Galileo y la torre de Pisa: de una vez por todas

Gabriel Echávez Aldape

División de Estudios de Posgrado Facultad de Ingeniería

Universidad Nacional Autónoma de México

Tal vez el experimento más famoso de la historia es el supuestamente realizado por Gali- leo, sobre la caída de los cuerpos, desde la torre de Pisa en el siglo XVI. La persistencia de este experimento en el recuerdo posiblemente se deba no sólo a su sencillez, sino a la incómoda sensación de que se ha aceptado, o simulado aceptar, un resultado falso y contra el sentido común más elemental, para satisfacer los deseos de algún profesor -aunque con la sensación de que él tampoco estaba del todo convencido- y cubrir las necesidades de lo que se requiere para ser una persona enterada. Podría pensarse que este desconcierto se debe a que el experimento de Galileo ha sido un problema tratado por historiadores, que aunque hábiles en desenterrar parentescos y conflictos familiares de los escombros de la historia, difícilmente saben qué es, no se diga, la masa virtual, sino ni siquiera la palanca de tercer grado; o bien, a que ha sido abordado por teóricos, que preocupados con problemas que se desarrollan a escalas increíblemente grandes o pequeñas, discurren soluciones también difíciles de creer -como la de las supercuerdas, los monopolos o los hoyos negros. Sin embargo, si se considera que tanto unos como otros son, innegablemente, personas preparadas y concienzudas, a las que seguramente les consta (o al menos les pareció razonable) lo que escribieron, surge el interés por revisar una vez más el fenómeno, recurriendo a la mecánica de fluidos, para tratar de explicar en forma más completa lo que sucede. En este artículo se presentan algunos antecedentes encontrados en la literatura, producida tanto por historiadores co- mo por teóricos, que muestran que las cosas, no están claras; se describe lo que sucede cuando cae un cuerpo; se cuantifican las velocidades, desplazamientos y tiempos de caída por medio de un modelo numérico y se añaden los resultados obtenidos tras repetir el experimento, en condiciones razonablemente parecidas a las que se pudieron tener en la época de Galileo, con la esperanza de aclarar la situación de una vez por todas.

Antecedentes

Según Alexandre Koyré (1984), la Única fuente auténtica sobre los experimentos de Pisa es el Racconto istorico della vita di Galilei, escrito por Vin- cenzo Viviani (en Koyré, 1984), 60 años después de efectuados los supuestos ensayos. De ese texto -que Koyré califica de sobrio y breve- histo- riadores posteriores extrajeron un gran número de versiones embellecidas y aumentadas. En él, Vi- viani afirma " ... que las velocidades de móviles de la misma materia, pero de pesos diferentes y que se mueven a través del mismo medio, no siguen

en modo alguno la proporción de su gravedad, tal como dice Aristóteles, sino que se mueven todos Con la misma velocidad".

Esto es comentado por Koyré en una nota de pie de página:

"Así, nadie parece haber comprendido la impor- tancia del hecho de que se trataba de graves de la misma materia. Ahora bien, ese es el punto capital: efectivamente en Pisa, el joven Galileo creía aún -como Benedetti- que los graves de materia y peso específico diferentes caían con una velocidad diferente ¡Y tenía razón!"

A esta misma conclusión llegó Nicolás Cabeo (1984), en un comentario a la Meteorológica de Aristóteles, publicada en Roma en 1646, donde "... reafirmó resueltamente que los graves de pesos diferentes -pero de la misma materia- caían con la misma velocidad y llegaban a la Tierra al mismo tiempo lo que, dice, estableció por numerosos y frecuentes experimentos".

Entre el sinnúmero de relatos comentados al respecto, cabe destacar dos, el del historiador ingles J.J. Fahie (1984), quien escribe:

"Así, una mañana, delante de la universidad reunida -profesores y estudiantes- subió a la torre inclinada llevando consigo una bola de 10 Ib y otra de 1 Ib. Las colocó en el reborde de la torre y las dejó caer juntas. Juntas cayeron y juntas chocaron contra el suelo."

