G#1.ZENAIDA.GAROFALO.GARCIA.MATEMATICASI..docx

7/23/2019 G#1.ZENAIDA.GAROFALO.GARCIA.MATEMATICASI..docx

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Actividad de aprendizaje 1.1.

1. Resuelva los siguientes problemas sobre límites.

a) Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si es que existe.

(a ) lim x →−1

f ( x )(b ) lim x →1

f ( x) (c ) lim x →2

f ( x )

Solución:

(a) Cuando x tiende a -1, tanto desde la derecha, como desde la izquierda, los alores de f(x)

parecen más cercanos a 1. !ntonces"lim

x →−1

f ( x )=1

(#) Cuando x tiende a 1 desde la izquierda parece que f(x) tiende a 1, pero al tender a 1 desde

la derecha entonces la f(x) parece más cercana a $. %e conclu&e entonces que"

lim x→ 1

f ( x) noexiste

(c) Cuando x tiende a $, sea desde la izquierda a desde la derecha, los alores de f(x) se

acercan a '. !ntonces"lim x→ 2

f ( x )=3

b) Use una calculadora para ealuar"

f ( x )= x+3−2

x−1

para alores de x ,*, ,**, ,*** & ,**** & para x 1,1, 1,1, 1,1 & 1,1. +rue#e

quelim x→ 1

f ( x )=1

4 %e acercan los alores calculados a este límite

x ,* ,** ,*** ,**** 1,1

1,1 1,1 1,1

f(x

)-1* -1** -1*** -1**** $1 $1 $1 $1



e ning/n modo, pues más #ien se tiende a un infinito positio o negatio.

'$) !al/e el límite"

x2+4 x+3

x2+3 x+2

¿lim

x →−1

¿

lim x →−1

( x+3 ) ( x+1 )

( x+2 ) ( x+1 )

=lim

x →−1

x+3

x+2

=−1+3

−1+2

=2

1

=2

2. Del capítulo 1, !roblemas 1.2 "p. #$%&#$')( realice los problemas 2%( %'( '2( '.

!ncuentre los límites indicados. %i no existen, especifique o utilice el sím#olo 0 o -0donde sea apropiado.

2%. lim

t →−∞

3 t 3+2 t

2+9 t −1

5 t 2−5

3 t 3

5 t 2=¿

limt →−∞ 3t

5 =

3

5∗ lim

t →−∞

t =3

5(−∞ )=−∞

limt →−∞

¿

%'. f ( x )={ 2− x si x ≤3

1−3 x− x2

si x >3

%'.1.

x →3+¿

f ( x)lim¿

¿

Aquí vemos que x se acerca a 3 por la derecha. Para x >3 se tiene:

x →3+¿(1−3 x − x

2)f ( x )=¿ lim

¿¿

x →3+¿ ¿

lim¿

¿



x →3+¿ (1−3 x− x

2 )=1−3∗3−32=1−9−9=−17

lim¿

¿

%'.2.

x →3−¿

f ( x)lim¿

¿

X se acerca a 3 por la izquierda, entonces:

x →3−¿

f (2− x)=2−3=−1

x →3−¿

f ( x)=lim¿

¿

lim¿¿

%'..lim x→ 3

f ( x )

De acuerdo a los resultados anteriores vemos que:

f ( x )≠ lim x→ 3

−¿f ( x)

¿

x →3+¿¿

lim¿

¿

−17≠−1 , por lo tanto no existe límite.

%'.#.lim

x → ∞

f ( x)

lim x → ∞

f ( x )= lim x→ ∞

(1−3 x− x2 )=lim

x→ ∞

(− x2 )=−∞

%'.%.lim

x →−∞

f ( x)

lim x →−∞

f ( x )= lim x →−∞

(1−3 x− x2 )= lim

x→−∞

(− x2 )=−∞

'2. emuestre quelim

x → ∞

(√ x2+ x− x)=1

2

%ugerencia" racionalice el numerador al multiplicar la expresin √ x2+ x− x



por√ x2+ x+ x

√ x2+ x+ x

lim x → ∞

(√ x2+ x − x)=lim

x → ∞

(√ x2+ x − x) (√ x2+ x+ x)

