Geometría 07 A

Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

CATEDRA DE FERROCARRILES

Geometría 07-A.doc Página 1 de 10

F E R R O C A R R I L E S

GEOMETRÍA Nº 7-A 1º.- Una vía única construida en España en el siglo pasado presenta en su trazado, que no

se ha modificado desde su construcción, un tramo constituido por unas alineaciones rectas, que forman entre sí un ángulo de Aº, unidas a un círculo de 600 m de radio mediante unas transiciones (radioides) de 30 m de longitud. Sabiendo que el peralte es de B mm, determinar la velocidad máxima de circulación por el tramo teniendo en cuenta simultáneamente las limitaciones derivadas del confort del viajero en la curva circular, de la flexibilidad de los vehículos (se supondrán bastante antiguos) y de la reducida longitud de las transiciones.

2º.- Con el fin de aumentar la velocidad de circulación para aprovechar las posibilidades

ofrecidas por el nuevo material (S = 0,2) se ha decidido elevar el peralte hasta 180 mm, mejorar la calidad geométrica de la vía (alineación y nivelación) y aumentar las transiciones todo lo que lo permitan la orografía del terreno y las condiciones de la línea. Desde esta perspectiva se supondrá que en ningún punto resultarían admisibles desplazamientos superiores a 40 cm y que no debe modificarse el trazado de las alineaciones rectas. En estas condiciones se desea conocer hasta que velocidad se podría circular respetando el confort del viajero en la alineación circular, bajo las siguientes condiciones:

a) Utilizando radioides. b) Utilizando transiciones de Klein. 3º.- En cada uno de estos dos casos se dibujará un esquema de la situación en planta

inicial y final, acotando los desplazamientos de los puntos más significativos y determinando la reducción del radio inicial en metros.

4º.- Suponiendo que en uno de los tramos rectos que va a ser recorrido con la velocidad

máxima antes calculada existiese una rampa de 10 ‰ unida a una pendiente de C ‰, determinar el radio y la longitud del correspondiente acuerdo vertical.

5º.- Comentar la incidencia que tendría el considerar el confort en la transición. NOTA: El alumno debe elegir libremente y justificar convenientemente los valores A, B y

C con la única condición de que sean lógicos y coherentes entre sí y con el planteamiento general del problema. Esta justificación se califica con un peso de hasta un 20% del total de cada parte.




F E R R O C A R R I L E S

GEOMETRÍA Nº 7-A

SOLUCION 1.- PRIMERA PARTE 1.1.- Determinación de A. • Consideremos que A es el ángulo en el centro que abarcaría un enlace circular

sin transiciones. • El radio es 600 m. • De acuerdo con la distribución del trazado en planta de Renfe, según los radios

de sus curvas, nos encontramos situados en un punto que no tiene por que ser excepcionalmente difícil. Hay radios muy inferiores en muchas líneas de Renfe.

• También hay radios muy superiores que en general servirán para enlazar

alineaciones rectas que formen entre sí ángulos pequeños. • Si el trazado fuese tan duro que exigiese helicoides para ganar o perder cota el

ángulo A podría superar los 180°. • Podemos pensar pues que A puede ser cualquier menor de 180° compatible con

una longitud apreciable que permita incorporar las nuevas transiciones. • Pensando en futuras longitudes de transición de al menos 100 m, el arco de

círculo existente verá reducida su longitud en

2 )2

30 -

2100

( = m 70 ⋅≈ (si L = 200 la reducción sería ≈ 170 m).

• Para que siga existiendo una longitud razonable de círculo, tras la incorporación

de las futuras transiciones el ángulo en el centro debería ser de al menos 1/2 radián (y mejor 1 radián ≈ 57° = 600 m).

• Un valor que cumple todos los condicionantes anteriores y que resulta cómodo de

manejar a efectos de los cálculos posteriores es A = 60° que es el valor que se adoptará.




