mejor saberfec s

y = -p P´(x, -p)

V x

y

F(0, p)P(x, y)

PARÁBOLA

2x = 4py

GEOMETRÍA ANALÍTICA - SECCIONES CÓNICAS

x

y

M(0, b)

V(-a, 0)

M(0, -b)

V(-a,

F(-c, 0) F(c, 0)

ELIPSE

2x 2y2a 2b

+ = 1 22 2donde a = b + c

2x 2y2a 2b

= 1 22 2donde c = a + b-

HIPÉRBOLA

x

y

V(-a, 0)

F(-c, 0) F(c, 0)

V(-a, 0)

W(0, b)

W(0, -b)

b

a

ab xy = - a

b xy =

mejor saberfec s

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

DE ÁNGULOS AGUDOS DE ÁNGULOS CUALESQUIERA DE NÚMEROS REALES

hipop

ady

sen op

hip

cos ady

hip

tan adyop

csc ophip

sec adyhip

cot adyop

sen br

cos

tan

ar

ba

csc br

sec

cot

ar

ba

y

x

(a, b)

r

y

x

t(x, y)

(1, 0)

r (radianes)

sen t

cos t

tan t

csc t

sec t

cot t

x

y

xy x

y

x1

y1

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES

TRIÁNGULOS ESCALENO ÁREA

LEY DE LOS COSENOS LEY DE LOS SENOS

ALFABETO GRIEGO

VALORES ESPECIALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

2√

45°

1

12

1

30°

60°

3√

C

A

Ba

cb

A =12

bc sen

A =12

ac sen

A =12

ab sen

A = s(s - a)(s - b)(s - c),

22 2a = b + c - 2bc cos 22 2b = a + c - 2ac cos

22 2c = a + b - 2ab cos

sen sen sen = =a b c

donde s (a + b + c)12

(Fórmulade Herón)=

Letra Nombre Letra Nombrealfa beta gamma delta épsilon dseta eta zeta iota kapa lambda mu

nu xi omicrón pi ro sigma tau ipsilón fi ji psi omega

Α Β Γ Δ Ε Ζ Η Θ Ι Κ Λ Μ

α β γ δ ε ζ η θ ι κ λ μ

Ν Ξ Ο Π Ρ Σ Τ Υ Φ Χ Ψ Ω

ν ξ ο π ρ σ/ς τ υ φ χ ψ ω

0°

30°

60°

45°

90°

0

6

4

3

2

rad sen cos tan cot sec csc

2

0

3√ 2

1

2√ 2

1

2√ 2

3√ 2 2

1

1 0

3√ 2

0

1

3√ 3√ 3

1

3√

0

2√

3√ 3

1

2

2

2√

3√ 3

2

1

2

FORMULAS DE TRIGONOMETRÍA

mejor saberfec s

área (de figura): A Perímetro: P, C volumen: V área de superficie (de cuerpo): S altura: h radio: r

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS TRIÁNGULOS (CUALQUIERA) TRIÁNGULOS EQUILÁTERO

RECTÁNGULO PARALELOGRAMO TRAPECIO

CÍRCULO SECTOR CIRCULAR ANILLO CIRCULAR

PRISMA RECTANGULAR ESFERA CILINDRO (CIRCULAR RECTO)

PRISMA OBLICUO (CUALQUIERA)

c

b

a

2 2 2Teorema de Pitágoras: c = a + b Área = bh12

C = a + b + c3 s√ 2=h A =

23 s√ 4

A = lw C = 2l + 2w

l

w

A = bh

b

h

A = (a + b)h 12

a

h

b

s s

s

h

2A = r C = r

r s

r

A = 2 r 21 s = r

r

R

2 2 A = R - r

43

3rV = 2S = 4r

r

V = lwh S = 2(hl + lw + hw)

CONO TRUNCADOCONO (CIRCULAR RECTO)

13

2r hV = S = r 2 2r + h 13 2 2h (r + rR + R )V = V = Bh, siendo B el área de la base

h

l

w

h

r

r

h

r

h

GEOMETRÍA - FÓRMULAS

mejor saberfec s

FÓRMULA DE LA DISTANCIA ECUACIÓN DE UNA CIRCUFERENCIA

PENDIENTE m DE UNA RECTA

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓNCUADRÁTICA (PARABÓLICA)