(√ x2+ x+ x ) =

lim x→ ∞

(√ x2+ x )2

− x2

√ x ( x+1 )+ x

¿lim

x→ ∞

x2+ x− x

2

[ x ( x+1) ]1 /2+ x=

lim x→ ∞

x

x1 /2 ( x+1)1 /2+ x

=lim

x → ∞

x

x1/2 [ ( x+1)1/2+ x

1 /2 ]

¿lim

x → ∞

1

x−1 /2 [ ( x+1 )1

/2+ x

1/2 ]=

lim x→ ∞

1

x−1/2 ( x+1 )

1/2+ x

0=

lim x →∞

1

( x+1 x )

1/2

+1

¿lim

x →∞

1

√1+1

x+1

= 1

√1+ 1

∞+1

= 1

√ 1+0+1=

1

1+1=

1

2

'. 2elacin hu3sped-parásito +ara una relacin particular hu3sped-parásito, sedetermin que cuando la densidad del hu3sped (n/mero de hu3spedes por unidadde área) es x, el n/mero de hu3spedes parasitados en cierto periodo es

y= 900 x

10+45 x

%i la densidad del hu3sped aumentara indefinidamente, a qu3 alor se aproximaría &

lim x → ∞

( 900 x

10+45 x )= lim x → ∞

( 900 x

45 x )= lim x →∞

(20)=20



Actividad de aprendizaje 1.2.

1. Del capítulo 1, !roblemas 1. "p. #*1&#*2)( realice los problemas ( +( 2( .

Utilice la definicin de continuidad para demostrar que la funcin dada es continua en el

punto indicado.

) g x = x− ; x=

Una funcin f es continua en a si & slo si se cumplen las siguientes tres condiciones"

• f(a) existe

• x→ a

• x→ a

En este caso oservamos que:g = − =noex ste

, por lo cual podemos

decir que la !unci"n dada no es continua en el punto #.

11) etermine si la funcin es continua en los puntos dados.

g ( x )= x−3

x2−9

;3,−3

g ( x )= x−3

( x+3 ) ( x−3 )=

1

x+3

4erifico que se cumplan las tres condiciones en cada punto

Si x=3Si x=−3

g (3 )= 1

3+3=

1

6 g (−3)=

1

−3+3=

1

0=∞

lim x→ 3

1

x+3=1

6

lim

x →−3

1

−3+3=1

0=∞,noexiste

lim x →3

1

x+3 =g (3 )

lim x →−3

1

x+3 ≠ g (−3)

!s continua en x ' & discontinua en x -'

,ncuentre todos los puntos de discontinuidad.



2) f ( x )=

x2+6 x +9

x2+2 x−15

f ( x )= x2+6 x+9

( x+5 ) ( x−3 )

( x+5 ) ( x−3 )=0 x=−5 y x=3

$a !unci"n es discontinua en los puntos %& ' 3

) f ( x )={ x

2+1 si x >2

8 x si x <2

Como la funcin no está definida en x = 2, es discontinua en $.

2. Del capítulo 1( !roblemas 1.# "p. #*')( realice los problemas 11 - 2#.

2esuela las desigualdades por medio de la t3cnica estudiada en esta seccin.

11)− x ( x−5 ) ( x+4 )>0

− x ( x−5 ) ( x+4 )=0

− x=0∴ x=0

x−5=0∴ x=5

x+4=0∴ x=−4

(icamos tales raíces en la si)uiente *)ura:

%+ # &

Esto nos indica cuatro intervalos:

(−∞ ,−4 ) , (−4,0 ), (0,5 ) , (5,+∞ )

eaf ( x )=− x ( x−5 ) ( x+4 )

, determinaremos el si)no en un punto de pruea de

cada intervalo:



