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Generación de Grillas Computacionales mediante la resolución de

Ecuaciones Diferenciales a Derivadas Parciales del tipo elíptico empleando

el Método de las Diferencias Finitas

Vicente P. Capitani-Ingeniero Mecánico Aeronáutico-Universidad Nacional de Córdoba

Jefe Departamento Operación y Mantenimiento-Área Norte-Regional Noroeste-ENTel

I.-INTRODUCCIÓN

Los Métodos de Generación de Grillas de Diferencias Finitas adaptadas a cuerpos de

forma arbitraria, con el objetivo de resolver problemas de la Mecánica de los Fluidos han

sido iniciados por Joe F. Thompson y C. Wayne Mastin en el Departamento de Ingeniería

Aeroespacial de la Universidad Estatal de Mississippi y con el soporte de la NASA Langley

Research Center.

Estos Métodos consisten en la transformación del campo físico en un dominio

computacional de forma rectangular. Esta puede lograrse mediante la resolución de un

sistema de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales del tipo elíptico, como por

ejemplo las ecuaciones de Laplace o más generalmente las de Poissón.

Los valores asignados en las fronteras del dominio computacional son las coordenadas de

los bordes del campo físico, convirtiéndose por ende en un problema del tipo Dirichlet.

Esto tiene validez para regiones simple o múltiplemente conexas. En este último caso es

imprescindible realizar cortes que permitan transformar el plano físico en un rectángulo.

Sobre estos cortes no es posible tener control adecuado de la distribución de los puntos

de la grilla, como así tampoco en el interior de la misma. No obstante este control puede

lograrse mediante la elección de “términos fuente” en el segundo miembro de la ecuación

de Poisson.

El método original de Thompson ha sido modificado por Thomas Y Middlecoff (1) con el

objetivo de tener un control automático de la distribución de los puntos de la grilla del

campo físico. En este nuevo método el interior de la red es controlada por la asignación de

los mencionados términos fuente, cuya expresión matemática es independiente de la

forma que tomen los bordes del campo físico y de la distribución de los puntos sobre los

mismos. Estos términos fuente contienen parámetros libres que deben ser evaluados

mediante el empleo de formas límites de la ecuación mencionada y que luego son

interpoladas al interior de la grilla.

2

II.- DESARROLLO DEL MÉTODO

Como ha quedado explicito con este método se obtienen las coordenadas X, Y de los

puntos nodales de la grilla del campo físico a partir de las coordenadas sobre el perfil alar

ξ y η. Esto se efectúa mediante la resolución de ecuaciones de Poisson modificadas, al

intercambiar el rol de las variables dependientes e independientes en un dominio

computacional de forma rectangular. Para la resolución de las mencionadas ecuaciones a

derivadas parciales se emplea el Método de las Diferencias Finitas.

El sistema en el dominio computacional es el siguiente:

𝛻2𝜉 = 𝜉𝑥𝑥 + 𝜉𝑦𝑦 = 𝑃(𝜉, 𝜂)

(1)

𝛻2 = 𝜂𝑥𝑥 + 𝜂𝑦𝑦 = 𝑄(𝜉, 𝜂)

Estas ecuaciones son transformadas al sistema de coordenadas X, Y intercambiando los

roles de ambas variables:

𝜉 = 𝜉(𝑋, 𝑌)

𝜂 = 𝜂(𝑋, 𝑌)

Consideremos entonces un cambio de coordenadas de una función cualquiera, por

ejemplo φ del plano X, Y al plano ξ, η:

𝛻2𝜙 = 0 (2)

Es decir que:

𝜙𝑥 = 𝜙𝜉 . 𝜉𝑥 + 𝜙𝜂 . 𝜂𝑥

𝜙𝑦 = 𝜙𝜉 . 𝜉𝑦 + 𝜙𝜂. 𝜂𝑦

3

∅𝑥𝑥 = (𝜙𝜉 . 𝜉𝑥)𝑥

+ (𝜙𝜂 . 𝜂𝑥)𝑥

= (𝜙𝜉𝜉 . 𝜉𝑥 + 𝜙𝜉𝜂. 𝜂𝑥). 𝜀𝑥 + 𝜙𝜉 . 𝜉𝑥𝑥 + 𝜙𝜂 . 𝜂𝑥𝑥 +

(𝜙𝜂𝜉 . 𝜀𝑥+. 𝜙𝜂𝜂 . 𝜂𝑥). 𝜂𝑥 (3a)

