Geometría 1ºeso

GEOMETRÍA 1ºESO

IES JOSÉ ISBERT. DPTO. MATEMÁTICAS

Ies José Isbert – Dpto. matemáticas 2

PUNTO, RECTA Y PLANO

• PUNTO • El punto es la entidad básica de geometría. Carece de dimensiones, es decir no tiene largo, ni

ancho ni espesor. Es el lugar de la recta, del plano o del espacio al que es posible asignar una posición.

• RECTA • La recta se puede definir como la sucesión de puntos alineados en una misma dirección.

Tiene longitud, pero no tiene ni anchura ni espesor.

• SEMIRECTA • Una semirecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto.

Tiene principio, pero no fin.

• SEGMENTO • Es la parte de una recta limitada por dos puntos, A y B. Se representa por AB. • • PLANO • Es una superficie tal que una recta que tenga dos puntos comunes con ella está contenida

totalmente en la misma.

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Punto

Recta

Plano

P

r

π Segmento

A

B

Ies José Isbert – Dpto. matemáticas

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POSICIONES DE DOS RECTAS

• Dos rectas del plano pueden cortarse o no en un punto común. Si es así se llaman secantes.

• De todas las rectas secantes entre sí un caso particular muy importante es cuando forman un ángulo de 90º, en cuyo caso se llaman perpendiculares.

• Si dos rectas no se cortan entre sí es que son paralelas.

• Un caso particular de rectas paralelas es cuando son coincidentes.

r

s

r

s

r

s r=s


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MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO

• Es la recta perpendicular a él y que pasa por su punto medio.

• Construcción

• Desde los extremos del segmento AB se trazan arcos del mismo radio, r.

• Dichos arcos se cortarán entre sí en dos puntos.

• Uniendo dichos dos puntos de corte tendremos la mediatriz del segmento.

r

r

A B


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• El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan. • El vértice es el punto común de las dos rectas. • Los lados de un ángulo son las semirrectas que lo forman. • Los ángulos se miden en grados sexagesimales. • Un grado es lo que mide el ángulo que resulta de dividir un ángulo cuyos lados son

perpendiculares, en 90 partes iguales y tomar una de ellas. • Se representa por º. • 1º = 60’ (minutos) • 1’ = 60” (segundos)

0º

270º

180º

90º

360º α

ÁNGULO EN EL PLANO


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• TRANSPORTADOR

• El transportador es un semicírculo graduado que se utiliza para medir ángulos. Está graduado de grado e grado, y en ambos sentidos.

• Un ángulo es también la región del espacio limitada por dos planos que se cortan. Una pared y el suelo de una habitación forman un ángulo de 90º.

α

MEDIDA DE ÁNGULOS


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EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA

• EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA DE ÁNGULOS

• Una medida de ángulos se puede escribir como expresión compleja cuando se indican grados (º), minutos (‘) y segundos (“).

• Ejemplo: 2º 21’ 14”

• Una medida del ángulo se puede escribir como expresión incompleja cuando se indica sólo en una unidad.

• Ejemplo: 2’24º • Ejemplo: 214’ • Ejemplo: 1234”

• PASO DE EXPRESIÓN COMPLEJA A INCOMPLEJA Y VICEVERSA

• Se multiplica por 60, o se divide entre 60 según proceda.


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• Ejemplo_1

• Pasar 2º 32’ a segundos (“).

• 2º = 2 x 60 = 120’ • 120’ = 120 x 60 = 7200” • 32’ = 32 x 60 = 1920” • 7200” + 1920” = 9120” • Luego 2º 32’ = 9120”

• Ejemplo_2

• Pasar 5º 3’ 12” a minutos (‘)

• 5º = 5 x 60 = 300’ • 3’ = 3’ • 12” = 12 / 60 = 0,2’ • 300’ + 3’ + 0,2’ = 303,20’ • Luego 5º 3’ 12” = 303,20’


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• Ejemplo_3

• Pasar 324’ a grados (º), minutos (‘) y segundos (“).

• 324’ = 324 / 60 = 5,40º = 5º + 0,4º • 0,4º = 0,4 x 60 = 24’ • Luego 324’ = 5º 24’

• Ejemplo_4

• Pasar 3,125º a grados (º), minutos (’) y segundos (“).