+¿¿−¿¿−¿¿

f (−5 )=¿

+¿¿−¿¿+¿¿

f (−3 )=¿

−¿¿−¿¿+¿¿

f (3)=¿

−¿¿+¿¿+¿¿

f (6 )=¿

En vista de esto la soluci"n de la desi)ualdad − x ( x−5

) ( x+4

)>0

es:

(−∞ , −4 ] y [0,5 ]

2#)

3 x+2

( x−1 )2 ≤0

Solución:

Sea f ( x)= 3 x+2

( x−1 )2

5gualo numerador & denominador a cero & o#tengo"

3 x+2=0∴ x=−2

3 ( x−1 )2=0∴ x=1

6a funcin es discontinua en 1 & la raíz es -$7'8 por lo tanto de#o considerar los siguientesinteralos"



(−∞ ,−2

3 )(−2

3 ,1) (1,+∞ )

−2

3 1

Sea f ( x)= 3 x+2

( x−1 )2 determinaremos el signo en un punto de prue#a de cada interalo"

+¿=−, así que f ( x )<0en (−∞ ,−2

3 )−¿¿

f (−5 )=¿

+¿=+, así que f ( x )>0 en(−2

3 ,1)

+¿¿

f (0)=¿

+¿=+, así que f ( x )>0 en(1,+∞)+¿¿

f (3

)=¿

6a solucin de la desigualdad

3 x+2

( x−1 )2 ≤0

es" (−∞ ,−2

3 ] &(1,+∞ )

2. ,n los siguientes problemas( determine si eisten discontinuidades -( en caso de

/aberlas( se0ale dónde se presentan.

2.1.

f ( x )= 3 x−5

x4

−27 x

f ( x )= 3 x−5

x ( x3−27 )=

3 x−5

x ( x−3) ( x2+3 x+9 )

5gualo a cero el denominador & determino las discontinuidades, que sí las ha&"

x ( x−3 ) ( x2+3 x+9)=0



x=0

x−3=0∴ x=3

x2+3 x+9=0

x1,2=−3±√ 9−36

2 =

−3±√ −25

2 no hay solución

9sí la f(x) es discontinua en 0 & 3.

2.2. f ( x )=

2 x+3

x2+4 x−21

f ( x )= 2 x+3

( x+7)( x−3)

( x+7 ) ( x−3 )=0

x=−7 y x=3

9sí, la f(x) es discontinua en -: & '.

Actividad de aprendizaje 1..

1. ,ncuentre la derivada de las siguientes unciones( mediante la deinición de derivada.

a) f ( x )=

5

√ x

+rimero racionalizo la funcin"

f ( x )=

5

√ x∗√ x

√ x=

5√ x

x

Solución: 9l aplicar la definicin de la deriada se o#tiene"



f ' ( x )=lim

h →0

f ( x+h )−f ( x )h ¿ lim

h →0

5√ x+h

x+h −

5√ x

x

h

¿

limh →0

5 x √ x+h−5 ( x+h )√ x x ( x+h )

h

Racionalizoel numea!o

¿

limh →0

[5 x √ x+h−5 ( x+h )√ x ]

xh ( x+h ) ∗[5 x √ x+h+5 ( x+h )√ x ]

[5 x √ x+h+5 ( x+h )√ x ]

¿limh→0

(5 x √ x+h )2−(5 ( x+h ) √ x )2

xh ( x+h ) [5 x √ x+h+5 ( x+h )√ x ]

¿limh →0

25 x2 ( x+h )−25 x ( x+h)2

xh ( x+h ) [5 x √ x+h+5 ( x+h )√ x ]

¿ limh →0

25 x ( x+h ) [ x−( x+h) ]5 xh ( x+h ) [ x √ x+h+( x+h )√ x ]

¿limh→0

5h

h [ x √ x+h+ ( x+h )√ x ]=

limh →0

5

x √ x+h+( x+h ) √ x=

limh →0

5

x √ x+ x√ x

f ' ( x)= 5

2 x√ x

b) f ( x )= x

2

x−1

Solución: 9l aplicar la definicin de la deriada se o#tiene"

f ' ( x )=lim

h → 0

f ( x+h )−f ( x )h



¿ limh →0

( x+h )2

x +h−1−

x2

x −1

h

¿limh →0

( x−1 ) ( x+h )2− x2 ( x+h−1 )