El otro es de un historiador relativamente recien- te, Emile Namer (en Koyre, 1984), quien afirma:

"Todo el mundo aceptó los términos del debate. Gritaban: haced la prueba. Había llegado el momento. Galileo lanzó las dos bolas de hierro. Todos los ojos miraban arriba. Un silencio. Y se vio salir juntas las dos bolas, caer juntas y juntas tocar tierra junto a la torre."

Por otra parte, y tal vez por no ser menos, entran los teóricos. Basta citar a S . Hawking (1988), pro- fesor lucasiano de la Universidad de Cambridge, quien dice: "Si uno soltara dos cuerpos que no presentasen demasiada resistencia al aire, tales como dos pesos diferentes de plomo, caerían con la misma rapidez"; y a Bertrand Russell (1978), quien comenta:

"Para dos esferas de tamaños comparables, la diferencia en los tiempos de llegada para una distancia de 56 m (la altura de la torre de Pisa) es sólo una pequeña fracción de segundo. Tal diferencia de tiempo es difícil de detectar sin la ayuda de algunos instrumentos".

Con las ocho citas anteriores quedan suficien- temente ilustradas las siguientes ideas:

1. Que los graves de la misma materia, pero de pesos diferentes, y que se mueven a través del mismo medio, se mueven todos con la misma velocidad (Viviani, Koyre, Namer y Cabeo).

2. Que dos cuerpos que no presenten demasiada resistencia al aire, como dos pesos diferentes de plomo, caerían con la misma rapidez (Haw- king).

3. Que dos pesos de 1 y 10 Ib llegarían practica- mente al mismo tiempo (Fahie y Russell).

4. Que para dos esferas de tamaños compara- bles, la diferencia en los tiempos de llegada para una distancia de 56 m es difícil de detectar sin la ayuda de instrumentos (Chow).

"Una mañana subió Galileo a lo alto de la torre inclinada de Pisa con dos pesos de una y diez Ii- bras, respectivamente, y en el momento en que los profesores se dirigían con grave dignidad a sus cátedras, en presencia de los discípulos, llamó su atención y dejó caer los dos pesos a sus pies desde lo alto de la torre. Ambos pesos llegaron prácticamente al mismo tiempo".

Y para terminar con los ejemplos de los parti- darios de la igualdad en la caída, mencionaré a Chuen-Yen Chow (1979), ingeniero aeroespacial de la Universidad de Colorado, quien en su libro de texto, de donde tomé el modelo numérico que utilizaré más tarde, afirma:

En aparente discrepancia con estos plantea- mientos, otros autores encontraron que las esfe- ras no caen en forma parecida. Así, Vincenzo Renieri (en Koyré, 1984), profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa, en 1641, dejando caer desde el campanario de la famosa torre inclinada “... dos graves de materias diferentes, que caían desde una misma altura; uno de madera y el otro de plomo, pero de tamaño parecido ..." encontró que "...hubo entre la bola de plomo y la de madera casi tres varas de diferencia. Se hizo también el expe- rimento con dos bolas de plomo, una del tamaño de las bolas ordinarias de artillería, la otra del de una bala de mosquete, y se vio que cuando la más gorda y la más pequeña caen desde la altura de este mismo campanario, la mayor precede a la pequeña con mucho".

En forma semejante, el jesuita Gianbattista Ric- cioli (en Koyré, 1984), entre 1640 y 1650, realizó cuatro series de experimentos desde la torre de los Asinelli, en Bolonia, que también estaba incli- nada y que era aún más alta que la de Pisa, allí

una esfera hueca de pared delgada, es propor- cionalmente considerable; también lo sería para materiales muy livianos, que salen del rango de la supuesta experimentación de Galileo.

Una vez que se alcanza esta igualdad, lo que ocurre a distancias y tiempos diferentes dependiendo deltamaño y peso de la esfera, se llega a una veloci- dad constante, o velocidad de caída, que también sera diferente para cada esfera, de acuerdo con su tamaño y peso, la cual se mantendrá hasta llegar al piso (en la descripción anterior se ignoraron los efectos secundarios, como los cambios en la densidad y viscosidad del aire, así como la etapa de movimiento laminar al principio de la caída).

