Cornisa: SECCIONES CÓNICAS 1

Aplicaciones de la Geometría Analítica: Secciones Cónicas.

Jairzinho

Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua.

Nota de Autor:

Colegio de Bachilleres del Estado de Chihuahua, Plantel 3.

Persona de Contacto: Jairzinho Arturo Quintana Torres

Citar en APA (3a. Edición en español): Quintana Torres, J. A. (2013). Aplicaciones de la

Geometría Analítica: Secciones Cónicas.

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Resumen.

La geometría analítica nos permite apreciar las aplicaciones de matemáticas de una manera muy

diversa estudiando las secciones cónicas, con sus cortes podemos observar cómo se forman

algunas de las más importantes figuras geométricas con el mayor numero de aplicaciones y

desarrollos en el mundo, son de dos tipos: las cónicas no degeneradas son curvas entre la

intersección de un cono y el plano, este plano no contiene al vértice y son cuatro: circunferencia,

parábola, elipse e hipérbola. Las cónicas degeneradas cuando el plano contiene al vértice, son

tres: un punto, una recta y dos rectas secantes. La finalidad es que los jóvenes entiendan y

observen como las aplicaciones los rodean, a diario están presentes de manera implícita.

Palabras clave: Geometría analítica, Secciones cónicas, Plano, Figuras geométricas.

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Introducción.

Las figuras geométricas que conocemos desde las primeras clases de matemáticas desde

el preescolar son el triangulo, el cuadrado, el circulo, el rectángulo, conforme avanza uno en

nivel educativo conocemos los nombres de las personas que los estudiaron por primera vez, nos

platican como ellos determinaron sus características, elementos y sus formulas, todo para

determinar su área, el perímetro, midiendo sus lados, bases y alturas, incluso aprendemos

teoremas como el de Pitágoras y Tales, propiedades de algunas figuras, formulas enlazadas a

dichas propiedades y llegamos a la parte donde nos dicen que las figuras geométricas de cuatro

lados se llaman cuadriláteros, que hay diferencia entre circulo y circunferencia, entonces

llegamos a un punto donde nos indican que las formulas eran solo una parte de esas figuras, que

también existen ecuaciones asociadas con ellas, volvemos a preguntarnos, eso para qué sirve?,

este articulo trata de describir esas aplicaciones que tanto buscamos entender en la escuela y de

esta manera obtener esa formación integral, relacionando los contenidos temáticos con la vida

real.

Geometría Analítica.

La geometría analítica estudia las figuras geométricas por medio de un análisis

matemático que utiliza el algebra y un sistema de coordenadas cartesiano, esta parte de las

ciencias matemáticas representa la mayor cantidad de aplicaciones que podamos encontrar.

Sistema Coordenado en el Plano.

Este sistema nos enseña la relación que existe entre un punto y los números reales, por

medio de expresar una coordenada con ese punto P(x,y), puede moverse en todas direcciones,

siempre y cuando se mantengan en el plano, esto se conoce como sistema de coordenadas

cartesianas o sistema de coordenadas rectangular en honor a René Descartes "no sé nada de física

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si tan solo fuese capaz de expresar como deben de hacerse las cosas, pero fuese incapaz de

demostrar que no pueden ser de otra manera, no obstante, habiendo logrado reducir la física a las

matemáticas, la demostración es entonces posible y pienso que puedo realizarla con el reducido

alcance de mi conocimiento". (Descartes, 1596-1650), como lo menciona Jiménez, R. (2006).

Lugar Geométrico.

Se le considera así a la relación existente entre la variable dependiente y la independiente,

estas dos cantidades y la forma de presentarse en una ecuación, equivalente a una grafica, esta

representa como una variable depende de otra, es a lo que se le conoce como lugar geométrico.

Secciones Cónicas.

La primera definición de sección cónica (de un cono circular recto) apareció en la

civilización Griega. Apolonio de Perge (siglo II a. C.) efectuó estudios matemáticos sobre las

secciones cónicas, de los cuales compuso el tratado sobre las curvas cónicas. Durante muchos

siglos, las cónicas no tuvieron un papel relevante en los estudios matemáticos, hasta que se

descubrió que el mundo que nos rodea está lleno de secciones cónicas.

Secciones Cónicas Degeneradas.

Se definen como la intersección de un cono circular recto de dos hojas con un plano que

pasa por el vértice, existen 3 tipos el punto, la recta y dos rectas secantes (Figura 1).

El Punto.