FORMA PUNTO - PENDIENTE DE UNA RECTA

CONSTANTES MATEMÁTICAS

FORMA PENDIENTE - INTERCEPCIÓN y DEUNA RECTA

EQUIVALENCIAS DE UNIDADES

FORMA DE INTERCEPCIÓNES x, y DEUNA RECTA

= 2 2(x2 - x1) + (y2 - y1)d(P1, P2)

P2(x2, y2)P1(x1, y1)

x

y

x

y

r

(h, k)

2 2 2(x- h) + (y - k) = r

m =y2 - y1

x2 - x1

l

(x2 , y2)(x1 , y1)

2y = ax , a > 0 2

y = ax + bx + c, a > 0

b2a

-

x

y

x

y

x

y

y - y1 = m(x - x1) ≈ 3.14159

e ≈ 2.71828

(0, b)

x

y l

(x1 , y1)

x

y l

y = mx + b

(0, b)

x

yl

(a, 0)

xa b

y= 1+ (a = 0, b = 0)

1 grado (°) ≈ 0.0175 radianes (rad)1 radián (rad) ≈ 57.296 grados (°)1 metro (m) ≈ 3.2808 pies (pies. ft)1 centímetro (cm) ≈ 0.3937 pulgadas (pulg. in)1 kilómetro (km) ≈ 0.6214 millas (mi)1 kilogramo (kg) ≈ 2.2046 libras (lb)1 litro (L) ≈ 0.2642 galones (gal)1 mililitro (mL) ≈ 0.0381 onzas (oz) (líquido) 1 newton (N) ≈ 0.2248 libras fuerzas (lbf)1 joule (J) ≈ 0.7379 pies-libras fuerza (pies lbf. ft lbf)1 lumen (1m) ≈ 0.0015 watts (W)

GEOMETRÍA ANALÍTICA - FÓRMULAS Y DATOS

mejor saberfec s

ddx

[cu] = cu´1.

ddx

vu´4. [ ]u

v = - uv´2v

dx[x] =7.

d1

ddx

u[e ] =10. ue u´

ddx

[sen u ] =13. (cos u) u´

ddx

[cot u ] =16.2- (csc u) u´

ddx

[arcsen u ] =19.u´

21 - u

ddx

[arccot u ] =22.- u´

21 + u

ddx

[senh u ] =25.

u´

(cosh u)u´

ddx

[coth u ] =28.2

- (csch u)u´

ddx

-1[senh u ] =31.2u + 1

u´ddx

-1[coth u ] =31. 21 - u

ddx

[ u + v ] = u´2. v´+

dx[c] =5.

d0

ddx

[ |u| ] =u

8. (u´), u = 0|u|

ddx

[log u]a =11.u´

(ln a) u

ddx

[cos u ] =14. - (sen u) u´

ddx

[sec u ] =16. (sec u tan u) u´

ddx

[arccos u ] =20.- u´

21 - u

ddx

[arcsec u ] =23. u´

2 u - 1 |u|

ddx

[cosh u ] =26. (senh u)u´

ddx

[sech u ] =29. - (sech u tanh u)u´

u´ddx

-1[cosh u ] =31.2u - 1

- u´ddx

-1[sech u ] =31.21 - u u

ddx

[ uv ] = uv´3. vu´+

dx=6.

d n[ u ] n-1nu u´

ddx

[ ln u] =u´

9. u

dx=12.

d u[ a ] u ( ln a)a u´

ddx

[tan u ] =15. 2(sec u) u´

ddx

[csc u ] =18. - (csc u cot u) u´

ddx

[arctan u ] =20. u´

21 + u

ddx

[arccsc u ]23. =- u´

2 u - 1 |u|

ddx

[tanh u ] =26.2

(sech u)u´

ddx

[csch u ] =30. - (csch u coth u)u´

u´ddx

-1[tanh u ] =33. 2 1 - u

- u´ddx

-1[sech u ] =36. 21 + u |u|

Reglas básicas de derivación

1. kf(u) du = k f(u) du

3. du = u + C

5. u ue du = e + C

7. cos u du = sen u + C

9. cot u du = ln |sen u| + C

11. csc u du = - ln |csc u + cot u| + C

13. 2csc u du = - cot u + C

15. csc u cot u du = - csc u + C

17. Cdu

2 2a + u a1

= arctanua +

2. [f(u) + g(u)] du = f(u) du + g(u) du

4.u a + C

6. sen u du = - cos u + C

8. tan u du = ln|cos u| + C

10. sec u du = ln |sec u + tan u| + C

12. 2sec u du = tan u + C

14. sec u tan u du = sec u + C

16.