( x+h−1 ) ( x−1 )h

¿

limh →0

( x−1 ) ( x+h )2− x2 ( x+h−1 )

h ( x+h−1 ) ( x−1 ) ∗( x−1 ) ( x+h )

2+ x

2 ( x+h−1 )

( x−1 ) ( x+h )2+ x2 ( x+h−1 )

¿

limh →0

[ ( x−1 ) ( x+h)2 ]2−[ x2 ( x+h−1 ) ]2

h ( x+h−1 ) ( x−1 ) [ ( x−1 ) ( x+h )2+ x2 ( x+h−1) ]

¿limh →0

( x−1 )2 ( x+h )4− x4 ( x+h−1 )2

h ( x+h−1 ) ( x−1) [ ( x−1 ) ( x+h )2+ x2 ( x+h−1 ) ]

¿limh →0

h ( x2h

3+4 x3

h2+5 x

4h+2 x

5−8 x2

h2−2 x h

3−12 x3

h−6 x4+4 xh

2+6 x2h+4 x

3+h3 )

h ( x+h−1 ) ( x−1 ) [ ( x−1 ) ( x+h )2+ x2 ( x+h−1 ) ]

¿limh →0

( x2h

3+4 x3

h2+5 x

4h+2 x

5−8 x2

h2−2 x h

3−12 x3

h−6 x4+4 xh

2+6 x2h+4 x

3+h3 )

( x+h−1 ) ( x−1 ) [ ( x−1 ) ( x+h )2+ x2 ( x+h−1 ) ]

¿limh →0

2 x5−6 x

4+4 x3

( x−1 ) ( x−1 ) [ ( x−1 ) x2+ x2 ( x−1 ) ]

= 2 x

3 ( x2−3 x+2)( x−1 )22 x

2 ( x−1 )

¿ 2 x

3 ( x−2 ) ( x−1 )

( x−1 )22 x2 ( x−1 )=

x ( x−2 )

( x−1 )2

f ' ( x)= x

2−2 x

( x−1)2

2. ,ncuentre la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.



f ( x )=√ x−1en x=5

Solución: +rimero determino la pendiente de la recta tangente calculando la deriada &ealuándola en x ;.

f ( x )=√ x−1

f ' ( x )=lim

h →0

√ x+h−1−√ x−1

h ∗√ x+h−1+√ x−1

√ x+h−1+√ x−1

¿limh →0

(√ x+h−1)2−(√ x−1 )2

h (√ x +h−1+√ x−1 ) =

limh →0

x +h−1− x +1

h (√ x+ h−1+√ x−1 )

¿limh →0 h

h (√ x+h−1+√ x−1 )=

limh →0 1

(√ x+h−1+√ x−1 )

¿limh→ 0

1

√ x−1+√ x−1

f ' ( x)= 1

2√ x−1

f ' (5 )=

1

2√ 5−1=

1

2√ 4=±

1

4

Calculo el alor de y para el alor x = 5

f (5 )=√ 5−1=√ 4=2

9sí, la recta tangente a cura en el punto (;, $ ) tiene pendiente ± 14 , por lo tanto la recta

tangente en tal punto puede ser"

y−2=1

4 ( x−5 ) y−2=

−1

4 ( x−5 )

y=1

4 x−

5

4+2 y=

−1

4 x+

5

4+2



y=1

4 x+

3

4 y=

−1

4 x+

13

4

. Del capítulo 11( !roblemas 11.2 "p. %$)( realice los problemas $2( $#.

,n los problemas $2 - $#( dierencie las unciones.