∅𝑦𝑦 = (𝜙𝜉𝜉 . 𝜉𝑦 + 𝜙𝜉𝜂. 𝜂𝑦). 𝜉𝑦 + 𝜙𝜉 . 𝜉𝑦𝑦 + 𝜙𝜂𝜂 . 𝜂𝑦 + (𝜙𝜂𝜉 . 𝜉𝑦 + 𝜙𝜂𝜂 . 𝜂𝑥). 𝜂𝑦 (3b)

𝛻2𝜙 = 𝜙𝑥𝑥. (𝜉𝑥2 + 𝜉𝑦

2) + 𝜙𝜂𝜂 . (𝜂𝑥2 + 𝜂𝑦

2) + 2𝜙𝜉𝜂. 𝜉𝑥𝜂𝑥 + 2𝜙𝜉𝜂. 𝜉𝑦. 𝜂𝑦 + 𝜙𝜉 . (𝜉𝑥𝑥 + 𝜉𝑦𝑦) +

𝜙𝜂 . (𝜂𝑥𝑠 + 𝜂𝑦𝑦) = 0 (4)

Introduzcamos el Jacobiano de la transformación:

𝐽 =Ә(𝜉, 𝜂)

Ә(𝑥, 𝑦)= |

𝜉𝑥 𝜉𝑦

𝜂𝑥 𝜂𝑦| = 𝜉𝑥. 𝜂𝑦 − 𝜉𝑦. 𝜂𝑥 = (𝑥𝜉 . 𝑦𝜂 − 𝑥𝜂 . 𝑦𝜉)

−1

|𝜉𝑥 𝜉𝑦

𝜂𝑥 𝜂𝑦| . |

𝑥𝜉 𝑥𝜂

𝑦𝜉 𝑦𝜂| = |

1 00 1

|

𝜉𝑥 . 𝑥𝜉 + 𝜉𝑦. 𝑦𝜉 = 1

𝜉𝑥 . 𝑥𝜂 + 𝜉𝑦. 𝑦𝜂 = 0

𝜂𝑥.𝑥𝜉 + 𝜂𝑦. 𝑦𝜉 = 0

𝜂𝑥. 𝑥𝜂 + 𝜂𝑥. 𝑦𝜂 = 1

Resolviendo estos sistemas de ecuaciones lineales de primer grado mediante la Regla de

Cramer, se tiene:

𝛥1 = |𝜉𝑥 𝜉𝑦

𝜂𝑥 𝜂𝑦|=𝑥𝜉 . 𝑦𝜂 + 𝑥𝜂 . 𝑦𝜉 = 𝐽−1

𝜉𝑥 = |1 𝑦𝜉

0 𝑦𝜂| = 𝐽. 𝑦𝜂

4

𝜉𝑦 = |𝑥𝜉 1

𝑥𝜂 0| = −𝐽. 𝑥𝜂

𝜂𝑥 = |0 𝑦𝜉

1 𝑦𝜂| = −𝐽. 𝑦𝜉

𝜂𝑦 = |𝑦𝜉 0

𝑦𝜂 1𝜂| = 𝐽. 𝑥𝜉

Si denominamos:

𝑃(𝜉, 𝜂) = 𝜉𝑥𝑥 + 𝜉𝑦𝑦

𝑄(𝜉, 𝜂) = 𝜂𝑥𝑥 + 𝜂𝑦𝑦

Reemplazando estos valores en la Ec I-4 se obtiene:

