Geometria Euclidea Plana

Geometra Eucldea PlanaPrimer Cuatrimestre 2010

Entrando en calor

1. Lgica 21.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Conjuntos 72.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3. Funciones 93.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4. Relaciones de equivalencia 114.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

5. Nociones de geometra 125.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Apndice 14Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Ac nos ponemos de acuerdo en notaciones, repasamos algunos conceptos, eintroducimos algunos que tal vez no sean conocidos pero que son fundamentalespara el trabajo futuro.

La idea es mirar por arriba el material del apunte y hacer los ejerciciospropuestos, volviendo a releer los temas si hubiera alguna dificultad, ya sea conlos ejercicios o con apuntes posteriores.

Empecemos por algunas notaciones:

Letras. Usamos letras como , , y tambin griegas (pocas) como , para desig-nar objetos. Por completitud y para referencia mostramos el alfabeto griegoen el cuadro 1 en el apndice (no es necesario aprenderlo ni mucho menos).

Cuando se nos acaba el alfabeto usamos primas, como , ,

(ledas como prima, segunda, tercera), o subndices como 1, 2( sub uno, sub dos), o combinando ambas como 1 (indistintamente prima sub uno o sub uno prima). Otras veces ponemos rayas, tildes(virgulillas) o similares, como en , , *.

Notas. Adems de las notas al pie de pgina, intercalamos en el texto distintasnotas en letras ms pequeas.

Aclaraciones, curiosidades, historia:. La letra griega (psilon) dio origen a nuestra y griega.

Pg. 2 Entrando en calor

Notas ms avanzadas:

( Para cuando volamos por las nubes.

Indicaciones de demostraciones: A medida que avancemos iremos reemplazando demostraciones formales

por indicaciones de los pasos a seguir a modo de nota.1

Algunos smbolos no matemticos.

indica el fin de una demostracin.

. Al escribir en papel podemos usar Q. E. D., del latn quod erat demos-trandum (lo que se quera demostrar), inmediatamente despus del puntofinal, poniendo algo como

[...] pero esto es lo mismo que decir que = 0. Q. E. D.O directamente sin la abreviatura,

[...] pero esto es lo mismo que decir que = 0, como queramosdemostrar.

$(la cortamos ac) indica el fin de definiciones o notaciones.

Algunas abreviaturas.

a.C. antes de Cristo.

e.g. (del latn exampli gratia) debe leerse como por ejemplo.

i.e. (del latn id est) debe leerse como esto es o o sea, etc.

1. Lgica

Las matemticas se diferencian de otras ciencias por las demostraciones, enlas cuales se establecen relaciones entre proposiciones lgicas.

Proposiciones lgicas. Son afirmaciones de las cuales podemos decir que sonverdaderas o falsas,2 como este lpiz es rojo o todo entero es par.

Una proposicin debe ser verdadera o falsa, pero no puede ser verdadera yfalsa simultneamente.

no (negacin), y (conjuncin), o (disyuncin). Se usan para operar con pro-posiciones.

no es verdadera si es falsa. y es verdadera si tanto como lo son. o es verdadera si alguna de o lo es.

. En matemticas o es equivalente al y/o que se usa en el lenguajecomn.

Por ejemplo, la negacin de este lpiz es rojo es no (este lpiz es rojo)donde pusimos parntesis por claridad o ms informalmente no es ciertoque este lpiz sea rojo, o directamente este lpiz no es rojo.

1 Pero en los exmenes habr que hacer las demostraciones formales!2 Sin meternos en honduras: en ciertas circunstancias existen proposiciones lgicas para las cuales

no se puede decidir si son verdaderas o falsas.

1. Lgica Pg. 3

De modo similar, este lpiz es rojo y largo podra ponerse ms formalmentecomo (este lpiz es rojo) y (este lpiz es largo).

. Los smbolos , , indican no, y, o respectivamente.

. Muchas veces (pero no siempre) la negacin de una propiedad dada por unsmbolo se expresa tachando el smbolo: = ( es igual a ) se niega poniendo , ( es distinto de ).

Ms adelante veremos otros smbolos con esta propiedad, como: (implica) ; (no implica) (pertenece) < (no pertenece) (incluido) 1 (no incluido)< (menor) (no es menor) (paralela) (no paralela)

La negacin de una conjuncin es una disyuncin, y la de una disyuncin esuna conjuncin, segn las leyes de De Morgan (18061871):

1.1. Propiedad (leyes de De Morgan para proposiciones lgicas).

no ( y ) es equivalente a (no ) o (no ). no ( o ) es equivalente a (no ) y (no ).

As, la negacin de este lpiz es rojo y largo puede ponerse como (estelpiz no es rojo) o (este lpiz no es largo).

Existe y para todo. Una pregunta bsica en matemticas es si existen o noobjetos con determinadas propiedades, es decir, si una afirmacin de la forma

existe tal que ()

es verdadera o falsa.Por ejemplo, en la proposicin

existe un nmero entero tal que = + 1, (1)

la variable se llama y la proposicin () es es un nmero entero y = +1.La negacin de la proposicin (1) es

no existe un nmero entero tal que = + 1,

que podemos poner en la forma para todo entero no ( = + 1), o mssencillamente,

para todo entero se cumple que , + 1.

Al negar una proposicin con existe aparece para todo (y recprocamen-te). As, las expresiones

para todo vale ()

yno existe tal que () sea falsa

son equivalentes.

. A veces se usan los smbolos para no, para existe, para para todo,y @ para no existe.


Hay que tener un poco de cuidado cuando se usan existe o para todo.Por ejemplo,

todo entero es par o es impar

es verdadera, y no es lo mismo que

(todo entero es par) o (todo entero es impar)

que es falsa (pues cada expresin entre parntesis es falsa).

Implicaciones. La palabra entonces al decir

si yo camino entonces me muevo, (2)

en matemticas se puede reemplazar por implica,

yo camino implica me muevo. (3)

eliminando a veces la palabra si (como en este caso). Tambin podemos usarel smbolo :

yo camino me muevo. (4)En la proposicin , es la hiptesis o premisa , i.e., suposiciones que

se hacen sobre algunos objetos, es la tesis o conclusin, i.e., propiedades yrelaciones que deben cumplir los objetos sobre los que se est trabajando, y lanueva proposicin se llama implicacin.

. Algunos autores llaman a el antecedente y a el consecuente.

Decir que es verdadera es equivalente adecir que y (no ) es falsa.

En particular, si es falsa, es decir si partimos de una premisa falsa, laimplicacin es siempre verdadera, no importa si es verdadera o no.

De este modo, tanto (0 = 1) (2 = 3) como (0 = 1) (2 , 3) sonproposiciones verdaderas. En ambos casos la premisa es falsa (0 = 1), mientrasque la conclusin es falsa en el primer caso (2 = 3) y verdadera en el segundo(2 , 3).

Tambin podramos poner la frase (2) al revs, sin entonces:

me muevo si yo camino. (5)

En este caso, la palabra si se indica en matemticas por el smbolo :

me muevo yo camino. (6)

As como es el recproco de , en matemticas se usa slo si comorecproco de si:

yo camino slo si me muevo. (7)

Es decir, para nosotros casi siempre entonces, implica, , slo si,por lo tanto, debe ser y necesariamente, son sinnimos (como en losejemplos (2), (3), (4) y (7)). En cambio si y a veces son sinnimos (comoen los ejemplos (5) y (7)), y otras veces no (en el ejemplo (2) no pondramos yo camino me muevo, expresin sin sentido).

1. Lgica Pg. 5

. Por lo tanto a veces se indica con el smbolo . Menos comn es elsmbolo para indicar porque.

En general puede ser que pero ; , como en

hombre mortal (todos los hombres son mortales)

(donde entre parntesis indicamos una versin ms informal) que es verdadera,pero

mortal hombre (todos los mortales son hombres)

es falsa (los canguros tambin son mortales).Para ver que una implicacin es falsa, basta dar un contrajemplo, i.e., un

ejemplo donde y no es verdadera. En el ejemplo anterior, el canguro es unejemplo de mortal () que no es hombre (no ).

. Intercambiaremos implica, todo, cada, para todo y cualquiera sinningn tipo de pudor. As, para nosotros sern equivalentes:

si es hombre entonces es mortal hombre mortal todo hombre es mortal cada hombre es mortal cualquiera que sea el hombre , es mortal para todo hombre , es mortal

En algunos casos tenemos tanto el si como el slo si. Por ejemplo, cuando es un nmero real tenemos que tanto

= 0 2 = 0 (si es 0 entonces su cuadrado tambin lo es)

como

2 = 0 = 0 (si el cuadrado de se anula entonces tambin)

son verdaderas. En estos casos podemos resumir ambas implicaciones usandosi y slo si, simbolizado con ,

= 0 2 = 0 ( es 0 si y slo si su cuadrado lo es).

En definiciones, e.g.,

un nmero entero es par si es mltiplo de 2,

el si debe entenderse como si y slo si: si un nmero entero es mltiplo de2 entonces es par, y si un nmero entero es par entonces es mltiplo de 2.

Teoremas, lemas, etc. Son enunciados de la forma . Aunque puedenponerse bajo el nombre genrico de teoremas (o sencillamente implicaciones),en general teorema se reserva para los resultados principales, llamando lemasa resultados menores previos que conducen a resultados ms importantes, ycorolarios a las consecuencias ms o menos sencillas de resultados principalescomo teoremas, por ejemplo, casos particulares.


. Muchas veces los enunciados de los corolarios son ms importantes, en elsentido de que se usan ms, que los teoremas de los cuales son consecuencia,y por otra parte hay lemas famosos de los cuales se deducen teoremas no tanimportantes.

En fin, que la importancia de un resultado es bastante subjetivo y no haycriterios uniformes para llamar a algo lema o teorema o corolario.

A veces todos estos enunciados o resultados se engloban simplemente conla palabra proposicin, evitando mayores complicaciones.

Demostraciones. La demostracin es una serie o cadena de razonamientos queconducen a establecer la verdad de una proposicin de la forma .

Hay muchas formas de escribir una misma demostracin, y un resultadopuede tener demostraciones conceptualmente distintas (como veremos con elteorema de Pitgoras).

Hay diversas tcnicas para demostrar : podemos usar una tcnicadirecta, o demostrar el contrarecproco (no ) (no ), o usar la tcnicadenominada reduccin al absurdo o por contradiccin, demostrando que y (no) es falso (o absurdo o contradictorio), como en la demostracin del lema 1.2.

Enunciados y demostraciones. Veamos un ejemplo de cmo enunciaremosresultados y escribiremos sus demostraciones.

1.2. Lema. Si es un nmero real positivo, entonces es negativo.

Demostracin. Razonando por contradiccin, supongamos que > 0 y 0.Sumando miembro a miembro las inecuaciones

> 0

0

obtenemos+ () > 0,

pero como +() = 0, llegamos a 0 > 0 que es falso. Esta contradiccin provienede suponer que > 0 y 0.