• 3,125º = 3º + 0,125º • 0,125º = 0,125 x 60 = 7,5’ • 7,5’ = 7’ + 0,5’ • 0,5’ = 0,5 x 60 = 30” • Luego 3,125º = 3º 7’ 30”


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• BISECTRIZ DE UN ÁNGULO

• Recta que partiendo del vértice cortan el ángulo en dos iguales.

• BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO

• Son tres, pues un triángulo tiene tres ángulos interiores.

• Se cortan en un único punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados.

Bisectriz

α α/2

α/2


12

Construcción de la bisectriz


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• ÁNGULOS

• Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º.

• Decimos entonces que forman un ángulo recto.

• Un ángulo es agudo si es menor de 90º

• Un ángulo es obtuso si es mayor de 90º

• Un ángulo es llano si su medida es de 180º.

• Un ángulo es completo si su medida es de 360º

• Un ángulo es convexo si su medida está entre 0º y 180º

• Un ángulo es cóncavo si medida está entre 180º y 360º

Clasificación


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• ÁNGULOS ENTRE SÍ

• Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS si suman 90º. • Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS si suman 180º. • Dos ángulos se llaman OPUESTOS POR EL VÉRTICE si tienen el vértice

común y los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Clasificación

α α

α β

β

β

α + β = 90º

α + β = 180º

α = β


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• Un ángulo de 90º se llama ángulo …

• recto. • Un ángulo de 40º se llama ángulo …

• agudo. • Un ángulo de 105º se llama ángulo …

• obtuso. • Un ángulo de 180º se llama ángulo …

• llano. • Un ángulo de 75º , o de 135º, se llama ángulo …

• convexo. • Un ángulo de 150º , o de 300º , se llama ángulo …

• Cóncavo. • Un ángulo de 179º se llama ángulo …

• obtuso. • Un ángulo de 10º se llama ángulo …

• agudo.

Ejemplos


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• Dos ángulos de 10º y 80º se llaman ángulos …

• complementarios. • Dos ángulos de 45º y 135º se llaman ángulos …

• suplementarios. • Dos ángulos de 10º y 20º se llaman ángulos …

• agudos. • Dos ángulos de 110º y 70º se llaman ángulos …

• suplementarios. • Dos ángulos de 200º y 300º se llaman ángulos …

• cóncavos. • Dos ángulos de 89º y 1º se llaman ángulos …

• complementarios. • Dos ángulos de iguales y convexos …

• No son obligatoriamente opuestos por el vértice.

Ejemplos


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SECANTE CORTA A RECTAS PARALELAS

• Los ángulos que se forman al cortar una recta secante a dos rectas paralelas son iguales o suplementarios.

• Ángulos internos

• Son el C, D, E y F

• Ángulos externos

• Son el A, B, G y H

• Ángulos alternos

• Son el C y E, el D y F, el A y G, y el B y H

• Ángulos correspondientes.

• Son el A y E, el B y F, el D y H, y el C y G

• Ángulos conjugados.

• Son el C y F, el D y E, el A y H, y el B y G.

A

E

C D

B

F

G H

t

r

s

A = C = E = G ,, B = D = F = H

A+D = B+C = F+G = E+H = 180º

A+B = C+D = E+F = G+H = 180º


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ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS

• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido, los ángulos son iguales.

• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y están dirigidos en sentido contrario, los ángulos son iguales.

• Si dos ángulos tienen los lados paralelos y uno de ellos está dirigido en sentido contrario, los ángulos son suplementarios.

α

α

α

α α

180º - α


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• La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º.

• La suma de los ángulos interiores de un polígono es:

• S=180º.(n – 2) , donde n es el número de lados.

• EJEMPLOS • Triángulo • S=180º.(3 – 2)= 180º • Cuadrilátero • S=180º.(4 – 2)= 360º • Pentágono • S=180º.(5 – 2)= 540º • Exágono • S=180º.(6 – 2)= 720º

A = 60º

B = 80º

C = 40º

Ángulos interiores de un triángulo


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• Sea P un punto cualquiera de la superficie de un polígono cualquiera.

• Desde el punto P trazamos rectas a cada uno de los vértices del polígono.