Es uno de los elementos fundamentales para la geometría, se considera una figura

geométrica adimensional, no tiene medida, ni superficie, ni ángulo, ni un objeto, describe la

posición de una coordenada en el plano, pueden ser colineales todos aquellos que pertenecen a

una recta ya que se encuentran alineados o coplanares aquellos que no tienen un orden y

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pertenecen a un plano. La alineación de diferentes puntos permite formar distintas figuras

geométricas planas y curvas, así como diferentes figuras en un plano.

La Recta.

La línea recta se extiende sobre un número infinito de puntos, no tiene inicio ni fin, su

característica esencial es que siempre conserva su misma dirección, es una figura geométrica

elemental, tiene dos tipos de pendiente (la pendiente se representa con la m), analizándolas de

izquierda a derecha, si la variable independiente aumenta también la dependiente lo hace, su

pendiente se considera positiva, si la variable independiente aumenta y la dependiente

disminuye, su pendiente se considera negativa. Tiene diferentes formas de representarla

algebraicamente y se utiliza cada uno de ellos según el análisis que sea necesario y son las

siguientes:

a). Forma general de la recta, 0 CByAx .

b). Forma punto pendiente, )( 11 xxmyy .

c). Forma pendiente y ordenada al origen, bmxy .

d). Forma simétrica, 1 byax .

Aplicaciones.

Se considera que la aplicación mas grande de la línea recta la podemos observar en la

construcción, la topografía, etc., donde el desarrollo del plano de la casa o el edificio, nivelar el

terreno de forma horizontal, hasta ver la casa construida, las pendientes ayudan en los techos

para que no se estanque el agua, regularmente observamos los 4 tipos de pendiente (cero, nula,

positiva y negativa) de la recta en estas construcciones. En economía se representan la oferta y la

demanda, ya que son funciones lineales, solo en el primer cuadrante pueden ser representadas de

acuerdo a sus características. En las líneas de irrigación de algunas culturas antiguas junto al rio,

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las hacían rectas con pendiente dirigidas a los campos para que se regaran solos. Las carreteras

presentan inclinación en las curvas (llamado peralte) para evitar que la inercia del automóvil

haga que salgan de ella, algunos diseños industriales para almacenamiento o automatización con

bandas, diseños de juegos recreativos, por mencionar algunas (Figura 3).

Las Dos Rectas.

Es una representación grafica de dos rectas en un plano, existen dos tipos: las rectas

paralelas y las rectas secantes (Figura 4).

Rectas Paralelas.

Se consideran así cuando las dos rectas se encuentran a la misma distancia una de la otra

en cualquier punto que recorran, deben cumplir una condición, las rectas son paralelas si y solo si

sus pendientes son iguales, 21 mm .

Rectas Secantes.

Se consideran así cuando las dos rectas se intersecan o cortan en cualquier punto en el

plano. Pueden llegar a ser rectas perpendiculares, si y solo si sus pendientes son reciprocas y de

signo contrario, su producto es igual a menos uno, 121 mm .

Secciones Cónicas No Degeneradas.

Se consideran también como secciones cónicas y se definen de acuerdo a los diferentes

cortes que un plano puede realizar en el cono circular recto, sin cruzar el vértice, se pueden

formar cuatro curvas, son: la circunferencia, la parábola, la elipse y la hipérbola, (Figura 2).

La Circunferencia.

Es también uno de los elementos más importantes para la geometría. Se define como un

lugar geométrico determinado por el movimiento de un punto en el plano, siempre y cuando

permanezca a una misma distancia llamada radio, de un punto central. Se considera

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circunferencia solo a la longitud (perímetro) y circulo a los puntos que se encuentran en su

superficie (área). En el plano se consideran dos tipos de circunferencia: con centro en el origen y

con centro fuera del origen. Sus ecuaciones se basan en la importancia del Teorema de Pitágoras

(Figura 5). Las representaciones algebraicas de estas circunferencias son como se muestran a

continuación:

a). Forma general de la circunferencia, 022 FEyDxyx .

b). En el origen, 222 ryx .

c). Fuera del origen, 222 )()( rkyhx .

Aplicaciones.

La aplicación mas grande data desde tiempos antiguos en la prehistoria, con la creación

de la rueda,. En la música con los CD's, las baterías musicales con los tambores y los platillos.