1.2.- Determinación de B Para el cálculo de B nos situaremos en el escenario del proyectista que sin duda

habría intentado buscar la máxima velocidad posible. El peralte podría ser un valor de B ≤ 160 mm (máximo de Renfe con alguna

excepción). Puesto que L = 30 m y dh/ds < 3 mm/m se cumple B ≤ 90 mm. Puesto que L = 30 m y dh/dt < 70 mm/s, en el caso de B = 90 mm será:

s 79

= t y por tanto:

m/s 23,3 = 9

210 =

9070 30

= v⋅

• Por tanto para B = 90 mm la velocidad en la transición será ≤ 23,3 m/s pero con valores inferiores de B se podrían obtener valores superiores para v.

En nuestro caso

)aB

-gRv(=

2

nctα

Adoptamos: v = 23,3 m/s a = 1,740 m = 1,668 + ancho de la cabeza de un carril B = 90 mm R = 600 m Así resulta αnct = (0,905 - 0,507) = 0,398 m/s2 Pero αnct = g I/a; por tanto:

mm 71 = 1000 . 9,8

1,740 0,398 = I

Para v = 23,3 m/s y L = 30 m resulta dI/dt = 71/30/23,3 = 53 mm/s. La solución B = 90 mm habría pues verificado también la condición de confort del

viajero en la transición. • Considerando el confort del viajero en la curva circular resulta:

22

m/s < s)+(1 )aB

g - Rv( α




Adoptamos: a = 1,740 m = 1,668 + ancho de la cabeza de un carril B = 90 mm S = 0,6 (vehículos blandos) R = 600 m α = 1,0 m/s2 (por existir importantes efectos aleatorios) Sustituyendo en la expresión anterior resulta que para B = 90 mm, v ≤ 26 m/s en

la alineación circular. Es importante resaltar que, como es lógico, esta cifra se reduciría si se

disminuyese B. • El problema se reduce pues a resolver el siguiente sistema de inecuaciones:

3L h 3 dsdh ≤≡≤

mm 70 L/vh

70 dtdh ≤≡≤

1 < s)+(1 )ah

g - Rv(

2

con [h=mm] y [b=m] [a = 1740 mm] [v = m/s] [g = 9,8 m/s2]

Sustituyendo resulta

v

70L .

ag

+ s+1

1 =

Rv2

es decir

v

11,8 + 0,625 =

600v2

o sea v3 - 375 v - 7080 = 0 • El máximo valor de v compatible con todas las condiciones de contorno será v =

25,5 m/s = 91,8 km/h velocidad para la que precisa un peralte de:

mm 82 = 25,530

70 = vL

70 = h ⋅⋅

• Como se aprecia la "mejor solución" en este caso no es la que proporcionaría el máximo peralte.

• De acuerdo con lo anterior se adoptará para B el valor: B = 82 mm.




1.3.- Velocidad máxima de circulación Con B = 82 mm, la velocidad máxima de circulación resulta ser: VMAX = 91,8 km/h = 25,5 m/s Podría pensarse en aprovechar el máximo peralte admisible por alabeo -90 mm- al que

correspondería una velocidad en la transición de 23,3 m/s y en cambio una de 26 m/s en la curva circular, pensando en acelerar a lo largo del enlace y aprovechar la velocidad máxima posible, 26 m/s, en algún tramo de la curva circular; sin embargo teniendo en cuenta lo irrelevante de la ganancia (25,5 a 26 m/s) frente a la pérdida (25,5 a 23,3 m/s) y las débiles aceleraciones que permite un tren (especialmente cuando ha alcanzado ya ciertas velocidades), el "aprovechamiento" de este aumento teórico de velocidades en el tramo circular sería muy limitado (sobre todo si consideramos que inevitablemente habría que volver a frenar antes de entrar en la transición de salida y no compensaría la pérdida de velocidad en el enlace). En consecuencia se debe considerar que la velocidad límite, en este caso (y en general siempre) es la que se deduce del sistema antes planteado.

