Nociones Preliminares

10 de abril de 2023 1

Geometría del Espacio

Se desea construir el techo a cuatro aguas mostrado en la figura, sabiendo que las caras del techo forman 120º con las paredes. Determinar las dimensiones de las caras de dicho techo y de la estructura que lo sostiene BGHCF.

A

B C

E

F

G H

16 m

D

?

Es la parte de la Geometría que estudia los sólidos o figuras espaciales, es decir aquellas figuras cuyos puntos no pertenecen todos al plano sino al espacio tridimensional.

En la generación de las figuras espaciales surgen nuevos elementos como las superficies espaciales y los planos que estudiaremos a continuación.

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

DETERMINACIÓN DE UN PLANOUn plano queda determinado de las siguientes formas:

a) Tres puntos no colineales determinan un plano.

A

B

C

b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

C

B

A

c) Dos rectas secantes determinan un plano.

A

L2

L1

d) Dos rectas paralelas determinan un plano.L1

L2

L1 // L2

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

DE DOS PLANOS:Planos Paralelos: Si no tienen ningún punto en común.

P // Q

Planos Secantes: Si se intersecan. La intersección de dos planos secantes es una recta.

P Q = ABA

B

DE UNA RECTA Y UN PLANO:

Recta y Plano paralelos: Si no tienen ningún punto en común.

L1 // P

Recta y plano secantes: Si tienen un punto en común llamado “pie de la recta en el plano”.

L1 P = A

L1

A

L1

OBSERVACIÓN:Si la recta L es secante al plano P y perpendicular por lo menos a dos rectas contenidas en el plano P entonces:

L P

Recta contenida en el plano: Cuando la recta pasa por dos puntos del plano.

L1 PL1

A B

L

O

TEOREMA DE THALES

Tres o más planos paralelos, determinan en dos rectas secantes a ellos y secantes entre sí, segmentos proporcionales.

A

B

C C’

B’

A’

L1L2 Si P // Q // R

AB

A’B’=

BC

B’C’

AC

A’C’=

Rectas Paralelas : Son aquellas que son coplanares y no tienen ningún punto común.

L1 // L2

Rectas Secantes : Son aquellas que tienen un punto en común.

L1 L2 = A

DE DOS RECTAS:

L1 L2

L1

L2

A

Rectas Cruzadas o Alabeadas: Son aquellas que no se cortan y no están contenidas en un mismo plano.

L1

L2

dLa distancia mínima entre dos rectas alabeadas es la longitud del segmento perpendicular a ambas

PROYECCIONES

Proyección de un punto sobre un plano: Es el pie de la perpendicular al plano trazada desde dicho punto

A

A’

Proyección de una recta sobre un plano: Es el conjunto de las proyecciones de todos los puntos de la recta sobre dicho plano

L1B

A

B’A’

ÁNGULOS

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO : Es el ángulo que forma la recta con su proyección sobre ese plano.

L

es el ángulo que forma L con el plano P

NOTA: es el menor ángulo que forma L con cualquier recta de P que pasa por O.

O

es el ángulo con que se cruzan L1 y L2. Por O se

trazó L3 // L2 y

luego se midió .

ÁNGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZANEl ángulo entre dos rectas que se cruzan es aquel formado por una de ellas y una paralela a la otra trazada por un punto cualquiera de la primera.

L1

L3

L2O

TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARESSi por el pie de una perpendicular a un plano trazamos otra perpendicular a una recta contenida en el plano, todo segmento que una el punto de intersección de estas dos últimas con un punto cualquiera de la perpendicular al plano, será perpendicular a la recta contenida en el plano.

L1

L2

O

H

90º

L1 POH L2

HR L2

R

ÁNGULO ENTRE PLANOS: ÁNGULO DIEDROEs aquel que está formado por dos semiplanos que tienen una arista común.

A

B

NOTACIÓN: Un diedro se denota indicando sus caras y arista. Ejm:

Diedro P- AB - Qo simplemente:

Diedro AB

carasar

ista

MEDIDA DE UN ÁNGULO DIEDROLa medida de un ángulo diedro está dada por la medida de su ángulo rectilíneo.El ángulo rectilíneo de un ángulo diedro está formado por dos rayos perpendiculares a la arista en un punto cualquiera, contenidos en una y otra cara del diedro.

A

B

O

M

N

Medida del diedro AB =

LÍNEA DE MÁXIMA PENDIENTELa línea de máxima pendiente en el Plano P es aquella perpendicular a una recta horizontal contenida en dicho plano.

A

B

AB = línea de máxima pendiente

P

Plano Horizontal

Recta Horizontal