. Algunos autores dividen explcitamente la proposicin (teorema, lema ocorolario) en dos partes: la hiptesis () que se supone verdadera, yla tesis (). Por ejemplo,

Hiptesis: es un nmero real positivo.

Tesis: es negativo.

Este esquema ayuda al principio, pero nosotros no lo usaremos.

1.1. Ejercicios

Ejercicio 1.1. Siendo que una proposicin es verdadera o su negacin lo es(pero no ambas simultneamente), ver que si y son proposiciones entoncesuna (y slo una) de las siguientes es verdadera (y las restantes falsas):

y , y (no ), (no ) y , (no ) y (no ).

Sugerencia: considerar las cuatro posibilidades verdadera y verdadera, verdadera y falsa, etc.

2. Conjuntos Pg. 7

2. Conjuntos

En general pensamos que una figura plana est compuesta por puntos,curvas, tal vez incluyendo la regin encerrada por ellas. Ms ampliamente, unafigura ser para nosotros un conjunto de puntos en el plano.

. La geometra euclidiana plana tambin se denomina planimetra.

( En realidad no tenemos por qu pensar que los puntos son elementos de unconjunto llamado recta. Podramos pensar que puntos, rectas y planos sonobjetos que tienen ciertas relaciones entre ellos. En geometra proyectiva se veque muchas veces se pueden intercambiar punto con recta y obtener unresultado vlido. Por ejemplo: dos puntos distintos determinan una recta ydos rectas distintas determinan un punto (en proyectiva todas las rectas seintersecan).

Otros conjuntos particularmente importantes para nosotros son los num-ricos: los enteros, 0,1,1,2,2, . . ., denotados por Z; los racionales, cocientes deenteros con denominador no nulo, denotados por Q ; y los reales, que completanla recta sin dejar agujeros, indicados por R . Los naturales son los enterospositivos, 1,2,3, . . ., y se indican con N .

. En algunos casos resulta ms cmodo considerar que 0 es natural, y tomarN como todos los enteros no negativos: hay que tener cuidado en saber culconvencin se est usando.

Suponemos conocidos estos conjuntos numricos as como las operacionesde suma, resta, producto, etc.; el orden (>, + > + ), queveremos con ms detalle en el apunte sobre nmeros reales.

Repasemos algunos conceptos de la teora de conjuntos.

Pertenencia. Los conjuntos estn constituidos por elementos. Si el elemento est en (o pertenece a o es un elemento de) el conjunto , ponemos . Losconjuntos se indican generalmente con letras maysculas y sus elementos enminsculas, ambas cursivas.

. Aunque se parecen, son distintos los smbolos (pertenece) y (psilongriega), o su variante .

Cuando un conjunto se describe caracterizando los elementos que lo compo-nen, ponemos esta descripcin entre llaves. As, { Q : > 0} es el conjunto denmeros racionales positivos.

Otras veces podemos enumerar los elementos, como en {3,5,8}, o dejar conpuntos suspensivos si queda clara la descripcin, como en

= {1,3,5,7,9, . . .}

que parece indicar que es el conjunto de los nmeros enteros que son positivose impares.

Relaciones entre conjuntos. Si y son dos conjuntos y todos los elementosde estn tambin en , es decir si

,


decimos que est incluido o contenido en y lo indicamos como

o .

En este caso decimos tambin que es un subconjunto de o una parte de .Dos conjuntos son iguales cuando los elementos de uno son elementos del

otro y recprocamente. Es decir,

= y .

. Por lo tanto, para demostrar que un conjunto es igual a otro en general hayque demostrar las dos inclusiones.

. Usamos el signo = con dos sentidos distintos.Uno para definir el conjunto, como en = {1,2,3}, y otro para expresar que

los dos conjuntos a ambos lados de la igualdad tienen los mismos elementos,como en {1,2,3} = { : es entero positivo menor que 4}.

Algunos autores hacen distinciones entre estos dos usos (y ciertamente sehace al programar en la computadora), poniendo smbolos como := paralas definiciones.

Siguiendo la costumbre usual, nosotros no haremos esta distincin en lanotacin.

A veces ponemos ( o $ para indicar que pero , .

Operaciones. Pensamos que los elementos con los que trabajamos estn en unconjunto universal, por ejemplo el plano o R. En contrapartida, el conjunto vacoes el conjunto que no tiene elementos, y se indica por .

Dados dos conjuntos y , obtenemos otros conjuntos mediante las opera-ciones de unin

= { : o },

e interseccin = { : y }.

Dos conjuntos y son disjuntos3 si no tienen elementos comunes (ensmbolos, = ). Si , , decimos que corta o interseca a .

A veces es conveniente considerar la diferencia de conjuntos, definida como

= { : < }.

Por ejemplo, R Q es el conjunto de nmeros irracionales.

Producto cartesiano. Dados dos conjuntos no vacos y , el producto carte-siano es el conjunto formado con los pares ordenados de la forma (,) con y .

Por ejemplo, si = {1,2,3} y = {1,2,4},

= {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (2,4), (3,1), (3,2), (3,4)}.

3 Segn la Real Academia Espaola, lo correcto es disyuntos, pero seguimos la costumbre ennuestro pas. A propsito, el o en lgica a veces se llama disyuncin, pero el y es la conjuncin.

En fin, si nos vamos a poner estrictos, el nombre del curso debera ser Geometra euclidianaplana (y no eucldea).

2.1 Ejercicios Pg. 9

El orden en los pares es importante: (1,2) , (2,1). En el ejemplo anterior,(1,4) pero (4,1) < .

Hay una clara correspondencia entre los conceptos de lgica y los de teorade conjuntos: se relaciona con la inclusin, con la igualdad entreconjuntos, y con la interseccin, o con la unin, y no con la diferencia deconjuntos.

As, las leyes de De Morgan para lgica (propiedad 1.1) se transforman enrelaciones para conjuntos:

2.1. Propiedad (leyes de De Morgan para conjuntos). Si y son subconjun-tos del conjunto universal , entonces

() = ( ) ( ). () = ( ) ( ).

2.1. Ejercicios

Ejercicio 2.1. Demostrar que dados dos conjuntos y ,

= ( ) () y = ( ) ( ) (),

y que los conjuntos que intervienen en los miembros derechos son disjuntos (encada caso).

3. Funciones

Si y son conjuntos no vacos, una funcin o aplicacin de en , denotadapor : , es una regla que para cada asigna un nico , indicadopor () = . es el dominio y es el codominio de la funcin.

La regla puede darse mediante una expresin ms o menos sencilla, como

() = 2,

o algo ms complicado como el valor absoluto

|| = si 0, si < 0.

Tambin podemos definir una funcin mediante una tabla si el dominio esfinito, como : {1,2,3} {4,5,6} definida por

()

1 52 43 4

: es: suryectiva o sobre si todo es imagen por de algn punto de , i.e.

para todo existe tal que = ().

. Es un problema de existencia.


inyectiva o uno a uno, si puntos distintos de tienen imgenes distintas,i.e.,

, , , () , (),

o el equivalente

, , () = () = .

. Es un problema de unicidad.

biyectiva o biunvoca si es a la vez suryectiva e inyectiva.. Es un problema de existencia y unicidad.

La funcin no es slo la regla, si no que tambin incluye al dominio ycodominio. Por ejemplo, si

: N N y () = ||, : Z { Z : 0} y () = ||, : Z Z y () = ||,

(8)

entonces es biyectiva, no es inyectiva pero es suryectiva, y no es ni suryec-tiva ni inyectiva.

. Muchas veces cuando no lleva a confusin no indicamos el dominio y elcodominio, como en el caso del valor absoluto, que podra considerarse comode Z en Z, o de Q en Q, o de R en R.

Una funcin sencilla en la que dominio y codominio coinciden es la identidadI : , definida como I() = para . Es claro que I es biyectiva.

Si : y : , podemos definir su composicin : por () = ( ()).

. La composicin de funciones no es conmutativa (en general). Por ejemplo si : R R y : R R estn definidas por () = + 1 y () = 2, entonces

() = (+ 1)2 = 2 + 2+ 1, () = 2 + 1.

Si : es biyectiva, podemos definir su inversa 1 : por

1() = tal que = ().

En este caso se cumple que 1 es tambin biyectiva y

1 = I y 1 = I .

3.1. Ejercicios

Ejercicio 3.1. Demostrar las afirmaciones que siguen a las ecuaciones (8).

Ejercicio 3.2. Demostrar que

a) || y 2 = ||2 para todo R.b) Si , R,4 entonces || = || ||. En particular, || = ||. Sugerencia:

considerar los (cuatro) casos 0 y 0, 0 y < 0, etc.

4 Ponemos , en vez de la versin ms formal y .

4. Relaciones de equivalencia Pg. 11

c) La desigualdad triangular para reales:

|+ | ||+ || para cualesquiera , R.

d) Dados , R, definimos la distancia entre ellos por dist(,) = | |.. O sea, dist(:)RR R.

i) dist(,) = dist(,) para cualesquiera , R.ii) dist(,) dist(,) + dist(,) para cualesquiera ,, R (otra

versin de la desigualdad triangular).

Ejercicio 3.3. Supongamos que : , : y = . Demostrar quea) Si y son inyectivas, tambin lo es.b) Si y son suryectivas, tambin lo es.c) Si y son biyectivas, tambin lo es.

Ejercicio 3.4. Demostrar que si : es biyectiva, entoncesa) 1 est bien definida, i.e., para todo existe un nico tal que

1() = ,

b) 1 es biyectiva.

Ejercicio 3.5. Demostrar que : R R dada por

() =

si 0,+ 1 si < 0,

es suryectiva pero no inyectiva. Sugerencia: hacer una tabla o un grfico.

Ejercicio 3.6. Demostrar que : R R dada por () = /(1 + ||) es inyectivapero no suryectiva. Sugerencia: hacer una tabla o un grfico.

4. Relaciones de equivalencia

Una relacin entre los conjuntos no vacos y es cualquier subconjuntono vaco del producto cartesiano . se llama el dominio y el codominiode la relacin, como en las funciones. De hecho, muchas veces las funciones sepresentan como relaciones.

El orden es un ejemplo de relacin entre nmeros reales. Como subconjuntode RR, consideraramos (,) en la relacin si .

Ac nos interesan las relaciones de equivalencia en un conjunto . Poniendo si y son equivalentes, para ser una relacin de equivalencia debesatisfacer las siguientes propiedades:

Para todo , (reflexividad). Si , y , entonces (simetra). Si ,, son tales que y , entonces (transitividad).La igualdad (en cualquier conjunto) es un ejemplo de relacin de equivalen-

cia.Toda relacin de equivalencia est asociada a una particin, i.e., una familia

de conjuntos disjuntos cuya unin da todo.


Por ejemplo, si enN tomamos el conjunto de los nmero pares y el conjunto de los impares, y forman una particin de N. La relacin subyacente aques

es mltiplo (entero) de 2. (9)

4.1. Ejercicios

Ejercicio 4.1. Demostrar que la relacin definida en la ecuacin (9) es deequivalencia.

