Generador de números aleatorios basado en aleatoriedad determinística asintótica Kai Wang,...

Generador de números aleatorios basado en

aleatoriedad determinística asintótica

Kai Wang, Wenjiang Pei, Haishan Xia and Yiu-ming Cheung

Generador de números aleatorios basado en aleatoriedad determinística asintótica

• Se propone el diseño de un generador de números aleatorios que emplea el concepto de la aleatoriedad deterministica (asymptotic deterministic randomness), fundamentalmente haciendo uso de lo que se denomina la correspondencia multi valor (multi-value correspondence).

• El generador es construido utilizando un mapa lineal por partes, y la transformada no lineal no invertible. En este trabajo se propone también el diseño del sistema en su versión digitalizada o cuantificada.

• Algunas medidas de las características deseables para un generador de números aleatorio o pseudo aleatorio son la función densidad de probabilidad estacionaria y el comportamiento similar al ruido.


• Los generadores de números pseudo aleatorios (Pseudorandom bit generators (PRBGs)) cumplen una función relevante en los sistema de seguridad actuales, sea como generadores de llaves de sistemas criptográficos o como inicializadores de condiciones en protocolos de seguridad, por ejemplo.

• Si bien la secuencia luce como una secuencia de números genuinamente aleatorios, existe un mecanismo deterministico para su generación en la mayoría de los casos, que lleva a tener que denominar la secuencia como pseudo aleatoria. Normalmente este mecanismo deterministico presenta un periodo de repetición de la secuencia. Si este periodo es lo suficientemente largo, podemos considerar a la secuencia como realmente aleatoria desde el punto de vista práctico, dado que ellas superan los mas conocidos tests de aleatoriedad.

• . Las características de sistemas caóticos, como la ergodicidad, la dependencia sensible a las condiciones iniciales y el comportamiento similar al ruido aleatorio, parecen ser similares a las operaciones de difusión y de confusión en la criptografía convencional.


• De las referencias indicadas en el paper en estudio, quizá las mas significativas son las relacionadas con el trabajo de J. A. González y sus colaboradores.

• En 1997 J. A. González propone el estudio de la generación de números aleatorios utilizando la función:

• El autor descubre que la secuencia generada en esta forma se torna impredecible en el corto plazo, y esto se debe a que posee las características de la correspondencia multi valor.

• En esta propocision el numero z es un número fraccionario con numerador y denominador siendo inicialmente números primos.

• La indeterminación del próximo valor, es decir la incerteza de determinar el valor xn+1 en base al valor de xn, diferencia al sistema de los clásicos esquemas caóticos, y ofrece un grado de aleatoriedad que permite definir el concepto de aleatoriedad determinística (deterministic randomness).

)z(sinx n2n


• El enfoque de la aleatoriedad determinisitca aparece como una herramienta muy útil en el análisis de la relación entre el caos y la aleatoriedad, y resulta también importante en algunos resultados y cuestiones de la teoría de números.

• Como se comentó anteriormente, existen diversos autores trabajando en el tema, pero es preferible como estudio previo a la propuesta del paper analizado profundizar el análisis en la idea postulada por J. A. González

Sistemas asintóticos con aleatoriedad determinisitca

• Consideremos una secuencia generada sobre la base de la ecuación:

• Donde P(t) es una función periódica, θ define la condición inicial, T es el periodo de la función, z es inicialmente un número entero.

• Un caso particular de esta función es la descripta por:

• Cuando z=2, la función describe el mapa logístico:

)Tz(Px nn

)z(sinx n2n

)2(sinx n2n

Un mecanismo de aleatoriedad determinisitca

• El planteo de J. A. González es el estudio de funciones caóticas que son soluciones exactas para mapas no lineales. En estas funciones existe un parámetro típicamente considerado como un número entero, que se propone generalizar a que sea un número real. En el caso de considerar este parámetro como número real, el mapa de retorno se convierte en un mapa con la característica de la correspondencia multi valor.

• Si este parámetro z es un numero irracional, el mapa de retorno se convierte en un mapa que muestra carencia de orden. Esto significa que el mapa resultante es difícil de sintetizar a través de una función analítica.

• También es posible observar que existen sistemas caóticos cuyo comportamiento es similar a sistemas que podemos considerar verdaderamente aleatorios.

• La imposibilidad de predecir el próximo valor en función de los valore previos hace que hablemos de un esquema aleatorio.


