Carrera 36 No. 5B4-17, San Fernando, Santiago de Cali

Germn Arboleda VlezInstituto de Ingeniera y Gerencia

SPTIMA EDICIN

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni sutratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o porcualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, porregistro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito del titulardel Copyright.

DERECHOS RESERVADOS 2002 por Germn Arboleda Vlez,Carrera 36 No. 5B4-17 San Fernando, Santiago de Cali, Colombia.Telfonos 558 31 50 - 551 96 08.E-mail: iconsulta@andinet.com

gearve@hotmail.comwww.germanarboleda.com

ISBN: 958 - 96485 - 3 - 3

Primera edicin, 1985Segunda edicin, 1986Tercera edicin, 1987Cuarta edicin, 1988Quinta edicin, 1991Sexta edicin, 2001Sptima edicin, 2002

Diseo y diagramacin:AC EditoresCarrera 36 No. 5B4-17 San Fernando, Santiago de Cali, Colombia.Telfonos 558 31 50 - 551 96 08.E-mail: iconsulta@andinet.com

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Diseo de cartula:Lizardo CarvajalE-mail: lizardo@latinmail.com

Impreso por:Cargraphics S.A. - Impresin Digital

Impreso en ColombiaPrinted in Colombia

A los tres aos de Mara Fernanda,en homenaje a su curiosidad y amorpor los libros y el saber.

9Introduccin 13

1 Conceptos generales 15

Valor del dinero en el tiempo 15Concepto de inters 15

Tasa de inters 16Tasa de inters del mercado 16Clases de inters 16

Problemas 18Preguntas 19

2 Inters simple 21

Definicin 21Frmula del valor futuro 21Tiempo exacto y tiempo aproximado 22

Tiempo exacto 23 Tiempo aproximado 23

Inters simple exacto e inters simple ordinario 24 Inters simple exacto 24 Inters simple ordinario 24

Diagrama de flujo 25Ecuacin de equivalencia 27Componentes de una ecuacin de equivalencia 29Problemas 30Preguntas 32

10

3 Descuento simple 35

Definicin de descuento 35Clases de descuento 36

Descuento simple a una tasa de inters (Dr) 36 Descuento simple a una tasa de descuento (Db) 36

Descuento racional 37Descuento bancario 37Problemas 39Preguntas 41

4 Pagos parciales 43

Definicin 43Mtodos o reglas comerciales 43

Regla comercial 43Regla de los Estados Unidos 44

Compras a plazos 46Problemas 46Preguntas 47

5 Tasas escalonadas 49

Definicin 49Problemas 54

6 Inters compuesto 55

Definicin 55Frmula del valor futuro 55Frmula del valor presente 56Ecuacin de equivalencia 65Tiempo equivalente 71Mtodo aproximado para el clculo del tiempo equivalente 72Regla del 70 73Problemas 74Preguntas 76

7 Equivalencia entre las tasas de inters 77

Tasa peridica (i) 77Tasa nominal (r) 77Tasa efectiva (E) 79Tasa continua 82Tasa anticipada (i

a) 86

Tasas mltiples 91

11

Prstamo en moneda extranjera 91 Prstamo en UVRs o en UPACs 93

Problemas 99Preguntas 101

8 Series uniformes 103

Definicin 103Clasificacin de las series uniformes 103Serie uniforme cierta 104Serie uniforme contingente 104Serie uniforme ordinaria o vencida 104Serie uniforme anticipada 104Perpetuidad 104Serie uniforme diferida 104Diagrama de flujo correspondiente a las distintas

series uniformes 105Serie uniforme cierta ordinaria 106

Valor futuro de una serie uniforme cierta ordinaria 106Valor presente de una serie uniforme cierta ordinaria 108

Problemas sobre series uniformes ciertas vencidas 124Preguntas 125Serie uniforme cierta anticipada 126Problemas sobre series uniformes ciertas anticipadas 133Serie uniforme cierta diferida 134Problemas sobre series uniformes diferidas 140Combinacin de los diferentes tipos de series uniformes

ciertas 141Problemas sobre combinacin de los diferentes tipos de

series uniformes ciertas 1489 Perpetuidades 153

Valor presente de una perpetuidad vencida 153Problemas 159

10 Situacin en la cual el perodo de pago deintereses no coincide con el perodo de pago dela serie uniforme 161

El perodo de pago de intereses es menor que el perodode pago de la serie uniforme 161

El perodo de pago de intereses es mayor que el perodode pago de la serie uniforme 164

Problemas 191Preguntas 193

12

11 Serie gradiente aritmtico 195

Valor futuro de la serie gradiente aritmtico 199Valor presente de la serie gradiente aritmtico 202Gradiente aritmtico decreciente 214Gradiente aritmtico perpetuo 216Problemas 217

12 Serie gradiente geomtrico 223

Valor presente de la serie gradiente geomtrico 224Valor futuro de la serie gradiente geomtrico 226Gradiente geomtrico perpetuo 240Problemas 243

13 Calculadora financiera 247

Instalacin del programa 248Cargar el programa 248Men principal 249Tabla para la anotacin de la informacin del diagrama de

flujo del problema financiero 250Equivalencia entre las tasas de inters 260

Tasas mltiples 262Tablas de liquidacin de prstamos - Tablas de amortizacin 263Prstamos en UVR (antes UPAC) 266Evaluacin financiera de proyectos 268Anlisis de sensibilidad 270Problemas 272

Tablas financieras 273

Nmero correspondiente a cada da del ao 273Tasa de inters efectiva anual 274Factores de inters compuesto 275

Nomenclatura 301

ndice analtico 305Bibliografa 311

Frmulas 315

13

Es indiscutible la necesidad que en la actualidad tienen losprofesionales, en las distintas ramas, de adquirir unconocimiento amplio y profundo de los elementos fundamentales dela Ingeniera Financiera. Cualquier proyecto, por pequeo que sea,dentro de su contenido, debe incluir un estudio financiero delmismo, fundamentado en los principios de la Ingeniera Financiera.Lo anterior, y la carencia casi absoluta de material didctico que enforma sencilla proporcione los elementos fundamentales de laIngeniera Financiera, dieron luz a la idea de emprender la tarea deescribir un libro que por s solo fuese capaz de proporcionar allector los conocimientos bsicos de tan importante materia. Elpropsito central es lograr que cualquier persona interesada en eltema, con el simple manejo previo del lgebra elemental, encuentreen este texto una gua suficiente, terica y prctica, que la llevehasta el completo dominio de los distintos aspectos que conformanla estructura bsica de la Ingeniera Financiera, herramientaesencial para acometer el estudio posterior de temas especializadosen materia financiera.El libro solo incluye los temas que constituyen el fundamento de laIngeniera Financiera: concepto del valor del dinero en el tiempo,concepto de inters, inters simple, descuento simple, pagosparciales, tasas escalonadas, inters compuesto, series uniformes y

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series gradiente aritmtico y gradiente geomtrico. Cada uno de losanteriores temas se trata con profundidad y claridad, utilizando almximo la transmisin de los conceptos a travs de ejemplosprcticos. Al final de cada tema hay una serie de problemas ypreguntas, los cuales se sugiere resolver, con el objeto de obtener lahabilidad en el manejo de los conceptos, de las tablas financieras yde las calculadoras electrnicas de bolsillo, el cual siempre ha sidoconsiderado como uno de los fines especficos de todo cursoacadmico de Ingeniera Financiera. En el presente texto seincluyen las tablas financieras y se busca fomentar al mximo elempleo de las calculadoras cientficas electrnicas, instrumentoesencial para el estudiante y profesional de la era moderna;tambin, se suministra el programa de computador 'CalculadoraFinanciera', como herramienta para los clculos numricos de lasolucin de los problemas. Este programa fue elaborado yautorizado por el Ingeniero Carlos Alberto Arboleda Vlez,profesor de la Universidad del Cauca, localizada en Popayn,Colombia.De manera intencional, en este libro se ha excluido el tratamientoen detalle de temas tales como amortizacin de prstamos ycrditos, ndices para medir la bondad financiera y econmica de unproyecto, bonos, acciones, unidad de poder adquisitivo constante(UPAC) o unidad de valor real (UVR), anlisis incremental depropuestas de inversin y otros, con el objeto de que su contenidosea solo el correspondiente a los elementos bsicos de la IngenieraFinanciera. Sinembargo, es conveniente anotar que los temas semencionan en el captulo 13 y es posible manejarlos con elprograma de computador 'Calculadora Financiera'.Es indiscutible que un aprendizaje eficiente del material contenidoen este libro permite al lector el posterior estudio de temasrelacionados con las finanzas y la evaluacin financiera, econmicay social de proyectos, los cuales no son ms que aplicacionesdirectas de los principios fundamentales de la Ingeniera Financiera.

El Autor

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El principio fundamental del sistema econmico capitalista, oregla de oro del sistema, establece que:

El dinero debe producir ms dinero a travs deltiempo.

Es mejor recibir $100 hoy que dentro de un ao; el valor del dinerodepende del punto en el tiempo donde se est ubicado.Cuando se dice que $100 de hoy son iguales a $125 dentro de unao, se est estableciendo una equivalencia financiera. Estaequivalencia es, hasta cierto punto, subjetiva. Los $25 de diferenciaes lo que se conoce como intereses. El concepto de equivalenciaes la base para poder comparar, en trminos monetarios, dos o mspropuestas de inversin.

Es la utilidad o ganancia que genera el capital. Por lo general, sedevenga sobre la base de un tanto por ciento del capital y enrelacin con el nmero de perodos de tiempo en que se dispongadel capital.

1

16

La tasa de inters devengada por una suma P, en un perodo, estdada por la siguiente relacin:

i = Tasa de inters en un perodoEjemplo 1Si se entregan $100 hoy y se reciben $125 dentro de un ao, la tasade inters en un ao es: i = 25/100 = 0,25, tasa de inters expresadaen tanto por uno. La costumbre es expresar la tasa de inters entanto por ciento, para lo cual se multiplica por 100 la tasa de intersen tanto por uno. Para el ejemplo: i = 0,25 x 100 = 25% anual.Si un inversionista no quiere desaparecer del mercado financiero,su tasa individual de inters debe cubrir la tasa de inflacin y unatasa de inters real.Si la inflacin es 12% anual y, hoy, se tienen 1.000 dlares,entonces, con una tasa de inters de 18% anual se tendrn 1.180dlares, dentro de un ao; es decir, se obtendr un inters de 180dlares, de los cuales solo 53,57 dlares constituyen una gananciareal, ya que los 126,43 dlares restantes contrarrestan el efecto dela inflacin, tal como se puede demostrar despus de estudiar Tasasmltiples, pgina 91, donde se establece:

1 + imercado = (1 + iinflacin)(1 + ireal)

En el ejemplo: imercado = 18% anual

iinflacin = 12% anual

La ireal es:

1 + 0,18 = (1 + 0,12)(1 + ireal)

ireal = 5,357% anual

Es un promedio de las tasas de inters individuales. En algunos

i Intereses en el perodoSuma inicial (Valor presente, P)=

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pases de Latinoamrica la tasa de inters del mercado vara entre1% y 2% mensual. Los gobernantes buscan la disminucin de latasa de inters del mercado, con miras a incrementar la inversin.