5. Nociones de geometra

Suponemos conocidos conceptos tales como:

Punto: Se denota con letras maysculas (cursivas), como .Recta: Se denota con letras minsculas (cursivas), como ; si pasa por los puntos

y , a veces la indicamos por .

. Las notaciones de teora de conjuntos y de planimetra chocan entre s: en geo-metra tiene sentido poner (e.g., el punto est en la recta ), mientrasque en conjuntos ms bien pondramos (e.g., el elemento pertenece alconjunto ). Trataremos de mantener ambas tradiciones, confiando en que nohabr confusiones para el lector atento.

Semirrecta o rayo: Se denota con letras minsculas cursivas, como las rectas.Si tiene origen en y pasa por , a veces ponemos (primero el origen).Observar que es la misma notacin que para la recta por y , pero parasemirrectas el orden indicado es importante.

Segmento: En general lo indicamos por los extremos, e.g., (igual que enrectas y semirrectas). Pero tambin mediante letras cursivas minsculas,como .

. A veces se usan las notaciones para el segmento, para la semirrec-

ta, y para la recta. Aunque es ms formal que lo que hacemos, es una

sobreabundancia de notacin, y dificulta la lectura y escritura. Nosotros noharemos estas distinciones, tratando de dejar claro en cada caso a qu nosreferimos.

. y pueden indicar tanto una recta, una semirrecta o un segmento.

ngulo: Si est comprendido entre las semirrectas y de origen , lo indica-remos por , o si no surgen confusiones. Tambin podemos poner o . Si es un punto de y uno de , tambin pondremos (o )donde el segundo punto mencionado es el vrtice (y por lo tanto el orden esimportante). Tambin es usual denotar los ngulos por letras griegas como.

Tringulo: Denotaremos con al tringulo de vrtices , y .. A veces se usa la notacin , pero normalmente omitiremos .Figuras como tringulos y polgonos en general tambin se indican con

letras maysculas, como o .

Circunferencia: Normalmente se indican con letras minsculas, como (adiferencia de otras figuras, que se indican con maysculas). Es posible ver

5.1 Ejercicios Pg. 13

indicado el radio por , o (la r griega).

Tambin supondremos conocidos el uso de regla (graduada), para trazarrectas y medir segmentos; comps, para circunferencias; y transportador, paramedir ngulos. En el gabinete usaremos un software de geometra dinmica,5

pero en los exmenes no usaremos la computadora, as que es recomendablepracticar tambin con regla y comps.

5.1. Ejercicios

Ejercicio 5.1.

a) Dibujar dos puntos y denominarlos y .b) Trazar una recta por ellos y llamarla .c) Dibujar una perpendicular a por , y llamarla .d) Dibujar un tercer punto , que no est en las rectas trazadas (ni en ni

en ).

e) Trazar una perpendicular a que pase por .f ) Trazar la recta que pasa por y .g) Trazar la paralela a que pasa por .

Ejercicio 5.2.

a) Trazar una recta y tres puntos en ella.b) Denominar los puntos con , y , de modo que el punto est entre

y .

c) Medir los segmentos , y y comparar la longitud de con lasuma de las longitudes de y .

Ejercicio 5.3.

a) Dibujar un punto en el plano.b) Dibujar dos semirrectas con origen en , llamarlas y .c) Marcar el ngulo = que forman y (el ms chico) y medirlo.d) Construir una tercer semirrecta, , tambin con origen e interior al

ngulo .

e) Medir los ngulos y y comparar la suma de sus medidas con ladel ngulo .

Ejercicio 5.4. Tomar un punto cualquiera y trazar a partir de l una semirrecta.Construir en esta semirrecta un segmento de 5 cm (a partir del origen) y unngulo de 45 (apoyado sobre la semirrecta, hay dos posibilidades).

Ejercicio 5.5. Construir un tringulo arbitrario, un punto (distintode , y ), y luego un tringulo congruente al (i.e., los ladoscorrespondientes tienen igual longitud).

Ejercicio 5.6.

5 Nosotros usaremos Geogebra (http://www.geogebra.org) en el gabinete, pero hay muchosotros softwares que tambin son gratis.

http://www.geogebra.org


a) Dibujar dos puntos y en el plano.b) Trazar la circunferencia con centro que pasa por .c) Trazar la circunferencia con centro en que contiene a .d) Las dos circunferencias se cortan en y : denominar estos puntos.e) Trazar las circunferencias con centros en y que pasan por . Estas

dos circunferencias cortan a en dos nuevos puntos. Llamarlos (parala circunferencia con centro en ) y .

f ) Trazar las circunferencias 1 y 2 con centros en y respectivamente,y que pasan por .

g) , 1 y 2 se cortan en y otro punto: llamarlo .h) Trazar una circunferencia con centro que pase por . Tendra que

aparecer una flor de seis ptalos: reconocerla.

i) Unir con segmentos puntos consecutivos sobre la circunferencia: ,, , , , . Aparecer el hexgono regular.6 Verificar queesto es as midiendo los lados (todos tienen que tener longitud igual alos radios de la circunferencia) y ngulos , , etc. que debenmedir 120.

j) Unir mediante segmentos puntos alternados sobre la circunferencia: , y por una parte, y , y por otra parte, forman tringulosequilteros. Verificar que esto es as midiendo sus lados (deben tenerigual longitud) y ngulos , , etc. (deben medir 60).

Ejercicio 5.7.

a) Dibujar una circunferencia de centro , un punto en ella, y luego unpentgono regular inscripto en ella, usando que los ngulos, , etc., miden 72(= 360/5).

b) dem para dibujar un heptgono regular , donde los ngulos, , etc., miden ahora 360/7 (aproximadamente 512543

o 51,428571).

c) Verificar que los lados de los polgonos obtenidos tienen todos los ladosiguales (aproximadamente) midindolos.

Apndice

Alfabeto griego

El cuadro 1 muestra el alfabeto griego: maysculas, minsculas y su escritura(y pronunciacin) en castellano, segn el Diccionario de la Real AcademiaEspaola. Entre parntesis se indica una pronunciacin alternativa de usofrecuente en nuestro pas. Algunas letras tienen variantes en su escritura, como y .

6 Se puede escribir hexgono o exgono, pero es incorrecto poner eptgono.

Apndice: Alfabeto griego Pg. 15

alfa ni (nu) beta xi gamma micron delta , pi , psilon , ro dseda (zeta) , sigma eta tau , zeta (theta) psilon iota , fi kappa ji lambda psi mi (mu) omega

Cuadro 1: Alfabeto griego


Propiedades de los nmeros reales

1. Propiedades comunes 1

2. Completitud de los reales 22.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Apndice 7Propiedades de la suma, producto y orden . . . . . . . . . . . 7

Una forma de construir los conjuntos numricos N, Z, Q y R, es empezar conlos naturales, N = {1,2,3, . . . }; luego construir los enteros, Z, para poder hacercualquier diferencia de naturales; luego construir los racionales, Q, para poderhacer cualquier cociente de enteros (con divisor no nulo), y finalmente construirR para llenar los agujeros. El tema central de este apunte es justamente verqu es eso de llenar los agujeros.

Recordemos que entre los nmeros irracionales (los reales que no son ra-cionales) se encuentran nmeros estrechamente ligados a la geometra como

2 y :

2 es el cociente entre las longitudes de la hipotenusa y un catetoen tringulos rectngulos issceles, y es el cociente entre el permetro decualquier circunferencia y su dimetro.

. Se atribuye a la escuela pitagrica (alrededor de 500 a.C.) la demostracingeomtrica de la existencia de irracionales, aunque posiblemente los babilo-nios y los hindes supieran de la existencia de tales nmeros desde muchoantes.

Recin en 1761 J. H. Lambert (17281777) demostr que es irracional,y en 1882 F. von Lindemann (18521939) demostr que es trascendente, esdecir, que no es raz de un polinomio con coeficientes enteros (en cambio,

2

es algebraico, pues es raz del polinomio 2 2 = 0).Podras demostrar (o recordar la demostracin) que

2 es irracional?

1. Propiedades comunes

Las operaciones de suma + y producto , y la relacin de orden tienen una serie de propiedades compartidas por los enteros, racionales y reales(enunciadas en el apndice), que suponemos conocidas.

Todas estas propiedades tienen un sabor algebraico, pero para llenar losagujeros tenemos que ir un poco ms all.

Pg. 2 Propiedades de los nmeros reales

Hay varias formas de llenar los agujeros (claro que con el mismo resultado).Una forma intuitiva es con las expresiones decimales, que a veces se ve en lasecundaria: si son peridicas son racionales y si no son irracionales, o la variantems formal de construir las denominadas sucesiones de Cauchy.

Siguiendo la filosofa axiomtica de la primera parte del curso, ac relle-namos los agujeros requiriendo la propiedad de completitud que vemos en laseccin 2. Pero necesitamos algunos conceptos previos.

1.1. Definicin. Si es un conjunto no vaco de nmeros reales, entonces:

R es una cota superior de si . R es el supremo de si es una cota superior de y para cualquier R que sea cota superior de , vale que . Usamos la notacin = sup .

si = sup y , decimos que es el mximo de , y lo indicamos por = max .

De modo anlogo podemos definir cota inferior ( ), nfimo ( escota inferior y si es cota inferior de entonces ), indicado por nf , ymnimo, denotado por mn . $

Todo conjunto finito (no vaco) tiene mximo y mnimo, de modo que lasdefiniciones de supremo e nfimo adquieren inters para conjuntos infinitos.

( Un conjunto es finito si o bien es vaco o bien existen N y : { N : } biyectiva. Un conjunto es infinito si no es finito.

La demostracin de existencia de mximo o mnimo en un conjunto finitoes constructiva (algortmica): examinar uno por uno los elementos. En len-guaje de induccin, el algoritmo se basa en la ecuacin max {1, 2, . . . , +1} =max {+1,max {1, . . . , }}.

No todo conjunto tiene cota superior o inferior: como subconjunto de losreales, N tiene a 1 como cota inferior y a 1 como nfimo (y mnimo), perono tiene cota superior, mientras que Z no tiene ni cota superior ni cota infe-rior. Adems, no siempre el supremo est en el conjunto (el conjunto no tienemximo), como por ejemplo sup { R : < 0} = 0.

En fin, pueden haber varias cotas superiores (o inferiores), pero no es difcilver que, de existir, el supremo (o nfimo) es nico: si y son supremos de ,como ambos son tambin cotas superiores, debe ser (porque es supremoy cota superior) y (porque es supremo y cota superior), de modoque = .

2. Completitud de los reales

En 1912, R. Dedekind (18311916) puso la propiedad de no tener agujerosen trminos de la completitud:

2.1. Propiedad de completitud de los reales. Si R tiene una cota superiorentonces tiene un supremo.

En el ejercicio 2.2 pedimos demostrar que Q no satisface esta propiedad(suponiendo que

2 es irracional), es decir que un subconjunto de racionales

acotado superiormente puede no tener supremo racional.