𝛻2𝜙 = 𝜙𝜉𝜉 . (𝐽2. 𝑦𝜂2 + 𝐽2. 𝑥𝜂

2) + 𝜙𝜂𝜂 . (𝐽2. 𝑦𝜉2 + 𝐽2. 𝑥𝜉

2) − 2. 𝜙𝜉𝜂.. 𝐽2. 𝑦𝜂𝑦𝜉 −

2. 𝜙𝜉𝜂. 𝐽2. 𝑥𝜂 . 𝑥𝜉 + 𝜙𝜉 . 𝑃(𝜉, 𝜂) + 𝜙𝜂. 𝑄(𝜉, 𝜂) = 0

Sacando ahora factor común 𝐽2:

𝜙𝜉𝜉 . (𝑦𝜂2+. 𝑥𝜂

2) + 𝜙𝜂𝜂 . (𝑦𝜉2+. 𝑥𝜉

2) −2. 𝜙𝜉𝜂.(𝑦𝜂𝑦𝜉 + 𝑥𝜂 . 𝑥𝜉) = −𝐽−2 (𝜙𝜉 . 𝑃(𝜉, 𝜂) +

𝜙𝜂 . 𝑄(𝜉, 𝜂)) (5)

Si simplificamos la ecuación anterior al introducir los términos: α, β y γ tendremos:

𝛼 = (𝑦𝜂2+. 𝑥𝜂

2)

𝛽=(𝑦𝜂𝑦𝜉 + 𝑥𝜂 . 𝑥𝜉)

𝛾 = (𝑦𝜉2+. 𝑥𝜉

2)

Obtenemos entonces la siguiente ecuación:

𝛼. 𝜙𝜉𝜉 − 2. β. 𝜙𝜉𝜂. + γ. 𝜙𝜂𝜂=−𝐽−2 (𝜙𝜉 . 𝑃(𝜉, 𝜂) + 𝜙𝜂. 𝑄(𝜉, 𝜂))

Si consideramos que las funciones a transformar son las coordenadas x(𝜉, 𝜂) e y(𝜉, 𝜂)

tendremos el siguiente sistema de ecuaciones:

5

𝛼. 𝑥𝜉𝜉 − 2. β. 𝑥𝜉𝜂. + γ. 𝑥𝜂𝜂=−𝐽−2 (𝑥𝜉 . 𝑃(𝜉, 𝜂) + 𝑥𝜂 . 𝑄(𝜉, 𝜂)) (6a)

𝛼. 𝑦𝜉𝜉 − 2. β. 𝑦𝜉𝜂. + γ. 𝑦𝜂𝜂=−𝐽−2 (𝑦𝜉 . 𝑃(𝜉, 𝜂) + 𝑦𝜂 . 𝑄(𝜉, 𝜂)) (6b)

Las ecuaciones I-6 deben ser resueltas de manera numérica en una grilla computacional

de uniforme y de forma rectangular con pasos Δξ y Δη, que a los fines prácticos pueden

ser considerados con un valor unitario.

Para una región física simplemente conexa como la representada por un perfil alar, las

condiciones de borde tipo Dirichlet son especificadas a lo largo de las fronteras a, b, c y d

como se puede visualizar en la Figura 1:

Figura 1

Estos valores de borde son las coordenadas x e y del campo físico y ubicadas en las

fronteras del mismo. Su espaciamiento puede elegirse de forma arbitraria, no obstante en

la práctica resulta dificultoso controlar el espaciamiento de los puntos interiores de la

grilla. Este es gobernado primariamente por el carácter elíptico del sistema representado

por las ecuaciones 6a y 6b.Los valores de la frontera tienen fuerte influencia solo en la

vecindad de la misma.

Teniendo en cuenta la importancia de un buen control sobre la grilla, principalmente en

los puntos interiores de la misma, cuando por ejemplo se tratan problemas de flujos

viscosos de bajo Números de Reynolds donde aparecen regiones con altos gradientes de

velocidad o bien los problemas de cálculo de las ecuaciones de la Capa Limite; resulta

imprescindible contar con una red localmente refinada.

Varios tipos de términos fuente han sido ensayados, obteniéndose algún control sobre el

espaciamiento interior de la grilla. La elección de los mismos depende del problema en

estudio, pero por lo general exigiendo que las Ecs. 6 posean una solución exponencial; a

pesar que los mismos no presenten esa característica. Estos contienen parámetros

arbitrarios que deben ser evaluados en los bordes del dominio computacional, mediante

6

el empleo de formas límites de las mencionadas ecuaciones. Los valores obtenidos son

luego interpolados al interior de la grilla, quedando de esta forma especificados en todos

los puntos de la red.