Existen dos clases de inters: inters simple e inters compuesto.Inters simple. Cuando los intereses no devengan ms intereses;es decir, no son capitalizables.Inters compuesto. Cuando los intereses devengan msintereses; es decir, los intereses son capitalizables, se vanacumulando al final de cada perodo, incrementando el valor delcapital posedo.La diferencia en la forma de operar con inters simple y coninters compuesto se aprecia a travs de la evolucin de unainversin de 100 dlares, a una tasa de inters de 2% mensual,durante 12 meses, considerada primero a inters simple y luego ainters compuesto, as:

Valor equivalente de la inversin

A inters simple A inters compuesto

Hoy 100 100,00

En 1mes 100+100x0,02=102 100,00+100,00x0,02=102,00

En 2 meses 102+100x0,02=104 102,00+102,00x0,02=104,04

En 3 meses 104+100x0,02=106 104,04+104,04x0,02=106,12

En 4 meses 106+100x0,02=108 106,12+106,12x0,02=108,24

En 5 meses 108+100x0,02=110 108,24+108,24x0,02=110,41

En 6 meses 110+100x0,02=112 110,41+110,41x0,02=112,62

En 7 meses 112+100x0,02=114 112,62+112,62x0,02=114,87

En 8 meses 114+100x0,02=116 114,87+114,87x0,02=117,17

En 9 meses 116+100x0,02=118 117,17+117,17x0,02=119,51

En 10 meses 118+100x0,02=120 119,51+119,51x0,02=121,90En 11 meses 120+100x0,02=122 121,90+121,90x0,02=124,34

En 12 meses 122+100x0,02=124 124,34+124,34x0,02=126,83

18

100

102

104

106

108

110

112

114

116

118

120

122

124

126

128

130

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Mes

Val

or eq

uiva

lent

e

La siguiente representacin grfica, de la informacin anterior,muestra el crecimiento a inters simple, que se denominacrecimiento aritmtico, y el crecimiento a inters compuesto, quese denomina crecimiento geomtrico. En la figura se puedeobservar que, para una misma suma de dinero, a partir del primerperodo, el crecimiento geomtrico supera al crecimiento aritmtico.

1. Una empresa tiene la siguiente equivalencia financiera: $150 dehoy son equivalentes a $165,60 dentro de 4 meses. Cul es latasa de inters simple de la empresa? (Respuesta: 10,4% en 4meses, 2,6% mensual).

Inters simple(Crecimiento aritmtico)

Inters compuesto(Crecimiento geomtrico)

V

V

19

2. Una entidad financiera ofrece pagar una tasa de inters simplede 28% anual a una compaa comercializadora, interesada enahorrar $1.000.000, la cual tiene dentro de sus polticasfinancieras que cada peso que invierta debe convertirse en$1,15 en 6 meses. Cul debe ser la respuesta de la compaacomercializadora? (Respuesta: tasa de inters simple de lacompaa comercializadora: 30% anual. Por lo tanto, deberechazar el ofrecimiento de la entidad financiera).

3. Determine la tasa de inters simple incorporada en lassiguientes equivalencias financieras:i. $100 hoy son equivalentes a $103,75 dentro de 45 das.ii. $120 hoy son equivalentes a $170,40 dentro de ao y medio.iii.$ 50 hoy son equivalentes a $ 85 dentro de 25 meses.iv. $1,00 hoy es equivalente a $1,05 dentro de 5 aos.En cada caso, expresar la tasa de inters anual. (Respuesta: i.30,42% anual; ii. 28% anual; iii. 33,6% anual; iv. 1%anual).

1. Dos sumas diferentes de dinero pueden ser equivalentes.Cmo explica usted la anterior aseveracin?

2. Por qu se dice que una empresa invertira en un nuevoproyecto si la rentabilidad de ste, o tasa interna de retorno, esmayor que la tasa de inters que pagan los bancos o lasentidades financieras?

3. Qu tasas de inters ganan los depsitos en las cuentas deahorro de lo bancos en su pas? Elaborar cuadro comparativo.

4. Qu tasas de inters ganan los depsitos en las cuentas deahorros en las Corporaciones Financieras y en las Compaasde Financiamiento Comercial? Elaborar cuadro comparativo.

5. Cul es la tasa de inters que se carga en su pas sobrecompras efectuadas con 'dinero plstico' (tarjetas de crdito)?

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6. Qu tasas de inters, por mora en el pago de obligaciones, secobra en el medio financiero y comercial de su pas?

7. Proporcione la definicin exacta de cada uno de los siguientestrminos:- Equivalencia financiera- Inters- Tasa de inters del mercado- Inflacin- Tasa de inters real- Inters simple- Inters compuesto

8. En ltima instancia, y en la solucin de problemas financieros,qu es lo que permite tener en cuenta el valor del dinero en eltiempo?

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El inters simple se caracteriza porque los intereses devengados enun perodo no devengan ms intereses en el siguiente; es decir, losintereses no son capitalizables.

Hoy se deposita una suma P, a una tasa de inters simple i. Sedesea determinar a cunto es equivalente, o cul ser su valorfuturo, dentro de n perodos.Al final de cada perodo, el valor acumulado es el siguiente:Hoy : P

Dentro de 1 perodo: P + Pi = P(1 + i)Dentro de 2 perodos: P(1 + i) + Pi = P(1 + 2i)Dentro de 3 perodos: P(1 + 2i) + Pi = P(1 + 3i)

. .

. .

. .

Dentro de n perodos: = P(1 + ni)

2

22

En conclusin, el valor futuro F, en el caso de inters simple, es:

F = P(1 + ni)

F = Valor futuroP = Valor presentei = Tasa de inters por perodo, en tanto por uno.n = Nmero de perodosDebe haber correspondencia entre el perodo de la tasa de inters yla unidad de tiempo del perodo. As, si la tasa de inters es anual,la unidad de tiempo de los perodos debe ser el ao; si la tasa esmensual, la unidad de tiempo de los perodos debe ser el mes.Ejemplo 1:Calcular el inters simple sobre $750, al 4% anual, durante medioao. Cul es el valor futuro?Solucin:F = P(1 + ni)F = 750 (1 + 0,5 x 0,04)F = $765Intereses = Valor futuro - Valor presenteIntereses = F - P

Intereses = 765 - 750 = $15 en medio ao

Cuando el nmero de perodos es en das, se pude medir en formaexacta o en forma aproximada. A travs de un ejemplo se mostrarla manera de proceder para la determinacin del tiempo exacto ydel tiempo aproximado.

23

Ejemplo 2:Determinar, en forma exacta, el tiempo transcurrido entre el 28 deenero y el 2 de octubre.Solucin:Para calcular este tiempo en forma exacta se emplea un calendarioo una tabla donde aparecen numerados todos los das del ao,similar a la del Cuadro 1, pgina 273. As:Fecha : 28 enero 23 octubreNmero : 28 296Nmero exacto de das = 296 - 28 =268 das

Se supone que un mes tiene 30 das.Ejemplo 3:Determinar en forma aproximada el tiempo transcurrido entre el 28de enero y el 23 de octubre.Solucin:Para determinar el nmero aproximado de das entre dos fechas seescriben stas como si fuesen nmeros complejos. Luego, al mayornmero se le resta el menor.

Meses Das

Octubre 23 : 10 23Enero 28 : 1 28

8 25Como 28 es mayor que 23, a 23 das se le presta un mes y queda :23 + 30 =53 das. Los 10 meses se convierten en 9. El resultadofinal es:8 meses x 30 (das / mes) + 25 das = 265 das

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Se calcula sobre la base de un ao igual a 365 das (366 das enaos bisiestos).

Se calcula con base en un ao de 360 das. El uso del ao de 360das simplifica los clculos, pero aumenta el inters cobrado por elacreedor.Ejemplo 4:Cul es el valor futuro de $2.000, al 36% anual de inters simple,del 1 de abril al 27 de octubre? Resolver el problema utilizandointers simple exacto y ordinario. Calcular el tiempo exacto yaproximado, en cada caso.Solucin:Tiempo exacto: en el Cuadro 1, de la pgina 273, se tiene:Fecha : 1 abril 27 octubreNmero : 91 300Nmero exacto de das = 300 - 91 = 209 dasTiempo aproximado

Meses Das27 de octubre : 10 271 de abril : 4 1

6 266 meses x 30 (das / mes) + 26 das = 206 das

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Inters simple exactoCon tiempo exactoF = P (1 + ni)F = 2.000 (1 + 209 x 0,36/365) = $2.412,29Intereses = 2.412,29 - 2.000 = $412,29Con tiempo aproximadoF = P (1 + ni)F = 2.000 (1 + 206 x 0,36/365) = $2.406,36Intereses = 2.406,36 - 2.000 = $406,36Inters simple ordinarioCon tiempo exactoF = P (1 + ni)F = 2.000 (1 + 209 x 0,36/360) = $2.418Intereses = 2.418 - 2.000 = $ 418Con tiempo aproximadoF = P (1 + ni)F = 2.000 (1 + 206 x 0,36/360) = $2.412Intereses = 2.412 - 2.000 = $412Como puede observarse, la modalidad que causa mayor inters esla de inters simple ordinario con tiempo exacto, la cual esampliamente utilizada en el sector financiero. A esta modalidad sele denomina Regla de Banqueros.

Para representar en forma grfica las diferentes transaccionesfinancieras, se emplean los diagramas de flujo de efectivo, osimplemente diagramas de flujo, para lo cual se tiene en cuenta queen toda transaccin financiera hay dos partes, una que recibe y otraque entrega, un plazo o nmero de perodos y una tasa de inters.

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Un diagrama de flujo es una recta metrizada, en la cual serepresenta el nmero de perodos, complementado con flechasverticales ubicadas en diferentes puntos en el tiempo, las cualesrepresentan las distintas transacciones o flujos de efectivo.Arbitrariamente, se pude acordar que las flechas hacia arribarepresentan ingresos y hacia abajo egresos. Siempre se debeindicar la tasa de inters pactada en la transaccin financiera.Ejemplo 5:Hoy presta el banco $100.000, a condicin de recibir, dentro de 7meses, la suma de $117.500.El diagrama de flujo de efectivo, correspondiente al prestamista, esel siguiente:

El diagrama de flujo de efectivo, correspondiente al banco, es elsiguiente:

0 1 2 3 4 7

$10 0.000 i = 2,5% m ensua l

(me ses)5 6

$117.50 0

0 1 2 3 4 7

$100.000

i = 2,5% mensual

(meses)5 6

$117.500

Ejemplo 6:Se compra un televisor a plazos, cuyo costo es 380 dlares. Sepagan 130 dlares de cuota inicial y se adquiere un crdito de 250dlares, para pagarlo en diez cuotas mensuales, de 28 dlares, cadauna.

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Solucin:El diagrama de flujo de efectivo para el comprador del televisor esel siguiente :

8721 3 5 6 9 100

250 dlares

(Meses)

Se sugiere al lector elaborar el diagrama de flujo de efectivocorrespondiente al vendedor del televisor.

!

Es una ecuacin algebrica que permite establecer la igualdadfinanciera entre dos conjuntos de obligaciones financieras, teniendosiempre presente el concepto del valor del dinero en el tiempo.Para establecer la ecuacin de equivalencia es necesarioseleccionar o acordar un punto en el tiempo, el cual se denominafecha focal, indispensable para hacer efectiva una de las reglasbsicas de la Ingeniera Financiera que dice:

Solo se pueden relacionar (sumar, restar, igualaro comparar) cantidades que estn en el mismo

punto en el tiempo.

Si se trabaja con inters compuesto, la solucin de la ecuacin deequivalencia es la misma sea cual fuere la fecha focal, lo que noocurre si el inters es simple.

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Ejemplo 7:Una empresa tiene las siguientes obligaciones, expresadas endlares :Hoy: $ 5.000Dentro de 3 meses: $12.000Dentro de 8 meses: $ 8.000Debido a su situacin, la empresa propone cambiar al siguiente plande pagos :Dentro de 6 meses: $10.000Dentro de 10 meses: $ 8.000Dentro de 12 meses: $ XCon una tasa de inters de 2% mensual, hallar el valor de X.Solucin:Primero se debe elaborar el diagrama de flujo.

Luego se define el punto que se adopta como fecha focal, la cualtiene importancia en el caso de inters simple.Al tomar como fecha focal el punto 8, para plantear all la ecuacinde equivalencia, todos los valores se llevan a ese punto, tanto lasobligaciones actuales como las nuevas obligaciones.La ecuacin de equivalencia se debe plantear con ayuda de lasfrmulas de inters simple:F = P (1 + ni) o P = F / (1 + ni)

0 1 2 3 4 5 6 87 9 10 11 12

$5.000 $12 .000 $8.000

$10 .000 X$8.000

(mes es)

i = 2% me nsual

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Para establecer la ecuacin de equivalencia, se parte de lasiguiente equivalencia financiera:Suma de obligaciones vigentes, en el punto 8 = Suma de nuevasobligaciones, en el punto 8.5.000 (1 + 8 x 0,02) + 12.000 (1 + 5 x 0,02) + 8.000 == 10.000 (1+2 x 0,02) + 8.000 / (1+2 x 0,02) + X / (1 + 4 x 0,02)27.000 = 18.092,31 + 0,9259XX = $9.620,57Se sugiere al lector que resuelva de nuevo el problema con unafecha focal diferente, por ejemplo el punto 2, y que verifique que larespuesta es diferente a la antes obtenida.En sntesis, la fecha focal es el punto acordado para establecer laecuacin de equivalencia. Todos los valores de las obligaciones,tanto actuales como propuestos, se llevan a dicho punto.Cuando el valor est ubicado antes de la fecha focal, se requierehallar F conociendo P, para lo cual se emplea la frmula:F = P (1+ni)Cuando el valor est ubicado despus de la fecha focal, se requierehallar P conociendo F, para lo cual se emplea la frmula:P = F / (1 + ni)En todos los casos, n es el nmero de perodos entre el punto ofecha focal y la fecha de vencimiento de cada obligacin.