2.- SEGUNDA PARTE 2.1.- Enfoque • Si no hubiese problemas derivados de la longitud de las transiciones se cumpliría:

22

m/s < S)+(1 )1740180

g - Rv( α

Tomaremos S = 0,2 y α = 1,2 (por haberse mejorado la calidad de la vía con lo que se habrá reducido el impacto de los efectos aleatorios).

Por tanto v = ≤ 34,77 = 125 km/h

• Con esta velocidad y mm/s 70 < dtdh

se precisará una transición de al menos:

1 = vt = 34,77 · 180/70 = 89,4 m Si fuese posible implantar esta transición se cumpliría la limitación estática pues dh/ds = 180/89,4 < 3 mm/m • El problema se centra pues en ver si esta longitud de 89,4 es compatible o no con

unos desplazamientos que están limitados a 40 cm. • Desde el punto de vista inverso el problema equivale a plantear el estudio de cual

es la máxima transición que permiten los radioides o curvas de Klein teniendo en cuenta la limitación antes citada (40 cm).




• Estudiaremos pues, con este último enfoque cual es la máxima longitud de

transición que se podría utilizar. • Esta longitud dependerá del tipo de acuerdo y del sistema de replanteo adoptado. • El método de replanteo podría ser el de Centro Conservado (CC Fig. 10.1.1) el de

Radio Conservado (RC Fig. 10.2.2.1) y el del Centro y Radio no Conservados (CRNC Fig. 10.2.3.1). El método de la conservación del centro y radio (CRC Fig. 10.2.4.1 ) es incompatible con el enunciado pues como se sabe obliga a desplazar las alineaciones rectas.

• Un valor que define los desplazamientos (pero a veces no es el desplazamiento

crítico) es el retranqueo ∆. • Con el método de C y R no conservados los máximos desplazamientos valen δ =

∆. • Con el método de C y R no conservados los máximos desplazamientos no

superan en general (1/2) ∆. (El valor de la pérdida de radio es:

2A

sen / 4A

ctg = R ∆∇ que es pequeño -unos cuantos metros- frente al valor de R

= 600 m).

• El sistema de R.C. impone desplazamientos que valen ∆α

∆δ > cos

= , por lo que

no "ayuda" a minimizar desplazamientos. En la expresión α es el semiángulo en el centro.

• El sistema más adecuado parece pues ser el del centro y radio no conservados

cuyo esquema se detalla en la Fig. 10.2.3.1. 2.2.- Caso de empleo de radioides 2.2.1.- Método CRNC • Por existir transición inicial el valor de ∆ es

R 24

L - R 24

L = 1

12

2

22

∆ pero siendo R1 ≈ R2 resulta

R 24L - L = 1

22

2

∆

siendo

:tanto por 0,8; = R 24L - L resulta ,

21

= 0,4 = 12

22

∆δ

L22 = 24.600 . 0,8 + L1

2 = 12.420




L2 = 110 m 2.2.2.- Método del CC • En este caso: L2 = 82 m 2.3.- Caso de empleo de curvas de Klein 2.3.1. Método de CRNC • En este caso sería

0,8 = R 24

L - R 61,3

L 21

22 L2 = 178 m

2.3.2. Método CC • En este caso resultaría L2 = 130 m. 2.4.- Resumen y resultados Como se ve la curva de transición que precisa una longitud de al menos 89,4 m es

compatible con los desplazamientos que exigirían los radioides siempre que se emplease el sistema de CRNC (En la práctica -82 m no es muy diferente de 89 m- "casi" podría emplearse el clásico método del C.C.).

Por tanto la velocidad podría elevarse hasta los 125 km/h que admite el confort del

viajero en la alineación circular con cualquier tipo de curva que se emplease sin más que utilizar un adecuado sistema de replanteo.

3.- TERCERA PARTE 3.1.- Objeto Se trata de analizar en cada uno de los casos anteriores cuales son los

desplazamientos y variaciones del radio correspondiente. Los esquemas son los que señalan en las figuras antes comentadas (por claridad, únicamente se ha incorporado la transición de 30 m en el caso C.C.).