• Funciones Caóticas• El planteo del mapa logístico realizado por Ulam y Von

Neumann relacionado con la expresión:

• • Tiene una solución exacta. De hecho la función:

• Es un modelo general para este problema.• Presentamos una solución general a este problema:• Todas las soluciones encontradas pueden ser descriptas

de la siguiente manera:

)x1(x4x nn1n

)2(sinx n2n

)Tz(Px nn


• Un ejemplo de solución exacta para este caso lo da la función:

• Haciendo uso de la transformación:

• La función puede describirse como una serie de tramos lineales de la forma:

• De esta forma el conocido coeficiente de Liapunov tiene una solución analítica:

)xsin(arco.z(sinx n2

1n

)xsin(arco)/2(y nn

)y(Fy n1n

n

nN

0nN dy

)y(dfln

N

1lim

)zln(


• El mapa de retorno de la función propuesta para z = 2 se ve en la siguiente figura, que como se ve coincide con el mapa de retorno logístico:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

2z


• El mapa producido por la expresión

• Encuentra la solución general exacta cuando z es un número entero en la expresión:

• Sin embargo para valores de z fraccionarios la dinámica del sistema descripto por la anterior ecuación difiere realmente de la propuesta por el sistema caótico. Las siguientes figuras describen el mapa para un caso particular donde z=3/2

)xsin(arco.z(sinx n2

1n

)z(sinx n2n


• Si z es un numero racional expresado como el cociente de dos números

• donde q y p son números primos relativos, el mapa de retorno producido por la función propuesta es un mapa donde se produce el efecto multi valor, de manera que en la secuencia a la altura del valor Xn, pueden aparecer q valores posibles para el siguiente valor de la secuencia Xn+1. por otra parte, tendremos p valores de Xn, para cada valor de Xn+1. La serie se torna caótica e impredecible a menos que conozcamos el valor de la condición inicial θ.

q/pz


3/4z


• La función propuesta muestra características interesantes como generadora de números aleatorios. Cuando el parámetro z es tal que z>1, la función de generación propuesta presenta por un lado conducta caótica, y por el otro la imposibilidad de predecir el próximo valor a menos que se conozca la condición inicial θ. Cuando z es entero, el numero de posibles valores de xn+1

es igual a q, pero si z es fraccionaria existe un numero infinito de valores para el próximo valor que satisfacen las condiciones iniciales.


• Lo esencial en la función propuesta es que siendo igual a:

• Resulta ser igual a:

)nm(n

n

02

n qpkq

psinx m

0 kq

n

02

n q

psinx


• Lo esencial en la función propuesta es que siendo igual a:

• Resulta ser igual a:

)nm(n

n

02

n qpkq

psinx m

0 kq

n

02

n q

psinx )(sin2


• Mientras por ejemplo en la definición anterior con parámetros p=5, q=1, el mapa generado es de la forma:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

xn+

1


• El mapa de retorno de la misma función utilizando z = e genera una situación menos predecible desde el punto de vista de la reconstrucción del correspondiente mapa:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

xn+

1

Sistemas asintóticos con aleatoriedad determinisitca

• En el esquema anterior pudo observarse el efecto de los sistemas caracterizados por presentar la correspondencia multi valor. Para la función definida por J. A. González empleando a z como un numero fraccional de números primos, el valor próximo adopta q posibles cantidades.

• El fenómeno descripto permite la definición de lo que se denomina aleatoriedad deterministica, para diferenciarlo de los sistemas caóticos, donde el conocimiento del esquema permite determinar el valor próximo como función del valor actual.

• En el trabajo de referencia se construyen sistemas con aleatoriedad deterministica asintóticos sobre la base de funciones lineales de mapas por partes, y el uso de la transformada no lineal no invertible.

• Se estudian los siguientes dos tipos de mapas lineales por partes:

Generador de números aleatorios basados en aleatoriedad determinisitca

)1,t*amod()t,a(h

1)2,t*amod()1,t*amod(1

0)2,t*amod()1,t*amod(t,a(g

)x,a(hx n1n )x,b(hy nn

)x,a(gx n1n )x,b(gy nn

• Las funciones:

• Permiten definir las siguientes transformaciones no invertibles para a=p/q>2:

Nqb

Se toma la secuencia {xn} modificada por la operación h(a,xn), luego la secuencia obtenida se afecta haciendo h(b,xn) para obtener la secuencia {yn}, que poseerá la característica de la correspondencia multi valor


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

xn+

1

Sistema h


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xn

xn+

1

sistema g

Sistemas asintóticos con aleatoriedad determinisitca. Forma discreta

1i2modaxN

0i2modaxx

nn

nn

1n

1j 2modbxN

0j 2modbxy

nn

nn

1n

)2,N/axmod(i n

)2,N/bxmod(j n

El sistema puede adoptar la forma discreta o digitalizada, que depende de la resolución numérica que se emplee.