$2) f ( x )= x2 ( x−2 ) ( x +4 )

Solución: +rimero multiplico & despu3s diferencio cada t3rmino"

f ( x )= x

4

+2 x

3

−8 x

2

f ' ( x )=4 x

3+6 x2−16 x

$#)f ( x )=7 x

3+ x

6√ x

f ( x )= 7 x3

6 x1/2 +

x

6 x1 /2

f ( x )=7 x5 /2

6 +

x1 /2

6

f ( x )=7

6 x

5 /2+1

6 x

1/2

f ' ( x )=7

6 ¿5

2 x

3 /2

+1

6 ¿ 1

2 x

−1/2

f ' ( x )=35

12 x

3 /2

+ 1

12 x

−1 /2

#. sando las reglas de producto - cociente( dierencie las unciones de los siguientes

problemas:

a. f ( x )=(3 x

2

+2 )

3

(2 x

2

+3 x+1 )



f ' ( x )=(3 x

2+2 )3 (4 x+3 )+(2 x2+3 x+1)3 (3 x

2+2)2 (6 x )

f ' ( x )=(3 x

2+2 )2 [ (3 x2+2 ) (4 x+3 )+18 x (2 x

2+3 x+1 ) ]

b. f ( t )=

(2t +3 )2−(2 t −3 )2

4 t

f ' (t )=4 t [2 (2t +3 )2−2 (2 t −3)2 ]−[ (2t +3 )2− (2t −3 )2 ] 4

16 t 2

f ' (t )=

4 t [ 4 (2 t +3 )−4 (2 t −3 ) ]− [4 t 2+12t +9−4 t

2+12t −9 ] 416 t

2

f ' (t )=

4 t [8 t +12−8 t +12 ]−[4 t 2+12t +9−4 t

2+12t −9 ] 4

16 t 2

f ' (t )=

t [24 ]−[24 t ]4 t

2 =

0

4 t 2

f ' (t )=0

%. ,ncuentre una ecuación de la recta tangente a la curva en el punto dado.

y= x2+

1

x2 ; (−1,2 )

Actividad de aprendizaje 1.#.

1. 3ngresos de ta4uilla: 5os ingresos totales de ta4uilla en todo el mundo de una película delarga duración son aproimados por la unción

" ( x )= 120 x2

x2+4

donde T(x) se mide en millones de dlares & < x= es el n/mero de meses desde el lanzamiento dela película.

a) Cuál es el ingreso total de taquilla despu3s del primero, el segundo & el tercer mes



" (1 )=120 (1 )2

(1 )2+4=

120

5 =24

" (1 )=120 (2 )2

(2 )2+4=

120∗44+4

=480

8 =60

" (1 )=120 (3 )2

(3 )2+4=120∗9

9+4 =

1080

13 =83,077

!l ingreso total de taquilla despu3s del primer mes es $> millones de dlares, despu3s delsegundo mes será de ? millones de dlares & despu3s del tercer mes llega a @',:: millones dedlares.

b) Cuál será el ingreso #ruto de la película a largo plazo (cuando x es mu& grande)

lim x → ∞ (

120 x2

x2+4 )= lim

x→ ∞ (120 x2

x2 )= lim

x→ ∞

120=120

!l ingreso #ruto a largo plazo tiende hacia 1$ millones de dlares.

2. Del capítulo 1( !roblemas 1.( "p. #*1&#*2)( realice el problema $.

37) 3nventario" AosqueBe la gráfica de"



Una funcin como la anterior podría descri#ir el inentario <&= de una compaía en el instante x8 f es continua en $, en ;, en 1

e acuerdo al gráfico f(x) es continua en $, pero no es continua ni en ; ni en 1

. Del capítulo 1( !roblemas 1.# "p. #*')( realice el problema 2+.

2+) Dise0o de un contenedor. Un fa#ricante de contenedores desea hacer una caBa sin tapa &

para ello corta un cuadrado de ' por ' pulgadas en cada esquina de una hoBa cuadrada de

aluminio & luego do#la hacia arri#a los lados. 6a caBa de#e contener al menos 1*$ pulg'.

!ncuentre las dimensiones de la hoBa de aluminio más pequea que pueda utilizarse.