!

Los componentes de una ecuacin de equivalencia son los ingresos,los egresos, la fecha focal, el nmero de perodos y la tasa deinters. Todos estos componentes se pueden indicar en el diagramade flujo. Por lo general, uno de ellos es la incgnita del problemaque se quiere solucionar.

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1. Un almacn de electrodomsticos promete entregar un televisora color, cuyo precio de contado es 90 dlares, si se efecta unpago inicial de 30 dlares y un pago de 81,60 dlares dentro de9 meses, qu tasa de inters simple cobra el almacn?(Respuesta: 4% mensual).

2. El 15 de marzo se suscribe un pagar con los siguientestrminos:Valor nominal: $4.500.000Plazo: 190 dasTasa de inters simple: 27% anualDeterminar la fecha de vencimiento del pagar y su valor endicha fecha. (Respuesta: 21 de septiembre; $5.132.465,75,si el inters simple es exacto; $5.141.250.00, si el interssimple es ordinario).

3. A la fecha, una compaa tiene las siguientes obligaciones:i. Un prstamo de $3.000.000, contratado hace 4 meses, a una

tasa de inters simple de 30% anual y con un plazo de 1ao.

ii. Un pagar, firmado con una entidad bancaria hace ao ymedio, el cual contiene los siguientes trminos:Valor nominal: $6.800.000. Tasa de inters simple: 28%anual. Plazo: 2 aos.

iii. $8.000.000, correspondientes a la retroactividad por ajustede salarios, la cual es efectiva dentro de 2 meses.

iv. $4.000.000, con vencimiento dentro de 9 meses, conintereses simples al 3% mensual.

Calcular el valor total de las obligaciones en el da de hoy. Latasa de inters de la compaa es 30% anual.Resolver el problema empleando como fecha focal: i. El da dehoy. ii. La fecha dentro de 9 meses. (Respuesta: i.$24.240.334,23; ii. $24.392.734,69).

31

4. Una empresa tiene las siguientes obligaciones: $1.000.000, hoy;$7.000.000, dentro de 4 meses; $16.000.000, dentro de 8meses. Las desea cambiar por las siguientes: $10.000.000,dentro de 5 meses y dos sumas iguales desconocidas, dentro de7 y 10 meses, respectivamente. Hallar el valor de la sumadesconocida, si la tasa de inters pactada con los acreedores es2% mensual, tomando como fecha focal la fecha al final de 9meses. (Respuesta: $7.127.329,19).

5. Un fondo de inversin paga el 7% trimestral de inters simple.Cunto se tendr acumulado al final de cada perodo, si sedepositan $100.000 en el da de hoy y permanecen durante aoy medio? (Respuesta: $107.000; $114.000; $121.000;$128.000; $135.000; $142.000).

6. El conjunto de obligaciones: $2.000.000, dentro de 1 ao,$5.000.000, dentro de ao y medio y $18.000.000, dentro de 6aos, se quiere reemplazar por tres pagos, cada uno de ellos eldoble del anterior, dentro de 1 ao, 3 aos y 6 aos,respectivamente. Cul es el valor de dichos pagos, si la tasade inters simple pactada es 16% semestral y se acepta comofecha focal la fecha al final de los 4 aos? (Respuesta:$3.394.733,20; $6.789.466,39; $13.578.932,78).

7. Una fbrica de muebles obtiene un prstamo bancario de$10.000.000 a 3 aos, con intereses al 28% anual. Qucantidad tendr que aceptar el banco como liquidacin delprstamo, 27 meses despus de efectuado, suponiendo quedesee un rendimiento del 24% anual? (Respuesta:$15.593.220,34).

8. Una empresa est interesada en comprar un lote, para laconstruccin de su planta fsica, y ha recibido 3 ofertas:Oferta 1 - 25.000 dlares iniciales y 20.000 dlares despus de

9 mesesOferta 2 - 30.000 dlares iniciales y 13.000 dlares despus de

1 ao

Oferta 3 - 41.000 dlares de contado

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Si la tasa de inters simple de la empresa es 24% anual,compare, en la fecha de la compra, el valor de cada oferta yestipule cul es la ms ventajosa para la empresa. (Respuesta:Oferta 1 - 41.949,15 dlares; Oferta 2 - 40.483,87 dlares;Oferta 3 - 41.000 dlares. La oferta ms favorable para laempresa es la oferta 2).

9. Una compaa procesadora de alimentos adquiere materiaprima por valor de $15.000.000. Paga de contado $8.000.000 yconviene en pagar el 30% anual de inters simple sobre elsaldo. Si paga $2.000.000, cuatro meses despus de la compra,y $3.000.000, siete meses despus de la compra, qu pagotendr que hacer ao y medio despus de la compra paraliquidar totalmente el saldo? Tomar como fecha focal la fechaal final de un ao despus de la compra. (Respuesta:$3.823.750).

10. Una empresa requiere un prstamo de 5 millones de dlares,para lo cual ya entabl conversaciones con su banco. steestablece que debe pagar 6.215.000 dlares, en un plazo de 9meses. Qu tasa de inters simple cobra el banco? Si la tasade inters simple que cobra el banco fuera 2% mensual, quplazo puede conceder a la empresa para que pague la mismasuma final? (Respuesta: 2,7% mensual; 12,15 meses).

1. Proporcione la definicin exacta de cada uno de los siguientestrminos:

- Tiempo exacto- Tiempo aproximado- Inters exacto- Inters ordinario- Regla de banqueros- Diagrama de flujo- Ecuacin de equivalencia- Fecha focal

33

2. En el comercio de la ciudad, consultar la tasa de inters quecobran sobre ventas a plazos.

3. En los bancos y en las cajas de ahorro locales, consultar laforma de liquidar los intereses sobre depsitos en cuentas deahorro. Presentar en detalle varios ejemplos.

4. Si las operaciones se efectan a inters simple, por qu esimportante definir la fecha focal?

35

La Nueva Enciclopedia Larousse proporciona las siguientesdefiniciones:

Cesin de un efecto comercial antes de su vencimientopor un importe inferior a su valor nominal. Diferenciaentre el valor nominal de un efecto comercial y el valorefectivo, despus del descuento.Reduccin sobre el precio de venta de un artculo,otorgada al comprador. (El descuento comercial puededeberse a causas financieras, por pronto pago, o acausas econmicas, por reajuste de precios).El tenedor de un efecto comercial, necesitado de activolquido, puede solicitar el descuento de aqul por unbanco, el cual le abona su importe menos ciertacantidad, en concepto de inters y gastos diversos. Elbanco puede cobrar el efecto el da de su vencimiento, odescontarlo a su vez en el banco central, el cual cobrarauna tasa de redescuento; la tasa de redescuento sermenor que la tasa de descuento, y la diferencia ser elbeneficio obtenido por el banco comercial al negociar elefecto.

La definicin que se aplica en este libro es la ltima, la cual segeneraliza a todo el sistema financiero; es decir, no se circunscribesolo a los bancos.

3

36

El descuento puede ser de dos clases: descuento simple a una tasade inters, denominado descuento racional, Dr, y descuentosimple a una tasa de descuento, llamado tambin descuentobancario, Db.

"#No se utiliza en la prctica porque da un menor valor. Sucaracterstica primordial es que el descuento se efecta sobre elvalor presente del documento en cuestin; es decir, el valorestimado del documento en la fecha de la operacin de descuento.

"#Este es el tipo de descuento que se efecta sobre el valor futuro deldocumento en cuestin; es decir, el valor del documento en sufecha de vencimiento. Esto hace que el Db sea siempre mayor queel Dr.La costumbre, en el sistema financiero, ha establecido, adems deldescuento, una comisin por toda operacin de descuento de undocumento.Una operacin de descuento puede ser: se tiene una carta decrdito por 3.000 dlares, con vencimiento en cuatro meses; esdecir, a los cuatro meses se entrega la carta y se reciben 3.000dlares. Si existe alguna urgencia por efectivo, se visita unaentidad o persona especializada en el descuento de documentos, lacual ofrecer por la carta de crdito una suma inferior a 3.000dlares. La diferencia con 3.000 dlares es el descuento ms lacomisin.La tasa de descuento ms utilizada, en muchos paseslatinoamericanos, en los ltimos aos, est cercana al 3% mensual.

37

Si se aplica el descuento racional, el valor del documentodescontado, en la fecha de la operacin de descuento, no es msque el valor presente, P, en dicha fecha, del valor F que eldocumento tiene en su fecha de vencimiento. Es decir:

Valor del documento descontado = P = F

1+ ni

Valor del descuento racional, Dr = Pni (i = tasa de inters)Al aplicar lo anterior, al caso de la carta de crdito, se obtiene :Valor del documento descontado = P = 3.000/(1+4x0,03) == 2.678,57 dlaresDr = Pni = $2.678,57x4x0,03 = 321,43 dlaresVale la pena notar que Dr = F-P = 3.000-2.678,57 = 321,43 dlares

El valor del descuento bancario, Db, se calcula en forma directasobre el valor del documento en su fecha de vencimiento. Es decir:Db = F dn; (d = tasa de descuento)El valor del documento descontado es: P = F-F dn

P = F(1- dn)Al aplicar lo anterior, al caso de la carta de crdito, se obtiene:Db = F dn = 3.000 x 0,03 x 4 = 360 dlaresP = F(1-dn) = 3.000 (1 - 0,03 x 4) = 2.640 dlaresEl valor del documento descontado se pude calcular como:P = F-Db = 3.000 - 360 = 2.640 dlares

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Ejemplo 1:Se tiene un certificado de depsito a trmino, por un valor de$4.000.000, el cual vence en 5 meses. Se requiere descontar en laFinanciera Palmira, la cual cobra una comisin de 2,5% y aplicauna tasa de descuento de 2% mensual. Cul es el valor presenteque se recibe y cul la tasa efectiva de descuento? Resolver elmismo caso aplicando descuento racional, Dr.Solucin:Descuento bancarioComisin = $4.000.000 x 0,025 = $100.000Db = F dn = $4.000.000 x 0,02 x 5 = $400.000Descuento efectivo:Comisin $100.000Descuento bancario $400.000

$500.000Hoy entregan, P = $4.000.000 - 500.000 = $3.500.000Tasa efectiva de descuento:Db = F dn.En este caso, Db = $500.000 es el descuento efectivo.500.000 = 4.000.000 x d x 5500.000 = 20.000.000 x dd = 500.000/20.000.000=0,025Tasa de descuento efectivo = d = 2,5 % mensualDescuento racionalF = P(1+ni)P = F/(1+ni)P = $4.000.000/(1 + 5 x 0,02) = $3.636.363,63Comisin = $3.636.363,63 x 0,025 = $90.909Dr = Pni = $3.636.363,63 x 5 x 0,02 = $363.636,36

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Descuento efectivo:Comisin $ 90.909,00Descuento racional $363.636,36

$454.545,36Valor presente:P = F- Dr = $4.000.000 - 454.545,36 = $3.545.454,64Tasa efectiva de descuento:Dr = Pni.En este caso, Dr = $454.545,36 es el descuento efectivo.454.545,36 = 3.636.363,64 x 5 x i

i = 454.545,36/18.181.818,2 = 0,0249i = 2,5% mensual

1. Alambres del Pacfico tiene una carta de crdito que vencedentro de 5 meses y cuyo valor, en la fecha de vencimiento, es$6.000.000. En la fecha requiere con urgencia dinero enefectivo para poder cumplir sus obligaciones, el cual piensaobtener mediante el descuento de su carta de crdito en unaentidad financiera que cobra una comisin de 1% mensual yuna tasa de descuento de 3% mensual. Cunto dinero recibeAlambres del Pacfico y qu tasa efectiva de descuento lecobran? Resolver el problema aplicando descuento racional ydescuento bancario. (Respuesta: $4.956.521,74;$4.800.000; 4% mensual).

