GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIO

POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS Y PLANOS

TEMA 5 Pág: 116-119

POSICIONES RELATIVAS DOS PLANOS

Las posiciones relativas de dos planos en el espacio son tres:

• SECANTES: tienen en común los puntos de una recta. • PARALELOS: no tienen ningún punto en común. • COINCIDENTES: tienen todos sus puntos en común.

Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

Dados dos planos

Ejemplos:

- Pág 116: 8

- Calcular “a” para que los planos x-y+3z=0 y 2x-ay+6z =3 sean paralelos

- Calcula “m” para que los planos x+4y =2 y mx+3y-4z =4 sean perpendiculares.

POSICIONES RELATIVAS TRES PLANOS

Las posiciones relativas de tres planos en el espacio son ocho, agrupadas en cinco casos:

• Secantes en común un punto. • Se cortan dos a dos o uno a los otros dos que son paralelos.• Se cortan en una recta en forma de haz o porque dos son iguales.• Son paralelos, o dos son iguales y el tercero paralelo.• Coincidentes: tienen todos sus puntos en común.

Dados tres planos

Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

Ejemplos:

- Pág 125: 2

- Posición relativa de tres planos en función de un parámetro: Pág 125: 3 a, b

- Calcula “m” para que los planos :

x +y – z + 2 = 0, 2x – y + mz + 5 = 0 y

3x + 2z + 7 = 0 se corten en una recta. Escribe la recta en forma paramétrica.

POSICIONES RELATIVAS RECTA y PLANO

Las posiciones relativas que pueden tener una recta y un plano en el espacio son las siguientes:

• Secantes: tienen un punto en común. • Paralelos: no tienen ningún punto en común. • Recta contenida en el plano: todos los puntos de la recta pertenecen al plano.

Dados la recta y el plano:

Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

Dados la recta y el plano:

Sustituimos los valores de x, y, z de la recta en el plano y despejamos t

Ejemplos:

- Pág 118: 9

- Pág 127: 22 (parámetro)

- Determina el valor de “a” para que la recta r:

y el plano π: x + y – z + 3 = 0

sean paralelos.

- Determina el valor de “m” para que la recta. r: x – y + z = 2,

x + z = 1 y el plano 3x - mz = 1 sean perpendiculares

tz

aty

tx

2

1

4

POSICIONES RELATIVAS DOS RECTAS

Dos rectas en el espacio pueden tener las siguientes posiciones entre sí:

• SE CRUZAN: no tienen ningún punto en común (no están situadas en el mismo plano).

• SECANTES: tienen un punto común • PARALELAS: no tienen ningún punto en común

COINCIDENTES: tienen todos los puntos en común.

En los tres últimos casos, las rectas están en el mismo plano

0''''

0

DzCyBxA

DCzByAx

0''''''''''''

0''''''''

DzCyBxA

DzCyBxADadas las rectas r : s :

Sea M la matriz de los coeficientes y M* la matriz ampliada

tucz

tuby

tuax

3

2

1

33

22

11

vaz

vay

vax

Dadas las rectas r : s :

Ejemplos:

- Pág 119: 10

- Pág 127: 21 (parámetro)

- Determina el valor de “a” para que las rectas

r: y s: estén situadas en

el mismo plano

- Halla “k” para que las rectas r:

y s: sean perpendiculares

15

31

z

y

k

x

22

3

zyx

zyx

.

zyx

22

taz

tay

tx

32

42

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

• Entre dos rectas r y s:

sr

sr

vvsr

vvsr

.||

0.

• Entre dos planos α y β:

nn

nn

.||

0.

• Entre una recta r y un plano α:

nvr

nvr

r

r

.

0.||

Ejercicios:

- Pág 127: 18 a, 19 a, 20

- Pág 128: 30, 32 a, 34

- Sea “a” un número real, y las rectas r:

y s: . Para el valor de “a” para el que r y s

son paralelas, halla el plano que las contiene.

a

zy

x

2

tz

ty

tx

23

2

41