GEOMETRÍA DEL ESPACIO O

ESTEREOMETRÍA

1. ESPACIO GEOMÉTRICO. Conjunto de todos los puntos que no pertenecen a un mismo plano. Por tanto, todo punto, recta y plano están en el espacio.

2. GEOMETRÍA DEL ESPACIO.

2.1. DEFINICIÓN: Rama de la Geometría que se ocupa de las propiedades y figuras geométricas en el espacio tridimensional.

2.2. PLANO: Dado dos puntos cualesquiera en el espacio, se denomina plano a la superficie que contiene en su totalidad a la recta que pasa por tales puntos.

2.3. POSTULADOS DEL PLANO:

Todo plano contiene al menos tres puntos no colineales.

NOTA: Los puntos ubicados en un mismo plano se denominan coplanares o coplanarios.

Dos puntos de un mismo plano determinan una recta contenida en el plano.

El espacio contiene al menos cuatro puntos no coplanarios

Todo plano divide al espacio en dos regiones situadas a uno y a otro lado de el, de modo que no se puede pasar de una región a otra sin atravesar al plano.

TEOREMA 1: Si una recta interseca a un plano que no la contiene, entonces las intersecciones en un solo punto, llamado pie de la recta en el plano.

2.4. DETERMINACIÓN DEL PLANO: Un conjunto de puntos o rectas determinan un plano si este es el único que les contiene.

POSTULADO: Tres puntos cualesquiera son coplanarios y tres puntos no colineales determinan un plano.

TEOREMA 2: Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

TEOREMA 3: Dos rectas secantes determinan un plano.

TEOREMA 4: Dos rectas paralelas determinan un plano.

ºPB

CA

ºPB

A

ºPB

CA

D

P

E1

P2

ºPA

L

2.5. POSICIONES RELATIVAS EN EL ESPACIO.

A. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS RECTAS:Nº POSICIÓN DESCRIPCIÓN GRÁFICO

1RECTAS PARALELAS Si son coplanarias y no se intersecan

2RECTAS SECANTES

Si son coplanarias y se intersecan

3 RECTAS ALABEADAS

Si no son coplanarias ni se intersecan

B. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS:Nº POSICIÓN DESCRIPCIÓN GRÁFICO

1PLANOS PARALELOS

Si no se intersecan

2 PLANOS SECANTES

Si son coplanarias y se intersecan

C. POSICIONES RELATIVAS ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:Nº POSICIÓN DESCRIPCIÓN GRÁFICO

1RECTA Y PLANOS PARALELOS

Si no se intersecan

2RECTASPLANOS SECANTES

Si se intersecan determinando un punto.

3

RECTA CONTENIDA EN EL PLANO

Si dos puntos de la recta pertenecen al plano

ºP

C

BA

A

ºPD

C

D

B

CBA

ºP

D

ºP

A

ºQ

P B

ºQ

ºP

ºPA B

A B

A

B

2.6. ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS ALABEADAS. Se denomina ángulo entre dos rectas alabeadas al ángulo determinado por dos rayos paralelos a las rectas dadas y trazadas desde un mismo punto, cualquiera.

2.7. PERPENDICULARIDAD EN EL ESPACIO.A. DEFINICIÓN. Una recta y un plano son perpendiculares, si se intersecan en un plano y si

toda recta en el plano que pasa por el punto de intersección, es perpendicular a la recta dada.

B. TEOREMA. Una recta es perpendicular a un plano si y solo si es perpendicular a dos rectas secantes de dicho plano.

C. TEOREMA DE LAS TRES PERPENDICULARES. Si por el pie de una recta perpendicular a un plano se traza una segunda perpendicular a una recta contenida en el plano; entonces el segmento que une el pie de la segunda perpendicular con un punto cualquiera de la primera será perpendicular a la recta contenida en dicho plano.

O

ºPºP

NOTA: Si es secante a

P pero no perpendicular, se denomina oblicua

ºP

H

ºPH

Mº

N

ºP

H

D. TEOREMA DE LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DEL PLANO PERPENDICULAR A UNA RECTA. Por un punto dado pasa uno y solo un plano perpendicular a una recta dada.

2.8. PLANO MEDIATRIZ. Se llama plano mediatriz de un segmento al plano trazado perpendicularmente por su punto medio.

A. TEOREMA. Todo punto contenido en el plano equidista de los extremos de dicho segmento.

B. TEOREMA DE LAS PARALELAS SECANTES Y PERPENDICULARES A UN PLANO. Si dos rectas paralelas son secantes a un mismo plano y una de ellas es perpendicular al plano dado, entonces la segunda también es perpendicular a dicho plano.

ºP

M

ºP

M

A

B

ºP

M

N

A

B

Si P y M punto

medio de , entonces:

AN = BN

ºP

M N

2.9. PARALELISMO EN EL ESPACIO.

A. PARALELISMO ENTRE RECTAS EN EL ESPACIO.

TEOREMA 1. En el espacio, por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una recta paralela a la recta dada.