17. Cdu

2 2u - aa1= arcsec

|u|+

( )u a du =1

ln a

2 2a - u

duarcsen Cu

a +=

ua

Fórmulas básicas de integración

DERIVADAS E INTEGRALES

mejor saberfec s

sen op

hip

cos ady

hip

tan adyop

csc ophip

sec adyhip

cot adyop

Definición de las seis funciones trigonométricas

Definiciones por triángulos rectángulos, donde 0, < </2

Adyacente

Op

ue

sto

2 2r = x + y

Definiciones como funciones, donde es cualquier ángulo.

(x, y)

y

x

r

cot yx

sec xr

csc yr

tan yx

cos xr

sen yr

x

y

56

34

23

2

3 4

6

0

76

54 4

3 32

53

74

116

2

0°

30°

45°

60°

90°

120°135°

150°

180°

210°

225°

240°

270°

300°315°

330°

360°(-1, 0) (1, 0)

(0, 1)

(0, -1)

( )3√ -2

1,2

( )2√ -2

, 2√ 2

,

,

( )3√ -2

1 ,2

( )2√ 2

, 2√ 2

3√ 2

1 ,2( )

3√ 2

1,2( )

( )2√ 2

, 2√ 2

3√ 2

1 ,2( )

3√ 2

1,2( )

-

-3√ -2

,

( )2√ -2

, 2√ 2

( )- 1,2

- , -

( )3√ -2

1 ,2

-

x

y

Identidades recíprocas

Identidades de tangente y cotangente

Identidades pitagóricas

Identidades de confunciones

Fórmulas de reducción

Fórmulas de suma y diferencia

Fórmulas de producto - suma

Fórmulas de suma producto

Fórmulas de reducción de potencias

Formulas de ángulo doble

sen x

cos x

tan x

csc x

sec x

cot x

1

1 1

1 1

1csc x

sen x

cos x

tan xsec x

cot x

cos xtan xsen x cos x

sen xcot x

2 2sen xcos x1

2 2 1tan xsec x

2 2 1cot xcsc x

2( )-sen x = cos x 2( )-

cos x = sen x

2( )-csc x = sec x 2( )-tan x = cot x

2( )-sec x = csc x

2( )-cot x = tan x

sen(- x) = -sen x cos(- x) = cos x

csc(- x) = -csc x tan(- x) = -tan x

sec(- x) = sec x cot(- x) = -cot x

sen (u + v) = sen u cos v + cos u sen v

cos (u + v) = cos u cos v + sen u sen v

tan (u + v) tan u + tan v

1 + tan u tan v=

sen u sen v = 12

[cos(u - v) - cos(u + v)]

cos u cos v = 12

[cos(u - v) + cos(u + v)]

sen u cos v = 12

[sen(u + v) + sen(u - v)]

cos u sen v = 12

[sen(u + v) - sen(u - v)]

sen u + sen v = 2 sen u + v( )2cos u - v( )2

sen u - sen v = 2 cos u + v( )2sen u - v( )2

cos u + cos v = 2 cos u + v( )2cos u - v( )2

cos u - cos v = -2 cos u + v( )2sen u - v( )2

2sen u = 1 - cos 2u

2cos u = 1 + cos 2u

2tan u =

2

2

1 - cos 2u

1 + cos 2u

tan 2u = 2tan u

21 - tan u

2 2 2 2cos 2u = cos u - sen u = 2cos u - 1 = 1 - 2sen u

sen 2u = 2 sen u cos u

TRIGONOMETRÍA

mejor saberfec s

Factores y ceros de polinomiosn n-1 Sea p(x) = a x + a x + a x + a un polinomio. Si p(a) = 0, entonces a es un cero del polinomio y una n n-1 1 0

solución de la ecuación p(x) = 0. Además (x – a) es un factor del polinomio.

