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DR. JORGE ACUÑA GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS “La simulación de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los números aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicación de esta herramienta”
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DR. JORGE ACUÑA
GENERACION DE NUMEROS ALEATORIOS Y VARIABLES ALEATORIAS
“La simulación de eventos se basa en la ocurrencia aleatoria de los mismos, por ello los números aleatorios y las variables aleatorias son de especial importancia en la aplicación de esta herramienta”
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DR. JORGE ACUÑA
VARIABLES ALEATORIAS
PIDE UNNUMEROALEATORIO
PROCESO
TIEMPO
GENERADOR
DE
VARIABLES
ALETAORIAS
GENERADOR
DE NUMEROS
ALEATORIOS
PIDE TIEMPODA DISTRIBUCIONY PARAMETROS
ENTREGATIEMPOGENERADO
ENTREGA NUMEROGENERADO
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DR. JORGE ACUÑA
VARIABLES ALEATORIAS
PROCESO
TIEMPO=?
GENERADOR
DE
VARIABLES
ALETAORIAS
GENERADOR
DE
NUMEROS
ALEATORIOS
NORMAL CONMEDIA=4.3 Y DESVIACION=0.4 PIDE UN
NUMEROALEATORIO
TIEMPO=4.324
ENTREGA 0.34555
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DR. JORGE ACUÑA
GENERADOR DE NUMEROS
ALEATORIOS
Los números aleatorios son los que dan un comportamiento real al modelo.
Es un proceso matemático-estadístico Existen varios algoritmos:
◦ Método del cuadrado medio◦ Método congruencial lineal◦ Método congruencial multiplicativo
Todos los métodos se basan en una semilla En la generación se debe poner especial cuidado al
período, que es el número de números que se puedengenerar hasta que se repita la serie.
El número aleatorio es un valor entre 0 y 1 y se distribuyen uniformemente.
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METODO DEL CUADRADO
MEDIO
• Es uno de los primeros métodos. Consiste en:
1. Escoger una semilla arbitraria
2. Elevar la semilla al cuadrado
3. Escoger los dígitos medios del cuadrado como número aleatorio
4. Elevar esos dígitos al cuadrado
5. Repetir 3 y 4 hasta generar los números deseados sin que se repita la cadena o serie.
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METODO DEL CUADRADO
MEDIO EJEMPLO: Generar 4 números aleatorios con la semilla
5497. Ri : número aleatorio generado
1. Semilla= X0= 5497
2. X02 = 54972 = 30217009
3. X1 = 2170 R1 = 0.217
4. X12 = 21702 = 04708900
3. X2 = 7089 R2 = 0.7089
4. X22 = 70892 = 50253921
3. X3 = 2539 R3 = 0.2539
4. X32 = 25392 = 06446521
3. X4 = 4465 R4 = 0.4465
Estos son los
cuatro números
aleatorios
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• En Simulación se debe siempre muestrear de una distribución de probabilidad que representa la ocurrencia de los eventos.
• Estas distribuciones pueden ser teóricas o empíricas y ambas pueden ser continuas o discretas.
• Las distribuciones empíricas están representadas por distribuciones de frecuencias.
• En el caso de distribuciones teóricas existen varios métodos para generar las variables.
GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
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Técnicas para generar variables aleatorias provenientes de una distribución teórica:◦ Transformada inversa (usada para generar variables
aleatorias distribuidas según Exponencial, Weibull y Triangular)
◦ Función acumulada (usada para generar variables aleatorias de distribuciones empíricas)
◦ Transformación directa (usada para generar variables normalmente distribuidas)
◦ Método de convolución (usado para generar variables aleatorias distribuidas según ERLANG, POISSON y GAMMA)
GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
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PROCEDIMIENTO
1. Encontrar la función acumulada de la distribución respectiva.
2. Igualar esa función a R (número aleatorio uniformemente distribuido) sea F(x)=R
3. Resolver la anterior ecuación para x.
4. Establecer la función generadora
EJEMPLO
Encontrar la función generadora de la exponencial.
