ALUMNO

OSCAR IVAN VALENZUELA DIAZ

MAESTRO

HERIBERTO OCAMPO LOPEZ

Sea las fórmulas de punto medio

x=x1+x22

=1+72

=82=4

y=y1+ y22

=

12−32

2=

−222

=−12

Entonces el punto medio es Pm(4 ,−12 )

Sea las fórmulas de punto medio

x=x1+x22

=

52+1

2=

722

=74

y=y1+ y22

=

12−32

2=

−222

=−12

z=z1+z22

=

23−142

=

5122

=524

Entonces el punto medio es Pm( 74 ,−12 , 524 )

Sea A (1,8,3 )=(x1, y1 , z1) Y el Pm ( x , y , z )=(0 , 112 ,−2) y queremos saber el extremo B(x2 , y2 , z2)

Utilizando la fórmula de punto medio y despejando x2 , y2 , z2 queda

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (0 )−1=−1

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2( 112 )−8=11−8=3

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (−2 )−3=−4−3=−7

el extremo B (x2 , y2 , z2 )=(−1,3.−7)

Para obtener y se usa la siguiente relación en los triángulos semejantes P1CP y PBP2 definiendo a P1(x1, y1) y P2(x2 , y2) un segmento de recta definido por dos puntos, además definamos dos puntos más en el plano C (x , y1) y B(x2 , y ) y la razónP(x , y) entonces

P1P

P P2= CPB P2

Sustituyendo P1P

P P2 por r, CPpor y− y1 y BP2 por y2− y queda

r=y− y1y2− y

Donde resolviendo para y se tiene que es el valor de la ordenada del punto de la razón P

y=y1+r y21+r

Por definición de paralelogramo AC y BD son diagonales y además que E es el punto medio o punto de intersección de las diagonales de ACy BD

Para encontrar el punto C se utiliza el segmento diagonal AC se utiliza la fórmula de punto medio, esto implica que sea A (2 ,−3 ,−5 )=(x1 , y1 , z1) y el punto medio E ( x , y , z )=(4 ,−1,7 ) y queremos saber el punto C (x2 , y2 , z2)

y despejando x2 , y2 , z2 queda

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (4 )−2=6

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2 (−1 )−(−3 )=−2+3=1

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (7 )−(−5 )=14+5=19

el punto C (x2 , y2 , z2 )=(6,1,19)

Para encontrar el punto D se utiliza la diagonal BD se utiliza la fórmula de punto medio, esto implica que sea B (−1,3,2 )=(x1 , y1, z1) y el punto medio E ( x , y , z )=(4 ,−1,7 ) y queremos saber el punto D(x2 , y2 , z2)

y despejando x2 , y2 , z2 queda

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (4 )−(−1 )=8+1=9

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2 (−1 )−(3 )=−2−3=−5

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (7 )−(2 )=14−2=12

el punto D (x2 , y2 , z2 )=(9 ,−5,12)

Sea el segmento AB dividido en 5 partes iguales para encontrar los puntos C , D , E ,F

Para encontrar el punto C consideremos los puntos A (x1 , y1 , z1 )=(−1,8,3) yB (x2 , y2 , z2 )=(9 ,−7 ,−2) tal que cada segmento resultante sea un quinto de

largo total, es decir r=15 y queremos saber el punto C (x , y , z)

Utilizando las formulas la razón de dos puntos en tres variables queda

x=x1+r (x2−x1)=−1+ 15

(9+1 )=−1+2=1

y= y1+r ( y2− y1 )=8+ 15

(−7−8 )=8−3=5

z=z1+r ( z2−z1)=3+15

(−2−3 )=3−1=2

el punto C ( x , y , z )=(1,5,2)

Luego para encontrar D consideramos el segmento AD pero C es el punto medio de este segmento C (1,5,2 )=(x , y , z) y el primer punto A (−1,8,3 )=(x1 , y1 , z1) queremos saber el punto D(x2 , y2 , z2) ocupando la fórmula de punto medio y despejándola tenemos

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (1 )+1=3

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2 (5 )−(8 )=2

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (2 )− (3 )=1

el punto D (x2 , y2 , z2 )=(3,2,1)

Luego para encontrar E consideramos el segmento CE pero D es el punto medio de este segmento D (3,2,1 )=(x , y , z ) y el primer punto C (1,5,2 )=(x1 , y1 , z1) queremos saber el punto E(x2 , y2 , z2) ocupando la fórmula de punto medio y despejándola tenemos

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (3 )−1=5

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2 (2 )−(5 )=−1

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (1 )−(2 )=0

el punto E (x2 , y2 , z2 )=(5 ,−1,0)

Luego para encontrar F consideramos el segmento DF pero E es el punto medio de este segmento E (5 ,−1,0 )=(x , y , z ) y el primer punto D (3,2,1 )=(x1 , y1 , z1) queremos saber el punto F (x2 , y2 , z2) ocupando la fórmula de punto medio y despejándola tenemos

x=x1+x22

∴ x2=2 x−x1=2 (5 )−3=7

y=y1+ y22

∴ y2=2 y− y1=2 (−1 )−(2 )=−4

z=z1+z22

∴ z2=2 z−z1=2 (0 )−(1 )=−1

el punto F (x2 , y2 , z2 )=(7 ,−4 ,−1)