taller del pintura de la escultora Andrea Verrocchio, en Florencia, donde aprendió la técnica pictórica y también nociones de mecánica e hidráulica.

En 1472 ya figuraba como miembro del gremio de pintores, por lo que pudo recibir encargos y trabajar por cuenta propia.

En 1472 comenzó sus estudios de anatomía humana. A pesar de que terminó pocas obras en este período.

Leonardo consiguió un notable prestigio como pintor, arquitecto, ingeniero y humanista.

El 2 de mayo de 1519 murió en Cloux, Francia; su testamento legaba a su alumno y fiel amigo Melzi todos sus libros, manuscritos y dibujos, que éste se encargó de retornar a Italia.

Su obra Ayuda al matemático Luca Pacioli en su libro “La divina proporción”.

Autor de “Tratado de la pintura”

“La perspectiva es el freno y timón de la pintura. La pintura se basa en la perspectiva, que no es otra cosa que un conocimiento perfecto de la función del ojo”

“Nadie que no sea matemático debe leer los principios de mi trabajo”

“No hay certeza alguna allí donde no se pueda aplicar alguna de las ciencias matemáticas”

Leonardo da Vinci domina por completo la perspectiva. Experto en otras formas de transmitir profundidad como el “sfumatto” y el “claroscuro”.

Sus obras más conocidas son: La Gioconda La Santa Cena

Johann Carl Friedrich Gauss

Alemán

Nacio en el año 1777 y fallecio en el año 1855

Matemático, físico y astrónomo.

Virtuoso matemático.

Aportes a la geometría:

1.Geometría diferencial

2.Geometría riemanniana

En 1796 demostró que se puede dibujar un polígono regular de 17 lados con regla y compás.Fue el primero en probar rigurosamente el teorema fundamental del álgebra.En 1801 publicó el libro Disquisitiones Arithmeticae, con seis secciones dedicadas a la Teoría de números, dándole a esta rama de las matemáticas una estructura sistematizada.

Nikolai Lobachevski

Ruso

Nació en el año 1792 y falleció en el

1856

Aportes a la geometría:

Critica a la geometría euclidiana

Sistema de geometría no euclidiana

Principios de la geometría y

geometría imaginaria

Demonstración del Quinto Postulado.

Critica a la geometría euclidiana

Sistema de geometría no euclidiana

Principios de la geometría y geometría imaginaria