• El polígono queda dividido en triángulos, tantos como número de lados tenga.

• Los ángulos centrales de un polígono suman siempre 360º.

• Los ángulos de cada triángulo en que se descompone suman siempre 180º

Ángulos centrales de un polígono

P


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POLÍGONOS • POLÍGONO

• Un polígono es la región del plano limitada por una

línea poligonal cerrada.

• Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados iguales. De lo contrario es irregular.

• regular de CINCO lados.

• ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR

• Centro: punto interior que está a igual distancia de todos los vértices.

• Radio: Segmento que une el centro con un vértice. • El centro y el radio lo son también de la

circunferencia circunscrita.

Línea poligonal abierta

Línea poligonal cerrada

Polígono regular


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Tipos de polígonos

• SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS

• Lados = 3 • TRIÁNGULOS • Lados = 4 • CUADRILÁTEROS • Lados = 5 • PENTÁGONOS • Lados = 6 • HEXÁGONOS • Lados = 7 • HEPTÁGONOS • Lados = 8 • OCTÓGONO • ETC.

• SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES

• Todos los ángulos interiores son convexos, menores de 180º.

• POLÍGONO CONVEXO

• Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de 180º.

• POLÍGONO CÁNCAVO


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TRIÁNGULOS

Polígono de 3 lados Polígono de 6 lados Polígono de infinitos lados

• DEFINICIÓN:

• Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos. • Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en

consecuencia tres lados. • Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de lados.


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Clasificación por sus lados:

ESCALENO ISÓSCELES EQUILATERO

3 lados desiguales 2 lados iguales 3 lados iguales

b = 4 a = 5

c = 6

b = 6 a = 6

c = 4

b = 4

a = 4

c = 4

CLASIFICACIÓN


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Clasificación por sus ángulos:

ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO

Los tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso

A = 50º

< 90º

B = 60º

< 90º

C = 70º

< 90º

A = 50º B = 40º

C = 90º C = 20º

A = 40º B = 120º

> 90º


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• MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado.

• Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

• BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales. • Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita

(interior), tangente a los tres lados.

• ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a cada uno de ellos.

• Corte único de alturas: ORTOCENTRO.

• MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. • Dividen el triángulo en dos regiones de igual área. • Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo

(Física).

RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO


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Mediatrices

B

MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado de un triángulo por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres vértices ).

A

C

a

c

b

C


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Medianas

A

C

B

a

c

b

MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo.

G


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Medianas

A

C

B

a

c

b

G

RELACCIÓN DE ÁREAS:

Una mediana cualquiera divide al triángulo en dos triángulos de igual área (cada uno de ellos de área la mitad que el triángulo original).


30

Alturas

A

C

B

a

c

b

ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro.

O


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A B

C

O

Ejemplo: Hallar el ortocentro del triángulo obtusángulo de la figura


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Bisectrices

A

C

B

a

c

b

BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y tocando a sus lados ).

I A/2

A/2


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CUADRILÁTEROS

• CUADRILÁTEROS • Son polígonos de cuatro lados • Pueden ser cóncavos o convexos

• CLASIFICACIÓN • Por el paralelismo de sus lados • PARALELOGRAMOS, lados paralelos dos a dos. • Cuadrado. Tiene iguales los cuatro lados y los cuatro ángulos. • Rectángulo. Tiene iguales los cuatro ángulos. • Rombo. Tiene iguales los cuatro lados. • Romboide. Tiene iguales dos a dos, los lados paralelos. • TRAPECIOS, dos lados paralelos. • Trapecio isósceles. Tiene iguales los lados no paralelos. • Trapecio rectángulo. Tiene dos ángulos rectos. • Trapecio escaleno. No tiene ángulos rectos, y son desiguales los lados no paralelos. • TRAPEZIODES, no tienen lados paralelos. • Son cuadriláteros que no tienen ningún par de lados paralelos. • A destacar un caso particular, la cometa, que tiene sus lados iguales dos a dos, y sus

diagonales perpendiculares.


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CUADRILATEROS CONVEXOS

Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide

Trapecios Trapezoides


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PARALELOGRAMOS

• Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos.

• Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. • Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. • Las diagonales se cortan en su punto medio.