1. F(x) = 1 - e - x 2. 1 - e - x = R
3. x = (-1/ ) ln(1-R) 4. xi = (-1/ ) ln(1-Ri)
METODO DE LA
TRANSFORMADA INVERSA
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EJEMPLO DE GENERADOR DE VARIABLES EXPONENCIALES
PROCESO
TIEMPO=?
xi = (-1/ )*
ln(1-Ri)
GENERADOR
DE NUMEROS
ALEATORIOS
EXPONENCIALMEDIA=4.5 MINS
PIDE UNNUMEROALEATORIO
TIEMPO=1.91 MINS
ENTREGA 0.34555
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OTRAS FUNCIONES GENERADORAS
Distribución uniforme
xi = a +( b - a ) * Ri
Distribución Weibull
xi = * [ -ln (1 - Ri )] 1/
Distribución triangular
R1 = ALEATORIO 1
R2 = ALEATORIO 2
SI (R1 < (B - A) / (C - A)) ENTONCES
Triangular = A + (B - A) * R2 SINO
Triangular = C - (C - B) * R2
METODO DE LA
TRANSFORMADA INVERSA
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DISTRIBUCION NORMALPROCEDIMIENTO A.
PROCEDIMIENTO B.
1. Generar R1 y R2
Vi=2Ri-1 para i=1,2
W=V12+V2
2
2. Si W>1 volver al Paso 1. Sino:
Z1=V1*y Z2=V2*y
X1=Z1* +
X2=Z2* +
*612
1i
iRX
w
wy
)ln(2
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EJEMPLO DE
PROCEDIMIENTO A.Generar dos variables aleatorias para un tiempo de
proceso cuya media es 5 y su desviación estándar es 0.3.
X1=S1* + = 0.2*0.3+5= 5.24
X2=S2* + = -0.6*0.3+5= 4.82
6.064.56
2.062.66
12
1
2
12
1
1
i
i
i
i
RS
RS
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EJEMPLO DE
PROCEDIMIENTO B.Generar dos variables aleatorias para un tiempo de proceso cuya
media es 5 y su desviación estándar es 0.3.
1. R1=0.6 y R2 =0.3V1=2(0.6) -1= 0.2V2=2(0.3) -1=- 0.4W=0.22+(-0.4)2=0.2
2. W<1
Z1=V1*y =0.2*4.012=0.8 Z2=V2*y=-0.4*4.012=-1.6
X1=Z1* + = 0.8*0.3+5= 5.24
X2=Z2* + = -1.6*0.3+5= 4.52
012.42.0
)2.0ln(2)ln(2
w
wy
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EJEMPLO 2 DE
PROCEDIMIENTO B.Generar 30 valores para un tiempo de proceso que se distribuye
normalmente con media es 2.35 minutos y desviación estándar es 0.23 minutos.