2. Completitud de los reales Pg. 3

En el ejercicio 2.3 vemos que en la propiedad 2.1 podemos reemplazar cotasuperior por cota inferior y supremo por nfimo (y en realidad las dosformas son equivalentes).

Para los naturales, tenemos una variante ms fuerte que la de completitudcuando nos restringimos a cotas inferiores (todo subconjunto no vaco de Ntiene a 1 como cota inferior):

2.2. Propiedad de buen orden de los naturales. Todo subconjunto no vaco deN tiene primer elemento (o mnimo).

. Por supuesto, no vale lo mismo para supremo o mximo en N, puesto que Nno est acotado superiormente.

Demostracin. Supongamos que N y , . Entonces existe , y elconjunto = { : } es finito (y no vaco pues ).

Por lo tanto tiene un mnimo, = mn , tal que y para todo vale .

Veamos que = mn , para lo cual tenemos que ver que y que para todo .

Observemos primero que como , debe ser . Como y , debe ser . Sea . Si , tendremos y (porque = mn ). Por otro

lado, si > , tendremos < .Por lo tanto, para cualquier .

De modo que tiene un mnimo (que es ).

( La demostracin anterior usa que todo conjunto finito de naturales tienemnimo, y dijimos que esto se poda ver usando induccin. Muchas veces seprocede al revs: se toma el buen ordenamiento como axioma de los naturales,y se ve que el principio de induccin es vlido. En otras palabras, en losnaturales el principio de buena ordenacin, el de induccin, y la propiedad deque todo conjunto finito no vaco de nmeros tiene mnimo, son equivalentes(se deduce uno a partir del otro).

Otra propiedad importante de los reales, compartida con N, Z y Q, es laarquimedianeidad .

. Arqumedes de Siracusa (287212 a.C.) fue uno de los ms grandes cientfi-cos de la antigedad griega, y posiblemente haya sido discpulo directo deEuclides. Tendremos ocasin de mencionarlo en varias oportunidades.

2.3. Propiedad de arquimedianeidad. Dados , R, ambos positivos, existe N tal que > .

Esta propiedad es vlida para N puesto que si N,

= 1 + 1 + + 1

= 1 < (+ 1) 1,

y entonces para cualquier N, como 1 ,

< (+ 1) 1 (+ 1) .

por lo que basta tomar = + 1 para ver que vale la propiedad 2.3.


Sobre Z tambin vale la propiedad reducindose al caso de los naturales,puesto que Z y > 0 N. El ejercicio 2.4 pide ver que los racionalestambin son arquimedianos, y entonces no es sorprendente que tambin losreales tambin lo sean.

Lo que s es sorprendente es que la arquimedianeidad de R se deducedirectamente de la completitud, sin necesidad de pasar por los racionales. Elresultado clave es el siguiente:

2.4. Lema. nf {1/ : N} = 0.

( En el lenguaje de anlisis matemtico, estamos diciendo que lm1 = 0.

Demostracin. Sea = {1/ : N}.0 es una cota inferior para , ya que si N entonces > 0 y por lo tanto

1/ > 0.Por la completitud de R (y el ejercicio 2.3) sabemos que existe R tal que

= nf . Adems, por la definicin de nfimo y siendo 0 cota inferior de ,debe ser 0 .

Veamos que no puede ser 0 < .Razonando por contradiccin, supongamos que 0 < . En este caso 0 < < 2,

y 2 no es cota inferior de porque = nf . Entonces existe N tal que1/ < 2. Tomando = 2, que es natural, vemos que 1/ y 1/ < , demodo que no es cota inferior de y por lo tanto , nf , lo que es unacontradiccin que proviene de suponer > 0.

Como 0 y 0, debe ser = 0. Es decir, 0 = = nf .

En el ejercicio 2.5 se pide demostrar la arquimedianeidad de los reales.Una consecuencia importante es el algoritmo de la divisin, para lo cual esconveniente obtener un resultado previo.

2.5. Lema. Dados los nmeros reales y , con > 0, existe un nico entero talque

< (+ 1), (1). El resultado es equivalente a decir que todo intervalo semiabierto de longitud

contiene exactamente un mltiplo entero de (ejercicio 2.6).. Tomando = 1, es el piso de , indicado por , y a veces tambin llamado

parte entera de , indicado por [].

Demostracin. Consideramos distintos casos:

Si 0 < , tomamos = 0 (que verifica las desigualdades (1)). Si , tomamos el conjunto = { N : }.

no es vaco pues 1 . Adems, por arquimedianeidad sabemos queexiste N tal que > .

Entonces, todo elemento de debe estar entre 1 y 1: 1 pues N, y de vemos que

< ,

lo que implica < y (dividiendo por > 0), < .Entonces el conjunto es finito y tiene un mximo, digamos = max .Por ser es , y por ser mximo, debe ser (+ 1) < , lo que

implica < (+ 1).Es decir, verifica las desigualdades (1).

2. Completitud de los reales Pg. 5

Si < 0, aplicamos lo que sabemos para , encontrando Z tal que

< ( + 1),

lo que implica (multiplicando por 1),

( + 1) < .

Ahora tomamos = si = , y = 1 si < . En cualquiercaso obtenemos las desigualdades (1).

Para ver la unicidad, supongamos que Z tambin satisface las desigual-dades (1) y veamos que necesariamente = .

Tendramos < (+ 1) y < ( + 1).

Mezclando las desigualdades,

< ( + 1) y < (+ 1),

lo que implica < ( + 1) y < (+ 1).

y dividiendo por > 0, < + 1 y < + 1.

Como y son enteros, tendremos

y ,

o sea = .

Ahora estamos en condiciones de obtener el algoritmo de la divisin.

2.6. Propiedad (algoritmo de divisin para reales). Sean , R, con > 0.Entonces existen Z y R, tales que 0 < y

= + . (2)

Ms an, tales y son nicos con esa propiedad.

Demostracin. Por el lema 2.5, existe Z que verifica las desigualdades (1).Tomando

= ,

vemos que se satisface la igualdad (2).Adems, 0 (porque ), y < pues

= + 0

= (+ 1) = (+ 1) > 0.

Entonces y satisfacen la igualdad (2).Veamos que no hay otros. Para eso tomemos Z y R con 0 < y

= + . Usando que < tenemos

= + < + = + = ( + 1),


y usando que 0 tenemos

= + ,

de modo que < ( + 1).

Entonces satisface las desigualdades (1), y por el lema 2.5 debe ser = .Finalmente, de = + = + y = se deduce

+ = + = + ,

y por lo tanto = . Es decir, los valores de y con las propiedades requeridasson nicos.

2.1. Ejercicios

Ejercicio 2.1. Si y son subconjuntos de R tales que para todo existe con , y est acotado superiormente, entonces sup sup .

Ejercicio 2.2. Suponiendo que

2 R Q, demostrar que Q no satisface la pro-piedad 2.1 de completitud viendo que { Q : 2 2} es acotado superiormentepero no tiene supremo en Q.

. En general, sabiendo que R Q podramos ver que { Q : } estacotado superiormente pero no tiene supremo en Q.

Ejercicio 2.3. Dado R definimos el conjunto

= { R : = para algn }

Demostrar que:

a) Si es cota inferior de , entonces es cota superior de .b) Si = sup , entonces = nf .c) Si tiene cota inferior, entonces tiene nfimo (en R).

Ejercicio 2.4. Suponiendo que vale para Z, demostrar la propiedad 2.3 para losracionales, i.e., que dados y racionales positivos existe N tal que > .Sugerencia: poner = / y = /, con , ,, N y encontrar N tal que () > .

Ejercicio 2.5. Demostrar la propiedad 2.3 a partir del lema 2.4. Sugerencia: si y son reales positivos, / > 0 y no es cota inferior del conjunto {1/ : N}.

Ejercicio 2.6. Demostrar que el resultado del lema 2.5 es equivalente a decirque todo intervalo semiabierto de longitud contiene exactamente un mltiploentero de . Concretamente, demostrar que dado R, > 0, son equivalentes:

i) Para todo R existe un nico Z tal que < (+ 1).ii) Para todo R existe un nico Z tal que (,+ ].

iii) Para todo R existe un nico Z tal que [,+ ).Sugerencia: Para i) ii) poner < ( + 1) en la forma < y luego = + y = . Para ii) iii) considerar los negativos (como el caso < 0 en lademostracin del lema 2.5).

Apndice: Propiedades de la suma, producto y orden Pg. 7

Apndice

Propiedades de la suma, producto y orden

Indicando por K a cualquiera de Z, Q o R, + , y satisfacen lassiguientes propiedades:

1. Para cualesquiera , K, + K y K.2. Asociatividad: Para cualesquiera ,, K,

+ (+ ) = (+ ) + y ( ) = ( ) .3. Conmutatividad: Para cualesquiera , K,

+ = + y = .4. Distributividad entre suma y producto: Para cualesquiera ,, K,

(+ ) = + .5. Identidad (o neutro) para suma y multiplicacin: Existen dos elementos de K,

indicados por 0 y 1 (0 , 1), tales que para todo K,+ 0 = y 1 = .

6. Inverso para la suma: Para todo K existe un elemento en K, indicado por, tal que + () = 0.

7. Orden: Existe un orden total en K, , tal que: Para todos , K, si y entonces = (antisimetra). Para cualesquiera ,, K, si y entonces (transitividad). Para cualesquiera , K, o bien o bien (totalidad).

8. Compatibilidad entre el orden y la suma y producto: Para todos ,, K, si entonces + + . Para todos ,, K, si y 0 entonces .

Q y R (pero no Z) satisfacen adems:9. Inverso para el producto: Para todo K, , 0, existe un elemento en K,

indicado por 1, tal que 1 = 1.. K es un cuerpo si satisface las propiedades 1 a 6 y 9. Si satisface adems 7 y 8,

K es un cuerpo ordenado: Q y R son cuerpos ordenados.


Axiomas de la geometra plana

1. Introduccin 11.1. La evolucin de la geometra y sus axiomas . . . . . . . 11.2. La geometra y la enseanza . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Lo que haremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2. Incidencia y separacin (Axiomas I y II) 72.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Medidas de segmentos y ngulos (Axiomas III y IV) 113.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4. Tringulos (Axioma V) 144.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Rectas paralelas (Axioma VI) 205.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1. Introduccin

1.1. La evolucin de la geometra y sus axiomas

Si preguntamos a una persona comn qu es la matemtica, muy posible-mente diga algo como es una disciplina que trata de nmeros, y alguna msversada balbucear algo sobre las diferencias entre matemticas aplicadas ypuras.

Ambas respuestas son valederas, y la historia de las matemticas las reflejan.Empezando por el deseo o necesidad de cuantificar, aparecieron los nmeros

(una vaca por tres ovejas), y al tiempo empezaron a medirse distancias y reas(cuntos das de viaje), conduciendo a la geometra.1

De a poco, se fueron puliendo estas nociones, haciendo abstracciones suce-sivas, tanto en los nmeros (el tres es el mismo en tres vacas que en tresdas), como en las formas (algo derecho es ms fcil de medir que algo torcido),y luego pasamos de derecho a recta, de mesa a rectngulo.