Los términos fuente elegidos en este trabajo, siguiendo los lineamientos de los autores del

método son los siguientes:

𝑃(𝜉, 𝜂) = 𝜙. (𝜉𝑥2 + 𝜉𝑦

2) (7a)

𝑄(𝜉, 𝜂) = 𝜓. (𝜂𝑥2 + 𝜂𝑦

2) (7b)

Donde los parámetros 𝜙(𝜉, 𝜂) y 𝜓(𝜉, 𝜂) serán ahora determinados. Luego de introducir

estos valores en las Ecs. 6 se obtiene:

𝛼. 𝑥𝜉𝜉 − 2. β. 𝑥𝜉𝜂. + γ. 𝑥𝜂𝜂=−𝐽−2 (𝑥𝜉 . 𝜙. (𝜉𝑥2 + 𝜉𝑦

2) + 𝑥𝜂 . 𝜓. (𝜂𝑥2 + 𝜂𝑦

2))

-𝐽−2(𝜉𝑥2 + 𝜉𝑦

2) = −(𝑥𝜂2 + 𝑦𝜂

2) =α

𝐽−2(𝜂𝑥2 + 𝜂𝑦

2) = −(𝑥𝜉2 + 𝑦𝜉

2) = γ

𝛼. 𝑥𝜉𝜉 + 𝛼. 𝑥𝜉 . 𝜙 − 2. 𝛽. 𝜙𝜉𝜂 + 𝛾. 𝑥𝜂𝜂 + 𝛾. 𝜓. 𝑥𝜂 =0

𝛼(𝑥𝜉𝜉 + 𝑥𝜉 . 𝜙) − 2. β. 𝑥𝜉𝜂. + 𝛾(𝑥𝜂𝜂 + 𝜓. 𝑥𝜂)=0 (8a)

𝛼(𝑦𝜉𝜉 + 𝑦𝜉 . 𝜙) − 2. β. 𝑦𝜉𝜂. + 𝛾(𝑦𝜂𝜂 + 𝜓. 𝑦𝜂) =0 (8b)

Puede verificarse que las Ecs.8 poseen solución del tipo exponencial si los parámetros φ y

ψ son localmente constantes. Asignando ahora un sistema de valores x e y en las fronteras

del dominio computacional, es posible determinar estos parámetros; mediante la

imposición de que estos satisfagan formas límites de las Ecs.8.

De esta manera establecer otro sistema de ecuaciones que expresen estos parámetros en

términos de datos del problema en estudio.

Partiendo de las Ecs.8 e imponiendo dos restricciones a priori sobre las fronteras. Un

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ejemplo seria que las curvas constituidas por las coordenadas del plano físico sean

localmente rectas y ortogonales entre sí.

Para obtener una ecuación que exprese a la función φ a lo largo de la frontera horizontal

𝜂 = 𝜂𝑏, debe eliminarse la función ψ de las dos ecuaciones 8, lo que nos conduce al

siguiente desarrollo:

𝛾𝑥𝜂𝜓 = −𝛼(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) + 2. 𝛽. 𝑥𝜉𝜂 − 𝛾. 𝑥𝜂𝜂

𝜓 =−𝛼

𝛾𝑥𝜂(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑥𝜂𝑥𝜉𝜂 −

𝑥𝜂𝜂

𝑥𝜂 (9a)

Hacemos lo mismo para la ecuación en y:

𝛾𝑦𝜂𝜓 = −𝛼(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) + 2. 𝛽. 𝑦𝜉𝜂 − 𝛾. 𝑦𝜂𝜂

𝜓 =−𝛼

𝛾𝑦𝜂(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑦𝜂𝑦𝜉𝜂 −

𝑦𝜂𝜂

𝑦𝜂 (9b)

Igualamos ahora las dos ecuaciones 9a y 9b de ψ para ambas coordenadas x e y:

−𝛼

𝛾𝑥𝜂(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑥𝜂𝑥𝜂 −

𝑥𝜂𝜂

𝑥𝜂=

−𝛼

𝛾𝑦𝜂(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑦𝜂𝑦𝜂 −

𝑦𝜂𝜂

𝑦𝜂

Multiplicamos por 𝑥𝑛 el primer miembro de la ecuación anterior y por 𝑦𝑛 el segundo:

−𝛼.𝑦𝜂

𝛾(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑥𝜉𝜂 . 𝑦𝜂 − 𝑥𝜂𝜂 . 𝑦𝜂 =

−𝛼.𝑥𝜂

𝛾(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) +

2.𝛽.