2. Por lo general, los bancos comerciales cobran una tasa deinters simple por adelantado en prstamos a corto plazo, a loque adicionan el valor del seguro de vida del deudor, el valor delos timbres (3 por mil del valor del prstamo) y el costo de lapapelera utilizada en la transaccin (2 dlares en laactualidad). Si la tasa de inters simple cargada por el banco

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es 30% anual trimestre anticipado sobre saldos, determinar lacantidad recibida por una persona que solicita 15.000 dlarespor un ao, pagaderos en cuotas trimestrales, si el valor delseguro, 120 dlares, se cobra en cuotas iguales por anticipado yel valor de los timbres y de la papelera se descuenta en elmomento de la transaccin. Calcular el valor de los pagos queel deudor debe efectuar al final de cada trimestre. (Respuesta:13.798 dlares; 4.623,75 dlares; 4.342,50 dlares;4.061,25 dlares; 3.750 dlares).

3. Una compaa de financiamiento comercial descuenta al 3%mensual, y con una comisin total del 2%, un certificado dedepsito a trmino sin intereses de $2.500.000, con vencimientoen 5 meses. El mismo da, el documento es descontado por unbanco comercial, al 2% mensual y una comisin de 2%. Quutilidad obtuvo la compaa de financiamiento comercial en estatransaccin? (Respuesta: $125.000).

4. Una agencia especializada en el descuento de documentosestablece que debe ganar el 36% anual de inters simple.Determinar la tasa de descuento que debe emplear, si el perodode descuento es: i. 1 mes; ii. 3 meses; iii. 6 meses; iv. 9 meses;v. 1 ao; sabiendo que tiene establecidas las siguientescomisiones sobre el valor del documento en la fecha devencimiento:

Perodo de descuento Comisin1 mes 1%3 meses 2%6 meses 4%9 meses 5%1 ao 6%

(Respuesta: i. 1,91% mensual; ii. 2,09% mensual; iii.1,88% mensual; iv. 1,81% mensual; v. 20,47% anual).

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1. En uno de los bancos comerciales de la localidad, consultar latasa de descuento vigente; las comisiones y gastos bancariosque se cobran en los descuentos; y el valor de los distintosgastos ocasionados por un pagar.

2. Haga las siguientes consultas, en una de las entidades de lalocalidad especializadas en el descuento de documentos:i. Se tiene un certificado de depsito a trmino a un ao, con

las siguientes caractersticas : $2.000.000 de valor nominal;inters: 28% anual. Vence dentro de 7 meses. Si sedescuenta en el da de hoy, cunto dinero entregarn?Presentar un informe, con el mximo de detalle.

ii. Se tiene una carta de crdito con un banco local, por un valorde $3.000.000, la cual vence dentro de 5 meses. Si sedescuenta en el da de hoy, cunto dinero entregarn?Presentar un informe, con el mximo de detalle.

3. Cul es la diferencia fundamental entre el descuento racionaly el descuento bancario?

4. Enumere y defina algunos documentos que pueden serdescontados en el mercado financiero.

43

4

Los pagos parciales son los pagos que se hacen en el transcursodel plazo que tiene una obligacin. Para calcular el valor del ltimopago parcial, que se debe efectuar en la fecha de vencimiento de laobligacin, se utilizan dos reglas: la regla comercial y la regla de losEstados Unidos.

$

%Con esta regla, el inters se calcula sobre la deuda original y sobrecada pago parcial a la fecha de vencimiento. La cantidad porliquidar en la fecha de vencimiento es la diferencia entre el montode la deuda y la suma de los pagos parciales. Esta clase deproblema se resuelve con la ayuda de una ecuacin deequivalencia, a inters simple, que tenga la fecha de vencimientocomo fecha focal.

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% &Con esta regla, el inters se calcula sobre el saldo no pagado (osaldo insoluto) de la deuda, cada vez que se efecta un pagoparcial. Si el pago parcial es mayor o igual que los interesescalculados se resta del valor total de la deuda. Si el pago parcial esmenor que los intereses no se tiene en consideracin y se agregaral siguiente pago parcial.Ejemplo 1:Calcular el valor del ltimo pago parcial en la fecha de vencimiento,de una obligacin de $150.000, contratada al 2,5% mensual, con unplazo de un ao y medio, sabiendo que se efectan los siguientespagos parciales:A los 4 meses $ 25.000A los 6 meses 1.200A los 10 meses 12.000A los 11 meses 48.000Resolver el problema aplicando las dos reglas.Solucin:Regla comercial:

Al plantear la ecuacin de equivalencia, con fecha focal la devencimiento:

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150.000(1+0,025x18) = 25.000(1+0,025x14) + 1.200(1+0,025x12 ) ++12.000(1+0,025x 8) + 48.000(1+0,025x7) + X217.500 = 33.750 + 1.560 + 14.400 + 56.400 + X217.500 - 106.110 = XX = $111.390Regla de los Estados Unidos:Valor inicial de la obligacin 150.000,00Intereses del punto 0 al 4:150.000x 4 x 0,025=15.000 + 15.000,00

Valor de la obligacin al final del mes 4 165.000,00Primer pago parcial - 25.000,00

Saldo insoluto 140.000,00Intereses del punto 4 al 6:140.000 x 2 x 0,025 = 7.000Nota: no se considera el pago parcial de $1.200, por ser menorque los intereses, $7.000. Este pago se suma al siguiente pagoparcial que ocurre al final del mes 10

Intereses del punto 4 al 10 : 140.000 x 6 x 0,025 = 21.000Nota: tampoco se tiene en cuenta el pago parcial al final del mes10, porque los intereses, $21.000, son ms altos que el pagoparcial, $1.200 + 12.000 = $13.200Intereses del punto 4 al 11:140.000x7x0,025 = 24.500 + 24.500,00

Valor de la obligacin al final del mes 164.500,00Cuarto pago parcial ($1.200+$12.000+ $48.000) - 61.200,00

Saldo insoluto 103.300,00Intereses del punto11 al 18:103.300x7x0,025 = 18.077,50 + 18.077,50

ltimo pago, en la fecha de vencimiento $121.377,50

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'

Se han desarrollado algunas frmulas que permiten estimar, enforma aproximada, la tasa de inters cobrada cuando se efectauna compra a plazos. La forma exacta de obtener dicha tasa deinters es mediante la aplicacin del inters compuesto, y se trataren el captulo 6.

1. Una empresa contrata, el 15 de abril un prstamo de 500.000dlares, a una tasa de inters simple de 28% anual y un plazode 200 das. Calcular el saldo, en la fecha de vencimiento de laobligacin, si se han efectuado los siguientes pagos parciales:El 24 de junio : 12.000 dlaresEl 13 de julio : 1.240 dlaresEl 4 de agosto : 1.000 dlaresEl 12 de septiembre : 125.000 dlaresEl 25 de octubre : 250.000 dlaresAplicar la regla comercial y la regla de los Estados Unidos, coninters simple ordinario. (Respuesta: 180.925,96 dlares;184.106,60 dlares).

2. Se contrata un prstamo de $100.000, con la intencin decancelarlo en 4 pagos trimestrales iguales, siendo el primerodentro de 3 meses. Si la tasa de inters estipulada es 2%mensual, determinar el valor de dichos pagos. Aplicar la reglacomercial y la regla de los Estados Unidos. (Respuesta:$28.440,37; $28.859,15).

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1. Investigar en el comercio local el tipo de regla que se utiliza enel caso de pagos parciales.

2. En uno de los almacenes de la localidad, especializado en laventa de ropa a crdito, solicite un ejemplo real sobre laliquidacin final de un crdito. Incluir, en el informe respectivo,las liquidaciones parciales.

49

5

Las tasas escalonadas son aquellas tasas de inters, crecientes odecrecientes, que se aplican de acuerdo con algn criteriopreviamente establecido. Por ejemplo, una empresa determina lossiguientes aumentos en los sueldos anuales, expresados en dlares:Sueldos de $20.000 a $40.000 : 30% de aumentoSueldos de $40.001 a $90.000 : 25% de aumentoSueldos de $90.001 en adelante : 20% de aumentoSi se aplican rigurosamente los incrementos anteriores, se tendrnsituaciones en las cuales se presentan inversiones en la escalasalarial, en el sentido de que algunas personas quedan devengandomenos que otras personas que antes estaban por debajo en laescala salarial, as:El nuevo sueldo anual para quien hoy devenga $39.500 sera:39.500 x 1,30 = 51.350 dlaresEl nuevo sueldo anual para quien hoy devenga $40.500 sera:40.500 x 1,25 = 50.625 dlaresEl procedimiento que se presenta a continuacin, recomendadopara el tratamiento de las tasas escalonadas, evita que se presentensituaciones como la anterior.

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De acuerdo con los incrementos antes establecidos:Nuevo sueldo para sueldo actual $20.000:20.000 x 1,30 = 26.000 dlaresNuevo sueldo para sueldo actual $40.000:40.000 x 1,30 = 52.000 dlaresNuevo sueldo para sueldo actual $40.001:40.001 x 1,25 = 50.000 dlaresNuevo sueldo para sueldo actual $90.000:90.000 x 1,25 = 112.500 dlaresAl representar la informacin anterior, en forma grfica, se tiene:

Entre B y C, los nuevos sueldos se leen sobre la recta modificada,MR, y no sobre la recta inicial, NR.

C - B

( )R ecta M R

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Sea:X : sueldo actualY : nuevo sueldoEntre B y C, el nuevo sueldo, Y, est dado por la ecuacin de larecta que pasa por los puntos M y R, cuyas coordenadas (X,Y)son:

M (B, B + Bp1). Por lo tanto: X1 = B Y1= B + Bp1 (1)R (C, C + Cp2). Por lo tanto: X2 = C Y2= C + Cp2 (2)La ecuacin de la recta que pasa por dos puntos est dada por lasiguiente expresin:

(3)

Al reemplazar (1) y (2) en (3):

Y 1Y =2Y - 1Y2X - 1X

(X - 1X )

Y B B p = C C p - B - B p

C - B (X - B) 1 2 1

+

Y B B p + C - B C p - B p

C - B (X - B) 1 2 1= +

+

Y B B p + C - BC - B

( X - B ) + C p - B pC - B

( X - B ) 1 2 1= +

Y B B p + ( X - B ) + C p - B pC - B

( X - B ) 1 2 1= +

Y 1X B p + 2 C p - B 1 p

C - B ( X - B ) = +

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La expresin anterior permite conocer el nuevo sueldo, Y,correspondiente al sueldo actual, X.Ejemplo 1:Para el ejemplo en consideracin, determinar el nuevo sueldocorrespondiente a un sueldo actual de ($40.000 + a).Solucin:En el caso del ejemplo, y al considerar el intervalo $40.001 a$90.000:B = 40.000; p1 = 30%; p2 = 25%; C = $90.000El nuevo sueldo, Y, para un sueldo actual igual a X, es:

Y = X+ 40.000 x 0,30 + (90.000 x 0,25 - 40.000 x 0,30)90.000 - 40.000

(X - 40.000)

Y = X + (12.000) + 0,21 (X - 40.000)En conclusin, los sueldos entre $40.001 y $90.000 se incrementanen $12.000, ms el 21% del exceso del sueldo actual sobre$40.000.Ejemplo 2:Con la informacin del ejemplo anterior, y mediante la aplicacindel mtodo de las tasas escalonadas, determinar el nuevo sueldo, yel porcentaje efectivo de aumento, para quienes hoy tienen lossiguientes salarios: i. $27.000; ii. $68.000; iii. $105.000. El mximosueldo actual que paga la empresa es $120.000.Solucin:i. Para el sueldo actual de $27.000:$27.000 est en el primer intervalo de sueldos de $20.000 a$40.000. El nuevo sueldo ser: $27.000 (1,30) = $35.100.El porcentaje efectivo de aumento es 30%.ii. Para el sueldo actual de $68.000:$68.000 est en el intervalo $40.001 a $90.000. En este intervalose tiene:

53

B = 40.000; C = 90.000; p1 = 30%; p2 =25%;X - B = 68.000 - 40.000 = 28.000Por lo tanto:Nuevo sueldo, Y, para sueldo actual, X, $68.000:

Y = $85.880Porcentaje efectivo de aumento:

iii. Para el sueldo actual de $105.000:$105.000 est en el intervalo de $90.001 en adelante. Cuando seest en un intervalo como ste, es necesario definir el mximosueldo actual que paga la empresa, en este caso $120.000. Por lotanto:

B = 90.000; C = 120.000; p1 = 25%; p2 = 20%;

X - B = 105.000 - 90.000 = 15.000Por lo tanto:Nuevo sueldo, Y, para sueldo actual, X, $105.000:

Y = $ 128.250

Porcentaje efectivo de aumento: 128 250105000.