Mientras el peso neto es mayor que la fuerza ascendente de arrastre, la velocidad irá en au- mento y la aceleración será igual a la resultante de las fuerzas dividida entre la masa, no sólo de la esfera, sino la de ella más lo que se conoce como masa virtual o añadida. Esto se debe a que el fluido alrededor de la esfera también está siendo acelerado, y que para una esfera es igual a la mitad de la masa del aire desalojado por ella, cantidad casi siempre pequeña.

Modelo numérico

La ecuación de movimiento para una esfera en caída libre, está dada por:

" ... puso en práctica el experimento, rodeán- dose de todas las precauciones requeridas. Y se descubrió que dos globos de arcilla, de la misma dimensión, de los cuales uno, hueco, sólo pesaba 10 oz, mientras que el otro, lleno, pesaba 20 oz, que salían en el mismo momento de lo alto de la torre, llegaban al suelo en mo- mentos diferentes. Y que en particular, el más ligero se quedaba 15 pies atrás".

De estos dos autores se podría resumir una quinta idea:

5. Dos esferas del mismo diámetro pero de ma- teriales y pesos diferentes, y por lo tanto, de pesos distintos, así como dos bolas de plomo de diámetros muy diferentes, caerán en forma notoriamente diferente (Renieri, Riccioli). Véa- se lo que sucede ...

Descripción de/ fenómeno

Al dejar caer una esfera (para simplificar conviene limitarse a esferas que no giren), ésta aumenta de velocidad hasta que la fuerza ascendente de arrastre, que aproximadamente es proporcional al cuadrado de la velocidad, se iguala con el peso neto de la esfera, o sea, el peso de la esfera menos el peso del aire que ocupa, ya que está sumergida en él. Este empuje de flotación del aire es muy pequeño para esferas sólidas, pero para

y el segundo miembro de la ecuación es el pro- ducto de la masa más la masa añadida, por la aceleración de la esfera.

A su vez, la fuerza de arrastre es igual a.

La ecuación anterior se puede resolver con mé- todos numéricos, utilizando cuatro ecuaciones pa- ra representar la variación del coeficiente de arras- tre en todo el rango de números de Reynolds -que es precisamente lo que imposibilita la solución analítica-, (véase ilustración 1). Y los resultados para diferentes tamaños y pesos de esfera se pue- den graficar de acuerdo con el tiempo transcurrido desde que se soltó la esfera, contra la distancia recorrida por ella, o contra la velocidad a la que cae.

Así, en la ilustración 2 se muestra la velocidad de caída en el tiempo para esferas de 7 cm de diámetro de distintos materiales (plomo, acero, vidrio, arcilla, madera y papel) a través del aire, así como su velocidad de caída en el vacío. Como se puede ver en la gráfica, los materiales ligeros en poco tiempo alcanzan una velocidad constante, o sea, la curva se hace horizontal. Por ejemplo, a los cuatro segundos de haberse soltado, la esfera de papel alcanza su velocidad de caída, igual a 20 m/s. En cambio, las de acero y plomo, a los ocho segundos de estar cayendo y con velocidades ma- yores de 65 m/s, todavía continúan acelerándose.

En forma semejante, cualquiera de las esferas que se hubieran dejado caer en el vacío segui- rían acelerándose ininterrumpidamente y en for- ma constante, al no existir fuerza de arrastre que equilibre el peso de la esfera, lo que queda repre-

sentado en la gráfica como una recta límite a la izquierda de todas las otras curvas.

En esa misma ilustración se indica el rango experimental de Galileo, dado por la altura de la torre de Pisa, de aproximadamente 55 m, según la Enciclopedia Británica (1980), el Diccionario Cole- gial de la Random House (1 984) y Chuen-Yen Chow (1 979). Un resultado más descriptivo utilizando los datos de estas tres referencias, sería: altura 55.02 m, con una desviación estándar de 0.85 m. En cuanto a la altura de la que ha caído la esfera, en la ilustración 3 se observa, para las mis- mas esferas, cómo, con el transcurso del tiempo, se van separando las curvas para cada material, atrasándose las menos pesadas. Para mostrar esto en forma cuantitativa, en el cuadro 1 se dan los tiempos de caída para alturas de 55 m, así como las densidades relativas de los materiales considerados.