𝛾𝑦𝜉𝜂𝑥𝜂 . −𝑦𝜂𝜂 . 𝑥𝜂

−𝛼.𝑦𝜂

𝛾(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) +

𝛼.𝑥𝜂

𝛾(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) =

2.𝛽.

𝛾𝑦𝜉𝜂𝑥𝜂 . −𝑦𝜂𝜂 . 𝑥𝜂 −

2.𝛽.

𝛾𝑥𝜉𝜂 . 𝑦𝜂 + 𝑥𝜂𝜂 . 𝑦𝜂

Como:

𝑥𝜉𝜂 . 𝑦𝜂 − 𝑦𝜉𝜂𝑥𝜂 = 𝑦𝜂2 (

𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜉

𝑥𝜂𝜂 . 𝑦𝜂 − 𝑦𝜂𝜂 . 𝑥𝜂 = 𝑦𝜂2. (

𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜂

Reemplazando en la ecuación anterior por estas nuevas expresiones agrupando términos

en el segundo miembro:

8

𝛼. 𝑦𝜂

𝛾(𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) −

𝛼. 𝑥𝜂

𝛾(𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉) =

2. 𝛽

𝛾𝑦𝜂

2 (𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜉

+ 𝑦𝜂2. (

𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜂

𝛼. [𝑦𝜂 . (𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) − 𝑥𝜂 . (𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉)] = 𝑦𝜂2. [2. 𝛽. (

𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜉

+ 𝛾. (𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜂

] (10)

La relación (𝑥𝜂

𝑦𝜂) es la pendiente de la familia de curvas

𝑑𝑥

𝑑𝑦 , construidas en base a las

coordenadas x e y que son transversales a la frontera 𝜂 = 𝜂𝑏.Entonces podemos ponerle

la restricción de que esas curvas transversales 𝜉 = 𝑐𝑡𝑒 sean localmente rectas, o sea de

curvatura nula. Esto estaría representado por la siguiente ecuación:

(𝑥𝜂

𝑦𝜂)

𝜂

=0 en 𝜂 = 𝜂𝑏 (11)

Podemos además imponer una mayor restricción: que las mencionadas curvas sean

ortogonales en la frontera 𝜂 = 𝜂𝑏 y por lo tanto el ángulo 𝜃 = 90⁰

Figura 2

9

Esta condición de ortogonalidad puede ser expresada de la siguiente manera: sea

r= (𝑥, 𝑦) un radio vector. Entonces el vector que es localmente tangente a la curva 𝜂 = 𝜂𝑏

será:

𝑟𝜉 = (𝑥𝜉 , 𝑦𝜉) (12)

Similarmente el vector tangente a la curva 𝜉 = 𝑐𝑡𝑒 se representa por:

𝑟𝜂 = (𝑥𝜂 , 𝑦𝜂) (13)

Las dos familias de curvas son entonces ortogonales si y solo si:

𝑟𝜉 . 𝑟𝜂=0

O sea:

𝑥𝜉 . 𝑥𝜂 + 𝑦𝜉 . 𝑦𝜂 = 0 (14)

Es decir que:

𝑥𝜉

𝑦𝜉= −

𝑦𝜂

𝑥𝜂 (15)

De esta manera cuando la Ec.10 es evaluada en la frontera 𝜂 = 𝜂𝑏 el término entre

corchete de la misma o sea el segundo miembro se anula:

𝛼. [𝑦𝜂 . (𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) − 𝑥𝜂 . (𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉)] =0

