ELIMINACION GAUSSIANA En forma general el mtodo de gauss, propone la eliminacin progresiva de variables en

un sistema de ecuaciones, hasta obtener slo una ecuacin con una incgnita. Una vez

resuelta esta, se procede por sustitucin regresiva hacia atrs hasta obtener los valores

de las variables desconocidas.

Por ejemplo sea el siguiente sistema de ecuaciones:

4 2x - x 3x

24 6x 5x 4x

18 6x 4x 2x

321

321

321

Lo que se busca son 3 los nmeros de las incongnitas, xy x ,x 3 21 que satisfagan a las

tres ecuaciones. El mtodo de solucin de Gauss simplifica las ecuaciones, de tal modo

que las soluciones se identifican con facilidad.

Se comienza dividiendo la primera ecuacin entre 2, y se obtiene:

4 2x x 3x

24 6x 5x 4x

9 3x 2x x

321

3 21

321

A continuacin se simplifica el sistema si se multiplic -4 ambos lados de la primera

ecuacin y suma el resultado a la segunda. Entonces:

24 6x 5x 4x

36- 12x -8x - 4x-

321

3 21

Al hacer las operaciones sumadolas resulta;

12- 6x - 3x - 32

La nueva ecuacin se sustituye por cualquiera de las dos. Ahora se tiene:

4 2x - x 3x

12- 6x - 3x - 0x

9 3x 2x x

321

321

321

Luego, la primera ecuacin se multiplica por -3 y se le suma a la tercera, obteniendose:

23- 11x - 5x-0x

12- 6x - 3x-0x

9 3x 2x x

321

321

321

Enseguida, la segunda ecuacin se divide entre -3 y ahora se multiplica por 5 y se le

suma a la tercera ecuacin:

3 x 0x0x

4 2x x0x

9 3x 2x x

32 1

32 1

321

En este momento del procesos numerico ya se tiene el valor de x3, ahora se procede a

hacer la sustitucin hacia atrs, y se van obteniendo los valores de las otras incgnitas,

se obtiene:

3 x 3

2- )2(x - 4 x 32

4 )2(x - )3(x -9 x 231

Observese que al multiplicar dividir los lados de una ecuacin por un nmero

diferente de cero se obtiene una ecuacin nueva y vlida, es decir, no se altera, por otra

parte, si se suma un mltiplo de una ecuacin a otra ecuacin del mismo sistema, el

resultado es otra ecuacin vlida, nuevmente no se altera. Por ltimo, si se intercambian

dos ecuaciones de un sistema, lo que se obtiene es un sistema equivalente. Estas tres

operaciones, cuando se aplican a los renglones de una matriz aumentada, que representa

un sistema de ecuaciones, recibe el nombre de operaciones elementales de rengln.

Operaciones elementales de rengln a) Multiplicar dividir un rengln por un nmero distinto de cero.

b) Sumar el mltiplo de otro rengln a otro rengln.

c) Intercambiar dos renglones

Si cualqluier elemento pivote se hace cero en el proceso de resolucin, la eliminacin

hacia adelante no procede. En el ejemplo anterior ningn pivote o coeficiente

diagonal, iia , se convierte en cero. El pivoteo consiste en intercambiar el orden de las

ecuaciones de modo que el coeficiente del pivote, iia , tenga la magnitud con valor

absoluto mayor, que cualquier otro coeficiente que est por debajo del pivote en la

misma columna y que por lo tanto se va a eliminar. Esto se repite con cada pivote hasta

completar la eliminacin hacia adelante.