Las expresiones del sistema se transforman en:

Características estadísticas de las secuencias de aleatoriedad determinística asintótica

• La ventaja principal que tienen las secuencias determinísticas aleatorias con respecto a las caóticas es la propiedad de poseer la correspondencia multi valor, lo cual les da mayor robustez por ser impredecibles en el corto plazo. Esta ventaja es especialmente útil para sistemas criptográficos.

• La secuencia de aleatoriedad determinística es impredecible para N pasos, pero podrá predecirse a partir del paso N+1.

• Dada la similitud entre las expresiones del mapa propuesto, se considera aquella basada en la función h como materia de estudio de las propiedades estadísticas del sistema.

• Si el parámetro a es un numero entero, la distribución de probabilidad de la secuencia {xn} es uniforme. Cuando el parámetro a es un número real, la distribución de probabilidad converge a una función densidad de probabilidad uniforme, y la densidad de probabilidad de la secuencia {xn+1} se relaciona con la de {xn} de la forma:


)x(Sy

n1n

1 )y('S

)y(f)x(f

m

n1n )max(fa

1)x(f

• Donde fn es la función densidad de probabilidad de la secuencia {xn} y fn+1 es la correspondiente a la secuencia {xn+1} .

• Cuando S(x) es de la forma ax mod 1, la anterior expresión se convierte en:


1modax)x(f nn

1modbx)x(g nn

• Al transformar la secuencia {xn } que se genera con la operación del mapa lineal por tramos

• usando la transformación de no linealidad no invertible sobre esa secuencia

• la secuencia {yn} resultante posee la propiedad de tener correspondencia multi valor. También se verifica que la secuencia generada posee propiedades tales como el parecido al ruido aleatorio, ya que la operación que la produce a partir de {xn} no altera sus características.

Medida de la aleatoriedad determinística asintótica

n21 UUUU

1mi1ii)i( UUUU

1mN

r)X,X(dF)r(C )j()i(jm

i

• En el paper analizado se propone una medida cuantitativa de la aleatoriedad de secuencias determinísticas. Para esto a partir de una secuencia de valores:

• Se forman secuencias de largo m:

• Para las cuales se calcula el siguiente coeficiente:

• Aquí, la distancia entre secuencias es:

m,...,2,1k ;UUmaxX,Xd 1kj1ki)j()i(


1mN

1i

mi

)m(r )r(Cln

1mN

1φ

1m)r(

m)r( φφ)N,r,m(R

• La medida de aleatoriedad posible (possible randomness measurement)

• se define como:

• Con

• El método propuesto se calcula para diferentes generadores conocidos y los propuestos, que se denominan los casos

• (A: a = 5/ 2 , b = 25 ; B: a = 5/ 2 , b = 215 ; C: a =11/ 5, b = 25 ).


• Puede observarse que los sistemas propuestos superan a los existentes si m>2.

Probabilidad de la secuencia aleatoria determinística

n

α

α n2n1 dy)y(f)αyα(P 2

1

1nn

α

α 1nn

β

β21n12n1 dydy)y,y(f)βyβ;αyα(P 2

1

2

1

)βyβ;αyα(P)βyβ(xP)αyα(P 21n12n121n12n1

Otro enfoque para analizar la aleatoriedad de las secuencias es el siguiente. Conociendo la función densidad de probabilidad de la secuencia {yn}, pueden determinarse las siguientes probabilidades:

Si las secuencias {yn} e {yn+1} son estadísticamente independientes:


• La densidad de probabilidad conjunta del sistema propuesto para las secuencias {yn} e {yn+1} con parámetros a=5/2 y b=25 se observa en la siguiente figura, que muestra que estas secuencias no son estadísticamente independientes:


• Cambios y aumento del valor de b no producen mejoras en la independencia estadística de las secuencias {yn} e {yn+1}. La correspondencia multi valor se incrementa con el incremento de p y q. Utilizar un parámetro a que sea un numero irracional equivale en cierto sentido a hacer que . El mapa de retorno y la densidad de probabilidad conjunta muestran ahora independencia estadística.

• :

q,p

Conclusiones

• En este trabajo se estudian las características de la correspondencia multi valor de la aleatoriedad deterministica asintótica, construida con funciones lineales por tramos y la transformación de no linealidad no invertible

• Se incluye la implementación en alfabeto discreto o digital• Las características estadísticas como la función densidad e

probabilidad y la conducta similar al ruido aleatorio son estudiadas en forma numérica.

• Los esquemas propuestos aparecen como buenas alternativas para el diseño de generadores de números aleatorios

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