La inquietud humana llev a observaciones, como si los lados de un trin-gulo miden 3, 4 y 5 entonces tiene un ngulo recto, e inmediatamente a las

1 Es necesario que ponga la etimologa?

Pg. 2 Axiomas de la geometra plana

preguntas: es siempre as?, para qu valores de los lados se forma un ngulorecto?, y el ngulo recto es el opuesto al lado que mide 5, siempre el ngulomayor se opone al lado mayor?, y cunto suman las medidas de los ngulos?,y...

Una cosa lleva a la otra, y nos damos cuenta de que para poder deducirpropiedades, debemos partir de supuestos que suponemos verdaderos, debemossaber qu es lo que suponemos conocido, en qu nos apoyamos para hacerdeterminadas afirmaciones. Rastreando hacia atrs, llegamos a una serie deafirmaciones que tenemos que suponer vlidas. Estas afirmaciones se llamanaxiomas o postulados de la teora.

Euclides de Alejandra, unos 300 aos a.C., propuso un tratamiento de lamatemtica conocida en ese entonces, basndose en definiciones, postuladosy nociones comunes a partir de los cuales se deducen los resultados. En sus Ele-mentos [4, 6], Euclides no slo considera lo que hoy llamaramos geometra, sinotambin lo que hoy llamaramos teora de nmeros: problemas de divisibilidady primalidad. En efecto, los griegos equiparaban las nociones de segmento ynmero (positivo).

Euclides presenta cinco postulados (o axiomas):

I. Dados dos puntos distintos se puede trazar una recta por ellos.

II. Una (fragmento de) lnea recta se puede extender indefinidamente.

III. Dados dos puntos, se puede trazar una circunferencia con centro en uno y quecontenga al otro.

IV. Todos los ngulos rectos son iguales.

V. Si una recta corta a otras dos formando ngulos correspondientes internosque sumen menos de dos ngulos rectos, estas dos rectas (extendidas indefi-nidamente) se cortan en un punto que est del mismo lado donde los nguloscorrespondientes suman menos de dos rectos.

El quinto postulado se conoce como de las paralelas, ya que tiene la formula-cin equivalente, a veces llamada de Playfair (17481819), pero ya formuladapor Proclo el sucesor (412485):

Dados una recta y un punto no en ella, se puede trazar una nica paralelaa la recta que pasa por el punto.

Un sistema axiomtico debe presentar propiedades de consistencia (las pro-piedades no se contradicen entre s), e independencia (unas propiedades no sededucen de otras).

( Tambin queremos que sea completo: no queremos usar cosas fuera del sistemaen las demostraciones.

Los matemticos realizaron esfuerzos durante siglos tratando de demostrarque el postulado de las paralelas se deduce de los otros postulados y nocionescomunes. El mismo Euclides posterga el uso de este axioma lo ms posible(hasta la proposicin I.29), an cuando ciertas demostraciones anteriores sepodran simplificar con su uso.

Finalmente, N. Lobachevsky en 1829 y J. Bolyai en 1832, publicaron inde-pendientemente geometras en el que este quinto postulado se reemplaza por

1.1 La evolucin de la geometra y sus axiomas Pg. 3

Figura 1: El plano de Fano, la geometra proyectiva plana con menor nmero depuntos y rectas.

otro,2 demostrando as la independencia del postulado de las paralelas respectode los otros axiomas en Euclides.

Otro tipo de geometra, la proyectiva, en la que no existen los conceptos deparalelismo o de medida (ni de segmentos ni de ngulos) fue desarrollndosedesde Pappus de Alejandra3 hacia el ao 340, impulsada por el inters enel estudio de la perspectiva. Las contribuciones de Desargues (15911661) ledieron un gran impulso, y fue creciendo como teora hasta establecerse comorea independiente de la matemtica en el siglo XIX.

Si bien no influenci directamente sobre la axiomtica, un avance profundoen la geometra lo produjo Descartes (15961650) en La gomtrie [3], la terceraparte de su Discours de la mthode pour bien conduire sa raison et chercher la vritdans les sciences, publicado en 1637. La introduccin de coordenadas permitila reduccin de los problemas de geometra al estudio de ecuaciones y facilitel establecimiento del anlisis matemtico. Aunque menor, su contribucin altratamiento de semejanzas tambin fue importante, permitiendo simplificardemostraciones de Euclides (con las tcnicas de Euclides).

Estas nuevas geometras, la algebraizacin de Descartes, y el avance delanlisis matemtico, llevaron a F. Klein (18491925) a redactar en 1872 elPrograma de Erlangen [7], en el que propone clasificar las geometras (incluyendoa la euclidiana, la de Lobachevsky y Bolyai y la proyectiva) segn los gruposde simetra subyacentes.

G. Fano, estudiante de Klein, dio otro paso importante al considerar geome-tras finitas, que tambin encajan dentro del Programa de Klein. En la figura 1est representado el plano de Fano, la menor geometra proyectiva plana posible.

( El plano de Fano constituye una pieza fundamental en matemticas discre-tas (divisibilidad, grafos y combinatoria). Por ejemplo, se ha usado para lafactorizacin de enteros por medio de formas cuadrticas.

En otra lnea bastante distinta, a travs de los aos se fue observando quealgunas de las demostraciones en Euclides dependan de nuestra concepcinfsica y no se basaban en los postulados. Una de las primeras es la proposicin I.4de Euclides, que luego se tom como axioma adicional (nuestro axioma V sobreigualdad de tringulos).

2 Segn el mismo C. F. Gauss, l no se atrevi a presentar resultados similares por temor a lareprobacin de los matemticos de su poca. Algo de razn tendra: la Academia de Ciencias deSan Petersburgo rechaz el trabajo de Lobachevsky, quien tuvo que publicarlo en una revista demenor prestigio.

3 Tambin conocido como Papo (de Alejandra).


No obstante, hacia fines del siglo XIX M. Pasch caus una gran sorpresa almostrar en su Vorlesungen ber neuere Geometrie de 1882 que varios resultados,como nuestro teorema 2.8, no se deducen de los axiomas y postulados deEuclides, dando lugar al axioma II sobre separacin.

Las ideas de Pasch fueron desarrolladas posteriormente por D. Hilbert(18621943) quien en su Grundlagen der Geometrie (fundamentos de la geome-tra) de 1899 [5] propuso un sistema de axiomas generales que caracterizana las geometras, inclusive con conjuntos numricos que no satisfacen laarquimedianeidad.

. Hilbert no hizo un anlisis exhaustivo de la independencia de sus axiomas, yslo present la independencia entre ciertos grupos de axiomas. R. L. Moore en1902 prob que, efectivamente, los axiomas de Hilbert no son independientes.

Para concluir, los axiomas de Euclides dieron forma a la matemtica comodisciplina, tratando de abstraer propiedades de los objetos de la realidad fsicapara hacer un desarrollo puramente deductivo a partir de nociones previasy axiomas. En el proceso, por ejemplo al tratar de demostrar el postuladode las paralelas a partir de los otros, se fueron desarrollando tcnicas queluego se transformaron en reas independientes dentro de la matemtica. Estemovimiento se continu con los axiomas de Hilbert, provocando que el estudiode sistemas formales formara una gran parte de las matemticas posteriores.

1.2. La geometra y la enseanza

Desde la poca pitagrica, unos 500 aos a.C., la geometra fue consideradaparte fundamental de la enseanza superior en la cultura occidental, dandolugar a que en las universidades medievales se estudiara el quadrivium (aritm-tica, geometra, msica y astronoma) despus del trivium4 (gramtica, lgica odialctica, y retrica), y precediendo los estudios ms profundos en filosofa yteologa.

Al desarrollarse un sistema educativo general, el trivium se integr a laescuela primaria y el quadrivium a la secundaria. Hasta la dcada de 1970, conla aparicin de la nueva matemtica, la geometra euclidiana se enseaba enmuchos pases como el nuestro en la escuela secundaria basndose en losElementos de Euclides. Se dice que, despus de la Biblia, los Elementos han sidoel mejor bestseller de la historia.

Otros pases, como Alemania e Italia, reaccionaron antes a los descubrimien-tos de Pasch y Hilbert y trataron de cambiar los contenidos para adecuarlos alos nuevos desarrollos.

Muchos matemticos de renombre se preocuparon por la enseanza de lasmatemticas en los niveles primario y secundario (y por supuesto universitario)hacia fines del siglo XIX (y todo el XX). As, el ICMI (International Commisionon Mathematical Instruction) se estableci en el IV Congreso Internacional deMatemticas en 1908, siendo su primer presidente F. Klein.

Una de las preocupaciones de estos matemticos fue el tratar de adaptar losaxiomas de Hilbert a la enseanza secundaria. Se hicieron varias propuestas(demasiadas!), pero una de las ms destacables fue la de G. Birkhoff publicadaen el Annals of Mathematics de 1932 [2] y luego volcada en el texto escolar BasicGeometry de 1940 [1]. Los cuatro axiomas de Birkhoff suponen ya definida una

4 Que da origen al vocablo trivial.

1.2 La geometra y la enseanza Pg. 5

distancia y hacen uso directo de las propiedades de los nmeros reales, haciendoinnecesarios los axiomas de separacin que veremos. Una variante ms pulidade los axiomas de Birkhoff, quizs a un nivel un poco alto para la secundaria,son los axiomas de S. MacLane [8].

Hacia la dcada de 1960 apareci el movimiento matemticas modernas (newmath) en distintos pases, en forma relativamente independiente. En EstadosUnidos obtuvo un gran impulso tras perder la carrera del espacio contra lossoviticos con su Sputnik, y en Europa especialmente Francia por las ideasdel poderoso grupo Bourbaki.

. El grupo Bourbaki, constituido hacia 1935 por matemticos franceses deprimer nivel, elabor una serie de libros rigurosos que fundamentaban lasmatemticas avanzadas a partir de las ideas de estructura, comenzando por lateora de conjuntos.

Estos libros tuvieron una gran influencia internacional en la forma depracticar las matemticas, sobre todo las puras, lo que se evidenci en nuestropas en las dcadas de 1960 hasta 1980.

En lo anecdtico, los libros de Bourbaki introdujeron los trminos inyectivo,suryectivo y biyectivo, el uso del smbolo para el conjunto vaco y el decurva sinuosa

, popularizado por D. Knuth en sus libros.

La rama francesa de la matemtica moderna impuls el estudio de la geo-metra a partir de las transformaciones (o movimientos) rgidos, retomandoel Programa de Erlangen de Klein, dejando de lado la introduccin axiomticaclsica. En cambio, la rama estadounidense, impulsada por E. G. Begle, directordel SMSG (School Mathematics Study Group) entre 1958 y 1972, elabor unnuevo sistema de axiomas basados en los de Birkhoff, que an son usados enEstados Unidos.