.

- 1 100 = 22,14%

Y= 105.000+ 90.000 (0,25) + 15.000 (120.000 x 0,20 - 90.000 x 0,25) - 90.000

120000.

Nuevo sueldoSueldo actual

1 100 85.88068.000

1 100 = 26,29%

=

Y = 68.000+ 40.000 (0,30) + 28.000 (90.000 x 0,25 - 40.000 x 0,30) - 40.000

90000.

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1. Un sindicato solicita los siguientes aumentos salariales:Salario hasta 18.000 dlares anuales: 25% de aumentoSalario entre 18.001 y 30.000 dlares anuales: 22% de aumentoSalario entre 30.001 y 60.000 dlares anuales: 17% de aumentoSalario de 60.001 dlares anuales en adelante: 12% de aumentoDeterminar la escala salarial modificada que evite la inversinde las categoras de sueldos. El sueldo ms elevado que hoy enda se paga es 130.000 dlares. (Respuesta: salarios hasta18.000 dlares: 25% de aumento. Salarios entre 18.001 y30.000 dlares se incrementan en 4.500 dlares, ms el17,5% del exceso del sueldo actual sobre 18.000 dlares.Salarios entre 30.001 y 60.000 dlares se incrementan en6.600 dlares, ms el 12% del exceso del sueldo actualsobre 30.000 dlares. Salarios de 60.001 dlares enadelante se incrementan en 10.200 dlares, ms el 7,7%del exceso del sueldo actual sobre 60.000 dlares).

2. En el problema anterior, determinar el porcentaje efectivo deaumento que tendrn los empleados cuyos actuales salariosanuales son: 13.000 dlares; 25.000 dlares; 50.000 dlares y92.000 dlares. (Respuesta: 25%; 22,9%; 18%; 13,77%).

1. Investigar cmo son las tarifas del impuesto sobre la renta ensu pas.

2. Cules son las polticas aplicadas, en los ltimos aos, por elgobierno en materia de aumento salarial y de reajuste depensiones?

3. Investigar, en alguna de las grandes empresas de la regin, loscriterios que aplican para el aumento de sueldo de susempleados. Presentar ejemplos.

55

6

El inters compuesto se caracteriza porque los interesesdevengados en un perodo devengan intereses en el perodosiguiente; es decir, los intereses son capitalizables.

Hoy se deposita una suma P, a una tasa de inters compuesto i. Sedesea determinar a cunto es equivalente, o cul ser su valorfuturo, F, dentro de n perodos .

La suma que se tendr acumulada al final de cada perodo es:

(perodos )

56

F = P (1 + i)n

El factor (1 + i)n se encuentra tabulado en las tablas financieras, apartir de la pgina 275. Se simboliza: (F/P, i, n), y se lee: hallar Fconociendo P, a una tasa i, durante n perodos. De acuerdo conlo anterior, la frmula para el valor futuro de una suma P, a interscompuesto, se puede escribir:

F = P (F/P, i, n)Esta notacin no es una frmula, aunque desde el punto de vistafuncional es correcta en el sentido de que si se cancelan los valoresP, ambos lados de la ecuacin se convierten en F. F = P (F/P, i, n)El factor (F/P, i, n) se puede obtener de tres maneras: Mediante la utilizacin de las tablas financieras Mediante el empleo de los logaritmos Mediante el uso de la calculadora cientfica electrnica

Hoy, punto 0 : PAl final del perodo 1: P + Pi = P (1 +i)Al final del perodo 2: P(1 + i) + P(1 + i) i = P(1+ i)(1+i)=P(1 + i)2

Al final del perodo 3: P(1 + i)2+P(1 + i)2 i =P(1+i)2(1+ i)=P(1 + i)3

. . .

Al final del perodo n: =P(1 + i)n

Es decir:

F = P n( 1 + i)P = F

n( 1 + i)= F - n( 1 + i)

57

P = F (1 + i) -n

El factor (1 + i) - n se encuentra tabulado en las tablas financieras,a partir de la pgina 275. Se simboliza: (P/F, i, n) y se lee: hallarP conociendo F, a una tasa i, durante n perodos. De acuerdocon lo anterior, la frmula para el valor presente de una suma F, ainters compuesto, se puede escribir:

P = F (P/F, i, n)El factor (P/F, i, n) se puede calcular de tres formas: Mediante la utilizacin de tablas financieras Mediante el empleo de logaritmos Mediante el uso de la calculadora cientfica electrnicaComo herramienta, para la solucin de los ejemplos y problemas deeste captulo, se puede utilizar el programa de computador'Calculadora Financiera', que se describe en el captulo 13, delpresente libro.Ejemplo 1: (Valor futuro)Hallar el valor futuro de 10.000 dlares, invertidos al 2% mensualde inters compuesto, durante 18 meses.Solucin:

Para hacer efectiva la regla que dice que solo se pueden relacionar(sumar, restar, igualar o comparar) cantidades que estn en elmismo punto, se adopta como fecha focal el punto 18, en el cual se

58

establece una ecuacin de equivalencia.Por lo tanto:F = 10.000 (F/P, 2%, 18)(F/P, 2%, 18) = (1 + 0,02)18 = (1,02)18

A continuacin se procede con la determinacin del valor del factor(F/P, 2%, 18), mediante aplicacin de cada una de las tres maneras,antes indicadas.Mediante la utilizacin de las tablas financieras(F/P, 2%, 18) = 1,4282462. Valor obtenido en la Tabla 5, de lapgina 279. De esta manera:F = 10.000 x 1,4282462 = 14.282,46 dlaresMediante la utilizacin de logaritmos

(F/P, 2%, 18) = (1,02)18

Log (F/P, 2%, 18) = 18 Log (1,02) = 18 x 0,008600171762 == 0,154803091

(F/P, 2%, 18) = Antilog 0,154803091(F/P, 2%, 18) = 100,154803091 = 1,4282462Si se emplea una calculadora cientfica, el orden de presin de lasteclas es:0,154803091INV

10x 1,4282462 (aparece en pantalla). Por lo tanto:F = 10.000 x 1,4282462 = 14.282,46 dlaresMediante la utilizacin de calculadora cientfica electrnica

(F/P, 2%, 18) = (1,02)18

El orden de presin de las teclas, en la mayora de las calculadorascientficas, es el siguiente:1,02

59

INV

xy

18= 1,4282462 (aparece en pantalla). Por lo tanto:F = 10.000 x 1,4282462 = 14.282,46 dlaresEjemplo 2: (Valor presente)Qu suma se debe invertir hoy, al 2,5% mensual de interscompuesto, para acumular $20.000, dentro de 19 meses?Solucin:

Al tomar como fecha focal el punto 0:P = 20.000 (P/F, 2,5%, 19)(P/F, 2,5%, 19) = (1 + 0,025)-19 = (1,025)-19

A continuacin se proceder a determinar el valor del factor(P/F, 2,5%,19), mediante aplicacin de cada una de las tresmaneras antes indicadas.Mediante la utilizacin de las tablas financieras(P/F, 2,5%, 19) = 0,6255277. Valor obtenido en la Tabla 6, de lapgina 280. Por lo tanto:P = 20.000 x 0,6255277 = $12.510,55Mediante la utilizacin de logaritmos

(P/F, 2,5%, 19) = (1 + 0,025)-19

60

Log (P/F, 2,5%, 19) = -19 Log (1,025) = -19 (0,010723865) = = - 0,203753442(P/F, 2,5%, 19) = Antilog (- 0,203753442)(P/F, 2,5%, 19) = 10 - 0,203753442 = 0,6255277Si se emplea una calculadora cientfica electrnica, el orden depresin de las teclas es el siguiente:0,203753442+/-INV

10x 0,6255277 (aparece en pantalla). Por lo tanto:P = 20.000 x 0,6255277 = $12.510,55Mediante la utilizacin de la calculadora electrnica

(P/F, 2,5%, 19) = (1,025)-19

El orden de presin de las teclas, en la mayora de las calculadoraselectrnicas, es el siguiente:1,025INV

xy

19+/-= 0,6255277 (aparece en pantalla). Por lo tanto:P = 20.000 x 0,6255277 = $12.510,55Ejemplo 3: (Tasa de inters)A qu tasa de inters se deben invertir $10.000, para que en 18meses se conviertan en $15.000?

61

Solucin:

Al plantear la ecuacin de equivalencia, con fecha focal el punto 0:10.000 = 15.000 (P/F, i, 18)

( /P F, i, 18) = 10.00015.000

= 0,66666

Para determinar el valor de i existen varias alternativas.A partir de la frmula

(P/F, i 18) = (i + 1)-18 = 0,66666 . . . (1)La ecuacin (1) se puede resolver mediante la aplicacin delogaritmos o el empleo de la calculadora cientfica electrnica.1. Utilizando logaritmos

(1 + i)-18 = 0,66666 . . .-18 Log (1 + i) = Log 0,66666 . . .

Log (1 + i) = 0 ,17 6 0 9 12 5- 1 8

Log (1 + i) = 0,0097828477261 + i = Antilog 0, 0097828477261 + i = 1,0227815

i = 0,0227815i = 2,28% mensual

62

Para hallar el antilogaritmo de 0,009782847726, con la ayuda de lacalculadora cientfica electrnica, las teclas se presionan en elsiguiente orden:0,009782847726INV10x

= 1,0227815 (aparece en pantalla)2.Utilizando la calculadora cientfica electrnica(1 + i)-18 = 0,6666 . . .(1 + i) = (0,66666 . . .)-1/18

Para hallar, en la calculadora cientfica, el valor del miembroderecho de la anterior ecuacin, se presionan las teclas en elsiguiente orden:0,66666 . . .INV

X 1/y

18+/-= 1,0227815 (aparece en pantalla). Por lo tanto:1 + i = 1,0227815

i = 0,0227815i = 2,28% mensual

Mediante interpolacin en las tablas financierasEste procedimiento permite obtener un resultado aproximado.Consiste en buscar en la parte de las tablas financierascorrespondientes al factor (P/F, i, 18) aquellos dos valores entre loscuales se encuentra el valor 0,66666 . . . y anotar suscorrespondientes tasas de inters. Para hallar el valor de icorrespondiente al factor 0,66666. . . se efecta una interpolacinlineal. En las Tablas 5 y 6, de las pginas 279 y 280, se tiene que0,66667. . . se encuentra entre 0,7001594 (factor correspondiente

63

a i = 2%) y 0,6411659 (factor correspondiente a i = 2,5%). Estainformacin se puede organizar en la forma siguiente:

i (P/F, i,18)2%

0,0334927330,7001594

0,5% ? 0,66666 . . . 0,05899352,5% 0,6411659

Donde:0,5% = 2,5% - 2%0,033492733 = 0,7001594 - 0,66666 . . .0,0589935 = 0,7001594 - 0,6411659Lo anterior permite plantear la siguiente regla de tres: si unavariacin de 0,0589935 en el factor ocasiona una variacin de 0,5%en la tasa de inters, una variacin de 0,033492733 en el factorqu variacin ocasiona en la tasa de inters? Es decir:0,0589935 - 0,5%0,033492733 - xAl despejar el valor de x:

x = = 0,033492733 x 0,5%

0,0589935 0,283868%

x = 0,28%. O sea:i = 2% + 0,28% = 2,28% mensual

Observacin: en la frmula de inters compuesto la relacinentre las variables no es lineal, es geomtrica; por lo tanto, lainterpolacin lineal solo proporciona resultados aproximados y, paravalores de n muy grandes, los errores cometidos pueden sersignificativos.Ejemplo 4: (Nmero de perodos)Cuntos aos deben permanecer $100.000, en un fondo deinversin que paga el 8% anual, para que se conviertan en$150.000?

