UNIVERSIDAD DE PANAMÁ

CENTRO REGIONAL UNIVERSITARIO BOCAS DEL TORO

FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES, EXACTAS Y TECNOLOGÍA

ANEXO KUSAPÍN

GEOMETRÍA

MÓDULO # 3

Facilitador: Magíster. Arquimedes Girón Ch.

24 DE JUNIO DE 2020

Enunciado y demostración del Teorema de Thales

Teorema de Thales

Si dos rectas secantes se cortan por dos rectas paralelas entonces los segmentos

que determinan las paralelas en una de las secantes son proporcionales a los

segmentos

Correspondientes de la otra secante. Esto es:

Si AB y A'B' son paralelas entonces

Recíprocamente, si entonces AB es paralelo a A'B'.

Y además:

Observaciones:

• Anteriormente se estudió el Teorema de Thales utilizando otra notación y sin

añadir la última proporción del enunciado.

Esta última proporción suele aparecer en casi todos los libros de texto de

educación secundaria, aunque no aparece en la misma proposición en los Los

Elementos de Euclides.

En este nuevo acercamiento sí la recogemos por su utilidad en el concepto de

semejanza que se desarrollará más adelante.

• La demostración de la primera parte del teorema ya se explicó en otra unidad

didáctica, por lo que sólo nos quedaría por demostrar que se cumple la última

proporción.

Demostración:

Como ya se dijo, la primera parte de este teorema ya está demostrada en una

unidad didáctica anterior. Así que partimos de que se cumple la

proporción y también el recíproco.

Sólo tenemos que probar que .

Partiremos de la construcción geométrica que ilustra el enunciado de teorema y

trazaremos la recta auxiliar, BD, que pasa por B y es paralela a la recta OA'.

Ahora, aplicamos el Teorema de Thales tomando como rectas secantes OB' y A'B'

y como rectas paralelas, OA' y BD.

Así:

Aplicando una propiedad de las proporciones:

Teniendo en cuenta que AA'BD es un paralelogramo y que, por tanto, sus lados

opuestos son iguales:

Y así podemos escribir la siguiente proporción:

E intercambiando los dos términos centrales: que es lo que

queríamos demostrar.

Trazando una paralela a OB' que pase por A, se demuestra del mismo modo

que

Teorema de Tales sobre triángulos semejante

Afirma que si dos rectas cualesquiera se cortan por varias rectas paralelas, los

segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos

correspondientes en la otra.

Dicho de otra forma.Cuando veas rectas paralelas,»córtalas» y obtendrás varias razones

de semejanza.

Explicación del teorema de Tales

Cuando la ciudad de Mileto, situada en la costa griega, iba a ser atacada por los barcos

enemigos, los soldados recurrieron a Tales. Necesitaban saber a que distancia se

encontraba una nave para ajustar el tiro de sus catapultas.

El genio matemático resolvió el problema sacando una vara por la cornisa del acantilado,

de tal forma que su extremo coincidiera con la visual del barco. Conociendo su altura

(h), la del acantilado (a) y la longitud de la vara (v), calculó sin dificultad la distancia

deseada (x). Parece sencillo, ¿verdad?

Observa que ahora tenemos dos triángulos semejantes, de tal forma que al ser sus lados

proporcionales, podemos establecer la siguiente igualdad.

De esta forma consiguió calcular el valor de la distancia x. El resto de datos ya los

conocía.

Problemas de Tales de Mileto

Según narra Herodoto, Tales calculó la altura de la gran pirámide de Keops, situada en

Guiza, la más antigua de las siete maravillas del mundo.

¿Cómo lo hizo?

Usando su teorema, el gran sabio pensó que en el momento que su sombra midiese lo

mismo que él, los rayos del Sol formarían un grado de 45 grados con la cima de la

pirámide y con su cabeza. Y por tanto, en ese preciso instante la altura de la pirámide

sería igual a la sombra de la misma.

Observando el dibujo, podemos llamar h a la altura de Tales y s a su sombra.

En el momento que s=h, los rayos del Sol formaran un ángulo de 45 grados en la cabeza

de Tales y con la cima de la pirámide (al ser los rayos del Sol paralelos entre sí). Por tanto,

en ese mismo momento H=S.

Como estamos mirando triángulos semejantes, midiendo la sombra de la pirámide (S),

conoceremos su altura (H), que será la misma.

Observa que se trata de triángulos semejantes, porque sus ángulos homólogos son

iguales. Los dos triángulos dibujados tienen un ángulo recto y dos ángulos de 45 grados.

Datos curiosos sobre Tales de Mileto

Nuestro personaje de hoy, fue un célebre astrónomo, filósofo y matemático griego. Es

considerado como uno de los siete sabios de Grecia. Vivió en la misma época

que Pitágoras. Parece que fue el primero en explicar la razón de los eclipses de sol y de

luna. Descubrió varias proposiciones geométricas. Cuentan los historiadores que murió

asfixiado por la multitud, cuando se retiraba de un espectáculo.

Este es uno de los episodios anecdóticos atribuidos a Tales: Cierta noche paseaba el

matemático completamente absorto mientras contemplaba las estrellas y, por al no

prestar suficiente atención al terreno que pisaba, cayó dentro de un gran hoyo. Una

vieja, que pasaba por allí vio el accidente y le dijo, « ¿cómo quieres ¡oh sabio! saber lo

que pasa en el cielo si no eres capaz de saber lo que ocurre en tus pies?»

Destacó gracias a su sabiduría práctica, a su notable capacidad política y a la gran

cantidad de conocimientos que poseía. Se le atribuye la máxima «En la confianza está el

peligro».

Problemas de tarea

Usa el teorema de Tales para calcular x

2) Calcula el valor de x aplicando el teorema de Tales

3) Halla x e y aplicando el teorema de Tales

4) Halla x aplicando el teorema de Tales

5) Halla x aplicando el teorema de Tales

6) Sabiendo que AB = 15 cm, BC = 20 cm y A'B' = 12 cm, halla la

longitud del segmento B'C'. ¿Qué teorema has aplicado?

7) Divide al segmento AB de 10 cm en siete partes iguales.

8) Calcula la longitud del segmento x de la figura.