La matemtica moderna fue un fenmeno curioso en la cultura occidental, enel que muchos matemticos de renombre participaron activamente, lo que nohaba sucedido antes (y no volvi a suceder). Aunque cubri prcticamente todala enseanza occidental, hubo excepciones como la Unin Sovitica, lideradapor A. Kolmogorov (19031987), y Holanda, liderada por H. Freudenthal (19051990) (quien tambin fuera presidente de ICMI). Tambin algunos matemticosno estaban de acuerdo con los cambios que se llevaron a cabo en sus pases, comoG. Plya (18871985) en Estados Unidos y L. Santal (19112001) en nuestropas.5 Se consideraba que no era didcticamente aceptable la introduccin deestructuras (empezando con la teora de conjuntos, y siguiendo con temas comogrupos) para construir el conocimiento matemtico en la escuela.

La matemtica moderna prcticamente desapareci hacia fines de 1980, de-jando una gran confusin entre los docentes, muchos de los cuales no pudieronhacer la transicin. La experiencia produjo que se pensara en integrar la didc-tica y la matemtica (como disciplinas autnomas), impulsando el desarrollo dela educacin matemtica (o didctica de las matemticas) como disciplina indepen-diente.

Hacia 1980 aparecieron las computadoras personales con sus capacidadesgrficas, y se desarroll software como Cabri Gomtre en Francia (1984) yGeometers Sketchpad en Estados Unidos (1991), lo que conllev un gran cambioen la enseanza en los pases avanzados.

5 Es imperdible la transcripcin de una de sus conferencias en La enseanza de la matemtica en laescuela media [11]. De hecho, es muy instructivo leer toda la introduccin en ese libro.


Con medios tecnolgicos o sin ellos, la enseanza de la geometra basadaen la axiomtica (y gran parte de las matemticas) fue desapareciendo de lasescuelas en muchos pases, y con ella las demostraciones.

Concluimos este apartado citando a Santal con su visin de la matemticay su enseanza en La geometra en la formacin de profesores [12]:

Desde la antigedad se distinguen dos objetivos principales de laenseanza de la matemtica, a saber: el formativo, destinado a cul-tiva y practicar el razonamiento lgico, y el informativo, destinadoa ensear las tcnicas especiales que son necesarias para usar lamatemtica en sus aplicaciones, cada vez ms extendidas en todaslas ramas del saber. A veces se ha dado preponderancia al aspectoformativo, que da lugar a lo que hoy llamamos matemtica pura,posicin defendida tradicionalmente por Platn al proponer paralos ciudadanos de su Repblica el estudio de aquella matemticaque tiene por fin el conocimiento y que facilita al alma los mediospara elevarse desde la esfera de la generacin hasta la verdad y laesencia. El aspecto informativo, en cambio, constituye la hoy llama-da matemtica aplicada y era despreciada por Platn por considerarladestinada a los comerciantes y traficantes, que la utilizan tan sloen vista a las compras y a las ventas. Esta matemtica aplicada, sinembargo, fue esencial en la Nueva Ciencia de Galileo y en todos losdesarrollos de la misma durante los siglos XVIII y XIX, resultandofundamental para toda la ciencia y tecnologa modernas.

1.3. Lo que haremos

Que hayan pasado ms de 2000 aos hasta que se determinara la indepen-dencia de los postulados o se descubrieran algunas fallas en la presentacin deEuclides, nos hace pensar que no tiene sentido presentar un sistema riguroso yformal sin contar con los conocimientos necesarios.

De modo que en este curso no pretendemos una extrema rigurosidad, niabordaremos temas de consistencia o independencia de los axiomas presentados.En cambio, trataremos de ubicarnos en un punto intermedio entre lo formal ylo intuitivo, siguiendo la presentacin del libro de Pogorlov [9], quien a su vezpresenta una axiomtica entre la de Hilbert y la de Birkhoff.

. Otro libro de texto comparable en castellano es Geometra Mtrica (Tomo IFundamentos) de Puig Adams [10], cuya primera edicin es de 1947.

Los axiomas de Pogorlov no son independientes (lo que iremos aclarandocon notas), y la presentacin ac no es completamente idntica a la de Pogorlov(hay ligeras variantes en algunos enunciados, en el orden y algunas omisiones oagregados).

Como Euclides, Pogorlov retrasa lo ms posible el uso del axioma de lasparalelas, presentado aqu como axioma VI, por lo que los resultados hastanuestra seccin 5 no dependen de aqul. A propsito, prcticamente todos losresultados de esa seccin (como 5.1, 5.3, 5.5 o 5.9), o el teorema de Pitgoras,son equivalentes al axioma de las paralelas (suponiendo los otros axiomas).

A partir de la fundamentacin de Hilbert, se han clasificado las geometrasde acuerdo a los axiomas que se toman. Con algo similar a nuestro axioma I seobtiene una geometra de incidencia si se incluye unicidad o abstracta si no. Al

2. Incidencia y separacin (Axiomas I y II) Pg. 7

agregar axiomas de separacin (similares a nuestro axioma II), se obtiene unageometra de Pasch, midiendo ngulos y distancias entre puntos (contempladosen los axiomas III y IV), obtenemos una geometra mtrica de transportador. Enfin, agregando el axioma V obtenemos una geometra neutral y agregando el VIuna euclidiana.

Separaremos las secciones segn un esquema similar, introduciendo losaxiomas a medida que avanzamos y son necesarios.

Pasemos al estudio de estos axiomas, pero antes un par de observaciones:

Uno de los objetivos del curso (y del aprendizaje de matemticas engeneral) es tomar una postura crtica ante enunciados y demostraciones.

Este apunte est basado en el libro de Pogorlov [9] al que debe recu-rrirse. Ac nos limitamos a seleccionar y anotar resultados de ese libro,tratando de no repetir demasiado lo que ya est publicado, pero debehacerse una lectura simultnea y comparada de ambas fuentes (culesson las diferencias?, por qu?).

En particular, slo vamos a dar indicaciones de las demostraciones(sealadas con el smbolo ),

pero recordar que en los exmenes deben hacerse lasdemostraciones completas!

Es aconsejable ir haciendo dibujos de los enunciados y demostracionespara entenderlos.

2. Incidencia y separacin (Axiomas I y II)

Pensamos que trabajamos con un conjunto universal que se llama plano,cuyos elementos se denominan puntos, y una familia particular de subconjuntosque se llaman rectas. Los axiomas establecen propiedades y relaciones entreestos objetos.

El axioma I relaciona puntos y rectas, mientras que el axioma II estableceuna primer estructura, relacionando puntos en una recta (con la relacin entre),y luego rectas en el plano.

Axioma I (de incidencia).

1. Cualquiera que sea la recta, existen puntos que pertenecen a la recta ypuntos que no pertenecen a la recta.

. El axioma III nos va a decir que hay infinitas rectas e infinitos puntos encada recta.

2. Cualesquiera que sean dos puntos (distintos), existe una y slo unarecta que pasa por estos puntos.

Indicamos por la recta que pasa por los puntos y .

2.1. Teorema. Dos rectas diferentes no se cortan o se cortan en un nico punto.

Usar el axioma I.2.


Axioma II (de orden o separacin).

1. De tres puntos distintos de una recta, uno y solamente uno de ellos sehalla entre los otros dos.

Si est entre y , lo indicamos por * * (, y deben estaralineados, i.e., en una misma recta).

Si * *, decimos que y estn a distintos lados de , o que separaa y .

. Se establece as una relacin entre tres puntos alineados que tiene la simetra * * * *.

. El axioma dice que si los puntos , y estn alineados y son distintos, unay slo una de las siguientes es verdadera: * *, * * o * *.

2. Un punto en una recta la divide en dos partes no vacas llamadas semi-rrectas (o rayos), de modo que todo punto de la recta distinto de est enalguna de las dos. separa a dos puntos en distintas semirrectas, pero nosepara puntos de una misma semirrecta.

. Est enunciado como axioma pero se deduce de II.1: si fuera otro punto enla recta, , , una semirrecta es { : * *} {} { : * *} y la otra{ : * *} (ver el ejercicio 2.3).

. Agregamos la condicin de que las semirrectas no sean vacas.

. Dado que suponemos que las semirrectas no son vacas, cada una de ellasqueda determinada dando un punto en la recta distinto de .

Las dos semirrectas as obtenidas se llaman complementarias u opuestas. El punto de la recta que produce la divisin en dos semirrectas se llama

origen de (cada una de) las semirrectas.. El origen no pertenece a la semirrecta, i.e., las semirrectas son abiertas.

Denotamos por una semirrecta de origen que contiene a .

. Usamos la notacin tanto para la recta como para la semirrecta (deorigen ).

2.2. Lema. Dada una semirrecta, existe una nica recta que la contiene.

Sea la semirrecta definida a partir de la recta y el origen . Como , ,existe , y necesariamente , (la semirrecta es abierta). Entonces lasrectas y son iguales pues y estn en ellas (usando I.2).

. Usamos que la semirrecta no es vaca.

2.3. Definicin. Dados los puntos y , con , , se llama segmento a lospuntos de la recta por y que estn entre y . y son los extremos delsegmento .

. El orden de los extremos no es importante para determinar el segmento.

. Segn la definicin, un segmento no incluye a sus extremos, i.e., es abierto.

. Usamos la misma notacin que para rectas y semirrectas. $

2.4. Teorema. El segmento es una parte de la semirrecta (y de la recta ).

Usar II.1 y II.2 (y la definicin de segmento).

2.5. Definicin. Dadas dos semirrectas distintas y con un origen comn, se llama ngulo al conjunto formado por las semirrectas y el punto , y sedenota por .

2. Incidencia y separacin (Axiomas I y II) Pg. 9

es el vrtice del ngulo, y y son sus lados. Si y son semirrectas opuestas, el ngulo se dice llano. Si y , tambin denotamos el ngulo por (el vrtice en el

medio).

. El orden de las semirrectas no es importante, = y = ,pero el vrtice debe estar en el medio, en general , .

. En la escritura manual, generalmente usamos la notacin en vez de . $2.6. Definicin. Un tringulo es el conjunto formado por tres puntos no alinea-dos y los tres segmentos que unen esos puntos de a pares.

Los puntos se denominan vrtices y los segmentos lados del tringulo. En un tringulo se forman tres ngulos llamados ngulos del tringulo.6

Si los vrtices son , y , el tringulo se indica por .

. Es usual indicar con letras en minsculas a los lados opuestos a los vrticesindicados con letras maysculas: si los vrtices son ,,, los lados sern = , = , = . Pero esta convencin no es obligatoria. $

2.7. Teorema. Ningn ngulo de un tringulo es llano.

Los vrtices no estn alineados.

Axioma II (continuacin).

3. Toda recta divide a los restantes puntos del plano en dos conjuntos no vacosllamados semiplanos, de modo que todo punto del plano que no est en larecta est en alguno de ellos. Si los extremos de un segmento cualquierapertenecen a un semiplano, el segmento no corta la recta. Si ambos extremosdel segmento pertenecen a diferentes semiplanos, el segmento corta a larecta.

. Como en el caso de las semirrectas y segmentos, los semiplanos no contienena la recta, es decir, son abiertos.