64

Solucin:

Al establecer la ecuacin de equivalencia, con fecha focal elpunto n:

100 000.

( ,

(F P, 8%, n) = 150.000

8%, n) = 150.000100.000

= 1,5F P

Para determinar el valor de n existen varios caminos.A partir de la frmula

(F/P, 8%, n) = (1 + 0,08) n = 1,5(1,08) n = 1,5Al aplicar logaritmos:n Log 1,08 = Log 1,5

n

n

= Log 1,5

Log 1,08 =

0,176091260,033423755

= 5,27 aos

Mediante interpolacin en las tablas financierasEn la parte de las tablas financieras correspondiente al factor(F/P, 8%, n) se buscan los dos valores del factor entre los cualesse encuentra 1,5 y se anotan sus correspondientes valores de n.Para hallar el valor de n correspondiente al factor 1,5 se efectauna interpolacin lineal, siguiendo un procedimiento similar alindicado en el ejemplo anterior. En la Tabla 15, de la pgina 289, setiene:

65

n (F/P, 8%, n)5 0,0306719 1,4693281

1 ? 1,5 0,11754626 1,5868743

El planteamiento de la regla de tres es:0,1175462 - 10,0306719 - x

x = 0,0306719 x 1

0,1175462 = 0,26 aos

n = 5 + 0,26 = 5,26 aos

Es importante tener en cuenta la observacin anotada en elejemplo 3.

!

Es una ecuacin algebrica que permite establecer la igualdadfinanciera entre un conjunto de obligaciones vigentes y otroconjunto de obligaciones propuestas. En su planteamiento se tieneen cuenta el valor del dinero en el tiempo.Ejemplo 5:Dentro de 2 aos hay que pagar 1.000 dlaresDentro de 5 aos hay que pagar 5.000 dlaresDentro de 10 aos hay que pagar 12.000 dlaresSe propone cumplir estas obligaciones de la siguiente forma:Dentro de 4 aos 6.000 dlaresDentro de 7 aos 8.000 dlaresDentro de 10 aos XHallar el valor de X, si la tasa de inters de oportunidad es 10%anual.

66

Solucin:Diagrama de flujo

Se adopta como fecha focal el punto 10.Ecuacin de equivalencia1.000 (F/P, 10%, 8) + 5.000 (F/P, 10%, 5) + 12.000 = 6.000

(F/P, 10%, 6) + 8.000 (F/P, 10%, 3) + XEl clculo de cada uno de los factores se har mediante utilizacinde logaritmos.1.000 (F/P, 10%, 8) :

(F/P, 10%, 8) = (1 + 0,10)8

Lg (F/P, 10%, 8) = 8 Log 1,10 Log (F/P, 10%, 8) = 8 (0,041392685) = 0,33114148

(F/P, 10% 8) = Antilog 0,33114148 = 10 0,33114148

(F/P, 10%, 8) = 2,1435888F = 1.000 (2,1435888) =2.143,59 dlares

5.000 (F/P, 10%, 5) :(F/P, 10%, 5) = (1 + 0,10)5

Log (F/P, 10%, 5) = 5 Log 1,10Log (F/P, 10%, 5) = 5 (0,041392685) = 0,206963425

i = 10% anual

8.0006.000

67

(F/P, 10%, 5) = Antilog 0,206963425 =10 0,206963425

(F/P, 10%, 5) = 1,61051 F= 5.000 (1,61051) =8.052,55 dlares

6.000 (F/P, 10%, 6) :(F/P, 10%, 6) = (1 + 0,10)6

Log (F/P, 10%, 6) = 6 Log 1,10Log (F/P, 10%, 6) = 6 (0,041392685) = 0,24835611

(F/P, 10%, 6) = Antilog 0,24835611 = 100,24835611

(F/P, 10%, 6) = 1,771561 F = 6.000 (1,771561) =10.629,37 dlares

8.000 (F/P, 10%, 3) :(F/P, 10%, 3) = (1 + 0,10)3

Log (F/P, 10%, 3) = 3 Log 1,10Log (F/P, 10%, 3) = 3 (0,041392685) = 0,124178055

(F/P, 10%, 3) =Antilog 0,124178055 = 10 0,124178055

(F/P, 10%, 3) = 1,331 F= 8.000 (1,3331) =10.648,00 dlares

Al reemplazar los valores anteriores en la ecuacin de equivalencia:2.143,59 + 8.052,55 + 12.000= 10.629,37 + 10.648 + X 22.196,14= 21.277,37 + X

X = 22.196,14 - 21.277,37 X = 918,77dlaresEn el caso de inters compuesto, la solucin de una ecuacin deequivalencia es siempre la misma, independiente de la fecha focalque se adopte. Para corroborar lo anterior, se repetir el ejemplo,tomando como fecha focal el punto 6.

68

1.000(F/P,10%, 4)+5.000 (F/P, 10%, 1)+12.000(P/F, 10%,4)== 6.000 (F/P, 10%, 2) + 8.000 (P/F, 10%, 1) + X (P/F, 10%, 4).1.000 (1 + 0,10)4 +5.000 (1 + 0,10)1 + 12.000 (1 + 0,10)- 4= =6.000 (1 + 0,10)2 + 8.000 (1 + 0,10)-1 + X (1 + 0,10)- 4.1.000 (1,4641) + 5.000 (1,1) + 12.000 (0,683013455) == 6.000 (1,21) + 8.000 (0,9090909) + 0,683013455X.1.464,10+5.500+8.196,16=7.260 + 7.272,73 + 0,683013455X

X = 627 53

0 683013455,

, = 918,76 dlares

Repetir el ejemplo, tomando como fecha focal el punto 0.Ejemplo 6:Una empresa tiene las siguientes obligaciones:1.000 hoy7.000 dentro de 4 meses16.000 dentro de 8 mesesLas cuales desea cambiar por las siguientes:10.000 dentro de 5 mesesDos sumas iguales desconocidas, dentro de 7 y 10 meses,respectivamente. Hallar el valor de la suma desconocida, si la tasade inters pactada con los acreedores es 2% mensual.

69

Solucin:

Para plantear la ecuacin de equivalencia se puede tomar cualquierpunto como fecha focal, y la solucin siempre ser igual. Si seescoge como fecha focal el punto 7:

1000. , (F P, 2%, 7) + 7.000 (F 2%, 3) + 16.000 (P , 2%, 1) == 10.000 (F P, 2%, 2) + X + X (P F, 2%, 3)

P F

1.000 (1 + 0,02)7 + 7.000 (1 + 0,02)3 + 16.000 (1 + 0,02)-1 ==10.000 (1 + 0,02)2 + X + X (1 + 0,02) - 3

10.000 (1,148685668) + 7.000 (1,061208) + 16.000 (0,980392157) ==10.000 (1,0404) + X + X (0,942322334)1.148,69 +7.428,46 +15.686,27 = 10.404 +X + 0,942322334X

X = 13 859 42

1 942322334. ,

,= 7.135,49 dlares

Resolver de nuevo el ejemplo, con fechas focales diferentes.Ejemplo 7:El conjunto de obligaciones:$ 20.000 dentro de 1 ao$ 50.000 dentro de 1 aos$180.000 dentro de 6 aos

70

Se quiere reemplazar por tres pagos, cada uno de ellos el doble delanterior, dentro de 1 ao, 3 aos y 6 aos, respectivamente. Cules el valor de dichos pagos, si la tasa de inters pactada es 16%semestral?Solucin:Los perodos del diagrama de flujo deben ser semestres, debido aque la tasa peridica es semestral.

Al plantear la ecuacin de equivalencia, con fecha focal el punto 12:20.000 (F/P, 16%, 10) + 50.000 (F/P, 16%, 9) + 180.000 == X (F/P, 16%, 10) + 2X (F/P, 16%, 6) + 4X20.000 (1 + 0,16)10 + 50.000 (1 + 0,16)9 + 180.000 == X (1 + 0,16)10 + 2X (1 + 0,16)6 + 4X20.000 (4,411435079) + 50.000 (3,802961275) + 180.000== X (4,411435079) + 2X ( 2,4363963225) + 4X88.228,70 + 190.148,06 + 180.000 == 4,411435079X + 4,872792645X + 4X

X = 458 376 76

13 28422772. ,

, = $34.505,34

71

Los pagos son: $ 34.505,34 dentro de 1 ao$ 69.010,68 dentro de 3 aos$138.021,36 dentro de 6 aos

!

La fecha en la cual el valor de un conjunto de obligaciones es iguala la suma aritmtica del valor de los elementos de ese conjunto sedenomina fecha de vencimiento promedio. El tiempo, hasta esafecha, se denomina tiempo equivalente.Ejemplo 8:Se tiene un conjunto de obligaciones en la siguiente forma:$ 5.000 dentro de 2 meses$ 12.000 dentro de 5 meses$ 20.000 dentro de 10 mesesSe desea conocer la fecha en la cual la totalidad de las obligacionesqueda saldada con un pago nico, igual a:5.000 + 12.000 + 20.000 = 37.000 dlaresLa tasa de inters del mercado es 2,5% mensual.Solucin:Diagrama de flujo

Se establece la ecuacin de equivalencia, con fecha focal el punto5.

72

Ecuacin de equivalencia5.000 (F/P, 2,5%, 3) + 12.000 + 20.000 (P/F, 2,5%, 5) ==37.000 (P/F, 2,5%, X-5)5.000 (1 + 0,025) 3 + 12.000 + 20.000 (1 + 0,025)- 5 == 37.000 (P/F, 2,5%, X-5)5.000 (1,07689063) + 12.000 + 20.000 (0,88385429) == 37.000 (P/F, 2,5%, X-5)(P/F, 2,5%, X-5) = 0,947609189.Esta ecuacin algebrica se puede resolver as:

(P/F, 2,5%, X-5) = (1,025) - (X-5) = 0,947609189- (X-5) Log 1,025 = Log 0,947609189- (X-5) (0,010723865) = - 0,0233704. Al multiplicar ambos

lados por -1:X-5 = 0,0233704 / 0,010723865X-5 = 2,18X = 2,18 + 5X = 7,18 meses

La ecuacin algebrica tambin se puede resolver con la ayuda delas tablas financieras y de la interpolacin lineal. Intntelo!

$(

!

Como aproximacin, el tiempo equivalente se puede calcular comoun promedio aritmtico ponderado del nmero de perodos hasta suvencimiento, correspondiente a cada una de las obligaciones. Elfactor de ponderacin es el valor de la obligacin. Es decir:

Tiempo equivalente

(aproximado) =

Valor de la obligacin x No. de perodos hasta su vencimiento

Valor de las obligaciones

73

Ejemplo 9:Al aplicar la frmula de tiempo equivalente aproximado al ejemploanterior, se tiene:

Tiempo equivalente (aproximado)

= 5.000 (2) + 12.000 (5) + 20.000 (10)

5.000 + 12.000 + 20.000 =

=

270.00037.000

= 7,3 meses

%)*

La 'regla del 70' es til para calcular, en forma aproximada, eltiempo requerido, o la tasa de inters requerida, para que una sumapresente P se duplique, si su crecimiento est determinado por unatasa de inters compuesto. Para esta condicin particular, se tiene:Tiempo aproximado, n 70/i ; i en porcentajeTasa de inters peridica aproximada, i 70/n. En sntesis:

ni 70, cuando F = 2P : aproximadamente igual a ...

Ejemplo 10:La tasa de crecimiento de la poblacin de una regin es 3% anual.En cuntos aos se duplicar la poblacin?Solucin:n 70/3 = 23,3 aos. (La respuesta exacta es, n = 23,45 aos.Obtngala!).Ejemplo 11:Qu tasa de inters compuesto deben de pagar para que un millnde dlares se duplique en 24 meses?Solucin:i 70/24 = 2,92% mensual. (La respuesta exacta es, i = 2,93%mensual. Obtngala!).