En este mismo cuadro se puede ver cómo hay una diferencia notoria en los tiempos de llegada de las esferas hechas con materiales pesados plomo y acero-, y los de las ligeras -arcilla, ma- dera y papel. Esto significa que si para el experi- mento se escogen esferas de 7 cm de diámetro, pero una de material pesado y la otra de uno ligero, habrá una diferencia mayor de un décimo de segundo y un atraso de la mas ligera, según la ilustración 3, de más de 3 m, que será detectado claramente sin necesidad de instrumentos.

Para ver la influencia del diámetro, en la ilustra- ción 4 se muestra la altura de calda para esferas de acero de diferentes tamaños. Aunque en el modelo se pueden simular diámetros enormes, inclusive infinito (donde su comportamiento sería

similar, en cuanto a que sería Un valor límite, al de la esfera en el vacío), obviamente hay tamaños imprácticos o, inlcusive, en los que la Tierra sería la que caería contra la esfera, o al menos, las dos se moverían.

Una observación interesante es que, como se ve en esta misma ilustración, las diferencias entre los tiempos de caída desde una altura de 55 m, para esferas de diámetros mayores de 7 cm, es muy Pequeña, ya que esa altura no es suficiente para que ninguna de ellas esté Cerca de alcanzar SU

velocidad terminal, por lo que SU aceleración es to- davía muy parecida. Para ver con más detalle este comportamiento, en la ilustración 5 se graficaron los tiempos de caída, desde una altura de 55 m, para esferas de diferente diámetro Y diferente material. En ella se puede ver cómo para las esferas de acero o plomo, estos tiempos de caída son prácticamente iguales para todas las esferas de más de 2 cm de diámetro, y casi iguales que si cayeran en el vacío. Por lo tanto, para que haya una diferencia notoria en los tiempos de caída de dos esferas pesadas, más que usar tamaños muy dispares, es necesario que cuando menos una

de ellas sea de diámetro pequeño, por ejemplo, menor de 1 cm; pues aun esferas de 3 y 30 cm, con una relación entre sus diámetros de 1 a 10, y por lo tanto de pesos 1 a 1000, caerán en forma tan parecida, que las diferencias en la soltada no permitirán decidir cuál llegó primero.

Para materiales ligeros, como globos de arcilla, las diferencias son sensiblemente mayores. Así, en la misma ilustración 5, se puede ver que pa- ra esferas de madera de 2 y 8 cm, hay mas de ocho décimas de segundo de atraso de la menor con respecto a la mayor, lo que a pesar de su velocidad es claramente perceptible y menor que las dispersiones debidas a la soltada. Aquí se debe señalar que existe la tendencia a subestimar nuestra capacidad para observar eventos rápidos. Por ejemplo, en el tenis, se han medido velocida- des de más de 235 km/h (65 m/s) (Ersenberger y Gibb, 1992), y sin embargo, es posible decidir si la pelota pegó o no en la línea.

Una observación evidente de esa misma ilus- tración, es que para detectar diferencias, es me- jor cambiar de materiales que de diámetros. Se puede ver que no habría ningún problema si se hubieran soltado, desde esa altura, esferas del mismo diámetro de plomo y madera, con la Úni- ca limitación de que no fueran muy grandes, por ejemplo, no mayores de 8 centímetros.

Otra forma de constatar lo anterior es grafi- cando esos mismos tiempos de caída contra las diferentes densidades de los materiales, para dis- tintos diámetros, como aparece en la ilustración 6 . Aquí se nota cómo, a menores diámetros y pe- sos, las curvas se separan, lo que indica una ma- yor diferencia en los tiempos de caída y muestra

que para que hubiera diferencias perceptibles con esferas de plomo o acero, sería necesario usar esferas lo mas pequeñas posibles, y no recurrir a rangos donde los tiempos de caída son muy parecidos. Para materiales ligeros, como madera, y diámetros de 0.5 y 7 cm, la diferencia es de 1.5 s, que es imposible no notar.