. Observar las diferencias con el enunciado de Pogorlov.

. Un semiplano queda determinado dando un punto que no est en la recta.

Cuando dos puntos estn en distintos semiplanos, tambin decimos quela recta separa los dos puntos.

Como una semirrecta est contenida en exactamente una recta (por 2.2),podemos hablar de semiplanos determinados por una semirrecta.

2.8. Teorema (axioma de Pasch). Si una recta , que no pasa por ninguno de losvrtices del tringulo , corta a su lado , entonces tambin corta a uno yslo uno de los lados o .

. ste es el enunciado que da Hilbert en su Grundlagen der Geometrie para elaxioma de Pasch [5]. Ac lo deducimos, pero es equivalente a II.3 (supuestolos axiomas anteriores).

Por II.3, y estn en distintos semiplanos respecto de , y est en alguno,usar nuevamente II.3 con y el punto ( o ) que est en distinto semiplano.

6 Curiosamente! De all el nombre de tringulo, pero podra haberse llamado triltero (como encuadriltero).


2.9. Teorema. Si una recta contiene al punto y no contiene al punto , toda lasemirrecta estar en un semiplano respecto a la recta (el semiplano en el queest ubicado ).

Si est en la semirrecta , entonces , y el segmento est contenidoen la recta (por 2.4) que corta a slo en (por 2.1), entonces < . Pero deja de un lado a y (porque estn en una misma semirrecta de origen ),y no puede estar en el segmento . Por II.3, est en el mismo semiplanoque .

2.10. Corolario. Si por el extremo del segmento se traza una recta que nopasa por el punto , todo el segmento quedar situado en un semiplano respectoa la recta (el semiplano en el que est ubicado ).

Usar 2.4 y 2.9.

2.11. Corolario. Si las rectas y se cortan en , entonces las semirrectas opuestasdeterminadas por en estn en distintos semiplanos respecto de .

Si las semirrectas son y , y , , como est entre y , elsegmento corta a (en ), y usamos II.3 y 2.9.

2.12. Definicin. Si , y son semirrectas distintas que tienen el mismoorigen, y y no son opuestas, diremos que pasa entre los lados del ngulo si existen y tales que corta al segmento .

Si es llano, cualquier rayo que parte del vrtice (y no coincide conalguno de los lados) pasa entre los lados del ngulo.

. Es el anlogo para ngulos de la relacin * * para puntos. $

2.13. Teorema. Si el rayo pasa entre los lados del ngulo , la recta que contieneel rayo separa los lados del ngulo, i.e., las semirrectas y se hallan en distintossemiplanos respecto a la recta que contiene al rayo .

Ms an, si no es llano, y se encuentran en un mismo semiplano respectode la recta que contiene a .

Sean y y tales que corta al segmento en . y seencuentran en distintos semiplanos respecto de la recta que contiene a (II.3); y por 2.9, est en un semiplano respecto de y en el otro.

Sea al semiplano determinado por que contiene a ( no es llano). est en el segmento , que est contenido en (por 2.10). Entonces lasrectas y estn contenidas en (por 2.9).

2.14. Corolario. Si el rayo pasa entre los lados de y no es llano, entonces corta a cualquier segmento con un extremo en cada lado del ngulo.

Por 2.13, las semirrectas y se encuentran en distintos semiplanos respectode , por lo que si y , el segmento corta a la recta que contiene en . Por 2.10, todo el segmento (y por lo tanto ) est contenido en unsemiplano respecto de . Por 2.11 y la segunda parte de 2.13, y estn enun mismo semiplano respecto de , por lo que .

2.1. Ejercicios

Ejercicio 2.1. En el plano se tienen cuatro puntos 1,2,3,4 y una recta que no contiene a ninguno de ellos. Los segmentos 12 y 34 cortan a larecta y el segmento 23 no la corta. Corta la recta al segmento 14?

3. Medidas de segmentos y ngulos (Axiomas III y IV) Pg. 11

Ejercicio 2.2. Los puntos ,,, estn en una misma recta, con * * y * *. Demostrar que * *.

Ejercicio 2.3. Demostrar la validez de la nota inmediatamente despus delaxioma II.2: los conjuntos = { : * *}{}{ : **} y = { : **},son tales que i) todo punto de la recta est en , ii) si y entonces * *, iii) si , entonces * * o * * , y iv) si , entonces * * o * * .

Ejercicio 2.4. Demostrar que dos rectas que se cortan (y son distintas) determi-nan exactamente cuatro ngulos.

3. Medidas de segmentos y ngulos (Axiomas III yIV)

El axioma axioma III nos permite medir segmentos y ngulos, mientras queel axioma IV establece correspondencias entre los reales y segmentos y ngulos.

Axioma III.

1. Todo segmento tiene una longitud determinada, mayor que 0.

. Implcitamente estamos aceptando que se ha establecido una unidad de lon-gitud, que podemos pensar como un centmetro, o pulgada, o milla nutica,etc., o, directamente, que se fija un segmento arbitrario como de longitud 1,con el cual los restantes segmentos se comparan.

Si el segmento es , indicamos su longitud por .

. O sea que puede indicar una recta, una semirrecta (de origen ), unsegmento, o la longitud de un segmento!

Sin embargo, estamos siguiendo la tradicin.

2. Si * * entonces = +.

3.1. Definicin. Dos segmentos son iguales si sus longitudes lo son, y uno sermayor que otro si la longitud del primero es mayor que la del segundo.

. Los segmentos y pueden ser iguales porque sus longitudes lo son, y ala vez ser distintos o diferentes como conjuntos de puntos si, por ejemplo, lospuntos ,,, son todos distintos.

Esta ambigedad se resuelve a veces diciendo que los segmentos concongruentes si tienen la misma longitud, pero preferimos mantener la notacinde Pogorlov, ms de acuerdo con el espritu de Euclides, donde las longitudesde los segmentos se identifican con los segmentos. $

Axioma III (continuacin).

3. Todo ngulo tiene una medida en grados determinada, mayor que 0. Elngulo llano mide 180.

. Como en el caso de segmentos, se supone que hay una unidad de medidade ngulos que a diferencia del caso de segmentos para los que no seespecifica se toma como grado. En realidad, podemos pensar que launidad inicial es el ngulo llano, al que se divide en 180 partes.

. Por ahora, supondremos que las medidas de los ngulos estn entre 0 y180. Ms adelante ampliaremos las posibilidades y consideraremos otrasunidades de medida de ngulos.


Si el ngulo es , indicamos su medida tambin por .

. Recordar que, a diferencia del caso de segmentos, en la notacin es importante el orden de las letras.

4. Si un rayo parte del vrtice de un ngulo formado por las semirrectas y, y pasa entre sus lados, entonces = +.

3.2. Definicin. Dos ngulos son iguales si sus medidas lo son, y uno es mayorque otro si el primero tiene medida mayor que el segundo.

. Valen las mismas observaciones que para la igualdad de ngulos. $

Axioma IV.

1. Dados un nmero positivo y una semirrecta de origen cualesquiera,existe un nico punto en la semirrecta tal que = .

. El axioma implica que en toda semirrecta hay infinitos puntos.

. Una vez elegida la semirrecta y tomando la semirrecta como eje positivo yla opuesta como negativo, el axioma establece una correspondencia biunvocaentre puntos de la recta y nmeros reales.

2. Cualesquiera que sean el nmero , 0 < < 180, la semirrecta y unsemiplano correspondiente, existe una nica semirrecta en el semiplanotal que = .

3.3. Definicin. La distancia entre dos puntos y , se define como0 si = , si , .

A fin de no generar ms notaciones, indicaremos a la distancia entre y como , interpretando que si = , el segmento tiene longitud0. $

( Pogorlov define la distancia entre puntos a partir de la longitud de segmentos,pero son conceptos equivalentes: si conocemos la distancia, digamos , entrepuntos podemos definir la longitud del segmento como (,).

Pedimos que la distancia est definida para cualquier par de puntos en elplano, con (,) 0 y (,) = 0 si y slo si = .

Conociendo la distancia , podemos definir que est entre y si(,) = (,) + (,) (ver el teorema 4.18, pero all se usa el axioma V), y(con un poco de trabajo) recuperar el axioma II.1, y luego el axioma II.2 (comoindicado en las notas all).

De modo que los axiomas II y IV de Pogorlov no son independientes.La idea de poner los axiomas a partir de la distancia es la que sigui Birkhoff

[2, 1], ya comentada en la seccin 1.2.

3.4. Teorema. Si en una semirrecta se construye, a partir de su punto de origen, un segmento de longitud menor que la del segmento , resultar entre y .

Usar axioma III.2 y axioma IV.1.

3.5. Definicin. Dos ngulos son adyacentes si tienen un lado comn y sus otrosdos lados son semirrectas complementarias. $

3. Medidas de segmentos y ngulos (Axiomas III y IV) Pg. 13

3.6. Teorema. La suma de ngulos adyacentes es 180.

. Ponemos la suma de ngulos en vez del ms latoso la suma de las medidas de losngulos.

Usar axioma III.4 y definicin de adyacentes.

3.7. Corolario. Si dos ngulos son iguales, tambin son iguales sus ngulos adya-centes.

3.8. Teorema. Si a partir de una semirrecta se construyen en un mismo semiplanolos ngulos y con < , entonces el rayo pasa entre los lados delngulo .

Sea la semirrecta opuesta a , , , . Por 2.8, debe cortaral segmento o al , pero no puede cortar a pues por III.4 sera+ = < .

3.9. Definicin. Dos rectas (distintas) en el plano que no se cortan se dicenparalelas. Una recta es paralela a s misma.

Ponemos para indicar que las rectas y son paralelas. Cuando dos rectas distintas se cortan, diremos que son secantes.. En las geometras no euclidianas el paralelismo se define de otra forma:

pueden haber rectas que no se cortan y no son paralelas.. En dimensin tres (el espacio) hay rectas que no se cortan y no son paralelas

(e.g., si no estn en un mismo plano). $

3.10. Definicin. Supongamos dadas las rectas = , = y = . Enton-ces los ngulos y se dicen:

Correspondientes internos si y se encuentran en un mismo semiplanorespecto de .

Alternos internos si y se encuentran en distintos semiplanos respectode . $

3.11. Definicin. Dos ngulos son opuestos por el vrtice si los lados de unngulo son semirrectas complementarias del otro. $

3.12. Teorema. ngulos opuestos por el vrtice son iguales.

Son adyacentes comunes a un tercer ngulo, y usar 3.6.

3.13. Definicin. Un ngulo es recto si mide 90, es agudo si mide menos de90, y es obtuso si mide ms de 90 pero menos de 180.

. Recordemos que segn el axioma III.3 el ngulo llano mide 180. $

3.14. Proposicin. El ngulo adyacente a uno recto tambin es recto.

La suma es 180 y uno vale 90.

3.15. Definicin. Las rectas y se dicen perpendiculares si se cortan y loscuatro ngulos formados son rectos. $

3.16. Teorema. Dado un punto de una recta, existe una nica perpendicular a larecta que contiene al punto.

Usar axioma IV.2.