# R1 R2 V1 V2 W y Z1 Z2 X1 X2
1 0.760177467 0.04974372 0.52035493 -0.90051257 1.08169214 (No sirve pues W>1)
2 0.50190155 0.54633272 0.0038031 0.09266543 0.00860135 33.2541048 0.12646867 3.08150595 2.38 3.06
3 0.107204119 0.32589551 -0.78559176 -0.34820899 0.73840392 0.9063139 -0.71199273 -0.31558665 2.19 2.28
4 0.744025954 0.20457119 0.48805191 -0.59085763 0.5873074 1.34624008 0.65703504 -0.79543622 2.50 2.17
5 0.888466886 0.30798921 0.77693377 -0.38402158 0.75109866 0.87300188 0.67826464 -0.33525156 2.51 2.27
6 0.600042775 0.51130059 0.20008555 0.02260119 0.04054504 12.5742851 2.51593273 0.28419381 2.93 2.42
7 0.123304795 0.68341085 -0.75339041 0.3668217 0.70215527 1.00358691 -0.75609275 0.36813746 2.18 2.43
8 0.656965005 0.07457283 0.31393001 -0.85085435 0.82250517 0.68930038 0.21639208 -0.58649423 2.40 2.22
9 0.551837621 0.00516526 0.10367524 -0.98966949 0.99019425 0.14107958 0.01462646 -0.13962216 2.35 2.32
10 0.958738503 0.5849138 0.91747701 0.16982761 0.87060547 0.56420017 0.51764068 0.09581677 2.47 2.37
11 0.666282809 0.21796188 0.33256562 -0.56407625 0.4287819 1.98741681 0.6609465 -1.12105462 2.50 2.09
12 0.819078493 0.20853019 0.63815699 -0.58293962 0.74706294 0.88355688 0.563848 -0.51506031 2.48 2.23
13 0.293377603 0.30383294 -0.41324479 -0.39233413 0.32469733 2.63223846 -1.08775884 -1.03271698 2.10 2.11
14 0.088355424 0.32108534 -0.82328915 -0.35782931 0.80584684 0.73194157 -0.60259955 -0.26191015 2.21 2.29
15 0.097035419 0.77361042 -0.80592916 0.54722084 0.94897247 0.33224026 -0.26776211 0.1818088 2.29 2.39
16 0.109395645 0.40379788 -0.78120871 -0.19240423 0.64730644 1.15923757 -0.90560649 -0.22304222 2.14 2.30
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En este caso se trabaja con la frecuencia relativa acumulada y el punto medio que representa a la variable aleatoria.
EJEMPLO: Para una distribución de probabilidad variable continua
Li Ls Xk nk fk Fk
5.05 14.95 10.0 4 0.1250 0.1250
14.95 24.85 19.9 6 0.1875 0.3125
24.85 34.75 29.8 12 0.3750 0.6875
34.75 44.65 39.7 8 0.2500 0.9375
44.65 54.55 49.6 2 0.0625 1
DISTRIBUCIONES EMPIRICAS
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Xk Fk R(# aleatorio)
10.0 0.1250 0.0000 0.1250
19.9 0.3125 0.1251 0.3125
29.8 0.6875 0.3126 0.6875
39.7 0.9375 0.6876 0.9375
49.6 1 0.9376 0.9999
Así, si por ejemplo, si se tiene un número aleatorio generado que da el valor de 0.5078, entonces el valor de la variable aleatoria es el correspondiente a Xk o sea 29.8.
DISTRIBUCIONES
EMPIRICAS
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EJEMPLO DE GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
A: Determine un intervalo de confianza del
95% para el tiempo de proceso de 40
partes cuya función densidad de
probabilidad es:
B. Muestre los efectos en la media, desviación
e intervalo que tiene el incremento en el
tamaño de la muestra.
0)4(
32)(
3xpara
xxf
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FUNCION ACUMULADA
F(x)
SOLUCION:
A.