Si se abunda en este punto, se puede afirmar que el uso de esferas mayores de 2 cm de diame- tro de plomo, pero con relaciones entre sus diá- metros de sólo 1 a 2, sería equivalente a tratar de detectar diferencias en los tiempos de caída de bolas del mismo diámetro pero hechas de acero y plomo (o de maderas de pino y roble), en lugar de recurrir a materiales que ofrezcan mayor contras- te. En forma semejante, como una relación entre

pesos de 1 a 10 sólo representa una relación en- tre los diámetros de 1 a 2.15, se explica porqué puede parecer que caen igual dos esferas de plo- mo de 1 y 10 libras.

Para caídas en aire, el modelo numérico utiliza- do se puede simplificar, pues el efecto de la masa añadida es despreciable. Así, al repetir los cálcu- los sin este termino, se observa que su influencia es del orden de los milésimos de segundo para los materiales livianos y aún menor para las esferas de acero y plomo, como se muestra en el cuadro 2. Otra simplificación consistiría en eliminar el efecto de flotación, que sería del doble que el de la masa añadida, pero que se mantiene porque es fácil de tomar en cuenta.

Experimento

A fin de reforzar los resultados del modelo numéri- co, se repitió el experimento de Galileo utilizando esferas de acero, bronce, plástico y madera, de diferentes diámetros (véanse el cuadro 3 y la ilus- tración 7), dejándolas caer desde una altura de 47 metros.

Se hicieron un total de 20 ensayos consistentes en soltar dos esferas a la vez, desde la azotea de un edificio en construcción de 10 pisos (véase ilustración 8), localizado en Insurgentes y Camino de Santa Teresa, Delegación Tlalpan, en la ciudad de México, y en observar su trayecto, así como su

de la azotea del edificio B de la División de Estu- dios de Posgrado de la Facultad de Ingeniería, de la Universidad Nacional Autónoma de México, que mide 13 m, se procedió de la siguiente manera: las esferas se colocaron en una base horizontal; una engrapadora metálica se puso de cabeza, y, tomándola con las dos manos y los brazos extendidos, se bajó rápidamente. Con esto, las esferas, con una aceleración menor que la del jalón, se despegaban de la base e iniciaban su descenso en forma razonablemente simultánea. Este procedimiento resultó adecuado para esferas chicas; para la bala de 7.3 kg, de peso no fue del todo apropiado, pues fue difícil mantener la base horizontal. Sin embargo, esta manera fue mejor que simplemente soltar las esferas con las manos, dado que la diferencia de peso y tamaño, hacía que se tendiera a soltar antes la más chica.

En cuanto a la observación del trayecto, ésta fue hecha desde el piso por no menos de tres personas, y aunque dada la altura, no se podía ver con detalle el inicio del movimiento, sí era posible detectar la posición relativa de las dos esferas durante su caída. Los observadores de- cidían sobre cual caía más rápido, por medio del sencillo expediente de observar si las esferas se iban acercando entre sí o se iban separando y, finalmente, veían cual llegaba primero al piso.

Resultados

Tras la realización del experimento se encontraron los siguientes resultados:

1. Para el caso de esferas de igual diámetro (al- rededor de 4 cm) pero de diferente material, como acero y madera, y acero y plástico, re- sultó claro, obvio e inobjetable que la esfera de acero cae mas aprisa y llega antes que la de madera o la de plástico.

2. Para esferas de metal de diferente tamaño, con una relación de sus diámetros de 1 a 6: un balín de acero de 1.6 cm de diámetro y peso 16 y una esfera de bronce de 9.6 cm de diámetro y 4 kg, de peso (utilizada en la competencia femenina de bala), se vio en forma clara e in- objetable que la mayor cae mas aprisa.

3. Para esferas de metal de diferente tamaño, pe- ro con una relación entre sus diámetros menor que 1 a 3: un balín de acero de 4.5 cm de diámetro y 357 de peso, y la bala para la competencia femenina (y balines de 1.6 y 4.5 cm), se detectó en forma consistente que la bala cae más aprisa que el balín, y de los

impacto contra el piso (protegido por una cama de maderos de 10 x 10 x 120 centímetros).