• Las diagonales de un cuadrado son iguales. • Las diagonales de un cuadrado son perpendiculares. • Las diagonales de un rectángulo son iguales. • Las diagonales de un rectángulo no son perpendiculares. • Las diagonales de un rombo no son iguales. • Las diagonales de un rombo son perpendiculares. • Las diagonales de un romboide no son iguales. • Las diagonales de un romboide no son perpendiculares.


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• CUADRADO • Cuadrilátero que tiene los cuatro lados y

ángulos iguales. • Sus cuatro ángulos mide 90º. • Diagonal: Recta que une dos vértices

opuestos. • Sus diagonales son iguales: • d=d’ • Sus diagonales forman un ángulo de 90º,

son perpendiculares. • Dos lados contiguos con la diagonal

forman un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: • d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 • El perímetro de un cuadrado vale cuatro

veces el lado: • P=4.l

l

l

l

l d d’

d = l.√2

CUADRADO

P = 4.l


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b

h

• RECTÁNGULO

• Cuadrilátero que tiene los cuatro lados paralelos e iguales dos a dos.

• Los cuatro ángulos interiores son iguales y miden 90º.

• Las diagonales son también iguales:

• d=d’.

• Las diagonales, al cortarse, no forman un ángulo recto.

• Dos lados contiguos con la diagonal forman un triángulo rectángulo.

• Por Pitágoras: • d=d’ = √( b2 + h2 ) • El perímetro es el doble de la suma de su

largo y su ancho: • P=2.b+2.h

d = √( b2 + h2 )

b

h

d’

d

RECTÁNGULO

P = 2.b + 2.h


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• ROMBO

• Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos.

• Sus ángulos son iguales dos a dos.

• Sus diagonales son siempre distintas.

• Sus diagonales son perpendiculares, se cortan formando un ángulo de 90º.

• Un lado con las semidiagonales forman un triángulo rectángulo.

• Por Pitágoras:

• l = √ [ (D/2)2 + (d/2)2 ] l l

l l

D

d

ROMBO

d/2

D/2


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• ROMBOIDE

• Cuadrilátero que los lados y ángulos iguales y paralelos dos a dos.

• Sus diagonales son distintas, cortándose en su punto medio.

• Sus diagonales nunca forman un ángulo recto.

• La altura, el lado oblicuo y la proyección de dicho lado, p, forman un triángulo rectángulo.

• Por Pitágoras:

• l = √ (h2 + p2)

• El perímetro es el doble de la suma de la base más el lado oblícuo:

• P=2.b+2.l

b

l

l h

b

d’

d

b

l

l h

b

ROMBOIDE

p


40

CUADRILATEROS CONVEXOS


Trapecios Trapezoides


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• Un trapecio es el cuadrilátero que tiene dos lados ( bases) paralelos, otros dos lados no paralelos, y por altura la distancia entre bases. La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”.

• Las diagonales pueden o no ser iguales o perpendiculares. • Hay tres tipos de trapecios: Rectángulos, isósceles y escalenos.

• PROPIEDAD • Si unimos dos trapecios, como en la figura, se forma un romboide.

TRAPECIOS

b

B

h

B

b

b

B

l l’


42

• TRAPECIO ISÓSCELES

• Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES.

• Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles que queda entre su base y una recta paralela a dicha base.

• En el trapecio isósceles la semidiferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo.

• Por ello se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo; o también se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura.

b

B

l l h

Por el Teorema de Pitágoras:

l = √ (h2 + [ ( B – b ) / 2 ]2 )

l = lado oblicuo = hipotenusa.

TRAPECIO ISÓSCELES


Apuntes Matemáticas 1º ESO 43

B

b En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras:

l = √ ( h2 + ( B – b )2 ) h

TRAPECIO RECTÁNGULO • TRAPECIO RECTÁNGULO

• Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases,

formando dos ángulos rectos. • En él la diferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo

rectángulo.

l’=h

B – b

l

El perímetro es la suma de sus cuatro lados:

P = B + b + h + l



• Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. • Todo trapezoide se puede descomponer en cuatro triángulos, cuyos vértices serán

los extremos de cada lado y un punto interior, P, cualquiera del trapezoide. • Un caso particular de trapezoide es la cometa, donde las diagonales son

perpendiculares (como el rombo o el cuadrado) y los lados iguales dos a dos. Ello hace que se forme un triángulo rectángulo, y por consiguiente se pueda utilizar el teorema de Pitágoras para su construcción.