Teorema fundamental de álgebra

Un polinomio de grado de n tiene n ceros (no necesariamente distinto) aunque todos estos ceros

pueden ser imaginarios, un polinomio real de grado impar debe tener un cero real por lo menos.

Formula cuadrática 2 2 2Si p(x) = ax + bx + c, y 0 < b – 4ac, entonces los 0 reales de p son x = ( - b+ b – 4ac) /2ª

Factores especiales2 2 3 3 2 2x - a = (x – a)(x + a)� � � � x – a = (x – a) (x + ax + a )3 3 2 2 4 4 2 2 2 2x + a = (x + a)(x – ax + a )� � � x – a = (x – a )(x + a )

Teorema del binomio2 2 2 2 2 2(x + y) = x + 2xy + y � � � � (x – y) = x – 2xy + y3 3 2 2 3 3 3 2 2 3(x + y) = x + 3x y + 3xy + y � � � (x – y) = x – 3x y + 3xy – y4 4 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(x + y) = x + 4x y + 4xy + y � � � (x – y) = x – 4x y + 6x y – 4xy + yn n n-1 n -2 2 . . . n-1 n(x + y) = x + nx y + n(n – 1) x y + + nxy + y �

2!n n n-1 n – 2 2 . . . n-1 n(x –y) = x – nx y + n(n – 1) x y - + nxy + y

Teorema de los ceros racionalesn n-1Si p(x) = a x + a – x + a x+ a tiene coeficientes enteros, entonces todos los ceros racionales de p n n 1 1 0

son de la forma x = r/s, donde r es un factor de a y s es un factor de a .0 n

Factorización por agrupamiento3 2 2 2Acx + adx + bcx + bd = ax (cx + d) + b(cx + d) = (ax + b)(cx +d)

Operaciones aritméticas

Ab + ac = a(b + c)� a c ad + bc� � a + b a b+ = = +

� � � � �

Exponentes radicales0 x x x x y x + ya = 1, a / 0 (ab) = a b a a = a

bd c c cb d

b( )a

b( )a

d( )c d( )c= =adbc

c( )ba = abc

b( )a

c=

a

bc

c( )b

a ac

b=

a - bc - d =

b - ad - c

ab + aca = b + c

1/2a = a√

xa

ya= x - y

a1/n

a = a√ n

a

b=( )

x xa

xb

m/na = a√ n 1

xa=

- xa ab = √ nb√ na √ n y xyx(a ) = a √ n

a

b b√ n

a√ n

=

2!

ÁLGEBRA

mejor saberfec s

Triángulo

2 2 a + b

2

Triángulo rectángulo

3 s √ 2=h

Área =23 s√

4

Paralelogramo

Área = bh

Trapecio

Área = (a + b)h2

Sector de un anillo circular

(p = radio medio,w = anchura del anillo, en radianes)

Área = pw

Área = ab

Elipse

Circunferencia ≈ 2

Cono

(A = área de la base)

Volumen =Ah

3

Cono circular recto

Volumen =2r h3

Área de la superficielateral

= r

Volumen =2 2 (r + rR + R ) h

3

Área = bh12

(Ley de los cosenos )

h = a sen

(Teorema de Pitágoras)

2 2 2c = a + b

2 2 2c = a + b - 2ab cos

Triángulo equilátero

2 2 r + h

Tronco de un cono circular recto

Área de la superficie lateral = s(R + r)

Círculo

2Área = r

Circunferencia = r

Sector circular

( en radianes)

Área = 2r

2

s = r

Anillo circular

(p radio medio,w = anchura del anillo)

2 2 Área = R - r

= 2pw

Cuña

(A = área de la cara superior

B = el área de la base)

A = B sec

3 r43

Esfera

=Volumen

2Área de la superficie = 4 r

Cilindro circular recto

2 r h=Volumen

Área de la superficie lateral = 2rh

c

b

a

c

b

a

s s

s

h

h

b

a

h

b

ba

h

r

s

r

r

R

Pw

{ P

w

a

b

h

r

h

A

r

h R

s

r

r

B

A

FÓRMULAS DE GEOMETRÍA