3 '

# x →3-



$=altua∗fon!o∗ancho

$=3 x2→3 x

2%192

2esuelo la inecuacin"

3 x2 %192

x2% 192

3

x % √ 64

x %8

e acuerdo a esto, la hoBa de aluminio más pequea que puede utilizarse de#e medir"

@ D ' D ' 1> pulgadas al cuadrado (1>E x1>E)

#. Resuelva los siguientes problemas de costo.

a) !l costo total semanal (en dlares) en que incurre iscos 6incoln en el prensado de discoscompactos es"

- Cuál es el costo real en que incurre en el prensado del disco n/mero 11 & $1

& (1001 )=2000+2 (1001 )−0,0001 (1001 )2

& (1001 )=3901,7999

- Cuál es el costo marginal cuando q 1 & $



& ' (q )=2−0,0001∗2q

& ' (q )=2−0,0002q

& ' (1000 )=2−0,0002 (1000 )=1,80

& ' (2000 )=2−0,0002 (2000 )= 1,60

c) Custom Fffice, fa#rica una línea de escritorios eBecutios. %e estima que el costo total defa#ricacin de q unidades de su modelo !Becutio es"

& (q )=100q+200000 !ólaes (o a)o

- etermine la funcin del costo promedio.c

& (q)=100q+200000q

& (q)=100+200000

q

- etermine la funcin del costo marginal promedio.c '

& ' (q )=

−200000

q2

- Gu3 le sucede ac

cuando q es mu& grande 5nterprete sus resultados.

limq → ∞

& ' (q )=lim

q → ∞ (−200000

q2 )=0

!sto significa que cuanto ma&or sea la cantidad producida el costo promedio marginal tiende a cero,

es decir no existe ariacin significatia en costo promedio por unidad adicional producida.

'*) 6unción de costo" +ara la funcin de costo.

& =0,3q2+3,5q+9

a) Gu3 tan rápido cam#ia c con respecto a q cuando q 1

& ' (q )=0,6q+3,5

& ' (10 )=0,6 (10)+3,5=6+3,5= 9,5



(#) etermine la razn de cam#io porcentual de c, con respecto a q cuando q1.

& (10 )=0,3 (10 )2+3,5 (10)+9

¿30+35+9

& (10)=74

& ' (q)& (q)

+100=9,5

74∗100=12,84

%. Del capítulo 11, !roblemas 11.# "p. %1)( realice el problema ''.

'') 6a ecuacin representa una funcin de consumo. !ncuentre la propensin marginal alconsumo & al ahorro para el alor dado de 5.

& =6+3 *

4 −√ *

3 ; * =25

+o(ensión maginal al consumo !&

!* =

3

4−

1

3∗1

2 *

−1

2 =3

4−

1

6√ *

!&

!* (25

)=

3

4 −

1

6√ 25

¿ 3

4−

1

30=0,72

+o(ensión maginal al ahoo=1− +o(ensión maginal al consumo

!S

!*

=1−0,72=0,28

'. Del capítulo 11( !roblemas de repaso "p. %2#)( realice el problema %2.

%2) Un fa#ricante determina que m empleados producirá un total de q unidades por día, dondeq=m(50−m)

. %i la funcin de demanda está dada por (=−0,01q+9

, encuentre el

producto del ingreso marginal cuando m1



!s necesario encontrar!

!m , donde r es el ingreso. +or la regla de la cadena"

!

!m=

!

!q∗!q

!m

!ntonces pasamos a hallar!

!q &!q

!m cuando m 1. 6a funcin de ingreso está dada por"

= (∗q =(−0,01q +9 ) q=−0,01q2+9q

!

!q=−0,02q+9

+ara ealuar esta expresin cuando m 1, ealuamos primero q en la ecuacin inicial"

q=10 (50−10 )=500−100=400

9sí"

!

!q|m=10

=!

!q|q=400

=−0,02 (400)+9=1

9hora calculamos!q

!m

!q

!m=

!

!m [m(50−m)]= !

!m (50m−m

2 )=50−2m

!q

!m|m=10

=50−20=30

!ntonces, por la regla de la cadena,

!

!m|m=10

=1∗30=30

!sto significa que si se emplea a un d3cimo empleado, el ingreso aumentará en H', por día.

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