En los ensayos se consideraron dos aspectos: la forma de soltar las esferas, para que sin recurrir a dispositivos o tecnologías no disponibles en el siglo XVI, se tuviera una simultaneidad razonable, y lo que había que observar durante el trayecto y la llegada al piso.

Para decidir la forma de soltar las esferas al mismo tiempo, después de repetidos ensayos des-

balines, el mayor cae más rápido que el menor. Sin embargo, la llegada al piso ocurre en forma lo suficientemente parecida como para que no se pueda concluir cuál llegó primero.

Por otra parte, como en los experimentos se observaron las esferas al caer y, además, se te- nían los tiempos de caída dados por el modelo numérico, fue posible clasificar las observaciones (los rombos en la ilustración 5 ) , en tres tipos y asignar a cada uno su respectiva diferencia en los tiempos de caída,

Tipo A, Una esfera cae en forma evidente más do que la otra y pega antes en el piso.

Tipo B. Una cae más rápido que la otra, pero no es posible concluir cuál pega primero en el piso.

Tipo C. No hay diferencia perceptible en la caída de las dos esferas.

diferente material, como acero-madera y acero- plástico, la diferencia en los tiempos de caída fue claramente detectable. Para esferas metálicas con relaciones de diámetro de 1 a 6, y diámetros entre 1 y 10 cm, la diferencia en los tiempos de caída fue menor que en el caso anterior, y sólo se pudo observar que la mayor caía más aprisa que la menor, pero sus llegadas al piso ocurrían de manera tan parecida que no se pudo concluir en forma clara cual llegaba primero. En cambio, para las dos esferas metálicas de relativamente igual tamaño, 1 a 2.15 y 1 a 2.80 (y eso a pesar de que la relación en pesos es de 1 a 11.21 y 1 a 22.31, respectivamente), la altura de caída fue in- suficiente como para que se notaran con claridad diferencias en los tiempos o en las velocidades de caída.

Por lo tanto, se puede afirmar que la esfera más pesada cae más rápido, y que cuando esto no es detectable al observar sólo el impacto de las es- feras contra el piso, se debe a que se han usado materiales de peso parecido, en los ensayos con diámetros iguales, o a que en los ensayos con el mismo material pero de diferente tamaño, se usa- ron esferas pesadas mayores de 1 cm, o con t ~ n a relación insuficiente entre sus diámetros, según se muestra en las ilustraciones 5 y 6.

Comentarios

1. Que los graves de la misma materia, pero de pesos diferentes, y que se mueven a través del mismo medio, se mueven todos con la misma velocidad (Viviani, Koyré, Namer y Cabeo).

Esto no es verdad, pero para detectarlo, utili- zando esferas pesadas, se requieren de diámetros diferentes, por ejemplo, 1 a 5, y que una esfera sea menor de 1 cm. Para materiales livianos las restricciones son menores (véase ilustración 5).

2. Que dos cuerpos que no presenten demasiada resistencia al aire, como dos pesos diferen- tes de plomo, caerían con la misma rapidez (Hawking).

Como Hawking se refiere a cuerpos y no a es- feras (aunque para que un cuerpo no presente demasiada resistencia al aire -como dice él- con- viene que sea aerodinámico), se supondrá que son esferas; además, uno de los materiales que presentaría mayor resistencia al aire sería el plo- mo, pues iría mas rápido que uno mas liviano, así se supondrá que el se refiere a la resistencia

De acuerdo con estos criterios, los ensayos realizados se clasificaron como se muestra en el cuadro 4. De este cuadro se pueden asignar, con- servadoramente, los valores de que separan los tipos de caída, así:

Tipo A. igual o mayor que 0.2 s Tipo B. entre 0.06 y 0.2 s Tipo C. menores que 0.06 s

Aunque estos valores límite de tienen un componente subjetivo, pues dependen tanto de la simultaneidad de la soltada como de la atención y vista de los observadores, se pueden usar con las ilustraciones 5 Ó 6 como un criterio cuantitativo para estimar qué par de esferas cae en forma perceptiblemente diferente y que par no.