016
168
)4(
16
)4(
16
2
3232)(
4
)4(
32)()(
0)4(
32)(
2
2
2
0
2
3
0
3
0
3
Rxx
Rx
xuduuxF
dxdu
xu
dxx
dxxfxF
xparax
xf
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GENERACION
DE LA
VARIABLE
ALEATORIA x
x2+8x+(16-16/R)
# Aleatorio (16-16/R) x1 x2 x
1 0,51 -15,11 1,58 -9,58 1,58
2 0,86 -2,54 0,31 -8,31 0,31
3 0,96 -0,73 0,09 -8,09 0,09
4 0,88 -2,09 0,25 -8,25 0,25
5 0,38 -25,96 2,48 -10,48 2,48
6 0,33 -32,55 2,97 -10,97 2,97
7 0,46 -18,58 1,88 -9,88 1,88
8 0,75 -5,25 0,61 -8,61 0,61
9 0,23 -52,36 4,27 -12,27 4,27
10 0,81 -3,66 0,43 -8,43 0,43
11 0,88 -2,12 0,26 -8,26 0,26
12 0,28 -41,49 3,58 -11,58 3,58
13 0,32 -34,39 3,10 -11,10 3,10
14 0,75 -5,47 0,63 -8,63 0,63
15 0,76 -5,05 0,59 -8,59 0,59
17 0,43 -21,29 2,11 -10,11 2,11
18 0,43 -21,33 2,11 -10,11 2,11
19 0,55 -13,09 1,39 -9,39 1,39
20 0,18 -72,89 5,43 -13,43 5,43
21 0,81 -3,81 0,45 -8,45 0,45
22 0,17 -77,77 5,68 -13,68 5,68
23 0,96 -0,67 0,08 -8,08 0,08
24 0,35 -30,23 2,80 -10,80 2,80
25 0,34 -31,42 2,89 -10,89 2,89
26 0,87 -2,39 0,29 -8,29 0,29
27 0,99 -0,16 0,02 -8,02 0,02
28 0,25 -48,55 4,03 -12,03 4,03
29 0,52 -14,57 1,53 -9,53 1,53
30 0,92 -1,30 0,16 -8,16 0,16
31 0,65 -8,73 0,97 -8,97 0,97
32 0,76 -4,99 0,58 -8,58 0,58
33 0,31 -35,61 3,18 -11,18 3,18
34 0,62 -9,63 1,06 -9,06 1,06
35 0,94 -1,02 0,13 -8,13 0,13
36 0,77 -4,87 0,57 -8,57 0,57
37 0,89 -1,98 0,24 -8,24 0,24
38 0,55 -13,24 1,41 -9,41 1,41
39 0,38 -26,42 2,51 -10,51 2,51
40 0,39 -25,54 2,44 -10,44 2,44
PROMEDIO 1,67
DESVIACION 1,534
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RESPUESTA A LA PARTE
A.
El intervalo de confianza del 95% para el tiempo
de proceso de 40 partes es:
95.0}058.2282.1{
058.240
534.1*96,167.1
'
282.140
534.1*96,167.1
'
95.0}{
025.0
025.0
P
nzxLs
nzxLi
LsLiP
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RESPUESTA A LA PARTE
B.n t Z xbarra sigma LIC LSC
10 2,262 1,49 1,41 0,43 2,55
30 2,045 1,79 1,67 1,16 2,43
50 1,96 1,71 1,44 1,31 2,11
100 1,96 1,90 1,89 1,53 2,27
200 1,96 2,01 2,07 1,72 2,30
300 1,96 2,11 2,34 1,84 2,37
400 1,96 2,06 2,29 1,83 2,28
500 1,96 2,09 2,30 1,88 2,29
600 1,96 2,07 2,27 1,89 2,26
700 1,96 2,01 2,19 1,84 2,17
800 1,96 1,95 2,14 1,80 2,10
900 1,96 1,93 2,11 1,79 2,06
1000 1,96 1,92 2,08 1,79 2,05
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GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LOS PROMEDIOSGRAFICO DE PROMEDIOS
1,40
1,50
1,60
1,70
1,80
1,90
2,00
2,10
2,20
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAÑO DE MUESTRA
PR
OM
ED
IO
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GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LAS DESVIACIONES ESTANDARGRAFICO DE DESVIACIONES ESTANDAR
1,40
1,60
1,80
2,00
2,20
2,40
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAÑO DE MUESTRA
DE
SV
IAC
ION
ES
TA
ND
AR
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GRAFICOS DE
ESTABILIDAD
DE LOS INTERVALOS DE CONFIANZAGRAFICO DE INTERVALOS DE CONFIANZA
0,300,550,801,051,301,551,802,052,302,55
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
TAMAÑO DE LA MUESTRA
LIM
ITE
S D
E C
ON
FIA
NZ
A