74

1. Hallar el valor futuro de 50.000 dlares, invertidos al 2,5%mensual de inters simple, durante 15 meses. Cul es el valorfuturo si el inters es compuesto? Qu suma se tieneacumulada al final de cada perodo? (Considerar inters simplee inters compuesto, por separado). (Respuesta: 68.750dlares; 72.414,91 dlares).

2. Una empresa necesita tener acumulados 1.500.000 dlares,dentro de 8 trimestres. Para lograrlo, qu suma debe invertirhoy, en un fondo de inversin que paga el 7,5% trimestral deinters compuesto? (Respuesta: 841.053,35 dlares).

3. A qu tasa de inters compuesto se deben invertir 100.000dlares, para que en 10 semestres se conviertan en 310.584,82dlares? (Respuesta: 12% semestral).

4. Una empresa desea reunir $300.000, con el fin de reemplazarequipos en un futuro. Para el efecto, deposita 80.000 dlaresen una cuenta de ahorros que reconoce el 2,2% mensual deinters compuesto. Dentro de cunto tiempo podr comprarnuevos equipos? (Respuesta: 61 meses, aproximadamente).

5. Si la tasa de inters compuesto es 27% anual, con qu pagosiguales X, al final del ao 1, al final del ao 3 y al final del ao 5,a partir de hoy, es posible reemplazar las siguientesobligaciones: $200.000, con vencimiento en 2 aos, contratadahace un ao, al 2% mensual de inters compuesto; $500.000,con vencimiento en 4 aos, contratada hace ao y medio, a latasa de inters compuesto de 13% semestral; y $270.000, convencimiento dentro de 5 aos, sin intereses? (Respuesta:$679.177,34).

6. Hallar el tiempo equivalente para el pago de las siguientesobligaciones: $100.000, dentro de 1 ao; $80.000, dentro de 2aos; $250.000, dentro de 5 aos y $120.000, dentro de 6 aos.Tasa de inters: 30% anual. (Respuesta: 3,55 aos).

7. Resolver el problema 6 empleando el mtodo aproximado parael clculo del tiempo equivalente. (Respuesta: 4,05 aos).

75

8. Un fondo de inversin paga el 7% trimestral de interscompuesto. Cunto se tendr acumulado al final de cadaperodo, si se depositan $100.000 en el da de hoy ypermanecen durante ao y medio? Comparar con los resultadosdel problema 5, pgina 31. (Respuesta: $107.000; $114.490;$122.504,30; $131.079,60; $140.255,17; $150.073,04).

9. Un urbanizador quiere definir si lo ms conveniente para l esconstruir la va de acceso a una urbanizacin de una vez o poretapas. La colocacin del afirmado y del pavimento tiene uncosto de 40 millones, en el da de hoy. La alternativa es colocarel afirmado hoy, a un costo de 15 millones, y el pavimentodentro de 2 aos, cuando se espera que tenga un costo de 50millones. El urbanizador presta y obtiene dinero a una tasa deinters de 3% mensual. Cul es la alternativa ms favorable?(Respuesta: el urbanizador se ahorra $403.313, de hoy, siadopta la construccin por etapas).

10. Una ciudad, que actualmente tiene 100.000 habitantes, quierecontrolar su tasa de crecimiento, de tal manera que dentro de 20aos su poblacin sea 200.000 habitantes. La manera dehacerlo es limitando el nmero de licencias de construccin paravivienda. Hoy en da, la ciudad tiene 22.185 viviendas; es decir,un promedio de 100.000/22.185 = 4,51 personas por vivienda.Cul debe ser la tasa de crecimiento geomtrico anual?Cuntas licencias de construccin puede autorizar en este ao?Al final, dentro de 10 aos, cul ser la poblacin de la ciudad?Cuntos permisos podr expedir en el ao siguiente, ao 11?(Respuesta: 3,53% anual; 782; 141.421; 1.106).

11. Si se asume que la poblacin de un pas es 28 millones dehabitantes y que el prximo ao se incrementar en 840.000habitantes, cul es la tasa actual de crecimiento de lapoblacin? Si el crecimiento contina a la misma tasa de interscompuesto, dentro de cuntos aos la poblacin ser 40millones de habitantes? (Respuesta: 3% anual; 12,07 aos).

12. Resolver de nuevo los problemas 1, 4 y 10 del Captulo 2,Inters Simple, suponiendo que el inters sea compuesto.(Respuesta: 3,48% mensual; 7.135.487,21; 2,45%mensual;10,98 meses).

76

13. A las 8 A.M., una colonia de bacterias tiene 6,5x106 miembrosy a las 10:30 A.M. tiene 9,75x106 miembros. Cul ser supoblacin a medio da? (Respuesta: 12,44x106 miembros).

14. En cierta fecha, la tasa de cambio era 121 pesos por un dlary, 136 das ms tarde, dicha tasa de cambio estaba en 142pesos por un dlar. Cul fue la rata de crecimiento de la tasade cambio, conocida como tasa de devaluacin? (Respuesta:0,12% diaria).

15. En Costa Rica, a finales de febrero del pasado ao, el ndice deprecios al consumidor, IPC, era 121,38. Para finales del mes denoviembre, del mismo ao, la Oficina de Estadstica reporta unIPC igual a 161,16. Cal es la tasa de crecimiento del IPC,conocida como tasa de inflacin o incremento en el costo devida? (Respuesta: 3,2% mensual).

1. Cules son las tasas y perodos de pago de intereses encuentas de ahorro empleados por los bancos y las cajas deahorros? Comentar las ventajas y desventajas de los sistemasempleados.

2. Consultar la clase de inters ms utilizada en el mercadofinanciero.

3. Para la situacin de su pas, calcular la tasa de devaluacin y latasa de inflacin del ltimo mes.

77

"#

Es la tasa efectiva que se devenga en un perodo de conversin ode pago de intereses. La tasa peridica es la que siempre seconsidera en la solucin de problemas financieros.

i = 2% mensual; i = 32% anual; ia= 9% trimestre anticipado

"#

Hace mencin a dos perodos: a un perodo que se toma comoreferencia y a un perodo de pago de intereses o de capitalizacin.No es una tasa efectiva.

Se debe ser supremamente cuidadoso cuando lainformacin recibida es una tasa nominal!

La relacin entre la tasa nominal y la tasa peridica est dada porla siguiente expresin:

7

78

i = r/m

i = Tasa peridicam = Nmero de perodos de conversin o de capitalizacin en el

perodo de referenciaEjemplo 1:r = 32% anual, convertible semestralmenteAnual es el perodo de referencia.Semestralmente es el perodo de conversin o de pago de intereseso de capitalizacin. La tasa efectiva semestral es:i = r/m = 32%/2 = 16% semestralEjemplo 2:Si r = 24% anual, convertible mensualmente, la tasa efectivamensual es:i = r/m = 24%/12 = 2% mensualEjemplo 3:r = 42% en ao y medio, convertible trimestralmentei = 42%/6 = 7% trimestralEjemplo 4:r = 32% anual, convertible diariamentei = 32%/365 = 0,087% diarioEjemplo 5:A qu tasa semestral, convertible mensualmente, es equivalente el2% mensual?Solucin:En este caso se conoce la tasa peridica y se desea conocer unatasa nominal.r = im = 2% x 6 = 12% semestral, convertible mensualmente

79

" #

Algunas veces se desea conocer la tasa de inters que realmentese devenga en un perodo de referencia dado. Dicha tasa sedenomina tasa efectiva. As, por ejemplo, se tiene la tasa nominalr = 32% anual, convertible semestralmente. De esta informacin,de inmediato se obtiene: i = 32%/2 = 16% semestral.En forma efectiva, cada semestre se paga 16%. En forma efectiva,cunto se paga anualmente?El conocimiento de la relacin entre la tasa peridica y la tasaefectiva permite dar respuesta a la pregunta planteada. Para elefecto, se consideran dos situaciones:i. Se invierten P unidades monetarias, durante m perodos de

conversin, a la tasa peridica i.ii. Se invierten P unidades monetarias, durante un perodo de

conversin, equivalente a los m perodos de la anterior situacin,y a la tasa de inters E.

Cul debe ser la relacin entre las tasas de inters i y E para queel valor futuro sea igual en ambas situaciones?Los diagramas de flujo, correspondientes a cada una de las dossituaciones anteriores, son:

80

Al comparar (1) y (2): P (1 + i)m = P (1 + E)

(1 + i)m = 1 + E

i corresponde al perodo ms pequeo. E corresponde al perodoms grande. Tanto i como E son tasas efectivas vencidas. Laexpresin (1 + i)m = 1 + E relaciona tasas efectivas vencidas.Ejemplo 6:A qu tasa efectiva anual es equivalente el 32% anual, convertiblesemestralmente?Solucin:La informacin suministrada es una tasa nominal, a partir de la cualse puede conocer la tasa peridica semestral.i = 32%/2 = 16% semestral.Para hallar la tasa efectiva anual, se debe utilizar la frmula:

(1 + i)m = (1 + E)Donde i corresponde al perodo de menor duracin (semestres) y Eal de mayor duracin (aos).(1 + 0,16)2 = (1 + E)(1 + E) = 1,3456E = 0,3456 = 34,56% anual. Igual valor se obtiene en el Cuadro 2,pgina 274.Ejemplo 7:A qu tasa efectiva anual es equivalente el 2% mensual?Solucin:

En este caso se debe utilizar la frmula 1 + E = (1 + i) m, en la cualse conoce la tasa efectiva del perodo de menor duracin:i = 2% mensual

(1 + 0,02)12 = 1 + E

81

E = 1,2682 - 1; E = 0,2682E = 26,82% anualEjemplo 8:A qu tasa mensual es equivalente el 32% anual?Solucin:

1 + E = (1 + i)m

En este caso se conoce la tasa efectiva correspondiente al perodode mayor duracin:E = 32% anual

1 + 0,32 = (1 + i)12

1,32 = (1 + i)12

(1,32)1/12 = 1 + i1 + i = 1,0234057i = 0,0234057i = 2,34% mensualEjemplo 9:A qu tasa anual, convertible semestralmente, es equivalente el36% anual, convertible mensualmente?Solucin:La solucin del problema se planifica como sigue:1. A partir de la tasa nominal anual, convertible mensualmente, se

obtiene la tasa peridica mensual.2. Con la tasa mensual se obtiene la tasa semestral, mediante uso

de la frmula 1 + E = (1 + i)m

3. Despus de conocer la tasa semestral se obtiene la tasanominal anual, convertible semestralmente, aplicando r = im

1. i = 3 6 %1 2

= 3% mensual

82

2. 1 + E = (1 + i)m ; 1 + E = (1 + 0,03)6

1 + E = 1,194523 ; E = 0,1940523E = 19,41% semestral

3. r = imr = 19,41% x 2 = 38,82% anual, convertible semestralmente.

Se pretende hallar la tasa efectiva equivalente a una tasa nominalcon capitalizacin continua.Se pueden tener los siguientes casos de tasas nominales, para cadauno de los cuales se indica el valor de m:r = 36% anual, convertible anualmente: m = 1r = 36% anual, convertible semestralmente: m = 2r = 36% anual, convertible bimestralmente: m = 6r = 36% anual, convertible mensualmente: m = 12r = 36% anual, convertible diariamente: m = 365r = 36% anual, convertible cada hora: m = 8.760r = 36% anual, convertible cada minuto: m = 525.600

r = 36% anual, convertible en forma continua: m (infinito)O sea que en el caso de inters contnuo: m

Lo que se desea conocer es la tasa efectiva anual equivalente al36% anual, convertible en forma continua.

En trminos generales: (1 + E) = (1 + i)m

Pero i = r/m. Por lo tanto: (1 + E) = (1 + r/m)m

Si el inters es continuo m

(1 + E) = Lim (1 + r/m)mm

83

1 + E = er e es la base de los logaritmos naturales oneperianos, igual a 2,718281828 . . .