TRAPEZOIDE

a

b

c

d P

La cometa



Teorema de Pitágoras.

• En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos.

• a2 = b2 + c2

a

b

c

Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos.

Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica.



Calculo de la hipotenusa

• En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa.

• Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2

• a2 = 32 + 42

• a2 = 9 + 16

• a2 = 25 Hipotensa a = √25 = 5 cm

• En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa.


• a2 = 52 + 122

• a2 = 25 + 144

• a2 = 160 Hipotensa a = √169 = 13 cm

a

b

c



Calculo de los catetos

• En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto.


• De donde: c2 = a2 – b2

• c2 = 102 – 82

• c2 = 100 – 64

• c2 = 36 Cateto c = √36 = 6 cm




• c2 = 292 – 212

• c2 = 841 – 441

• c2 = 400 Cateto c = √400 = 20 cm

a

b

c



Calculo de los catetos




• c2 = 412 – 92

• c2 = 1681 – 81

• c2 = 1600 Cateto c = √1600 = 40 cm




• c2 = 372 – 352

• c2 = 1369 – 1225

• c2 = 144 Cateto c = √144 = 12 cm

a

b

c


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Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor.

• Si a2 = b2 + c2 El triángulo es RECTÁNGULO.

• Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a.

• Si a2 < b2 + c2 El triángulo es ACUTÁNGULO.

• Los tres ángulos son menores de 90º.

• Si a2 > b2 + c2 El triángulo es OBTUSÁNGULO.

• Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a.

a a a

b

c

b

c

b

c

A=90º A<90º

A>90º


50

• Ejercicios

• 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 102 = 72 + 52 100 = 49 + 25 100 = 74 100 > 74 • Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo.

• 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 612 = 602 + 112 3721 = 3600 + 121 • Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo.

• 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2 122 = 112 + 102 144 = 121 + 100 144 = 221 144 < 121 • Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo.



• Ejemplo_1

• Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?.

• Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras:

• a2 = b2 + c2 102 = 82 + h2

• h2 = 100 – 64 • h2 = 36 h = 6 dm debe medir. • La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm • Es imposible porque sólo hay longitudes

positivas.

Problemas de Pitágoras

10 cm h

8 cm



• Ejemplo_2

• Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared.

• ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?.

• Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

• a2 = b2 + c2 132 = 52 + h2

• 169 = 25 + h2 • h2 = 169 – 25 = 144 • h = √144 = 12 m alcanza la escalera. • La otra solución, - 12 m , no vale.

Problemas de Pitágoras

13 m

h

5 m



PARALELOGRAMOS




• CUADRADO

• Perímetro: Suma de sus lados • P = l+l+l+l = 4.l • El perímetro de un cuadrado es igual a 4

veces su lado.

• Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos.

• d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2

• Área: Medida de la superficie que rodean sus lados.

• A = l.l = l2

• El área de un cuadrado es igual al lado al cuadrado.

l

l

l

l d

d’

P = 4.l

d = l.√2

A = l2

EL CUADRADO



• Ejemplo 1 • Hallar la diagonal de un cuadrado de 15 cm de lado. • d= l.√2 = 15.√2 m.

• Ejemplo 2 • Hallar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide √2 cm. • d= l.√2 √2 = l.√2 Aplicando la Regla del Producto: • √2 / √2 = l • l = 1 cm

• Ejemplo 3 • Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 5. √2 cm. • d= l.√2 5.√2 = l.√2 Aplicando la Regla del Producto: • 5.√2 / √2 = l 5 = l • l = 5 cm • Y ahora ya se puede calcular el área al conocer el valor del lado: • A = l2 = 52 = 25



• Ejemplo_4 • Hallar el lado, el perímetro y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su área

vale 49 cm2

• Calculamos el lado al tener el área: • A = l2

l = √A = √49 = 7 cm • Calculamos la diagonal al conocer el lado: • d = l.√2 d = 7.√2 cm • Calculamos el perímetro: • P = 4.l = 4.7 = 28 cm