𝑦𝜂 . (𝑥𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑥𝜉) − 𝑥𝜂 . (𝑦𝜉𝜉 + 𝜙. 𝑦𝜉)

(−𝑥𝜂 . 𝑦𝜉 + 𝑦𝜂 . 𝑥𝜉). 𝜙 = 𝑥𝜂 . 𝑦𝜉𝜉 − 𝑦𝜂 . 𝑥𝜉𝜉

Si ahora sacamos factor común 𝑥𝜂 en ambos miembros:

(−𝑦𝜉 +𝑦𝜂

𝑥𝜂. 𝑥𝜉) . 𝑥𝜂𝜙 = 𝑥𝜂 . (𝑦𝜉𝜉 − 𝑥𝜉𝜉 .

𝑦𝜂

𝑥𝜂)

Teniendo en cuenta la Ec.15:

(−𝑦𝜉 −𝑥𝜉

2

𝑦𝜉) . 𝑥𝜂 . 𝜙 = 𝑥𝜂 . (𝑦𝜉𝜉 + 𝑥𝜉𝜉 .

𝑥𝜉

𝑦𝜉)

−(𝑥𝜉2 + 𝑦𝜉

2).𝜙

𝑦𝜉= (𝑦𝜉𝜉 . 𝑦𝜉 + 𝑥𝜉𝜉 . 𝑥𝜉).

1

𝑦𝜉

10

−(𝑥𝜉2 + 𝑦𝜉

2). 𝜙 = (𝑦𝜉𝜉 . 𝑦𝜉 + 𝑥𝜉𝜉 . 𝑥𝜉)

𝜙 = −(𝑦𝜉𝜉.𝑦𝜉+𝑥𝜉𝜉.𝑥𝜉)

(𝑥𝜉2+𝑦𝜉

2) (16)

Esta última expresión puede emplearse para la obtención del otro parámetro fuente ψ a

lo largo de las fronteras 𝜉 = 𝑐𝑡𝑒 por la sustitución de las variables φ, ξ por ψ, η

Esta última ecuación es totalmente valida como lo demuestra el desarrollo matemático

realizado y puede ser empleada para calcular el valor numérico del parámetro fuente φ en

cada punto de la grilla que representan las fronteras o límites del cuerpo analizado, en

este caso un perfil alar NACA0015.Como puede observarse esta en función de los puntos

o coordenadas x, y del campo físico los cuales son conocidos de antemano. Es necesario

por lo tanto reemplazar operadores diferenciales por medio de Diferencias Finitas del tipo

central (4):

𝑥𝜉(𝑖, 𝑗) =𝑥(𝑖+1,𝑗)−𝑥(𝑖−1,𝑗))

2. 𝛥𝑥 (17a)

𝑥𝜉𝜉(𝑖, 𝑗) =𝑥(𝑖+1,𝑗)−2.𝑥(𝑖,𝑗)+𝑥(𝑖−1,𝑗)

𝛥𝑥2 (17b)

De esta manera con los parámetros o términos fuente φ, ψ definidos en cada punto de las

fronteras de la grilla computacional, es posible mediante una interpolación lineal calcular

los mismos en todos los puntos interiores de la misma:

𝜙(𝑖, 𝑗) = 𝜙(𝑖, 0) + (𝜙(𝑖, 𝑚) − 𝜙(𝑖, 0)).𝑗−1

𝑚−1 (17c)

En las expresiones anteriores Δx es el espaciamiento entre cada uno de los puntos de la

grilla y que depende de la cantidad de puntos elegidos en las fronteras de la misma.

Siendo m la cantidad máxima de puntos.

Con la obtención de los valores de los términos fuente en cada punto de la grilla

computacional, el siguiente paso consiste en la resolución del sistema de ecuaciones

diferenciales a derivadas parciales (Ecs. 8ª y 8b) mediante el Método de las Diferencias

Finitas. Por medio de este método se puede decir que se transforma el sistema de

ecuaciones diferenciales en otro sistema de ecuaciones algebraicas. La resolución del

sistema de ecuaciones algebraicas puede ser realizarse por varios métodos: SOR (Método

de Sobrerelajaciones Sucesivas), SLOR (Método de las Sobrerelajaciones Sucesivas por

Línea) o bien por el Método ADI (Método de la Dirección Alternante).En este trabajo y el

tamaño del sistema algebraico se decidió emplear el primer método (SOR).No obstante al

11

incrementarse el tamaño de la matriz lineal es posible emplear otros métodos

computacionalmente más eficientes como los mencionados anteriormente.