TEOREMA 2. Dos rectas perpendiculares a un plano, son paralelos entre si.

TEOREMA 3. Todo plano que corta a una de dos rectas paralelas, también corta a la otra.

TEOREMA 4. En el espacio, dos rectas paralelas a una tercera, son paralelas entre si.

B. PARALELISMO ENTRE RECTA Y PLANO EN EL ESPACIO.

TEOREMA 1. Toda recta no contenida en un plano y paralela a una recta de ese plano, es paralela al plano.

TEOREMA 2. Si una recta y un plano son paralelos, ella es paralela a la intersección de este plano con cualquier otro que contenga a la recta y corte al plano dado.

TEOREMA 3. Si dos rectas son alabeadas, por una de ellas pasa uno y solo un plano paralelo a la otra.

TEOREMA 4. Toda recta paralela a dos planos secantes, es también paralela a la intersección de dichos planos.

C. PARALELISMO ENTRE PLANOS.

TEOREMA 1. Dos planos perpendiculares a una misma recta, son paralelas entre si.

TEOREMA 2. Si un plano contiene a dos rectas secantes, paralelas a un segundo plano, entonces ambos planos son paralelos entre si.

TEOREMA 3. Toda recta secante a uno de dos planos paralelos, corta también al segundo.

TEOREMA 4. Toda plano secante a uno de dos planos paralelos, corta también al segundo.

TEOREMA 5. Toda recta perpendicular a uno de dos planos paralelos, también es perpendicular al segundo.

TEOREMA 6. Por todo punto exterior a un plano, pasa uno y solo un plano paralelo al primero.

COROLARIO 1: Todas las rectas paralelas a un plano dado, trazadas por un punto exterior, están contenidas en un plano paralelo al primero y que pasa por dicho punto.

COROLARIO 2: Por dos rectas alabeadas dadas pasan dos y solo dos planos paralelos entre si, y que contiene cada uno, una de dichas rectas.

TEOREMA 7. Dos planos paralelos a un tercero, son paralelos entre si.

TEOREMA 8. Si dos planos paralelos se intersecan con un tercero, las rectas de intersección son paralelas entre si.

TEOREMA 9. Los segmentos de rectas paralelas, comprendidos entre planos paralelas, son congruentes.

D. TEOREMA DE THALES. Tres o más planos determinan, sobre dos o más rectas secantes o alabeadas, segmentos proporcionales.

E. PROPIEDADES.

PROPIEDAD 1.Si una recta es perpendicular aun plano dado, entonces todo plano que contenga a la recta es perpendicular a dicho plano.

PROPIEDAD 2. Si dos planos son perpendiculares, entonces una recta cualquiera de uno de ellos perpendicular a su recta de intersección, es perpendicular al otro plano.

PROPIEDAD 3. Si los triángulos ABC y AFC son tales que es perpendicular al

triángulo ABC, entonces los pies de las alturas, de ambos triángulos que salen de F y B

coinciden en un punto H de .

ºQ

ºR

ºP

A

B

CD

F

E

AB

C

F

H

PROPIEDAD 4. Dos rectas son perpendiculares, si siendo secantes o alabeadas forman 90º.

PROPIEDAD 5. Para determinar el ángulo que forman las rectas alabeadas se trazan

por un punto P cualquiera los rayos , el ángulo PQR es el ángulo buscado.

PROPIEDAD 6. La mínima distancia entre las rectas alabeadas , es la distancia entre

una de las rectas y el plano P que contiene a la recta .

PROPIEDAD 7. En la figura adjunta, si es paralela a y MFEN es un plano

cualquiera que pasa por ; entonces .

F. MÉTODOS PARA DETERMINAR LA DISTANCIA MÍNIMA ENTRE DOS RECTAS ALABEADAS. La distancia mínima entre dos rectas alabeadas está determinada por la longitud del segmento de recta perpendicular a dichas rectas.

PRIMER MÉTODO. Sean las rectas alabeadas , se traza un plano P perpendicular a

, luego se proyectan las dos rectas sobre P, obteniéndose M y . La distancia MN es la

mínima distancia buscada.

N

M

FP

E

Q

B

A

ºP

N

M

dmin = MN

º

F

P

M

E

N

C

D

A

B

SEGUDO MÉTODO. Sean las rectas alabeadas se proyectan sobre un plano P, en el

cual sus proyecciones y sean paralelas , luego la mínima distancia, MN, buscada es

la distancia entre y .

2.10. ÁNGULO FORMADO POR UNA RECTA OBLICUA Y UN PLANO. Ángulo de una recta oblicua y un plano, es el ángulo agudo que forma la recta con su proyección sobre el plano.

ºP

M

E G

C

D

A

B

F

N

H

º

A

P