• Ejemplo_5

• Hallar el lado, el área y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro

mide 20 cm

• Calculamos el lado para poder hallar el área y la diagonal: • P = 4.l l = P / 4 = 20 / 4 = 5 cm • A = l2

A = 52 = 25 cm2

• d = l.√2 d = 5.√2 cm

P = 4.l

d = l.√2

A = l2



b

h

P = 2.b+2.h

d = √( b2 + h2 )

A = b.h

b

h d’

d

EL RECTÁNGULO

• RECTÁNGULO

• Perímetro: Suma de sus lados • P = b+h+b+h = 2.b+2.h = 2.(b+h) • El perímetro de un rectángulo es el doble de la

suma del largo más el alto.

• Diagonal: Recta que une dos vértices opuestos. • d=d’ = √( b2 + h2 )

• Área: Medida de la superficie que rodean sus

lados. • A = b.h • El área de un rectángulo es el producto de su

largo por su alto.



• Ejemplo 1

• Hallar la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 cm.

• Por Pitágoras: • d= √( b2 + h2 ) = √( 32 + 42 ) = √25 = 5 cm

• Ejemplo_2 • En un rectángulo la base mide 5 cm y la diagonal mide 13 cm. Hallar el

perímetro y el área.

• Necesitamos conocer la altura. • Por Pitágoras: • d2 = b2 + h2

h2 = d2 – b2 • h2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 • h = √144 = 12 cm • Hallamos el perímetro al conocer la base y la altura: • P= 2.b+2.h = 2.5+2.12 = 10+24 = 34 cm • Hallamos el área al conocer la base y la altura: • A= b.h = 5.12 = 60 cm2



• Ejemplo_3

• En un rectángulo el perímetro mide 12 cm y la base mide doble que la altura. Hallar el área y la diagonal.

• P = 2.b + 2.h • A = b.h • Dato conocido: b=2.h

• En la ecuación del perímetro: • P = 2.(2.h) + 2h = 4.h + 2.h = 6.h • 12 = 6.h h = 12 / 6 = 2 cm • Como b=2.h b = 2.2 = 4 cm

• A=b.h = 4.2 = 8 cm2

• Y por último calculamos la diagonal: • d2 = b2 + h2 = 42 + 22 = 16 + 4 = 20 • d = √20 = √4.5 = 2.√5 cm

b

h d’

d



• Ejemplo_5

• En un rectángulo el perímetro mide 82 cm y la base mide 20 cm. Hallar la diagonal y el área.

• Necesitamos conocer la altura. • P=2.b+2.h • 82 = 2.20 + 2.h 82 = 40 + 2.h Hay que despejar la altura, h • Aplicamos la Regla de la Suma: 82 – 40 = 2.h 42 = 2.h • Aplicamos la Regla del Producto: 42 / 2 = h 21 = h • Luego tenemos: h = 21 cm.

• La diagonal, aplicando el T. de Pitágoras, al conocer los dos catetos será: • d2 = b2 + h2

• d2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841 cm2

• d = √841 = 29 cm

• El área valdrá: • A=b.h • A = 20.21 = 420 cm2



CIRCUNFERENCIA • CIRCUNFERENCIA • Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana

cuyos puntos están a la misma distancia (equidistan) de un punto interior llamado centro.

• ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

• Centro: • Punto interior tal que la distancia del mismo a

cualquier punto de la circunferencia es la misma. • Radio: • Segmento que une el centro con cualquier punto de

la circunferencia. • Diámetro: • Segmento que, pasando por el centro, une dos

puntos de la circunferencia. • El diámetro es el doble del radio.

O

R

D

A

P

B


@ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 62

CIRCUNFERENCIA

• ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

• Cuerda: • Segmento que une dos puntos de la circunferencia. • El diámetro es la mayor de las cuerdas. • Arco: • Parte de la circunferencia comprendida • entre dos puntos. • Semicircunferencia: • Media circunferencia. Cada una de las • partes en que un diámetro divide a una circunferencia.

• LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA

• Es su perímetro. • L = 2.π.r

Arco

A

B

Cuerda

Semicircunferencia

Diámetro

O


CÍRCULO Y SECTOR CIRCULAR

r

r

r

• CÍRCULO

• Es la parte del plano limitada por una circunferencia.

