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Geometr´ ıa af´ ın y proyectiva ETSAM 11 de diciembre de 2013 APELLIDOS........................................................................ GRUPO..................... NOMBRE............................................................................ D.N.I.......................... OPCI ´ ON A 1. (0.5 puntos) En el espacio af´ ın R 3 se consideran los puntos P (0, 1, 0), Q(1, 2, -1), R(1, 1, 0) y S (2, 1, 1). ¿Forman {P, Q, R, S } un sistema de referencia af´ ın? Justifica la respuesta. 2. (0.5 puntos) Consideremos el espacio af´ ın eucl´ ıdeo R 2 con referencia ortonormal. Escribir la expresi´on matricial de la homotecia de centro C (1, 2)yraz´on k = 4. ¿Es una isometr´ ıa? Justificar la respuesta. 3. (0.5 puntos) a ) Definir punto singular de una c´onica proyectiva. b ) Calcular los puntos singulares de la c´onica del plano proyectivo C ≡ 2x 2 0 - 8x 2 1 - 2x 2 2 +8x 1 x 2 =0 y clasificarla. 4. (2 puntos) En el espacio af´ ın eucl´ ıdeo R 2 se tiene la transformaci´on af´ ın cuya expresi´on matricial es 1 y 1 y 2 = 1 0 0 3 0 -1 -1 1 0 1 x 1 x 2 . Clasificarla obteniendo sus elementos notables (eje de simetr´ ıa, centro y ´angulo de giro, vector traslaci´on, etc, seg´ un corresponda), 5. (2,5 puntos) Consideremos el espacio af´ ın eucl´ ıdeo tridimensional R 3 con referencia ortonormal. a ) Encontrar la expresi´on matricial de la simetr´ ıa ortogonal con respecto al plano x + z - 2 = 0. b ) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos. c ) Calcular la expresi´on matricial de la simetr´ ıa calculada en el primer apartado compuesta con una traslaci´ on de vector ~v = (2, 1, 0). d ) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos de la composici´on anterior. 6. (3 puntos) En el plano proyectivo P 2 se tiene la c´onica C ≡ x 2 0 +4x 2 1 +4x 2 2 +6x 0 x 1 +6x 0 x 2 +10x 1 x 2 = 0. a ) Clasificarla. b ) Obtener su centro, ejes y as´ ıntotas, si las tuviera. c ) Obtener su ecuaci´on reducida en el plano af´ ın, indicando el sistema de referencia af´ ın en el que se expresa de esta forma. d ) Representar gr´aficamente la c´onica. 7. (1 punto) a ) En el plano proyectivo P 2 , determinar el haz de c´onicas que tiene por as´ ıntotas las rectas 2x 0 + x 1 - x 2 =0y x 0 - x 2 = 0. b ) Calcular la c´onica del haz que pasa por el punto Q = [1, 3, 2].
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Geometrıa afın y proyectiva ETSAM
11 de diciembre de 2013
APELLIDOS........................................................................ GRUPO.....................
NOMBRE............................................................................ D.N.I..........................
OPCION A
1. (0.5 puntos) En el espacio afın R3 se consideran los puntos P (0, 1, 0), Q(1, 2,−1), R(1, 1, 0) y S(2, 1, 1).¿Forman {P,Q,R, S} un sistema de referencia afın? Justifica la respuesta.
2. (0.5 puntos) Consideremos el espacio afın euclıdeo R2 con referencia ortonormal. Escribir la expresionmatricial de la homotecia de centro C(1, 2) y razon k = 4. ¿Es una isometrıa? Justificar la respuesta.
3. (0.5 puntos)
a) Definir punto singular de una conica proyectiva.
b) Calcular los puntos singulares de la conica del plano proyectivo
C ≡ 2x20 − 8x21 − 2x22 + 8x1x2 = 0
y clasificarla.
4. (2 puntos) En el espacio afın euclıdeo R2 se tiene la transformacion afın cuya expresion matricial es 1y1y2
=
1 0 03 0 −1
−1 1 0
1x1x2
.
Clasificarla obteniendo sus elementos notables (eje de simetrıa, centro y angulo de giro, vector traslacion,etc, segun corresponda),
5. (2,5 puntos) Consideremos el espacio afın euclıdeo tridimensional R3 con referencia ortonormal.
a) Encontrar la expresion matricial de la simetrıa ortogonal con respecto al plano x+ z − 2 = 0.
b) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos.
c) Calcular la expresion matricial de la simetrıa calculada en el primer apartado compuesta con unatraslacion de vector ~v = (2, 1, 0).
d) Calcular las ecuaciones del subespacio de puntos fijos de la composicion anterior.
6. (3 puntos) En el plano proyectivo P2 se tiene la conica C ≡ x20+4x21+4x22+6x0x1+6x0x2+10x1x2 = 0.
a) Clasificarla.
b) Obtener su centro, ejes y asıntotas, si las tuviera.
c) Obtener su ecuacion reducida en el plano afın, indicando el sistema de referencia afın en el quese expresa de esta forma.
d) Representar graficamente la conica.
7. (1 punto)
a) En el plano proyectivo P2, determinar el haz de conicas que tiene por asıntotas las rectas2x0 + x1 − x2 = 0 y x0 − x2 = 0.
b) Calcular la conica del haz que pasa por el punto Q = [1, 3, 2].