Para constituir el sistema algebraico mencionado se reemplazan las derivadas parciales

por diferencias finitas del tipo central y de segundo orden de exactitud:

𝛼(𝑖, 𝑗) = 𝑥𝜂2 + 𝑦𝜂

2 =[𝑥(𝑖,𝑗+1)−𝑥(𝑖,𝑗−1)]

2

2

+[𝑦(𝑖,𝑗+1)−𝑥(𝑖,𝑗−1)]2

2

𝛼(𝑖, 𝑗) = 𝑥(𝑖, 𝑗 + 1)2 − 2. 𝑥(𝑖, 𝑗 + 1). 𝑥(𝑖, 𝑗 − 1) + 𝑥(𝑖, 𝑗 − 1)2 +

𝑦(𝑖, 𝑗 + 1)2 − 2. 𝑦(𝑖, 𝑗 + 1). 𝑦(𝑖, 𝑗 − 1) + 𝑦(𝑖, 𝑗 − 1)2

𝛽(𝑖, 𝑗)=(𝑥𝜂 . 𝑥𝜉+𝑦𝜂𝑦𝜉) = {[[𝑥(𝑖+1,𝑗)−𝑥(𝑖−1,𝑗)

2] . [

𝑥(𝑖,𝑗+1)−𝑥(𝑖,𝑗−1)

2]] +

[[𝑦(𝑖+1,𝑗−𝑦(𝑖−1,𝑗)).

2] [

𝑦(𝑖,𝑗+1)−𝑦(𝑖,𝑗−1)

2]]}

𝛾(𝑖, 𝑗) = (𝑥𝜉2 + 𝑦𝜉

2) = [𝑥(𝑖 + 1, 𝑗 − 𝑥(𝑖 − 1, 𝑗))

2]

2

+ [𝑦(𝑖 + 1, 𝑗) − 𝑦(𝑖 − 1, 𝑗)

2]

2

𝛾(𝑖, 𝑗) = 𝑥(𝑖 + 1, 𝑗)2 − 2. 𝑥(𝑖+, 𝑗). 𝑥(𝑖 − 1, 𝑗)) + 𝑥(𝑖 − 1, 𝑗)2 +

𝑦(𝑖 + 1, 𝑗)2 − 2. 𝑦(𝑖 + 1, 𝑗). 𝑦(𝑖 − 1, 𝑗) + 𝑦(𝑖 − 1, 𝑗)2

Las ecuaciones algebraicas resultantes luego de realizar las sustituciones de las derivadas

parciales por diferencias en las Ecs. 8a y 8b son las siguientes:

12

𝛼(𝑖, 𝑗).{𝑥(𝑖 + 1, 𝑗) − 2. 𝑥(𝑖, 𝑗) + 𝑥(𝑖 − 1, 𝑗) + 𝜙(𝑖, 𝑗).[𝑥(𝑖+1,𝑗)−𝑥(𝑖−1,𝑗)]

2} −

𝛽(𝑖, 𝑗).[𝑥(𝑖+1,𝑗+1)−𝑥(𝑖+1,𝑗−1)−𝑥(𝑖−1,𝑗+1)+𝑥(𝑖−1,𝑗−1)]

2+ 𝛾(𝑖, 𝑗). [𝑥(𝑖, 𝑗 + 1) −

2. 𝑥(𝑖, 𝑗) + 𝑥(𝑖, 𝑗 − 1)] + 𝜓(𝑖, 𝑗).[𝑥(𝑖,𝑗+1)−𝑥(𝑖,𝑗−1)]

2=0

𝛼(𝑖, 𝑗).{𝑦(𝑖 + 1, 𝑗) − 2. 𝑦(𝑖, 𝑗) + 𝑦(𝑖 − 1, 𝑗) + 𝜙(𝑖, 𝑗).[𝑦(𝑖+1,𝑗)−𝑦(𝑖−1,𝑗)]

