ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

RESOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO HOMOGENEAS Y

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE COEFICIENTES CONSTARNTES

  BORJA JARAMILLO JORGE IVÁNGUALOTUÑA FAJARDO JEFFERSON SANTIAGOGAIBOR MARIÑO MIGUEL ANGELVEGA VARELA ROGER PAÚL

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES NO

HOMOGÉNEAS UTILIZANDOTRANSFORMADAS DE

LAPLACE

EJEMPLO 1:

2 36 9 ty y y t e . :C I (0) 2y (0) 6y ;

:Solución

2 36 9 tL y y y L t e

2 36 9 tL y L y L y L t e

2 36 9 tL y L y L y L t e

23

2( ) 6 ( ) 9 ( )(0) (0) ( )

( 30

)S Y S S SY S Y S

Sy y y

23

( )2

2 6 6 12 9(3)

) ( )(

Y S YY S SS

SS S

23

2( ) 6 9 2 6

( 3)Y S S S S

S

23

2( ) 6 9 2 6

( 3)Y S S S S

S

2

3

2( ) 3 2 3

( 3)Y S S S

S

2

3

2( ) 3 2 3

( 3)Y S S S

S

5

2 2( )

( 3) 3Y S

S S

5

2 2( )

( 3) 3Y S

S S

1 15

2 2( )

( 3) 3y t L L

S S

1 15

1 1( ) 2 2

( 3) 3y t L L

S S

1 15

1 1( ) 2 2

( 3) 3y t L L

S S

1 15

2 4! 1( ) 2

4! ( 3) 3y t L L

S S

4 3 31( ) 2

12t ty t t e e

Ejemplo 2:,, ,4 6 1 ty y y e (0) 0y , (0) 0y

2

2

2 2

2

1 1( ) 4 ( ) 6 ( )

11 1

( ) 4 61

1 1( )

4 6 1 4 6

2 1( )

1 4 6

S Y s SY s Y sS S

Y s S SS S

Y sS S S S S S

SY s

S S S S

; ;

2

1 51 1 2 3

( )6 3 1 2 2

SY s

S S S

2 2

1 221 1 2 3( )6 3 1 2 2 2 2

SY s

S S S S

2 21 1 1 2( ) cos( 2 ) ( 2 )

6 3 2 2 3 2t t ty t e t e sen t e

RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES MEDIANTE LA

TRANSFORMADA DE LA PLACE

Para resolver un sistema de ecuaciones diferenciales aplicando la transformada de la place debemos seguir los siguientes pasos:• Convertir las ecuaciones al espacio s.• Despejar las incógnitas del sistema de

ecuaciones.• Encontrar la transformada inversa.

EJEMPLO:

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones utilizando la transformada de la place.

𝑦 ´=𝑥+2cos (𝑡)𝑥 ´=𝑦+𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Con las condiciones iniciales:

𝑥 (0 )=2𝑦 (0 )=0

𝑥 ´=𝑦+𝑠𝑒𝑛(𝑡)

ℒ {𝑥 ´ }=ℒ {𝑦 }+ℒ {𝑠𝑒𝑛(𝑡)} ℒ {𝑦 ´ }=ℒ {𝑥 }+2ℒ{𝑐𝑜𝑠(𝑡)}

𝑦 ´=𝑥+2cos (𝑡)

𝑠 𝑥(𝑠 )− 𝑥(0 )=𝑦 (𝑠 )+1

𝑠2+1

𝑠 𝑥(𝑠 )−2=𝑦 (𝑠 )+1

𝑠2+1

𝑠 𝑥(𝑠 )− 𝑦 (𝑠 )=1

𝑠2+1+2

𝑠 𝑦 (𝑠 )−𝑦 (0 )=𝑥 (𝑠 )+2𝑠

𝑠2+1

𝑠 𝑦 (𝑠 )=𝑥 (𝑠 )+2𝑠

𝑠2+1

𝑠 𝑦 (𝑠 )−𝑥(𝑠 )=2 𝑠𝑠2+1

Ecuaciones diferenciales expresadas en el espacio s

𝑠 𝑥(𝑠 )− 𝑦 (𝑠 )=1

𝑠2+1+2

𝑠 𝑦 (𝑠 )−𝑥(𝑠 )=2 𝑠𝑠2+1

𝑠 𝑥(𝑠 )− 𝑦 (𝑠 )=1

𝑠2+1+2

−𝑥 (𝑠 )+𝑠 𝑦 (𝑠 )=2𝑠𝑠2+1

𝑠 𝑥(𝑠 )− 𝑦 (𝑠 )=1

𝑠2+1+2

−𝑠 𝑥 (𝑠 )+𝑠2𝑦 (𝑠 )=

2𝑠2

𝑠2+1

(𝑠¿¿2−1)𝑦 (𝑠 )=2𝑠2

𝑠2+1+ 1𝑠2+1

+2¿

(𝑠¿¿2−1)𝑦 (𝑠 )=2𝑠2

𝑠2+1+ 1𝑠2+1

+2¿

𝑦 (𝑠)=( 2 𝑠2+1𝑠2+1+2)∗( 1

𝑠2−1 )𝑦 (𝑠)=¿

𝑦 (𝑡 )=ℒ−1 ¿

𝑦 (𝑡 )=ℒ−1 ¿

𝑦 (𝑡 )=ℒ−1( 7 /4𝑠−1

+−7 /4𝑠+1

+1/2𝑠2+1 )

𝑦 (𝑡 )=74ℒ− 1

( 1𝑠−1 )− 74ℒ

−1

( 1𝑠+1 )+ 12ℒ

− 1

( 1𝑠2+1 )

𝑦 (𝑡 )=74ℯ𝑡

−74ℯ− 𝑡

+ 12𝑠𝑒𝑛(𝑡)

La ecuación de y presentada en términos de t

−𝑥 (𝑠 )+𝑠 𝑦 (𝑠 )=2𝑠𝑠2+1

𝑥 (𝑠 )=𝑠 𝑦 (𝑠 )−2 𝑠𝑠2+1

Procedemos a calcular la ecuación de x en términos de t

𝑥 (𝑠 )=𝑠 ¿𝑥 (𝑠 )=

2𝑠3+5 𝑠

(𝑠¿¿2+1)(𝑠¿¿2−1)= 2𝑠3+5 𝑠(𝑠¿¿2+1)(𝑠−1)(𝑠+1)¿

¿ ¿

𝑥 (𝑡 )=ℒ−1 ¿

𝑥 (𝑡 )=ℒ−1( 7 /4𝑠−1+7 /4𝑠+1

+(− 32 )𝑠𝑠2+1 )

𝑥 (𝑡 )=ℒ−1( 7 /4𝑠−1+7 /4𝑠+1

+−3 𝑠 /2𝑠2+1 )

𝑥 (𝑡 )=74ℒ−1

( 1𝑠−1 ) +7

4ℒ−1

( 1𝑠+1 )− 32 ℒ

− 1

( 𝑠𝑠2+1 )

𝑥 (𝑡 )=74ℯ𝑡 +74ℯ− 𝑡

−32𝑐𝑜𝑠 (𝑡)

De esta manera obtenemos las dos funciones que son la solución del sistema de ecuaciones diferenciales:

𝑥 (𝑡 )=74ℯ𝑡 +74ℯ− 𝑡

−32𝑐𝑜𝑠 (𝑡)

𝑦 (𝑡 )=74ℯ𝑡

−74ℯ− 𝑡

+ 12𝑠𝑒𝑛(𝑡)