En las películas con las DVD's, Las armas también tienen circunferencias en los cañones que son

las que definen el calibre de cada una de ellas, de uso personal o militar. Para el transporte en las

llantas y los rines para diferentes tipos de vehículos: bicicletas, automóviles, camiones de

pasajeros o de carga, de trabajo. El uso en el sistema horario, los relojes y sus engranes. En

algunos deportes, las circunferencia de los balones o pelotas que se utilizan, algunas partes de

campos donde se encuentran pintadas. En la naturaleza los troncos de los arboles, los anillos que

determinan su edad, en el ser humano puede ser observado en el ojo su iris, la pupila, el

cristalino. En el sistema económico, con las monedas, la representación de estadísticos por medio

de gráficos circulares en la bolsa de valores. En la industria poleas, carretes, discos para cortes,

piezas metálicas para maquinaria, industriales y automotrices. En las lentes de las cámaras, de

un telescopio o microscopio. Algunos juegos mecánicos en las ferias. En el campo, los silos para

guardar semillas o granos. En diseños arquitectónicos o acabados de herrería. Circuitos en

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principales avenidas. Incluso en casa las podemos observar vasos, platos, botes. En fin se puede

considerar que tiene la mayor cantidad de aplicaciones (figura 6).

La Parábola.

Se define como lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta

llamada directriz y un punto externo llamado foco, su forma se relaciona con la ecuación

cuadrática 2)( xxf y aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas. También debemos

aclarar que la excentricidad siempre es igual a 1, esta unicidad nos permite observar parábolas

semejantes pero a diferentes escalas, ya que al hacer un análisis de la parábola cometemos el

error de indicar que sus parámetros, son los que cambian la forma de la parábola. Las

representaciones algebraicas tiene que considerar como su eje focal tiene una relación con los

ejes coordenados y serian las siguientes:

a). Forma general de la parábola, 02 FEyDxx ó 02 FExDyy .

b). Con vértice en el origen, pxy 42 ó pyx 42 .

c). Con vértice fuera del origen, )(4)( 2 hxpky ó )(4)( 2 kyphx .

Aplicaciones.

Algunas de sus aplicaciones son las antenas parabólicas y los radiotelescopios como: el

radar para recibir y enviar haces de señales, faros de vehículos o lámparas de casas para

concentrar y enviar energía como haces de luz, concentradores parabólicos solares para la

concentración de energía solar y su almacenamiento. Algunas construcciones en puentes o

diseños arquitectónicos para edificios o casas. Las trayectorias ideales de cuerpos que se mueven

bajo la influencia de la gravedad como: lanzamientos de algunas pelotas, lanzamientos de

flechas, una trayectoria balística, lanzamiento de objetos. En algunos juegos mecánicos e

infantiles. Incluso se hacen diseños exclusivos de objetos por su estética, (figura 7).

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La Elipse.

Se define como el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se

cumple que el cociente entre sus distancias a un punto fijo que se denomina foco y a una recta

dada llamada directriz, permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma. Presenta

una excentricidad que puede tomar valores entre cero y uno, ella indicara la forma que tendrá esa

elipse, cuando se acerca a uno la elipse será alargada, pero si se acerca a cero se asemeja a una

circunferencia. Las representaciones algebraicas tienen que considerar como su eje focal tiene

una relación con los ejes coordenados de manera paralela y donde se encuentra el vértice, son

las siguientes:

a). Forma general de la elipse, 022 FEyDxCyAx .

b). Con vértice en el origen, 12222 byax ó 1

2222 aybx .

c). Con vértice fuera del origen, 1)()(2222 bkyahx ó 1)()(

2222 akybhx .

Aplicaciones.

Las propiedades de la elipse son similares a las de la parábola. Una de las primeras

aplicaciones esta en el sistema solar ya que se determino la relación que tiene con las orbitas

elípticas de los planetas con el sol con el sol que representa a su foco. En medicina un aparato

llamado litotripto para desintegrar cálculos renales por medio de ondas intra-acuáticas de

choque. Estructuras en la construcción como en capillas, galerías de los murmullos o de los

secretos, foros, que tienen formas elipsoidales en los techos para mejor transmisión del sonido.

Algunos estadios deportivos tienen forma elíptica, para atletismo, bicicletas, velocidad en el

hielo. La criptografía de curva elíptica, también utiliza esta forma. En el deporte para el

acondicionamiento físico o cardio, la bicicleta elíptica. Las aplicaciones de la elipse también se

relacionan con las de la parábola (figura 8).

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La Hipérbola.