3.2.- Utilización de radioides 3.2.1. Método C.C. • El máximo desplazamiento sería




R 24L - L = =

21

22

max ∆δ

0,49 = 600 24

30 - 89,4 22

⋅

(es un valor que superaría el admisible como antes vimos). • La variación del radio sería ∇R = 0,49 m (pérdida de "casi" 1/2 m, es decir

irrelevante). 3.2.2. Método CRNC • El máximo desplazamiento sería < 0,4 m. • La variación del radio sería

= 0,0625 . 1/23,73

. R 24

L = R 24

L -

2A

sen

4A

ctg .

R 24L R

22

21

22≤∆

m 4,1 = 0,0625 - 3,73 2 600 24489, 2

⋅⋅⋅

• Como se aprecia la variación del radio no tiene apenas "consecuencias" desde el punto de vista de las velocidades admisibles. El sistema se limita a "cambiar" una

curva de 600 m por otra de 596 m. (En efecto la expresión 1,2 = 1,2 )ah

g -Rv(

2

presenta para R = 596 un valor de v = 34,64 m/s en lugar del de 34,77 m/s que "tolera" el radio de 600 m).

3.3.- Utilización de Curvas de Klein • El desplazamiento máximo empleando el método CC es igual a la disminución del

radio y su valor es:

cm 15 = m 0,15 = 0,0625 - 600 61,3

89,4 = R = 2

MAX ⋅∆δ

4.- CUARTA PARTE 4.1.- Determinación de C • Si la rampa es de 10 ‰, la pendiente (que será rampa al variar el sentido de

circulación) puede ser i ≤ 20 ‰. • No es frecuente (ni recomendable) que el perfil longitudinal se desarrolle a modo

de zig zag con fuertes valores de i.




• Resultaría razonable pensar en un valor de C próximo a 0 pero como el enunciado habla de pendientes y no de rasantes horizontales tomaremos para C un valor reducido, p. ej. C = 1‰.

4.2.- Características del acuerdo • Conviene diseñarlo para no limitar la máxima velocidad antes calculada. • Obligando a que

g <Rv

v

2

β con β = 0,01 - 0,04

resulta

g

v = R2

v β≥

• Para β tomaremos un valor reducido (pero no el más reducido que parece que habría que reservar para líneas de alta velocidad); β = 0,02.

Así resulta:

m 162.6 = 9,81 0,02

34,77 = R2

v ⋅

• La longitud del acuerdo será Lv = Rv Ω siendo Ω = 11 ‰; en radianes Ω ≈ 0,011 • Así se obtiene Lv = 6162 · 0,011 = 68 m. 5.- QUINTA PARTE • Comprobemos si la solución adoptada cumple la limitación del confort en la

transición. • Esta condición obliga a que dI/dt < 75 mm/s. • Con transiciones de 30 m, peralte de 82 mm y velocidad de 91,8 km/h resulta:

aB g

-RV=

2

nct⋅

α

V = 25,5 M/S. a = 1.740 mm. B = 82 mm. R = 600 m αnct = 1,084 - 0,462 = 0,622 m/s2

mm 110 = g

a = I nctα⋅

t = 30/25,5 = 1,176 s dI/dt = I/t = 110/1,176 = 94 mm/s, valor que supera el límite máximo tolerable

(más del 25%).




• Con transiciones de 89,4 m de longitud, peralte de 180 mm y velocidad de 34,77

m/s se cumple: I = 177 mm t = 2,57 s dI/dt = 69 mm/s Como se observa, en este caso se cumple la condición de confort. • Una primera conclusión, obvia, es que para que en el siglo pasado se hubiese

respetado la condición de confort habría que haber reducido la velocidad máxima o haber aumentado la longitud de la transición.

• Una segunda conclusión, mucho más enriquecedora, es constatar una vez más

que el respeto al confort del viajero suele ser la mejor salvaguardia de la seguridad de la circulación.

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