E = e r - 1

NOTASi r es diaria, convertible en forma continua, E es la tasa efectivadiaria.Si r es mensual, convertible en forma continua, E es la tasaefectiva mensual.Si r es anual, convertible en forma continua, E es la tasa efectivaanual.Ejemplo 10:A qu tasa efectiva anual es equivalente el 36% anual, convertibleen forma continua?Solucin:

E = er - 1 ; E = e0,36 - 1

El orden de presin de las teclas, en la calculadora cientficaelectrnica, es el siguiente:0,36INV

ex

1,433329 (aparece en la pantalla)E = 1,433329 - 1E = 0,4333 = 43,33% anualEjemplo 11:A qu tasa anual, convertible trimestralmente, es equivalente el3% mensual, convertible en forma continua?

84

Solucin:La solucin del problema se planifica como sigue:1. Con la tasa nominal mensual, convertible en forma continua, se

obtiene la tasa efectiva mensual, mediante aplicacin de lafrmula E = e r - 1

2. Con la tasa mensual, y mediante empleo de la frmula1+E = (1 + i)m, se obtiene la tasa trimestral.

3. Despus de conocer la tasa trimestral se obtiene la tasanominal anual, convertible trimestralmente, aplicando r = im

1. E = e r - 1 ; E = e0,03 - 1

E = 1,0304545 - 1; E = 0,03045E = 3,05% mensual (tasa efectiva)

2. 1 + E = (1 + i)m

1 + E = (1 + 0,0305)3

E = 1,094319 - 1E = 0,094319E = 9,43% trimestral

3. r = imr = 9,43% x 4 = 37,72% anual, convertible trimestralmente

Ejemplo 12:A qu tasa semestral, convertible en forma continua, esequivalente el 18% semestral?Solucin:

El problema se resuelve con el uso de la frmula E = e r -1, donde:

E es la tasa efectiva semestral y r es la tasa semestral, convertibleen forma continua. O sea:

0,18 = e r- 1

e r = 1,18. Al tomar logaritmos naturales, Ln, en ambos lados de

85

esta expresin:rLne = Ln 1,18r = Ln 1,18r = 0,1655 = 16,55% semestral, convertible en forma continuaEjemplo 13:A qu tasa mensual, convertible en forma continua, es equivalenteel 18% semestral?Solucin:La solucin del problema se planifica como sigue:1. Con la tasa semestral se obtiene la tasa mensual, mediante el

uso de la frmula 1 + E = (1 + i)m.2. Despus de conocer la tasa mensual se obtiene la tasa mensual,

convertible en forma continua, mediante el empleo de lafrmula E = er - 1, en la cual se conoce E (tasa efectivamensual).

1. 1 + E = (1 + i)m ; 1 + 0,18 = (1 + i)6

1,18 = (1 + i)6

(1,18)1/6 = 1 + i ; (1,18)1/6 - 1 = i1,02796 - 1 = i ; 0,02796 = ii = 2,79% = 2,8% mensual

2. E = e r - 1

0,028 = e r - 1

e r = 1,028

r = Ln 1,028r = 0,02761r = 2,76% mensual, convertible en forma continua

Se recomienda al lector verificar que el valor futuro, F, de unasuma P, invertida a una tasa nominal continua, r, durante n perodos,es:

86

F = Pe r n

Lo anterior quiere decir que si hoy se invierte un milln de dlaresal 12% semestral, convertible en forma continua, dentro de 5 aosse tendrn acumulados:

F = 1.000.000 e0,12x10 = 3.320.000 dlares

"#

La tasa de inters anticipada es aquella que se aplica al principiodel perodo de capitalizacin.Ejemplo 14:La forma como opera la tasa anticipada es la siguiente:Si se prestan $100 (P dlares, en forma general) al 3% mensualanticipado ai( , en forma general), hoy se reciben $100 (P dlares)menos los intereses; es decir, $100 - 100 (0,03). (O sea, P-Pi

a, en

forma general). Dentro de un perodo, para cancelar el prstamo,se deben pagar $100 (P dlares).Solucin:El diagrama de flujo de esta operacin es:100 - 100 (0,03) = 100 (1 - 0,03) = P (1 - i

a )

Para determinar la tasa peridica vencida, i, equivalente a la tasaanticipada, i

a, se aplica la frmula de inters compuesto, para lo

cual se adopta como fecha focal el punto 1:

P = P (1 - ia) (1 + i)1

87

(1 - ia) (1 + i) = 1

1 + i = 1

1 ai

i =1

1 ai - 1

i =1 - 1 +

-

a

a

ii1

Ejemplo 15:A qu tasa efectiva anual es equivalente el 36% anual, trimestreanticipado?Solucin:La solucin del problema se planifica como sigue:1. A partir de la tasa nominal anual, trimestre anticipado, se

obtiene la tasa trimestral anticipada, empleando a i = r m

2. Conocida la tasa trimestral anticipada, se obtiene la trimestralvencida, mediante el uso de la expresin:

i = 1-

a

a

ii

3. Con la tasa trimestral se obtiene la tasa anual, mediante el usode la frmula 1 + E = (1+i)m, en la cual se conoce i (tasatrimestral).

1. ia

= r/m

ia = 36%/4 = 9% trimestre anticipado

i = ai1 - ai

Tasa peridica vencida enfuncin de la tasa peridicaanticipada

88

2. i = a

a

ii1

i = 0,09/(1- 0,09) = 0,0989 = 9,89% trimestre vencido3. (1+E) = (1+i)m

(1+E) = (1 + 0,0989)4

E = 1,4582 - 1E = 0,4582 = 45,82% anual

Un desarrollo algebrico, similar al ejecutado anteriormente,permite obtener la expresin de la tasa peridica anticipada enfuncin de la tasa peridica vencida, la cual es:

%!

+

Se sabe que: 1 + E = m(1 + i)

pero i = ai1 - ai

por lo tanto:

1 + E = m

1 + ai1 - ai

1 + E = m1 - ai + ai

1 - ai

1 + E = m1

1 - ai . O sea,

,

1 + E = ( 1 - ia

) - m

ai = i

1 + i

Tasa peridica anticipada enfuncin de la tasa peridicavencida

89

Ejemplo 16:A qu tasa efectiva anual es equivalente el 36% anual, trimestreanticipado?Solucin:

ia = 36%/4 = 9% trimestre anticipado

11 + E = + E =

E = 1,4583-1 E = 0,4583 = 45,83% anual.

- ma

- 4(1 - i(1 - 0,09)

)

Corroborar con valores del Cuadro 2, pgina 274.

%!

Se acaba de obtener que:

1 + E = (1 - ia) - m. Es decir:

E = (1 - ia) - m - 1 (1)

Si E es la tasa efectiva vencida en un perodo de referencia, su tasaefectiva anticipada, aE , equivalente en el mismo perodo, est dadapor:

aE

Al reempla

= E

1+ E (2)

zar (1) en (2) se tiene:

aE = - m(1 - ai - 1

- m(1 - ai= 1 - 1

- m(1 - ai)

) )

1 - E = ( 1 - i )a ma

90

ai corresponde al perodo ms pequeo

aE corresponde al perodo ms grande

Tanto ai como aE son tasas efectivas anticipadas.

Ejemplo 17:A qu tasa anual anticipada es equivalente el 9% trimestralanticipado?Solucin:

1

1

- =

- =

= 0,3143 = 31,43% anual anticipada

am

a

a4

E (1 - iE (1 - 0,09)

)

aE

Se sugiere al lector revisar los valores de la siguiente tabla yconcluir respecto de la capitalizacin en perodos vencidos y enperodos anticipados:

Tasa nominal Tasa efectiva anual

32% anual, convertible anualmente 32,00%32% anual, convertible semestralmente 34,56%32% anual, convertible trimestralmente 36,04%32% anual, convertible bimestralmente 36,58%32% anual, convertible mensualmente 37,14%32% anual, convertible diariamente 37,69%32% anual, convertible en forma continua 37,71%32% anual, semestre anticipado 41,72%32% anual, trimestre anticipado 39,59%32% anual, bimestre anticipado 38,93%32% anual, mes anticipado 38,31%32% anual, da anticipado 37,73%

91

,

Existen situaciones en las cuales al mismo tiempo operan dos o mstasas de inters. El efecto total de dichas tasas, denominadas tasasmltiples, es lo que se pretende analizar a continuacin.Las tasas mltiples se presentan con los prstamos en monedaextranjera y en UVRs (Unidades de Valor Real) o UPACs(Unidades de Poder Adquisitivo Constante). Los ltimos, muyutilizados en los sistemas de financiacin de vivienda de algunospases de Latinoamrica

Ejemplo 18:Se efecta un prstamo de 100 dlares, sobre el cual cobra unbanco norteamericano el 6% anual. Este prstamo, en Mxico, seconvierte en pesos. Si dentro de un ao se desea cancelar elprstamo, es necesario cambiar pesos por dlares.En resumen, la situacin es la siguiente:

Qu tasa efectiva se est cobrando sobre el prstamo?

Solucin:Hay dos procedimientos para calcularla:Procedimiento 1 - Hoy se prestan $7.300 y se pagan $7.995,58dentro de un ao. El correspondiente diagrama de flujo es:

Hoy Dentro de un aoprstamo en US$ 100 106

Tasa de cambio ($ / US$) 73 75,43Valor del prstamo en pesos 7.300 7.995,58

Valor del

92

Al tomar como fecha focal el punto 1, se establece la siguienteecuacin de equivalencia:7.995,58 = 7.300 (F/P, i, 1)1,0952849 = (F/P, i, 1)(1 + i)1 = 1,0952849i = 0,0952849 = 9,53% anualProcedimiento 2 - Considerando las tasas de inters que operansobre el prstamo. Se definen dos:1. i1 = 6% anual, sobre el prstamo en US$2. La variacin en la tasa de cambio, i2, la cual se mide con la tasa

de devaluacin.El correspondiente diagrama de flujo es:

i2 = Variacin en la relacin de cambio = tasa de devaluacin

Conociendo dos tasas de cambio en el tiempo y el nmero deperodos entre ellas, se puede determinar la tasa de devaluacin.Con la informacin del diagrama, y tomando como fecha focal elpunto 1, se establece la siguiente ecuacin de equivalencia:

75,43 = 73 (F/P, i2, 1)1,03328 = (1 + i2)i2 = 0,03328 = 3,33% anual

En conclusin, sobre el prstamo actan dos tasas de inters:i1 = 6% anual, sobre el prstamo en dlares

i2 = 3,33% anual, tasa de devaluacin

93

Conociendo estas dos tasas, se puede calcular la tasa efectiva,mediante la aplicacin de una expresin matemtica que sedeterminar ms adelante.

&%&-

Ejemplo 19:Se prestan 100 UVRs, pagaderas en un ao, sobre las cuales laentidad financiera carga el 7% anual.La situacin hoy y en el momento de cancelar el prstamo es:

Hoy Dentro de un aoValor del prstamo en UVRs 100 107Tasa de cambio 1 UVR = $598,46 1UVR = $724,14Valor del prstamo en pesos 59.846,00 77.482,98Qu tasa efectiva se est cargando sobre el prstamo?Solucin:Hay dos procedimientos para calcularla:Procedimiento 1 - Se prestan $59.846 y se pagan $77.482,98dentro de un ao. El correspondiente diagrama de flujo es:

Al tomar como fecha focal el punto 1, se establece la siguienteecuacin de equivalencia:77.482,98 = 59.846 (F/P, i, 1)1,2947 = (F/P, i, 1)1 + i = 1,2947

94

i = 0,2947 = 29,47% anualProcedimiento 2 - Determinando las diferentes tasas de intersque actan sobre el prstamo. Se definen dos:

1. i1 = 7% anual, sobre el prstamo en UVRs

2. Hay una variacin en el valor de la UVR, i2, (aproximadamenteigual a la inflacin), correspondiente a la correccinmonetaria. Conociendo dos valores de la UVR en el tiempo yel nmero de perodos (tiempo) entre ellos, se encuentra la tasaaproximada de inflacin o correccin monetaria. Para elejemplo, se tiene el siguiente diagrama de flujo:

Al tomar como fecha focal el punto 1, se establece la siguienteecuacin de equivalencia:

724,14 = 598,46 (F/P, i2, 1)1,21 = (1 + i2)1

i2 = 0,21 = 21% anual

En resumen, sobre el prstamo hay dos tasas de inters:

i1 = 7% anual, sobre el prstamo en UVRs

i2 = 21