2} −

𝛽(𝑖, 𝑗).[𝑦(𝑖+1,𝑗+1)−𝑦(𝑖+1,𝑗−1)−𝑦(𝑖−1,𝑗+1)+𝑦(𝑖−1,𝑗−1)]

2+ 𝛾(𝑖, 𝑗). [𝑦(𝑖, 𝑗 + 1) −

2. 𝑦(𝑖, 𝑗) + 𝑦(𝑖, 𝑗 − 1)] + 𝜓(𝑖, 𝑗).[𝑦(𝑖,𝑗+1)−𝑦(𝑖,𝑗−1)]

2=0

III.-Programas Computacionales y Resultados

Para el desarrollo del método expuesto con cierto nivel de detalles, en los puntos

anteriores se ha empleado el Lenguaje de Programación VS FORTRAN en su Versión 2.2 y

soportado por un Sistema IBM 3090/200 (). El programa, los resultados numéricos (matriz

de datos) y el grafico de la grilla alrededor del perfil NACA0015 se anexan como un

complemento del presente trabajo.

Hay que destacar que el programa de cálculo de transformación de coordenadas puede

fácilmente convertirse en una subrutina de otro principal, que permita su utilización en la

resolución de problemas complejos que se presentan en distintas ramas de las Ciencias y

de la Ingeniería y que empleen métodos numéricos más modernos como lo son el Método

de los Elementos Finitos (FEM) o el de los Volúmenes Finitos (FVM).

En este caso particular se lo ha empleado como punto de partida para un análisis de las

características aerodinámicas de un perfil alar en un flujo viscoso con bajos Números de

Reynolds y que seria empleado para el diseño y construcción de un Generador Eólico de

Eje Vertical, destinado para proveer de energía electrica a estaciones remotas de

radioenlace de la Empresa Nacional de Telecomunicaciones (ENTel); que se encuentran en

zonas de alta montaña en las provincias de la Rioja y Catamarca.

IV.-Conclusiones

En base a la información proporcionada puede concluirse que se trata de un Método de

Transformación de Coordenadas y Generación de Grillas computacionales empleando las

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Ecuaciones de Poisson y que son del tipo elíptico. Los puntos nodales de la grilla siguen o

se adaptan a la frontera de los cuerpos en estudio.

De esta manera las ecuaciones de tipo elíptico proveen un medio eficaz, seguro y

automático de transformación de coordenadas en problemas diversos. Además tiene las

propiedades de regularidad y monoticidad requeridas en problemas que requieren la

transformación de coordenadas. Por lo visto anteriormente el método permite la elección

a priori de del ángulo de intersección de las dos familias de curvas coordenadas. Pero su

principal cualidad es la simplicidad para efectuar el control de la distribución de los puntos

de la grilla en todo el dominio, empleando solamente para tal fin los asignados en las

fronteras (datos iniciales como son las coordenadas del perfil alar, la estela superior e

inferior y el campo lejano).

V.- Referencias

1.-Direct Control of the Grid Point Distribution in Meshes Generated by Elliptical

Equations-P.D. Thomas and J.F. Middlecoff- AIAA Journal Vol. 18 Number 6

Article 79-1462R - July 23/24, 1979-Lockheed Palo Alto Research Laboratory.

2.-Numerical Generation of Two Dimensional Grids by the use of Poisson Equations with

Grid Control at Boundaries-Reese L. Sorenson and Joseph L Steger –NASA Ames

Research Center- Moffet Field California.

3.-Composed Tridimensional Grids Generated by Elliptical Sistems-P.D Thomas –AIAA

Journal Vol. 20 Number 9 –September 1982.

4.-Metodos de Resolución de las Ecuaciones Reticulares-Alexander Samarsky y J.S.

Nicolaev –Tomo II –Edición 1984.

5.-Matematiacas Superiores para Ingeniería -C.R. Wylie –Edición 1977.

6.-VS FORTRAN- Program Guide – Version 2 Publication III – IV Edition – March 1988.

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