3.1. Ejercicios

Ejercicio 3.1. Si los puntos (distintos) , y estn alineados y = +,entonces * * . Sugerencia: Considerar cada uno de los casos posibles yexcluyentes * *, * * y * *.

. Es el recproco de III.2.

Ejercicio 3.2. Si , , y son cuatro puntos distintos alineados tales que

=

,

entonces exactamente uno de y est en el segmento . Sugerencia: ver quesi ambos estn dentro o ambos fuera del segmento entonces debe ser = .

. Los puntos , , y forman una hilera armnica, tema que veremos msadelante en el curso.

Ejercicio 3.3. Demostrar que si el rayo que parte del vrtice del ngulo pasa entre sus lados, entonces la medida de es menor que la de .

Ejercicio 3.4. En cada caso, dar ejemplos de tres puntos no alineados , y de modo que:

a) , .b) = .

Ejercicio 3.5. Supongamos que mide 120 y mide 150.

a) Si los rayos y estn en un mismo semiplano determinado por la rectaque contiene a , cunto mide ?

b) Y si los rayos estn en distintos semiplanos?. Recordar que por ahora los ngulos no miden ms de 180.

Ejercicio 3.6. Supongamos que tenemos dos ngulos adyacentes.

a) Cunto miden si uno mide el doble del otro?b) Y si uno mide 30 ms que el otro?

Ejercicio 3.7. Los segmentos y se cortan en el punto (, , , y todos distintos). Demostrar que y son opuestos por el vrtice.

Ejercicio 3.8. Uno de los ngulos formados por la interseccin de dos rectasmide 57. Encontrar la medida de los (tres) ngulos restantes.

4. Tringulos (Axioma V)

Los axiomas que hemos visto hasta ahora dan propiedades de los puntos,rectas, segmentos, semiplanos y ngulos, pero no relacionan ngulos con seg-mentos, lo que hace el axioma V por medio de los tringulos.

4.1. Definicin. Dos tringulos y son iguales si sus lados y susngulos correspondientes son iguales, i.e., si

a) = , = , = , y

4. Tringulos (Axioma V) Pg. 15

b) = , = , = .. Segn esta convencin,

es importante el orden en que se dan los vrtices de los trin-gulos para determinar la igualdad

Por ejemplo, en general el tringulo no es igual al tringulo (ejercicio 4.1).

Algunos autores distinguen estos tringulos llamndolos ordenados (e.g.,MacLane [8]).

. Valen las mismas observaciones que para la igualdad de segmentos o ngulos:sera ms preciso usar congruentes en vez de iguales. $

Axioma V (LAL). Si en dos tringulos y se tiene = , = y = , entonces los tringulos son iguales.

. Llamamos a este criterio LAL por lado-ngulo-lado.

4.2. Teorema (ALA). Si los tringulos y son tales que = , = y = , entonces los tringulos son iguales. Es decir, tambin = , = y = .

. ALA por ngulo-lado-ngulo.

Usamos LAL si = . Si no, suponemos, e.g., > , construimos eltringulo con = , por 3.4 el rayo pasa entre los rayos y , por ejercicio 3.3 es < , con LAL llegamos a contradiccin.

4.3. Definicin. Un tringulo es issceles si tiene dos lados iguales. El tercerlado se llama base.

. Un tringulo equiltero tambin es issceles. En este caso la base puede sercualquiera de los lados.

. El trmino base de tringulo se usa tambin para indicar un lado distinguidode un tringulo arbitrario, como en la frmula del rea /2. $

4.4. Teorema (pons asinorum). En un tringulo issceles, los ngulos de la baseson iguales, es decir, si el tringulo es con = , la base es y se tiene = .

Recprocamente, si en el tringulo se tiene = , entonces = yel tringulo es issceles.

. Pons asinorum (latn por puente de burros) es el nombre tradicional dado aeste teorema (proposicin I.5 en los Elementos), presuntamente porque ac losalumnos ms flojos se perdan con Euclides.

Se comparan los tringulos y , usando LAL para una implicacin yALA para la otra.

. La idea de esta demostracin se atribuye a Pappus.

4.5. Definicin. El punto medio del segmento es un punto sobre la recta tal que = . $

4.6. Definicin. La bisectriz de un ngulo y origen , es un rayo conorigen en tal que pasa entre y , y las medidas de los ngulos y son iguales.


. En el caso de un ngulo llano, existirn dos bisectrices.

. Por el contrario si admitimos que un ngulo mida 0, i.e., cuando = , labisectriz ser la misma semirrecta. $

4.7. Proposicin. Si el ngulo no es llano, tiene una nica bisectriz, i.e., existeuna nica semirrecta entre y tal que = .

Usar axioma III.3 y axioma IV.2.

4.8. Definicin. Dado el tringulo decimos que

El segmento es mediana del tringulo (respecto del lado ) si espunto medio de .

El segmento es bisectriz del tringulo (respecto del ngulo ) si elrayo (con origen en ) es bisectriz del ngulo .

Dado en la recta , decimos que el segmento es altura del tringulo(respecto del vrtice ) si las rectas y son perpendiculares.

. A veces distinguimos un lado del tringulo llamndolo base, como mencio-namos en la definicin de base de tringulo issceles. En este caso, cuandonos referimos a la altura correspondiente a la base, nos referimos a la alturacon respecto al vrtice opuesto al lado denominado como base. $

4.9. Teorema. En un tringulo issceles, la mediana relativa a la base es tambinbisectriz y altura.

Si es la mediana relativa a la base, se ve que los tringulos y soniguales (LAL), y de = se obtiene bisectriz y de = se obtiene altura.

4.10. Teorema (LLL). Si los tringulos y son tales que = , = y = , entonces los tringulos son iguales. Es decir, los nguloscorrespondientes tambin son iguales.

. Como hicimos con los criterios anteriores, LLL es por lado-lado-lado.

Si = o = , se usa LAL. En otro caso se construye en elsemiplano en el que est respecto de la recta , de modo que = y = (como , , debe ser , ). Por LAL, los tringulos y son iguales, i.e., = . Los tringulos y son issceles y es base comn. Si es el punto medio del segmento , no est en la recta ( y estn en el mismo semiplano respecto de esarecta de modo que el segmento no la corta), y las rectas y sondistintas. Adems, y (por 4.9), pero eso contradice 3.16.

4.11. Teorema. Las suma de dos ngulos cualesquiera de un tringulo es menor que180.

Si el tringulo es , demostramos (por ejemplo) que + < 180. Laidea es poner los dos ngulos juntos para poder sumarlos, y lo hacemos comoveremos despus con una simetra central. Sea el semiplano respecto dela recta que contiene a , y sea punto medio de . Por 2.10, ,y por 2.9 la semirrecta est contenida en . Sea en el rayo opuesto al tal que = . Entonces . Los tringulos y son iguales(por 3.12 y LAL), = , = +, y usamos 2.7para el tringulo .

4. Tringulos (Axioma V) Pg. 17

4.12. Teorema. Sean ,, tres rectas tales que corta a en y a en . Si valealguna de las condiciones:

i) los ngulos alternos internos son iguales, oii) los ngulos correspondientes internos suman 180,

entonces .

i) y ii) son equivalentes por adyacencias. Si , sea . y son correspondientes internos, y + < 180 por 4.11 en eltringulo .

4.13. Corolario. Si y , entonces .

4.14. Definicin. En el tringulo se llama ngulo exterior o externo devrtice al ngulo adyacente del ngulo del mismo vrtice en el tringulo.

Para distinguirlos, el ngulo de vrtice del tringulo a veces se llamangulo interior o interno. $

4.15. Teorema. Todo ngulo exterior del tringulo es mayor que cualquier ngulointerior no adyacente a ste.

Si el tringulo es , para demostrar que el ngulo exterior en , llammoslo, es mayor que el interior en , usamos 4.11 para ver que + < 180 yusamos + = 180.

4.16. Teorema. Si en el tringulo es > , entonces > .Recprocamente, si > , entonces > .En otras palabras, en un tringulo a mayor ngulo se opone mayor lado o,

equivalentemente, a mayor lado se opone mayor ngulo.

Consideramos en la semirrecta tal que = , est entre y, la semirrecta pasa entre y , < (ejercicio 3.3), = por issceles, y es exterior en el tringulo ypor lo tanto mayor que .

Para el recproco, si > no puede ser = (por issceles yentonces = ), ni < (por anterior resultara > ).

4.17. Teorema (desigualdad triangular). En todo tringulo, la suma de dos ladoses mayor que el tercer lado.

Si el tringulo es , construimos en la semirrecta tal que = +, resulta = (por ser issceles y 4.4), > = pues semirrecta pasa entre y , y + = > por 4.16.

4.18. Teorema. Si ,, son tres puntos, no necesariamente distintos, +, con igualdad si y slo si * * o = o = .

1) Si ,, son distintos y no alineados, usamos 4.17 para obtener < + y no vale la igualdad. 2) Si distintos pero alineados, usamos II.1y III.2). Por ejemplo, si * * debe ser + > = + > . 3) Sidos o tres puntos coinciden hay una distancia nula.

Si = +, los puntos deben estar alineados (si no, usamos 4.17) yusamos el ejercicio 3.1.

4.19. Definicin. Un tringulo es rectngulo si tiene un ngulo recto.

En un tringulo rectngulo, el lado opuesto al ngulo recto se llamahipotenusa y los otros dos lados se llaman catetos. $


4.20. Proposicin. En un tringulo rectngulo:

a) Los ngulos que no son rectos son agudos.b) La hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos pero menor que la suma

de stos.

El primero se puede deducir de 4.15, el segundo de 4.16.

4.21. Teorema. Supongamos que y son tringulos rectngulos en y respectivamente. Entonces los tringulos son iguales si se cumple alguna de lassiguientes condiciones:

a) = y = , ob) = y = , oc) = y = .

. No sabemos an que la suma de los ngulos es 180 (porque todava nousamos el axioma de las paralelas). Junto con los criterios anteriores (LAL,ALA, LLL) este teorema nos dice que dado un lado (incluyendo la hipotenusa)y algn elemento ms (otro lado o un ngulo agudo), el tringulo rectnguloqueda unvocamente determinado.

Si = , a) y c) se deducen de LAL, y b) de LLL.Si , , consideremos (por ejemplo) < .En a) y b) consideramos en rayo tal que = , queda entre

y (3.4), los tringulos y son iguales por LAL, y debe ser = (lo que es imposible en a) por 4.15 mirando el tringulo) y = (lo que es imposible en b) pues el tringulo resultaissceles, = es obtuso por exterior a agudo).

Para c) (y < ), tomamos = en la semirrecta , lostringulos y son iguales por LAL, = 90, y = 90,y el tringulo tiene dos ngulos rectos.

4.22. Definicin. Sean y dos puntos y y dos rectas tales que , y . Si , (i.e., si < ), el segmento se llama perpendicular a

Geometria Euclidea Plana

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