• El centro y el radio del círculo son el centro y el radio de la circunferencia.

• Área: A = π.r2

• SECTOR CIRCULAR

• Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente.

O

O


• CORONA CIRCULAR

• Es la superficie plana que se encuentra entre dos círculos concéntricos ( de mismo centro).

• El círculo mayor de radio R. • El círculo menor de radio r.

• SEGMENTO CIRCULAR

• Es la parte del plano comprendida entre una cuerda y el arco de circunferencia correspondiente.

r

R

CORONA CIRCULAR

r

r

A

B Arco

Cuerda


Ángulo central

• ÁNGULO CENTRAL

• El ángulo central de una circunferencia es el que tiene el vértice en el centro.

• En la figura grande el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , aunque en longitud mide 5 cm.

• En la figura pequeña el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , pero en longitud mide 2 cm.

• • Dos arcos pueden tener la misma medida

angular (en º sexagesimales), pero distintas longitudes ( en metros).

α

α

A

B

A

B



Ángulo inscrito • ÁNGULO INSCRITO

• Un ángulo inscrito en una

circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes.

• La medida de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente.

• En la figura, el ángulo inscrito ABD vale 30º, pues el ángulo central correspondiente AOD vale 60º.

• Lo mismo vale el ángulo inscrito ACD, o sea 30º, al tener el mismo ángulo central.

• En una circunferencia pues hay infinitos ángulos inscritos que tienen el mismo valor.

A

C

O B

D



Ángulo inscrito en una semicircunferencia

• Ángulo inscrito en una semicircunferencia

• El ángulo CAB abarca un arco de 180º (parte de abajo, invisible, de la circunferencia).

• Por lo tanto, al ser el ángulo inscrito la mitad, resulta ser de 90º siempre. O

C

A

B

90º

180º

A’



• Poliedros • Son cuerpos sólidos limitados por polígonos. • En todos ellos se cumple el TEOREMA DE EULER:

• CARAS + VERTICES = ARISTAS + 2

POLIEDROS



POLIEDROS REGULARES

• Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares e iguales y en todos sus vértices concurren el mismo número de caras o de aristas.

• Hay cinco: • Tetraedro, formado por cuatro triángulos equiláteros. • Cubo, formado por seis cuadrados. • Octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros. • Dodecaedro, formado por doce pentágonos. • Icosaedro, formado por veinte triángulos equiláteros. •

Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón. • Platón asigna el fuego al tetraedro , la tierra al cubo , el aire al octaedro , el agua

al icosaedro y el universo al dodecaedro. • • Son especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida

real.


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TETRAEDRO

• Tiene 4 caras iguales. • Cada cara es un triángulo

equilátero.

• Presenta 4 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo triedro.

• Tiene 6 aristas, y por tanto en cada arista confluyen dos semiplanos, habiendo seis ángulos diedros.

• Se cumple el Teorema de Euler:

• C+V = A+ 2 • 4+4=6+2


Apuntes Matemáticas 1º ESO 71 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas


HEXAEDRO O CUBO

• Tiene 6 caras iguales. • Cada cara es un cuadrado

• Presenta 8 vértices, y en

cada vértice se forma un ángulo triedro.

• Tiene 12 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo doce ángulos diedros.


• C+V = A+ 2 • 6+8=12+2



OCTOEDRO


equilátero.

• Presenta 6 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo tetraedro.

• Tiene 12 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo doce ángulos diedros.

• Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 8+6=12+2



DODECAEDRO

• Tiene 12 caras iguales. • Cada cara es un pentágono.

• Presenta 20 vértices, y en cada

vértice se forma un ángulo triedro.

• 12 caras x 5 lados/cara: 3 caras/vértices= 20 vértices

• Tiene 30 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo treinta ángulos diedros.


• C+V = A+ 2 • 12+20=30+2



ICOSAEDRO


equilátero.

• Presenta 12 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo pentadiedro.

• 20 caras x 3 lados/cara: 5 caras/vértices= 12 vértices

• Tiene 30 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo treinta ángulos diedros.

• Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 20+12=30+2


Geometría 1ºeso

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