Discusión de/ experimento

Los resultados del experimento confirmaron lo pre- dicho por el modelo, pues en el caso de esferas de

relativa, o sea, con respecto a su peso. Con esas dos suposiciones y si los diámetros no tienen una relación mayor que 1 a 5 y son mayores que 1 cm, entonces tiene razón. Para esferas pequeñas o una pequeña y la otra de diámetro sensiblemente diferente, estaría equivocado.

3. Que dos pesos de 1 y 10 Ib llegarían práctica-

que se pueden aclarar o corregir con los resulta- dos del modelo. Sin embargo, para disipar cual- quier duda acerca de lo acertado de las conclusio- nes de Galileo, conviene presentar el experimento -muy de nuestra época-que describe Joseph P. Allen (1972), realizado por el comandante D.R. Scott durante la misión del módulo lunar Falcon, del Apolo l 5 en 1971 quien dice:

mente al mismo tiempo (Fahie, Russell).

Ciertamente, la indeterminación en la soltada de las esferas es del mismo orden que la diferen- cia en el tiempo de llegada; sin embargo, obser- vando con atención la caída, se nota que la mayor cae ligeramente más aprisa que la menor. Es de- cir, que si se acepta que Galileo realizó el ensayo en estas condiciones, las conclusiones a las que llegó efectivamente estarían justificadas por los resultados anotados. Aunque no hay que olvidar que el experimento posiblemente es hipotético, no deja de ser interesante observar que la selección de esferas de 1 y 10 Ib (¿ ... suerte, habilidad?) fue la adecuada para obtener el resultado que el esperaba.

4. Que para dos esferas de tamaños compara- bles, la diferencia en los tiempos de llegada para una distancia de 55 m es difícil de detectar sin la ayuda de instrumentos (Chow).

No es así para materiales de pesos razonable- mente diferentes. Para materiales iguales, es una

"Utilizando el soberbio vacío y la débil grave- dad que se encuentra en la Luna, Scott soltó simultáneamente, desde la altura de su hom- bro, un objeto pesado un martillo metálico- y un objeto ligero -una pluma de la cola de un halcón- mientras estaba enfocado claramente por la cámara de televisión. Se observó co- mo los dos objetos se aceleraron igual y pe- garon en la superficie lunar simultáneamente, resultado que pudo verificarse en la repetición instantánea de la televisión, dentro de la apro- ximación que permite la soltada simultánea de los objetos. Este resultado había sido predicho desde hace mucho tiempo por una teoría bien establecida, sin embargo era muy satisfacto- rio, considerando el número de testigos que presenciaron el experimento, y particularmente tranquilizador, pues de esa misma teoría de- pendía en forma crítica el viaje de regreso a la Tierra".

También conviene hacer referencias directas al protagonista del experimento, tomadas de Dialo- gues Concerning the Two New Sciences Publicado en 1638 (en Hutchins, 1980), donde Galileo presenta sus ideas como una plática entre tres interlocuto- res. Salviati, Sagredo y Simplicio,

afirmación trivial. Y, finalmente, que:

Salviati: " ... el cuerpo, como he dicho, es por naturaleza continuamente acelerado de manera que se encuentra con más y más resistencia en el medio y, por lo tanto, sufre una disminución en su cambio de velocidad hasta que, finalmen- te, la velocidad es tal y la resistencia del medio es tan grande que previenen, balanceándose una a otra, cualquier aceleración y reducen el movimiento del cuerpo a uno uniforme que se mantendrá constante". (p. 162).

Salviati: "El experimento hecho con móviles tan diferentes de peso como sea posible, haciéndo- los caer de cierta altura, para observar si su res- pectiva velocidad es igual, ofrece cierta dificul- tad. Porque si la altura fuera grande, el medio, al que el ímpetu del móvil en descenso debe

5. Dos esferas del mismo diámetro pero de mate- riales, y por lo tanto de pesos, sensiblemente diferentes, así como dos bolas de plomo de diámetros muy distintos, caerán en forma no- toriamente diferente (Renieri, Riccioli).