Se define como el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto

de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre

los vértices, la cual es una constante positiva. La excentricidad, al igual que en la elipse, es la

relación entre las distancias de foco a foco y de vértice a vértice, entonces la excentricidad en la

hipérbola siempre es mayor que la unidad, sus representaciones algebraicas son:

a). Forma general de la hipérbola, 022 EDyCxByAx .

b). Con vértice en el origen, 12222 byax ó 1

2222 aybx .

c). Con vértice fuera del origen, 1)()(2222 bkyahx ó 1)()(

2222 akybhx .

Aplicaciones.

En astronomía, Las órbitas de algunos cometas son hipérbolas, estos cometas sólo se

acercan una vez al sol, que es uno de los focos de su trayectoria, después se alejarán perdiéndose

en los confines del sistema solar. Un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la

superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de

una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una

hipérbola. En mecánica, se usan en el diseño de estructuras hay algunas veces que los resultados

de las fuerzas sobre una viga dan en forma de hipérbola. Es bastante común verla en edificios y

construcciones arquitectónicas. Si tienes una construcción de sección cuadrada o rectangular

con un remate o cúpula cónica, la unión de ambos cuerpos produce hipérbolas. Las aplicaciones

de la hipérbola son similares a las de la parábola y la elipse, (Figura 9).

Conclusiones.

En el tiempo los secciones cónicas nunca representaron un papel relevante para las

matemáticas, pero los estudios de algunos personajes como Galileo (1564-1642) o Kepler (1571-

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1630), empezaron a demostrar las relaciones existentes de estas, en Astronomía e Ingeniería,

tanto ha sido su uso que los podemos observar casi en cualquier parte a las que volteemos,

mediante este articulo trato de que los jóvenes que están renuentes a entender como las

matemáticas están presentes en sus vidas, entiendan que las clases les sirven para prepararse y

ayudarlos a entender la forma de razonar los problemas, para con esa formación integral que

obtengan, puedan desenvolverse en cualquier campo laboral que ellos decidan desarrollar, no

porque tengan que utilizar todas las ecuaciones o graficas que tuvieron que aprender semestre

tras semestre, sino porque entendieron que sus clases tienen un valor de preparación y que sus

aplicaciones siempre las tendrán alrededor de ellos. Antes de tocar el tema de secciones conicas,

ello se les encarga a los alumnos desarrollen una actividad de tema como se menciona en el

anexo A.

Lista de Referencias.

Jiménez, R. (2006). Geometría Analítica. Chihuahua, México: Editorial Pearson.

ISBN 970-26-0709-4

Secciones Cónicas (2009, septiembre). Recuperado de

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Seccion_conica_degenerada.png

Sección Cónica, (2010). Recuperado de

http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica

Sección Cónica Degenerada. (2013, marzo). Recuperado de

http://es.wikipedia.org/wiki/Secci%C3%B3n_c%C3%B3nica_degenerada

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Figura 1.

Cónicas Degeneradas.

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Figura 2.

Cónicas no Degeneradas.

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Figura 3.

Aplicaciones de la Recta.

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Figura 4.

Rectas paralelas y Rectas Secantes.

x

y

x

y

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Figura 5.

Teorema de Pitágoras.

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Figura 6.

Aplicaciones de la Circunferencia.

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Figura 7.

Aplicaciones de la Parábola.

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Figura 8.

Aplicaciones de la Hipérbola.

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Anexo A.

Actividad por Equipo: Secciones cónicas.

Para la mejor comprensión e inicio del tema de secciones cónicas, se les encarga que

desarrollen una maqueta con las siguientes características:

a). Los equipos serán conformados por 2, 3 o hasta 4 alumnos máximo, no se permite de manera

individual.

b). Debe ser hecha en una superficie de cartón duro de 40 por 40 cm.

c). Debe contener las definiciones de los 2 tipos de secciones cónicas que existen descritas

brevemente.

d). Por medio de una imagen pequeña mostrar los tipos de cortes que se pueden realizar al cono.

e). Debe contener una figura que represente alguna aplicación en el caso de la recta y las cuatro

curvas a describir.

f). La revisión se lleva a cabo por 5 alumnos de quinto semestre, seleccionados por el maestro,

con calificaciones de 5 al 10, de acuerdo con los siguientes criterios:

Criterio Calificación

Cumplieron con las especificaciones dadas para la maqueta.

Tiene secuencia y orden el acomodo en la maqueta.

Muestran todas las imágenes de los cortes del cono.

Tienen las cinco figuras que se piden agregar.

Fueron creativos en el diseño de su maqueta.