Lo que es correcto y está de acuerdo tanto con los resultados del experimento como con el mo- delo numérico es la observación de que gracias a que en el caso del plomo se usó una bala de mosquete, seguramente no mayor (o al menos no mucho mayor) que 1 cm, se pudo notar la diferencia.

Con todo esto creo que queda suficientemen- te establecido que en la literatura se encuentran párrafos confusos y aun contradictorios, algunos correctos y otros poco específicos o equivocados,

de la humanidad, es invención, fue de sus segui- dores, o se interpreta en forma desfavorable para él, (véase, por ejemplo, L. Cooper).

Por otro lado, conviene aclarar que no está en duda que los autores citados en este trabajo entiendan o entendieran correctamente el fenóme- no; aquí me he limitado exclusivamente a lo que escribieron.

Conclusiones

En la amplia literatura acerca del supuesto experi- mento de Galileo se encuentran párrafos confusos y aun contradictorios, algunos correctos y otros poco específicos o equivocados, que se pueden aceptar, aclarar o corregir con los resultados de un modelo que permite ver el fenómeno en forma más completa (véanse ilustraciones 3 a 6).

Para caídas desde una altura de 55 m, las esfe- ras de igual diámetro pero de material más pesa- do: plomo, hierro, acero, caen, perceptiblemente y fuera de toda duda, más rápido que las más livianas: (arcilla, madera, papel), por lo que es obvia su ventaja en el tiempo que le toma en llegar al piso.

En el caso de dos esferas pesadas del mis- mo material (plomo, hierro, acero), y de diferente diámetro, si se desea tener diferencias percep- tibles en los tiempos de caída, cuando menos una debe ser chica, pues para esferas pesadas mayores de 2 cm, los tiempos de caída desde esa altura son muy parecidos, por lo que esferas de plomo o hierro, de 1 y 10 lb, caen en forma prácticamente simultánea, lo que confirma la idea de Galileo.

Si no hay resistencia del medio en el que caen (el vacío), y salvo efectos de orden superior que

abrir y desplazar lateralmente, ofrecerá mayor resistencia al pequeño momento del móvil más ligero, que a la violencia del más grave, por lo cual en un gran trecho el ligero quedará atrás ..." (p. 166).

Y esta otra, tomada de Le opere di Galileo Galilei (Barbera, Florencia, 1932), vol. VIII, p. 136, y modificarían el fenómeno en forma, ahora sí, im-

perceptible, los objetos caen con la misma veloci- dad.

Nota

proporcionada al autor por el Dr. Enzo Levi:

Salviati: "Vengo pues a la primera, afirmando sin ninguna duda, no haber esfera tan grande ni de materia tan pesada que no sea frenada en su aceleración Y reducida a movimiento uniforme durante la continuación del movimiento." (p. 136).

Este trabajo se llevó a cabo en la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional Autónoma de México. Se agradece la colaboración del Ing. Daniel Salas Limón y muy especialmente de la Ing. Patricia Isabel Rojas Reina. En Ios ensayos intervinieron los Sres. Joel Carbajal Mejía, Ignacio García Cardeña y el Ing. Alfonso Gutiérrez López. Por Último, se agradece a la Compañía Constructora DANHO, la cual, a través del Ing. Javier Moreno, permitió hacer los ensayos en su obra, así como al Ing. David Pantoja por su apoyo.

Para terminar, quisiera observar que el hecho de Revisado: octubre, 1992 que se haya realizado este famoso experimento es dudoso y que Wohlwill da argumentos que le hacen afirmar: "Los experimentos de Pisa son un mito" (p. 200).

De igual manera, parte de lo que se atribuye a Aristóteles, uno de los mas grandes pensadores

Referencias

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Namer E. Galileo, searcher of the Heavens, Nueva York, 1931, pp. 28-29; en Koyré A., 1984, p. 199.

Renieri V. Carta a Galileo, 13 de marzo de 1641, Opere, vol. XVIII, 1641, p. 305.; en Koyría A., 1984, p. 203.

Riccioli G. B., Almagestum novum, vol. II, Bolonia, 1651, p. 387; en Koyré A., '1984, p. 204.

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